第八章第八节

(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( ) A ．4B ．－2C ．4或－4D ．12或－2解析：设标准方程为x 2＝－2py (p >0)， 由定义知P 到准线距离为4， 故p2＋2＝4，∴p ＝4， ∴方程为x 2＝－8y ，代入P 点坐标得m ＝±4. 答案：C2．(·陕西高考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：由已知，可知抛物线的准线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切．圆心为(3,0)，半径为4，圆心到直线的距离d ＝3＋p2＝4，解得p ＝2.答案：C3．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x解析：因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0) 设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝ 2.∴p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x . 答案：D4．(·辽宁高考)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16解析：由抛物线的定义得，|PF |＝|PA |，又由直线AF 的斜率为－3，可知∠PAF ＝60°.△PAF 是等边三角形，∴|PF |＝|AF |＝4cos60°＝8.答案：B5．若双曲线x 23－16y 2p2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D. 2解析：双曲线的左焦点(－3＋p 216，0)，抛物线的准线x ＝－p2，∴－3＋p 216＝－p2⇒p 2＝16，由题意知p ＞0， ∴p ＝4. 答案：C6．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )A.π6或5π6B.π4或3π4 C.π3或2π3D.π2解析：抛物线焦点是(32，0)，设直线方程为y ＝k (x －32)，代入抛物线方程，得k 2x 2－(3k 2＋6)x ＋94k 2＝0，设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝3k 2＋6k2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3k 2＋6k2＋3＝12，解得k ＝±1，∴直线的倾斜角为π4或3π4.答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分) 7．抛物线2x 2＋y ＝0的焦点坐标是________．解析：依题意得x 2＝－12y ，因此其焦点坐标是(0，－18)．答案：(0，－18)8．(·南京模拟)已知点A (－2,1)，y 2＝－4x 的焦点是F ，P 是y 2＝－4x 上的点，为使|PA |＋|PF |取得最小值，P 点的坐标是________．解析：过P 作PK ⊥l (l 为抛物线的准线)于K ， 则|PF |＝|PK |，∴|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PK |，∴当P 点的纵坐标与A 点的纵坐标相同时，|PA |＋|PK |最小．此时P 点的纵坐标为1，把y ＝1代入y 2＝－4x 得x ＝－14.即当P 点的坐标为(－14，1)时，|PA |＋|PF |最小．答案：(－14，1)9．(·湖南高考)过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在x 轴上的正射影分别为D ，C .若梯形ABCD 的面积为122，则p ＝________.解析：依题意，抛物线的焦点F 的坐标为(0，p2)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 的方程为y －p2＝x ，代入抛物线方程得，y 2－3py ＋p 24＝0，故y 1＋y 2＝3p ，|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋p ＝4p ， 直角梯形有一个内角为45°， 故|CD |＝22|AB |＝22×4p ＝22p ，梯形面积为12(|BC |＋|AD |)×|CD |＝12×3p ×22p ＝32p 2＝122，p ＝2.答案：2三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足PA ·PB ＝y 2－8.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹方程与直线y ＝x ＋2交于C ，D 两点，求证：OC ⊥OD (O 为原点)． 解：(1)由题意可得PA ·PB ＝(－x ，－2－y )·(－x,4－y )＝y 2－8，化简得x 2＝2y .(2)证明：将y ＝x ＋2代入x 2＝2y 中， 得x 2＝2(x ＋2)． 整理得x 2－2x －4＝0，可知Δ＝4＋16＝20>0，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4. ∵y 1＝x 1＋2，y 2＝x 2＋2，∴y 1·y 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝4.∴k OC ·k OD ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝－1，∴OC ⊥OD .11．(·福建高考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2. 故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t y 2＝4x 得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由直线OA 与l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 因为－1∉[－12，＋∞)，1∈[－12，＋∞)，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.12.已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，2·b 2a＝1.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.因此，所求的椭圆方程为y 24＋x 2＝1.(2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝t ＝2t ，直线MN 的方程为：y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0. 即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.① 因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]＞0.② 设线段MN 的中点的横坐标是x 3，则x 3＝x 1＋x 22＝t t 2－h 21＋t2. 设线段PA 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12.由题意，得x 3＝x 4， 即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1或h ≤－3.当h ≤－3时，h ＋2＜0,4－h 2＜0，则不等式②不成立，所以h ≥1. 当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1， 将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立． 所以，h 的最小值为1.。

金英杰真免费金英杰教育您身边的医考专家（）护士执业资格考试试题第八章第八节新生儿低血糖的护理
１.新生儿低血糖的判断指标是
Ａ.<１１.１ｍｍｏｌ/ ＬＢ.<７.０ｍｍｏｌ/ Ｌ
Ｃ.<３.９ｍｍｏｌ/ ＬＤ.<３.２ｍｍｏｌ/ Ｌ
Ｅ.<２.２ｍｍｏｌ/ Ｌ
(２~４题共用题干)
患儿，女，３３周早产。

