高二数学知识点：排列与组合

高考数学知识点：排列与组合知识总结陈列组合与二项式定理知识点1.计数原理知识点①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM 〔分步〕②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM 〔分类〕2. 陈列〔有序〕与组合〔无序〕Anm=n〔n-1〕〔n-2〕〔n-3〕-…〔n-m+1〕=n！/〔n-m〕！ Ann =n！Cnm = n！/〔n-m〕！m！Cnm= Cnn-mCnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k k！=〔k+1〕！-k！3.陈列组合混合题的解题原那么：先选后排，先分再排陈列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再思索其他元素。

以位置为主思索，即先满足特殊位置的要求，再思索其他位置。

捆绑法〔集团元素法，把某些必需在一同的元素视为一个全体思索〕插空法〔处置相间效果〕直接法和去杂法等等在求解陈列与组合运用效果时，应留意：〔1〕把详细效果转化或归结为陈列或组分解绩；〔2〕经过火析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；〔3〕剖析标题条件，防止〝选取〞时重复和遗漏；〔4〕列出式子计算和作答。

经常运用的数学思想是：①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想。

4.二项式定理知识点：①〔a+b〕n=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+-…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn特别地：〔1+x〕n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m最大二项式系数在中间。

〔要留意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项〕一切二项式系数的和：Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和Cn0+Cn2+Cn4+ Cn6+ Cn8+...=Cn1+Cn3+Cn5+ Cn7+ Cn9+ (2)-1③通项为第r+1项：Tr+1= Cnran-rbr 作用：处置与指定项、特定项、常数项、有理项等有关效果。

高三数学排列和组合知识点数学作为一门理科学科，其中的排列和组合是高三学生必须掌握的重要知识点。

本文将为大家详细介绍高三数学排列和组合的知识，并提供一些相关例题和解析，帮助大家理解和掌握这一知识点。

一、排列的概念和性质排列是从给定的对象中选出一部分进行有序排列的方式，每个对象只能使用一次。

在排列中，对象的顺序是重要的。

下面是排列的一些基本概念和性质：1. 排列的定义：从n个不同的对象中取出m个进行有序排列，称为从n个对象中取出m个的排列，记作P(n,m)。

2. 排列的计算公式：P(n,m) = n!/(n-m)!3. 重要性质一：对于任意正整数n，有P(n,n) = n!，即n个不同的对象全排列的总数为n的阶乘。

排列数为1。

5. 重要性质三：P(n,1) = n，即从n个对象中取出一个对象进行排列的方式数为n。

二、组合的概念和性质组合是从给定的对象中选出一部分进行无序组合的方式，每个对象只能使用一次。

在组合中，对象的顺序不重要。

下面是组合的一些基本概念和性质：1. 组合的定义：从n个不同的对象中取出m个进行无序组合，称为从n个对象中取出m个的组合，记作C(n,m)。

2. 组合的计算公式：C(n,m) = n!/[(n-m)!*m!]3. 重要性质一：对于任意正整数n，有C(n,n) = 1，即n个不同的对象全组合的总数为1。

组合数为1。

5. 重要性质三：C(n,1) = n，即从n个对象中取出一个对象进行组合的方式数为n。

三、排列与组合的应用排列和组合在实际生活和数学问题中有着广泛的应用。

下面是一些常见的应用领域：1. 排列的应用：排列在一些需要考虑顺序的情况下很有用，比如密码的穷举破解和赛车比赛的计算等。

2. 组合的应用：组合在一些不考虑顺序的情况下很有用，比如从一组物品中选取特定数量的搭配问题和抽奖活动中奖的计算等。

四、例题和解析下面是一些与排列和组合相关的例题和解析，帮助大家更好地理解和应用这一知识点：例题一：有6个人参加足球比赛，其中3人是A队的球员，3人是B队的球员。

高考数学排列与组合知识点在高考数学中，排列与组合是一个重要的知识点。

它涉及到集合中元素的选择和排列方式，充满了逻辑思维和计算技巧。

掌握好这个知识点对于高考数学的考试是至关重要的。

下面我将从几个重要方面介绍排列与组合的基础知识和解题技巧。

一、基本概念1. 排列：排列是指从给定的元素集合中选择一部分元素，按照一定的顺序排列起来。

如果从n个不同元素中选取m个元素进行排列，那么排列的数目用P(n, m)表示，其计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，"!"表示阶乘运算，即n! = n(n-1)(n-2)...1。

