九年级数学上册专题突破讲练根的判别式的深化应用试题新版青岛版

4.5 一元二次方程根的判别式1．一元二次方程x 2－x －1＝0的根的情况为( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2．下列方程没有实数根的是( )A ．x 2＋4x ＝0B ．3x 2＋8x －3＝0C ．x 2－2x ＋3＝0D ．(x －2)(x －3)＝123．下列关于x 的方程有实数根的是( )A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝0D ．(x －1)2＋1＝04．下列方程中，有两个相等的实数根的是( )A ．x 2－2x －1＝0B ．x 2－2x ＋1＝0C ．x 2＝3x －9D ．x 2－4x －4＝05．关于x 的一元二次方程x 2－2ax －1＝0(其中a 为常数)的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．可能有实数根，也可能没有C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根6．关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( )A ．m ＞94B ．m ＜94C ．m ＝94D ．m ＜－947．若一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0总有实数根，则m 应满足的条件是( )A ．m ＞1B ．m ＝1C ．m ＜1D ．m≤18．下列选项中，能使关于x 的一元二次方程ax 2－4x ＋c ＝0一定有实数根的是( )A ．a ＞0B ．a ＝0C ．c ＞0D ．c ＝09．已知关于x 的方程kx 2＋(1－k)x －1＝0，下列说法正确的是( )A ．当k ＝0时，方程无解B．当k＝1时，方程有一个实数解C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解10．若关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0无实数根，则实数k的取值范围是．11．关于x的一元二次方程x2＋bx＋2＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b的值：．12．若|b－1|＋a－4＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有两个实数根，则k的取值范围是．13．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况．(1)3x2－2x－1＝0；(2)2x2－x＋1＝0；(3)4x－x2＝x2＋2.14．已知关于x的方程为2x2－(4k＋1)x＋2k2－1＝0，问当k取什么值时：(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程没有实数根．15．已知关于x的方程mx2－(m＋2)x＋2＝0(m≠0)．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．16．已知关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋2bx ＋a －c ＝0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．(1)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．参考答案1．A 2．C 3．C 4．B 5．A6．B 7．D 8．D 9．C10． k ＞1 11． b ＝3(答案不唯一，满足b 2>8即可)12． k≤4且k≠013．解：(1)Δ＝(－2)2－4×3×(－1)＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)Δ＝(－1)2－4×2×1＝－7＜0，∴方程没有实数根．(3)原方程可整理为x 2－2x ＋1＝0，∴Δ＝(－2)2－4×1×1＝0.∴方程有两个相等的实数根．14．解：(1)∵a＝2，b ＝－(4k ＋1)，c ＝2k 2－1，∴Δ＝b 2－4ac ＝[－(4k ＋1)]2－4×2×(2k 2－1)＝8k ＋9.∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即8k ＋9＞0，解得k ＞－98.(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即8k ＋9＝0，解得k ＝－98.(3)∵方程没有实数根，∴Δ＜0，即8k ＋9＜0，解得k<－98. 15．(1)证明：∵Δ＝(m ＋2)2－8m ＝m 2＋4m ＋4－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2≥0， ∴方程总有两个实数根．(2)解：∵x＝m ＋2±（m －2）22m ＝m ＋2±（m －2）2m， ∴x 1＝m ＋2＋m －22m ＝1，x 2＝m ＋2－m ＋22m ＝2m. ∵方程的两个实数根都是整数，∴2m是整数．∴m＝±1或m ＝±2. 又∵m 是正整数，∴m＝1或m ＝2.16．解：(1)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a ＋c)(a －c)＝0.∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0.∴a 2＝b 2＋c 2.∴△ABC 是直角三角形．(2)∵当△ABC 是等边三角形，∴a＝b ＝c.∵(a＋c)x 2＋2bx ＋a －c ＝0，∴2ax 2＋2ax ＝0.∴x 1＝0，x 2＝－1.。

何时运用根的判别式一元二次方程2ax bx c ++=0（a≠0）根的判别式指的是代数式△=24b ac -的值，它的正负性决定了一元二次方程有没有实数根的命运，因此，根的判别式在一元二次方程中有着举足轻重的作用，可是什么情况下运用根的判别式呢？一般而言，常见的有以下三种情形需要运用根的判别式.一、判定一元二次方程根的情况时，运用根的判别式例1、关于x 的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根；B ．有两个相等的实数根；C ．没有实数根；D ．无法确定.解析：欲知一元二次方程根的情况，必须明确根的判别式的值.因为△=()()224248m m m m ---=-+=()22m -+4，显然，不论m 为何值，总有()22m -+4＞0，即△＞0，所以该方程有两个不相等的实数根，选A.点评：列出根的判别式△=()()224248m m m m ---=-+后，不能至此就断言△＞0，应再运用配方法将△化为4)2(2+-m ，然后由非负数的性质再得出△＞0，否则，解答是不够完整的.二、已知一元二次方程两根情况时，运用根的判别式例2、如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A.k ＞14-B.k ＞14-且0k ≠C.k ＜14-D.14k ≥-且0k ≠ 解析：因为方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，所以△=（2k+1）2-42k ＞0，解之，得k ＞-14； 又2k ≠0，k≠0，故k 的取值范围是k ＞-14且k≠0，选B. 点评：由△＞0，解得k ＞-14后，要记住此取值范围是在二次项系数2k ≠0的前提下得到，因此，别忘了k≠0.三、在运用根和系数关系时，运用根的判别式例3、已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值．（友情提示：若1x ，2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠两根，则有12b x x a +=-，12c x x a⋅=） 解析：（1）欲求m 的取值范围，关键在于建立关于m 的不等式.注意一元二次方程有无实数根与根的判别式之间的关系，可得△=()22214m m --=-4m+1≥0，解之，得m≤14， 即实数m 的取值范围是m≤14； （2）注意题目的提示，有1x +2x =-（2m-1），由22120x x -=得1212()()0x x x x +-=． 若120x x +=，则(21)0m --=，解得12m =， 又m≤14，所以12m =不合题意，舍去； 若120x x -=，则12x x =，从而△=-4m+1=0，14m =，满足m≤14． 故当22120x x -=时，14m =． 点评：解决第（2）问时，由120x x +=，解得12m =后，如果没有考虑根的判别式的正负性，则便会掉进命题者设计的陷阱.。