小于胎龄儿，生后出现哭声异常，阵发性青紫，肢体抖动，实验室检查:血糖１.７ｍｍｏｌ/ Ｌ，诊断为新生儿低血糖。

２.常见的病因是
Ａ.早产儿Ｂ.过期产儿
Ｃ.过渡期新生儿Ｄ.足月儿
Ｅ.巨大儿
３.如果患儿不能经口进食，需要静脉补充葡萄糖，其速度是
Ａ.９~１０ｍｇ/ ( ｋｇｍｉｎ) Ｂ.６~８ｍｇ/ ( ｋｇｍｉｎ)
Ｃ.４~５ｍｇ/ ( ｋｇｍｉｎ) Ｄ.３~４ｍｇ/ ( ｋｇｍｉｎ)
Ｅ.１~２ｍｇ/ ( ｋｇｍｉｎ)
４.输入葡萄糖时，主要的措施是
Ａ.防止外伤Ｂ.注意保暖
Ｃ.给予高蛋白饮食Ｄ.给予高糖饮食
Ｅ.监测血糖变化。

第八节 数字微波通信设备安装工程质量控制一、本专业勘察设计的特殊要求（一） 站址选择1.站址选择基本原则在微波站站址选择时，监理工程师应要求设计人员首先考虑满足通信网络规划和通信技术要求，并结合当地水文地质、交通、城市规划、投资效益等因素及生活设施综合比较选定。

