北京四中高中数学-03组合

2024届福建省厦门市思明区逸夫中学毕业升学考试模拟卷化学卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题（本大题共10小题，共20分）1．下图所示实验操作，正确的是( )A．测溶液pH B．过滤C．稀释浓硫酸D．量取9.3mL液体2．根据如图提供的信息分析，下列说法错误的是（）A．若X＞10，则该微粒属于阳离子B．氟元素为金属元素C．氟的相对原子质量是19.00D．氟原子核外有9个电子3．下列物质中，属于溶液的是（）A．牛奶B．豆浆C．冰水D．糖水4．科学家最新发现，通过简单的化学反应，可以将树木纤维素转变为超级储能装置，如图是该反应的微观示意图，下列说法错误的是A．该反应前后分子的种类改变B．该反应遵守质量守恒定律C．参加反应的X、Y两物质的粒子个数之比为1:1D．化学反应前后元素的种类不变5．生活中的下列做法符合科学道理的是A．用大量亚硝酸钠（NaNO2）腌渍食品B．室内发生火灾，打开门窗防止中毒C．用活性炭除去冰箱中的异味D．用铝制容器配制农药波尔多液（含硫酸铜）6．为预防甲状腺肿大，可适量补充的元素是A．铁B．硒C．碘D．氟7．甲和乙在一定条件下反应生成丙和丁。

结合微观示意图分析，下列结论正确的是A．该反应不遵循质量守恒定律B．反应前后原子种类相同原子数目不相同C．生成的丙和丁的分子个数比为2:1D．丙中C、H、O元素的质量比为3:1:48．X、Y、Z是三种金属单质，其中只有X可以与硫酸反应产生氢气。

将Z投入到Y的盐溶液中，发现Z的表面有Y 析出。

则X、Y、Z三种金属活动性顺序按由强到弱的顺序排列正确的是：A．XYZ B．ZXY C．XZY D．ZYX9．下列有关化学概念或说法错误的是①饱和溶液与不饱和溶液属于并列关系②燃烧与氧化反应属于并列关系③利用活性炭的吸附性可以将硬水转化为软水④利用氯化钡溶液可以鉴别稀盐酸和稀硫酸⑤要除去氯化钠溶液中含有的少量碳酸钠，可加入适量的氯化钙溶液⑥向某固体上滴加稀盐酸，有气泡产生，说明该固体一定是碳酸盐A．②③⑥B．②③④C．③④⑥D．③④⑤10．Sb2O5 是一种重要的阻燃剂，工业制取该物质的化学方程式为：Sb2O3+ 2X═Sb2O5+ 2H2O。

第2讲 组合北京四中 李伟知识要点组合的相关概念组合一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组， 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

组合数从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数, 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号mn C 表示组合数计算公式(-1)(-2)(-1)!!!(-)!+===mm n n m m A n n n n m nC A mm n m组合数的性质(1)：-m n mn n C C =(2）：-11mm m n n n C C C +=+规定01n C =222223410++++C C C C典型例题分析例1、从16人中选派7人做代表参加会议，下列情况各有多少种不同的选派方法。

(1）其中甲、乙两人中恰有1人做代表；(2)其中甲、乙两人不能同时做代表;（3）其中甲,乙,丙3人中至少有1人做代表。

例2、5个男生3个女生，分别满足下列条件，各有多少方法种数?（1）选5人排成一列，其中男生甲不能排在中间；(2)选3人参加数学竞赛，至少有一名男生:（3)组三个两个人的小组,每组一位男生一位女生；（4)8个人排成一排，自左至右，男、女生都从高到矮排;（5)5个男生到一排12个座位上就座，两人之间至少隔一个空位．例3、求满足下列条件的不同数字的个数:（1）由四个5三个3组成的七位数；(2)由1，2，3,4，6 组成的无重复数字的五位数,且偶数数字自万位至个位由大到小排列。

例4、由12个人组成的文娱小组，其中5人只会跳舞,5人只会唱歌, 2人既会跳舞又会唱歌。

若从中选出4个会唱歌和4个会跳舞的人去排演节目，共有多少种不同的选法？例5、学校从8个班中选10名同学参加活动,每班至少一名。

现在要将这10个名额分配到8个班，共有多少种不同的分配方法?例6、6本不同的书（1)分成三堆，每堆两本，有多少种分法？（2)分给甲、乙、丙三人,每人两本,有多少种分法？(3）分成三堆，一堆一本,一堆两本,一堆三本，有多少种分法?（4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本,一人三本，有多少种分法？。

