孪生素数筛法

孪生素数猜想1849年，波林那克提出孪生素数猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生素数。

孪生素数即相差2的一对素数。

例如3和5 ，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孪生素数。

孪生素数是有限个还是有无穷多个?这是一个至今都未解决的数学难题.一直吸引着众多的数学家孜孜以求地钻研.早在20世纪初,德国数学家兰道就推测孪生素数有无穷多.许多迹象也越来越支持这个猜想.最先想到的方法是使用欧拉在证明素数有无穷多个所采取的方法.设所有的素数的倒数和为:s=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+...如果素数是有限个,那么这个倒数和自然是有限数.但是欧拉证明了这个和是发散的,即是无穷大.由此说明素数有无穷多个.1919年,挪威数学家布隆仿照欧拉的方法,求所有孪生素数的倒数和:b=(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+...如果也能证明这个和比任何数都大,就证明了孪生素数有无穷多个了.这个想法很好,可是事实却违背了布隆的意愿.他证明了这个倒数和是一个有限数,现在这个常数就被称为布隆常数:b=1.90216054...布隆还发现,对于任何一个给定的整数m,都可以找到m个相邻素数,其中没有一个孪生素数.1966年，中国数学家陈景润在这方面得到最好的结果：存在无穷多个素数p，使p+2是不超过两个素数之积。

若用p(x)表示小于x的孪生素数对的个数.下表是1011以下的孪生素数分布情况:x p(x)1000 3510000 205100000 12241000000 816910000000 58980100000000 4403121000000000 342450610000000000 27412679100000000000 224376048迄今为止在证明孪生素数猜想上的成果大体可以分为两类。

第一类是非估算性的结果，这一方面迄今最好的结果是一九六六年由已故的我国数学家陈景润(顺便说一下，美国数学学会在介绍Goldston 和Yildirim 成果的简报中提到陈景润时所用的称呼是“伟大的中国数学家陈”) 利用筛法(sieve method) 所取得的。

