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统计学中的随机变量的分布与分位数概念在质量工程师的培训中，我们经常询问学员以下图形是什么曲线，学员普遍能够回答是正态分布曲线，但进一步询问学员该曲线的纵轴f(x)表示什么，许多同学以为是概率值。
其实这个曲线是正态分布概率密度曲线，f(x)是指随机变量X在观察值为x时的概率密度，如果随机变量X的单位为mm，则f(x)的单位为%/mm。
曲线与X轴所围成的面积表示概率，该面积等于1，因为随机变量的所有可能取值（即：100%）都在X轴上。
随机变量的分布与分位数概念以下是一个均值=10，标准差=0.5的正态分布概率密度曲线的例子，x=9.020的垂线与该分布的概率密度曲线和X轴所围成的左侧区域面积=0.025，该面积表示在随机变量X的总体分布中，有2.5%的值小于9.020，也就是说在总体分布中，随机变量X的取值小于9.020的概率为2.5%。
同样，x=10.98的垂线与该分布的概率密度曲线和X 轴所围成的右侧区域面积=0.025，该面积表示在随机变量X的总体分布中，有2.5%的值大于10.98，也就是说在总体分布中，随机变量X 的取值大于10.98的概率为2.5%（也即是随机变量X的取值小于10.98的概率为97.5%）。
在这个分布中，x=9.020的值被称为X的2.5%分位数（即：X2.5%=9.020），x=10.98的值被称为X的97.5%分位数（X97.5%=10.98）。
随机变量X有95%（即：97.5% -2.5%=95%）的取值落在9.020至10.98之间。
每个分位数都是随机变量所有可能取值中的某个值。
按照定义，若某个值Xp被称为随机变量X的p分位数，则随机变量X的取值小于Xp的概率为p。
随机变量的分布与分位数概念以下是该正态分布对应的累积概率分布曲线，该曲线的纵轴表示的是累积概率，比如：x=9.020对应的累积概率为2.5%（即：随机变量X的取值小于x=9.020的概率为2.5%）, x=10对应的累积概率为50%（即：随机变量X的取值小于x=10的概率为50%）, x=10.98对应的累积概率为97.5%（即：随机变量X的取值小于x=10.98的概率为97.5%）。
数据的分位数如何计算公式数据的分位数是统计学中常用的一种描述数据分布的方法，它可以帮助我们更好地理解数据的分布情况。
在统计学中，分位数是将数据集分成若干部分的数值，每一部分包含相同比例的数据。
常见的分位数包括四分位数、中位数、百分位数等。
本文将介绍如何计算数据的分位数，并探讨其在实际应用中的意义。
一、四分位数的计算公式。
四分位数是将数据集分成四等份的数值，分别是第一四分位数（Q1）、中位数（Q2）、第三四分位数（Q3）。
计算四分位数的方法如下：1. 首先将数据集按照大小顺序排列。
2. 然后计算中位数Q2，即将数据集分成两部分，前一部分的中位数即为Q1，后一部分的中位数即为Q3。
3. Q1即为数据集中所有数值中位数的中位数，Q3即为数据集中所有数值中位数的中位数。
四分位数的计算公式如下：Q1 = (n + 1) / 4。
Q2 = (n + 1) / 2。
Q3 = 3 (n + 1) / 4。
其中，n为数据集的大小。
二、中位数的计算公式。
中位数是将数据集分成两等份的数值，即中间的数值。
计算中位数的方法如下：1. 首先将数据集按照大小顺序排列。
2. 如果数据集的大小为奇数，则中位数即为数据集中间的数值；如果数据集的大小为偶数，则中位数为中间两个数值的平均值。
中位数的计算公式如下：如果n为奇数，中位数为X(n+1)/2。
如果n为偶数，中位数为(Xn/2 + X(n/2+1))/2。
其中，X为数据集中的数值，n为数据集的大小。
三、百分位数的计算公式。
百分位数是将数据集分成100等份的数值，即将数据集中所有数值按照大小顺序排列后，按照百分比进行划分。
计算百分位数的方法如下：1. 首先将数据集按照大小顺序排列。
2. 然后根据需要计算的百分位数的位置，找到对应的数值即为所求的百分位数。
百分位数的计算公式如下：P(k) = (k/100) (n + 1)。
其中，P(k)为所求的百分位数，k为百分位数的百分比，n为数据集的大小。
统计五分位法
五分位法，又称为又称箱形图方法，是一种统计学中常用的探索性数据分析方法，用于描述一组数值数据的分布情况。