一元二次方程根的判别式知识考点：理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。

精典例题：【例1】当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。

（1）有两个相等实根； （2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。

分析：用判别式△列出方程或不等式解题。

答案：（1）43-=m ；（2）43-<m ；（3）43->m【例2】求证：无论m 取何值，方程03)7(92=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。

分析：列出△的代数式，证其恒大于零。

【例3】当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。

分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分42-m ＝0和42-m ≠0两种情形讨论。

略解：当42-m ＝0即2±=m 时，)1(2+m ≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当42-m ≠0即2±≠m 时，方程有根的条件是：△＝[]208)4(4)1(222+=--+m m m ≥0，解得m ≥25-∴当m ≥25-且2±≠m 时，方程有实根。

综上所述：当m ≥25-时，方程有实根。

探索与创新：【问题一】已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。

略解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+≥--=∆≠01204)12(022122k k x x k k k 化简得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≠214102k k k∴不存在。

【问题一】如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF ，CD ＜CF ）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是每米4.5元。

一元二次方程根的判别式练习一、 填空题1.若方程ax 2+bx+c=0（a≠0），则根的判别式为_________;当_________时,方程有两个不相等的实数根,当_______时,方程有两个相等的实数根,则_______时,方程无实数根.2.利用根的判别式,判断方程根的情况,首先将方程(x-2)(x-5)-16=0化成一般形式是_________,再代入判别式为_________,则方程根的情况___________.3.不解方程,判断方程根的情况:(1) 4p(p-1)-3=0.△_________,则方程____________:(2) .026232=+-x x △_________,则方程__________________.(3) .02232=+-t t △___________,则方程_________________.4.当k_________时,方程x 2-2(k+1)x+(k 2-2)=0有两个不相等的实数根.5.当m________时,方程x 2-(m+1)x+4=0有两个相等的实数根.6.如果方程x 2-2x+2c =0没有实数根,那么c 的取值是__________. 二、 解答题7.已知关于x 的方程（m 2-2）x 2-2（m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.8.证明关于x 的方程x 2+（k-1）x+（k-3）=0有两个不相等的实数根.9.已知关于x 的方程a （1-x 2）+2bx+c （1+x 2）=0有两个相等的实数根，且a ，b ，c 是△ABC 的三条边，判断△ABC 的形状.三、 选择题10.关于x 的方程x 2-201=-x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）.(A)k≥0 (B)k ＞0 (C)k ＞-1 (D)k≥-111.关于x 的方程mx 2-mx+1=0有两个相等的实数根，则m 的取值范围是（）.(A)m=0 (B)m=7 (C)m=4 (D)m ＞4且m≠012.若关于x 的二次方程2x （kx-4）-x 2+6=0无实数根，则k 的最小整数应是（）.(A)-1 (B)2 (C)3 (D)413.关于x 的方程nx 2-(2n-1)x+n=0有两个实数根,则n 的值为( ). (A)n≤41(B)≤41且n≠0 (C)n≥-41 (D)n≥-41或n≠0 14.若关于y 的方程y 2-19y+k=0有两个相等的实数根,那么方程y 2+19y-k=0的根的情况是( ).(A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根(C)无实数根 (D)无法判定四、 填空题15.若方程组⎩⎨⎧=+=+36222y mx y x 有一个实数根，则m 值为__________.16.已知方程x2-0cos 422=+a x 有两个相等的实数根,求锐角a=_________.五、 解答题17.判断关于y 的方程y 2+3（m-1）y+2m 2-4m+47=0的根的情况.18.当m ＞3时，讨论关于x 的方程（m-5）x 2-2（m+2）x+m=0的实数根的个数.19.关于x 的方程x 2+3x+a=0中有整数解，a 为非负整数，求方程的整数解.20.当m=1时，求证关于x 的方程（k-3）x 2+kmx-m 2+6m-4=0有实数根.。

一元二次方程根的判别式练习题〔一〕填空1．方程x2＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，那么m=____．2．a是有理数，b是____时，方程2x2＋〔a＋1〕x-〔3a2-4a＋b〕=0的根也是有理数．3．当k＜1时，方程2〔k+1〕x2＋4kx+2k-1=0有____实数根．5．假设关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，那么m的值为____．6．方程4mx2-mx＋1=0有两个相等的实数根，那么 m为____．7．方程x2-mx＋n=0中，m，n均为有理数，且方程有一个根是23，那么m= ，n= 。

