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高中数学 第二章 参数方程 第1节 第2课时 圆的参数方程课件 新人教A版选修4-4.pptx

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高中数学参数方程一第二课时圆的参数方程新A选修文本仅供参考ppt正式完整版

高中数学参数方程一第二课时圆的参数方程新A选修文本仅供参考ppt正式完整版

这就是所求的轨迹方程．
它是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆．
运用圆的参数方程表示点的坐标 灵活运用圆的参数方程表示点的坐标，这是求动点的轨迹方程常见的题 型，是参数方程的主要作用．
θ， θ(θ 为参数)的ຫໍສະໝຸດ 共点有()A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
解析：将xy＝＝22scions
θ， θ
化为 x2＋y2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2 为半径的圆，由
于
1＝ 2
22<2＝r，故直线与圆相交，有两个公共点．
答案：C
3．圆心在点(－1,2)，半径为 5 的圆的参数方程为( )
高高中中数数学学参参数数(方方2程程)把一一第第普二二课课通时时圆圆方的的参参程数数方方转程程课课化件件新新为AA选选参修修文文数本本仅仅方供供参参程考考 时，必须指明参数的取值范围，取值范围不同，
高中数学参数方程一第二课时圆的参数方程课件新A选修文本仅供参考
所表示的曲线也可能会有所不同． 高中数学参数方程一第二课时圆的参数方程课件新A选修文本仅供参考
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高高中中数数学学参参数数(方方1程程)普一一第第通二二课课方时时圆圆程的的参参化数数方方为程程课课参件件新新数AA选选方修修文文程本本仅仅的供供参参关考考 键是选参数，并且利用三角等式 sin2α＋cos2α
的物理意义是：质点作匀速圆周运动的时刻 ．
2．若取 θ 为参数，因为 θ＝ωt，于是圆心在原点 O，半径为 r 的圆的参数方程为 x＝rcos θ，
___y＝___rs_i_n_θ____(θ 为参数)．其中参数 θ 的几何意义是：OM0(M0 为 t＝0 时的位置)绕点

高中数学 第二讲《参数方程》全部教案 新人教A版选修4-4

高中数学 第二讲《参数方程》全部教案 新人教A版选修4-4

曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

3．会进行参数方程和普通方程的互化。

教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

参数方程和普通方程的互化。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

参数方程和普通方程的等价互化。

教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。

)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。

（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。

例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。

高中数学人教A版选修4-4第二讲 一 1. 参数方程的概念 课件

高中数学人教A版选修4-4第二讲 一 1. 参数方程的概念 课件
[思路点拨] 此类问题关键是参数的选取．本例中由于 A、 B 的滑动而引起点 P 的运动，故可以 OB 的长为参数，或以角 为参数，不妨取 BP 与 x 轴正向夹角为参数来求解．
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a， 射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线 交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ， 由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线 位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________． 解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-2第二讲-参数方程

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-2第二讲-参数方程

【解】
如图所示：
由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)， 点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐 标公式可知：
x＝6＋0＋6cosθ＝2＋2cosθ， 3 0＋3＋3sinθ y＝ ＝1＋sinθ. 3 x－22 由此，消去参数θ，得到所求的普通方程为 4 ＋(y－1)2＝ 1.
x－1＝cosθ， 3 【解】 (1)由题意可设 y＋2 ＝sinθ， 5
x＝1＋ 3cosθ， y＝－2＋ 5sinθ
即
(θ为参数)为所求．
2 2 x y (2)x2－y2＝4变形为： 4 － 4 ＝1.
x＝2secα， ∴参数方程为 y＝2tanα
2 x ＝ 2 pt ， 2 2．抛物线y ＝2px(p>0)的参数方程为 y＝2pt
y 1 由于 x ＝ t ，因此参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的点与 抛物线的顶点连线的斜率的倒数． 3．几个结论 x2 y2 (1)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 b2 ＋ a2 ＝1(a>b>0)，其参 数方程是 [0,2π)．
x2 y2 a2＋b2＝1
x＝acosφ， y＝bsinφ
x2 y2 a2－b2＝1
x＝asecφ， y＝btanφ
点的坐标
(rcosθ， rsinθ)
(acosφ，bsinφ)
(asecφ，btanφ)
这三种曲线的参数方程都是参数的三角形式．其中圆的参数θ 表示旋转角，而椭圆、双曲线的参数φ表示离心角，几何意义是不 同的，它们的参数方程主要应用价值在于： (1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标； (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角 函数性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题．