2.站址选择基本技术要求微波站站址选择应满足接力通信线路的站距要求。

（1）数字微波接力通信线路的站距应根据采用设备的参数、路由经过的地形、气候条件、天线高度、电波传播及所采用的技术措施等因素来确定。

监理工程师应提醒设计人员，在微波传输的路径上要充分考虑电波阻挡、折射和其他外来电磁波干扰影响。

（2）站距较长或较短的接力段应采用技术措施，以保证接收机输入口的自由空间接收电平与标称接收电平值之差不超过3dB。

（3）各接力段原则上都应满足误码性能指标要求，否则应调整相应接力段的站距或采取其他技术措施。

3.站址选择的其他要求微波站的设置除应满足技术上的要求外，还应符合下列要求：（1）站址应有安全的环境。

严禁将站址选择在有开采价值的矿山区、古遗址和易受洪水淹灌的地方。

（2）站址不应选择在生产及储存易燃、易爆物质的的建筑物和堆积场附近。

（3）站址应选择在土质均匀的地段。

避开断层、土坡边沿、古河道和有可能塌方、滑波的地方。

对有抗震要求的地区，尽量选择在对建筑物抗震有利的地段。

（4）站址应有较安静的环境，避开经常有较大震动或强噪声的地方。

（5）站址应有较好的卫生环境，不宜选择在生产过程中散发有害气体、多烟雾、粉尘、有害物质的工业企业附近。

（6）微波站址选择时应满足通信安全保密、国防、人防、消防等要求。

勘察单位经过勘察选定站址后，应将站址选择的勘察纪要报送监理工程师审查，监理工程师应对勘察单位报送的勘察纪要进行审核签字。

如果选定的站点不符合站址选择原则和技术要求，监理工程师应及时签发监理工作联系单（C1），要求勘察单位重新勘察选择站址。

（二） 微波机房微波机房的土建工程设计监理，应由具有建筑工程监理资质的单位承担。

第八节 空间向量的应用(一)知识梳理一、异面直线所成的角 1．定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，a ′，b ′所成的角的大小与点O 的选择无关，把a ′，b ′所成的锐角(或直角)叫异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．为了简便起见，点O 通常取在异面直线的一条上．2．异面直线所成的角的取值范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.3．求异面直线所成的角的方法：①几何法；②向量法． 二、直线和平面所成的角1．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角．特例：当一直线垂直于平面，规定它们所成的角是直角；当一直线平行于平面或在平面内，规定它们所成的角为0°角．2．直线和平面所成角的取值范围：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.三、二面角1．定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．若棱为l ，两个面分别为α，β的二面角记为αl β.2．二面角的平面角．理解异面直线所成的角、线面角、二面角的概念，并会求这三类空间角的大小或它的一种三角函数值.(1)过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA ，OB ，则∠AOB 叫做二面角αl β的平面角．(2)一个平面垂直于二面角αl β的棱l ，且与两半平面交线分别为OA ，OB ，O 为垂足，则∠AOB 就是αl β的平面角．说明：①二面角的平面角范围是[0，π]；②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直． 3．二面角大小的求法：①几何法；②向量法．4．求二面角的射影公式：cos θ＝S ′S，其中各个符号的含义是：S 是二面角的一个面内图形F 的面积，S ′是图形F 在二面角的另一个面内的射影，θ是二面角的平面角大小．四、三种空间角的向量法计算公式1．异面直线a ，b 所成的角θ：cos θ＝||a ，b (其中a ，b 分别是异面直线a ，b 的方向向量)．2．直线a 与平面α(其法向量为n )所成的角θ：sin θ＝||a ，n . 3．锐二面角θ：(法一)cos θ＝||m ，n ，其中m ，n 为两个面的法向量． (法二)cos θ＝||cos a ，b ，其中a ，b 是分别在两个面内且与棱都垂直的向量．基础自测1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．60°或30°解析：根据线面角的定义知，选项C 正确． 答案：C2．(2013²山东卷)已知三棱柱ABCA 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：如题图所示：S ABC ＝12³3³3³sin 60°＝334.所以VABCA 1B 1C 1＝S ABC ³OP ＝334³OP ＝94， ∴OP ＝ 3.又OA ＝32³3³23＝1，所以tan∠OAP ＝OP OA ＝3，又0<∠OAP <π2，所以∠OAP ＝π3.答案：B3．如图，在直三棱柱中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，侧棱AA 1＝2，M 为A 1B 1的中点，则AM 与平面AA 1C 1C 所成角的正切值为________．答案：134．如图所示，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2.E ，F 分别是线段AB ，BC 上的点，且EB ＝FB ＝1.则：(1)二面角CDEC 1的余弦值为________； (2)直线EC1与FD1所成角的余弦值________.解析：(1)如图，以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系Axyz ，则有D (0,3,0)，D 1(0，3,2)，E (3,0,0)，F (4,1,0)，C 1(4,3,2)．于是，DE →＝(3，－3,0)，EC 1→＝(1,3,2)，FD 1→＝(－4,2,2)． 设向量n ＝(x ，y ，z )与平面C 1DE 垂直，则有⎭⎪⎬⎪⎫n ⊥DE →n ⊥EC 1→⇒⎭⎪⎬⎪⎫3x －3y ＝0x ＋3y ＋2z ＝0⇒x ＝y ＝－12z .∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－z2，－z2，z ＝z2(－1，－1,2)，其中z ＞0.取n 0＝(－1，－1,2)，则n 0是一个与平面C 1DE 垂直的向量．∵向量AA 1→＝(0,0,2)与平面CDE 垂直，∴n 0与AA 1→所成的角θ为二面角CDEC 1的平面角．∴cos θ＝n 0²AA 1→|n 0|³|AA 1→|＝－1³0－1³0＋2³21＋1＋4³0＋0＋4＝63.(2)设EC 1与FD 1所成角为β，则cos β＝EC 1→²FD 1→|EC 1→|³|FD 1→|＝－＋3³2＋2³212＋32＋22³－2＋22＋22＝ 2114. 答案：(1)63 (2)21141. (2012²陕西卷)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55 B.53 C.255 D.35解析：设CB ＝a ，则CA ＝CC 1＝2a ，A (2a,0,0)，B (0,0，a )，C 1(0,2a ，0)，B 1(0,2a ，a )， ∴AB 1→＝(－2a,2a ，a )，BC 1→＝(0,2a ，－a )．∴cos〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→²BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝55.故选A.答案：A2．(2013²广东卷)如图1，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC 、AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A ′BCDE ，其中A ′O ＝ 3.(1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；(2)求二面角A ′CDB 的平面角的余弦值．(1)证明：在题图1中，易得OC ＝3，AC ＝32，AD ＝22， 连接OD ，OE ，在△OCD 中，由余弦定理可得 OD ＝OC 2＋CD 2－2OC ²CD cos 45°＝5， 由翻折不变性可知A ′D ＝22，所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥OD ，同理可证A ′O ⊥OE ，又OD ∩OE ＝O ，所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)解析：(法一)(几何法)过O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于H ，连接A ′H ， 因为A ′O ⊥平面BCED ，所以A ′H ⊥CD ， 所以∠A ′HO 为二面角A ′CDB 的平面角．结合题图可知，H 为AC 中点，故OH ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋OA ′2＝302， 所以cos∠A ′HO ＝OH A ′H ＝155，所以二面角A ′CDB 的平面角的余弦值为155. (法二)(向量法)以点O 为原点，建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示，则A ′(0,0，3)，C (0，－3,0)，D (1，－2,0)，所以CA ′→＝(0,3，3)，DA ′→＝(－1,2，3)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′CD →的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ²CA ′→＝0，n ²DA ′→＝0.即⎩⎨⎧3y ＋3z ＝0，－x ＋2y ＋3z ＝0，解得⎩⎨⎧y ＝－x ，z ＝3x .令x ＝1，得n ＝(1，－1，3)，由(1)知，OA ′→＝(0,0，3)为平面CDB 的一个法向量，所以cos 〈n ，OA ′→〉＝n ²OA ′→|n ||OA ′→|＝33²5＝155，即二面角的平面角A ′CDB 的余弦值为155.1．如图所示，四棱锥PABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝ 3.(1)证明：平面PBE ⊥平面PAB ； (2)求二面角ABEP 的大小．(法一)(1)证明：连接BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，△BCD 是等边三角形． 因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD .又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB . 又因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BE ，而PA ∩AB ＝A ，因此 BE ⊥平面PAB . 又BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB .(2)解析：由(1)知，BE ⊥平面PAB, PB ⊂平面PAB, 所以PB ⊥BE . 又AB ⊥BE ，所以∠PBA 是二面角ABEP 的平面角．在Rt△PAB 中， tan∠PBA ＝PAAB＝3，∠PBA ＝60°. 故二面角ABEP 的大小为60°.(法二)如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，P (0,0，3)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0.(1)证明：因为BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，平面PAB 的一个法向量是n 0＝(0,1,0)，所以BE →和n 0共线．从而BE ⊥平面PAB .又因为BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB .(2)解析：易知PB →＝(1,0，－3)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面PBE 的一个法向量，则由⎩⎪⎨⎪⎧n 1²PB →＝0，n 1²BE →＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋0³y 1－3z 1＝0，0³x 1＋32y 1＋0³z 1＝0，所以y 1＝0，x 1＝3z 1.故可取n 1＝(3，0,1)．而平面ABE 的一个法向量是n 2＝(0,0,1)．于是，cos 〈n 1，n 2〉＝n 1²n 2|n 1|²|n 2|＝12.故二面角ABEP 的大小为60°. 2．(2013²深圳一模)如图1，⊙O 的直径AB ＝4，点C 、D 为⊙O 上两点，且∠CAB ＝45°，∠DAB ＝60°，F 为BC 的中点．沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图2)．(1)求证：OF ∥平面ACD ； (2)求二面角CADB 的余弦值；(3)在BD 上是否存在点G ，使得FG ∥平面ACD ？若存在，试指出点G 的位置，并求直线AG 与平面ACD 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．(1)证明：如图，因为∠CAB ＝45°，连接OC ，则OC ⊥A B.以AB 所在的直线为y 轴，以OC 所在的直线为z 轴，以O 为原点，建立空间直角坐标系Oxyz ，则A (0，－2,0)，C (0,0,2)．AC →＝(0,0,2)－(0，－2,0)＝(0,2,2)，因为点F 为BC 的中点，所以点F 的坐标为(0，2，2)， OF →＝(0，2，2)．所以OF →＝22AC →，即OF ∥AC . 因为OF ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ， 所以OF ∥平面ACD .(2)解析：因为∠DAB ＝60°，所以点D 的坐标D (3，－1,0)，AD →＝(3，1,0)． 设二面角CADB 的大小为θ，n 1＝(x ，y ，z )为平面ACD 的一个法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1²AC →＝0，n 1²AD →＝0，有⎩⎨⎧x ，y ，z，2，＝0，x ，y ，z3，1，＝0，即⎩⎨⎧2y ＋2z ＝0，3x ＋y ＝0.取x ＝1，解得y ＝－3，z ＝ 3.所以n 1＝(1，－ 3，3)． 取平面ADB 的一个法向量n 2＝(0,0,1)，所以cos θ＝|n 1²n 2||n 1|²|n 2|＝|1³0＋－3＋3³1|7³1＝217.(3)解析：设在BD 上存在点G ，使得FG ∥平面ACD ，∵OF ∥平面ACD ，∴平面OFG ∥平面ACD ，则有OG ∥A D.设OG →＝λAD →(λ＞0)，因为AD →＝(3，1,0)，所以OG →＝(3λ，λ，0)．又因为|OG →|＝2，所以3λ2＋λ2＋02＝2，解得λ＝±1(舍去－1)．所以，OG →＝(3，1,0)则G 为BD 的中点．因此，在BD 上存在点G ，使得FG ∥平面ACD ，且点G 为BD 的中点． 设直线AG 与平面ACD 所成角为α，因为， AG →＝(3，1,0)－(0，－2,0)＝(3，3,0)，根据(2)的计算n 1＝(1，－3，3)为平面ACD 的一个法向量，所以sin α＝cos (90°－α)＝|AG →²n 1||AG →|²|n 1|＝|3³1＋－3＋0³3|23³7＝77. 因此，直线AG 与平面ACD 所成角的正弦值为77.。

