上海证券市场的多重分形特征研究
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上海证券市场的多重分形特征研究吴金克，谭庆美天津大学管理学院（300072）Email：wujinke@摘 要：本文利用MF-DFA方法对上海证券市场日收益率价格波动进行研究，发现上海证券市场具有明显的多重分形特征。
但实行涨跌停板制度前后，上海证券市场多重分形的成因不同。
实行涨跌停板制度前，上海证券市场多重分形特征仅受长程相关性和胖尾分布这两个因素的影响。
而实行涨跌停板制度后，多重分形特征除受长程相关性和胖尾分布这两个因素的影响外，还受其他因素的影响，说明涨跌停板制度对上海证券市场价格波动的多重分形特征产生了重要的影响。
关键词：上海证券市场；MF-DFA；多重分形；涨跌停板制度1.引言目前，很多学者利用分形理论对证券市场进行分析，但正如Mandelbrot指出，单一分形只能抓住价格波动的某一特征[1]，而多重分形可以更为全面的描述价格波动的特征。
目前，国外已有不少学者对金融市场的多重分形进行了研究，Schmitt和Schertzer等考察了Us Dollar//French France汇率改变量的q阶矩结构函数，非线性的标度指数表明该汇率变化是一个多重分形过程[2]。
Hiroaki Katsuragi对日本证券市场进行了研究，得出了日本证券市场具有多重分形的结论[3]。
Andreadis和Serletis对Dow Jones工业指数1928年~2000年的日收盘指数，运用统计学及系统动力学中的一些检验方法，提供了美国股票市场具有多重分形的有力证据[4]。
Alvarez-Ramirez和Cisneros等讨论了国际原油价格的多重分形特征，发现存在与星期和季节有关的两个特征时间标度[5]。
近几年来，国内学者开始运用多重分形理论对我国沪深两市进行多重分形研究，如何建敏和常松、胡雪明和宋学锋、卢方元、施锡铨和艾克凤、黄诒蓉等均证明我国沪深两市具有多重分形特征[6~10]。
但这些研究所用数据量相对较少，而且没有考虑实施涨跌停板制度对我国证券市场多重分形特征的影响。
对证券交易价格实行涨跌停板制度是市场监管的一种措施，其主要目的是为了平抑价格的剧烈波动，稳定市场，保护投资者利益。
涨跌停板制度是否对证券市场的多重分形特征产生了影响？对该问题进行研究，直接关系到对涨跌停板制度作用效用的评价，具有十分重要的意义。
为了考察涨跌停板制度对上海证券市场分形特征的影响，本文以1996年12月26日为界，将上海证券市场日收益率时间序列分为两个阶段，利用MF-DFA方法对上海证券市场日收益率时间序列进行多重分形分析。
2. 多重分形的含义多重分形(Multi-fractal)也称为多标度分形、复分形，是定义在分形结构上的由多个标度指数（如广义维数、广义Hurst 指数，多重分形谱等）的奇异测度(Singular measure)组成的无限集合。
它刻画了分布在子集上的局部标度性，是对分形维数的拓广 [6，10]。
多重分形的定义可以表述如下：如果具有平稳增量的随机过程{x (t )}对所有的Q q T t ∈∈,满足：1)())(())()((+∆=−∆+q qt q c t x t t x E τ (1)其中，T 和Q 是长度均为正的实数区间，t ∆为时间增量，T ∈0，，τ(q )和c (q )是在Q 上的函数，则称该过程为一个多重分形过程。
Q ⊆]1,0[根据式(1)，可以推导出多重分形过程的广义Hurst 指数h (q )，q >0，即：)(/1))(()])()(([q h q qt q c t x t t x E ∆=−∆+ (2)当q =1时，h (1)对应于单分形分析的Hurst 指数。
广义Hurst 指数h (q )和尺度函数τ(q )之间的关系为：qq q h 1)()(+=τ (3)3．多重分形消除趋势波动分析法Kantelhardt 等人提出的多重分形消除趋势波动分析（Multi-fractal detrended fluctuation analysis, MF-DFA ）方法是验证一个非平稳时间序列是否具有多重分形的有效方法[11]。
给定长度为N 的时间序列{x t }(t =1, 2, …, N )，MF-DFA 一般可以按照如下过程进行：(1)探测序列的“轮廓”(Profile)。
通过求和把原序列归并成为一个新的轮廓序列∑=−=kt t x x k y 1)()(，k =1, 2, …, N (4)其中，x 是序列{x t }的平均值，∑==Nt txNx 11。
(2)将序列{y k }分割成长度为s 的)/int(s N m s =个互不重叠的等长的区间，为了使得序列{y k }的全部数据均进入计算，对{y k }按照k 由小到大和由大到小各划分一次，这样对于给定的s ，可以得到个区间。
s m 2(3)对于每一区间v (v =1, 2, …, )中的s 个点，用最小二乘法进行多项式拟合，得到拟合方程：s m 2i k v k a k a a k yˆˆˆ)(ˆ10+++=L ，k =1, 2, …, s ，i =1, 2, … (5) )(ˆk yv 是子区间v 上的局部趋势函数，可以是一次、二次或更高的多项式。