2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)

2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)

)
【解析】选D. 当x=t-1=0时，t=1,y=t+2=3;当y=t+2=0时， t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为（0，3），
（-3，0）.
x=sin 2.下列各点在方程 (θ 为参数)所表示的曲线上的是 y=cos2
(
（B） ( 1 , 2 )
3 3
)
（A）(2,-7) （C） ( 1 , 1 )
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的
参数方程； (2)若点P(x,y)在该圆上，求x+y的最大值和最小值.
【解析】(1)由 2 -4 2cos(- )+6=0得
4
ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0, 即x2+y2-4x-4y+6=0为所求,
由圆的标准方程(x-2)2+(y-2)2=2,
【解析】设飞机在点H将物资投出机 舱，记此时刻为0 s，设在时刻t s 时的坐标为M（x,y）,如图,建立平 面直角坐标系，由于物资做平抛运 动，依题意，得
x=100t x=100t 1 2 ,即 y=h- gt y=h-5t 2 2
令x=100t=1 000,得t=10(s), 由y=h-5t2=h-500=0,得h=500 m. 答案:500 m
∴x=sin 2θ= - 3 .
4
1 4
x=3+cos 6.曲线 (θ 为参数)上的点到坐标轴的最近距离为 y=4+sin
( (A)0 (B)1 (C)2
y=4+sin
)
(D)3
【解析】选C.曲线 x=3+cos (θ为参数) 即(x-3)2+(y-4)2=1,表示圆心为C（3,4），半径为1的圆，圆 上的点到坐标轴的最近距离为2.

第2讲1第1课时参数方程的概念及圆的参数方程课件人教新课标

第2讲1第1课时参数方程的概念及圆的参数方程课件人教新课标
例3 如图，圆O的半径为2，P是圆O上的动 点，Q(4,0)在x轴上.M是PQ的中点，当点P绕 O作匀速圆周运动时， (1)求点M的轨迹的参数方程，并判断轨迹所 表示的图形；
解答
(2)若(x，y)是M轨迹上的点，求x＋2y的取值范围. 解 x＋2y＝cos θ＋2＋2sin θ＝ 5sin(θ＋φ)＋2，tan φ＝12. ∵－1≤sin(θ＋φ)≤1， ∴－ 5＋2≤x＋2y≤ 5＋2. 即 x＋2y 的取值范围是[－ 5＋2， 5＋2].
弦所在直线 l 的方程为_x_－__y_－__3_＝__0__.
解析 圆心O′(1,0)，∴kO′P＝－1，即直线l的斜率为1. ∴直线l的方程为x－y－3＝0.
12345
解析 答案
规律与方法
1.参数方程 (1)参数的作用：参数是间接地建立横、纵坐标x，y之间的关系的中间变量， 起到了桥梁的作用. (2)参数方程是通过变数反应坐标变量x与y之间的间接联系. 2.求曲线参数方程的步骤 第一步，建系，设M(x，y)是轨迹上任意一点； 第二步，选参数，比如选参数t； 第三步，建立x，y与参数间的关系，即xy＝＝fgtt，.
12345
解析 答案
4.已知xy＝ ＝tt＋ 2 1， (t 为参数)，若 y＝1，则 x＝__0_或__2___.
解析 ∵y＝t2＝1， ∴t＝±1. ∴x＝1＋1＝2或x＝－1＋1＝0.
12345
解析 答案
5.若 P(2，－1)为圆 O′：xy＝ ＝15s＋in5θcos θ， (0≤θ<2π)的弦的中点，则该
_－_6_y_－__3_＝__0_)_.
4x
解析 将参数方程化为标准方程，得(x－3)2＋(y＋2)2＝16，
故圆心坐标为(3，－2).

高二数学最新课件-圆的参数方程[原创]人教版 精品


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练习3.