2. 组合：组合是指从给定的元素集合中选择一部分元素，不考虑顺序的方式。

如果从n个不同元素中选取m个元素进行组合，那么组合的数目用C(n, m)表示，其计算公式为：C(n, m) = n! / [(n-m)! * m!]二、排列与组合的性质和定理1. 重复排列：当元素中有重复的情况时，排列的计算公式需要进行相应的修正。

假设有n个元素中有r1个元素相同，r2个元素相同......ri个元素相同，排列的数目可以通过以下公式计算：P(n, m) = n! / (r1! * r2! * ... * ri! * (n-m)!)2. 求整数解的排列：当要求整数解的排列时，我们可以使用分别代表每个数位的元素进行排列的方法。

比如，要求x、y、z三个整数之和为10，且满足x>0，y>0，z>0，我们可以将它们看作是从[1, 10]的元素集合中选取的排列。

3. 禁忌排列：禁忌排列是指排列中出现某些特殊情况需要剔除的情况。

比如，要求三个不同字母A、B、C排列成3位数，且BC不得出现，那么我们可以通过计算总的排列数减去BC出现的排列数得到最终的结果。

三、解题技巧1. 确定问题类型：在解决排列与组合问题时，首先需要明确题目中给出的要求是排列还是组合。

排列要考虑元素顺序，组合则不考虑。

高二数学排列和组合知识点排列与组合是高中数学中的重要内容，它们在解决实际问题时具有广泛的应用。

本文将详细介绍排列和组合的基本概念、公式以及解题方法，帮助学生掌握这一知识点。

基本概念排列和组合都是从一组元素中选择一定数量的元素进行分析的数学方法。

排列强调元素的顺序，而组合则不考虑元素的顺序。

排列1. 排列数公式：从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，记作A_{n}^{m}，计算公式为：\[ A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!} \]其中n!表示n的阶乘，即从1乘到n。

2. 举例说明：假设有5本不同的书，我们要选出2本来阅读。

如果考虑阅读的顺序，那么第一天读哪本书，第二天读哪本书是有区别的。

这里就有A_{5}^{2}种不同的排列方式。

组合1. 组合数公式：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，记作C_{n}^{m}，计算公式为：\[ C_{n}^{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!} \]同样，这里的n!表示n的阶乘。

2. 举例说明：继续上述的例子，如果我们只关心选出哪2本书来阅读，而不关心阅读的顺序，那么这就是一个组合问题。

计算方法为C_{5}^{2}。

解题方法1. 区分排列与组合：首先要明确问题是要求排列还是组合。

如果问题中涉及到元素的顺序，那么就是排列问题；如果不涉及顺序，则是组合问题。

2. 公式运用：根据问题的具体要求，选择合适的排列或组合公式进行计算。

3. 实际应用：排列和组合的知识可以应用于许多实际问题，如概率计算、统计分析等。

在解题时，要结合实际情况，灵活运用所学知识。

练习题1. 有7个人排队，其中甲必须排在乙的前面，问有多少种排队的排列方式？2. 一个班级有10个男生和5个女生，从中选出3个代表，其中至少有1个女生的组合有多少种？通过以上介绍和练习题，相信学生可以更好地理解和掌握排列与组合的概念、公式及解题方法。

