2019年高考数学导数及其应用专题AB卷及解析

2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈.若1x =-为函数()xf x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是（ ）（2011浙江文10）2．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-(2008全国1理)D.由()3212211,','|,2,21121x x y y y a a x x x =+==+=-=--==---- 二、填空题3．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f′(x )．对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f′(x )恒成立，则b 2a 2+c 2的最大值为 ▲ ．4．已知函数f (x )＝e x －ax 在区间(0，1)上有极值，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 5．已知曲线y=x 2 （x ＞0）在点P 处切线恰好与圆C ：x 2+（y+1）2=1相切，则点P 的坐标为 （，6） ．（3分）6． 如图，函数()y f x =的图像在点P 处的切线是l ，则(2)(2)f f '+= 。

xyO(2,0)P()y f x =()y f x '=1 （第10题7．函数y ＝x 3－3x 2＋1的单调递减区间为 ▲ ． 8． 函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为 __________________. 9．关于x 的不等式(21)ln 0ax x -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的值为_____． 10．若函数32()4f x x x ax =+--在区间()1,1-恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为 。

2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．22(1cos )x dx ππ-+⎰等于（ ）A ．πB . 2C . π-2D . π+2(2009福建理)2．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为,()f x ，且函数)(')1(x f x y -=的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - （D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f二、填空题3．已知函数32()39f x x x x m =-+++在区间[22]-，上的最大值是20，则实数m 的值等于 ．4．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题： ①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β； ④若l ⊥m ，则α∥β. 其中正确命题的序号是________．5．已知2(),()(1),xf x xeg x x a ==-++若12,,x x R ∃∈使得21()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是 ▲6．已知曲线()ln 1f x a x bx =++在点（1，(1))f 处的切线斜率为-2，且23x =是函数()y f x =的极值点，则a b -= ．7．函数y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为____________，极小值为____________． [答案] a ＋42 a －4 2[解析] y ′＝3x 2－6＝3(x ＋2)(x －2)， 令y ′>0，得x >2或x <－2， 令y ′<0，得－2<x <2， ∴当x ＝－2时取极大值a ＋42， 当x ＝2时取极小值a －4 2.8．已知函数32()f x x ax bx c =+++（其中,,a b c 为常数），若()y f x =在1x =-和13x =-时分别取得极大值和极小值，则a = ▲ ．9．y=x 3+ax +1的一条切线方程为y =2x +1，则a = ．10．已知曲线 xe y =在点P 处的切线经过原点，则此切线的方程为11．已知一辆轿车在公路上作加速直线运动，设ts 时的速度为3)(2+=t t v )/(s m ，则s t 3=时轿车的瞬时加速度为______________________．12． 若点P 是曲线y=x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y=x －2的最小距离为 .2三、解答题13．现有一张长为80cm ，宽为60cm 的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失。

2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．已知32()69,f x x x x abc a b c =-+-<<,且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论:①(0)(1)0f f >;②(0)(1)0f f <;③(0)(3)0f f >;④(0)(3)0f f <. 其中正确结论的序号是 （ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④（2012福建文）2．已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝ （A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或13．f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤,对任意正数a 、b ,若a ＜b ，则必有 A ．af(b) ≤bf(a) B ．bf(a) ≤af(b) C ．af(a) ≤f(b)D ．bf(b) ≤f(a)二、填空题4．设直线ｙ＝ａ分别与曲线2y x =和xy e =交于点M 、N ，则当线段MN 取得最小值时ａ的值为___________. 5． 函数)42sin(π+-=x y 的单调增区间是 ▲6．函数2|32|y x x =-+的极大值为 ． 7．设曲线1*()n y xn N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅的值为(A) 1n (B) 11n + (C) 1n n + (D) 1（2009陕西卷文）8．由曲线x y x y 232=-=和围成图形的面积为 。

