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【小升初培优专题】六年级下册数学-探索数学规律（解析版）一、知识点1、常见数列自然数列：1、2、3、4、5……奇数数列：1、3、5、7、9……偶数数列：2、4、6、8、10……等差数列：3、6、9、12、15……等比数列：1、2、4、8、16……质数数列：2、3、5、7、11……平方数列：1、4、9、16、25、36……兔子数列：1、1、2、3、5、8、13……2、数列规律相邻两数的和或差呈现某种规律复合数列：如奇数位呈现一种规律，偶数位呈现另一种规律3、图形规律固定图形—般规律：求和、求差、求积技巧：数字突然变大时多数是乘积变化图形点、线和面之间的递推规律4、分数规律分子与分母呈现单独的规律分子与分母合并后呈现规律 存在一定的周期性：分组5、数阵规律数字间的运算规律 数字间的排列规律二、学习目标1. 我能够积累数列、数阵中的常见规律与分析方法。
2. 我能够通过动手操作、观察等活动，掌握图形间变化的基本规律，并能运用这个规律合理推断下一个图形。
三、课前练习1. 把71化成小数，小数点后面第28位上的数是 ，第2021位上的数是 。
【解答】本题考查循环小数与周期问题，71＝••742851.0，28÷6＝4……4，第28位上的数是8；2021÷6＝336……5，第2021位上的数是5。
2. 根据规律将表格填写完整：【解答】数表的规律为第一列数字是后两列数字之和，填入19。
四、典型例题例题1 按规律填空：（1）1，3，6，11，18，29，（），59【解答】数列规律为∶相邻两数的差构成质数数列，填入42。
（2）31，54，89，1316，2125，（）【解答】该数列规律为：分子是平方数列，分母是兔子数列，结果为3436。
练习1 按规律填空：（1）5，6，19，33，60，（）， 169【解答】计算相邻两数的差为1、13、14、27，找到规律1＋13＝14，13＋14＝27，14＋27＝41，计算60＋41＝101，填入101。
数列与数表的规律知识点总结数列和数表作为数学中常见的概念，是研究数的排列规律的一种方法。
在数学中，数列是按照一定的规律排列的一组数，而数表则是数列的集合，它们在数学运算、数学模型以及解决实际问题中都有广泛的应用。
本文将总结数列与数表的规律知识点，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、等差数列与等差数表等差数列是指数列中相邻项之间的差值固定的数列，其中公差是指相邻项之间的差值。
等差数表也是类似的概念，只不过它是由多个等差数列组成的表格。
1. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n个项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n 项的和。
3. 等差数表的构成等差数表可以通过将等差数列依次排列得到，每一行都是一个等差数列，相邻行之间的公差相等。
二、等比数列与等比数表等比数列是指数列中相邻项之间的比值固定的数列，其中公比是指相邻项之间的比值。
等比数表也是类似的概念，只不过它是由多个等比数列组成的表格。
1. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n个项，a1表示首项，r表示公比。
2. 等比数列的前n项和公式等比数列的前n项和公式为：Sn = (a1 * (r^n - 1)) / (r - 1)，其中Sn表示前n项的和。
3. 等比数表的构成等比数表可以通过将等比数列依次排列得到，每一行都是一个等比数列，相邻行之间的公比相等。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一个特殊的数列，它的前两项是1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
1. 斐波那契数列的递推公式斐波那契数列的递推公式为：Fn = Fn-1 + Fn-2，其中Fn表示第n个斐波那契数。
2. 斐波那契数列的性质斐波那契数列具有许多有趣的性质，如黄金分割性质、逼近性质等，在数学和自然科学中有广泛的应用。
数列与数表的规律与应用知识点总结数列与数表是数学中常见的重要概念，它们有着广泛的应用。
在本文中，我将总结数列与数表的规律以及它们在实际问题中的应用知识点。
一、数列的规律与性质数列是按照一定的顺序排列的一系列数，其中每个数都称为项。
数列可以用函数的形式表达，例如：an = f(n)。
在数列中，常见的规律与性质包括等差数列、等比数列以及递归关系等。
1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
它的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1是首项，d是公差，n表示项数。
等差数列的性质包括：（1）第n项的求法：an = a1 + (n - 1)d（2）前n项和的求法：Sn = n/2 [2a1 + (n - 1)d]（3）任意两项之和等于相应等距离两侧项之和：ak + am = ak+1 + am-1 (k < m)2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
它的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比，n表示项数。
等比数列的性质包括：（1）第n项的求法：an = a1 * r^(n-1)（2）前n项和的求法：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，当0 < r < 1 或者r > 1（3）相邻两项之比相等：an/an-1 = r3. 递归关系递归关系是指数列中的每一项都依赖于前一项或多个前一项的关系，而不是通过通项公式直接计算。
递归关系的性质包括：（1）递归关系的转化：将递归关系转化为显式公式，以便求解数列中任意一项的值。