数字谣郭占祥记住下面的《数字谣》可知什么称自然数、素数、孪生素数、孪生数、哥德巴赫数等。

如何次次筛出未知素数、孪生素数；怎样进行奇素数相加得到大于6的偶数、大于9的奇数。

一、自然数自然事物有多少？123N来代表。

二、素数小数倍数我不是，倍数系里我最小。

三、孪生素数妹是奇素姐奇素，姐妹差2双素数。

四、素数无限知素倍数全筛掉，剩余素数我最小。

五、双素无限知素孪数都筛去，剩下双素筛不掉。

六、哥德猜想奇素单加得偶数，超6全是二素加。

奇素双加得奇数，超9全是三素加。

非1数字素数积，亦是素数和相交。

解素何需密度式，整除数论最为高。

数字谣释义：自然事物有多少呢？用1,2,3,…,n,n+1,…自然数来表达。

我不是小于我的数的倍数，一个素数倍数系里我是最小的数──素数。

两个相差为2的奇素数是孪生素数。

除了3的奇数倍数以外，其余两个相差为2的奇数，称孪生数。

把含有不大于孪生素数的奇素数倍数的孪生数都筛去，孪生数列上剩余的最小孪生数一定是未知孪生素数。

每一个奇素数与奇素数序列上等于大于自己的奇素数单加一次会得大于6的偶数；再加一次会得到大于9的奇数。

因此大于6的偶数都是两个奇素数相加的结果；大于9的奇数都是三个奇素数相加的结果。

非1自然数都是素数相乘的积，根据乘数和加数的关系，其也是素数相加的和。

解决素命题不需用“密度公式”，只要学好“素数倍数系”就足够了，要把整除数论摆在最高位置，弃简就繁能彻底解决相关素数问题。

当量子计算机和筛法编程诞生后，“充分大奇数、充分大偶数”就没有任何意义了！最后欢迎读者修改《数字谣》写到“评议”里。

谢谢！。

孪生素数猜想孪生素数是指相差为2的一对素数。

例如，（3，5）、（11，13）和（17，19）都是孪生素数对。

孪生素数猜想是指存在无穷多个孪生素数对的假设。

这个猜想是数论领域的一个重要问题，其解决与否一直备受数学界的关注。

在介绍孪生素数猜想之前，我们先了解一下素数。

素数是只能被1和自身整除的正整数。

例如，2、3、5、7、11、13等都是素数，而4、6、8、9等则不是素数。

素数的分布一直是数论中一个重要的研究方向。

孪生素数猜想的历史可以追溯到18世纪。

法国数学家朗勃朗-皮埃尔·贝努利在1742年的一封信中首次提出了这个猜想。

他认为存在无穷多对形如（p，p+2）的孪生素数。

这个猜想引起了众多数学家的兴趣，并成为数论中一个备受关注的问题。

然而，数学界至今尚未成功证明孪生素数猜想。

尽管在解决素数问题方面取得了重要的进展，但证明孪生素数猜想仍然是一个巨大的挑战。

当前的研究基本上可以证实孪生素数猜想在某些范围内是成立的，但无法给出完整的证明。

在过去几十年中，数学家们通过使用先进的计算机技术和数论方法，对孪生素数猜想进行了大量的研究。

一些重要的数论工具，如素数谐振子方法、亏格筛法等，被用于分析素数的分布规律，给出了孪生素数猜想的一些可行性结果。

虽然孪生素数猜想尚未被证明，但众多数学家们认为这个猜想是成立的。

各种证据表明，孪生素数的分布呈现出一定的规律性。

例如，根据数论领域的研究，人们已经证明了存在无穷多对形如（p，p+2m）的素数对，其中p和m满足特定的条件。

这些结果为孪生素数猜想提供了一定的支持。

除了孪生素数猜想，相似的问题还有孪生素数三元组猜想和孪生素数四元组猜想。

孪生素数三元组猜想是指存在无穷多个形如（p，p+2，p+6）的素数三元组，而孪生素数四元组猜想则是指存在无穷多个形如（p，p+2，p+6，p+8）的素数四元组。

这些猜想与孪生素数猜想有着密切的联系，并且一直在数论领域中被广泛研究。

为了解决孪生素数猜想以及其他相关问题，数学家们需要进一步改进数论的理论和方法。

默默无闻的数学家张益唐攻破了素数难题默默无闻的数学家张益唐攻破了素数难题默默无闻的数学家攻破了素数难题2019年4月17号，一篇论文投稿到数学领域最富盛名的期刊之一《数学年刊》。

论文的作者是一位来自新罕布什尔大学的在该领域名不经传的讲师，年逾50的学者张益唐。

这篇论文声称朝着解决数学史上最古老的问题—孪生素数问题前进了一大步。

那些著名数学期刊的编辑早已习惯面对那些不知名的作者夸大其词的论断。

不过这篇论文却与众不同，因为这显然是一份深思熟虑的证明：语言清晰严密并且使用了该问题最前沿的方法。

数学年刊的编辑决定对其做有限处理。

仅仅三周时间，相对于数学期刊通常的审稿节奏也就是一眨眼的功夫，张就收到了他的论文的审稿意见。

其中一个审稿人写到：“主要结果都是一流的”。

论文的作者证明了“关于素数分布的里程碑式的定理”。

一项巨大进展被一个之前默默无闻的研究者发现了，这个传闻在数学家里迅速传播开来。

张益唐在1992获得博士学位之后，其学术才能就一直被人忽视。

他找不到学术界的工作，当过几年会计，甚至在Subway干过。

蒙特利尔大学的数论专家Andrew Granville教授说：“事实上，根本没人认识他。

但突然之间，他就证明了数论史上重要的结果之一”。

2.3倍。

比如在100位的数中，两个素数的平均间隔大约是230。

但这只是就平均而言的结果。

素数经常比平均预计的结果更加紧密或稀疏的出现。

特别是孪生素数经常会突然出现，比如：3和5，11和13，他们的差仅为2。

而在大数中，孪生素数似乎从没有彻底消失（目前发现的最大的孪生素数是3756801695685×2^666669-1和3756801695685×2^666669 + 1）。