在实际解题过程中，要注意区分排列和组合的不同，并正确运用公式，这样才能有效地解决问题。

高二数学学习：高二数学知识点排列组合公式你还在为高中数学学习而苦恼吗?别担心，看了高二数学学习：高二数学知识点排列组合公式以后你会有很大的收获：高二数学学习：高二数学知识点排列组合公式排列组合公式/排列组合计算公式排列P------和顺序有关组合C-------不牵涉到顺序的问题排列分顺序，组合不分例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法.排列把5本书分给3个人，有几种分法组合1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示.p(n，m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n！/(n-m)！(规定0！=1). 2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n，m)表示.c(n，m)=p(n，m)/m！=n！/((n-m)！*m！)；c(n，m)=c(n，n-m)；3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n，r)/r=n！/r(n-r)！.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这n个元素的全排列数为n！/(n1！*n2！*...*nk！).k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）=1；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m 2019-07-0813：30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

数学中的排列与组合知识点总结在数学中，排列和组合是两个重要的概念。

它们在各个领域都有广泛的应用，特别是在概率论、统计学和组合数学中。

本文将对排列和组合的概念、性质和应用进行总结。

一、排列的概念与性质排列是从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列。

设有n个元素，则从中选取m个元素进行排列的方式记为P(n, m)。

排列的计算公式为：P(n, m) = n!/(n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。

排列的性质如下：1. 排列数P(n, m)满足如下关系：P(n, m) = P(n-1, m) + P(n-1, m-1)2. 对于任意正整数n，有P(n, n) = n!，即n个元素的全排列数为n 的阶乘。

3. 当m>n时，P(n, m) = 0，即不能取出超过给定元素总数的元素进行排列。

4. 当m=0时，P(n, m) = 1，即不取任何元素进行排列时，排列数为1。

二、组合的概念与性质组合是从一组元素中选取若干个元素组成一个集合，而不考虑元素的顺序。

设有n个元素，则从中选取m个元素进行组合的方式记为C(n, m)。

组合的计算公式为：C(n, m) = n!/(m!(n-m)! )组合的性质如下：1. 组合数C(n, m)满足如下关系：C(n, m) = C(n-1, m) + C(n-1, m-1)2. 对于任意正整数n，有C(n, 0) = C(n, n) = 1，即不取任何元素或者取出全部元素的组合数为1。

3. 当m>n时，C(n, m) = 0，即不能取出超过给定元素总数的元素进行组合。

4. 组合数C(n, m)与排列数P(n, m)之间存在以下关系：C(n, m) = P(n, m)/m!三、排列与组合的应用1. 概率计算：排列和组合在概率计算中有广泛的应用。

组合和排列知识点总结1. 组合和排列的定义组合和排列是两种基本的组合数学概念，它们都与集合相关。

在数学中，集合是由一些互不相同的对象组成的整体，而排列和组合则是从一个给定的集合中选取一定数量的对象并按照一定的规则进行排列或组合。

排列是指从一个集合中取出一定数量的对象，并按照一定的顺序进行排列，即排列是有序的。

假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象按照一定的顺序进行排列，符合条件的排列个数称为排列数。

通常用P(n, m)表示排列数。

组合是指从一个集合中取出一定数量的对象，但不考虑其排列顺序，即组合是无序的。

假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象，符合条件的组合个数称为组合数。

通常用C(n, m)表示组合数。

2. 排列的性质排列具有一些基本的性质，这些性质在排列的计算中具有重要的意义。

（1）排列的计算公式在排列中，通过一个简单的计算公式可以求出排列数。

假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象按照一定的顺序进行排列，则排列数可以用以下公式计算：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。

（2）排列的性质排列具有如下的性质：- P(n, m) = n × (n-1) × … × (n-m+1)- P(n, n) = n!3. 组合的性质组合也具有一些基本的性质，这些性质在组合的计算中同样具有重要的意义。

（1）组合的计算公式在组合中，同样可以通过一个简单的计算公式求出组合数。

假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象，组合数可以用以下公式计算：C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]（2）组合的性质组合具有如下的性质：- C(n, m) = C(n, n-m)- C(n, 0) = 1- C(n, n) = 1- C(n, 1) = n- C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)4. 组合和排列的应用组合和排列在实际中有着广泛的应用，它们在数学、计算机科学、统计学等领域都有着重要的作用。