二、数表的规律与性质数表是一个由数字或数据排列形成的表格，在实际问题中经常出现。
它们可以是一维数表、二维数表或更高维度的数表。
1. 一维数表一维数表是指只有一行或一列的数表。
在一维数表中，常规的规律与性质包括：（1）累加：将数表中的数字进行累加，得到一个数值。
（2）平均值：计算数表中的数字的平均值。
数列与数表的规律总结知识点总结数列和数表是数学中常见的概念，在数学的学习中经常会涉及到它们的应用。
数列是一组按照一定规律排列的数的集合，可以是有限的也可以是无限的；而数表是由数列组成的表格形式。
在这篇文章中，我们将总结数列与数表的规律以及相关的知识点。
一、等差数列与等差数表等差数列是一种常见的数列，其中每一项与它前一项的差值都是相等的。
等差数表是由等差数列按一定规律排列而成的表格。
1. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项的表达式为：aₙ = a₁ + (n - 1) × d2. 等差数列的前n项和公式设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项的和为Sₙ，则有：Sₙ = (n/2) × (a₁ + aₙ)3. 等差数表的规律等差数表的每一行都是一个等差数列，而每一列的数之间也存在等差关系。
可以通过观察数表中每一行或每一列的数之间的关系，推导出其等差数列的通项公式和前n项和公式。
二、等比数列与等比数表等比数列是一种常见的数列，其中每一项与它前一项的比值都是相等的。
等比数表则是由等比数列按一定规律排列而成的表格。
1. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项的表达式为：aₙ = a₁ × q^(n - 1)2. 等比数列的前n项和公式设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项的和为Sₙ，则有：Sₙ = a₁ × (q^n - 1) / (q - 1)，(q ≠ 1)3. 等比数表的规律等比数表的每一行都是一个等比数列，而每一列的数之间也存在等比关系。
可以通过观察数表中每一行或每一列的数之间的关系，推导出其等比数列的通项公式和前n项和公式。
三、特殊数列与数表除了等差数列和等比数列，数列和数表还存在一些特殊的形式。
1. 斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前两项之和。
斐波那契数列的通项公式为：fₙ = fₙ₋₁ + fₙ₋₂，(n ≥ 3)2. 杨辉三角杨辉三角是一种特殊的数表，其中的每个数都是由上面的两个数相加而来。
第二讲数列与数表例1：有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项?例2：有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？例3：计算2+4+6+8+…+1990的和。
例4：计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990)例5：已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。
例6：小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。
这本书共有多少页？例7：建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。
例8：四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？A1.有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。
2.求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。
3.计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。
4.计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002)5.有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。
B6.一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?7.计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。
8.文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。
文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？9.李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。
这批零件共有多少个？10.有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?C11.一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。
一共有多少根圆木？12.用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒?13.有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。
小学数学课外拓展《数列与数表》试题部分1.如图，把正整数依次排列，那么70在第______行，第______列。
2.如图，把正整数依次排列，那么32在第_____行，第______列。
3.如图，把正整数依次排列，那么58在第_______行，第______列。