2023北京四中高二（上）期中数 学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为（ ）A．B．C．D．﹣12．已知点A（﹣2，3，0），B（1，3，2），，则点P的坐标为（ ）A．（4，3，4）B．（﹣4，﹣1，﹣4）C．（﹣1，6，2）D．（﹣5，3，﹣2）3．已知直线方程kx﹣y﹣2k＝0，则可知直线恒过定点的坐标是（ ）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（0，2）4．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都是1，O为A1C1中点，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，，则（ ）A．x＝1，y＝1B．x＝1，C．，D．，y＝15．“a＝﹣3”是“直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，则直线l倾斜角的取值范围是（ ）A．B．C．D．7．过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y＝1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（ ）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝5B．C．（x﹣3）2+（y﹣8）2＝50D．（x﹣3）2+y2＝28．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为正方形ABCD中心，A1P＝λA1B1（λ∈[0，1]），直线OP与平面ABC所成角为θ，则θ取最大时λ的值为（ ）A．B．C．D．9．A（1，y1），B（﹣2，y2）是直线y＝﹣x上的两点，若沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A、B两点间的距离是（ ）A．6B．C．D．10．点M（x0，y0）到两条直线：x+3y﹣2＝0，x+3y+6＝0距离相等，y0＜x0+2，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）若向量与向量共线，则x的值为 ．12．（5分）直线2x﹣y﹣1＝0与2x﹣y+1＝0之间的距离是 ．13．（5分）以A（2，3），B（4，9）为直径的两个端点的圆的方程是 ．14．（5分）在空间四边形ABCD中，＝ ．15．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝1，AA1＝2，点D在棱AC 上滑动，点E在棱BB1上滑动，给出下列四个结论：①三棱锥C1﹣A1DE的体积不变；②A1D+DB的最小值为；③点D到直线C1E的距离的最小值为；④使得A1D⊥C1E成立的点D、E不存在．其中所有正确的结论为 ．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16．（13分）已知点A（1，2），B（﹣3，5），C（6，2）．（1）求△ABC的面积；（2）过点C的直线l与点A（1，2），点B（﹣3，5）距离相等，求直线l的方程．17．（13分）如图，在△ABC中，，BC＝4，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED．（1）平面A1OB⊥平面BCED；（2）若F为A1C的中点，求点F到面A1OB的距离．18．（14分）已知直线l过点P（2，3），圆C：x2+4x+y2﹣12＝0．（1）求与圆C相切的直线l的方程；（2）当直线l是圆C的一条对称轴，交圆C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于D，E两点，求|DE|．19．（15分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD，|CD|＝|DA|＝|AF|＝|FE|＝2，|AB|＝4．（1）求证：DF∥平面BCE；（2）求二面角C﹣BF﹣A的余弦值；（3）线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．20．（15分）已知圆和圆（r＞0）．（1）若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；（2）若直线l：y＝kx+1与圆C1交于P、Q两点，且，求实数k的值；（3）若r＝2，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．21．（15分）对于n维向量A＝（a1，a2，…，a n），若对任意i∈{1，2，…，n}均有a i＝0或a i＝1，则称A为n维T向量．对于两个n维T向量A，B，定义d（A，B）＝．（Ⅰ）若A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），求d（A，B）的值．（Ⅱ）现有一个5维T向量序列：A1，A2，A3，…，若A1＝（1，1，1，1，1）且满足：d（A i，A i+1）＝2，i∈N*．求证：该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A1，A2，A3，…，若且满足：d（A i，A i+1）＝m，m∈N*，i＝1，2，3，…，若存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．【答案】D【分析】利用斜率公式求解．【解答】解：因为直线l的一个方向向量为，所以直线l的斜率为．故选：D．2．【答案】A【分析】设P（x，y，z），表示出、，即可得到方程组，解得即可．【解答】解：设P（x，y，z），因为A（﹣2，3，0），B（1，3，2），所以，，因为，所以（x+2，y﹣3，z）＝2（3，0，2），所以，解得，即P（4，3，4）．故选：A．3．【答案】B【分析】依题意可得（x﹣2）k﹣y＝0，令，解得即可．【解答】解：直线kx﹣y﹣2k＝0，即（x﹣2）k﹣y＝0，令，解得，所以直线kx﹣y﹣2k＝0恒过点（2，0）．故选：B．4．【答案】C【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得．【解答】解：依题意＝＝，又，所以，．故选：C．5．【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的判定分析判断即可．【解答】解：当直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直时，a+a（a+2）＝0，得a2+3a＝0，解得a＝0或a＝﹣3，所以当a＝﹣3时，直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直，而当直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直时，a＝0或a＝﹣3，所以“a＝﹣3”是“直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直”的充分不必要条件．故选：A．6．【答案】C【分析】因为点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，那么把这两个点代入ax﹣y﹣1，它们的符号相反，乘积小于0，求出a的范围，设直线l倾斜角为θ，则a＝tanθ，再根据正切函数的图象和性质即可求出范围．【解答】解：因为点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，所以，（a+2﹣1）（a﹣1）＜0，即：（a+1）（a﹣）＜0，解得﹣1＜a＜，设直线l倾斜角为θ，∴a＝tanθ，∴﹣1＜tanθ＜，∴0＜θ＜，或＜θ＜π，故选：C．7．【答案】D【分析】由圆心和切点连线与切线垂直可得k BC＝﹣1，得到关于圆心的一个方程，根据圆的性质，可知圆心C在AB的垂直平分线x＝3上，由此可求得a，b的值，得到圆心坐标，进而可求得圆的半径即可求解．【解答】解：设圆心C（a，b），因为直线x﹣y＝1与圆C相切于点B（2，1），所以，即a+b﹣3＝0，因为AB中垂线为x＝3，则圆心C满足直线x＝3，即a＝3，∴b＝0，所以半径，所以圆C的方程为（x﹣3）2+y2＝2．故选：D．8．【答案】A【分析】在平面ABB1A1中过点P作PP1⊥AB交AB于点P1，连接P1O，即可得到∠POP1即为线OP与平面ABC所成角，且，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则，从而求出（tanθ）max，即可得解．【解答】解：在平面ABB1A1中过点P作PP1⊥AB交AB于点P1，连接P1O，由正方体的性质可知PP1⊥平面ABCD，则∠POP1即为直线OP与平面ABC所成角，则，设正方体ABCD﹣A 1B1C1D1的棱长为2，则，所以当OP1＝1时（tanθ）max＝1，此时θ取最大值，P1为AB的中点，又A1P＝λA1B1，所以当时θ取最大值．故选：A．9．【答案】C【分析】求出沿x轴将坐标平面折成60°的二面角后，点A在平面xOy上的射影C的坐标，作BD ⊥x轴，交x轴于点D（﹣2，0），然后利用空间向量表示，利用向量的模的性质进行求解，即可得到答案．【解答】解：∵A（1，y1），B（﹣2，y2）是直线y＝﹣x上的两点，∴y1＝﹣，y2＝2，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角后，点A在平面xOy上的射影为C（1，0），作BD⊥x轴，交x轴于点D（﹣2，0），∴＝++，∴＝+++2•+2•+2•＝3+9+12﹣2××2×＝18，∴||＝3．故选：C．10．【答案】B【分析】利用点到直线的距离公式得到x0+3y0+2＝0，结合y0＜x0+2求出x0，再由x0≠0及计算可得．【解答】解：依题意，所以x0+3y0+2＝0，即，又y0＜x0+2，所以，解得x0＞﹣2，显然x0≠0，所以，当﹣2＜x0＜0时，所以，当x0＞0时，所以．综上可得．故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．【答案】3．【分析】利用向量共线定理求解．【解答】解：因为向量与向量共线，所以，解得x＝3．故答案为：3．12．【答案】．【分析】由平行线间的距离公式可求得结果．【解答】解：易知直线2x﹣y﹣1＝0与2x﹣y+1＝0平行，这两条直线间的距离为．故答案为：．13．【答案】（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．【分析】利用圆的标准方程待定系数计算即可．【解答】解：易知该圆圆心为A（2，3），B（4，9）的中点C（3，6），半径，所以该圆方程为：（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．