答案232 9．与直线2-=x y 平行且与曲线x x y ln 2-=相切的直线方程为 ▲ ．10．已知一辆轿车在公路上作加速直线运动，设ts 时的速度为3)(2+=t t v )/(s m ，则s t 3=时轿车的瞬时加速度为______________________．三、解答题11．设常数0a ≥，函数2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞.（Ⅰ）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与零的大小； （Ⅱ）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（Ⅲ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．12．已知抛物线42-=x y 与直线2+=x y (Ⅰ）求两曲线的交点；(Ⅱ）求抛物线在交点处的切线方程．13． 已知函数()ln(1)(1),xf x a e a x =+-+(其中0a >) ,点1,12233(()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x 从左到右依次是函数()y f x =图象上三点,且2132x x x =+.(Ⅰ） 证明: 函数()f x 在R 上是减函数； (Ⅱ）求证：⊿ABC 是钝角三角形;(Ⅲ) 试问,⊿ABC 能否是等腰三角形?若能,求⊿ABC 面积的最大值;若不能,请说明理由．14．已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．（I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围． 解析 （Ⅰ）由题意得)2()1(23)(2+--+='a a x a x x f又⎩⎨⎧-=+-='==3)2()0(0)0(a a f b f ，解得0=b ，3-=a 或1=a（Ⅱ）函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有 51a -<<且12a ≠-15．设函数()1xf x e -=-． （Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1xf x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求a 的取值范围． 【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。

2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ）（2007江苏9） A ．3B ．52 C ．2 D ．322．f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤,对任意正数a 、b ,若a ＜b ，则必有 A ．af(b) ≤bf(a) B ．bf(a) ≤af(b) C ．af(a) ≤f(b)D ．bf(b) ≤f(a)二、填空题3．若曲线1C ：43236y x ax x =--与曲线2C ：e x y =在1x =处的切线互相垂直，则实数a 的值为 ▲ ．4．已知函数ln (),()xf x kxg x x==，若不等式()()f x g x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，则实数k 的取值范围是 ．5．设直线l 是曲线3()2f x x =+上的一条切线，则切线l 斜率最小时对应的倾斜角为 ▲ ．6．已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 。

7．设P 是函数)1y x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ .8．已知函数23)(23+-=x x x f ，若]3,2[-∈x ，则函数的值域为 ▲ ．)2(3)(-='x x x f ，]0,2[-，]3,2[上增，)2,0(上减，18)2(-=-f ，2)0(=f ，2)2(-=f ，2)3(=f ，故值域为]2,18[-9．曲线ｙ＝４ｘ－ｘ3在点（－１，－３）处的切线方程为_____10．已知定义在R 上的函数2()(3)f x x ax =-，函数()()()([0,2])g x f x f x x '=+∈，若()g x 在0x =处取得最大值，则正数a 的取值范围是 ▲ .11．给出下列命题：①函数)(x f y =的图象与函数3)2(+-=x f y 的图象一定不会重合；②函数)32(log 221++-=x x y 的单调区间为),1(∞+；③ππ---=+⎰edx e x x 1)(cos 0；④双曲线的渐近线方程是x y 43±=，则该双曲线的离心率是45．其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）． 答案 ③12．设直线3y x b =-+是曲线323y x x =-的一条切线，则实数b 的值是13．已知函数qx px x x f --=23)(的图象与x 轴切于点)0,1(，则)(x f 的极大值和极小值分别为 和 。

专题四.导数2019年全国卷理数高考试题1．2019年全国卷1，理数20（12分）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 1．2019年全国卷1，理数20（12分） 解：（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x=-+，21sin ())(1x 'x g x =-++.当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点，设为α.则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点.（2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，而(0)=0f '，02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. 又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >.从而，()f x 在0,2⎛⎤⎥⎝⎦π没有零点. （iii ）当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤π ⎥⎝⎦有唯一零点. （iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点. 2．2019年全国卷2，理数20（12分） 已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线. 2．2019年全国卷2，理数20（12分）解：（1）f （x ）的定义域为（0，1）U （1，+∞）．因为212()0(1)f 'x x x =+>-，所以()f x 在（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f （e ）=e 110e 1+-<-，22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--，所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0．又1101x <<，1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-，故f （x ）在（0，1）有唯一零点11x ． 综上，f （x ）有且仅有两个零点．（2）因为0ln 01e x x -=，故点B （–ln x 0，01x ）在曲线y =e x 上． 由题设知0()0f x =，即0001ln 1x x x +=-，故直线AB 的斜率0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----． 曲线y =e x在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是01x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是01x ， 所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x的切线． 