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第二章控制系统的数学模型例题

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拉普拉斯变换 例题解析

拉普拉斯变换 例题解析

2、
线性系统特性──满足齐次性、可加性
z 线性系统便于分析研究。 z 在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。 z 非线性元部件微分方程的线性化。 例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点 α 0 处的线性化增量方程
y(α ) = E 0 cosα
解：在 α = α 0 处线性化展开，只取线性项：
& m + f mω m = M m ┈牛 力矩方程： J m ⋅ ω
顿 变量关系： u a
i − Mm ωm E b −− −
消去中间变量有：
&m + ωm = kmua Tmω
⎧T = J m R [R ⋅ f m + C e C m ] ⎪ m ⎨ ⎪k m = C m [R ⋅ f m + C e C m ] ⎩
0 0 -st − st =⎡ ⎣e f ( t ) ⎤ ⎦ − ∫ f ( t )de 0 0 − st =⎡ ⎣0-f ( 0 ) ⎤ ⎦ + s ∫ f ( t )e dt ∞ ∞ ∞
∞
∞
= sF ( s ) − f ( 0 ) =右
0
(n) ( n-2 ) n-1 n-2 ⎤ n ′ 进一步：L ⎡ ( 0 ) − f ( n −1) ( 0 ) ⎣ f ( t ) ⎦ = s F ( s ) − s f ( 0 ) − s f ( 0 ) − L − sf
s + 0.4
( s + 0.4 )
2
+ 12
2
=
s + 0.4 s + 0.8s + 144.16
2
6).已知F(s) =
3s 2 + 2s + 8 求f ( ∞ ) = ? f(0) = ? f(∞) = 1, f(0) = 0 s ( s + 2 ) ( s 2 + 2s + 4 )

自动控制原理第二章 控制系统的数学模型4

自动控制原理第二章 控制系统的数学模型4

x
G
y
x
G
y
上图中， 两者都具有关系: 上图中， 两者都具有关系 y(s) = G(s)x(s)。支路对节点x 来说 是输出支路，对输出节点y来说是输入支路 来说是输入支路。 是输出支路，对输出节点 来说是输入支路。
2
信号流图的术语
[几个术语]： 输入节点(源点 ： 输入节点 源点)：只有输出支路 源点 的节点。 的节点。如： R，N。 ， 。 输出节点(阱点 ： 输出节点 阱点)：只有输入支路 阱点 的节点。 的节点。如： C
4
信号流图的等效变换
串联支路合并： 串联支路合并：
a
b
ab
x3
x1
x2
a
x1
x3
并联支路的合并： 并联支路的合并：
x1
b
x2
x1
a+b
x2
b a 1 m bc
回路的消除： 回路的消除：
a
b
±c
x1 x2
x3
x1
x2
x3
5
信号流图的等效变换
混合支路的清除： 混合支路的清除：
x4 ad b
c
x4
ad bd
18
梅逊公式||例5 梅逊公式 例
[例5]：使用 例 ：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数 公式计算下述结构图的传递函数
G4
C ( s) E ( s) , R( s) R( s)
R
-
E G 1
H1
+
G2
+ -
G3
C
H2
[解]：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下： 解 ：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下：

第2章 自动控制系统的数学模型(2)

第2章 自动控制系统的数学模型(2)

1/R2
I2(s)
Uc
I2
1/C2S
Uc(s)
双RC网络动态结构图
2.4.2. 动态结构图的等效与简化
1 串联连接的传递函数
X 2 (S ) G2 (S ) X 3 (S ) X1(S) X 3 (S ) G1 (S ) X 1 (S ) G(S) G1 (S)G 2 (S)
X3(S) X2(S) G2(S) G1(S)
输出信号的拉氏变换 C ( s) 传递函数 输入信号的拉氏变换零初始条件 R(s)
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描 述：
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) a n 1 c(t ) a n c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
例 试绘制如图所示无 1 源网络的结构图i i1
Ui
i i1 i2 ui i 1R1 u0 u0 iR2 1 i2dt R1i1 c 由(1)式有 I1(S)
i2
C
பைடு நூலகம்
R1
R2
U0
解:
I(S) I1 (S) I 2 (S) (1) U i (S) I1 (S)R1 U 0 (S) (2) U 0 (S) R 2 I(S) (3) R 1I1 (S) 1 I2(S ) CS (4)
C (s) b0 s m b1 s m1 bm1 s bm M (s) G( s ) n n 1 R(s) a0 s a1 s an1 s an N ( s)