经过圆 x 2 y 2 4 上任一点P作y轴垂
线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通 方程
4x y 4
2 2
返回
课后作业：

x cos 1.（2002年全国新课程）曲线 y sin 上的点到两 坐标轴的距离之和的最大值为（ D ）

1 A. 2

（二）.利用圆的参数方程求轨迹方程 （三）.利用圆的参数方程求字母的取值范围


（四）.课堂小结
（五）课后作业：
进入

进入
例1.若实数x，y满足 x 2 y 2 2 x 4 y 0 求x－y的最大值
解：将圆的方程化为： ( x 1) 2 ( y 2) 2 5
x 1 5 cos 所以圆的参数方程为： 代入x－y 得： y 2 5 sin
解： f ( )可看成两点 p(cos , sin ) ,A(2,1) 连线的斜率 2 2 x y 1上运动，过定点A作圆的两条切线 且p在圆 AP1， AP2，则AP1斜率最小且最小值为0， AP2的斜率最大， 下面求AP2的斜率 设AP2的斜率为k，则AP2的方程为 y 1 k ( x 2) 即 kx y 2k 1 0
圆的参数方程的应用
学习目标：能熟练应用圆的参数方程解题
下一页
教学过程
一.知识回顾：
x r cos (为参数) 1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程： y r sin
2.圆心在点（a，b），半径为r的圆 的参数方程为: x a r cos (为参数)
x 5 3 cos 3.已知圆的参数方程 ， (为参数) y 3 3 sin 则它的普通方程为： ( x 5) 2 ( y 3) 2 9

2018高中数学人教a版选修4-4课件：第二讲 一 2. 圆的参数方程


解析：设 P(2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin2α＋cos2α－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)． ∴最大值为 36.
答案：A
二、填空题 5．x＝1与圆x2＋y2＝4的交点坐标是________．
x＝2cos θ， 2 2 解析：圆x ＋y ＝4的参数方程为 y＝2sin θ，
OM 的 逆 时针旋转到_____ 义是：OM0(M0 为 t＝0 时的位置)绕点 O____
位置时，OM0 转过的角度． (3) 若圆心在点 M0(x0 ， y0) ，半径为 R ，则圆的参数方程为
x＝x0＋Rcos θ y＝y0＋Rsin θ
(0≤θ＜2π)．
求圆的参数方程
[例1]
x＝2cos θ， 解析：将 y＝2sin θ
B．1个 D．3个
化为x2＋y2＝4，它表示以(0,0)为圆
1 2 心，2为半径的圆，由于 ＝ <2＝r，故直线与圆相交， 2 2 有两个公共点．
答案：C
3．直线：3x－4y－9＝0与圆： 关系是 A．相切 C．直线过圆心
x＝2cos θ y＝2sin θ
θ，
(0≤θ＜2π)．
2．已知点P(2,0)，点Q是圆
x＝cos θ y＝sin θ
上一动点，求PQ中点
的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解：设中点M(x，y)．则 x＝2＋cos θ， 2 0＋sin θ y＝ ， 2 1 x＝1＋2cos θ， 即 y＝1sin θ， 2
一
理解教材新知
第 二 讲
2 . 圆 的 参 数 方 程

圆的一般方程课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册 (3)

2.4.2 圆的一般方程
1.掌握圆的一般方程及其特点； 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程,并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小 ；（重点） 3.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程；（难点） 4.初步学会运用圆的方程来解决某些实际应用问题.
复 习： 1. 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x－a) 2 + (y－b) 2 = r2 当圆心在原点时(a=b=0)，圆的标准方程为： x2 + y2 = r2 2. 求圆的方程的常用方法：
M
•
点A的坐标满足方程
A •
(x+1)2+y2=4
建立点M的坐标与点A的
•
1O
4x
坐标之间的关系，就可
以利用点A的坐标所满足的关系式，求出点M的
轨迹方程.
注意：点M的轨迹方程是指点M的坐标(x, y)满 足的关系式. 轨迹是指点在运动变化过程中形成 的图形. 在解析几何中, 我们常常把图形看作点 的轨迹(集合).
例4 求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆的半径和圆心坐标.
解1：(待定系数法) 设过O, M1, M2的圆方程为
F 0
则
D
E
F
2
0
， 解得D 8, E 6, F 0.
4D 2E F 20 0
∴过O, M1, M2的圆方程为
圆心坐标为 (4， 3),半径r 5 .
(A)(x+3)2+y2=4
(B)(x-3)2+y2=1
(C)(2x-3)2+4y2=1
(D)(x+3 )2+y2= 1
2
2