4.如图，把正整数依次排列，那么第6行第7列的数是_______。
5.如图，把正整数依次排列，那么第8行第6列的数是______。
7.如图，把正整数依次排列，那么第6行第3列的数是______。
8.如图，把正整数依次排列，那么第7行第4列的数是________。
10.如图，从一个格到相邻的格需要走1步，那么从第2行第3列走到第6行第5列需要走______步。
（只能横着走或竖着走，不能斜着走）11.如图，从一个格到相邻的格需要走100米，那么从第1行第2列走到第5行第5列需要走______米。
（只能横着走或竖着走，不能斜着走）行第3列需要走______米。
（只能横着走或竖着走，不能斜着走）13.如图，从一个格到相邻的格需要走1步，那么从第1行第1列走到43这个数所在的格需要走______步。
（只能横着走或竖着走，不能斜着走）14.如图，从一个格到相邻的格需要走1步，那么从第2行第3列走到50这个数所在的格需要走______步。
（只能横着走或竖着走，不能斜着走）数所在的格需要走_____步。
（只能横着走或竖着走，不能斜着走）16.如图，从一个格到相邻的格需要走1步，那么从9这个数所在的格走到52这个数所在的格需要走______步。
（只能横着走或竖着走，不能斜着走）17.如图，从一个格到相邻的格需要走1步，那么从12这个数所在的格走到45这个数所在的格需要走______步。
（只能横着走或竖着走，不能斜着走）这个数所在的格需要走______步。
（只能横着走或竖着走，不能斜着走）19.如图，在数表中放入一个十字架形的框，共圈住5个数，这五个数的和是______。
第二讲数列与数表1.等差数列：2.斐波那契数列：3.周期数列与周期：4.寻找数列的规律，通常有以下几种办法：1.逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。
2.在解题中应用数列相关知识。
例1：有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项?例2：有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？例3：计算2+4+6+8+…+1990的和。
例4：计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990)例5：已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。
例6：小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。
这本书共有多少页？例7：建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。
例8：四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？A1.有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。
2.求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。
3.计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。
4.计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002)5.有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。
B6.一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?7.计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。
8.文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。
文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？9.李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。
这批零件共有多少个？10.有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?C11.一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。
六年级奥数－数列与数表1.计算：（2+5+8+......+194）÷（4+7+ (196)2.一本600页的书，小明每天都比前一天多读一页，16天刚好读完这本书，那么他最后一天读了多少页？3.有一列数，前两个数分别是0和1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。
那么这个数列的第2005个数除以8所得的余数是多少？4.把自然数按照下列规则排列，那么2008应该排在左起第几列？1 2 3 4 59 8 7 610 11 12 1317 16 15 1418 19 20 2125 24 23 2226 27 28 29…… ……5.观察下面的一列有规律的算式：5+3，7+6，9+9，11+12，……则按照规律第2008个算式的结果应该是多少？六年级奥数－数列与数表答案1.解析：2，5，8，……，194是以3为公差的等差数列，共有（194-2）÷3+1=64项，则2+5+8+……+194=（2+194）×64÷2=98×64。
4，7，10，……，196中每一项都比上面的等差数列中每一项多2，因此4+7+10+……+196=98×64+2×64=100×64。
因此原式=98÷100=0.98。
2.解析：设小明最后一天读了x页，则第一天读了x-15页，由题意可得方程：（x-15+x）×16÷2=600，解得，x=45。
3.解析：这串除以8所得的余数依次是：0，1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，1，1，2，……。
