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第四章 正态分布１、解：(0,1)ZN（1）{ 1.24}(1.24)0.8925P Z ∴≤=Φ={1.24 2.37}(2.37)(1.24)0.99110.89250.0986P Z <≤=Φ-Φ==-= {2.37 1.24}( 1.24)( 2.37)(1.24)(2.37)0.89250.99110.0986P Z -<≤-=Φ--Φ-=-Φ+Φ=-+=（2）{}0.9147()0.9147 1.37{}0.05261()0.0526()0.9474 1.62P Z a a a P Z b b b b ≤=∴Φ==≥=-Φ=Φ==，，得，，，得2、解：(3,16)XN8343{48}()()(1.25)(0.25)0.89440.59870.295744P X --∴<≤=Φ-Φ=Φ-Φ=-= 5303{05}()()(0.5)(0.75)44(0.5)1(0.75)0.691510.77340.4649P X --<≤=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+= 31(25,36){25}0.95442(3,4){}0.95X N C P X C X N C P X C -≤=>≥、（）设，试确定，使；（）设，试确定，使解：（1）(25,36){25}0.9544X N P X C -≤=，{2525}0.9544P C X C ∴-≤≤+=25252525()()0.954466()()2()10.9544666()0.9772,21266C C C C CC CC +---Φ-Φ=-Φ-Φ=Φ-=Φ=∴==即， （2）(3,4){}0.95XN P X C >≥，331()0.95()0.952231.6450.292C CCC ---Φ≥Φ≥-≥≤-即，，4、解：（1）2(3315,575)XN4390.2533152584.753315{2584.754390.25}()()575575(1.87)( 1.27)(1.87)1(1.27)0.969310.89800.8673P X --∴≤≤=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+= （2）27193315{2719}()( 1.04)1(1.04)10.85080.1492575P X -≤=Φ=Φ-=-Φ=-=(25,0.1492)YB ∴4440{4}(0.1492)(10.1492)0.6664ii i i P Y C -=∴≤=-=∑5、解：(6.4,2.3)X N{}{}1()81(1.055)10.85540.14462.3(85}0.17615 6.451(0.923)(0.923)0.82121()2.3P X P X X P X -Φ>-Φ-∴>>======->-Φ-Φ-Φ6、解：（1）2(11.9,(0.2))XN12.311.911.711.9{11.712.3}()()(2)(1)(2)1(1)0.20.20.977210.84130.8185P X --∴<<=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+= 设A ={两只电阻器的电阻值都在欧和欧之间} 则2()(0.8185)0.6699P A ==（2）设X , Y 分别是两只电阻器的电阻值，则22(11.9,(0.2))(11.9,(0.2))X N Y N ，，且X , Y 相互独立[]22212.411.9{(12.4)(12.4)}1{12.4}{12.4)}1()0.21(2.5)1(0.9938)0.0124P X Y P X P Y -⎡⎤∴>>=-≤⋅≤=-Φ⎢⎥⎣⎦=-Φ=-=7、一工厂生产的某种元件的寿命X （以小时计）服从均值160μ=，均方差为的正态分布，若要求{120200}0.80P X <<≥，允许最大为多少解：因为2(160,)XN σ由2001601201600.80{120200}()()P X σσ--≤<<=Φ-Φ从而 40402()10.80()0.9σσΦ-≥Φ≥，即，查表得401.282σ≥，故σ≤8、解：（1）2(90,(0.5))XN8990{89}()(2)1(2)10.97720.02280.5P X -∴<=Φ=Φ-=-Φ=-= （2）设2(,(0.5))X N d由808080{80}0.991()0.99()0.99 2.330.50.50.5d d d P X ---≥≥∴-Φ≥Φ≥≥，，，即 从而d ≥ 9、解：22~(150,3),~(100,4)X Y X N Y N 与相互独立，且则（1）2221~(150(100,3)4)(250,5)W X Y N N =+++=()222222~2150100,(2)314(200,52)W X Y N N =+-⨯+-⨯+⨯=-22325~(125,)(125,(2.5))22X Y W N N +== （2）242.6250{242.6}()( 1.48)1(1.48)10.93060.06945P X Y -+<=Φ=Φ-=-Φ=-= 12551255125522212551251255125()1()(2)1(2)2.5 2.522(2)220.97720.0456X Y X Y X Y P P P ⎧+⎫++⎧⎫⎧⎫->=<-+>+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭--+-=Φ+-Φ=Φ-+-Φ=-Φ=-⨯=10、解：（1）22~(10,(0.2)),~(10.5,(0.2))X N Y N X Y ，且与相互独立22~(0.5,2(0.2))(0.5,(0.282))X Y N N ∴--⨯=-0(0.5){0}()(1.77)0.96160.282P X Y ---<=Φ=Φ=（2）22~(10,(0.2)),~(10.5,)X N Y N X Y σ设，且与相互独立222~(0.5,2(0.2))(0.5,(0.2))X Y N N σ∴--⨯=-+0.90{0}P X Y ≤-<=Φ=Φ由1.28≥，故σ≤11、设某地区女子的身高（以m 计）2(1.63,(0.025))WN ，男子身高（以m 计）2(1.73,(0.05))MN ，设各人身高相互独立。