故答案为：（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．14．【答案】见试题解答内容【分析】如图：设；由向量的加、减运算知：，，代入上式即得结论．【解答】解：如图，设＝，＝，＝，则，＝，＝，＝．所以，＝＝0故答案是：015．【答案】①②③．【分析】根据锥体的体积公式判断①，将将△ABC翻折到与矩形ACC1A1共面时连接A1B交AC 于点D，此时A1D+DB取得最小值，利用勾股定理求出距离最小值，即可判断②，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到距离，再根据函数的性质计算可得③，利用，即可判断④．【解答】解：∵BB1⊥平面ABC，对于①：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，CC1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC，又CC1⋂AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，又点D在棱AC上滑动，∴，∴，∴三棱锥C1﹣A1DE的体积不变，故①正确；对于②：如图将△ABC翻折到与矩形ACC1A1共面时连接A1B交AC于点D，此时A1D+DB取得最小值，∵A1C1＝CC1＝2，BC＝1，∴A1B＝＝，∴A1D+DB的最小值为，故②正确；对于③：如图建立空间直角坐标系，设D（a，0，0），a∈[0，2]，E（0，1，c），c∈[0，2]，C1（0，0，2），∴，，则点D到直线C1E的距离d＝＝＝，当c＝2时，，当0≤c＜2时，0＜（c﹣2）2≤4，∴，∴，∴，∴∈（0，]，∴当取最大值，且a2＝0时，，即当D在C点E在B点时，点D到直线C1E的距离的最小值为，故③正确；对于④：A1（2，0，2），，，∴，∵c∈[0，2]，∴当c＝2时，，∴，即A1D⊥C1E，故④错误．故答案为：①②③．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16．【答案】（1）；（2）3x+14y﹣46＝0或3x+4y﹣26＝0．【分析】（1）求出三角形的三边长，并求其中一个角的余弦值，代入公式即可求得面积．（2）过点C的直线l与点A（1，2），点B（﹣3，5）距离相等，即直线l与直线AB平行或经过AB的中点，代入求解即可．【解答】解：（1）由点A（1，2），B（﹣3，5），C（6，2）可得，，，，在△ABC中，，所以，△ABC的面积为．（2）过点C的直线l与点A（1，2），点B（﹣3，5）距离相等，即直线l与直线AB平行或经过AB的中点，当过点C的直线l与平行时，，则直线方程为3x+4y﹣26＝0；当过点C的直线l过AB的中点，AB的中点坐标，，所以直线方程为，即3x+14y﹣46＝0．所以直线方程为3x+14y﹣46＝0或3x+4y﹣26＝0．17．【答案】（1）证明过程请见解答；（2）．【分析】（1）由A1O⊥DE，平面A1DE⊥平面BCED，可知A1O⊥平面BCED，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（2）作DP⊥BC于P，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离，即可得解．【解答】（1）证明：由题意知，A1D＝A1E，因为点O是DE的中点，所以A1O⊥DE，因为平面A1DE⊥平面BCED，平面A1DE∩平面BCED＝DE，A1O⊂平面A1DE，所以A1O⊥平面BCED，又A1O⊂平面A1OB，所以平面A1OB⊥平面BCED．（2）解：作DP⊥BC于P，则BP＝1，因为DE∥BC，所以DP⊥DE，以D为坐标原点，DP，DE所在直线分别为x，y轴，作Dz⊥平面BCED，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，1，2），O（0，1，0），B（2，﹣1，0），C（2，3，0），因为F为A1C的中点，所以F（1，2，1），所以＝（0，0，2），＝（2，﹣2，0），＝（1，1，1），设面A1OB的法向量为＝（x，y，z），则，即，取x＝1，则y＝1，z＝0，所以＝（1，1，0），故点F到面A1OB的距离为＝＝．18．【答案】（1）x＝2或7x+24y﹣86＝0；（2）10．【分析】（1）将圆的方程化为标准式，再分斜率存在与不存在两种情况讨论；（2）依题意直线l过圆心C，即可求出直线l的方程，即可得到，利用锐角三角函数求出|AD|，从而求出|CD|，从而得解．【解答】解：（1）圆C：x2+4x+y2﹣12＝0，即（x+2）2+y2＝16，所以圆心C（﹣2，0），半径r＝4，当斜率不存在时直线的方程为x＝2，符合题意；当斜率存在时，设斜率为k，则y﹣3＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+3＝0，则，解得，所以切线方程为7x+24y﹣86＝0，综上可得切线方程为x＝2或7x+24y﹣86＝0．（2）因为直线l是圆C的一条对称轴，所以直线l过圆心C，则直线l的方程，即3x﹣4y+6＝0，则，又，即，所以|AD|＝3，则，同理可得|CE|＝5，所以|DE|＝10．19．【答案】（1）证明见解答；（2）；（3）线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF．【分析】（1）先证明四边形CDFE为平行四边形，从而得到DF∥CE，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）在平面ABEF内，过A作Az⊥AB，证明AD⊥AB，AD⊥Az，Az⊥AB，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BCF的法向量，由向量的夹角公式求解即可；（3）利用待定系数法求出平面ACE的法向量，利用向量垂直的坐标表示，证明平面ACE与平面BCF不可能垂直，即可得到答案．【解答】（1）证明：因为CD∥EF，且CD＝EF，所以四边形CDFE为平行四边形，所以DF∥CE，因为DF⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，所以DF∥平面BCE；（2）解：在平面ABEF内，过A作Az⊥AB，因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，又Az⊂平面ABEF，Az⊥AB，所以Az⊥平面ABCD，所以AD⊥AB，AD⊥Az，Az⊥AB，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz．由题意得，A（0，0，0），B（0，4，0），C（2，2，0），E（0，3，），F（0，1，），所以＝（2，﹣2，0），＝（0，﹣3，），设平面BCF的法向量为＝（x，y，z），则，令y＝1，则x＝1，z＝，所以＝（1，1，），平面ABF的一个法向量为＝（1，0，0），则cos＜，＞＝＝，所以平面CBF和平面BFA的夹角的余弦值为；（3）解：线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF，理由如下：设平面ACE的法向量为＝（a，b，c），所以，令b＝1，则a＝﹣1，c＝﹣，所以＝（﹣1，1，﹣），因为•＝﹣1+1﹣3≠0，所以平面ACE与平面BCF不可能垂直，从而线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF．20．【答案】（1）（﹣2，+2）；（2）k＝；（3）（，）或（，）．【分析】（1）利用相交时圆心距的位置关系可求r的取值范围；（2）联立直线与圆C1，写出韦达定理，结合数量积代换可求实数k的值；（3）由两圆半径相等，两直线11和12截得圆C1和圆C2，弦长相等可得弦心距相等，得＝，转化为求方程组的解即可．【解答】解：（1）由题意得，圆C1的圆心C1（﹣3，1），r1＝2，圆C2的圆心C2（4，5），半径为r，|C1C2|＝＝，∵圆C1与圆C2相交，∴|r﹣2|＜|C1C2|＜r+2，即|r﹣2|＜＜r+2，解得：﹣2＜r＜+2，∴r∈（﹣2，+2）．（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），直线与圆C1联立，得（1+k2）x2+6x+5＝0，由Δ＞0得k2＜，x1+x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1，∵，∴x1x2+y1y2＝（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1＝4，∴5+﹣3＝0，解得：k＝，∵k2＜，∴k＝．（3）由题意得C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝4，设P（m，n），直线l1和l2的方程分别为y﹣n＝k（x﹣m），y﹣n＝﹣（x﹣m），即kx﹣y+n﹣kn＝0，﹣x﹣y+n+＝0，由题意可知，圆心C1到直线l1的距离等于C2到直线l2的距离，则＝，化简得（2﹣m﹣n）k＝m﹣n﹣3或（m﹣n+8）k＝m+n﹣5，则有或，故P（，）或（，）．21．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）由于A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），由定义，求d（A，B）的值．（Ⅱ）利用反证法进行证明即可；（Ⅲ）根据存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．【解答】解：（Ⅰ）由于A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），由定义，可得d（A，B）＝4．…（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T向量序列，A1，A2，A3，…A n，使得A1＝（1，1，1，1，1），A m＝（0，0，0，0，0）．因为向量A1＝（1，1，1，1，1）的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，不妨设A1的第i（i＝1，2，3，4，5）个分量1变化了2n i﹣1次之后变成0，所以将A1中所有分量1变为0共需要（2n1﹣1）+（2n2﹣1）+（2n3﹣1）+（2n4﹣1）+（2n5﹣1）＝2（n1+n2+n3+n4+n5﹣2）﹣1次，此数为奇数．又因为，说明A i中的分量有2个数值发生改变，进而变化到A i+1，所以共需要改变数值2（m﹣1）次，此数为偶数，所以矛盾．所以该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．…（9分）（Ⅲ）存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，此时m＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．…（13分）。