3．2019年全国卷3，理数20（12分）已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.3. 2019年全国卷3，理数20（12分） 解：（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减； 若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. （2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-．（ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =，与0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =a =-a =0，与0<a <3矛盾． 综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1． 4.2019年北京卷，理数19（本小题13分）已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．4.2019年北京卷，理数19（本小题13分）解：（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+. 令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =.又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-，即y x =与6427y x =-.（Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-.由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-. 令()0g'x =得0x =或83x =.(),()g'x g x 的情况如下：所以()g x 的最小值为6-，最大值为0. 故6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a <-时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->； 当3a >-时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =.综上，当()M a 最小时，3a =-. 5．2019年天津，理数20（本小题满分14分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-． 5．2019年天津，理数20（本小题满分14分）本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想和化归与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解：由已知，有()e (cos sin )xf 'x x x =-．因此，当52,244x k k ππ⎛⎫∈π+π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x >，得()0f 'x <，则()f x 单调递减；当32,244x k k ππ⎛⎫∈π-π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x <，得()0f 'x >，则()f x 单调递增．所以，()f x 的单调递增区间为32,2(),()44k k k f x ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ． （Ⅱ）证明：记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭．依题意及（Ⅰ），有()e (cos sin )x g x x x =-，从而()2e sin x g'x x =-．当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()g'x <，故()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭．（Ⅲ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n xn x =．记2n n y x n =-π，则,42n y ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且()()()22e cos e cos 2e n n y x n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N ．由()()20e1n n f y f y -π==≤及（Ⅰ），得0n y y ≥．由（Ⅱ）知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫≤<= ⎪⎝⎭．又由（Ⅱ）知，()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，故 ()()()()()022*******2sin cos sin c e e e e os e n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-≤=--≤<． 所以，20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．6．2019年江苏卷，理数19（本小题满分16分）设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数． （1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 6．2019年江苏卷，理数19（本小题满分16分）本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-． 因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =． （2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=--⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a bx +=．因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得1211,33b b x x +-++==．列表如下：所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令()0g'x =，得1x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 7．2019年浙江卷，理数22（本小题满分15分）已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +>（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)ex ∈+∞均有(),2f x a ≤ 求a 的取值范围． 注：e=2.71828…为自然对数的底数．7．2019年浙江卷，理数22（本小题满分15分）本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。