余数数列从第1个开始，以0、1、1、2、3、5、0、5、5、2、7、1这12个数为一组依次循环出现的，又2008=12×167+4，所以第2008个数除以8所得的余数与第4个余数相同，即为2。
4.解析：观察数列可知，除了前5个数之外，后面的数以8为周期，由2008=8×250=8+8×249，所以2008与8在同一列，即2008在左边第2列。
第03讲数列和数表（上）教学目标：1、了解事物的周期性，发现周期，利用周期求解；2、通过数列和数表知识的运用，解决实际相关问题；3、培养学员制作数表的技能，为变身小小CEO做准备。
教学重点：了解事物的周期性，发现周期，利用周期求解。
教学难点：通过数列和数表知识的运用，解决实际相关问题。
教学过程：【知识拓展】例1、对于数列进行求和：1+4+5+8+9+12+……+97+100=？解析部分：第一步：引导学员对于此题的这个数列求和算式结构进行观察分析，鼓励学员进行更多的尝试性的计算操作，对于这个数列求和算式结构有初步的认识理解；第二步：观察到题目中给出的一些条件数据，可以有“首先把数列进行两部分的拆分，得到1+4+5+8+9+12+……+97+100=（1+5+9+……+97）+（4+8+12+……+100），然后对其进行逐一配对，可以有（97-1）÷4＋1=25，（100-4）÷4＋1=25，则有求和=（1+97）×25÷2+（4+100）×25÷2=2525，即为所求”第三步：导学员对于此题的求解过程进行回顾，对于数列分组过程和配对求和过程进行回顾总结，加深学员对于几步运算步骤的认识理解。
参考答案：1+4+5+8+9+12+……+97+100=（1+5+9+……+97）+（4+8+12+……+100）=2525 例2、将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，请问66在第几行、第几列？参考答案：根据周期是10，则有66÷10=6……6，则在第2×6+1+1=14行，第5列。
【阶段复习】练习1、数列2、5、6、9、10、13……502、505，它的项数是多少？参考答案：进行分组，2、6、10、......、502和5、9、13、 (505)则项数=（502-2）÷4＋1+（505-5）÷4＋1=252练习2、请计算：3+6+7+8+11+12+13+16+17+……+113+116+117=？参考答案：3+6+7+8+11+12+13+16+17+……+113+116+117=（3+8+13+……+113）+（6+11+16+……+116）+（7+12+17+……+117）=1334+1403+1426=4163 练习3、将偶数2、4、6、8、…按下图中格式排列，那么2015出现在表格中第几行第几列？参考答案：根据周期是16，则2014÷16=125……14，出现在第125×2+2=252行，第4列【课堂总结】关于数列和数表：1、等差数列的项数计算：（末项-首项）÷公差+1；2、等差数列的求和计算：（首项+末项）×项数÷2；3、数表规律的寻找，首先找出其周期规律，然后根据周期规律进行求解。
第四讲数列与数表（下）1、巩固数列和数表的解题思路,复习前一讲内容；2、进一步体会数学知识在生活中的应用,初步掌握解决生活实际问题的一些方法；3、在对数列数表的学习中,让学员体会到数学的规律性,提高学生对数学学习的兴趣.找规律是解决数学问题的一种手段,而规律的找寻需要敏锐的观察力,又需要严密的逻辑理解能力.在一般情况下,我们可以从以下几个方面找数列或数表的规律.1、根据每相邻几个或相隔几个数之间的关系,找出规律,推断所要填的数.2、从整体上把握数据之间的关系,从而很快找出规律.3、对于那些分布在某些数表中的数,它们之间的变化规律往往与这些数在数表中的特殊位置有关,这有时会是解答的关键.诚然,找数列与数表的规律,没有一成不变的方法,需要综合运用知识,一种不行,及时调整思路,换一种方法再分析.请记住：找到的规律,一定要适合数组中的所有数或所有算式,才能真正成为这题的“规律”,只要有一个不行,这就不成为该题的“规律”.一串数排成一行,它们的规律是这样的：头两个数都是1,从第三个数开始,每一个数都是前两个数的和,也就是：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…．问：这串数的前100个数中有多少个偶数？【解析】注意观察不难发现每3个数中有1个偶数,这个规律不难解释,因为第一、二个数均是奇数,而每个数都是前两个数的和,所以第三个数为偶数,则第四个数为奇数,….100÷3＝33……1.解答：这串数的前100个数中有33个偶数.如图：将从5开始的连续自然数按规律排列填入数表中,请问： （1）123应该排在第几列？ （2）第2行第20列的数是多少？【解析】解答：（1）（123－4）÷5＝23……4,所以123在第24列.（2）第2行第20列的数是19×5＋2＋4＝101.第1列第2列 第3列 ... 5 10 15 ... 6 11 16 ... 7 12 17 ... 8 13 18 (9)1419…讲演者： 得分：讲演者： 得分：70个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：0,1,3,8,21,……,问最右边一个数被6除余几？【解析】观察这些数为0,1,3,8,2l,55,144,377,……,这些数除以6的余数依次为0,1,3,2,3,1,O,5,3,4,3,5,0,1, 3,……,即每12个数一循环,70÷12＝5……lO,即为4.解答：最右边一个数被6除余4.有一串数如下：1,2,4,7,11,16,…….它的规律是：由1开始,加1,加2加3,……,依次逐个产生这串数,直到第50个数为止.那么在这50个数中,被3除余l的数有多少个？【解析】这串数除以3的余数列,与由1开始依次加1,2,0,1,2,0,1,…,所得数串除以3的余数列相同,为1,2,1,1,2,l,1,2,1,…,是以1,2,1三个数为周期的数串.