自动控制原理-第二章-控制系统的数学模型—结构图-信号流图-传递函数

自动控制原理-第二章-控制系统的数学模型—结构图-信号流图-传递函数
（1）单位脉冲 （2）单位阶跃 （3）单位斜坡 （4）单位加速度 （5）指数函数 （6）正弦函数 （7）余弦函数
f (t)
(t)
1(t )
t t2 2
e at
sin t cos t
F (s)
1
1s 1 s2 1 s3
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
2.2 线性定常微分方程的求解 拉普拉斯反变换：部分分式展开法
时域 差分方程
解析式模型
状态方程
复域
传递函数 结构图-信号流图
图模型
频域 频率特性
数学模型是一个反应变量之间关系的表达式，在不同的域中有不同的表现形式！
1.引言
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（例如阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信 号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)

(T
2 j
s2

2Tj
s

1)
i 1
j 1
适用于 频域分
析
3.2 传递函数的基本概念 传递函数的标准形式
K：增益
K*=根轨迹增益
K与K*的关系:
两者关系
m
zj
K K*
j 1 n
pi
i 1
3.3 典型环节及其传递函数
一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见 的几种形式有：
Y (s)
R(s)
Y (s)

第二章控制系统的数学模型例题全

第二章控制系统的数学模型例题全

L ddt
Ac ost
L
Asint
A 2 S2
2
另一种解法：
设xt Acost, xs A s
s2 2
x0 Acost A t0
Lddt xt sx(s) x0
Lddt Acost
s s2
s
2
A
A 2
S2 2
7已知f t cost- cos2t,求Fs。 8已知f t 2e-tsin2t,求Fs。 9已知f t te-2t ,求Fs。 10已知f t t n ,求Fs。
dt
2已知Fs
ss
4
2
, 求f
t
。
3已知Fs 1 ,求f 0、f 。
sa
3已知Fs 1 ,求f 0、f 。
sa
f 0
lims Fs s
lims s
s
1 a
1
f
lims s0
s
1 a
0
• Using the laplace transform methodes solve the differential equations
第二章控制系统的数学模型 例题
1已知f t d Acost,求Fs。
dt
2已知f t 3t 4e2t ,求Fs。
3已知f t e3tsin4t,求Fs。
t
4已知f t Acostdt,求Fs。
0
5已知f t sint ,求Fs。
6已知f t 8e-100t - 5e-200t ,求Fs。
G1
-1
- G2
N1
C
G2
C 1 G 2 G 3
N1 1 G 2 G1G 2G3

西工大、西交大自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型_2

西工大、西交大自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型_2

5 比较点的移动 比较点的前移：
Rs
Cs
Rs
Cs
Gs
Gs
Qs
1 Qs
Gs
若要将比较点由方框后移至方框的前面，为保持信号 的等效，要在移动后的信号线上加入一个比较点所越 过的方框的倒数。
5 比较点的移动 比较点的后移：
Rs
Cs Gs
Rs Gs
Cs
Qs
Qs
G(s)
若要将比较点由方框前移至方框的后面，为保持信号的 等效，要在移动后的信号线上加入一个比较点所越过的 方框。
2-3 控制系统的结构图与信号流图
控制系统的结构图概述
控制系统的结构图(block diagram)是描述系统各元部 件之间信号传递关系的数学图形，表示了系统中各变量 间的因果关系以及对各变量所进行的运算。通过对系统 结构图进行等效变换（equivalent transform）后，可 求出系统的传递函数。
G1(s)
-1 H(s)
R(s)=0
f
(s)
C(s) F(s)
G2 ( s) 1 G2 (s)H (s)(1)G1(s)
G2 ( s) 1 G2 (s)G1(s)H (s)
G2(s) G2(s) 1 G(s)H(s) 1 Gk (s)
单位反馈系统H(s)=1,有
f
(s)
C(s) F(s)
若令：G(s) G1(s)G2(s) 为前向通路传递函数，
则：
B(s)
Gk (s) (s) G(s)H(s)
可见：系统开环传递函数Gk(s)等于前向通路传递函 数G(s)=G1(s)G2(s)与反馈通道传递函数H(s)的乘积。
R(S) ε(s) G1(s)
F(s)

