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第3章 控制系统的能控性和能观性

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第三章 系统的能观性与能控性

第三章 系统的能观性与能控性
由于
0 1 rankM rankB AB rank 2 1 1
即M满秩，所以该系统是状态能控的。
例：判断下列系统的能控性
1 3 2 2 1 0 2 0 x 1 1 u x 0 1 3 1 1
x(k 1) G(k ) x(k ) H (k )u (k ),
k Jk
其中，Jk为离散时间定义区间。如果对初始时刻h∈Jk和状态空间 中的所有非零状态x0，都存在时刻l ∈Jk ，l>h，和对应的控制u(k)， 使得x(l)=0，则称系统在时刻h为完全能控。对应的，如果对初始 时刻h∈Jk和初始状态x(h)=0，存在时刻l ∈Jk ， l>h，和对应的控 制u(k)，使x(l)可为状态空间中的任意非零点，则称系统在时刻h 为完全能达。 对于离散时间系统，不管是时变的还是定常的，其能控性和 能达性只是在一定的条件下才是等价的。
系统完全可观测的充要条件：(i)输出矩阵CP中对应于约当块的第 一列元素不全为零；(ii)相异特征值对应输出矩阵CP不包含元素 全为零的列
例：考察如下系统的能观测性： 1）
1 7 x x 2 0 3 x 0 y 2 0
0 5 0
方块图：
例： 判断系统的能控性。
1 0 0 2 3 0 2 0 x 1 0 u x 0 2 0 0 1
系统状态能控
线性定常系统能控性判据—秩判据
（1）单输入系统 线性定常单输入系统完全能控充要条件是 rank b Ab An1b n 其中，n为矩阵A的维数， M b | Ab | | An1b 称为系统的能控性判别阵。
1896

第3章 控制系统的能控性与能观测性

第3章 控制系统的能控性与能观测性

所以，能控。
3.3 能观测性判据
3.3.1 线性定常系统能观测性及其判据
1. 能观测性定义 线性定常系统方程为
x Ax Bu y Cx
（18）
如果在有限时间区间 [t0 , t1 ]（t1 t0）内，通过观测 y (t ) ，能够惟
一地确定系统的初始状态x(t0 )，称系统状态在t 0 是能观测的。如果
上式代入（3）式
i 0
x(0)n1AiBt1ai(τ)u(τ)dτ
i0
0
（8）
βi1
t1 0
ai
(τ)u(τ) d
τ


βi
2



i

βir

(i0,1 , ,n1 )
于是
x(0) [B
β0
AB

An-1B]

β1

3.1 引言
首先，通过例子介绍能控性、能观测性的基本概念。
例3-1 电路如下图所示。如果选取电容两端的电压 u C 为状态变量， 即： x 。uC 电桥平衡时，不论输入电压 如u何(t )改变，
x(t)uC不随着 u (t ) 的变化而改变，或者说状态变量不受 u (t ) 的控
制。即：该电路的状态是不能控的。
第3章 控制系统的能控性和能观测性
在多变量控制系统中，能控性和能观测性是两个反映控制系统 构造的基本特性，是现代控制理论中最重要的基本概念。
本章的内容为： 1. 引言——能控性、能观测性的基本概念 2. 能控性及其判据
3. 能观测性及其判据 4. 离散系统的能控性和能观测性 5. 对偶原理
6. 能控标准形和能观测标准形 7. 能控性、能观测性与传递函数的关系 8. 系统的结构分解 9. 实现问题 10. 使用MATLAB判断系统的能控性和能观测性