高中数学第二讲参数方程一第二课时参数方程和普通方程的互化课件新人教A版


1
2
3
4
5
答案
2 x ＝ 2 ＋ sin θ， 2.将参数方程 (θ为参数)化成普通方程为 2 y＝sin θ
A.y＝x－2
B.y＝x＋2
C.y＝x－2(2≤x≤3) √
∴y＝x－2.
D.y＝x＋2(0≤y≤1)
解析 由x＝2＋sin2θ，得sin2θ＝x－2，代入y＝sin2θ， 又sin2θ＝x－2∈[0,1]，∴x∈[2,3].
解答
(2)若点P是曲线C上任意一点，P点的直角坐标为(x，y)，求x＋2y的最 大值和最小值.
解
x＝2＋ 2cos θ， 由(1)知曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数)， y＝2＋ 2sin θ
所以 x＋2y＝(2＋ 2cos θ)＋2(2＋ 2sin θ)
1 ＝6＋ 2(cos θ＋2sin θ)＝6＋ 10sin(θ＋φ)，tan φ＝2.
两式平方相加得(x－2)2＋y2＝9， 即普通方程为(x－2)2＋y2＝9.
解答
类型二 普通方程化为参数方程
例2 程.
已知圆C的方程为x2＋y2－2x＝0，根据下列条件，求圆C的参数方
(1)以过原点的直线的倾斜角θ为参数；
解答
(2)设x＝2m，m为参数. 解 把x＝2m代入圆C的普通方程，得4m2＋y2－4m＝0，
普通方程，求出另一个变数与参数的关系 ，那么 就是曲 x ＝ f t ， y＝g(t) 线的参数方程. y＝gt，
(2)参数方程化为普通方程的三种常用方法 ①代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数； ②三角函数法：利用三角恒等式消去参数； ③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去. 特别提醒：化参数方程为普通方程F(x，y)＝0，在消参过程中注意变量 x，y的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定f(t) 和g(t)的值域得x ， y的取值范围.
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θ ＋ sin
θ) － 1 ＝ －
2 sin
(θ ＋
π 4
)
－
1≤ 2－1，
∴a≥ 2－1 即 a 的取值范围为[ 2－1，＋∞)．
20
(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点 的坐标，并正确确定参数的取值范围．
(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的 实质是利用正、余弦函数的有界性．
设中点为 M(x，y)，xy＝＝02＋＋sc2i2ons θθ，，即xy＝＝121s＋in12cθos. θ，
它是圆的参数方程，表示以(1，0)为圆心，以12为半径的圆．
15
解决此类问题的关键是利用已知圆的参数方程中所含的 参数表示出所求点的坐标，求得参数方程，然后根据参数方 程说明轨迹所表示的曲线．
Байду номын сангаас17
已知点 P(x，y)是圆xy＝＝1co＋s sθin ，θ(θ 为参
数)上的动点， (1)求 3x＋y 的取值范围； (2)若 x＋y＋a≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
18
[精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法及不等
式的恒成立问题，解决本题需要正确求出圆 x2＋y2＝2y
的参数方程，然后利用参数方程求解问题(1)、(2)．
第2课时 圆的参数方程
1
2
[核心必知] 如图，设圆 O 的半径是 r，点 M 从初始位置 M0(t ＝0 时的位置)出发，按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆周 运动，点 M 绕点 O 转动的角速度为 ω，以圆心 O 为原 点，OM0 所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系．
3
(1)在 t 时刻，M 转过的角度是 θ，点 M 的坐标是(x，y)， 那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，
综上得圆的参数方程为
x＝r＋rcos 2φ，
y＝rsin 2φ.
(φ
为参数且－π2 ≤φ≤π2 )
11
(1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般
地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到
的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程表