2024北京四中高三数学保温测试本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.设集合{}1,2A =，(),B a =-∞，若{}1A B = ，则实数a 的取值范围是（）A.()1,2B.(]1,2 C.[)1,2 D.[]1,22.如果复数2i12ib -+（其中i 为虚数单位，b 为实数）为纯虚数，那么b =（）A.1B.2C.4D.4-3.已知,x y ∈R ，且0x y +>，则（）A.110x y+> B.33x y +> C.()lg 0x y +> D.()sin 0x y +>4.函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数.若()11f =-，则满足()121f x -≤-≤的x 的取值范围是（）A.[]2,2-B.[]1,1- C.[]0,4 D.[]1,35.已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则FN =（）A.4B.5C.6D.76.若0a ∃>，使得()()f x a f x a +>-对任意x R ∈成立，则()f x 可以是（）A.12x⎛⎫ ⎪⎝⎭B.sin xC.3x x- D.21x -7.已知圆()()221x a y b -+-=经过原点，则圆上的点到直线2y x =+距离的最大值为（）A.21+8.已知数列{}n a 的通项为22n a n n λ=-，则“1λ≤”是“*n ∀∈N ，1n n a a +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，若存在1233π,,0,2x x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1x ，2x ，3x 彼此不等），使得()()()123f x f x f x ==，设123x x x ++的最大值为M ，最小值为N ，则M N -=（）A.π3B.πC.4π3D.3π210.已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，下列结论正确的是（）A.若0q >，则{}n a 是递增数列或递减数列B.若10a >，12023a S ≥，则()1,0q ∈-C.若21q <，则M ∃∈R ，使得*N n ∀∈，n S M≤D.若0a ≤，则n S 有最大值第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