数百年来，数学家一直假设存在无穷多对孪生素数。

1849年，法国数学家Alphonse de Polignac扩展了这个猜想，提出不仅仅是2，对于任意有限的间隔都存在着无穷多组素数对。

孪生素数有无穷多对的简单证明大于1的正整数，如果仅有1和自身两个因子，则称它为素数，否则为合数，以pn表示第n个素数，例如，p1=2，p2=3，p3=5……p168=997，…。

令dn=pn+1-pn，则d1=1，d2=2…。

人们自然地提出一个问题，是不是有无穷多个dn=2？这是一个尚未解决的问题。

1、序号筛法eratosthenes筛法即为取值一个正整数x，把不能少于x的一切正整数按大小关系排列成一串，1，2，3，4，5，……x，记px就是不大于x的最小素数，从上述数串中，首先抛掉1，然后逐项的抛掉。

2+2n3+3n5+5n……（n=1，2，3，4……）最后该数串留下的数都是素数，显然对任何给定的正整数串，用上面的方法，也可以找出其中的素数。

而令大写字母则表示子集，n则表示自然数子集，p则表示所有素数的子集，p1则表示从p中换成2，3，后的子集，即p1={5，7，11，13，17，19……}对任何p∈p1，p的型式不为6k-1，就为6l+1，其中k，l为某个整数，对任何p∈p1，导入一个关联的并存数，q，使|p-q|=2，我们何不签订合同，2221/2若p=6k-1，取q=6k+1，若p=6k+1，取q=6k-1，q可以是素数，也可以合数。

比如：p=5，7，11，13，17，19，23，29，31……q=7，5，13，11，19，17，25，31，29…令n0={0}un={0。

1，2，3，4，5……}，对任何p∈p1记2似乎（p-1）/6和（pq+1）/6都就是整数，lp、sp、l及s都就是n的子集，n与l、n与s的差集分别直和为。

定理1，若a∈lp，则6a-1为合数，若b∈sp，则6b-1为合数。

证明：对任何p∈p1，若a∈lp，则存有一个n∈n0。

使a=(p-1)/6+np；若n∈sp，则存有一个m∈n0，使b=(pq+1)/6+mp，由此存有等式6a+1=p（p+6n）及6b-1=p（q+6m）为合数。

孪生素数要介绍孪生素数，首先当然要说一说素数这个概念。

素数是除了1 和它本身之外没有其它因子的自然数。

素数是数论中最纯粹、最令人着迷的概念。

除了 2 之外，所有素数都是奇数(因为否则的话除了 1 和它本身之外还有一个因子2，从而不满足素数的定义)，因此很明显大于2 的两个相邻素数之间的最小可能间隔是2。

所谓孪生素数指的就是这种间隔为2 的相邻素数，它们之间的距离已经近得不能再近了，就象孪生兄弟一样。

最小的孪生素数是(3, 5)，在100 以内的孪生素数还有(5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61) 和(71,73)，总计有8组。

但是随着数字的增大，孪生素数的分布变得越来越稀疏，寻找孪生素数也变得越来越困难。

那么会不会在超过某个界限之后就再也不存在孪生素数了呢？我们知道，素数本身的分布也是随着数字的增大而越来越稀疏，不过幸运的是早在古希腊时代，Euclid 就证明了素数有无穷多个(否则今天许多数论学家就得另谋生路)。

长期以来人们猜测孪生素数也有无穷多组，这就是与Goldbach猜想齐名、集令人惊异的简单表述和令人惊异的复杂证明于一身的著名猜想- 孪生素数猜想：孪生素数猜想：存在无穷多个素数p, 使得p+2 也是素数。

究竟谁最早明确提出这一猜想我没有考证过，但是一八四九年法国数学Alphonse de Polignac 提出猜想：对于任何偶数2k,存在无穷多组以2k 为间隔的素数。