通常要求}10,2max{+≥k s 对于子区间v (v =1, 2, …, )，其消除趋势序列为：s m )(ˆ))1(()(k yk s v y k D v v −+−=，k =1, 2, …, s (6) 对于子区间v (v =+1, +2,…, 2 ) ，其消除趋势序列为：s m s m s m )(ˆ)))((()(k yk s m v N y k D v s v −+−−=, k =1, 2, …, s ( 7) (4)计算均方误差 ),(2s v F 当v =1, 2, …, 时s m ∑∑==−+−==sk v s k v k yk s v y s k D s s v F 12122))(ˆ))1(((1)(1),( ( 8) 当v =+1, +2,…, 2 时s m s m s m ∑∑==−+−−==sk v s s k v k yk s m v N y s k D s s v F 12122))(ˆ)))((((1)(1),( (9) 显然，与s 、v 及的阶数有关，不同阶数消除趋势的能力不同。
),(2s v F )(ˆk yv (5)对于2个区间，计算的均值，得到q 阶波动函数如式(10)所示。
s m ),(2s v F )(s F q ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑∑==0,),(ln 41exp 0,)),((21)(212/1212/2q s v F m q s v F m s F ssm v s q m v q s q (10)当q =2时，MF-DFA 退化成DFA ；当q <0时，的大小主要取决于小波动偏差的大小；当q >0时，的大小主要取决于大波动偏差的大小，因此，不同的q 描述了不同程度的波动对的影响。
)(s F q ),(2s v F )(s F q ),(2s v F )(s F q (6)确定波动函数的标度指数。
是q 与s 的函数，且对于较大的s ，以幂律形式增加，即)(s F q )(s F q )(~)(q h q s s F (11)其中，h (q )为广义Hurst 指数。
为了使得有较高的稳定性，通常s 的取值不超过)(s F q 4N。
将改写成，两边取对数得)(~)(q h q ss F )()(q h q Ass F =s q h A s F q log )(log )(log += (12)对于每一个分割长度s ，可求出相应的一个波动函数值；用不同的常数s 来分割，就可以得到不同的波动函数值，做出函数关系图，即可得到广义Hurst 指数h (q )的估计值。
)(s F q )(s F q s s F q log ~)(log 因为在MF-DFA 方法中，h (q )和q 无关等价于和q 无关，即一个时间序列的每一小段消除趋势后的q 阶波动相同，说明时间序列的局部结构是均匀一致的。
因此，当h (q )和q 无关时，时间序列是单分形的。
另一方面，在MF-DFA 方法中，h (q )和q 有关等价于和q 有关，即消除趋势后2个小段的q 阶波动不相同，这说明时间序列的局部结构是非均匀一致的，因此，当h (q )和q 有关时的时间序列是多重分形时间序列。
)(s F q )(s F q s m 4．上海证券市场多重分形实证研究4.1 数据来源及说明样本数据为1990年12月24日~2005年6月24日的上海证券市场日收益率时间序列，共计3548个数据。
数据来源于飞狐交易师证券分析系统。
本文使用如下定义的对数收益率：11ln ln ln−−−==t t t tt p p p p R (13) 其中，R t 是t 时刻的对数收益率；p t 是t 时刻的收盘价。
之所以采用式(13)所示的对数收益率，是因为对于R/S分析而言，对数收益率要比更广泛使用的价格百分比收益率更为适用。
R/S分析中的极差是对于平均值的累积离差，对数收益率加起来等于累积收益率，而百分比收益率变化却不是。
上海证券市场日收盘价时间序列和日收益率时间序列分别如图1和图2所示。
图1上海证券市场日收盘价序列图图2 上海证券市场日收益率序列图4.2 上海证券市场多重分形分析考虑到1996年我国实行涨跌停板制度对证券价格波动的影响。
本文以1996年12月26日为界，将上海证券市场收益率时间序列分为两个阶段，以观察实施涨跌停板制度前后的差异。
取s=10, 11, …；q= -10，-9，…, 9, 10；k=1, 2, 3, 4，利用MF-DFA方法可求得1990年12月24日至1996年12月25日1503个日收益率数据和1996年12月26日至2005年6月24日2045个日收益率数据的广义Hurst指数h(q) 的估计值，结果如表1所示。
h(q)对q的散点图分别如图3和图4所示，其中k=j（j=1, 2, 3, 4）表示在对s个点进行拟合时采用的是k阶多项式拟合。
4.3结果分析根据表1和图3、图4，本文得出如下结论：(1)上海证券市场日收益率序列具有多重分形特征。
不论是实行涨跌停板制度前后，对于给定的k值，上海证券市场日收益率的广义Hurst指数h(q)均为q的减函数，即广义Hurst 指数h(q)与q显著相关。
因此，可以认为上海证券市场日收益率序列具有多重分形特征，即采用正态分布、单重分形等传统方法对上海证券市场进行描述是不合适的。
但根据表1和图1、图2可以发现，对于同样的k和q值，实行涨跌停板后的广义Hurst指数小于h(q)实行涨跌停板制度之前。