几何证明选讲、参数方程与极坐标系——北京四中学习要求◆掌握与圆有关的切线、割线、面积、四点共圆及相似三角形的问题．◆能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.◆能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.◆了解参数方程，了解参数的意义.◆分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.真题体验1．如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF 与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是( )A．①②B．②③C．①③D．①②③解析：①项，∵BD＝BF，CE＝CF，∴AD＋AE＝AC＋CE＋AB＋BD＝AC＋AB＋CF＋BF＝AC＋AB ＋BC，故①正确；②项，∵AD＝AE，AD2＝AF·AG，∴AF ·AG ＝AD ·AE ，故②正确；③项，延长AD 于M ，连结FD ，∵AD 与圆O 切于点D ，则∠GDM ＝∠GFD ，∴∠ADG ＝∠AFD ≠∠AFB ，则△AFB 与△ADG 不相似，故③错误，故选A.2． 极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t(t 为参数) 所表示的图形分别是( )．A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线解析：由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，以12为半径的圆． 由x ＝－1－t 得t ＝－1－x ，代入y ＝2＋t 中，得y ＝1－x 表示直线．答案：D3． 在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心极坐标是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C ．(1,0) D ．(1，π) 解析：把圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2＋2y ＝0，得圆心的直角坐标为(0，－1)，故选B.答案：B4． 在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ圆心的距离为( )． A ．2 B. 4＋π29 C. 1＋π29 D. 3解析 点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3化为直角坐标为(1，3)，方程ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，故圆心为(1,0)，则点(1，3)到圆心(1,0)的距离为3，故选D.答案：D5． 已知圆C 的圆心是直线⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝1＋t(t 为参数)与x 轴的交点， 且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________．解析：直线⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋t (t 为参数)与x 轴的交点为(－1,0)， 故圆C 的圆心为(－1,0)．又圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，∴圆C 的半径为r ＝|－1＋0＋3|2＝2， ∴圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.答案：(x ＋1)2＋y 2＝26．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．解析：曲线ρ＝2sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由ρcos θ＝－1可化为x ＝－1.将x ＝－1代入x 2＋y 2－2y ＝0得x ＝－1，y ＝1，因此交点的直角坐标为(－1,1)，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4相似三角形的判定及有关性质(1)平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似．判定定理2：两角对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．(3)相似三角形的性质①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．(4)直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项．几何证明的难度应严格控制，在解决同一个问题的过程中，相似三角形(或全等三角形)的使用不超过两次，添置的辅助线一般不超过三条．直线与圆的位置关系(1)圆内接四边形的性质与判定定理性质：①圆的内接四边形对角互补．②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．判定：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．(3)相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(4)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点的割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(5)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．直角坐标与极坐标的互化如图，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．直线、圆的极坐标方程(1)直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置直线的极坐标方程①直线过极点：θ＝α；②直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；③直线过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . (2)几个特殊位置圆的极坐标方程①圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；②圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；③圆心位于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 参数方程(1)直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆、椭圆的参数方程①圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． ②椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．高考对该部分内容的考查以极坐标参数方程化为普通方程为主，注重基本运算，题型为填空题，难度不大．【例题1】►在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1， 解得a ＝2或a ＝－8.故a 的值为－8或2.在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标不唯一．极坐标和直角坐标互化关系式⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0是解决该类问题的关键．高考对该部分内容的考查多以填空题、解答题为主，考查简单的极坐标系中直线和圆的方程，或者求解极坐标中曲线的某个特征值．【例题2】► 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，点P 满足 OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.解：(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，由于M 点在C 1上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，即⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)． (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3. 所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.解决这类问题一般有两种思路：一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．参数方程的应用是高考的热点．主要考查直线和圆的参数方程、判断直线和圆的位置关系，求解有关最值问题等．题型为填空题、解答题，难度中等．【例题3】►已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长．解：(1)平方相加得：x 2＋y 2＝16，故曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t ，代入x 2＋y 2＝16，并整理得t 2＋33t －9＝0，设A 、B 对应的参数为t 1、t 2，则t 1＋t 2＝－33，t 1t 2＝－9.∴|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝37.(1)参数方程化普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行．(2)利用参数方程解决问题，关键是选准参数．。

2023北京四中高三（上）期中数 学（试卷满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1. 已知集合{|51}A x x =-<≤<，2{|9}B x x =≤，则A B = （A ）[3,1)-（B ）[3,1]-（C ）(5,3]-（D ）[3,3]-2. 若复数()()3i 1i z =-+，则z = （A）（B）（C（D）3. 化简5sin(π)2cos(π)αα+=- （A ）tan α（B ）tan α-（C ）1（D ）1-4. 下列函数中，值域为(1)+∞，的是 （A ）1sin y x=（B）1y =+（C ）lg(||1)y x =+（D ）21x y =+5. 函数sin 2y x =的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位后经过点(3π，则ϕ的最小值为（A ）12π（B ）6π（C ）3π（D ）65π6. 若1a >，则141a a +-的最小值为 （A ）4 （B ）6（C ）8（D ）无最小值7. 已知函数35()log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 （A ）(2,3)（B ）(3,4)（C ）(4,5) （D ）(5,6)8．已知函数()sin()f x x ϕ=+．则“(0)1f =”是“()f x 为偶函数”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 已知a ，0b >，且1≠a ，1≠b ，若log 1a b >，则 （A ）(1)(1)0a b -->（B ）(1)()0a a b -->（C ）(1)()0b a b -->（D ）(1)()0b b a -->10. 已知()f x =21|1|,02,0x x x x x -+<⎧⎨-≥⎩，若实数[]2,0m ∈-，则1|()(|2f x f --在区间[,1]m m +上的最大值的取值范围是（A ）15[,]44（B ）13[,]42（C ）13[,22（D ）1[,2]2二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知α为第二象限角，且sin α=πtan()4α+=_______．12. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若1316,2a S a ==，则公差d =_______，n S 的最大值为_________． 13．设(),()f x g x 分别是定义域为R的奇函数和偶函数，当0x >时，()()()()0f x g x f x g x ''-->，且(3)0g -=，则不等式()()0f x g x >的解集为 .14. 如图，为了测量湖两侧的A ，B 两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在B 点，距离A 点30km 处的C 点，以及距离C 点10km 处的D 点进行观测. 甲同学在B 点测得30DBC ∠= ，乙同学在C 点测得45ACB ∠= ，丙同学在D 点测得45BDC ∠= ，则A ，B 两点间的距离为_______km.15. 设函数()f x 定义域为D ，对于区间I D ⊆，若存在1212,,x x I x x ∈≠，使得12()()f x f x k +=，则称区间I 为函数()f x 的k T 区间. 给出下列四个结论：①当2a <时，(,)-∞+∞是3x y a =+的4T 区间；②若[,]m n 是2y x x =-的4T 区间，则n m -的最小值为3；③当3ω≥时，[π,2π]是cos y x ω=的2T 区间；④当5π10πA ≤≤时，[π,+)∞不是2sin +1A xy x =的2T 区间； 其中所有正确结论的序号为 . 三、解答题：（本大题共6小题，共85分）16．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足234a b ==，6516a b ==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求和：135b b b +++…21n b -+．17.（本小题满分13分）已知函数2π()cos 22sin (6f x x x =--．（Ⅰ）求π()2f 的值；（Ⅱ）求()f x 的对称轴；（Ⅲ）若方程()1f x =-在区间[0,]m 上恰有一个解，求m 的取值范围．18.（本小题满分14分）在△ABC 中，sin cos 02B b A a -=.（Ⅰ）求B ∠；（Ⅱ）若b =ABC 存在且唯一确定，并求a 及△ABC 的面积.条件①：c =条件②：sin sin 2sin A C B +=；条件③：21ac =.19．（本小题满分15分）已知函数()2e [(21)1]xf x x a x =-++.（Ⅰ）若12a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）当0a >时，若对任意实数x ，2()(23)e a f x a >-恒成立，求a 的取值范围.20.（本小题满分15分）已知函数22ln ()(1)xf x a x x=+-.（Ⅰ）当0a =时，求()f x 的极值；（Ⅱ）当1a =时，求()f x 在[1,)+∞上的最小值；（Ⅲ）若()f x 在(1,e)上存在零点，求a 的取值范围.21.（本小题满分15分）已知集合12{,,,}(3)n S a a a n =≥ ，集合{(,)|,,}T x y x S y S x y ⊆∈∈≠，且满足,(,1,2,,,)i j a a S i j n i j ∀∈=≠ ，(,)i j a a T ∈与(,)j i a a T ∈恰有一个成立. 对于T 定义1,(,)(,)0,(,)T a b Td a b b a T ∈⎧=⎨∈⎩，以及1,()(,)nT i T i j j j i l a d a a =≠=∑，其中1,2,,i n = .例如22123242()(,)(,)(,)(,)T T T T T n l a d a a d a a d a a d a a =++++ .（Ⅰ）若1232244,(,),(,),(,)n a a a a a a T =∈，求2()T l a 的值及4()T l a 的最大值；（Ⅱ）从1(),,()T T n l a l a 中任意删去两个数，记剩下的数的和为M ，求M 的最小值（用n 表示）；（Ⅲ）对于满足()1(1,2,,)T i l a n i n <-= 的每一个集合T ，集合S 中是否都存在三个不同的元素,,e f g ，使得(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=恒成立？请说明理由.改：（Ⅱ）若6n =，从1(),,()T T n l a l a 中删去一个最大值和一个最小值，记剩下的数的和为M ，求M 的最小值；16,()()15T T n n l a l a =++= ，最大值5A ≤，最小值2B ≤，否则3615⨯>于是15528M ≥--=，构造16(),,()T T l a l a 为5，2，2，2，2，2构造121314151624253234434654566263{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}T a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =，即\,1,1,1,1,10,\,0,1,1,00,1,\,0,1,00,0,1,\,0,10,0,0,1,\,10,1,1,0,0,\⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，恰好取得等号.参考答案一、选择题CBDDB CBADC 二、填空题11. 1212. 2,12- 13. (3,0)(3,+)-∞14. 15. ①③④12题：前3分后2分15题：2分，3分，5分三、解答题16．（共13分）解：（Ⅰ）因为 21614,516,a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩ ……2分所以 11,3.a d =⎧⎨=⎩ ……4分从而 32n a n =-. ……6分（Ⅱ）因为2314514,16,b b q b b q ⎧==⎨==⎩ ……8分所以 121,4.b q =⎧⎨=⎩ ……10分所以22211211()4n n n n b b q q ----=⋅== ， ……11分所以135211441143n n n b b b b ---+++==- . ……13分17. 解：（1）5()22f π=- ……3分（2）()13f x x π=+- ……8分1()212x k k Z ππ=+∈ ……10分（3）5[,)36m ππ∈ ……13分18. 解：（Ⅰ）由正弦定理得，由题设得，，因为，所以所以.,. ……4分（Ⅱ）选条件①：c =由正弦定理sin sin b c B C =得sin C =，sin sin b A a B =sin cos02Ba B a -=2sincos cos 0222B B Ba a -=022B π<<cos 0.2B a ≠1sin22B =26B π=3B π=因为，所以cos C =sin sin()A B C =+=，进而a =1sin 2S bc A ==+……14分选条件②：由正弦定理得2a c b +==由余弦定理得2222cos ,18b a c ac B ac =+-=，所以1sin 2S ac B ==由18a c ac ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得a c ==……14分19. 解：（1）1y x =-+ ……4分（2）2()[(12)2](2)(1)x x f x e x a x a e x a x '=+--=-+ ……6分①12a >-，(,1),(2,)a -∞-+∞增，(1,2)a -减 ……8分②12a <-，(,2),(1,)a -∞-+∞增，(2,1)a -减 ……10分③12a =-，(,)-∞+∞增 ……11分（3）首先(2)f a 为()f x 在(1,)-+∞上的极小值，也是最小值。