2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、填空题1． 已知,a b 为正实数，函数3()2x f x ax bx =++在[0,1]上的最大值为4，则()f x 在[1,0]-上的最小值为 ．2．已知函数2()()(0)xf x ax bx c e a =++>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0. 若()f x 的极小值为-1，则()f x 的极大值为35e 3．若函数xe y x=在0x x =处的导数值与函数值互为相反数，则0x 的值________4．已知函数⎩⎨⎧≤>-=,0,1,0,43)(2x x x x f ，则=))0((f f ▲ .5． 点P 在曲线73+-=x x y 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 . 6．曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ．7．函数()2sin f x x x k =-+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．8．曲线ｙ＝４ｘ－ｘ3在点（－１，－３）处的切线方程为_____9．在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 . 解析 考查导数的几何意义和计算能力。

231022y x x '=-=⇒=±，又点P 在第二象限内，2x ∴=-点P 的坐标为（-2，15）答案 : 1>a【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答. 10．已知函数)(x f 在1=x 处的导数为1，则xf x f x 2)1()1(lim-+→=___________11． 若函数1()ax f x e b=-的图象在x=0处的切线l 与圆C: 221x y +=相离，则P(a ，b)与圆C 的位置关系是 ▲ ．12．给出下列图象其中可能为函数f (x )＝x 4＋ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ，b ，c ，d ∈R)的图象的是_____．13．已知函数3214()333f x x x x =--+，直线l ：9x ＋2y ＋c ＝0．若当x ∈[－2，2]时，函数y ＝f (x )的图像恒在直线l 的下方，则c 的取值范围是________________________14．函数f (x )=x 3–3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是___________________0<b <1 二、解答题15．已知函数2()ln f x x mx n x =++（0x >，实数m ，n 为常数）．（1）若230n m +=（0m >），且函数()f x 在[1,)x ∈+∞上的最小值为0，求m 的值； （2）若对于任意的实数[1,2]a ∈，1b a -=，函数()f x 在区间(,)a b 上总是减函数，对每个给定的n ，求m 的最大值h (n )．16．已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+ 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<． (1）证明0a >；(2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。

2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x ∈R ，2)(>'x f ，则f （x ）＞2x+4的解集为（ ）（A ）（-1，1） （B ）（-1，+∞） （C ）（-∞，-1） （D ）（-∞，+∞）（2011辽宁理11）2．将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S =梯形的周长）梯形的面积,则S 的最小值是____ ____。

3．已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．．出现的是 （ ）A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值 答案 C 二、填空题4．已知32()26(f x x x m m =-+为常数）在[2,2]-上有最大值3，那么此函数在[2,2]-上的最小值为____________5．已知函数f (x )＝e x －ax 在区间(0，1)上有极值，则实数a 的取值范围是 ▲ ．6．已知函数y ＝f (x )在定义域⎝⎛⎭⎫－32，3上可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )，则不等式xf ′(x )≤0的解集是______ __．xyO(2,0)P()y f x =()y f x '=1 （第10题7．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则实数a 的取值范围是 ．8．设函数f (x )在其定义域D 上的导函数为f ′(x )．如果存在实数a 和函数h (x )，其中h (x )对任意的x ∈D 都有h (x )＞0，使得f ′(x )＝h (x )(x 2－ax ＋1)，则称函数f (x )具有性质P (a )．给出下列四个函数：①f (x )＝13x 3－x 2＋x ＋1；②f (x )＝ln x ＋4x ＋1；③f (x )＝(x 2－4x ＋5)e x ；④f (x )＝x 2＋x2x ＋1，其中具有性质P (2)的函数是 ．(写出所有满足条件的函数的序号) 9．设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值为 .10．函数y ＝2xx 2＋1的极大值为______，极小值为______．[答案] 1 －1[解析] y ′＝2(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，令y ′>0得－1<x <1，令y ′<0得x >1或x <－1， ∴当x ＝－1时，取极小值－1，当x ＝1时，取极大值1.11．已知函数()y f x =及其导函数()y f x '=的图象如图所示，则曲线()y f x =在点P 处的切线方程是 ▲ ．12．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，)()(2>-'x x f x f x ）（0>x ，则不等式0)(2>x f x 的解集是 ．13．如图为函数32()f x ax bx cx d =+++的图象，'()f x 为函数()f x 的导函数，则不等式'()0x f x ⋅<的解集为______ ______．答案 (,-∞⋃14．已知函数f (x )的定义域为[－2，+∞)，部分对应值如下表,)(x f '为f (x )的导函数，函数)(x f y '=的图象如右图所示，若两正数a ，b 满足1)2(<+b a f ，则33++a b 的取值范围是 ． 答案 ⎪⎭⎫⎝⎛37,53 15．已知一辆轿车在公路上作加速直线运动，设ts 时的速度为3)(2+=t t v )/(s m ，则s t 3=时轿车的瞬时加速度为______________________．16． 函数5()sin 2sin cos2cos66f x x x ππ=⋅-⋅在[,]22ππ-上的单调递增区间为 ．三、解答题17．已知函数()ln f x x x a x =--.(1)若a =1，求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值; (2)求函数()f x 的单调区间；(3)若()0f x >恒成立，求a 的取值范围．