8．一元二次方程ax2＋bx＋c=0〔a≠0〕中，如果a，b，c是有理数且Δ=b2-4ac是一个完全平方数，那么方程必有__．9．假设m是非负整数且一元二次方程〔1-m2〕x2+2〔1-m〕x-1=0有两个实数根，那么m的值为____．10．假设关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根，那么k的取值范围是____．11．方程2x2-〔3m＋n〕x＋m·n=0有两个不相等的实数根，那么m，n的取值范围是____．12．假设方程a〔1-x2〕＋2bx＋c〔1＋x2〕=0的两个实数根相等，那么a，b，c的关系式为_____．13．二次方程〔k2-1〕x2-6〔3k-1〕x+72=0有两个实数根，那么k为___．14．假设一元二次方程〔1-3k〕x2＋4x-2=0有实数根，那么k的取值范围是____．15．方程〔x2＋3x〕2+9〔x2+3x〕＋44=0解的情况是＿解．16．如果方程x2＋px＋q=0有相等的实数根，那么方程x2-p〔1＋q〕x＋q3＋2q2＋q=0____实根．〔二〕选择那么α= [ ]．18．关于x的方程：m〔x2＋x+1〕=x2+x＋2有两相等的实数根，那么m值为[ ]．19．当m＞4时，关于x的方程〔m-5〕x2-2〔m＋2〕x+m=0的实数根的个数为 [ ]．A．2个； B．1个； C．0个； D．不确定．20．如果m为有理数，为使方程x2-4〔m-1〕x＋3m2-2m+2k=0的根为有理数，那么k的值为[ ]．那么该方程 [ ]．A．无实数根； B．有相等的两实数根；C．有不等的两实数根； D．不能确定有无实数根．22．假设一元二次方程〔1-2k〕x2+8x=6没有实数根，那么k的最小整数值是 [ ]．A．2； B．0；C．1； D．3．23．假设一元二次方程〔1-2k〕x2+12x-10=0有实数根，那么k的最大整数值是 [ ]．A．1； B．2；C．-1； D．0．24．方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b＋12=0有相同实根，那么b的值是[ ]．A．4； B．-7； C．4或-7； D．所有实数．[ ]．A．两个相等的有理根； B．两个相等的实数根；C．两个不等的有理根；D．两个不等的无理根．26．方程2x〔kx-5〕-3x2+9=0有实数根，k的最大整数值是 [ ]．A．-1； B．0；C．1； D．2．29．假设m为有理数，且方程2x2＋〔m＋1〕x-〔3m2-4m+n〕=0的根为有理数，那么n的值为[ ]．A．4； B．1；C．-2； D．-6．30．方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的个数是 [ ]．A．1； B．2；C．3； D． 4．〔三〕综合练习有两个相等的实数根．求证：a2+b2=c2．32．如果a，b，c是三角形的三条边，求证：关于x的方程a2x2+〔a2＋b2－c2〕x＋b2=0无解．33．当a，b为何值时，方程x2+2〔1+a〕x＋〔3a2+4ab＋4b2＋2〕=0有实数根．34．：关于x的方程x2+〔a-8〕x+12-ab=0，这里a，b是实数，如果对于任意a值，方程永远有实数解，求b的取值范围．35．一元二次方程〔m-1〕x2+2mx＋m＋3=0有两个不相等的实数根，求m的最大整数值．36．k为何值时，方程x2+2〔k-1〕x+ k2+2k-4=0：〔1〕有两个相等的实数根；〔2〕没有实数根；〔3〕有两个不相等的实数根．37．假设方程3kx2-6x＋8=0没有实数根，求k的最小整数值．38．m是什么实数值时，方程2〔m＋3〕x2＋4mx＋2m-2=0：〔1〕有两个不相等的实数根；〔2〕没有实数根．39．假设方程3x2-7x＋3k-2=0有两个不相同的实数根，求k的最大整数值．40．假设方程〔k+2〕x2+4x-2=0有实数根，求k的最小整数值．41．设a为有理数，当b为何值时，方程2x2＋〔a＋1〕x-〔3a2-4a＋b〕＝0的根对于a的任何值均是有理数？42．k为何值时，方程k2x2＋2〔k＋2〕x＋1=0：〔1〕有两不等的实根；〔2〕有两相等的实根；〔3〕没有实数根．43．方程〔b-x〕2-4〔a-x〕〔c-x〕=0〔a，b，c为实数〕．求证〔1〕此方程必有实根；〔2〕假设此方程有两个相等的实数根，那么a= b= c．44．假设方程〔c2＋a2〕x＋2〔b2-c2〕x＋c2-b2=0有两个相等的实数根，且a，b，c是三角形ABC的三边，证明此三角形是等腰三角形．参考答案〔一〕填空1．2 2．1 3．有两个不相等的 4．6，-46．16 7．4，1 8．两个有理数根 9．m=011．m，n为不等于零的任意实数 12．b2-c2+a2=0 13．任意实数14．k≤1 15．无实数 16．也有相等的〔二〕选择17．B 18．A 19．A 20．B 21．C22．A 23．B 24．A 25．B 26．D 29．B 30．C〔三〕综合练习方程有两个相等的实根，得Δ=0，即得4m〔a2-c2+b2〕=0．由于m＞0，所以a2-c2+b2=0，即a2+b2=c2．32．提示：Δ＝〔a2+b2-c2〕2-4a2b2=〔a2+b2-c2+2ab〕〔a2+b2-c2-2ab〕=[〔a+b〕2-c2][〔a-b〕2-c2]=〔a+b+c〕〔a+b-c〕〔a-b+c〕〔a-b-c〕．因为a，b，c是三角形的三条边，所以a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c＜0，因此Δ＜0，所以方程无解．33．当a=1，b=-0.5时，方程有实数根．提示：由方程有实数根得Δ=[2〔1+a〕］2-4〔3a2+4ab+4b2+2〕=-4[〔1-a〕2+〔a+2b〕2]≥0．又因为〔1-a〕2≥0，〔a+2b〕2≥0，故而有〔1-a〕2+〔a+2b〕2≥0，所以只有-4[〔1-a〕2+〔a+2b〕2]=0，即〔1-a〕2+〔a+2b〕2=0．从而得出1-a=0，所以a=1；a+2b=0，解出b=-0.5．34．2≤b≤6．提示：方法一Δ=〔a-8〕2-4〔12-2b〕≥0，即a2+4a〔b-4〕+16≥0．因为对于任意a值上式均大于等于零，且二次项系数大于0．所以关于a的二次三项式中的判别式应小于等于零，即[4〔b-4〕]2-4×16≤0，即有b2-8b+12≤0，解之2≤b≤6．方法二Δ=〔a-8〕2-4〔12-2b〕=a2+4a〔b-4〕+16={a2+2a[2〔b-4〕]+[2〔b-4〕]2}-[2〔b-4〕]2+16E AB P 0M N F =[a+2〔b-4〕]2-4[〔b-4〕2-4]≥0．因此只能〔b-4〕2-4≤0，由此得-2≤b-4≤2，所以2≤b ≤6．35．m 的最大整数值为零．提示：由m-1≠0且Δ=〔2m 〕2-4k 的最大整数值为2．40．-4．41．b=1．提示：Δ=〔a+1〕2+8〔3a 2-4a+b 〕=25a 2-30a+8b+1．由于25a 2-30a+8b+1应为a 的完全平方式．所以〔-30〕2-4×25×〔8b+1〕=0，所以b=1．42．〔1〕-1＜k ＜0或k ＞0；〔2〕k=-1；〔3〕k ＜-1．43．〔1〕〔a-b 〕2+〔b-c 〕2+〔c-a 〕2≥0，即Δ≥0；〔2〕a-b=0，b-c=0，c-a=0，那么a=b=c ．44．提示：Δ=[2〔b 2-c 2〕]2-4〔c 2+a 2〕〔c 2-b 2〕=4〔b 2-c 2〕〔b 2-c 2+a 2+c 2〕=4〔b+c 〕〔b-c 〕〔b 2+a 2〕．由方程有两个相等实根．故而Δ= 0，即4〔b+c 〕〔b-c 〕〔b 2+a 2〕=0．因为a ，b ，c 是三角形的三边，所以b+c ≠0，a 2+b 2≠0，只有b-c=0，解出b=c ．第1课时 画轴对称图形一、选择题1．以下说法正确的选项是〔 〕A ．任何一个图形都有对称轴;B ．两个全等三角形一定关于某直线对称;C ．假设△ABC 与△A ′B ′C ′成轴对称，那么△ABC ≌△A ′B ′C ′;D ．点A ，点B 在直线1两旁，且AB 与直线1交于点O ，假设AO=BO ，那么点A 与点B•关于直线l 对称. 2．两条互不平行的线段AB 和A ′B ′关于直线1对称，AB 和A ′B ′所在的直线交于点P ，下面四个结论：①AB=A ′B ′；②点P 在直线1上；③假设A 、A ′是对应点，•那么直线1垂直平分线段AA ′；④假设B 、B ′是对应点，那么PB=PB ′，其中正确的选项是〔 〕A ．①③④B ．③④C ．①②D ．①②③④二、填空题3．由一个平面图形可以得到它关于某条直线对称的图形，•这个图形与原图形的_________、___________完全一样．4．数的运算中会有一些有趣的对称形式，仿照等式①的形式填空，并检验等式是否成立． ①12×231=132×21;②12×462=___________; ③18×891=__________;④24×231=___________.5．如图，点P 在∠AOB 的内部，点M 、N 分别是点P 关于直线OA 、OB•的对称点，线段MN 交OA 、OB 于点E 、F ，假设△PEF 的周长是20cm ，那么线段MN 的长是___________．三、解答题6．如图，C 、D 、E 、F 是一个长方形台球桌的4个顶点，A 、B•是桌面上的两个球，怎样击打A 球，才能使A 球撞击桌面边缘CF 后反弹能够撞击B 球？请画出A•球经过的路线，并写出作法． E D C ABF7．如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点〔保存作图痕迹〕aA B8．如图，仿照例子利用“两个圆、•两个三角形和两条平行线段〞设计一个轴对称图案，并说明你所要表达的含义． 例:一辆小车四、探究题9．如图，牧马营地在P 处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线．草地河流营地P答案:1．C 2．D 3．形状；大小4．264×21；198×81；132×42 5．20cm6．作点A 关于直线CF 对称的点G ，连接BG 交CF 于点P ，那么点P 即为A•球撞击桌面边缘CF 的位置7．作点A 关于直线a 对称的点C ，连接BC 交a 于点P ，那么点P 就是抽水站的位置 8．略9．分别作P 点关于河边和草地边对称的点C 、D ，连接CD 分别交河边和草地于A 、B 两点，那么沿PA →AB →BP 的线路，所走路程最短．。

