第二章控制系统的数学模型例题
- 格式:ppt
- 大小:332.00 KB
- 文档页数:54
第二章 控制系统的数学模型习题及答案2-1 试建立下图所示各系统的微分方程。
其中电压)(t u r 和位移)(t x 为输入量;电压)(t u c 和位移)(t y 为输出量;R (电阻),C (电容),k (弹性系数),和f (阻尼系数),均为常数。
解:(a )应用复数阻抗概念可写出)()(11)(11s U s I csR cs R s U c r ++= (1) 2)()(R s Uc s I =(2) 联立式(1)、(2),可解得:CsR R R R Cs R R s U s U r c 212112)1()()(+++=微分方程为:r r c c u CR dt du u R CR R R dt du 121211+=++ (b )如图解2-1(b)所示,取A,B 两点分别进行受力分析。
对A 点有 )()(111dtdydt dx f x x k -=- (1) 对B 点有 y k dtdydt dx f 21)(=- (2) 联立式(1)、(2)可得:dtdx k k k y k k f k k dt dy2112121)(+=++ 2-2 试证明下图所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统(即有相同形式的数学模型)。
解:(a) 取A 、B 两点分别进行受力分析,如图解所示。
对A 点有)()()(1122y y f y xf y x k -=-+- (1) 对B 点有1111)(y k y yf =- (2) 对式(1)、(2)分别取拉氏变换,消去中间变量1y ,整理后得)()(s X s Y = 21212121221212212121()1()1f f f fs s k k k k f f f f f s s k k k k k +++++++21221221221211221221k k s )k f k f k f (s f f k k s )k f k f (s f f +++++++= (b) 由图可写出sC R s U c 221)(+= sC R s C R sC R s U r 111112111)(+⋅++整理得)()(s U s U r c = 1)(1)(21221122121221122121+++++++s C R C R C R s C C R R s C R C R s C C R R 比较两系统的传递函数,如果设112211221,1,,,R k R k C f C f ====则两系统的传递函数相同,所以两系统是相似的。
1.已知无源网络如题图2.1所示,其中i ()u t 为输入电压,o ()u t 为输出电压,试列写动态微分方程。
(a ) (b ) (c )题图2.1 无源网络1.(a )因为 12i i i =-,1i o u u u =-故 i o 1111o2i o 12d()d d d u u u i R R u i R u u ui C Ct t -⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-==⎪⎩i o o i o 12d()d u u u u u CR R t--∴=- 整理得到o i 1212o 122i d d ()d d u uR R C R R u R R C R u t t++=+(b )因为i o 1121d i uu i R u R i R i i t C -⎧=⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩⎰整理得到o i 12o 2i d d ()d d u uR R C u R C u t t++=+(c )因为i 1121o 1122o 1o 2()d d d d u u i i i i R u u i i C R t u L u u R t ⎧-=+=⎪⎪⎪⎪==⎨⎪⎪-=⎪⎪⎩得到oi 1112o 1o2()d d d d u u u u C R R t u L u u R t -⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2o o oo o i 2111222d d d d d d u u u u u u L CL C R R R R t R t R t --=++ 整理得到2o o 11212o 2i 2d d ()()d d u uR LC R R C L R R u R u t t++++=2.试求题图2.2中各无源网络的传递函数。
)(a ) (b ))C(c ) (d )题图2.2 习题2的无源网络2. (a )因为111111R Z R Cs R Cs ==+ 所以o 2122i 121212()()()U s R R R Cs R G s U s Z R R R Cs R R +===+++ (b )因为11111111R Z R C s R C s ==+,22222211R C s Z R C s C s +=+= 所以o 211222i 121212112212()(1)(1)()()()1U s Z R C s R C s G s U s Z Z R R C C s R C R C R C s ++===+++++ (c )因为()()()22122221111R Ls R Ls Cs Z R Ls Cs LCs R Cs R Ls Cs++=+==++++ 所以o 122i 1111212()()()()U s Z Ls R G s U s R Z R LCs R R C L s R R +===+++++ (d )因为1212112111211()1R R C s R Z R R C s R C s R C s +=+=++,32232211R C s Z R C s C s+=+=所以2o 3121211213222i 121223131211212232()()()1()()()()1U s R R R C C s R C R C R C s Z G s U s Z Z R R R R R R C C s R C R C R C R C s +++++===++++++++ 3. 试求题图2.3中各有源网络的传递函数。