18．已知函数2()21()f x x ax a R =++∈，'()f x 是()f x 的导函数 （1）若[2,1]x ∈--，不等式()'()f x f x ≤恒成立，求a 的取值范围； （2）解关于x 的方程()'()f x f x =；（3）设函数'(),()'()()(),()'()f x f x f xg x f x f x f x ≥⎧=⎨<⎩，求()g x 在[]2,4x ∈时的最小值.19．设L 为曲线C:ln xy x=在点(1,0)处的切线. (I)求L 的方程;(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C 在直线L 的下方. （2013年高考北京卷（理））20．设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=，2=x 是函数)(x f y =的极值点． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数233)(x ax x f -=在区间[]1,5-上的最值．21．已知函数()ln 3f x a x ax =--(a R ∈). （１）求函数()f x 的单调区间；（２）若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为4π，对于任意[]1,2t ∈，函数32()()2m g x x x f x ⎡⎤'=++⎢⎥⎣⎦在区间(t ,3)总不是单调函数,求m 的取值范围．22．已知函数()ln f x x x a x =--.（1）若a =1，求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值; （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围．（本小题满分16分）23．已知函数()||x f x e bx =-，其中e 为自然对数的底. （1）当1b =时，求曲线()y f x =在x=1处的切线方程； （2）若函数()y f x =有且只有一个零点，求实数b 的取值范围；（3）当0b >时，判断函数()y f x =在区间（0，2）上是否存在极大值，若存在，求出极大值及相应实数b 的取值范围.24．已知a ，b 是实数，函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+= )(x f '和)(x g '是)(),(x g x f 的导函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I上单调性一致（1）设0>a ，若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围；（2）设,0<a 且b a ≠，若函数)(x f 和)(x g 在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a -b |的最大值。

【 当 x < 1时， f ( x ) = x 2 - 2ax + 2a ≥ 0 ⇔ 2a ≥ 恒成立，1 ⎛ 1 ⎫ = - 1 - x +- 2 ⎪ ≤ - 2 (1- x) ⋅ - 2 ⎪⎪ = 0 ， ⎝ ⎭ 1 - x D ．专题 03 导数及其应用1．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线 y = a e x + x ln x 在点（1，a e ）处的切线方程为 y =2x +b ，则A ． a = e ，b = -1C ． a = e -1，b = 1B ．a=e ，b =1D ． a = e -1 ， b = -1【答案】D【解析】∵ y ' = ae x + ln x + 1,∴切线的斜率 k = y ' |x =1 = ae + 1 = 2 ，∴ a = e -1 ，将 (1,1)代入 y = 2 x + b ，得 2 + b = 1,b = -1 .故选 D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.⎧ x 2 - 2ax + 2a, x ≤ 1, 2． 2019 年高考天津理数】已知 a ∈ R ，设函数 f ( x ) = ⎨若关于 x 的不等式 f ( x ) ≥ 0⎩ x - a ln x,x > 1.在 R 上恒成立，则 a 的取值范围为A ． [0,1]B ． [0,2]C ． [0,e][1,e]【答案】C【解析】当 x = 1 时， f (1) = 1 - 2a + 2a = 1 > 0 恒成立；x2 x - 1x 2令 g ( x ) = ，x - 1x 2 (1- x - 1)2 (1- x)2 - 2(1- x) + 1则 g ( x ) = - =- =-1 - x 1 - x 1 - x⎛ ⎫ ⎝ ⎭3． 2019 浙江）已知a, b ∈ R ，函数 f ( x ) = ⎨ 1 1 ．若函数 y = f ( x ) - ax - b 恰有 ⎪⎩ 3当1 - x =1，即 x = 0 时取等号，1 - x∴ 2a ≥ g ( x)max = 0 ，则 a > 0 .当 x > 1 时， f ( x ) = x - a ln x ≥ 0 ，即 a ≤ xln x恒成立，令 h ( x ) = x ln x，则 h '( x ) = ln x - 1 (ln x)2 ，当 x > e 时， h '( x ) > 0 ，函数 h( x ) 单调递增，当 0 < x < e 时， h '( x ) < 0 ，函数 h( x ) 单调递减，则 x = e 时， h( x ) 取得最小值 h(e) = e ，∴ a ≤ h( x)min = e ，综上可知， a 的取值范围是[0,e] .故选 C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.⎧ x , x < 0 ⎪（x 3 - (a + 1)x 2 + ax, x ≥ 0 23 个零点，则A ．a <–1，b <0C ．a >–1，b <0B ．a <–1，b >0D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当 x ＜0 时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得 x，则 y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当 x ≥0 时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3（a +1）x 2﹣b ，y ' = x 2 - (a + 1)x ，当 a +1≤0，即 a ≤﹣1 时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增，则 y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当 a +1＞0，即 a >﹣1 时，令 y ′＞0 得 x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，0)令 y ′＜0 得 x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有 2 个零点.根据题意，函数 y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有 3 个零点⇔函数 y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有 2 个零点，如图：＞∴ ＜ 0 且，＜解得 b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞（a +1）3，则 a >–1，b <0.