判别式、根与系数的关系专题训练〔3〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、根底知识：1、 一元二次方程的判别式与解的关系：ac b 42-=∆1〕当b 2－4ac 0时，方程有两个不相等的实数根，反之也成立。

2〕当b 2－4ac 0时，方程有两个相等的实数根，反之也成立。

3〕当b 2－4ac 0时，方程有实数根，反之也成立。

4〕当b 2－4ac 0时，方程没有实数根，反之也成立2、 一元二次方)0(02≠=++a c bx ax ，设方程的两个根分别为2,1x x ，那么有：1〕_______21=+x x ， 2〕______21=•x x3〕,__________2221=+x x 4〕_________,2112=+x x x x 5〕,__________2221=-x x 6〕 ______________||21x x - ，7〕______________21x x -，二、才能训练1、一元二次方程0132=-+x x ，判断方程有 个根。

2、方程022=+-mx x 有两个不相等实数根，那么x 的取值范围 。

3、一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，那么221212x x x x +的值是〔 〕Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．13 Ｄ．13- 4、正比例函数(1)y a x =+的图象经过第二、四象限，假设a 同时满足方程22(12)0x a x a +-+=，那么此方程的根的情况是〔 〕Ａ．有两个不相等的实数根Ｂ．有两个相等的实数根 Ｃ．没有实数根 Ｄ．不能确定5、假设一元二次方01)12(22=+-+x k x k ，有两个不相等的实数根，是否存在k 是方程的两个根互为相反数，假设存在求出k 的值，不存在，说明理由。