学习资料第八节第二课时 定点、定值、探究性问题授课提示：对应学生用书第174页考点一 圆锥曲线的定点问题［例] (2020·湖南郴州二模）已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ,B 两点．（1)若以A ，B 为直径的圆的方程为（x －2)2＋(y －3）2＝16,求抛物线C 的标准方程;(2）过A ，B 分别作抛物线的切线l 1，l 2,证明:l 1,l 2的交点在定直线上．[解析] （1）由抛物线的定义可得p ＋6＝8，得p ＝2，故抛物线C 的标准方程为x 2＝4y .（2)证明:由x 2＝2py 得其焦点坐标为F 错误!。

设A 错误!，B 错误!，直线AB ：y ＝kx ＋错误!，代入抛物线方程，得x 2－2kpx －p 2＝0，∴x 1x 2＝－p 2。

①对y ＝x 22p求导得y ′＝错误!, ∴抛物线过点A 的切线的斜率为错误!，切线方程为y －错误!＝错误!(x －x 1)，② 抛物线过点B 的切线的斜率为错误!，切线方程为y －错误!＝错误!(x －x 2）,③ 由①②③得y ＝－错误!。

∴l 1与l 2的交点P 的轨迹方程是y ＝－错误!，即l 1，l 2的交点在定直线上．［破题技法] 定点问题主要是由线系（直线系)过定点问题具体来讲,若是证明直线过定点,可将直线设为斜截式，然后消掉一个参数,即得直线所过的定点；证明圆过定点时，常利用直径所对圆周角为直角转化为向量的数量积恒为零处理；证明其他曲线过定点的问题时，经常将曲线中的参变量集中在一起，令其系数等于零,解得定点．椭圆E ：错误!＋错误!＝1(a ＞b ＞0）的左焦点为F 1,右焦点为F 2，离心率e ＝错误!。