故选 C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当 x ＜0 时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x﹣b 最多有一个零点；当 x ≥0 时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．4．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】曲线 y = 3(x 2 + x)e x 在点 (0， 处的切线方程为____________．【答案】 3x - y = 0【解析】 y ' = 3(2 x + 1)e x + 3( x 2 + x)e x = 3( x 2 + 3x + 1)e x ,所以切线的斜率 k = y ' |x =0 = 3 ，则曲线 y = 3( x 2 + x)e x 在点 (0,0) 处的切线方程为 y = 3x ，即 3x - y = 0 ．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．y = x + ( x > 0) 切于 ( x 0 , x 0 +由1 - 4= -1 得 x = 2 （ x = - 2 舍去），.. ( x - x ) ，即 y - ln x =x- 1 ， x 将点 (-e, -1)代入，得 -1 - ln x5．【2019 年高考江苏】在平面直角坐标系 x Oy 中，P 是曲线 y = x +线 x + y = 0 的距离的最小值是 ▲.【答案】44 x( x > 0) 上的一个动点，则点 P 到直【解析】由 y = x + 4 4 ( x > 0) ，得 y ' = 1 - x x 2，设斜率为 -1的直线与曲线 4 x4 x 0) ，x 2 0 0 0∴曲线 y = x + 4 x( x > 0) 上，点 P( 2,3 2) 到直线 x + y = 0 的距离最小，最小值为2 +3 212 + 12 = 4 .故答案为 4 ．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养采取导 数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6．【2019 年高考江苏】在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是▲ .【答案】 (e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标设点 A (x , y 0 0又 y ' =1，x) ，则 y= ln x .当 x = x 0时， y ' = 1 x 0，则曲线 y = ln x 在点 A 处的切线为 y - y 0 =1 x0 = -e x- 1 ，若函数 f (x ) = e + a e 为奇函数，则 f (- x ) = - f (x ), 即 e x- x - x+ a e x =- e x + a e - x ，( )即 x 0 ln x 0 = e ，考察函数 H (x ) = x ln x ，当 x ∈ (0,1)时， H (x ) < 0 ，当 x ∈ (1, +∞)时， H (x ) > 0 ，且 H ' (x ) = ln x + 1 ，当 x > 1 时， H ' (x ) > 0, H (x )单调递增，注意到 H (e ) = e ，故 x 0 ln x 0 = e 存在唯一的实数根 x 0 = e ，此时 y 0 = 1 ，故点 A 的坐标为 (e,1).【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．7．【2019 年高考北京理数】设函数 f (x ) = e x + a e - x （a 为常数）．若 f （x ）为奇函数，则 a=________；若 f （x ）是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是___________．【答案】 -1(-∞,0 ]【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得 a 的值，然后利用 f '( x ) ≥ 0 可得 a 的取值范围.( )即 (a + 1) e x + e - x = 0 对任意的 x 恒成立，则 a +1 = 0 ，得 a = -1 .若函数 f (x ) = e x + a e - x 是 R 上的增函数，则 f '( x ) = e x - ae - x ≥ 0 在 R 上恒成立，即 a ≤ e 2x 在 R 上恒成立，又 e 2 x > 0 ，则 a ≤ 0 ，（1） f '( x ) 在区间 (-1, ) 存在唯一极大值点；当 x ∈ -1, ⎪ 时， g' ( x) 单调递减，而 g' (0) > 0, g' ( ) < 0 ，可得 g' ( x) 在 -1, ⎪ 有唯一零点，则当 x ∈ (-1,α ) 时， g' ( x) > 0 ；当 x ∈ α , ⎪ 时， g' ( x) < 0 .2 ⎭ 单调递减，故 g ( x) 在 -1, ⎪ 存在唯一极大值点，即 f ' ( x) ⎛ 在 -1, ⎪ 存在唯一极大值点.（ii ）当 x ∈ 0, ⎥ 时，由（1）知，f ' ( x) 在 (0, α ) 单调递增，在 α , ⎪ 单调递减，而 f ' (0)=0 ，f ' ⎪ < 0 ，，使得 f ' (β ) = 0 ，且当 x ∈ (0, β ) 时， f ' ( x) > 0 ；当 x ∈ β , ⎪ 时， f ' ( x) < 0 . 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭⎛ 故 f ( x) 在 (0, β ) 单调递增，在 β , ⎪ 单调递减.即实数 a 的取值范围是 ( -∞,0 ] .【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.8．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数 f ( x ) = sin x - ln(1+ x) ， f '( x ) 为 f ( x ) 的导数．证明：π2（2） f ( x ) 有且仅有 2 个零点．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设 g ( x ) = f ' ( x ) ，则 g ( x ) = cos x -11 + x 1 ， g' ( x ) = - sin x + .(1+ x)2⎛ π⎫ π ⎛ π⎫⎝2 ⎭2⎝2 ⎭设为 α .⎛ π⎫ ⎝2 ⎭所以 g ( x) 在 (-1,α ) 单调递增，在 α , ⎝π⎫ ⎪⎛ π⎫ ⎝ 2 ⎭⎛ π⎫ ⎝2 ⎭（2） f ( x ) 的定义域为 (-1, +∞) .（i ）当 x ∈ (-1,0] 时，由（1）知， f ' ( x ) 在 ( - 1,0) 单调递增，而 f ' (0) = 0 ，所以当 x ∈ (-1,0) 时，f ' ( x) < 0 ，故 f ( x ) 在 ( - 1,0) 单调递减，又 f (0)=0 ，从而 x = 0 是 f ( x ) 在 (-1,0] 的唯一零点.⎛ π⎤ ⎛ π⎫ ⎛π⎫ ⎝2 ⎦⎝2 ⎭ ⎝ 2 ⎭所以存在 β ∈ α , ⎝π⎫ ⎛ π⎫ ⎪⎛ π⎫ ⎝2 ⎭又 f (0)=0 ， f ⎪ = 1 - ln 1 + > 0 ，所以当 x ∈ 0, ⎥ 时， f ( x) > 0 .