6、一元二次方程0)2(222=+--m x m x ，是否存在实数m,是方程的两个根的平方和为56，存在求出m 的值，不存在说明理由。

判别式的八种应用一、求方程(组)的解及解的取值范围例1若x2＋2x＋y2－6y＋10＝0，x，y为实数．求x，y(原初中代数第四册第207页3(2)题)解：将方程看成是关于x的一元二次方程，由于x，y为实数．∴Δ＝22－4(y2－6y＋10)＝－4(y－3)2≥0．即(y－3)2≤0，于是y＝3，进而得x＝－1．例2已知a，b，c为实数，满足a＋b＋c＝0，abc＝8，求c的取值范围．(第一届“希望杯”全国数学竞赛题)解：∵a＋b＋c＝0，abc＝8，例3已知实数x，y，z满足x＝6－y，z2＝xy－9，求x，y的值．证明：∵x+y＝6，xy=z2+9则x，y是一元二次方程a2－6a＋z2＋9＝0的两个实数根，则有Δ＝36－4(z2＋9)＝－4z2≥0，即z2≤0．因z为实数，∴z＝0，从而Δ＝0，故上述关于a的方程有相等实根，即x＝y＝3．二、判断三角形形状例4若三角形的三边a，b，c满足a(a－b)＋b(b－c)＋c(c－a)＝0．试判断三角形形状．证明：将原式变形为b2－(a＋c)b＋a2＋c3－ac＝0，由于a，b，c为实数，关于b的一元二次方程有实根，∴Δ＝(a＋c)2－4(a2＋c2－ac)≥0．整理得－3(a－c)2≥0，即(a－c)2≤0，故a＝c，把a＝c代入原式，得b＝c，从而有a＝b＝c，所以三角形为等边三角形．三、求某些字母的值．例5 k为何值时，(x＋1)(x＋3)(x＋5)(x＋7)＋k是一完全平方式．解：原式＝(x2＋8x＋7)(x2＋8x＋7＋8)＋k＝(x2＋8x＋7)2＋8(x2＋8x＋7)＋k令(x2＋8x＋7)2＋8(x2＋8x＋7)＋k＝0，因原式是完全平方式，则其根的判别式，Δ＝82－4k＝0，即k＝16．例6如果x2－y2＋mx＋5y－6能分解成两个一次因式的积，试求m的值．解：令x2＋mx－(y2－5y＋6)＝0，则关于x的方程的根的判别式Δ＝4y2－20y＋m2＋24．欲使原式能分解成两个一次因式乘积，必须“Δ”是一完全平方式，从而有4y2－20y＋m2＋24＝0的根的判别式∴m2＝1，即m＝±1．例7a为有理数，问：b为何值时，方程x2－4ax＋4x＋3a2－2a＋4b＝0的根是有理数．解：方程整理为x2＋4(1－a)x＋(3a2－2a＋4b)＝0．它的判别式Δ＝4(a2－6a－4b＋4)，由于4(a2－6a－4b＋4)是有理数a的二次三项式．即 4(a2－6a－4b＋4)＝0的根的判别式四、证明不等式令y＝(a2＋b2＋c2)x2－2(a＋b＋c)x＋3，易知y＝(ax－1)2＋(bx－1)2＋(cx－1)2≥0．因为a2＋b2＋c2＞0，且对任意的x值y≥0，故有Δ＝4(a＋b＋c)2－4×3(a2＋b2＋c2)≤0，所以(a＋b＋c)2≤3(a2＋b2＋c2)．五、求函数的最大值最小值解：令x2-x+1=0，它的判别式Δ=-3＜0，可见x为一切实数时，有x2-x+1＞0，∴原式变形为(1－y)x2＋(y－5)x＋(1－y)＝0，要使x为实数，则有Δ＝(y－5)2－4(1－y)2≥0．六、证明实数存在性问题例10若ab＝2(c＋d)，a，b，c，d均为实数，求证方程x2＋ax＋c＝0和x2＋bx＋d＝0至少有一个方程有实根．证明：假设方程x2＋ax＋c＝0和x2＋bx＋d＝0都没有实根．从而有a2＋b2＜2ab，即(a－b)2＜0，与(a－b)2≥0矛盾，因此假设不成立，原题得证．七、在解三角形中的应用例11在ΔABC中，AC＝1，AB＝2，求∠B的范围．解：设BC＝x，由余弦定理得．1＝x2＋22－2·2xcosB，即x2－4cosB·x＋3＝0．八、在平面几何中的应用例12如图1,已知：△ABC中，D为BC边上任意一点，DE∥BC，DE与AC交于E,的面积S△的一半．(1989年沈阳市中考试题)设△ADE的面积为S1，△EHC的面积为S2，。

一元二次方程根的判别式1.不解方程,判别方程12x 2+x+12=0的根的情况为 . 2. 关于x 的方程22x 2m 1x m m 2=0 实数根有 个.3.若关于x 的方程（k-1）x 2-2kx+k=3有两个不相等实根,则k 的取值范围是 .4.下列方程没有实数根的是 （ ）A.x 2-2kx+(2k-2)=0;B.9x 2x+2=0;C.x 2+(2m+1)x-(m 2-m)=0;D.3x 2-4x=-5.5.如果关于x 的一元二次方程kx 2-6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 （ ）A.k ＜1B.k ≠0C.k ＜1且k ≠0D.k ＞16.方程(k )x x ---=21210有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A.k ＞2B.k ＜2且k≠1C.k ＜2D.k ＞2且k≠17.已知关于x 的方程x 2-2(m+1)x+m 2=0.(1)m 取何值时,方程有两个实数根?(2)为m 选取一个合适的整数,使方程有两个不相等的实数根,并求这两个根.8.方程(k-1)x ++=210有两个不相等的实数根,求k 的取值范围.9.已知关于x 的方程(m-2)x 2-2(m-1)x+m+1=0，当m 为何值时：(1)方程只有一个实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有两个不等的实数根.2310有实数根，求k的取值范围.10.关于x的方程kx x+-=11.已知关于x的方程x2+2(a-3)x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实根，且满足2a-b=0.(1)求a、b的值；(2)已知k为一实数，求证：关于x的方程(-a+b)x2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根.。

4.5一元二次方程根的判别式【学习目标】能用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根及两个实根是否相等.【温故知新】1.一元二次方程的求根公式为： .2.一元二次方程的根通常分为几种情况？【课内助学】任务一：自主学习，找出确定一元二次方程根的情况的判别式，试一试，运用根的判别式判断一元二次方程根的情况.（7分钟）活动1 阅读课本P142-P143页，解答下列问题：1.一般地，式子叫做ax2+bx+c=0(a≠0)”表示它，即 = .2.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当 >0时，原方程有个的实数根，=0时，原方程有个的实数根，当 <0时，原方程实数根.活动2 巩固提升1.方程x2+2x+2＝0的根的判别式的值为．2.若关于x的方程x2﹣5x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，则k满足的条件为．3.已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣1+m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是．4.如果关于x的方程x2+3x﹣k＝0没有实数根，那么k的取值范围是．5.已知：关于x的方程2x2+kx+k﹣3＝0．（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若k＝5，请解此方程．自我评价☆☆☆任务二：小组合作，找一找题目的隐含条件，运用根的判别式来解决问题.（8分钟）活动1 小组合作1．关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个实数根，则a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠02.关于x的方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠03.关于x的方程ax2﹣2x+1＝0两个有实数根，则a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠0活动2 巩固提升1.已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数时，求此时方程的根.自我评价☆☆☆【课末测学】（10分钟）1．下列关于x的方程中，一定有实数根的是（）A．ax﹣1＝0 B．a2x﹣1＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣5x-1＝02．方程x2﹣2x＝0的根的情况是（）A．有一个实数根 B.有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根 D．无实数根3.已知一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0．（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．自我评价☆☆☆【我的收获与反思】【分层作业】A层1．若关于x的一元二次方程x2+k﹣3＝0没有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞3 B．k＜3 C．k＞﹣3 D．k＜﹣32.若一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无解，则c的取值范围为．3．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）在1，2，4三个数中，取一个合适的m值代入方程，并解这个方程．B层1．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，实数a、b、c满足4a﹣2b+c＝0，则下列说法正确的是（）A．方程有两个实数根.B．方程有两个不相等的实数根 .C．方程没有实数根.D．方程的根的情况无法确定.2．已知关于x的一元二次方程为mx2﹣nx+1＝0．（1）当n＝m+2时，不解方程，判断方程根的情况；（2）在（1）的条件下，若m＝2，求解这个方程．3．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．。