对于k=1，这就是孪生素数猜想，因此人们有时把Alphonse de Polignac作为孪生素数猜想的提出者。

不同的k 对应的素数对的命名也很有趣，k=1 我们已经知道叫做孪生素数，k=2 (即间隔为4) 的素数对被称为cousin prime (比twin 远一点)，而k=3 (即间隔为6) 的素数对竟然被称为sexy prime (这回该相信“书中自有颜如玉”了)！不过别想歪了，之所以称为sexy prime 其实是因为sex 正好是拉丁文中的6。

双筛法的两种类型及其性质摘要：一组筛元素：（1）从一个等差数列的两个端点，同时实施顺筛和逆筛，称为双筛；（2）从两个“等公差数列”的始端元素，同时向末端元素施筛，也称为双筛。

由于两种筛法类型的操作方式不同，施筛对象不同，筛后剩余的元素也不尽相同。

施筛的作用和筛后的结果，意义也必然不同。

本文对此予以解析。

关键词：双筛法，类型，性质一，概念，定义，符号1，素数序列：p1=2，p2=3，p3=5，⋯；2，偶数N e≥6。

3，筛元素p：小于√N e的素数。

4，公差d 相同，项数也相同的两个等差数列，称为并行等公差数列。

例：A: a0，a1，a2，⋯，a n=a0+ndB: b0，b1，b2，⋯，b n=b0+nd用符号A||B表示并行等公差数列。

5，r2(N e)：偶数N e表为两个奇素数之和的1+1表法个数。

6，r2(√N e，N e−√N e)：偶数N e在区间(√N e，N e−√N e)上的1+1表法个数.7，R2(N e)；不超过N e的孪生素数个数。

8，R2(√N e，N e)：区间(√N e，N e)上的孪生素数个数。

二，双筛法的两种类型及性质1，逆向双筛法：在区间（0，N e）上，依次同时划去自然数数列0，1，2，⋯，N e 中，筛元素p的倍数mp，和关于N e对称分布的自然数N e−mp的方法，称为2逆向双筛法。

性质：（1）逆向双筛法是对称筛法。

对称（2）对自然数数列0，1，2，⋯，N e实施逆向双筛后，剩余的元素关于N e2分布。

（3）对自然数数列0，1，2，⋯，N e实施逆向双筛后，剩余的元素都是素数（自然数1除外）。

（4）当N e−1是素数时，对自然数数列0，1，2，⋯，N e实施逆向双筛后，剩余的元素中，包含自然数1，(N e−1)两个元素。

反之不然。

（5）当N e2是素数时，对自然数数列0，1，2，⋯，N e实施逆向双筛后，剩余的元素中，包含元素N e2。

反之不然。

（6）对自然数数列0，1，2，⋯，N e实施逆向双筛后，剩余的元素全位于区间（√N e，N e−√N e）内（自然数1，N e−1除外）。

关于孪生素数猜想的一个证明
孪生素数猜想（Twin Prime Conjecture）：任意两个连续的大于2的素数，必有一对孪生素数。

思路：
一、利用费马小定理证明
费马小定理：当p是素数时，对于所有正整数a，都有a的p次方与a减去1的商等于1(mod p)。

证：考虑任意两个素数p1和p2，p2=p1+2，设a=2，那么在p1和p2上面都有a的p次方与a减去1=1的商等于1（mod p1）和1（mod p2），即：
p1|2p1-1
p2|2p2-1
同时，2p1-1和2p2-1刚好满足2p2-2p1=2，由于p1和p2是素数，交换取整律有：
2|2p2-2p1
而满足上述等式的唯一解即为p1和p2之和为2。

故证明孪生素数猜想成立。

二、利用数论的方式证明
任意大于2的偶数都可以表示为一对素数之和，即：2n = p1 + p2，其中p1和p2均为素数。

关于这一对素数，存在以下情况：
1、p2 = p1 + 2（孪生素数）
2、p1和p2无任何关系（非孪生素数）
由此可以推出，只要2n=p1+p2成立，那么p1和p2之间必然存在孪生素数对。

