第5讲 系统的能控性和能观性

第三章 控制系统的能控性和能观测性3-1能控性及其判据 一：能控性概念定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t 0)，如果在t 1> t 0的有限时间区间[t 0,t 1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t 1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。

可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。

二：线性定常系统能控性判据设系统动态方程为：x 2不能控y2则系统不能控，若2121,C C R R ==⎩⎨⎧+=+=DuCx y Bu Ax x设初始时刻为t 0=0，对于任意的初始状态x(t 0)，有： 根据系统能控性定义，令x(t f )=0，得：即：由凯莱-哈密尔顿定理：令 上式变为：对于任意x(0),上式有解的充分必要条件是Q C 满秩。

判据1：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是：⎰-+=ft f f f d Bu t x t t x 0)()()0()()(τττφφ⎰⎰---=--=-ff t f f t f f d Bu t t d Bu t t x 01)()()()()()()0(τττφφτττφφ⎰--=f t d Bu x 0)()()0(τττφ∑-=-==-1)()(n k kk A A eτατφτ∑⎰⎰∑-=-=-=-=101)()()()()0(n k t k k t n k k k ff d u B A d Bu A x ττταττταkt k u d u f=⎰)()(ττταUQ u u u u B A B A AB B Bu A x c k n n k kk -=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-=--=∑ 321121],,,[)0(能控性矩阵Q C =[B ，AB ，A 2B ，…A n-1B]满秩。

对于单输入系统，Q C =[b ，Ab ，A 2b ，…A n-1b] 如果系统是完全能控的，称（A 、B ）或（A 、b ）为能控对。

第三章：控制系统的能控性及能观测性(第五讲)内容介绍：能控性和能观测性定义、判据、对偶关系、标准型、结构分解。

能控性和能观测性是现代控制理论中最基本概念，是回答：“输入能否控制状态的变化”及“状态的变化能否由输出反映出来”这样两个问题。

换句话说，能控性是“能否找到一向量u(t)有效控制x(t)变化”。

能观测性问题是：“能否通过输出y(t)观测到状态的变化。

”一、能控性定义及判据 给出一个多变量系统（多输入、多输出）若系统G(s)在适当的控制u(t)作用下，每个状态都受影响，亦在有限的时间内能使系统G 由任意初始状态转移到零状态，或者说在有限的时间内能使系统由零状态转移到任意指定状态。

这说明：输入对状态的控制能力强，反之若G 的某一状态根本不受影响，那么在有限时间内就无法利用控制使这个状态变量发生变化。

说明输入对状态控制能力差。

可见：反映输入对状态控制能力的概念是能控性概念。

1． 定义：若对系统，在时刻的任意状态x()都存在一个有限的时间区间（ξt t ,0）（0t t 〉ξ）和定义在[]ξt ,t 0上适当的控制u(t),使在u(t)作用下x()=0。

则称系统在时刻是状态能控的。

如果系统在有定义的时间区域上的每一时刻都能控，称系统为完全能控。

()x u x 01011012=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=考查能控性？状态变量图（信号流图）：y2由于u 的作用只影响不影响，故()t x 2为不能控。

某一状态不能控，则称系统不能控。

2．判据：u 1 ： y1：对线性定常系统=Ax+Bu ，若对某一时刻能控，则称系统完全能控。

设： p输出 n n A *、p n B *、n m C *给出一定理：由=Ax+Bu 所描述的系统是状态完全能控的必要且充分条件为下列n ×np 阵的秩等于n 。

=BAB ……B A n 1-称为能控性阵。

换言之：系统的状态完全能控的必要且充分的条件是能控性阵的秩为n 。

第4章 控制系统的能控性和能观性第1节 能控性和能观性的定义◆设线性连续时变系统为()()x A t x B t u =+ ()y C t x =如果在[f t t ,0]上，对任意初始状态00)(x t x =，必能找到控制作用()u t ，能使)(t x 由0x 转移到0)(=f t x ，则称系统在0t 时刻是状态完全能控的，简称系统能控。