青岛版九年级数学上册专题突破练习圆中辅助线添加技巧1. 辅助线方法：连半径、作垂直、构造直角三角形。

说明：此方法多用于求半径或弦长，利用勾股定理求长度。

方法依据：（垂径定理）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

2. 辅助线方法：连中点说明：在圆中如果出现弦的中点或弧的中点，连接圆心和中点的线段。

方法依据：（垂径定理推论）①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

②平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

3. 与切线有关的辅助线作法：（1）点已知，连半径，证垂直说明：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来, 则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径。

（2）点未知，作垂直，证半径说明：当直线和圆的公共点没有明确时，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离（d）等于半径（r）。

（3）见切线，连半径，得垂直说明：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。

方法依据：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

例题1 O o的弦AB cD相交于点P,且Ac=BD求证：Po 平分/ APD 解析：由等弦Ac=BD可得出弧Ac等于弧BD,进一步得出弧AB等于弧cD,从而可证等弦AB=cD由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线oE丄AB, oF丄cD,易证△ 0卩磴厶oPF,得出Po平分/ APD答案：证明：作oE丄AB于E, oF丄cD于FAc=BD••• AB=cD•••/ oPE=/ oPF••• Po 平分/ APD.点拨：在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。

例题2（鞍山一模）如图，在等腰三角形ABc 中，AB=Ac以Ac为直径作圆o,与Bc交于点E,过点E作ED 丄AB,垂足为点Do求证：DE为O o的切线。

解析：连接oE,根据等边对等角，由AB=Ac得到/ B=Z c, 再由半径oc与oE相等得到/ c=Z cEo,利用等量代换得到 / B=Z cEo,由同位角相等两直线平行，得到AB与Eo平行，再根据两直线平行内错角相等，由角BDE为直角得到角DEo为直角，又oE为圆o的半径，根据切线的判断方法得到DE 为O o的切线。

根与系数的关系分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。

分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；2. 按同一标准划分（同一性）；3. 逐级分类（逐级性）。