过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8。

(1)求椭圆E 的方程；(2）设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q 。

第八节地面辐射供暖系统验收检查一．分户热计量装置检查验收1．国家工程建设强制性标准的要求《辐射供暖供冷技术规程》JGJ142-2012第3.8.1条以工程建设强制性条文的形式规定：新建住宅热水辐射供暖系统应设置分户热计量装置和室温调控装置。

2．检查方法检查是否设置分户热计量装置。

分户热计量装置一般设在每层的管井中。

二．地面辐射供暖户内分室温控装置检查验收1．国家工程建设强制性标准的要求（1）《辐射供暖供冷技术规程》JGJ142-2012第3.8.1条以工程建设强制性条文的形式规定：新建住宅热水辐射供暖系统应设置分户热计量装置和室温调控装置。

（2）《建筑节能工程施工质量验收规范》GB50411—2007第9.2.3条以国家工程建设强制性条文的形式规定：温度调控装置和热计量装置安装后，采暖系统应能实现设计要求的分室（区）温度调控、分栋热计量和分户或分室（区）热量分摊的功能。

（3）《严寒和寒冷地区居住建筑节能设计标准》JGJ26—2010第5.3.9条规定：当设计低温地面辐射供暖系统时，宜按照主要房间划分供暖环路，并应配置室温自动调控装置。

2．检查方法检查是否设置室内温控装置。

检查是否能够实现户内分室控温。

三．分水器清洗用旁通管阀的检查验收1．国家工程建设强制性标准的要求《辐射供暖供冷技术规程》JGJ142-2012第3.5.14条规定：分水器前应设置过滤器；分水器的总进水管与集水器的总出水管之间宜设置清洗地暖系统时使用的旁通管，旁通管上应设置阀门。

2．检查方法检查分水器前是否设置旁通管。

分水器前旁通管一般安装于每层楼道管井中。

四．地面辐射供暖系统加热管布管方式与安装误差检查验收1．国家工程建设强制性标准的要求（1）《辐射供暖供冷技术规程》JGJ142-2012第3.5.9条规定：现场敷设的加热供冷管应跟据房间的热工特性和保证地面温度均匀的原则，并考虑管材允许的最小弯曲半径，采用回折型或平行型等布管方式。