如果由[f t t ,0]上的)t y （，能惟一地确定0t 时刻的初始状态00)(x t x =，则称系统在0t 时刻是状态完全能观的，简称系统能观。

注意：能控性描述入)(t u 支配状态)(t x 的能力，能观性描述)(t y 反映)(t x 的能力。

能控性和能观性的定义要求初始状态的任意性。

◆线性定常连续系统x Ax Bu =+ y Cx =的能控性和能观性与0t 无关，常取00=t 。

对线性定常系统，能控性实质上是描述)(t u 支配模态(1,2,,)i te i n λ=的能力，若有任一模态不受输入的控制，系统便不能控；能观性实质上是)(t y 反映模态(1,2,,)i te i n λ=的能力，若有任一模态在输出中得不到反映，系统便不能观。

第2节 线性时变系统的能控性能观性判据1、格拉姆矩阵判据n 阶线性时变连续系统((),(),())S A t B t C t 在0t 时刻能控的充要条件是能控性格拉姆（Gramian ）矩阵000(,)(,)()()(,)d ft t tC f t W t t t t B t B t t t t =ΦΦ⎰满秩；在0t 时刻能观的充要条件是能观性格拉姆矩阵000(,)(,)()()(,)d ft t tO f t W t t t t C t C t t t t =ΦΦ⎰满秩。

证明：1）能控性判据证明◆充分性证明。

假设),(0f C t t W 满秩，则),(01f ct t W -存在。

用构造法。

对任意的初始状态0()x t ，系统的状态解为00()()(,)(,)(()d tt x t t B u t t x t ττττ=-Φ+Φ⎰）]d )((),()()[,(0000ττττu B t t x t t tt ）⎰Φ+Φ-=选择0100((),)(,))ttCf u t B t t t t W t x t -=-Φ（）（代入系统状态解式并令f t t =，则有1000000()(,)[()(,)()()(,)(,)()d ]ft t tf f Cf t x t t t x t t t B t B t t t W t t x t t -=-Φ-ΦΦ⎰)()],(),()[,(00100t x t t W t t W I t t f Cf C f --Φ-=0)(])[,(00=-Φ-=t x I I t t f充分性得证。

第五章线性动态方程的可控性和可观测性5.1 引言5.2 时间函数的线性无关性5.3 线性动态方程的可控性5.4 线性动态方程的可观测性5.5 线性动态方程的规范分解5.6约当形(若当型)动态方程的可控性和可观测性其中：11,,,−−====A PAP B PB C CP E E(1)(1)]][B AB AB P[B AB A B n n −−=而证完。

其可控性矩阵的秩为n 1<n (n 为x 的维数)，系统不可控，但可分解出n 1维的可控子系统，有以下定理c c c y x u=+C E 是可控的，且与原动态方程有相同的传递函数矩阵:1⎢⎥⎣⎦cn x定理的证明说明：(同时说明了变换矩阵的构造方法)11111[]−+=P""n n nq q q q 1)列写出动态方程的可控性矩阵U ，其秩为n 1；2)从U 中选取n 1个线性无关的列向量11+"n nq q 112,,,"n q q q 作为变换阵的逆矩阵的前n 1列，再补充n −n 1个n 维的列向量得到：1[]−##"#n B AB AB⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A0#1q A 0#2q A 0#1n q A *#11n q +A *#nq A c A 0⎢⎥⎢⎥⎣⎦B0#0#0#0c讨论： 1. 不可控状态不出现在系统的传递函数阵中，这进 一步说明了作为输入输出描述的传递函数矩阵不 能完全反映系统内部信息，它只能反映方程的可 控的部分;2. 经等价变换后系统的动态方程为：⎡ Ac  x = ⎢ ⎣ 0tA 12 ⎤ ⎡B c ⎤ ⎥ x + ⎢ ⎥u Ac ⎦ ⎣ 0 ⎦该系统的零状态响应为：⎡e Ac (t −τ ) ∗ ⎤ ⎡B1 ⎤ x (t ) = ∫ ⎢ ⎥ ⎥ u(τ )d τ Ac (t −τ ) ⎢ e ⎥ t0 ⎢ ⎣ 0 ⎦⎣ 0 ⎦ t ⎡e Ac (t −τ ) B1 ⎤ = ∫⎢ ⎥ u(τ )d τ 0 ⎦ t0 ⎣ A c (t − τ ) 这说明，不可控制振型所对应的全部模式 e 与控制作用无耦合关系，这是为什么称不可控振型为 系统的输入解耦零点的原因。