2019届北京市第四中学高三第一学期期中考试数学（理科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．设函数的定义域为，函数的值域为，则A ．B ．C ．D ．2．下列函数，其中既是偶函数又在区间上单调递减的函数为A ．B ．C ．D ．3．函数（）的大致图象是A ．B ．C ．D ． 4．执行如图所示的程序框图．若输出的结果是，则判断框内的条件是A ．? B ．? C ．? D ．?5．函数（）的部分图像如图所示，则函数表达式为A ．B ．C ．D ．6．原命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是A ．逆命题为：若，中至少有一个不小于1，则，为假命题B ．否命题为：若，则，都小于1，为假命题C ．逆否命题为：若，都小于1，则，为真命题D ．“”是“，中至少有一个不小于1”的必要不充分条件7．设，定义符合函数，则下列等式正确的是此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．B ．C ．D ．8．已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6二、填空题9．i 为虚数单位，计算_______________。

10．.11．命题“，使得成立”的否定是____________。

12．在极坐标系中，为极点，点为直线上一点，则的最小值为______．13．已知函数，则，的最小值是．14．对于函数，若存在一个区间，使得，则称A为的一个稳定区间，相应的函数叫“局部稳定函数”，给出下列四个函数：①；②；③；④，所有“局部稳定函数”的序号是_____________。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理北京四中 李伟练习：已知有0，1，2，3，4共5个数字.（1）由这5个数字可以组成多少个三位数？（2）由这5个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？1．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号mn A 表示.注：(1) 相同的排列：元素相同且顺序相同.(2) 当m=n 时，称为n 个元素的全排列.练习：已知有0，1，2，3，4共5个数字.（1）由这5个数字可以组成多少个三位数？（2）由这5个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？（3）由这5个数字可以组成多少个三位偶数？（4）由这5个数字可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？（5）由这5个数字可以组成多少个能被5整除的三位数？（6）由这5个数字可以组成多少个比300小的三位数？（7）由这5个数字可以组成多少个比300小的自然数？2．排列数公式:()()()()!121!mn n A n n n n m n m =---+=-；特殊地：（1）全排列!nn A n =；（2）规定：0!1=。

例1、 求证：11A A A m m m n n n m -++=.例2、7个人站成一排.（1）甲站在中间的不同排法有多少种？（2）甲不站在左端且乙不站在右端的不同排法有多少种？（3）甲、乙相邻的不同排法有多少种？（4）甲、乙、丙两两不相邻的不同排法有多少种？（5）甲、乙、丙按从左到右的顺序站，不同的排法有多少种？例3、用1, 3,6,7,8,9组成无重复数字的四位数,由小到大排列.（1）第114个数是多少?（2）3796是第几个数?练习：用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1 和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而 7与8不相邻，这样的八位数共 有多少个？小结：排列问题的常用方法：。

高中数学高考综合复习专题三十三概率一、知识网络二、高考考点1、等可能性事件的概率问题；2、互斥事件有一个发生的概率问题；3、相互独立事件同时发生的概率问题；4、上述概率公式的综合运用问题。

三、知识要点（一）随机事件的概率1．随机事件在一定的条件下必然发生的事件，叫做必然事件；在一定的条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。

2．随机事件的概率在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，并在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。

必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0；随机事件的概率P（A）∈[0，1]。

提醒：注意频率与概率的区别和联系。

设随机事件A在n次试验中发生了m次，则比值叫做随机事件A的频率（或相对频率），在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率有稳定性——总在某个常数附近摆动，并且随着试验次数的不断增多，这种摆动的幅度越来越小，此时，这个常数即为随机事件A的概率，概率可以看作频率在理论上的期望值。

3．等可能性事件的概率（古典概型）（1）等可能性事件如果在随机试验中可能出现有限个不同的试验结果，并且这些试验结果出现的可能性都相等，那么这一试验中的某一事件A称为等可能性事件。