第8节 椭圆、双曲线的两个斜率积结论知识与方法1．椭圆的第三定义：如图1所示，设椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左、右顶点分别为A 和B ，点P为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，则直线PA 、PB 的斜率之积2221PA PB b k k e a⋅=-=-.推广：如图2所示，A 、B 为椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>上关于原点对称的任意两点，P 为椭圆C 上的动点且直线PA 、PB 的斜率均存在，则直线PA 、PB 的斜率之积2221PA PB b k k e a⋅=-=-2．椭圆中点弦结论：如图3所示，设AB 是椭圆2222:1x yC a b+=()0a b >>的任意一条不垂直于坐标轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则直线OM 与直线AB 的斜率之积2221OM AB b k k e a⋅=-=-.3．双曲线的第三定义：如图4所示，设A 、B 分别为双曲线2222:1x yC a b-=()0,0a b >>的左、右顶点，P 为双曲线上不同于A 、B 的任意一点，则直线PA 、PB 的斜率之积2221PA PB b k k e a⋅==-推广：如图5所示，设A 、B 为双曲线2222:1x yC a b-=()0,0a b >>上关于原点O 对称的任意两点，P 为双曲线C 上的动点，且PA 、PB 的斜率都存在，则直线PA 、PB 的斜率之积2221PA PB b k k e a⋅==-4．双曲线中点弦结论：如图6所示，设AB 是双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的不垂直于坐标轴且不过原点的弦，M 为AB 中点，则直线OM 与直线AB 的斜率之积2221OM AB b k k e a⋅==-.提醒：若是焦点在y 轴上的椭圆或双曲线，则上述四个斜率积的结果都要取倒数.典型例题【例1】设椭圆22:12x C y +=的左、右顶点分别为A 和B ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的任意一点，则直线PA 、PB 的斜率之积为______.【解析】由题意，()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ，02x ≠±220012x y +=，所以220012x y =-，所以20200022000011222222PA PBx y k k x x x x -⋅====---+-.【答案】12-变式1 设椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>的左、右顶点分别为A 和B ，点P 为椭圆C 上一点且直线PA 、PB 的斜率之积为12-，则椭圆C 的离心率为______.【解析】由题意，2112PA PB k k e ⋅=-=-，所以椭圆C 的离心率2e =.【答案】22变式2 设A 为椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>上第一象限的一点，B 与A 关于原点对称，点P 在椭圆C 上且直线PA 、PB 的斜率之积为12-，则椭圆C 的离心率为______.【解析】由题意，可设()11,A x y ，则()11,B x y --，且2211221x y a b+=，所以()222222111221x b y b x a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，设()22,P x y ，则2222221x y a b +=，所以()222222222221x b y b x a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，从而()()22222221222222121212222221212121PA PBb b x a x a a a y y y y y y b k k x x x x x x x x a ⎡⎤-----⎢⎥-+-⎣⎦⋅=⋅===--+--， 由题意，2212b -=-，所以222a b =，从而22222a ac =-，故椭圆C 的离心率2c e a ==.2【反思】上面的求解过程其实就是椭圆第三定义推广结论的推导过程，熟悉了这一结论，小题中可直接根据21PA PB k k e ⋅=-求得离心率.变式3 椭圆22:12x C y +=的左、右顶点分别为A 和B ，点P 在C 上，设直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，若112k ≤≤，则2k 的取值范围是______.【解析】由椭圆第三定义，1212k k =-，所以2112k k =-，111111*********k k k ≤≤⇒≤≤⇒-≤-≤-，故2k 的取值范围是11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【答案】11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【反思】看到椭圆左、右顶点与椭圆上另外一点的连线，想到椭圆第三定义的斜率积结论.变式4 已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左、右顶点分别为A 、B ，若椭圆C 上存在不与A 、B 重合的点P ，使得120APB =∠︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是______. 【解析】如图，不妨设P 在x 轴上方，120APB =∠︒，记PAB α∠=，PBA β∠=，则18060APB αβ+=︒-∠=︒，所以()tan tan tan 31tan tan αβαβαβ++==-从而)tan tan 31tan tan αβαβ+=-①，由椭圆第三定义，()2tan tan tan tan 1PA PB k k e απβαβ⋅=⋅-=-=-，所以2tan tan 1e αβ=-， 代入①可得2tan tan 3e αβ+=，显然α，β均为锐角， 所以tan 0α>，tan 0β>，223tan tan 2tan tan 21e e αβαβ=+≥- 当且仅当tan tan αβ=时取等号， 故42344e e ≥-，结合01e <<61e ≤<.【答案】6⎫⎪⎪⎣⎭【例2】不与坐标轴垂直且不过原点O 的直线l 与椭圆22:12x C y +=相交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，则直线OM 与直线l 的斜率之积为______.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：2222121202x x y y -+-=，整理得：1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-，所以直线OM 与直线l 的斜率之积为12-. 【答案】12-【反思】上面的求解过程是用点差法推导中点弦结论，熟悉结论之后，小题中可直接根据21OM AB k k e ⋅=-求得结果.变式1 直线l 与椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>相交于A 、B 两点，O 为原点，M 为AB 的中点，若直线OM与直线l 的斜率之积为12-，则椭圆C 的离心率为______.【解析】由中点弦结论，21212OM AB k k e e ⋅=-=-⇒=.2变式2 已知直线l 与椭圆22:12x C y +=相交于A 、B 两点，若AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线l 的方程为______.