也就是说从第1个数开始,每3个数中有2个数被3除余1.有50÷3＝16……2,16×2＋1＝33.解答：所以有33个数被3除余1.如图,有一个边长为1米的下三角形,在每条边上从顶点开始,每隔2厘米取一个点,然后以这些点为端点,作平行线将大正三角形分割成许多边长为2厘米的小正三角形.求（1）边长为2厘米的小正三角形的个数；（2）所作平行线段的总长度.【解析】（1）从上数到下,共有100÷2＝50行, 第一行1个,第二行3个,第三行5个,……,最后一行99个, 所以共有（1＋99）×50÷2＝2500个；（2）所作平行线段有3个方向,而且相同, 水平方向共作了49条, 第一条2厘米,第二条4厘米,第三条6厘米,……, 最后一条98厘米, 所以共长（2＋98）×49÷2×3＝7350厘米.解答：（1）2500个；（2）7350厘米.如图表中数的排列顺序.请问2015在第几行第几列？第1列第2列第3列第4列第5列……第1行 1 2 5 10 17 ……第2行 4 3 6 11 18 ……第3行9 8 7 12 19 ……第4行16 15 14 13 20 ……第5行25 24 23 22 21 …………………………………………【解析】观察数列,第1列的数字规律是第1行是1×1,第2行是2×2,第3行是3×3,以此类推.44×44＝1936,45×45＝2025.解答：2015在第45行11列.如图,把从1开始的自然数按某种方式排列起来.请问：（1）200排在第几行第几列？ （2）第18行第22列的数是多少？【解析】观察数列：这些自然数按照从右上到左下斜线排列.每条斜线上出现的数的个数依次为：1个,2个,3个,…,我们可以总结出：某个数所在的行数＋列数＝斜线数＋1.（1）1＋2＋……＋19＝190,1＋2＋……＋20＝210,因此200位于第20条斜线上,并且是第10个数.所以200位于第10行,第11列.（2）第18行第22列的数一定位于第39条斜线上,而行数恰好是它在这条斜线上的第几个.所以第18行第22列的数是1＋2＋……＋38＋18＝759.解答：（1）200位于第10行,第11列；（2）第18行第22列的数是759.中国古代的几年方法角“干支纪年”,是在“十天干”和“十二地支”的基础上建立起来的. 天干共十个,其排列顺序为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支共十二个,其排列顺序为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.以一个天干和一个地支相配,天干在前,地支在后,每对干支表示一年.在干支纪年中,每六十年纪念方式循环一次.公元纪年则是国际通行的纪念方式.图是1911年到1926年得公园纪年与干支纪年的对照表.请问：（1）中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元1911年,是干支纪年的辛亥年,公元2049年是干支纪年的什么年？（2）21世纪的甲子年是公元纪年的哪一年？（3）“戊戌变法”发生在19世纪末的戊戌年,这一年是公元纪年的哪一年？ 公元纪年 1911 1912 1913 1914 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921 1922 1923 1924 1925 1926天干 辛 壬 癸 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 地支亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅12 4 7 11 16 …3 5 8 12 17 6 9 13 … 10 14 … 15 … …【解析】解答：（1）己巳年；（2）2044年；（3）1898年.一串数排成一行,它们的规律是这样的：头两个数都是1,从第三个数开始,每一个数都是前两个数的和,也就是：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……,问：这串数的前100个数中有多少个偶数？【解析】注意观察不难发现每3个数中有1个偶数,这个规律不难解释,因为第一、二个数均是奇数,而每个数都是前两个数的和,所以第三个数为偶数,则第四个数为奇数,…….100÷3＝33……1.解答：这串数的前100个数中有33个偶数.如图,从4开始的自然数是按某种规律排列的.请问： （1）100在第几行第几列？ （2）第5行第20列的数是多少？【解析】解答：（1）100在第1行第25列；（2）第5行第20列的数是81.如图,把偶数2,4,6,8…排成5列,各列从左到右一次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列.请问：411 12 19 20 ... 5 13 ... 6 10 14 18 ... 7 15 (8)91617…2468（1）100在第几行第几列？ （2）第20行第2列的数是多少？【解析】解答：（1）100在第15行第2列；（2）第20行第2列的数是138.将学员分为两组,做猜谜语的游戏,一组出题,另一组回答,轮流进行.同学们有很多这样的题目,谨举两例,抛砖引玉.身体足有丈二高,瘦长身节不长毛,下身穿条绿绸裤,头戴珍珠红绒帽.(打一植物) 【谜底】高粱麻布衣裳白夹里,大红衬衫裹身体,白白胖胖一身油,建设国家出力气.(打一植物) 【谜底】花生这种训练,对数学审题和逻辑思维能力的培养非常有效.14 12 10 16 18 20 22 28 26 24 … … …。
【精品】数列与数表综合数列按一定次序排列的一列数就叫做数列；数列中每个数都叫做这个数列的项，其中的第一个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，第n个数称为第n项。
根据数列中项的个数分类，把项数有限的数列(即有有穷多个项的数列)称为有穷数列；把项数无限的数列(即有无穷多个数的数列)称为无穷数列。
研究数列的目的是为了发现其中的内在规律，以作为解决问题的依据。