基本要求-控制系统数学模型

航空工程学院航空工程实验中心
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
线性连续系统微分方程的一般形式
d c (t ) d c (t ) dc (t ) an an 1 ... a1 a0 c ( t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr (t ) bm bm 1 ... b1 b0 r (t ) m m 1 dt dt dt
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第二章控制系统的数学模型
• 3.表示形式 a.时域:微分﹑差分﹑状态方程 b.复域:传递函数﹑结构图 c.频域:频率特性
三种数学模型之间的关系 线性系统
拉氏 傅氏 传递函数 微分方程 频率特性 变换 变换
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自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
题目变种3，寻求新解法
1 R1 cs I ( s) U ( s) U r ( s) c 1 R1 cs
Uc( s ) I (s) R2
联立，可解得： 微分方程为:
U c ( s) R2 (1 R1Cs) U r (s) R1 R2 R1 R2 Cs
微分方程的标准形式: 1、与输入量有关的项写在方程的右端； 2、与输出量有关的项写在方程的左端； 3、方成两端变量的导数项均按降幂排列
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
航空
第二章控制系统的数学模型
电气系统三元件（知识补充）
电阻
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第二章控制系统的数学模型

2.为什么要建立数学模型： 只是定性地了解系统的工作原理和大致的 运动过程是不够的，还要从理论上对系统 性能进行定量的分析和计算。 另一个原因：许多表面上看毫无共同之处 的控制系统，其运动规律具有相似性，可 以用相同形式的数学模型表示。

自控例题解析1

.
The cofactor of the determinant along path 1 is evaluated by removing the loops that touch path 1 from . Therefore we have
and .
Similarly，the cofactor for path 2 is
= (2.3)
FIGURE2.1
Two-mass
Mechanical system.
electric circuit
analog C1=M1，
C2=M2，L=1/k，
R1=1/b1，
R2=1/b2.
(a)
v1R1v2
CurrentC1R1C2L
r(t)
(b)
Assuming the velocity ofM1is the output variable，we solve forV1(s) by matrix inversion or Cramer’s rule to obtain（2，3）
解:（1）在结构图上把需要引出的信号做出标记（如图2-52中的“O”所示），对应画出信号流图2-53所示。
（2）利用梅逊公式：当R1(s)单独作用时，系统有3条前向通道，3个回路，其中一组两两互不接触。
图2-52
图2-53 信号流图
故
R2(s)单独作用时对应有两条前向通路。
故
例2-18系统微分方程式如下：
The velocities， and ，of the mechanical system are directly analogous to the node voltages and of the electrical circuit. The simultaneous equations，assuming theinitial conditions are zero，

第二章 控制系统的数学模型习题及答案

第二章 控制系统的数学模型习题及答案2-1 试建立下图所示各系统的微分方程。

其中电压)(t u r 和位移)(t x 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t y 为输出量；R （电阻），C （电容），k （弹性系数），和f （阻尼系数），均为常数。

解：（a ）应用复数阻抗概念可写出)()(11)(11s U s I csR cs R s U c r ++= （1） 2)()(R s Uc s I =（2） 联立式（1）、（2），可解得：CsR R R R Cs R R s U s U r c 212112)1()()(+++=微分方程为:r r c c u CR dt du u R CR R R dt du 121211+=++ （b ）如图解2-1(b)所示，取A,B 两点分别进行受力分析。

对A 点有 )()(111dtdydt dx f x x k -=- （1） 对B 点有 y k dtdydt dx f 21)(=- （2） 联立式（1）、（2）可得：dtdx k k k y k k f k k dt dy2112121)(+=++ 2-2 试证明下图所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。

解：(a) 取A 、B 两点分别进行受力分析，如图解所示。

对A 点有)()()(1122y y f y xf y x k -=-+- (1) 对B 点有1111)(y k y yf =- (2) 对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量1y ，整理后得)()(s X s Y = 21212121221212212121()1()1f f f fs s k k k k f f f f f s s k k k k k +++++++21221221221211221221k k s )k f k f k f (s f f k k s )k f k f (s f f +++++++= (b) 由图可写出sC R s U c 221)(+= sC R s C R sC R s U r 111112111)(+⋅++整理得)()(s U s U r c = 1)(1)(21221122121221122121+++++++s C R C R C R s C C R R s C R C R s C C R R 比较两系统的传递函数，如果设112211221,1,,,R k R k C f C f ====则两系统的传递函数相同，所以两系统是相似的。