【解析】由中点弦结论，12OM AB k k ⋅=-，又AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，所以12OM k =，故1AB k =-，显然M 在直线l 上，所以直线l 的方程为()112y x -=--，化简得：2230x y +-=【答案】2230x y +-=变式3 （2013·新课标Ⅰ卷）已知椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的右焦点为()3,0F ，过点F的直线交椭圆E 于A 、B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1-，则E 的方程为（ ）A.2214536x y +=B.2213627x y +=C.2212718x y +=D.221189x y += 【解析】如图，设AB 中点为M ，由中点弦结论，22AB OM b k k a⋅=-，由题意，1OM k =-，由图可知，()011312AB MFk k --===-，所以()22112b a⨯-=-，整理得：222a b =又椭圆E 的右焦点为()3,0F ，所以229a b -=，故218a =，29b =，从而椭圆E 的方程为221189x y +=【答案】D【反思】看到椭圆的弦中点，联想到中点弦斜率积结论22AB OMb k k a⋅=-【例3】设P 是左、右顶点分别为A 、B 的双曲线221x y -=上的一点，若直线PA 的倾斜角为23π，则直线PB 的倾斜角为（ ） A.6π B.34π C.56π D.1112π 【解析】由题意，()1,0A -，()1,0B ，设()00,P x y ，则22001x y -=，所以22001y x =-， 从而220000220000111111PA PBy y y x k k x x x x -⋅=⋅===+---， 直线PA 的倾斜角为22tan 333PA k ππ⇒==- 所以13PB PA k k ==，故直线PB 的倾斜角为56π. 【答案】C变式1 已知A 、B 、P 是双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>上不同的三点，且A 、B 连线经过坐标原点，若直线PA 、PB 的斜率乘积为1，则该双曲线的离心率为______.【解析】由题意，可设()11,A x y ，()11,B x y --，()22,P x y ，则2211221x y a b-=，所以()222222111221x b y b x a a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，同理，()2222222b y x a a =-，从而()()()22222222222212121222b b b y y x a x a x x a a a-=---=-，故222212121222212121PA PB y y y y y y b k k x x x x x x a -+-⋅=⋅==-+-，由题意，1PA PB k k ⋅=，所以221b a=，故b a =，不妨设1a b ==，则2c =22变式2 （2015·新课标Ⅱ卷）已知A 、B 是双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） 5B.232【解析】解法1：设双曲线2222:1x y E a b -=()0,0a b >>，如图，不妨设P 在第一象限，过M 作MN x ⊥轴于N ，由题意，120ABM =∠︒，2AB BM a ==， 所以18060MBN ABM ∠=︒-∠=︒，从而cos60BN BM a =⋅︒=，sin 603AB BM a =⋅︒=，故M 点的坐标为()23a a ， 代入双曲线方程得：())2222321a a a b -=，化简得：22a b =，所以222a c a =-，故离心率2ce a==. 解法2：设双曲线2222:1x y E a b-=()0,0a b >>，由题意，120ABM =∠︒，30BAM BMA ∠=∠=︒，18060MBN ABM ∠=︒-∠=︒所以直线AM 和直线BM 33由双曲线第三定义，23311MA MB k k e ⋅===-，所以离心率2e【答案】D【例4】过点()1,2M 作斜率为12的直线与双曲线2222:1x y C a b -=()0,0a b >>相交于A 、B 两点，若M 点恰为弦AB 的中点，则双曲线C 的离心率为______.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得：22221212220x x y y a b ---=， 整理得：2121221212y y y y b x x x x a +-⋅=+-，即22122OM AB b k k a ⋅=⨯=，所以22a b =，从而222a c a =-，故2ce a ==. 2变式1 已知双曲线22:122x y C -=，过点()1,2M 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若M 恰好为AB 的中点，则直线l 的方程为______.【解析】设直线l 的斜率为k ，由中点弦结论，221OM b k k a ⋅==，又点M 的坐标为()2,1，所以12OM k =，故2k =，显然直线l 过点M ，所以直线l 的方程为()122y x -=-，化简得：23y x =- 【答案】23y x =-变式2 已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的右焦点为()2,0F ，过点F 的直线交双曲线C 于A 、B 两点，若AB 中点为()1,3M --，则双曲线C 的方程为______. 【解析】由中点弦结论，22303312OM ABb k k a--⋅=⨯==--，所以223b a =，又双曲线C 的右焦点为()2,0F ，所以224a b +=，从而21a =，23b =，故双曲线C 的方程为2213y x -=【答案】2213y x -=强化训练1.（★★★）过点()1,1M -作斜率为13的直线与椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>相交于A 、B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为______.【解析】用中点弦结论，21113AB OM k k e ⋅=-⨯=-，所以椭圆C 的离心率6e =.62.（★★★）已知椭圆22:162x y C +=的左、右顶点分别为A 和B ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的一点，若直线PA 的斜率的取值范围是[]1,2，则直线PB 的斜率的取值范围是______.【解析】设PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，由椭圆第三定义，1213k k =-，所以2113k k =-，由题意，112k ≤≤，所以11112k ≤≤，故1111336k -≤-≤-，即直线PB 的斜率的取值范围是11,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】11,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦3.（★★★）已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的离心率为2，A 、B 为双曲线C 的左、右顶点，P 为C 上不与A 、B 重合的一点，若直线PA 的斜率的取值范围是[]2,3，则直线PB 的斜率的取值范围是______. 【解析】设PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，由双曲线第三定义，21213k k e =-=，所以213k k =， 由题意，123k ≤≤，所以13312k ≤≤，故直线PB 的斜率的取值范围是31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.（★★★）设P 是左、右顶点分别为A 、B 的双曲线2213y x -=上的一点，若直线PA 的斜率为1-，则直线PB 的斜率为______.【解析】由题意，1PA k =-，由双曲线第三定义，223PA PB b k k a⋅==，所以33PB PA k k ==-. 【答案】3-5.（★★★）设椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>上的A 和B 两点关于原点对称，点P 为椭圆C 上一点且直线PA 、PB 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为______.【解析】由椭圆第三定义的推广结论，2114PA PB k k e ⋅=-=-，所以椭圆C 的离心率3e =36.（★★★）直线l 与椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>相交于A 、B 两点，O 为原点，M 为AB 的中点，若直线OM 与直线l 的斜率之积为13-，则椭圆C 的离心率为______.【解析】由中点弦结论，21613OM AB k k e e ⋅=-=-⇒=.67.