一、一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，那么，.注意：它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.【典例1】已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+1―2k=0有两个实数根x1，x2．（1）若|x1|+|x2|=k的值；（2）当k取哪些整数时，x1，x2均为整数；（3）当k取哪些有理数时，x1，x2均为整数．（1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可；（2）根据根与系数的关系可得若x1+x2=―2k为整数，可得整数k=±1,±2，然后结合两根之积、解方程分别验证即可；（3）显然，当k=―1时，符合题意；由两根之积可得k应该是整数的倒数，不妨设k=1m，则方程可变形21xx，abxx-=+21acxx=21为x 2+2mx +m ―2=0，即为(x +m )2=m 2―m +2，再结合整数的意义即可解答．解：（1）∵Δ=22―4k (1―2k )=4―4k +8k 2=8k 2―12k =8k+72>0，∴不论k 为何值，关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0都有两个实数根x 1，x 2，∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=―2k ,x 1x 2=1―2kk，分两种情况：①若两根同号，由|x 1|+|x 2|=x 1+x 2=x 1+x 2=―当x 1+x 2=―2k =k =―当x 1+x 2=――2k =―k =②若两根异号，由|x 1|+|x 2|=(x 1―x 2)2=8，即(x 1+x 2)2―4x 1x 2=8，∴――4×1―2kk=8，解得：k =1，综上，k 的值为1或 ±（2）∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=―2k ,x 1x 2=1―2k k，若x 1，x 2均为整数，则x 1+x 2=―2k 为整数，∴整数k =±1,±2，当k =±2时，x 1x 2=1―2kk不是整数，故应该舍去；当k =1时，此时方程为x 2+2x ―1=0，方程的两个根不是整数，故舍去；当k =―1时，此时方程为―x 2+2x +3=0，方程的两个根为x 1=―1,x 2=3，都是整数，符合题意；综上，当k 取―1时，x 1，x 2均为整数；（3）显然，当k =―1时，符合题意；当k 为有理数时，由于x 1x 2=1―2kk=1k ―2为整数，∴k 应该是整数的倒数，不妨设k =1m (m ≠0)，m 为整数，则方程kx 2+2x +1―2k =0即为x 2+2mx +m ―2=0，配方得：(x +m )2=m 2―m +2，即x =―m±当m =2即k =12时，方程的两根为x 1=0,x 2=―4，都是整数，符合题意；当m ≠2时，m 2―m +2=(m ―12)2+74不是完全平方数，故不存在其它整数m 的值使上式成立；综上，k =―1或12．1．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个根x 1和x 2，且1<x 1<2<x 2<4，那么方程cx 2―bx +a =0的较小根x 3的范围为( )A ．12<x 3<1B ．―4<x 3<―2C ．―12<x 3<―14D ．―1<x 3<―122．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程x 2+2px ―3p ―2=0的两个不相等的实数根x 1、x 2满足x 12+x 13=4―(x 22+x 23)，则实数p 的所有值之和为（ ）A ．0B ．―34C ．―1D ．―543．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于x 的一元二次方程x 2―2x +a 2+b 2+ab =0的两个根为x 1=m ，x 2=n ，且a +b =1．下列说法正确的个数为（ ）①m·n ＞0；②m >0，n >0；③a 2≥a ；④关于x 的一元二次方程(x +1)2+a 2―a =0的两个根为x 1=m ―2，x 2=n ―2．A ．1B ．2C ．3D ．44．（22-23九年级上·浙江·自主招生）设a 、b 、c 、d 是4个两两不同的实数，若a 、b 是方程x 2―8cx ―9d =0的解，c 、d 是方程x 2―8ax ―9b =0的解，则a +b +c +d 的值为．5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数a,b,c 满足：a +b +c =2,abc =4．求|a |+|b |+|c |的最小值．6．（22-23九年级上·四川成都·期末）将两个关于x 的一元二次方程整理成a (x +ℎ)2+k ＝0（a ≠0，a 、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2―2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b－2c＝，ax1+x1x2+ax2的最大值是．7．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知xy+x+y=44，x2y+xy2=484，求x3+y3．8．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程x2+3x―5=0的两根分别为x1、x2．（1）求1x1―1+1x2―1的值；（2）求3x21+6x1+x22的值．9．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于x的方程x2―2mx+m2―n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值．10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于x的一元二次方程x2+2x―m2―m=0．（1）若α和β分别是该方程的两个根，且αβ=―2，求m的值；（2）当m=1，2，3，⋅⋅⋅，2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，⋅⋅⋅，α2024、β2024，求1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2024+1β2024的值．11．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知α、β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根（1）直接写出m的取值范围（2）若满足1α+1β=―1，求m的值．（3）若α>2，求证：β>2；12．（22-23九年级·浙江·自主招生）已知方程x2+4x+1=0的两根是α、β．（1）求|α―β|的值；（2（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：x3+y3=(x+y) x2+y2―xy．13．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0有实数根．（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．14．（22-23九年级下·浙江·自主招生）设m为整数，关于x的方程(m2+m―2)x2―(7m+2)x+12=0有两个整数实根．（1）求m的值．（2）设△ABC的三边长a,b,c满足c=2+a2m―12a=0,m2+b2m―12b=0．求△ABC的面积．15．（22-23九年级上·湖南常德·材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=―ba ，x1x2=ca．材料2：已知一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=―1，则m2n+mn2=mn(m+n)=―1×1=―1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程x2―3x―1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=___________，x1x2= ___________．（2）类比应用：已知一元二次方程x2―3x―1=0的两根分别为m、n，求nm +mn的值．（3）思维拓展：已知实数s、t满足s2―3s―1=0，t2―3t―1=0，且s≠t，求1s ―1t的值．16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n=0或px+q=0时，多项式A=(mx+n)(px+q)=mpx2+(mq+np)x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．（1）已知多项式(3x+1)(x―2)，则此多项式的零点为__________；有一个零点为1，求多项式B的另一个零点；（2）已知多项式B=(x―1)(bx+c)=ax2―(a―1)x―a2（3）小聪继续研究(x―3)(x―1)，x(x―4)及x――x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x=2对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式M=(2ax+b)(cx―5c)=bx2―4cx―2a―4是“2系多项式”，求a与c的值．17．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）x1，x2是关于x的一元二次方程x2―2(k+1)x+k2+2=0的两实根，且(x1+1)⋅(x2+1)=8，求k的值．（2）已知：α，β(α>β)是一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根，设s1=α+β，s2=α2+β2，…，s n=αn+βn．根据根的定义，有α2―α―1=0，β2―β―1=0，将两式相加，得α2+β2―(α+β)―2=0，于是，得s2―s1―2=0．根据以上信息，解答下列问题：①直接写出s1，s2的值．②经计算可得：s3=4，s4=7，s5=11，当n≥3时，请猜想s n，s n―1，s n―2之间满足的数量关系，并给出证明．18．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程x2―(m+2)x+4m=0有两个实数根x1,x2，其中x1<x2．（1）若m=―1，求x12+x22的值；（2）一次函数y=3x+1的图像上有两点A(x1,y1),B(x2,y2)，若AB=m的值；（3）边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为x1和x2，求该直角三角形的面积．19．（22-23九年级上·全国·单元测试）如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=―p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知a，b是方程x2+15x+5=0的二根，则ab +ba=?（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知x=x1y=y1和x=x2y=y2是关于x，y的方程组x2―y+k=0x―y=1的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y2―x1x2―x2x1=2若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由．20．（22-23九年级上·四川资阳·期末）定义：已知x，x是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)<4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2的两个实数根，若x1<x2<0，且3<x1x2<4，所以一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1=―10，x2=―3，因―10<―3<0，3<―10―3+13x+30=0为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：（1）判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；（2）若关于x的一元二次方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2 =―1，求k的值；（3）若关于x的一元二次方程x2+(1―m)x―m=0是“限根方程”，求m的取值范围．。

章节测试题1.【题文】已知关于的方程，若方程有两个相等的实数根,求的值,并求出此时方程的根【答案】m=1.；x1=x2=－2【分析】已知方程有两个相等的实数根，可得△=0，由此求得m的值，然后解方程即可.【解答】解：∵有两个相等的实数根，∴Δ=0，∴［－（m-2）］2—4××m2=0,—4m+4=0,∴m=1.则原方程为：∴x1=x2=－2方法总结：本题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2.【题文】试证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根。