高考数学总复习考点知识专题讲解专题8 排列与组合知识点一排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．知识点二排列相同的条件两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素完全相同．(2)元素的排列顺序也相同．【例1】判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互打电话．知识点三 排列数的定义从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示． 知识点四 排列数公式及全排列 1．排列数公式的两种形式(1)A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，其中m ，n ∈N *，并且m ≤n .(2)A m n ＝n ！(n －m )！. 2．全排列：把n 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，全排列数为A n n ＝n ！(叫做n 的阶乘)．规定：0！＝1. 【例2】（2023•泰州期末）678910⨯⨯⨯⨯可以表示为()A ．410AB ．510AC ．410CD ．510C【例3】（2023•莱州市开学）已知18934x x A A -=，则x 等于() A ．6B ．13C ．6或13D ．12【例4】（2023•浑南区期末）12320222232022232022M A A A A =++++，20232023N A =，则M 与N 的大小关系是()A ．M N =B ．M N >C ．M N <D ．M N …知识点五“相邻”与“不相邻”问题相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法.【例5】3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)男、女各站在一起；(2)男生必须排在一起；(3)男生不能排在一起；(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．【例6】（2023•香坊区期末）加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须相邻，工序C，D不能相邻，那么有()种加工方法．A．24B．32C．48D．64【例7】（2023•沈阳模拟）甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有() A．24种B．48种C．72种D．96种知识点六定序问题用除法对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．【例8】7人站成一排．(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法？知识点七特殊元素的“在”与“不在”问题分析法对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”的原则解决．【例9】（2023•卧龙区月考）甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端、丙和丁相邻的不同排列方式有() A ．24种B ．36种C ．48种D ．144种【例10】（2023•宜宾月考）“四书”“五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为() A ．622622A A A B ．6262A A C ．622672A A A D ．622662A A A【例11】（2023•武强县期中）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数． （1）可组成多少个不同的四位数？ （2）可组成多少个不同的偶数？【例12】从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．(1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？同步训练（一）1．（2023•宿迁期末）下列各式中，不等于n ！的是()A ．n n AB ．1n n A -C ．1n n nA +D ．11n n nA --2．（2023•宿迁月考）(1998)(1999)(2021)(2022)(n n n n n N ----∈，2022)n >可表示为()A ．241998n A -B ．251998n A -C ．242022n A -D ．252022n A -3.（2023•河南模拟）从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lga lgb -的不同值的个数是()A ．6B ．8C ．12D ．164．（2023•揭阳期末）已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩．现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为()A．288B．144C．72D．365.（2023•海淀区校级期末）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有()种排法？A．72B．36C．24D．126.（20123•会宁县期中）用0，1，2，3，4五个数字：（1）可组成多少个五位数；（2）可组成多少个无重复数字的五位数；（3）可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；（4）可组成多少个无重复数字的五位奇数．7.三个女生和五个男生排成一排．(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？知识点八组合及组合数的定义1．组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．知识点九排列与组合的关系【例13】(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．【例14】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？知识点十组合数公式规定：C 0n ＝1.知识点十一 组合数的性质 性质1：C mn ＝C n －mn .性质2：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .【例15】（2023•朝阳区期末）已知2188m m C C -=，则m 等于() A ．1B ．3C ．1或3D ．1或4【例16】（2023•吉水县期末）计算33334562015C C C C ++++的值为()A ．42015CB ．32015C C ．420161C -D ．520151C -【例17】（2023•崂山区期末）对于伯努利数()n B n N ∈，有定义：001,(2)nk n n k k B B C B n ===∑…．则()A ．216B =B ．4130B =C ．6142B =D ．230n B +=【例18】（2023•沙坪坝区模拟）某项活动安排了4个节目，每位观众都有6张相同的票，活动结束后将票全部投给喜欢的节目，一位观众最喜欢节目A，准备给该节目至少投3张，剩下的票则随机投给其余的节目，但必须要A节目的得票数是最多的，则4个节目获得该观众的票数情况有()种A．150B．72C．20D．17【例19】（2023•东湖区期末）某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排两人，其中A，B两人不能分在同一个社团，则不同的安排方案数是()A．56B．28C．24D．12知识点十二分组、分配问题(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．1 平均分组【例20】(1)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种方法？(2)6本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种方法？