第三章 线性控制系统的能控性和能观性PPT课件

第三章 线性控制系统的能控性和能观性PPT课件
能观性之间的关系
.
1
在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重 要的概念，是卡尔曼(Kalman)在1960年首先提出 来的，它是最优控制和最优估计的设计基础。
现代控制理论是建立在用状态空间描述的基 础上的。状态方程描述了输入u(t)引起状态x(t)的 变化过程；输出方程则描述了由状态变化引起的输 出y(t)的变化。
可以看出，系统中某一状态的能控和系统的 状态完全能控在含义上是不同的。
.
7
几点说明:
1) 在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始 时刻t0=0，初始状态为x(0)，而任意终端状态就指 定为零状态，即 x(tf )0
2) 也可以假定x(t0)=0，而x(tf)为任意终端状态， 换句话说，若存在一个无约束控制作用u(t)，在 有限时间[t0, tf]能将x(t)由零状态驱动到任意x(tf)。 在这种情况下，称为状态的能达性。
.
13
b b 1b 2b n T
为简明起见，下面举三个具有上述类型的二阶 系统，对能控性加以剖析。
x 0 1 0 2 x b 0 2 u ; yc1 c2x
(3-3)
x 0 1 1 1 x b 0 2 u; yc1 c2x
(3-4)
x 0 1 1 1 x b 0 1 u; yc1 c2x
具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态
方程为
x Λ b xu
(3-1)
或
x J b xu
(3-2)
1
0
2
Λ
3
0
n
12 3 n 即n个根互异
.
12
1 1
1 1
0
0
1
1
m 1
0

现代控制理论第3章

现代控制理论第3章
f 0 (t f ) f (t ) n 1 1 f 有唯一解 A B f ( t ) n 1 f
(t f )]
X(0) B
AB
f 0 (t f ),
,f
n1
(t f )
2 rank [ B AB A B
A n1B] n
2 P2 A ( P A ) A P A P3 1 1 3 P3 A ( P2 A) A P A P4 1
n 1 Pn 1 A ( Pn 2 A) A P A Pn 1
P P 1 1 P P A P 2 1 , 其中P 1 ? n 1 P P A n 1 P 0 1B P AB 0 , 转置以后得 PB 1 n 1 P A B 1 1 1B P P 1 B P 1 AB AB
3.2控制系统的能观性
自动化学院 CISIA
一.能观性定义
定义： 对于线性定常系统 x Ax Bu, y Cx
在任意给定的输入 u(t) 下，能够根据输出量 y(t) 在
有限时间区间 [t0,tf] 内的测量值，唯一地确定系统
在 t0 时刻的初始状态 x(t0 )，就称系统状态x(t0 )是
X AX BU X PX Y CX
Y CX
X AX BU
A P 1 AP P非奇异 其中 B P 1B A与A为相似矩阵 C CP


det A det A, Rank ( A) Rank ( A)
a
i 1
n
ii
a ii ,
2.问题的提出 能控性问题？

第3章_线性控制系统的能控性和能观性

第3章_线性控制系统的能控性和能观性

解：
x a 0b 1 x , y 1 1 x
C 1 1 VCAa 1b
V 1 ba0 ba 1，系统可观测。
3.2.2 线性定常系统的能观性判别
2.可观测性对角型判据
若A为对角型，则系统完全可观测的充要 条件是：
输出阵C中没有任何一列的元素全为零。
（此结论适用于特征值互不相等的情况）
解： Sc [B AB A2B]
2 1 3 2 5 4
1
1
2
2
4
4
1 1 2 2 4 4
rankS c =2<3,不可控。
15
3.1 能控性
3.1.2 线性定常系统的能控性判别 2.可控性对角型判据
x Ax Bu
若Ａ为对角型，则状态完全可控的充要 条件为：
Ｂ中没有任意一行的元素全为零。（此结
论适用于特征值互不相等的情况）
（1）可观测
（2）不可观测
3.2.2 线性定常系统的能观性判别
3.可观测性约当型判据
若A为约当型，则系统完全可观测的充要条件 是：
C阵中与每个约当块的第一列相对应的各列 中，没有一列的元素全为零，且矩阵C中对应于互 不相等的特征值的各列，没有一列的元素全为0.( 如果两个约当块有相同的特征值, 此结论不成立) 。
称系统1和系统2是互为对偶的，即2是1的对偶 系统，反之， 1是2的对偶系统。
3.3 能控性与能观性的对偶关系
有时也称矩阵（A，B）是能控的。
若系统存在某一个状态x(t0)不满足上述条件，则 此系统称为不能控系统。
3.1.1 定义
3.1 能控性
x(t0) P [ t 0 , t f ] 时间段内存
在控制输入u
x(tf)P 1, ,Pn