从而， f ( x) 在 0, ⎥ 没有⎝ 2 ⎭⎝2 ⎭ ⎝2 ⎦ ⎝ 2 ⎦, π⎥ 时，f ' ( x) < 0 ，所以 f ( x) 在 , π ⎪ 单调递减.而 （iii ）当 x ∈ f ⎪ > 0，f (π) < 0 ，所以 f ( x) 在 ⎛π , π⎥有唯一零点. 9．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数 f (x ) = ln x - x + 1.+ > 0 ，所以 f ( x ) 在（0，1），（1，+∞）单调递增． e + 1 e2 + 1 e 2 -3 < 0 ， f (e 2 ) = 2 - < 1 ， f ( ) = - ln x + 1 = - f ( x ) = 0 ，故 f （x ）在（0，1）有唯一零点 ．x x x - 1 xx + 1 （2）因为1 = e - ln x，故点 B （–lnx ， ）在曲线 y =e x 上． x⎛π⎫ ⎛ π⎫ ⎛ π⎤ ⎛ π⎤ ⎪零点.⎛π ⎤ ⎛π ⎫ ⎝ 2⎦⎝ 2⎭⎛π⎫ ⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎤⎦（iv ）当 x ∈ (π, +∞) 时， ln( x + 1) > 1 ，所以 f ( x ) <0，从而 f ( x ) 在 (π, +∞ ) 没有零点.综上， f ( x ) 有且仅有2个零点.【名师点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题解决零点问题的 关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间 内零点的唯一性，二者缺一不可.x - 1 .（1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点；（2）设 x 0 是 f(x)的一个零点，证明曲线 y=lnx 在点 A(x 0，lnx 0)处的切线也是曲线 y = e x 的切线.【答案】（1）函数 f ( x ) 在 (0,1) 和 (1, +∞) 上是单调增函数，证明见解析；（2）见解析.【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，1）（1，+∞）．因为 f ' ( x ) =1 2 x ( x - 1)2因为 f （e ）=1 - =e -1 e 2 - 1 e 2 - 1> 0 ，所以 f （x ）在（1，+∞）有唯一零点 x 1，即f （x 1）=0．又 0 <1 1 1 1综上，f （x ）有且仅有两个零点．x 00 1x + 1 x x x - 1 1由题设知 f ( x ) = 0 ，即 ln x = 0 ，故直线 AB 的斜率 k = 0= 0 = ． - x xx - 1曲线 y =e x 在点 B(- ln x ,1x )处切线的斜率是 ，曲线 y = ln x在点 A( x ,ln x )处切线的斜率也是 . ⎩b = -1 ⎩b = 1, +∞ ⎪ 时 ， f '( x ) > 0； 当 x ∈ 0, ⎪ 时 ， f '( x ) < 0． 故 f ( x) 在 ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭(-∞,0), , +∞ ⎪ 单调递增，在 0, ⎪ 单调递减；(0, +∞) 时 ， f '( x ) > 0； 当 x ∈ ,0 ⎪ 时 ， f '( x ) < 0． 故 f ( x) 在 3 ⎭ ⎝3⎭⎛ -∞, ⎪ ,(0, +∞) 单调递增，在 ,0 ⎪ 单调递减.3 ⎭ ⎝⎝ 3 ⎭ a ⎫1 1 x + 1- ln x - 00 0 0 x - 1 - ln x - x x + 1 0 0 0 - 0 00 00 0 11x0 0 x0 0，所以曲线 y = ln x 在点 A( x 0 ,ln x 0 ) 处的切线也是曲线 y =e x 的切线．【名师点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力10．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数 f ( x ) = 2 x 3 - ax 2 + b .（1）讨论 f ( x ) 的单调性；（2）是否存在 a, b ，使得 f ( x ) 在区间 [0,1] 的最小值为 -1且最大值为 1？若存在，求出 a, b 的所有值； 若不存在，说明理由.⎧a = 0 ⎧a = 4【答案】（1）见解析；（2） ⎨ 或 ⎨.【解析】（1） f '( x ) = 6 x 2 - 2ax = 2 x (3x - a) ．令 f '( x ) = 0 ，得 x =0 或 x = a 3.若 a >0 ， 则 当 x ∈ (-∞,0)⎛ a ⎫ ⎛ a ⎫⎛ a ⎫ ⎛ a ⎫ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭若 a =0， f ( x ) 在 (-∞, +∞) 单调递增；若 a <0 ， 则 当 x ∈ -∞, ⎝a ⎫ ⎛ a ⎫ ⎪⎛ ⎛ a ⎫（2）满足题设条件的 a ，b 存在.（i ）当 a ≤0时，由（1）知， f ( x ) 在[0，1]单调递增，所以 f ( x ) 在区间[0，l]的最小值为 f (0)=b ，最大值为 f (1) = 2 - a + b .此时 a ，b 满足题设条件当且仅当 b = -1 ， 2 - a + b = 1，即 a =0， b = -1 ．（iii）当0<a<3时，由（1）知，f(x)在[0，1]的最小值为f ⎪=-令f'(x)=1，即x2-2x+1=1，得x=0或x=.由g(x)=1（ii）当a≥3时，由（1）知，f(x)在[0，1]单调递减，所以f(x)在区间[0，1]的最大值为f(0)=b，最小值为f(1)=2-a+b．此时a，b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1，b=1，即a=4，b=1．⎛a⎫⎝3⎭a327+b，最大值为b或2-a+b．若-若-a327a327+b=-1，b=1，则a=332，与0<a<3矛盾.+b=-1，2-a+b=1，则a=33或a=-33或a=0，与0<a<3矛盾．综上，当且仅当a=0，b=-1或a=4，b=1时，f(x)在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．【名师点睛】这是一道常规的函数导数和不等式的综合题，题目难度比往年降低了不少，考查函数的单调性、最大值、最小值这种基本量的计算.11．【2019年高考北京理数】已知函数f(x)=14x3-x2+x．（Ⅰ）求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当x∈[-2,4]时，求证：x-6≤f(x)≤x；（Ⅲ）设F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R)，记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．【答案】（Ⅰ）y=x与y=x-64；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）a=-3.2713【解析】（Ⅰ）由f(x)=x3-x2+x得f'(x)=x2-2x+1.44384388又f(0)=0，f()=，32788所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y=x与y-=x-，27364即y=x与y=x-.27（Ⅱ）令g(x)=f(x)-x,x∈[-2,4].3x3-x2得g'(x)=x2-2x.4434(0, 27（Ⅱ）当 x ∈ ⎢ , ⎥ 时，证明 f ( x) + g ( x) - x ⎪ ≥ 0 ；4 2 （ Ⅲ ） 设 x 为 函 数 u ( x) = f ( x)- 1在 区 间 2n π + ⎝,2n π + ⎪ 内 的 零 点 ， 其 中 n ∈ N ， 证 明 2 sin x - cos x【答案】（Ⅰ） f ( x) 的单调递增区间为 ⎢2k π - , 2k π + ⎥ (k ∈ Z), f ( x) 的单调递减区间为令 g' ( x ) = 0 得 x = 0 或 x = 83g' ( x ), g ( x ) 的情况如下：.x-2 (-2,0) 0 8)38 3 8( , 4)g' ( x )g ( x )+ - +-6 0 - 64所以 g ( x ) 的最小值为 -6 ，最大值为 0 .