第二章 控制系统的数学模型


= Ur (s)
传递函数为: di + u ur= R · + L i c dt Uc (s) 1 = duc G (s) = i = C dt Ur (s) LCs2 + RCs + 1
电气系统三要素：电阻、电容、电感
+ ί(t) R –
u(t)= ί(t)· R
u (t )
ί(t) C
–
u(t) ί(t)= R
图2-9 速度控制系统
+
R1 R2 R2 R1 k2
ui
R1
k1 u 1
c
u2
功 ua 放
m
SM
ω
负 载
ut
TG
运算放大器
uu+ ii+
_ +
+
Add
uo
差模输入电压等于零
u+= u-
运放同相输入端与反向输入端两点的电压相等，如同该 两点短路一样，称为虚短。
i+=i-=0
运放同相输入端与反向输入端的电流都等于零，如同该 两点被断开一样，称为虚断。
Tm s m ( s ) m (t ) K1U a ( s )
Tm s 1 m ( s) K1U a ( s)
m ( s) K1 G ( s) U a ( s) Tm s 1
m ( s) K2 G ( s) M c ( s) Tm s 1
传递函数的性质（续）
（5）传递函数与微分方程有相通性;
b1s b2 C (s) G ( s) R( s ) a0 s 2 a1s a2
对角线相乘
a0 s 2 a1s a2 C ( s ) b1s b2 R ( s )
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第二章控制系统的数学模型 例题
d (1)已知f (t ) = (Acosωt ), 求F(s )。 dt − 2t (2)已知f (t ) = 3t + 4e , 求F(s )。
(3)已知f (t ) = e
t 0
3t
sin4t , 求F(s )。
(4)已知f (t ) = ∫ Acosωtdt, 求F(s )。 (5)已知f (t ) = sin (ωt + ϕ ), 求F(s )。 -100t - 200t (6)已知f (t ) = 8e - 5e , 求F(s )。
T T
Lb3D4037 求图示波形函数的拉氏变换。 求图示波形函数的拉氏变换。
f(t)
2 1 0 1 2 3 t
f ( t ) = 1( t − 1) +
1 1 t × 1(t − 1) − 2 × 1(t − 3) − t × 1(t − 3) 2 2 1 −s 1 −s 2 −3s 1 −3s F(s ) = e + 2 e − e _ 2 e s s 2s 2s e −s 1 e −3s 1 = 2 s + − 2 2s + 2 s 2 s
B(s) k2 = (s + 1 − j) = 4 − 3j A(s) s = −1+ j B(s) k3 = (s + 2) = -5 A (s) s = −2 B(s) k3 = (s + 4) = -3 A (s) s = −4 4 + 3j 4 - 3j 5 3 F(s) = + − − s +1+ j s +1− j s + 2 s + 4
− 2t
− 3e
− 4t
− 2t
− 3e
− 4t
− 3e
La3D5025 列写出如图 列写出如图D-12所示电路的微分方程， 所示电路的微分方程， 所示电路的微分方程 并写出传递函数。 并写出传递函数。
R1 C2
ui
i
C1
R2
u0
图D - 12
解：可列出系统的微分方程如下
1 d i( t ) = ( u i − u 0 ) + C1 ( u i − u 0 ) R1 dt u = iR + 1 idt 1 将微分方程作拉氏变换 0 C2 ∫
• Using the laplace transform methodes solve the differential equations
dx (t ) + x (t ) = 0, x (0 ) = 1 dt 解：sx (s ) − x (0 ) + x (s ) = 0 1 x (s )(s + 1) = 1，x (s ) = s +1 −t x (t ) = e
∴ f ( t ) = L [F(s)]
−1
= ( j) t
[4(e
− jt
(8cost + 6sint ) − 5e
+e
jt
) + 3j(e
+ (4 − 3j)e
− jt − 2t
− ( −1+ j) t jt
−e
)] − 5e
− 4t
− 5e
Lb3D5039求图示波形的拉氏变换 求图示波形的拉氏变换
f(t)
2a a 0 T 2T 3T t
a a f (t ) = a × 1(t ) + t × 1(t − T ) − t × 1(t − 2T ) − 2a × 1(t − 3T ) T T a a −Ts a − 2Ts 1 −Ts F(s ) = + 2 e − 2 e − 2a e s Ts s Ts
(
)