五分位法将数据分为四个分位数，分别是第一四分位数（下四分位数，Q1，25%分位数）、第二四分位数（中位数，Q2，50%分位数）、第三四分位数（上四分位数，Q3，75%分位数）和第四四分位数（最大值）。
计算步骤如下：
1. 将数据按照大小排序。
2. 找出中位数Q2，该数将数据分为两部分。
3. 分别计算第一四分位数Q1，即处于Q2前一半位置的数的
中位数。
4. 分别计算第三四分位数Q3，即处于Q2后一半位置的数的
中位数。
5. 统计最小值和最大值。
6. 绘制箱形图，用矩形盒子表示数据的分布情况，下边界为
Q1，上边界为Q3，中位数用一条横线表示。
在矩形盒子上下
分别绘制须线，须线的末端分别表示最小值和最大值。
五分位法可以用于快速了解数据的集中趋势和离散程度。
通过观察箱形图，可以判断数据的偏度、异常值和离群点等信息。
分位数的概念分位数是指统计学中常用的一个概念，用来描述数据的分布情况。
它把一组数据分成几部分，每部分包含相同比例的数据。
分位数通常用来衡量数据的集中趋势和离散程度，是统计学和数据分析中非常重要的一个概念。
在统计学中，常用的分位数有四分位数、中位数和百分位数。
其中，四分位数又分为下四分位数（Q1）、中位数（Q2）和上四分位数（Q3）。
下四分位数是数据中25%的位置的值，中位数是数据中50%的位置的值，上四分位数是数据中75%的位置的值。
除了四分位数之外，还有百分位数，百分位数是指数据中有百分之几的观察值小于或等于它。
分位数的概念可以通过举例来更好地理解。
假设有一个班级的学生成绩数据，我们想要了解学生成绩的分布情况。
我们可以计算这组成绩的四分位数，从而找到25%、50%和75%位置的分数。
这样我们就可以得出学生成绩的集中趋势和离散程度。
比如，中位数可以帮助我们确定学生成绩的中间位置，四分位数可以帮助我们了解学生成绩中较低、中等和较高的位置，进而得出整体上学生成绩的分布情况。
分位数的计算方法有很多，最常用的是通过对数据进行排序，然后找到对应位置的数据点。
比如，要计算下四分位数，首先对数据进行排序，然后找到数据的25%位置的值即为下四分位数。
类似地，中位数和上四分位数也可以通过这种方法来计算。
分位数的应用非常广泛，它在数据分析、统计推断、风险管理等领域都有着重要的作用。
在数据分析中，分位数可以帮助我们了解数据的分布情况，发现异常值和离群点，寻找数据的集中趋势等。
在统计推断中，分位数可以用来构建置信区间、进行假设检验等。
在风险管理中，分位数可以用来衡量风险的不确定性和波动性，帮助决策者做出合理的决策。
此外，在金融领域中，分位数也有着重要的应用。
比如，价值-at-风险（Value-at-Risk，VaR）是衡量金融风险的一种常用方法，它主要通过计算分位数来对金融资产的风险进行评估。
总之，分位数是统计学中非常重要的一个概念，它可以帮助我们了解数据的分布情况，衡量数据的集中趋势和离散程度，对数据进行分析和推断，并在风险管理和决策中发挥重要作用。
分位数 前⾯已指出，当取得总体的样本后，通常是借助样本的统计量对未知的总体分布进⾏推断。
为了实现推断的⽬的必须进⼀步确定相应的统计量所服从的分布。
这样就有必要补充⼀些在本书概率论部分未曾提及，但在统计学中却经常⽤到的分布。
6.3.1 分位数 在统计推断中，经常⽤到统计分布的⼀类数字特征——分位数。
在即将讨论⼀些常⽤的统计分布前，我们⾸先给出分位数的⼀般概念。
定义6.3.1 设随机变量的分布函数为，对给定的实数，如果实数满⾜ 即 或 则称为随机变量的分布的⽔平的上侧分位数。
或直接称为分布函数的⽔平的上侧分位数。
显然，如果是严格单调增的，那么其⽔平的上侧分位数为 当是连续型随机变量时，设其概率密度函数为，则其⽔平的上侧分位数满⾜ 在图形上（图6.3.1），介于密度函数曲线下⽅，轴上⽅与垂直直线右⽅之间的阴影区域的⾯积恰好等于。
例如，标准正态分布的⽔平的上侧分位数通常记作，则满⾜ 即 图6.3.2 给出了标准正态分布的⽔平的上侧分位数的图⽰。
图6.3.1 上侧分位数图6.3.2 标准正态分布的上侧分位数 ⼀般讲，直接求解分位数是很困难的，对常见的统计分布，在本书附录中给出了分布函数值表或分位数表，通过查表，可以很⽅便地得到分位数的值。
⽐如，对给定的，查标准正态分布的分布函数值表，可得到的值。
对于像标准正态分布那样的对称分布（概率密度函数为偶函数，关于轴对称！），统计学中还⽤到另⼀种分位数——双侧分位数。