现代控制理论-线性控制系统的能控性与能观性例题精选全文完整版

现代控制理论-线性控制系统的能控性与能观性例题精选全文完整版
x Ax Bu
如果线性定常系统： y Cx 是状态不完全能控的， 它的能控性判别矩阵的秩
rankM n1 n
则存在非奇异变换：x Rcxˆ
将状态空间描述变换为：
xˆ y
Aˆ xˆ Cˆ xˆ
Bˆ u
n1 n n1
其中：
xˆ
xˆ1
xˆ
2
n1
n n1
Aˆ
R c1AR c
Aˆ 11 0
3.6.1 线性系统的对偶关系
线性系统1、2如下：
1：yx 11
A1x1 C1x1
B1u1
2：
x 2 y 2
A2x2 C2x2
B2u2
如果满足如下关系
A2 A1T , B2 C1T , C2 B1T
则称两系统是互为对偶的.
u1(t) B
x1(t)
x1(t)
++
∫
y1(t) C
A
y2(t) BT
0
A 0 1 0 , b 0, c 1 1 1
1 4 3
1
解： 能控性矩阵
0 1 4
M b Ab A2b 0 0
0
1 3 8
rankM 2 n1 dim A n 3 不能控
构造变换矩阵
0 1 0 Rc 0 0 1
1 3 0
✓与前2个列向量 线性无关； ✓尽可能简单
结构分解
u
co
y
co
依据能控能观 性，将系统分解
co
为四个子系统
co
x Ax Bu
y Cx Du
特殊的线性变换
x xTco xTco xTco xTco
分解步骤：
1、将系统分解成能控与不能控子系统；

现代控制理论第三章PPT


( A
c1
,bc1 ) 的能控性，其中
1 0 0 0 A c1 0 0 2 5
解：
0 0 1 0 0 1 1 10
0 0 b c1 0 1
0 1 0 0 0 0 1 10 A3 c1b c1 0 1 10 101 1 10 101 1025
若取
u( t ) B( t )T ΦT ( t0 ,t )Wc1( t0 ,t f )x( t0 )
tf t0
x( t f ) Φ( t f ,t0 )[ x( t0 )
Φ( t0 ,t )B( t )B( t )T ΦT ( t0 ,t )Wc1( t0 ,t f )x( t0 )dt ]
( k 1,2, , n 1 )
假设 F( t ) Φ( t0 ,t )B( t ) 对上式关于时间t求一阶、二阶、直至n-1阶导数 ，可得
(t ) Φ (t , t )B(t ) Φ(t , t )B (t ) F 0 0
(t ) Φ(t0 , t )A(t )B(t ) Φ(t0 , t )B
实现最优控制和最优估值及其它系统综合
与校正的必要条件。
4.1 系统的能控性
[定义]设系统的状态方程为
(t ) A(t )x(t ) B(t )u(t ) x
对于任意非零初始状态 x(t0 ) ，如果存在容许控制u(t ) ，在有限时区
t [t0 , t f ] 将其转移到状态空间原点，即 x(t f ) 0 ，则称系统在
(t )] Φ(t0 , t )[A(t )B(t ) B
Φ(t0 , t )B1 (t )