《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑=§5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
第四章 数学期望和方差
数学期望：
设离散型随机变量X 的分布律为,2,1,}{===k p x X P k k …
若级数k k k p x ∑∞=1绝对收敛，则称级数k k k p x ∑∞
=1的和为随机变量X 的数学期望，记为
E(X)，即E(X ）=k k k p x ∑∞
=1
设连续型随机变量X 的概率密度为f(x ），
若积分⎰∞∞-dx x xf )(绝对收敛,则称积分⎰∞
∞-dx x xf )(的值为随机变量X 的数学期望，记为E （X)，即E(X)=⎰∞
∞-dx x xf )( 数学期望简称期望，又称为均值
数学期望E(X)完全由随机变量X 的概率分布所确定,若X 服从某一分布也称E （X ）是这一分布的数学期望
定理
设Y 是随机变量X 的函数：Y=g （X)（g 是连续函数)
1）X 是离散型随机变量,它的分布律为,2,1,}{===k p x X P k k …，若k
k k p x g )(1∑∞
=绝对收敛，则有[]==)(()(X g E Y E k k k p x g )(1∑∞
=
2）X 是连续型随机变量,它的概率密度为f(x).若⎰∞
∞-dx x f x g )()(绝对收敛,则有E(Y ）=E ［g （X ）]=⎰∞
∞-dx x f x g )()(
数学期望的几个重要性质:
1.设C 是常数,则有E(C ）=C
2.设X 是一个随机变量，C 是常数，则有E （CX)=CE （X ）
若A ，B 相互独立，则有E(AB ）=E （A)E(B ）
3.设X,Y 是两个随机变量，则有E （X+Y ）=E(X)+E （Y ）
方差
设X 是一个随机变量，若})]({[2X E X E -存在，则称})]({[2X E X E -为X 的方差，记为D （X)或Var （X),即D(X)=Var(X)=})]({[2X E X E -
)(X D ,记为σ（X)，称为标准差或均方差
对于离散型随机变量，k k k p X E x X D ∑∞=-=1
2)]([)(
对于连续型随机变量，dx x f X E x X D )()]([)(2⎰∞∞
--= 随机变量X 的方差计算公式：22)]([)()(X E X E X D -=
方差的几个重要性质：
1.设C 是常数，则D(C ）=0
2.设X 是随机变量，C 是常数，则有)()(2X D C CX D =
3.设X,Y 是两个随机变量,则有
))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+
特别地，若X ，Y 相互独立，则有
D （X+Y)=D(X ）+D(Y)
4。
D （X)=0的充要条件是X 以概率1取常数C ，即P ｛X=C ｝=1,显然这里C=E （X)
定理：(切比雪夫不等式）
设随机变量X 具有数学期望E(X)=μ，方差D(X)=2σ，则对于任意正数ε，不等式22}|{|ε
σεμ≤≥-X P 成立
协方差及相关系数
量)]}()][({[Y E Y X E X E --称为随机变量X 与Y 的协方差，记为Cov(X ，Y)，即 Cov(X ，Y ）=)]}()][({[Y E Y X E X E -- 而)
()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ称为随机变量X 与Y 的相关系数 XY ρ是一个无量纲的量
)(),(),,(),(X D X X Cov X Y Cov Y X Cov ==
)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=
协方差的性质有：
1.),(),(Y X abCov bY aX Cov =,a ，b 是常数
2.),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+
当|XY ρ｜较大时,X ，Y 线性相关的程度较好,当｜XY ρ｜较小时，X ，Y 线性相关的程度较差，当XY ρ=0，称X 和Y 不相关
若X ，Y 独立，则其不相关，但若X,Y 不相关，并不能说明其独立
矩、协方差矩阵
设X ，Y 是随机变量，若,2,1),(=k X E k …存在，称它为X 的k 阶原点矩，简称k 阶矩
若,3,2},)]({[=-k X E X E k …存在,称它为X 的k 阶中心矩 若,2,1,),(=l k Y X E l k …存在，称它为X 和Y 的k+l 阶混合矩 若,2,1,},)]([)]({[=--l k Y E Y X E X E l k …存在,称它为X 和Y 的k+l 阶混合中心矩
设n 维随机变量,,(21X X …),n X 的二阶混合中心矩
2,1,)]},()][({[),(=--==j i X E X X E X E X X Cov c j j i i j i ij …n , 都存在，则称矩阵
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=nn n n n n c c c c c c c c c C ^^^^^2122221
11211 为n 维随机变量,,(21X X …),n X 的协方差矩阵
由于),^,2,1,,(n j i j i c c ji ij =≠=，因而上述矩阵是一个对称矩阵。