定义6.3.2 设是对称分布的随机变量，其分布函数为，对给定的实数，如果实数满⾜ 即 则称实数为随机变量的分布的⽔平的双侧分位数，也简称为分位数。
或直接称为分布（函数）的⽔平的分位数。
由于对称性，可改写为 或 图6.3.3 标准正态分布的⽔平的双侧分位数 可见，⽔平的分位数实际等于⽔平的上侧分位数。
即有 图6.3.3以标准正态分布为例给出了双侧分位数的图⽰。
下⾯我们给出统计三⼤分布的⽣成背景。
分位数的计算方法1. 分位数是统计学中常用的一种描述数据分布的方法。
它可以帮助我们了解数据集中各个部分的特点和位置，以及数据的相对大小。
2. 首先，我们需要知道分位数的定义。
分位数是指将一个数据集按照大小进行排序后，将其分为若干等份，每一等份包含相等数量的数据。
这样，我们就可以得到一系列的分位数，比如四分位数、中位数等。
3. 其中，最常用的是四分位数，它将数据集分为四等份。
第一个四分位数（Q1）是将数据按照从小到大的顺序排列后，处于25%位置上的数值；中位数（Q2）是处于50%位置上的数值；第三个四分位数（Q3）是处于75%位置上的数值。
4. 计算分位数的方法有多种，下面介绍最常用的一种方法——线性插值法。
首先，我们将数据集按照大小进行排序。
然后，通过以下公式计算分位数的位置：- 位置= (n+1) * p其中，n是数据集中的观测值数量，p是所求分位数的百分位数，通常用小数表示。
5. 如果位置是整数，那么该位置上的观测值就是所求分位数。
如果位置是小数，我们需要进行线性插值。
线性插值是通过找到该位置下方和上方两个整数位置的观测值，然后根据位置的小数部分进行插值计算。
6. 假设位置为k，下方整数位置的观测值为x1，上方整数位置的观测值为x2，那么可以通过以下公式计算分位数：- 分位数= x1 + (x2 - x1) * 小数部分其中，小数部分是位置的小数部分。
7. 举个例子来说明线性插值法的计算过程。
假设我们有一个包含10个观测值的数据集，按照大小排列后如下：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10如果我们要计算第三个四分位数（Q3），位置为(10+1) * 0.75 = 7.75。
那么下方整数位置为7，上方整数位置为8。
根据公式，可以计算得到：Q3 = 7 + (8 - 7) * 0.75 = 7.758. 最后，需要注意的是，对于有序数据集中的极端值（比如异常值），在计算分位数时需要进行适当的处理。
§1.4 常用的分布及其分位数1. 卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。
当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时，Z=∑ii X 2 的分布称为自由度等于n 的2χ分布，记作Z ～2χ(n)，它的分布密度 p(z )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中的⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ2n =u d e u u n ⎰∞+--012，称为Gamma 函数，且()1Γ=1，⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21=π。
2χ分布是非对称分布，具有可加性，即当Y 与Z 相互独立，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。
证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独立且都服从N(0,1)，再根据2χ分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令Y=X 21+X 22+…+X 2n ，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。
2. t 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =nY X 的分布称为自由度等于n 的t 分布，记作Z ～ t (n )，它的分布密度P(z)=)()(221n nn ΓΓ+2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n z 。