2 不平均分组【例21】(1)6本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本，一份三本，有多少种方法？(2)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种不同的方法？3 分配问题【例22】6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的方法？【例23】（2022秋•浑南区期末）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少一本的不同分法共有种．（用数字作答）【例24】（2022秋•浑南区期末）某市聘请6名农业专家安排到三个乡镇作指导，每个乡镇至少一人，则安排方案的种数是()A．495B．540C．630D．720【例25】（2023•云南模拟）中国空间站()ChinaSpaceStation的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15:37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设中国空间站要安排甲、乙等5名航天员进舱开展实验，其中“天和核心舱”安排2人，“问天实验舱”安排2人，“梦天实验舱”安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有()A．9种B．24种C．26种D．30种知识点十三相同元素分配问题之隔板法隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”，每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法，隔板法专门解决相同元素的分配问题．将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C m－1n－1种方法，可描述为(n－1)个空中插入(m －1)块板．【例26】6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．【例27】（2023•浦东新区期末）10个相同的小球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有种．【例28】（2023•海淀区期末）没有一个冬天不可逾越，没有一个春天不会来临．某街道疫情防控小组选派7名工作人员到A ，B ，C 三个小区进行调研活动，每个小区至少去1人，恰有两个小区所派人数相同，则不同的安排方式共有() A ．1176B ．2352C ．1722D ．1302【例29】（2023•多选•玄武区期末）甲、乙、丙、丁、戊共5位志愿者被安排到A ，B ，C ，D 四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是() A ．不同的安排方法共有240种 B ．甲志愿者被安排到A 学校的概率是14C ．若A 学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种D ．在甲志愿者被安排到A 学校支教的前提下，A 学校有两名志愿者的概率是25【例30】（2023•多选•营口期末）某校的高一和高二年级各10个班级，从中选出五个班级参加活动，下列结论正确的是()A ．高二六班一定参加的选法有420C 种B ．高一年级恰有2个班级的选法有231010C C 种C ．高一年级最多有2个班级的选法为52012C 种D ．高一年级最多有2个班级的选法为231451*********C C C C C ++种【例31】（2023•福建模拟）近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A ，B 角色各1人，C 角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A ，B 角色不可同时为女生．则店主共有348种选择方式．【例32】（2023•和平区校级模拟）我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为1，2，3，⋯，1n +的1n +个球的口袋中取出m 个球(0m n <…，m ，)n N ∈，共有1m n C +种取法．在1m n C +种取法中，不取1号球有m n C 种取法；取1号球有1m n C -种取法．所以11m m m n n n C C C -++=．试运用此方法，写出如下等式的结果：323232323142241n n n n n C C C C C C C C ----+⋅+⋅++⋅+=．同步训练（二）8.(多选)下列问题是组合问题的有()A ．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B ．平面上有2 021个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段C ．集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }中含有三个元素的子集有多少个D ．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法9.（2023•宣城期中）关于排列组合数，下列结论错误的是() A ．m n m n n C C -=B ．11m m m n n n C C C -+=+C ．11m m n n A mA --=D ．11m m mn n n A mA A -++=10.（2023•多选•朝阳区期末）关于排列组合数，下列结论正确的是() A ．m n m n n C C -=B ．11m m m n n n C C C -+=+C ．11m m n n A mA --=D ．!()!mn n A n m =-11.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．12.将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中．(1)有多少种放法？(2)每盒至多1个球，有多少种放法？(3)恰好有1个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？13.(多选)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数可能为()A．1 B．2 C．3 D．414.已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有的4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？15.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？16.空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为()A．205 B．110 C．204 D．20017．4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有______种．18．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．(用数字作答)19.（2023•长沙期末）6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到一个社区，每个社区至少分配一名志愿者且人数各不相同，不同的分配方案共有() A ．540种B ．360种C ．180种D ．120种20.（2023•多选•罗湖区期末）在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有()A ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有1237C C 种 B ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有1239C C 种 C ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有1221337373C C C C C ++种D ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有33107C C -种。