示的曲线却可以是相同的，另外在建立曲线的参数方程时，
16
2．设点 M(x，y)在圆 x2＋y2＝1 上移动，求点 Q(x(x ＋y)，y(x＋y))的轨迹的参数方程．
解：设 M(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点 Q(x1，y1)，
则xy11＝＝scions
θ（cos θ＋sin θ）， θ（cos θ＋sin θ）， (θ
为参数)
即为所求的参数方程．
(1)∵P 在圆xy＝＝1co＋s siθn ，θ上，
∴
3x＋y＝
3cos
θ＋sin
θ＋1＝2sin
π (θ＋ 3 )＋1
∴－2＋1≤ 3x＋y≤2＋1.即 3x＋y 的取值范围为
[－1，3]．
19
(2)∵x＋y＋a＝cos θ＋sin θ＋1＋a≥0，
∴a≥－(cos θ＋sin θ)－1.
又 － (cos
程为
x2＋y2＝R2，即(Rx )2＋(Ry )2＝1，令RRxy ＝ ＝csions
θ，
则
θ，
x＝Rcos θ， y＝Rsin θ.
6
2．若圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 R，则圆的参数方 程是什么？
提示：圆的参数方程为yx＝＝yx00＋＋RRscions
θ， θ. (0≤θ<2π)
7
8
∴参数方程为yx＝＝114＋＋4tt2tt22.，
答案：xy＝＝114＋＋4tt2tt22， (t 为参数)
13
已知点
P(2，0)，点
Q
是圆xy＝＝scions
θ， θ (θ
为参数)上一动点，求 PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹
是什么曲线？
14
[精讲详析] 本题主要考查圆的参数方程的应用及轨迹的求 法．解答本题需设出 PQ 的中点 M 的坐标为(x，y)，然后利用已知 条件中的参数分别表示 x，y，从而求出轨迹方程，根据方程说明轨 迹的形状．
数 θ 的几何意义是：OM0(M0 为 t＝0 时的位置)绕点 O 逆 时 针旋转到 OM 的位置时，OM0 转过的角度．
5
[问题思考]
1．方程xy＝＝RRscions
θ， θ (θ
为参数，0≤θ<2π)是以坐
标原点为圆心，以 R 为半径的圆的参数方程，能否直接由
圆的普通方程转化得出？
提示：以坐标原点为圆心，以 R 为半径的圆的标准方
21
3．设方程xy＝＝1＋3＋cossinθθ，(θ 为参数)表示的曲线为 C，
求在曲线 C 上到原点 O 距离最小的点 P 的坐标．
解：∵OP2＝(1＋cos θ)2＋( 3＋sin θ)2＝5＋2 3sin θ＋
2cos
θ＝5＋4sin
π (θ＋ 6 )．当
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①当 M 在 x 轴上方时，∠MO′x＝2φ.
∴xy＝＝rrs＋inrc2oφs .2φ，
②当 M 在 x 轴下方时，∠MO′x＝－2φ，
∴xy＝＝－r＋rsricnos（（－－2φ2φ））. ，即xy＝＝rrs＋inrc2oφs .2φ，
π ③当 M 在 x 轴上时，对应 φ＝0 或 φ＝±2 .
点 M 在圆(x－r)2＋y2＝r2(r>0)上，O 为原点， x 轴的正半轴绕原点旋转到 OM 形成的角为 φ，以 φ 为参 数．求圆的参数方程．
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[精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法，解答此题 需要借助图形分析圆上点 M(x，y)的坐标与 φ 之间的关系， 然后写出参数方程．
如图所示，设圆心为 O′，连接 O′M
要注明参数及参数的取值范围．
(2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，
就会出现错误，如本题如果把参数方程写成
x＝r＋rcos
y＝rsin φ.
φ， φ的意义就改变了．
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1．设 y＝tx(t 为参数)，则圆 x2＋y2－4y＝0 的参数方
程是________． 解析：把 y＝tx 代入 x2＋y2－4y＝0 得 x＝1＋4tt2，y＝14＋t2t2，
有 cos ωt＝xr，sin ωt＝yr，即圆心在原点 O，半径为 r 的圆 x＝rcos ωt，
的参数方程为y＝rsin ωt (t 为参数)．其中参数 t 的物理意
义是：质点做匀速圆周运动的时刻．
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(2)若取 θ 为参数，因为 θ＝ωt，于是圆心在原点 O，半
x＝rcos θ， 径为 r 的圆的参数方程为 y＝rsin θ (θ 为参数)．其中参