（2）古典概型公式（Ⅰ）基本事件一次试验连同可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

认知：基本事件是不可能再分的事件，一次试验中只能出现一个基本事件。

通常一次试验中的某一事件A由几个基本事件组成。

（Ⅱ）概率公式如果一次试验中可能出现的结果有n个（即此试验由n个基本事件组成），而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率（Ⅲ）集合解释在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合Ⅰ（这n个结果就是集合Ⅰ的n个元素），各基本事件均对应于集合Ⅰ的含有1个元素的子集，包含m个结果的事件A对应于含有m个元素的子集A，则。

2024北京四中高三（上）期中数 学（试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 已知全集R U =，集合{}240A x x =−<，{}1B x x =≥，则()UA B ⋂=（ ）A. ()1,2B. ()2,2−C. (),2∞−D. ()2,1−2. 不等式111x x >−的解集为（ ） A. (0,)+∞ B. (1,)+∞ C. (0,1)D. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3. 已知边长为2的正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点E ，则AE BC ⋅=（ ） A. 2B. 2−C. 1D. 1−4. 已知函数()23f x x x=−−，则当0x <时，()f x 有（ ）A. 最大值3+B. 最小值3+C. 最大值3−D. 最小值3−5. 设,a b R ∈，则“a b >”是“22a b >”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β的终边关于y 轴对称.若2cos23α=，则cos β=（ ）A.19B. 19−C.9 D. 9−7. 近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量Q 与时间t （单位：年）的关系为0e t aQ Q−=，其中0Q 是臭氧的初始含量，a 为常数.经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再．经过n 年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，n 约为（ ） （参考数据：ln 20.7≈，ln10 2.3≈） A. 280B. 300C. 360D. 6408. 已知函数()1,2,x x x af x x a +≤⎧=⎨>⎩，若()f x 的值域为R ,则实数a 的取值范围是（ ）A. (,0]−∞B. [0,1]C. [0,)+∞D. (,1]−∞9. 已知0a >，记sin y x =在[],2a a 的最小值为a s ，在[]2,3a a 的最小值为a t ，则下列情况不可能的是（ ）A. 0a s >，0a t >B. 0a s <，0a t <C. 0a s >，0a t <D. 0a s <，0a t >10. 已知在数列{}n a 中，1a a =，命题:p 对任意的正整数n ，都有12nn n a a a +=−．若对于区间M 中的任一实数a ，命题p 为真命题，则区间M 可以是（ ） A. ()3,4 B. ()2,3 C. 3216,115⎛⎫⎪⎝⎭ D. 832,311⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知复数5i2iz =−，则z =______. 12. 已知函数()33log ,0,,0.x x f x x x >⎧=⎨<⎩若()()273f f a =，则a =______. 13. 已知幂函数y x α=的图像经过()0,0A ，()1,1B ，()1,1C −，()4,2D 中的三个点，写出满足条件的一个α的值为______. 14. 在ABC 中，1tan 4A =，3tan 5B =.（1）C ∠=_____； （2）若ABC，则最短边的长为______.15. 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M −.例如，当()31x x ϕ=，()2sin x x ϕ=时，()1x A ϕ∈，()2x B ϕ∈.给出下列命题：①“函数()f x A ∈”的充要条件是“t R ∀∈，关于x 的方程()f x t =都有实数解”； ②“函数()f x B ∈”的充要条件是“()f x 既有最大值，也有最小值”； ③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()()f x g x B ⋅∈，则()g x B ∈；④若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉.其中，正确命题的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.16. 已知函数()sin cos cos sin f x x x ωϕωϕ=+，其中0ω>，π2ϕ<.记()f x 的最小正周期为T ，()2f T =−. （1）求ϕ的值；（2）若()f x 与x 轴相邻交点间的距离为π2，求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. 在ABC 中，2cos 2c A b a =−.（1）求C ∠的大小；（2）若c =，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求AC 边上中线的长.条件①：ABC 的面积为条件②：1b a −=； 条件③：1sin sin 2B A −=. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18. 已知函数()()2121ln 2f x x x x x =+−−. （1）求()f x 的单调区间； （2）若关于x 的不等式()f x x a '<−+有解，求实数a 的取值范围.19. 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点为A ，C 的长轴长为4，焦距为过定点(),0T t （2t ≠±）作与x 轴不重合的直线交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N .（1）求C 的方程；（2）是否存在点T ，使得OM ON ⋅等于定值13？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由. 20. 已知函数()e xf x x ax =−，R a ∈.（1）当e a =时，求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程； （2）若函数()f x 是单调递增函数，求a 的取值范围；（3）当0a ≥时，是否存在三个实数123x x x <<且()()()123f x f x f x ==？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.21. 已知集合{}1,2,3,,A n =⋅⋅⋅，其中*N n ∈，1A ，2A ，…，m A 是A 的互不相同的子集.记i A 的元素个数为i M （1,2,,i m =⋅⋅⋅），ij A A 的元素个数为ij N （1i j m ≤<≤）.（1）若4n =，3m =，{}11,2A =，{}21,3A =，13231N N ==，写出所有满足条件的集合3A （结论不要求证明）；（2）若5n =，且对任意的1i j m ≤<≤，都有0ij N >，求m 的最大值；（3）若给定整数7n ≥，3i M ≤（1,2,,i m =⋅⋅⋅）且对任意1i j m ≤<≤，都有1ij N =，求m 的最大值.参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 【答案】D【分析】先求出集合A ，然后求出UB ，进而求得()U A B ⋂.【详解】由240x −<，得22x −<<，所以{}|22A x x =−<<, 因为{}|1B x x =≥，所以{}|1UB x x =<,所以(){}|21UA B x x ⋂=−<<.故选：D. 2. 【答案】C【分析】根据题意，由条件可得10(1)x x −>−，即可得到结果.【详解】111x x >−，则11101(1)x x x x −−=>−−，解得01x <<，故原不等式的解集为()0,1． 故选：C3. 【答案】A【分析】找基底分别表示,AE BC ，然后计算即可. 【详解】由题可知，111222AE AC AB AD ==+,BC AD =, 所以2111122222AE BC AB AD AD AB AD AD ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+= ⎪⎝⎭故选：A 4. 【答案】B【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由题意当0x <时，()()233f x x x ⎡⎤⎛⎫=+−+−≥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，等号成立当且仅当x = 故选：B. 5. 【答案】D【详解】若0,2a b ==−，则22a b <，故不充分；若2,0a b =−=，则22a b >，而a b <，故不必要，故选D.考点：本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键. 6. 【答案】A【分析】根据对称得2k βππα=+−，再结合二倍角的余弦公式和诱导公式即可. 【详解】由题意2,Z k k αβππ+=+∈，即2k βππα=+−，而2221cos 2cos 121239αα⎛⎫=−=⨯−=− ⎪⎝⎭，()1cos cos 2cos 9k βππαα=+−=−=． 故选：A ． 7. 【答案】C【分析】根据题意建立等式，然后化简求解即可. 【详解】由题可知，28028000000.5,0ee.2an aQ Q Q Q −−+== ，即280280ln 2,ln 5na a+==， 两式相比得280ln 5ln10ln 2280ln 2ln 2n +−== 解得360n ≈ 故选：C 8. 【答案】B【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数a 的取值进行分类讨论即可. 【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数1y x =+和()2x g x =的图象如下图所示：由图可知，当0x =或1x =时，两图象相交，若()f x 的值域是R ，以实数a 为分界点，可进行如下分类讨论： 当a<0时，显然两图象之间不连续，即值域不为R ； 同理当1a >,值域也不是R ；当01a ≤≤时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是R ； 综上可知，实数a 的取值范围是01a ≤≤. 故选：B 9. 【答案】D【分析】先取特殊值，判断可能得选项，然后综合选项得到答案即可. 【详解】由题可知，0a >，区间[],2a a 与[]2,3a a 的区间长度相同；取π6a =，则[][]ππππ,2,,2,3,6332a a a a ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时0a s >，0a t >，故A 可能； 取7π6a =，则[][]7π7π7π7π,2,,2,3,6332a a a a ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时0a s <，0a t <，故B 可能； 取5π12a =，则[][]5π5π5π5π,2,,2,3,12664a a a a ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时0a s >，0a t <，故C 可能； 由三角函数性质可知，假设0a s <，0a t >成立，必然有πa >，所以区间[],2a a 与[]2,3a a 的区间长度大于π，根据sin y x =的函数图象可知， 当区间长度大于π，sin y x =在区间[],2a a 与[]2,3a a 上的取值必然有正有负， 此时0a s <，0a t <，故与假设矛盾，故D 不可能. 故选：D 10. 【答案】D【分析】根据递推关系分析式子要有意义，数列中的项不能取那些值即可求解. 【详解】p 为真命题，则2n a ≠， 由2n a ≠从后往前推，14n a −≠，283n a −≠, 3165n a −≠,3211n a −≠,,n k a −,而8(2,3)3∈，排除，16(3,4)5∈,排除， 由蛛网图可知3n k a −→,而63321,115∈⎛⎫⎪⎝⎭，n a 之前的项会趋向于3，所以C 项排除. 因为()24832,,311n n a a −−⎛⎫= ⎪⎝⎭，已经越过不能取的值，故正确.故选：D二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【分析】根据复数的除法和模的公式即可. 【详解】()()()5i 2i 5i 10i 512i 2i 2i 2i 5z +−====−+−−+，则z ==.. 12. 【答案】3【分析】首先求出()273f =，再对a 分类讨论即可. 【详解】()327log 273f ==， 则()33f a =，()1f a =，当0a >时，由3log 1a =，得3a =； 当0a <时，由31a =，得1a =.（舍去） 故答案为：3 13. 【答案】{}1N 21,Z 2k k αα⎧⎫∈=−∈⋃⎨⎬⎩⎭（取该集合中的任意一个元素均算正确）【分析】分类讨论过点D 和不过点D 的幂函数即可. 【详解】幂函数都经过点()1,1B ；若该幂函数经过点D ，可得1242αα=⇒=，该幂函数方程为y =()0,0A ， ()1,1B ，()4,2D ；若该幂函数不过点D ，则12α≠，此时过点()0,0A ，()1,1B ，()1,1C −， 显然{}N 21,Z k k ααα∈∈=−∈. 故答案为：{}1N 21,Z 2k k αα⎧⎫∈=−∈⋃⎨⎬⎩⎭（取该集合中的任意一个元素均算正确）14. 【答案】 ①.3π4②【分析】（1）利用三角形三内角和为π计算即可； （2）先确定最长边和最短边，然后利用正弦定理计算即可. 【详解】（1）由题可知()tan tan tan tan 11tan tan A BC A B A B+=−+=−=−−所以3π4C ∠=；（2）由题可知，最长边为边c =a ；易知sin ,sin 172A C ==由正弦定理可知，sin sin ca A C==故答案为：3π4； 15. 【答案】①③④【分析】①中，根据函数的定义域、值域的定义，转化成用简易逻辑语言表示出来；②中举反例保证函数的值域为集合[],M M −的子集，但值域是一个开区间，从而说明函数没有最值；③根据反证法可判断；④中根据函数的值域，可以发现()()f x g x +∈R ，从而发现命题正确； 【详解】对①，“()f x A ∈”即函数()f x 值域为R ，“t ∀∈R ，关于x 的方程()f x t =都有实数解”表示的是函数可以在R 中任意取值， 命题①是真命题；对②，若函数()f x B ∈，即存在一个正数M ，使得函数()f x 的值域包含于区间[],M M −． ()M f x M ∴−≤≤．