请注意：t 分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。
这时， t 分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。
3. F 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～2χ(n )，Y ～2χ(m )， 则Z=mY n X的分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 的F 分布，记作Z ～F (n , m )，它的分布密度 p(z)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ•。
其他,00,2)(1222222z m n z n m n z m n m n m m n n 请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当Z ～F (n , m )时，Z1～F (m ,n )。
4. t 分布与F 分布的关系若X ～t(n )，则Y=X 2～F(1,n )。
证：X ～t(n )，X 的分布密度p(x )=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ221n n n π2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n x 。
Y=X 2的分布函数F Y (y ) =P{Y<y }=P{X 2<y }。
当y ≤0时，F Y (y)=0，p Y (y )=0；当y >0时，F Y (y ) =P{-y <X<y } =x d x p y y )(⎰-=2x d x p y )(0⎰， Y=X 2的分布密度p Y (y )=21)(121221212n y n y n n n n ++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ•，与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此Y=X2～F(1,n)。
为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。
但是，解应用问题时，通常是查分位数表。
有关分位数的概念如下：4. 常用分布的分位数1）分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数，它们的定义如下：当随机变量X的分布函数为F(x)，实数α满足0 <α<1 时，α分位数是使P{X< xα}=F(xα)=α的数xα，上侧α分位数是使P{X >λ}=1-F(λ)=α的数λ，双侧α分位数是使P{X<λ1}=F(λ1)=0.5α的数λ1、使P{X>λ2}=1-F(λ2)=0.5α的数λ2。
因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就是1-α分位数x1-α；F(λ1)=0.5α，1-F(λ2)=0.5α，所以双侧α分位数λ1就是0.5α分位数x0.5α，双侧α分位数λ2就是1-0.5α分位数x1-0.5α。
2）标准正态分布的α分位数记作uα，0.5α分位数记作u 0.5α，1-0.5α分位数记作u1-0.5α。
当X～N(0,1)时，P{X< uα}=F 0,1(uα)=α，P{X<u0.5α}= F 0,1 (u0.5α)=0.5α，P{X<u1-0.5α}= F 0,1 (u1-0.5α)=1-0.5α。
根据标准正态分布密度曲线的对称性，当α=0.5时，uα=0；当α<0.5时，uα<0。
uα=-u1-α。
如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查出 u1-α，然后得到uα=-u1-α。
论述如下：当X～N(0,1)时，P{X< uα}= F 0,1 (uα)=α，P{X< u1-α}= F 0,1 (u1-α)=1-α，P{X> u1-α}=1- F 0,1 (u1-α)=α，故根据标准正态分布密度曲线的对称性，uα=-u1-α。
