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第7章线性变换§ 1线性变换的定义线性空间V到自身的映射，通常叫做V的一个变换，现在讨论的线性变换是线性空间的最简单也是最重要的一种变换。
一、线性变换的定义定义7・1设V为线性空间，若对于V中的任一向量按照一定的对应规则T,总有V中的一个确定的向量0与之对应，则这个对应规则T称为线性空间V中的一个变换，记为T©) = 0或Ta =股©外，0称为Q的象，&称为0的原象。
象的全体所构成的集合称为象集，记作T (V),即T (V) ={/? = T(«) I « G v}o由此定义可见，变换类似于微积分中的函数，不过微积分中的函数是两个实数集合间的对应，而这里的变换则是线性空间中的向量与向量之间的对应。
定义7.2线性空间V中的变换T,若满足条件(1)对任意w V有(2) 2 + 0) = %) + 丁(0)；(3)对任意a eV及数域P中任意数£有T(ka) = kT (a),则称变换T为V中的线性变换。
例7.1线性空间V中的恒等变换或称单位变换£即£(«) = a (a E V)以及零变换o,即o(a) = 0 (tz G V)都是线性变换.例7.2设V是数域P上的线性空间，£是P中的某个数，定义V的变换如下：a Tka,« G V.这是一个线性变换，称为由数£决定的数乘变换，可用K表示•显然当比=1时，便得恒等变换，当比=0时, 便得零变换.例7.3在线性空间P［x］或者冲，求微商是一个线性变换•这个变换通常用©代表，即①(/(x)) =f V)-例7.4定义在闭区间［%闰上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以C(a,b)代表•在这个空间中变换9(/(兀))二是一线性变换.例7.5在疋中，定义下列变换：对任意的x2G7?3,((、& +勺) (5 丫(1 ] T A：?—兀3x2—0任丿丿<旺J k宀丿丿宀丿试确定它们是否为线性变换?5、Ji''X] + XT(兀2+)；2)=T x2 + y2宀丿"+旳丿厂坷+比+£ +力、丫X] + £ '、1+力、勺+『3= +『3< K + >1 )＜州丿< >1 >解对任意的x29G R和数£ GR,= T / 卜、兀2任丿5'、+ T‘刃、宀丿g、•(kx x + 总2、' k x2=T kx2= kx§卫3八l鋼丿+ 无2'5、=k兀3=^T兀2<兀I )故T是线性变换;/ 01、( ( \r 1 )T i x2+ 『2=T.兀2 +丁2=0 ，（儿丿/（勺+儿丿" + )5（、兀1/ 、〔］、< 2、兀2+ T.y2——0+0——0U3 J<^3>宀丿」丿上两式不等，故T］不是线性变换。
高等数学线性代数教材目录第一章行列式1.1 行列式的引入1.2 二阶和三阶行列式的计算1.3 行列式的性质和性质的应用1.4 行列式的性质证明第二章矩阵和向量2.1 矩阵的概念和基本运算2.2 矩阵的转置和逆2.3 向量的线性相关性和线性无关性2.4 向量组的秩和极大线性无关组第三章矩阵的运算3.1 矩阵的加法和减法3.2 矩阵的数乘3.3 矩阵的乘法3.4 矩阵的特殊类型第四章线性方程组4.1 线性方程组的概念和解的分类4.2 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解 4.3 线性方程组的向量表示第五章向量空间5.1 向量空间的定义和例子5.2 向量子空间和子空间的概念5.3 向量空间的线性组合和生成子空间5.4 基和维数第六章矩阵的特征值和特征向量6.1 特征值和对角化6.2 特征多项式和特征方程6.3 相似矩阵和相似对角矩阵6.4 实对称矩阵的对角化第七章线性变换7.1 线性变换的概念和性质7.2 线性变换的矩阵表示7.3 线性变换的特征值和特征向量7.4 线性变换的相似、迹和行列式第八章内积空间8.1 内积的定义和性质8.2 欧几里得空间和具有内积的实向量空间8.3 向量的正交性和正交子空间8.4 施密特正交化方法第九章广义特征值问题9.1 广义特征值问题的引入9.2 广义特征值的计算9.3 广义特征值与相似变换9.4 对称矩阵的广义特征值问题与对角化第十章特殊矩阵的标准形式10.1 对称矩阵的对角化10.2 正定矩阵和正定二次型10.3 实对称矩阵的正交对角化10.4 复数矩阵的标准型这是《高等数学线性代数》教材的目录, 包含了十个章节，每个章节中有相应的小节来详细介绍相关内容。
这本教材综合了高等数学和线性代数的知识，旨在帮助读者掌握线性代数的基本概念、理论和方法，以及应用于实际问题的能力。
希望读者通过学习这本教材，能够系统地理解和应用线性代数的知识，为今后的学习和研究打下坚实的基础。
第七章 线性变换计划课时： 24 学时 .( P 307—334)§7.1 线性变换的定义及性质( 2 学时)教学目的及要求 ：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质教学重点、难点 ：线性变换的定义及线性变换的性质本节内容可分为下面的两个问题讲授 .一 . 线性变换的定义( P 307 )注意：向量空间V 到自身的同构映射一定是 V 上的线性变换，反之不然。