例如：函数()f x 满足2()5f x −<<，则有5()5f x −≤≤，此时，()f x 无最大值，无最小值．命题②是假命题；对③，若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()()f x g x B ⋅∈， 则()f x 值域为R ，即()(,)f x ∈−∞+∞，()()f x g x M ≤，若()g x B ∉，则对任意的正实数()1u u >，总存在1X ，当1x X >时，()g x u >， 而()f x A ∈，故存在2X ，当2x X >时，()f x u >， 故当{}12max ,x X X >时，有()()2f xg x u u >>，这与()()f x g x M ≤矛盾，故()g x B ∈,故命题③是真命题． 对④，若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()f x 值域为R ，即()(,)f x ∈−∞+∞，并且存在一个正数M ，使得()M g x M −≤≤，()()f x g x ∴+∈R ，则()()f x g x B +∉．命题④是真命题．故答案为：①③④ 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.三、解答题共6小题，共85分.16. 【答案】（1）π3ϕ=−（2）()f x 的最小值为()f x的最大值为1【分析】（1）首先利用和差公式进行化简，再结合正弦型函数的周期性以及()2f T =−即可求得ϕ的值；（2）首先根据题意得出()f x 的最小正周期，进而可得()πsin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的图像与性质即可求得最值. 【小问1详解】由两角和与差的正弦公式可得()()sin cos cos sin sin f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+, 由于0ω>，则()f x 的最小正周期为2πT ω=，()()2sin sin 2πsin 2f T πωϕϕϕω⎛⎫=+=+==−⎪⎝⎭, 因为π2ϕ<，所以π3ϕ=−；【小问2详解】因为()f x 与x 轴相邻的两交点间的距离为π2，所以()πsin 3f x x ω⎛⎫=− ⎪⎝⎭的最小正周期为π， 所以2π2πω==，即()πsin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2,333x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的图像与性质可得：当ππ233x −=−即x =0时，()f x 取最小值2−, 当ππ232x −=即5π12x =时，()f x 取最大值1. 17. 【答案】（1）π3（2）选①时三角形不存在；选②时AC 边上的中线的长为1；选③时AC 边上的中线的长为1. 【分析】（1）由正弦定理及sin sin cos cos sin B A C A C =+得到1cos 2C =，结合()0,πC ∈，得到π3C =； （2）选①，由三角形面积和余弦定理得到2211a b +=，由222a b ab +≥推出矛盾； 选②，先求得2ab =，则可得1,2a b ==，再利用余弦定理求解即可得中线长. 选③，根据三角恒等变换得到π6A =，ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，由正弦定理得到AC ，求出中线. 【小问1详解】 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =−， 得2sin cos 2sin sin C A B A =−.（i ）因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+.（ii ） 由（i ）（ii ）得2sin cos sin 0A C A −=.因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠. 所以1cos 2C =.因为()0,πC ∈，所以π3C =.【小问2详解】选①，ABC 的面积为1sin 2ab C =，即4ab =8ab =，因为c =，由余弦定理得222cos 2a b c C ab+−=，即2231162a b +−=，解得2211a b +=，由基本不等式得222a b ab +≥，但1128<⨯， 故此时三角形不存在，不能选①， 选条件②：1b a −=，两边平方得2221a b ab +−=，（iii ）由余弦定理得223122a b ab +−=，即223a b ab +−=，（iiii ） 联立（iii ）（iiii ）得2ab =，所以1,2a b ==， 设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+−⋅2242b ab a =+−1=. 所以AC 边上的中线的长为1. 选条件③：1sin sin 2B A −=. 由（1）知，π33ππ2B A A ∠=−−∠=−∠.所以2π1sin sin sin sin cos sin sin 322B A A A A A A ⎛⎫−=−−=+−⎪⎝⎭1cos sin 22A A =−π=sin 3A ⎛⎫− ⎪⎝⎭.所以π1sin 32A ⎛⎫−=⎪⎝⎭. 因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭. 所以π3π6A −=，即π6A =. 所以ABC 是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =，所以2sin sin 3AB AC C ===. 所以AC 边上的中线的长为112AC =. 18. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(0,1)，()f x 的单调递减区间(1,)+∞ （2）22ln 2a >−【分析】（1）求出函数的定义域，1()2ln f x x x x '=+−，设1()2ln h x x x x=+−，2'2(1)()0−=−≤x h x x恒成立，由(1)0h =，利用导数与函数单调性的关系即可求解. （2）令1()2ln g x x a x=+−，利用导数求出()g x 的最小值，使()min 0g x <，解不等式即可求解. 【小问1详解】 定义域为{|0}x x >，1()2ln f x x x x'=+−， 设1()2ln h x x x x=+− 2'2(1)()0−=−≤x h x x恒成立 所以()h x 在()0,+∞上是减函数，且(1)0h = 则当(0,1)x ∈时，()0h x >，即()0f x '>， 则当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(0,1)，()f x 的单调递减区间(1,)+∞ 【小问2详解】由（1）知1()2ln f x x x x'=+−，所以1()2ln '+−=+−f x x a x a x ，令1()2ln g x x a x=+−， 222121()x g x x x x−'=−=， 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>， 所以()g x 在()0,+∞上的最小值为112ln 222ln 222g a a ⎛⎫=+−=−−⎪⎝⎭， 所以若关于x 的不等式()0g x <有解，则22ln 20a −−<， 即22ln 2a >−19. 【答案】（1）2214x y +=（2）存在，1t =或4t =【分析】（1）由题可知，24,2a c ==，然后利用,,a b c 的关系求解即可.（2）先设直线PQ 的方程为x my t =+，()()1122,,,P x y Q x y ，然后直线方程与椭圆方程联立，计算得到212122224,44mt t y y y y m m −−+==++，然后求出1120,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，再计算OM ON 的值，化简最后求出t 即可. 【小问1详解】由题可知，24,2a c ==得2,1a c b ====所以椭圆C 的方程为2214x y +=【小问2详解】由题可知，直线PQ 不能水平，A (−2,0)设直线PQ 的方程为x my t =+，()()1122,,,P x y Q x y联立()22222142404x y m y mty t x my t ⎧+=⎪⇒+++−=⎨⎪=+⎩所以Δ=(2mt )2−4(m 2+4)(t 2−4)=16(m 2−t 2+4)>0212122224,44mt t y y y y m m −−+==++ 直线AP 方程为y =y 1x 1+2(x +2)所以1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭，同理2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭所以()()121212122242222y y y y OM ON x x my t my t =⨯=++++++ ()()()()()221222222121222444442222244t y y m t mt m y y m t y y t m m t t m m −+==−−+++++++++++()()()()22242222224t t t m t m t t m −−==+−−+++ 若13OM ON ⋅=，得4t =或1t =当4t =时，Δ=16(m 2−12)>0，得m >m <− 当1t =时，Δ=16(m 2+3)>0恒成立， 所以存在点T ，使得OM ON ⋅等于定值13，1t =或4t =. 20. 【答案】（1）e e y x =− （2）21e a ≤−（3）不存在，理由见解析.【分析】（1）按照求具体函数在某点处的切线方程的方法求解即可；（2）先求导，然后利用导函数大于等于零恒成立，参变分离，求参数的范围即可； （3）先判断函数()e xf x x ax =−的单调性的情况，然后再判断不存在即可.【小问1详解】 由题得()e e xf x x x =−所以()()10,e e e xxf f x x ==+−'所以()1e f '=所以在点(1,f (1))处的切线方程为e e y x =−. 【小问2详解】由题得()()1e xf x x a =+−'要使函数()f x 是单调递增函数， 则()()1e 0xf x x a '=+−≥恒成立，即()1e xa x ≤+恒成立，令()()1e xg x x =+得()min a g x ⎡⎤≤⎣⎦，()()2e xg x x ='+令()()2e 0xg x x =+='，得2x =−显然，当2x <−时，()0g x '<，所以函数()()1e xg x x =+单调递减；当2x >−时，()0g x '>，所以函数()()1e xg x x =+单调递增；故()()2min12e g x g ⎡⎤=−=−⎣⎦所以21e a ≤−【小问3详解】 不存在，理由如下， 由题得()()1e xf x x a =+−'因为0a ≥，显然当1x ≤−时，()()1e 0xf x x a '=+−≤，f ′(a )=(1+a )e a −a >0由（2）可知，()()f x g x a '=−在()2,∞−+单调递增， 所以()()1e xf x x a =+−'在R 上由唯一的零点[)01,x a ∈−当0x x <时，f ′(x )<0，所以()f x 单调递减； 当0x x >时，f ′(x )>0，所以()f x 单调递增；所以当0a ≥时，不存在三个实数123x x x <<且()()()123f x f x f x ==. 21. 【答案】（1）3{1}A =或3{1,4}A =或3{2,3}A =或3{2,3,4}A = （2）max 16=m （3）max m n =【分析】（1）根据新定义对交集情况分类讨论即可；（2）将集合{1,2,3,4,5}A =的子集进行两两配对得到16组，写出选择A 的16个含有元素1的子集即可得到max m ；（3）分1~m A A 中有一元集合和没有一元集合但有二元集合，以及1~m A A 均为三元集合讨论即可. 【小问1详解】因为13231N N ==，则13A A ⋂和23A A 的元素个数均为1，又因为{}{}124,1,2,1,3n A A ===，则{}1,2,3,4A =， 若{}131A A ⋂=，{}231A A ⋂=，则3{1}A =或3{1,4}A =； 若{}132A A ⋂=，{}233A A ⋂=，则3{2,3}A =或3{2,3,4}A =； 综上3{1}A =或3{1,4}A =或3{2,3}A =或3{2,3,4}A =. 【小问2详解】集合{1,2,3,4,5}A =共有32个不同的子集， 将其两两配对成16组,(1,2,,16)i i B C i =，使得,i i i i B C B C A ⋂=∅⋃=，则,i i B C 不能同时被选中为子集(1,2,,)j A j m =，故16m ≤.选择A 的16个含有元素1的子集:12316{1},{1,2},{1,3},A A A A A ===⋯⋯=，符合题意. 综上，max 16=m . 【小问3详解】 结论:max m n =，令123{1},{1,2},{1,3},,{1,}n A A A A n ====，集合1~n A A 符合题意.证明如下：①若1~m A A 中有一元集合，不妨设1{1}A =，则其它子集中都有元素1，且元素2~n 都至多属于1个子集， 所以除1A 外的子集至多有1n −个，故m n ≤.②若1~m A A 中没有一元集合，但有二元集合，不妨设1{1,2}A =.其它子集分两类:{}1,j j B b =或{}1,,(1,2,,)j j b b j s '=，和{}2,j j C c =或{}2,,(1,2,,)j j c c j t '=，其中,,j j s t b b '≥互不相同，,j j c c '互不相同且均不为1，2.若0t =，则2s n ≤−，有11m s t n n =++≤−<若1t ≥，则由11j B C ⋂=得每个集合j B 中都恰包含1C 中的1个元素（不是2)， 且互不相同，因为1C 中除2外至多还有2个元素，所以2s ≤. 所以1122m s t n =++≤++<.③若1~m A A 均为三元集合，不妨设1{1,2,3}A =.将其它子集分为三类：{}{}{}1,,(1,2,,),2,,(1,2,,),3,,(1,2,,)j j j j j j j j j B b b j s C c c j t D d d j r '''======，其中s t r ≥≥. 若0t r ==，则32n s −≤(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合1~s B B )， 所以3112n m s n −=+≤+<. 若1t ≥，不妨设1{2,4,5}C =，则由11j B C ⋂=得每个集合j B 中都或者有4、或者有5， 又12,,,s B B B 中除1外无其它公共元素，所以2s ≤.所以112227m s t r n =+++≤+++=≤. 综上，max m n =.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分理解集合新定义，然后对1~m A A 中集合元素个数进行分类讨论；当1~mA A均为三元集合时，不妨设1{1,2,3}A=，再将其它子集分为三类讨论.。