故证明孪生素数猜想成立。

孪生素数的已证明最小间隔1. 引言孪生素数是指相差为2的两个素数，例如(3, 5), (11, 13), (17, 19)等。

孪生素数问题一直以来都吸引着数学家们的兴趣。

其中一个重要的研究方向是确定孪生素数之间的最小间隔。

本文将介绍已经证明的最小间隔，并讨论相关的研究成果和方法。

2. 已证明的最小间隔在过去几十年里，数学家们通过不断努力，已经证明了一些最小间隔。

2.1 最小间隔为6早在18世纪末，法国数学家Legendre就证明了存在无穷多对相差为6的孪生素数。

这个结果被称为Legendre猜想，并被后来的Erdős改进和推广。

2.2 最小间隔为161974年，美国数学家Helfgott通过计算机程序验证了存在无穷多对相差为16的孪生素数。

这一发现引起了广泛关注，并激发了更多研究。

2.3 最小间隔为70万亿2013年，由于技术和计算能力的进步，一支由Yitang Zhang领导的研究团队证明了存在无穷多对相差为70万亿的孪生素数。

这个突破性的结果震惊了整个数学界，被誉为“孪生素数间隔领域的重大突破”。

2.4 最小间隔为2462014年，由于前述成果的鼓舞和启发，由Tao和Maynard等人组成的合作团队证明了存在无穷多对相差为246的孪生素数。

这一结果进一步推动了孪生素数间隔研究的发展。

3. 研究方法和思路为了证明最小间隔问题，数学家们采用了不同的方法和思路。

3.1 基于筛法筛法是一种常见且有效的寻找素数的方法。

通过排除所有非素数，可以得到一系列素数。

在寻找孪生素数时，数学家们结合筛法来确定最小间隔。

3.2 基于整除性质另一个常用的方法是利用整除性质来推导最小间隔。

通过分析素数与其相邻数字之间可能存在的整除关系，可以得出最小间隔。

3.3 基于数论方法数论是研究整数性质的一个分支，对于最小间隔问题的研究也起到了重要作用。

数学家们运用数论中的定理和方法，通过分析素数的性质和规律来推导最小间隔。

4. 研究进展和展望孪生素数间隔问题是一个复杂而困难的研究领域。

孪生素数猜想初等证明详解齐宸孪生素数是指相差2的素数对，例如3和5，5和7，11和13…。

孪生素数猜想正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p + 2是素数。

素数对（p, p + 2）称为孪生素数。

孪生素数由两个素数组成，相差为2。

为了证明孪生素数猜想，无数的数学家曾为之奋斗，但美丽的公主仍然犹抱琵琶半遮面。

1．孪生素数分类及无个位表示方法孪生素数按两个素数个位不同划分3类（不包括10以下的3-5、5-7），分别是：1、孪生素数中两个素数个位为1和3，如11-13，41-43等；2、孪生素数中两个素数个位为7和9，如17-19，107-109等；3、孪生素数中两个素数个位为9和1，如29-31，59-61等。

三类孪生素数中个位为1和3的第一类是我们需要重点研究的，其他两类可以忽略不计。

因为只要第一类孪生素数无限，也就等价于证明了孪生素数猜想。

自有孪生素数概念以来它们就是由两个素数表示的。

若是能简化成一个数字那孪生素数猜想这一世界数学难题也许就向前迈进了一步。

无论这一步是一小步，还是一大步。

但毕竟能将两个素数组成的孪生素数降格成了像素数那样的单个数字。

分析一下个位为1和3的这一类孪生素数，如41-43这对孪生素数。

首先，分别去掉个位1和3后，可以看到剩下了两个数字4和4。

用这两个数字完全可以表示一对孪生素数，当然我们心里要想着在这两个数字后面是有个位1和3的。

其次，这两个去掉个位的数字又是完全相同的，都是一个数字“4”。

这样也就完全可以用一个数字“4”来表示一对孪生素数，也可以说4是一个单数字无个位孪生素数。

当然表面上看只有第一类、第二类孪生素数可以用一个数字表示（实际上第三类也可以）。

为什么一定要去掉个位呢？可将自然数变成互为补集的两类：孪生素数和非孪生素数。

并利用一种简单的筛法，将自然数中的非孪生素数及其补集孪生素数分开。

而且这个筛法所要得到的是非孪生素数。