【诀窍】1．比较简单的数列，一般从相邻两数的和差积商中找规律，稍复杂的数列，要全方位入手，把数列合理地拆分成为几部分，分别考察，还要把每个数与项数之间联系起来考虑。
2．图形中的数在图形中所处的位置，往往与它们之间的变化规律有关，需要仔细进行分析，才能找到规律；3．由若干数组组成的数列，要分别找出数组中各位商数的规律，然后再按题目要求求解。
【注意】通过观察数表中的已知数据，发现规律并进行补填与计算的问题．这里要注意数表结构的差异，它们通常是按行、按列、沿斜线或螺旋线逐步形成的．涉及小数的，或与其他方面知识相综合的数列问题。
例1求和：1＋3＋5＋7＋9＋……2011＝_____。
1＋2＋4＋8＋……＋263＝_____。
例2下表一共有六行七列，第一行与第一列上的数都已填好，其他位置上的每个数都是它所在行的第一列上的数与所在列的第一行上的数的积，如A格应填的数是10×13＝130，求表中除第一行和第一列外其它各个格上的数之和？0911*******8121410 A16从1开始的自然数按下图所示的规则排列，并用一个平行四边形框出九个数，能否使这九个数的和等于①1993；②1143；③1989若能办到，请写出平行四边形框内的最大数和最小数；若不能办到，说明理由。
将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圈，第2个图形中有10个小圈，第3个图形中有16个小圈，第4个图形中有24个小圈，…，依此规律，第6个图形有___________个小圈。
第三讲数列与数表（上）1、了解数列和数表的周期性,发现周期,利用周期求解；2、感受数学知识在生活中的应用,认识到熟练掌握数学知识可以高效简便地解决生活实际问题的作用；3、在对数列数表的学习中,让学员体会到数学的规律性,提高学生对数学学习的兴趣。
找规律是解决数学问题的一种手段,而规律的找寻需要敏锐的观察力,又需要严密的逻辑理解能力。
在一般情况下,我们可以从以下几个方面找数列或数表的规律。
1、根据每相邻几个或相隔几个数之间的关系,找出规律,推断所要填的数。
2、从整体上把握数据之间的关系,从而很快找出规律。
3、对于那些分布在某些数表中的数,它们之间的变化规律往往与这些数在数表中的特殊位置有关,这有时会是解答的关键。
将从1到60的60个自然数排成一行,成为111位自然数,即 12345678910111213…5960。
在这111个数字中划去100个数字,余下数字的排列顺序不变,那么剩下的11位数最小可能是多少？【解析】为了使剩下的数尽可能小,那么除留下第一个1外,后面应尽可能多的留下0,1~60共有6个0,并且有一个是在最后,所以,第一个1后面只能留下5个0,也就是说,到50为止,前面除第一个1外只留下0,这时便成10000051525354555657585960；除了第一个1和6个0外,还要留下4个数,不难看出,应该留下51525354中的1234。
解答：剩下的11位数最小可能是10000012340。
把自然数从1开始,排列成如图所示的三角阵：第1列为1,；第2列为2,3,4；第3列为5,6,7,8,9；……,每一列比前一列多排两个数,依次排下去,“以1开头的行”是这个三角阵的对称轴。
在以1开头的行中,第204个数除以7的余数是多少？【解析】根据题意可以看出此题要先求出末项,即：1＋2＋4＋6＋……＋2×（204－1）＝41413,再用41413÷7＝5916……1。
解答：第204个数除以7的余数是1。
PD 第08讲数列和数表（下）教学目标：1、通过数表问题处理求解，提升学员对于基础数表的填写能力；2、通过数表知识的运用，解决难度逐级递增的相关应用实际问题；3、在对数表的学习中，让学员体会到数学的规律性，进一步提高学员对数学学习的兴趣。
教学重点：通过数表问题处理求解，提升学员对于基础数表的填写能力。
教学难点：通过数表知识的运用，解决难度逐级递增的相关应用实际问题。
教学过程：【环节一：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】（参考时间-2分钟）数列问题的相关特点：1、从数列的具体结构分布出发，找出数列的相应规律；2、根据数列的相应规律对题中要求的数值进行对应计算；3、对于所求出的数列数值进行准确而迅速的检查和验证。
【知识回顾——上期巩固】（参考时间-3分钟）有一堆粗细均匀的圆木，最上面有4根，每一层都比上一层多1根，最下层有33根。
这堆圆木共有几层？一共有多少根？解析部分：此题是等差数列为基础的数列求和问题，针对具体数据特点进行数列的求和。
给予新学员的建议：强调对于题中的各条件的关联进行分析理解，能够正确的做出判断。
哈佛案例教学法：鼓励学员积极地进行课堂发言，调动起整个课堂的积极活跃的气氛和氛围。
参考答案：（33-4）÷1+1=30（层）（4+33）×30÷2=555（根）答：这堆圆木共有30层，一共有555根。
【预习题分析——本期预习】（参考时间-7分钟）将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，请问66在第几行、第几列？解析部分：此题是一道数表问题，对于题中所给数表的具体结构特点进行认真分析然后求解。
给予新学员的建议：需要对于题意进行深入有针对的分析理解，进行准确而迅速的操作。
哈佛案例教学法：鼓励学员积极参与小组内的讨论，并积极进行相应的课堂发言。
参考答案：根据周期是10，则有66÷10=6……6，则在第2×6+1+1=14行，第5列。
【环节二：知识拓展、能力提升】【知识点分析——本期知识点】（参考时间-2分钟）数表问题的相关特点：1、找出题中所给数表的具体规律特点和特征；2、根据规律进行题中所要求数值的相关计算；3、对于计算出来的结果进行相应的检查验证。
第二讲数列与数表1.等差数列：若干个数排成一列,称为数列。
数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。
计算等差数列的相关公式:通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。