Lb3D2034求如图所示三角波的拉氏变换。 4 4 T 4 T 4 提示：f (t ) = 2 t − 2 t × 1 t − − 2 t × 1 t − + 2 × 1(t − T ) 2 T 2 T T T
f (t )
2 T
0
T 2
T
t
4 4 T 4 T 4 f (t ) = 2 t − 2 t × 1 t − − 2 t × 1 t − + 2 × 1(t − T ) 2 T 2 T T T 4 4 -2s 4 -2s 4 -Ts F(s ) = 2 2 − 2 2 e − 2 2 e + 2 2 e T s T s T s T s T - s 4 = 2 2 (1 - 2e 2 + e -Ts ) T s
Aω d L (Acosωt ) = L[− Aωsinωt ] = − 2 2 dt S +ω 另一种解法：
2
s 设x (t ) = Acosωt, x (s ) = A 2 2 s +ω x (0 ) = Acosωt t =0 = A d L x (t ) = sx (s) − x (0 ) dt d s Aω 2 L (Acosωt ) = s ⋅ 2 −A = − 2 2 dt s +ω S +ω2
La3D4023求函数 B(s) 20(s + 1)(s + 3) F(s) = = A(s) (s + 1 + j)(s + 1 + j)(s + 2)(s + 4)
的F(s )部分分式展开式和f (t )。
k3 k1 k2 k4 解：F(s) = + + + s +1+ j s +1− j s + 2 s + 4 B(s) k1 = (s + 1 + A(s) j) = 4 + 3j s = −1− j
2
(
)
3 A BS + C = + 2 S（S 2 + 2S + 5） S S + 2S + 5 3 3 S]S=0 = 5 S（S 2 + 2S + 5） 3 A BS + C 2 （S + 2S + 5） [ ]S= −1+ j2 = {[ + 2 （S 2 + 2S + 5）S=-1+ j2 ] } S S + 2S + 5 S（S 2 + 2S + 5） A =[ 3 [(-1 + j2) 2 + 2(-1 + j2) + 5] 3 [ ] = {5 + B(-1 + j2) + C} - 1 + j2 - 1 + j2 3 [(-3 - j4 − 2 + j4 + 5] 3 [ ]= 5 − B + j2B + C - 1 + j2 - 1 + j2 3 6 B = - ;C = − 5 5
Lb3D2033求如图D - 18所示方波的拉氏变换。
f(t)
1/T
T
t
提示：波形函数表达式为 1 1 f ( t ) = × 1(t ) − × 1(t - T ) T T
1 1 Q f ( t ) = × 1(t ) − × 1(t - T ) T T 1 1 -sT 1 − e = ∴ L(f ( t )] = 1 - e -sT Ts Ts Ts
(7 )已知f (t ) = cost - cos2t, 求F(s )。 -t (8)已知f (t ) = 2e sin2t, 求F(s )。 - 2t (9)已知f (t ) = te , 求F(s )。 n (10)已知f (t ) = t , 求F(s )。 − at (11)已知f (t ) = b(1 − e ), 求F(s )。
已知 s + 5s + 9s + 7 F(s ) = (s + 1)(s + 2)
3 2
求f (t )
s+3 G (s ) = s + 2 + (s + 1)(s + 2) d −t − 2t g(t ) = δ (t ) + 2δ (t ) + 2e − e dt
已知 2s + 12 F(s ) = 2 s + 2s + 5 求f (t )
已知 && + 2x + 5x = 3, x (0 ) = 0, x (0 ) = 0 & & x 求x (t )
3 s x (s ) + 2sx (s ) + 5x (s ) = s 3 x (s ) = 2 s s + 2s + 5 3 1 3 s+2 = ⋅ − ⋅ 2 5 s 5 s + 2s + 5 3 1 3 2 3 s +1 = ⋅ − ⋅ − ⋅ 2 2 5 s 10 (s + 1) + 2 5 (s + 1) 2 + 2 2 3 3 −t 3 −t x (t ) = − ⋅ e sin2t − ⋅ e cos2t 5 10 5
di (1)已知Ri(t) + L = u (t ) − e(t ), 求i(t )的拉氏式。 dt 4 (2)已知F(s ) = , 求f (t )。 s(s + 2 )
1 (3)已知F(s ) = , 求f (0)、f (∞ )。 s+a
1 (3)已知F(s ) = , 求f (0 )、f (∞ )。 s+a 1 f (0 ) = lim s ⋅ F(s ) = lim s ⋅ =1 s+a s →∞ s →∞ 1 f (∞ ) = lim s ⋅ =0 s+a s →0