（★★★）已知双曲线22:13x C y -=，过点()3,1M 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若M 恰好为AB的中点，则直线l 的方程为______.【解析】设直线l 的斜率为k ，由中点弦结论，2213OM b k k a ⋅==，又点M 的坐标为()3,1，所以13OM k =，故1k =，显然直线l 过点M ，所以直线l 的方程为13y x -=-，化简得：2y x =- 【答案】2y x =-8.（★★★★）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左、右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆C 上的动点，直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，若12k k +的最小值为43，则椭圆C 的离心率为______.【解析】由椭圆第三定义，21210k k e =-<，所以22121222121k k k k e e +≥=-=-当且仅当12k k =时取等号，结合120k k <知此时12k k =-，P 为椭圆短轴端点， 所以12k k +的最小值为221e -24213e -，解得：5e =59.（★★★★）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左右顶点分别为A 和B ，直线l 过点B 且与x 轴垂直，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，直线PA 与直线l 交于点M ，且OM PB ⊥，则椭圆C 的离心率为______.【解析】如图，不妨设P 在x 轴上方，设直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ， 由椭圆第三定义，2121k k e =-， 由图可知12tan 2tan 212OM MBMB MBk MOB MAB k OB ABAB =∠===∠=，因为OM PB ⊥，所以21OMk k ⋅=-，从而1221k k =-，即()2211e -=-，解得：2e .【答案】2210.（★★★）已知椭圆2222:1x y E a b +=()0a b >>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点，若AB 中点M 的坐标为12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆E 的方程为______.【解析】易求得12OM k =，12AB MF k k ==-，由中点弦结论，22OM AB b k k a ⋅=-，所以2214b a -=-，故224a b =，又椭圆E 的右焦点为()3,0F ，所以229a b -=，从而212a =，23b =，故椭圆E 的方程为221123x y +=.【答案】221123x y+=11.（★★★★）如下图所示，1A 、2A 为椭圆22195x y +=的左右顶点，O 为坐标原点，S 、Q 、T 为椭圆上不同于1A 、2A 的三点，且1QA 、2QA 、OS 、OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT +=（ ）A.5B.35+C.9D.14【解析】解法1：125599QA QA OT OS k k k k ⋅=-⇒⋅=-，设直线OT 的斜率为k ，则OS 的斜率为59k-，联立225945y kx x y =⎧⎨+=⎩可求得224559x k =+，2224559k y k =+，所以()22245159k OT k +=+， 将k 替换成59k-整理可得：222812559k OS k +=+，从而()2222224518125145959k k OS OT k k +++=+=++. 解法2（极限位置分析法）：让点Q 无限接近1A ，此时S 无限接近1A ，T 无限接近椭圆的上顶点，所以22OS OT +无限接近9514+=，故选D.【答案】D12.（★★★★）如下图所示，直线l 交双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的右支于M 、N 两点，交x 轴于点P ，M 在第一象限，N 在第四象限，O 为原点，直线MO 交双曲线C 的左支于点Q ，连接QN ，若60MPO ∠=︒，30MNQ ∠=︒，则双曲线C 的离心率为______.【解析】如图，过点Q 作x 轴的平行线交MN 于点T ，由题意，又60MPO ∠=︒，所以60MTQ ∠=︒，又30MNQ ∠=︒，所以30TQN ∠=︒，从而直线MN 和直线NQ 的斜率分别为3-3， 显然M 、Q 关于原点对称，由双曲线第三定义的推广，21MN NQ k k e ⋅=-，所以23131e ⎛-== ⎝⎭，故双曲线C 的离心率2e =213.（★★★★）如下图所示，1A 、2A 分别是椭圆22162x y +=的上、下顶点，点P 是椭圆上不与1A 、2A 重合的动点，点Q 满足11QA PA ⊥，22QA PA ⊥，则12PA A 与12QA A 的面积之比1212PA A QA A S S =_______.【解析】解法1：设直线1PA 的斜率为()0k k ≠，由椭圆第三定义的推广结论，1213PA PA k k ⋅=-，所以213PA k k=-，因为11QA PA ⊥，22QA PA ⊥，所以11QA k k=-，23QA k k =，显然(12A ，(20,2A -，所以直线1A Q 的方程为12y x k=-，直线2A Q 的方程为32y kx =，联立直线1A Q 和2A Q 的方程可解得：22k x =，所以点Q 的横坐标22Q kx =，直线1PA 的方程为2y kx =+，代入22162x y +=消去y 整理得：()2231620k x kx ++=，解得：0x =或26231k k -+，所以点P 的横坐标26231p kx k =-+，由图可知121222623132231PA A P QA A QkS k x Sx k k -+==+.解法2（特值法）：不妨取P 为椭圆右顶点，此时P 、Q 的位置如图所示，易求得12OA =，6OP =所以11tan 3OP OA P OA ∠==，从而160OA P ∠=︒，结合11QA PA ⊥可得130OAQ ∠=︒，故116tan OQ OA OAQ =⋅∠12123PA A QA A S OP S OQ==【答案】314.（★★★★）已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右顶点分别为A 、B ，圆()222:2D x y a a +-=与双曲线C 在第一象限的交点为P ，记直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，若212k k -=，则双曲线C 的离心率为______.【解析】如图，记PAB α∠=，PBA β∠=，则1tan k α=，()2tan tan kπββ=-=-， 由题意，(),0A a -，(),0B a ，()0,D a ，所以ABD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，容易验证A 、B 两点都在圆D 上，所以124APB ADB π∠=∠=，从而tan 1APB ∠=，另一方面，()()tan tan tan tan tan 1tan tan APB αβπαβαβαβ+∠=--=-+=--，所以tan tan 11tan tan αβαβ+-=-①由双曲线第三定义，2121k k e =-，所以()2tan tan 1e αβ⋅-=-，从而2tan tan 1e αβ=-，又212k k -=，所以tan tan 2βα--=，故tan tan 2βα+=-，代入式①可得()22111e --=--，解得：2e =215．（★★★★）已知斜率为13-的直线l 与椭圆22197x y +=相交于不同的两点A 、B ，M 为y 轴上一点，且MA MB =，则点M 的纵坐标的取值范围是______.【解析】如图，设AB 中点为()00,N x y ，由中点弦结论，001739y x -⋅=-，所以0073y x =①，因为N 为AB 中点，所以点N 在椭圆内部，从而2200197x y +<将式①代入可解得：03232x < 因为M 在y 轴上，且MA MB =，所以点M 是AB 的中垂线与y 轴的交点，易求得AB 的中垂线的方程为()003y y x x -=- 即0033y x y x =+-，从而点M 的纵坐标003M y y x =-，将式①代入可得023M y x =-，因为0323244x -<<，所以2222M y <<.【答案】2222⎛ ⎝⎭。