例如，u 0.10=-u 0.90=-1.282，u 0.05=-u 0.95=-1.645，u 0.01=-u 0.99=-2.326，u 0.025=-u 0.975=-1.960，u 0.005=-u 0.995=-2.576。
又因为P{|X|< u1-0.5α}=1-α，所以标准正态分布的双侧α分位数分别是u1-0.5α和-u1-0.5α。
标准正态分布常用的上侧α分位数有：α=0.10，u 0.90=1.282；α=0.05，u 0.95=1.645；α=0.01，u 0.99=2.326；α=0.025，u 0.975=1.960；α=0.005，u 0.995=2.576。
χα(n)。
3）卡平方分布的α分位数记作2χα(n)>0，当X～2χ(n)时，P{X<2χα(n)}=α。
2χ0.005(4)=0.21，2χ0.025(4)=0.48，例如，2χ0.05 (4)=0.71，2χ0.95(4)=9.49，2χ0.975(4)=11.1，2χ0.995(4)=14.9。
24）t分布的α分位数记作tα(n)。
当X～t (n)时，P{X<tα(n)}=α，且与标准正态分布相类似，根据t分布密度曲线的对称性，也有tα(n)=-t1-α(n)，论述同uα=-u1-α。
例如，t0.95(4)=2.132，t 0.975(4)=2.776，t 0.995(4)=4.604，t 0.005(4)=-4.604，t 0.025(4)=-2.776，t 0.05(4)=-2.132。
另外，当n>30时，在比较简略的表中查不到tα(n)，可用uα作为tα(n)的近似值。
5）F分布的α分位数记作Fα(n , m)。
Fα(n , m)>0，当X～F (n , m)时，P{X<Fα(n , m)}=α。
另外，当α较小时，在表中查不出F α(n , m )，须先查F 1-α(m , n )，再求F α(n , m )=),(11n m F α-。
论述如下： 当X ～F(m , n )时，P{X< F 1-α(m , n )}=1-α， P{X 1>),(11n m F α-}=1-α，P{X 1<),(11n m F α-}=α， 又根据F 分布的定义，X 1～F(n , m )，P{X 1<F α(n , m ) }=α， 因此 F α(n , m )= ),(11n m F α-。
例如，F 0.95 (3,4)=6.59，F 0.975 (3,4)=9.98，F 0.99 (3,4)=16.7，F 0.95 (4,3)=9.12，F 0.975 (4,3)=15.1，F 0.99 (4,3)=28.7，F 0.01 (3,4)=7.281，F 0.025 (3,4)=1.151，F 0.05 (3,4)=12.91。
【课内练习】1. 求分位数①χ20.05(8)，②χ20.95(12)。
2. 求分位数① t 0.05(8)，② t 0.95(12)。
3. 求分位数①F 0.05(7,5)，②F 0.95(10,12)。
4. 由u 0.975=1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。
5. 由t 0.95(4)=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。
6. 若X ～χ2(4)，P{X<0.711}=0.05，P{X<9.49}=0.95，试写出有关的分位数。
7. 若X ～F(5,3)，P{X<9.01}=0.95，Y ～F(3,5)，{Y<5.41}= 0.95，试写出有关的分位数。
8. 设X 1、X 2、…、X 10相互独立且都服从N(0,0.09)分布,试求P{X i i2∑>1.44}。
习题答案：1. ①2.73，②21.0。
2. ①-1.860，②1.782。
3. ①1488.，②3.37。
4. 1.960为上侧0.025分位数，-1.960与1.960为双侧0.05分位数。
5. 2.132为上侧0.05分位数，-2.132与2.132为双侧0.1分位数。
6. 0.711为上侧0.95分位数，9.49为上侧0.05分位数，0.711与19.49为双侧0.1分位数。
7. 9.01为上侧0.05分位数，5.41为上侧0.05分位数，1901.与5.41为双侧0.1分位数，1541.与9.01为双侧0.1分位数。
8. 0.1。