某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
2.斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34…这个以1，1分别为第1项、第2项，以后各项都等于前两项之和的无穷数列，就是斐波那契数列。
3.周期数列与周期：从某一项开始，重复出现同一段数的数列称为周期数列，其重复出现的这一段数的个数则称为此数列的周期。
例如： 8，1，2，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6……这是一个周期数列，周期为6。
4.寻找数列的规律，通常有以下几种办法：1寻找各项与项数间的关系。
2考虑此项与它前一项之间的关系。
3考虑此项与它前两项之间的关系。
4数列本身要与其他数列对比才能发现其规律，这类情形稍微复杂些。
5有时可以将数列的项恰当分组以寻求规律。
（“分组”是难点）6常常需要根据题中的已知条件求出数列的若干项之后，找到周期，探求规律。
1.逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。
2.在解题中应用数列相关知识。
第二讲数列与数表
例1：有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项?
例2：有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？
例3：计算2+4+6+8+…+1990的和。
例4：计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990)
例5：已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。
例6：小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。
这本书共有多少页？
例7：建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。
例8：四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？
A
1.有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。
2.求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。
3.计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。
4.计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002)
5.有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。
B
6.一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?
7.计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。
8.文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。
文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？
9.李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。
这批零件共有多少个？
10.有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?
C
11.一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。
一共有多少根圆木？
12.用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒?
13.有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了?
14.学校进行书法大赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。
如果有16人参加比赛，一共要进行多少场比赛？
15.在一次元旦晚会上，一共有48位同学和5位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。
那么一共握了多少次手？
1.有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项?
2.求等差数列2,5,8,11,…的第100项。
3.计算5+10+15+20+⋯ +190+195+200的和。
4.有一列数是这样排列的:2,11,20,29,38,47,56,…,求785是第几个数。
5.计算(2+4+6+...+100)-(1+3+5+ (99)
1.在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?
2.计算100+99+98+…+61+60的和
3.在等差数列6,13,20,27,…中,从左到右数第几个数是1994?
4.小李读一本短篇小说，她第一天读了20页这个等差数列共有多少项?
5.用相同的小立方体摆成如图所示的形状,如果共摆成10层,那么最下面有多少个小立方体?
6.一辆公共汽车有66个座位,空车出发后,第一站上一位乘客,第二站上两位乘客,第三站上三位乘客,依次类推,第几站后,车上坐满乘客?
7.一次朋友聚会，大家见面时总共握手28次。
如果参加聚会的人和其余的每个人只握手一次，问参加聚会的共有多少人？
8.有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?。