第2章连续控制系统的数学模型2.1 控制系统数学模型的概念控制理论分析、设计控制系统的第一步是建立实际系统的数学模型。
所谓数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律,所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。
建立描述控制系统的数学模型,是控制理论分析与设计的基础。
一个系统,无论它是机械的、电气的、热力的、液压的、还是化工的,都可以用微分方程加以描述。
对这些微分方程求解,就可以获得系统在输入作用下的响应(即系统的输出)。
对数学模型的要求是,既要能准确地反映系统的动态本质,又便于系统的分析和计算工作。
2.1.1 数学模型的类型数学模型是对系统运动规律的定量描述,表现为各种形式的数学表达式,从而具有不同的类型。
下面介绍几种主要类型。
1. 静态模型与动态模型根据数学模型的功能不同,数学模型具有不同的类型。
描述系统静态(工作状态不变或慢变过程)特性的模型,称为静态数学模型。
静态数学模型一般是以代数方程表示的,数学表达式中的变量不依赖于时间,是输入输出之间的稳态关系。
描述系统动态或瞬态特性的模型,称为动态数学模型。
动态数学模型中的变量依赖于时间,一般是微分方程等形式。
静态数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况。
2. 输入输出描述模型与内部描述模型描述系统输出与输入之间关系的数学模型称为输入输出描述模型,如微分方程、传递函数、频率特性等数学模型。
而状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系,所以称为内部描述模型。
内部描述模型不仅描述了系统输入输出之间的关系,而且描述了系统内部信息传递关系,所以比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。
3. 连续时间模型与离散时间模型根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号,数学模型分为连续时间模型和离散时间模型,简称连续模型和离散模型。
连续数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等。
离散数学模型有差分方程、Z传递函数、离散状态空间表达式等。
第二章控制系统的数学模型本章目录2.1 传递函数2.2 传递函数的说明2.3 非线性数学模型的线性化2.4 典型环节的传递函数数学模型2.5 用方块图表示的模型2.6 信号流程图与梅逊公式2.7* 数学模型的MATLAB描述小结本章简介系统是指相互联系又相互作用着的对象之间的有机组合。
许多控制系统,不管它们是机械的、电气的、热力的、液压的,还是经济学的、生物学的等等,都可以用微分方程加以描述。
如果对这些微分方程求解,就可以获得控制系统对输入量(或称作用函数)的响应。
系统的微分方程,可以通过支配着具体系统的物理学定律,例如机械系统中的牛顿定律,电系统中的克希霍夫定律等获得。
为了设计(或者分析)一个控制系统,首先需要建立它的数学模型,即描述这一系统运动规律的数学表达式。
有三种比较常用的描述方法:一种是把系统的输出量与输入量之间的关系用数学方式表达出来,称之为输入--输出描述,或外部描述,例如微分方程式、传递函数和差分方程。
第二种不仅可以描述系统的输入、输出间关系,而且还可以描述系统的内部特性,称之为状态变量描述,或内部描述,它特别适用于多输入、多输出系统,也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。
另一种方式是用比较直观的方块图模型来进行描述。
同一控制系统的数学模型可以表示为不同的形式,需要根据不同情况对这些模型进行取舍,以利于对控制系统进行有效的分析。
本章所讨论的数学模型以传递函数和方块图为主。
2.1 传递函数在控制理论中,为了描述线性定常系统的输入-输出关系,最常用的函数是所谓的传递函数。
传递函数的概念只适用于线性定常系统,在某些特定条件下也可以扩充到一定的非线性系统中去。
线性定常系统的传递函数,定义初始条件为零时,输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。
设有一线性定常系统,它的微分方程是(2-1)式中y是系统的输出量,x是系统的输入量。
初始条件为零时,对方程(2-1)两端进行拉普拉斯变换,就可以得到该系统的传递函数为:(2-2)传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统的输入量与输出量之间的关系式,它表达了系统本身的特性,而与输入量无关。