二. 线性变换的性质定理 7.1.1定理 7.1.2推论 7.1.3 注意：1.定理 7.1.2 给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基 向量的作用所决定。
2. 两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论 我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。
P 309) P 309) ( P 3107.1.3 (P 310)告诉作业：习题七 P 330 1 ，2，3.§ 7.2 线性变换的运算(4 学时)教学目的及要求 教学重点、难点 ：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件：线性变换的运算及线性变换可逆的条件本节内容分为下面四个问题讲授：一. 加法运算定义 1 ( P 310)注意：+ 是V 的线性变换.二 . 数乘运算定义 2 ( P 311) 显然k 也是V 的一个线性变换.定理 7.2.1L (V ) 对于线性变换的加法与数乘运算构成数域 三 . 乘法运算(1). 乘法运算定义 3( P 311-312 ) 注意 ：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律 F 上的一个向量空间 . 两个非零线性变换的乘积可能是零变换 .(2). 线性变换 的方幂四 . 可逆线性变换定义 4 ( P 313)线性变换可逆的充要条件 例 2 ( P 314)线性变换的多项式的概念 ( 阅读内容 ).作业： P 330 习题七 4， 5.§7.3 线性变换的矩阵( 6 学时)教学目的及要求 ：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握 与 ( )关于同一个基的坐标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L (V )与M (F )的同构理论。
第七章 线性变换(小结)本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系.线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用.本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换与逆变换; 线性变换的值域与核，秩与零度; 线性变换的和与差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式.2. 基本结论(1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组(2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换.(3) 线性变换的基本运算规律(略).(4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间.(5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }.ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}.(c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n .(d)A 是双射⇔A 是单射⇔ Ker(A )={0}⇔A 是满射.(e)像空间的一组基的原像与核空间的一组基合并就是线性空间V 的一组基:取Im A 的一组基r βββ ,,21,存在,,...,21r ααα使得A i i βα=,i=1,2,…,r. 再取ker A 的基,,...1n r αα+则,,...,21r ααα,,...1n r αα+就是V 的一组基. 二、线性变换与矩阵1.基本概念:(1)线性变换在基下的矩阵:设A ∈L(V),取定n 维线性空间V 的一组基n ααα,...,,21,则A α1, A α2,… ,A αn 可由α1,α2,…,αn 线性表示, 即(A α1, A α2,… ,A αn )=( n ααα,...,,21)A ,矩阵A 称为线性变换A 在此基下的矩阵.(2) 一个线性变换在不同基下的矩阵相似:设n ααα,...,,21,n βββ,...,,21是线性空间V 的两组基,(n βββ,...,,21)=(n ααα,...,,21)P, (A α1, A α2,… ,A αn )=( n ααα,...,,21)A ,则(A β1, A β2,… ,A β n )=(n βββ,...,,21)AP P 1-.2.基本结论(1) 若n ααα,,,21 是线性空间V 的一个基, V n ∈∀βββ,,,21 ,则存在唯一A )(V L ∈,使得A n i i i ,,2,1,)( ==βα.(2) 在取定n 维线性空间V 的一个基之后,将V 的每一线性变换与它在这个基下的矩阵相对应,则这个对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分别对应于矩阵的和、乘积、数量乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵。