现代控制理论第三章

方法一： 直接根据状态方程的A阵和B阵
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2

现代控制理论第三章线性系统的能控性和能观测性


1 x1 u x 2 2 x2 u x y x x 1 2
1 x
u
1 s 1 s
2
x1
y
x2
2 x
由于状态变量x1、x2都受控于输入u，所以系统 是能控的；输出y能反映状态变量x1，又能反映状 态变量x2的变化，所以系统是可观测的。 即状态变量x1能控、可观测；状态变量x2能控、 可观测。
任意初态 x(t0 ) x 零终态 x(t f ) 0
状态完全能控
Байду номын сангаас
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点， 即 x(t 0 ) 0，终端状态规定为任意非零有限点， 则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu ，如果 x
存在一个分段连续的输入 u (t )，能在 [t 0 , t f ] 有限时间间隔内，将系统由零初始状态 x(t 0 ) 转移 到任一指定的非零终端状态 x(t f ) ，则称此系统 是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。 任意初态 x(t0 ) 0 零终态 x(t f ) x 状态完全可达
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
1. 直接由A，B矩阵的结构判断系统的能控性 定理： 系统
( A, B )
即
A(t )x B(t )u x y C (t )x D(t )u
状态完全能控的充分必要条件是其能控性矩阵
Qk [ B AB A2 B An1 B]
一、线性定常连续系统状态能控性的定义 定义3.1（状态能控性定义）：
Ax Bu，如果存在一个 对于线性定常系统 x 分段连续的输入u(t)，能在有限时间间隔[t0,tf]内， 使得系统从某一初始状态x(t0)转移到指定的任一 终端状态x(tf) ，则称此状态是能控的。若系统的 所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能 控的，简称系统是能控的。

(整理)控制系统的能控性和能观测性

第三章 控制系统的能控性和能观测性3-1能控性及其判据 一：能控性概念定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t 0)，如果在t 1> t 0的有限时间区间[t 0,t 1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t 1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。

可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。

二：线性定常系统能控性判据设系统动态方程为：x 2不能控y2则系统不能控，若2121,C C R R ==⎩⎨⎧+=+=DuCx y Bu Ax x设初始时刻为t 0=0，对于任意的初始状态x(t 0)，有： 根据系统能控性定义，令x(t f )=0，得：即：由凯莱-哈密尔顿定理：令 上式变为：对于任意x(0),上式有解的充分必要条件是Q C 满秩。

判据1：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是：⎰-+=ft f f f d Bu t x t t x 0)()()0()()(τττφφ⎰⎰---=--=-ff t f f t f f d Bu t t d Bu t t x 01)()()()()()()0(τττφφτττφφ⎰--=f t d Bu x 0)()()0(τττφ∑-=-==-1)()(n k kk A A eτατφτ∑⎰⎰∑-=-=-=-=101)()()()()0(n k t k k t n k k k ff d u B A d Bu A x ττταττταkt k u d u f=⎰)()(ττταUQ u u u u B A B A AB B Bu A x c k n n k kk -=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-=--=∑ 321121],,,[)0(能控性矩阵Q C =[B ，AB ，A 2B ，…A n-1B]满秩。