【答案】证明见解析【分析】用根的判别式列出关于方程系数的代数式，判断△的正负，从而证明方程有两个不相等的实数根．【解答】解：∵Δ＝［－（4m-1）］2—4×2×(—m2—m)=24m2+1＞0,∴有两个不相等的实数根3.【答题】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是______．【答案】9【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，注意掌握：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0，方程有两个不相等的实数根；②△＝0，方程有两个相等的实数根；③△＜0，方程没有实数根．（2）一元二次方程的二次项系数不为0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-6x+a=0有两个相等的实数根，∴△=62﹣4a=36﹣4a=0，解得：a=9．故答案为：9．4.【答题】关于的一元二次方程有实数根，则a满足______．【答案】a≥－1且a≠3【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，注意掌握：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0，方程有两个不相等的实数根；②△＝0，方程有两个相等的实数根；③△＜0，方程没有实数根．（2）一元二次方程的二次项系数不为0．【解答】解：∵方程为一元二次方程，∴a－3≠0，即a≠3，∵方程有实数根，∴△＝(－4)2＋4(a－3)＝4a＋4≥0，∴a≥－1，综合得a≥－1且a≠3．故答案为a≥－1且a≠3．5.【答题】若m是非负整数，且关于x的方程(m-1)x2-2x+1=0有两个实数根，则m的值为______【答案】0 或 2【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，注意掌握：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0，方程有两个不相等的实数根；②△＝0，方程有两个相等的实数根；③△＜0，方程没有实数根．（2）一元二次方程的二次项系数不为0．【解答】解：∵关于x的方程有两个实数根，∴m−1≠0,即m≠1,且即解得∵m是非负整数，故答案为：m=0或2.6.【答题】已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是______．【答案】1【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．【解答】解：根据方程的系数结合根的判别式，由关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，可得△=（﹣2）2﹣4m=4﹣4m=0，解得：m=1．故答案为：1．7.【答题】已知关于x的一元二次方程x2﹣m=2x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．【答案】m＞﹣1【分析】根据一元二次方程的根的判别式△=b2-4ac，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：把方程x2﹣m=2x整理得：x2-2x-m=0∴a=1，b=-2，c=-m，∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac=4+4m＞0，故答案为：m＞-1．方法总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8.【答题】若关于x的方程有两个相等实根，则代数式的值为______．【答案】1【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，注意掌握：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0，方程有两个不相等的实数根；②△＝0，方程有两个相等的实数根；③△＜0，方程没有实数根．（2）一元二次方程的二次项系数不为0．【解答】解：∵关于x的方程x2－mx＋m＝0有两个相等实数根，∴△＝(－m)2－4m＝m2－4m＝0，∴2m2－8m＋1＝2(m2－4m)＋1＝1．故答案为：1．9.【答题】若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是______．【答案】k≤5【分析】利用根与系数的关系求解即可．【解答】由题意得42-4×1×（k-1）≥0,解之得k≤5.10.【题文】关于x的一元二次方程（2m+1）x2+4mx+2m﹣3=0（Ⅰ）当m=时，求方程的实数根；（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；【答案】（Ⅰ）x1=，x2=；（Ⅱ）m＞﹣且m≠﹣．【分析】（Ⅰ）把m的值代入，再解方程即可；（Ⅱ）由方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=时，方程为x2+x﹣1=0，∴△=12﹣4×（﹣1）=5，∴x=，∴x1=，x2=；（Ⅱ）∵关于x的一元二次方程（2m+1）x2+4mx+2m﹣3=0有两个不相等的实数根，∴△＞0且2m+1≠0，即（4m）2﹣4（2m+1）（2m﹣3）＞0且m≠﹣，∴m＞﹣且m≠﹣．11.【题文】当m为何值时，一元二次方程(m2－1)x2＋2(m－1)x＋1＝0：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)没有实数根．【答案】(1) m>1且m≠-1;(2) 原方程不可能有两个相等的实数根;(3) m>1时原方程没有实数根.【分析】需要先求m2－1 ，(1)判别式大于0.(2)判别式等于0.（3）判别式小于0.【解答】解：(1) m2－1 ,m,∵Δ=∴m>1且m≠-1(2)∵Δ=∴m=1 ∵∴m≠1∴原方程不可能有两个相等的实数根.（3）当Δ=时，m>1.∴m>1时原方程没有实数根.12.【答题】若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k+1）x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. 且k≠1C. D. k≥且k≠0【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.【解答】∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k+1）x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=[﹣（2k+1）]2﹣4（k﹣1）•k=8k+1＞0，即8k+1＞0，解得k＞﹣；又∵k﹣1≠0，∴k的取值范围是：k＞﹣且k≠1．选B.13.【答题】若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x﹣1=0有实数根，则m的取值范围是（）A. m<B. m且m≠1C. m且m≠1D. m>且m≠1【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.【解答】∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x﹣1=0有实数根，∴△≥0且m﹣1≠0，即1﹣4×（m﹣1）×（﹣1）≥0且m≠1，解得m≥且m≠1，选C.14.【答题】关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A. m≥1B. m＜1C. m=1D. m＜﹣1【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=0，即（﹣2）2﹣4m=0，解得：m=1．选C.15.【答题】若关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.【解答】∵关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，∴，解得：k>-1.选A.16.【答题】已知关于x的方程有两个不相等的实根，那么m 的最大整数是（）A. 1B. －1C. 0D. 2【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac=[-（m-3）]2-4×m2=9-6m＞0，解得：m＜，∴m的最大整数值是1．选A.17.【答题】关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m=0有实数根，则m的取值范围是（）A. m≥0B. m≥0且m≠1C. m≠1D. m＞1【答案】B【分析】本题主要考查了利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．【解答】∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m=0有实数根，∴△=（2m）2﹣4（m﹣1）•m≥0且m﹣1≠0，解得：m≥0且m≠1，选B.18.【答题】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【分析】本题中的取值需同时满足以下两个条件：（1）（因为原方程是一元二次方程）；（2）根的判别式：△=（因为原方程有两个不相等的实数根）.【解答】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得：且.选D.19.【答题】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A. a>-1B.C.D. a>-1且【答案】D【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．【解答】解：根据题意得：a≠0且△=22﹣4a×（﹣1）＞0，解得：a＞﹣1且a≠0．选D.20.【答题】如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（）A. m＞B. m＞C. m=D. m=【答案】C【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．【解答】解：∵一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，∴△=32-4×2m=9-8m=0，解得：m=．选C.。

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三招判定切线直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。

如何判定直线和圆相切？以下三招可以助你一臂之力!第一招：确定直线和圆交点的个数.如果直线和圆有唯一的公共点，那么这条线是圆的切线，这个点是切点. 第二招：比较圆心到直线的距离与半径的大小。

如果圆心到直线的距离等于圆的半径,那么这条线是圆的一条切线。

说明：第三招：利用切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，如图:点A 是直线AB 与圆O 的公共点，如果OA⊥AB,那么直线AB 是圆O 的一条切线。

说明：该定理必须具备两个条件:⑴经过半径的外端；⑵垂直于半径；两个条件缺一不可.例题1 如图,直线AB 、CD 相交于点O ，∠A OC=30°,半径为1cm 的圆P 的圆心在射线OA 上,开始时,PO=6cm,如果圆P 以1cm/秒的速度沿由A 向B 的方向移动,那么当圆P 的运动时间t （秒）满足什么条件时，圆P 与直线CD 相切？ PDC O B A解析：要想保证圆P 与直线CD 相切,就要使点P 到直线CD 的距离等于1cm.符合条件的圆有两个，圆心分别在点O 的两侧。

答案：如下图P 2P 1F E DC O BA（1）当圆P 运动到点P 1时，可得1PE CO ⊥，又因为∠AOC=30°，所以11221OP PE ==⨯ =2cm ，所以圆P 运动到圆1P 所用的时间16241t -==（秒）； （2)当圆P 继续向B 运动，当点P 到达点P 2时，F P 2=1cm 同理可得:28t =（秒）。