对于单输入系统，Q C =[b ，Ab ，A 2b ，…A n-1b] 如果系统是完全能控的，称（A 、B ）或（A 、b ）为能控对。

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6)如果 和 是能控状态，则
也必定是能控状态。
7)由线性代数关于线性空间的定义可知，系统中所有的能控状态构成
பைடு நூலகம்
状态空间中的一个子空间。此子空间称为系统的能控子空间， 记为 。
2．线性连续时变系统的能控性判别
时变系统的状态方程如下：
(1)
系统在
上状态完全能控的充分必要条件是格拉姆矩阵
(2)
为非奇异的。
3.5.2 能观性判别 1．有关线性时变系统能观性的几点讨论
，初始状态
为 ，而任意终端状态就指定为零状态。即
2)也可以假定
=0，而工
为任意终端状态，换句话说，若存在
一个无约束控制作用
，在有限时间
内，能将
由零状态驱
动到任意
。在这种情况下，称为状态的能达性。
3)在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非
唯一的，因为我们关心的只是它能否将
驱动到
满秩，即
。否则，当
(14) 时，系统为不能控的。
2．多输入系统
对多输入系统，其状态方程为：
(15)
式中,B 为
阶矩阵； 为 r 维列矢量。
其能控的充分必要条件是矩阵：
的秩为 。
3.3 线性连续定常系统的能观性
3.3.1能观性定义
能观性所表示的是输出
反映状态矢量
的能力，与控制
作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输
3.1 能控性的定义
1．线性连续定常系统的能控性定义 线性连续定常系统：
如果存在一个分段连续的输入 ，能在有限时间区间
内，使
系统由某一初始状态 ，转移到指定的任一终端状态工 ，则称此状态
是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，
或简称系统是能控的。
几点说明：
1)在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始时刻
列矢量；G为系统矩阵
； 为状态矢量
。
(1) 为维
3.4.2 能观性矩阵N 离散时间系统的能观性，是从下述两个方程出发的。
式中, 为 维列矢量；C 为
(2) 输出矩阵，其余同式(6)。
根据3.3节中能观性定义，如果知道有限采样周期内的输出
，
就能唯一地确定任意初始状态矢量
，则系统是完全能观的，现根据
此定义推导能观性条件。从式(1)，有：
(3)
若系统能观，那么在知道
时，应能确定
出
，
，现从式(7)可得：
写成矩阵形式：
(4) 有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩等于 。这个系数矩阵称为 能观性矩阵。仿连续时间系统，记为N。即
(5)
3.5 时变系统的能控性与能观性
3.5.1 能控性判别
1.有关线性时变系统能控性的几点说明
1)定义中的允许控制
3.1 能控性的定义
3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性连续定常系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性 3.5 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性系统的结构分解 3.9 传递函数阵的实现问题
3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观 性之间的关系
出方程出发，即
(1)
如果对任意给定的输入 ，在有限观测时间
,使得根据
期间的输出 能唯一地确定系统在初始时刻的状态
，则称状态
是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完
全能观测的，或简称是能观的。
3.3.2 定常系统能观性的判别
定常系统能观性的判别也有两种方法，一种是对系统进行坐标变换， 将系统的状态空间表达式变换成约旦标准型，然后根据标准型下的 C 阵， 判别其能观性，另一种方法是直接根据 A 阵和 C 阵进行判别。
(8)
(9) 3)对于式(5)的系统，系统矩阵虽也为约旦型，但控制矩阵第二行的元素 却为0，其微分子方程组为：
(10) (11)
2．具有一般系统矩阵的多输入系统
系统的状态方程为：
(12)
3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性
1．单输入系统 线性连续定常单输入系统：
其能控的充分必要条件是由 A、b 构成的能控性矩阵：
由式(5)可知，当且仅当输出．矩阵C中第一列元素不全为零时，y( t ) 中总包含着系统的全部自由分量而为完全能观。
2．直接从A、C阵判断系统的能观性 约旦标准型
系统具有串联型 的结构，如图所示：
3.4 离散时间系统的能控性与能观性
3.4.1 能控性矩阵 M 离散时间系统的状态方程如下：
当系统为单输入系统时，式中 为标量控制作用．控制阵
3.2.1 具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输入系统 具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为：
(1)
或 (2)
式中
为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能控性加
以
剖析。
(3)
(4)
(5)
1)对于式(3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为： (6)
(7) 2)对于式(4)的系统，系统矩阵A为约旦型，微分方程组为：
1)时间区间
是识别初始状态
所需要的观测时间，对时变
系统来说，这个区问的大小和初始时刻 的选择有关。
2)根据不能观测的定义，可以写出不能观测状态的数学表达式：
(3) 这是一个很重要的关系式，下面的几个推论都是由它推证出来的。
，在数学上要求其元在
绝对平方可积的，即
区间是
这个限制条件是为了保证系统状态方程的解存在且唯一。 2)定义中的 ，是系统在允许控制作用下，由初始状态 目标状态(原点)的时刻。
转移到
3)根据能控性定义，可以导出能控状态和控制作用之问的关系式。
4)非奇异变换不改变系统的能控性。
5)如果 是能控状态，则 也是能控状态， 是任意非零实数。
，而不计较
的轨迹如何。
2．线性连续时变系统的能控性定义 线性连续时变系统：
3．离散时间系统 这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统：
3.2 线性定常系统的能控性判别
线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变
换，把状态方程化为约旦标准型
，再根据 阵，确定系统的能控性；
另一种方法是直接根据状态方程的 A 阵和 B 阵，确定其能控性。
1．转换成约旦标准型的判别方法 线性时不变系统的状态空问表达式为：
(2) 现分两种情况叙述如下： (1)A为对角线矩阵
这时式(2)用房承租形式表示，可有： (3)
(4)
从而可得结构图如图所示。将式(3)带入输出方程式(4)，得：
(2)A 为约旦标准型矩阵 以三阶为例：
这时，状态方程的解为：
从而 (5)