故 -6 ≤ g ( x ) ≤ 0 ，即 x - 6 ≤ f ( x ) ≤ x .（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 a < -3 时， M (a) ≥ F (0) =| g (0) - a |= -a > 3 ；当 a > -3 时， M (a) ≥ F (-2) =| g (-2) - a |= 6 + a > 3 ；当 a = -3 时， M (a) = 3 .综上，当 M (a) 最小时， a = -3 .【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．【2019 年高考天津理数】设函数 f ( x ) = e x cos x,g ( x ) 为 f (x )的导函数．（Ⅰ）求 f (x )的单调区间；⎡π π⎤ ⎛π ⎫ ⎣ ⎦⎝ 2⎭n⎛ π π⎫ 4 2 ⎭π e -2n π2n π + - x <n 0．⎡ ⎣3π π ⎤ 4 4 ⎦π 5π ⎤ ⎥⎦ (k ∈ Z) .（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析. ⎣【解析】（Ⅰ）由已知，有 f ' ( x) = e x (cos x - sin x) ．因此，当 x ∈ 2k π +, 2k π + ⎪ (k ∈ Z) 时， 有 sin x > cos x ， 得 f '( x) < 0 ， 则 f (x ) 单 调 递 减 ；当 x ∈ 2k π -, 2k π + ⎪ (k ∈ Z) 时 ，有 所以， f (x )的单调递增区间为 ⎢2k π - , 2k π + ⎥ (k ∈ Z), f ( x) 的单调递减区间为 π 5π ⎤ 4 4 ⎥⎦⎣（Ⅱ）证明：记 h( x) = f ( x) + g ( x)⎛π- x ⎪．依题意及（Ⅰ），有 g ( x) = e x (cos x - sin x) ，从而 g' ( x) = -2e x sin x ．当 x ∈ , ⎪ 时， g'( x) < 0 ，故 h'( x) = f ' ( x) + g' ( x) - x ⎪ + g ( x)(-1) = g' ( x) - x ⎪ < 0 ． 因此， h (x ) 在区间 ⎢ , ⎥ 上单调递减，进而 h( x) ≥ h⎪= f ⎪ = 0 ．所以，当 x ∈ ⎢ , ⎥ 时， f ( x) + g ( x) - x ⎪ ≥ 0 ．4 2 = 1 ．记 y = x - 2n π ，则 y ∈ , ⎪ ，⎝ 4 2 ⎭≥ y ．由（Ⅱ）知，当 x ∈ , ⎪ 时， g'( x) < 0 ，所⎝ 4 2 ⎭g (x ) 在 ⎡⎢ , ⎤⎥ 上 为 减 函 数 ， 因 此 g ( y ) ≤ g ( )y < ⎛ g ⎫⎪ = 0 ． 又 由 （ Ⅱ ） 知 ，⎣ 4 2 ⎦⎝ 4 ⎭⎡ ⎢2k π + , 2k π + 4 4⎛⎝π 5π ⎫ 4 4 ⎭sin x < cos x ，得 f ' ( x ) > 0 ，则 f (x )单调递增．⎛ ⎝3π π ⎫ 4 4 ⎭⎡⎣3π π⎤ 4 4 ⎦⎡ ⎢ 2k π +, 2k π + (k ∈ Z) ．⎫ ⎝ 2 ⎭⎛π π⎫ ⎝ 4 2 ⎭⎛π ⎫ ⎛π ⎫ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭⎡ π π ⎤ ⎛ π ⎫ ⎛π⎫ ⎣ 4 2 ⎦⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭⎡π π⎤ ⎛π ⎫ ⎣ ⎦⎝ 2⎭（Ⅲ）证明：依题意，u (x n ) = f (x )-1 = 0 ，即 e x n cos x nn n n n⎛π π⎫且 f (y n) = e y n cos y = e x n -2n π cos (x - 2n π) = e -2n π (n ∈ N ) ．n n由 f (y n) = e-2n π≤ 1 = f (y )及（Ⅰ），得 y 0 n 0 ⎛π π⎫以π π π11n 0f(y)+g(y) -y⎪≥0，故⎝2n⎭-y≤-=-≤=<2g(y)g(y)g(y)e y0(sin y-cos y)sin x-cos x f(y)2sin x-cos xf(x)的单调递增区间是(3,+∞),单调递减区间是(0,3)；（2） 0,4⎦【解析】（1）当a=-3f'(x)=-3n nπe-2nπ所以，2nπ+-x<．n00【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想和化归与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力．13．【2019年高考浙江】已知实数a≠0，设函数f(x)=a ln x+x+1,x>0.（1）当a=-34时，求函数f(x)的单调区间；（2）对任意x∈[1e2,+∞)均有f(x)≤x2a,求a的取值范围．注：e=2.71828…为自然对数的底数．【答案】（1）⎛2⎤⎥.⎝3时，f(x)=-ln x+1+x,x>0．441(1+x-2)(21+x+1)+=4x21+x4x1+x，所以，函数f(x)的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由f(1)≤12a2，得0<a≤．4当0<a≤2x x21+x时，f(x)≤等价于-42a a2a-2ln x≥0．令t=1a，则t≥22．设g(t)=t2x-2t1+x-2ln x,t≥22，则g(t)=11+xx(t-1+)2--2ln x．x x12（i ）当 x ∈ ⎢ , +∞ ⎪ 时， 1 +⎡ 1p'( x ) = 271(1, +∞)7单调递减极小值p (1)（ii ）当 x ∈⎢ , ⎪ 时， g (t )…g 1 + ⎪⎣ e 7 ⎭x ⎭ 2 x⎝, ⎥ ，则 q' (x) = 令 q ( x) = 2 x ln x + ( x + 1), x ∈ ⎢ 故 q ( x) 在 ⎢⎡ 1 1 ⎤, ⎥ 上单调递增，所以 q ( x)…⎣ e 7 ⎦ q ⎪ ．由（i ）得， q ⎪ = -p ⎪ < - p (1)= 0 ． 因此 g (t)…g1 + x ⎪⎭2 x⎣ 7 ⎭ ⎫ 1 x ≤ 2 2 ，则g (t ) ≥ g (2 2) = 8 x - 4 2 1 + x - 2ln x ．记 p ( x ) = 4 x - 2 2 1 + x - ln x, x ≥17，则21 2 x x + 1 - 2 x - x + 1- - =x x + 1 x x x + 1= ( x - 1)[1+ x ( 2 x + 2 - 1)]x x + 1( x + 1)( x + 1 + 2 x )故.x1 71( ,1)p'( x )-+p ( x )1 p ( )单调递增所以， p ( x ) ≥ p (1) = 0 ．因此， g (t ) ≥ g (2 2) = 2 p ( x ) ≥ 0 ．⎡ 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ -2 x ln x - ( x + 1)=2．2 ⎡ 1 1 ⎤ ⎣ e 2 7 ⎦⎛ 1 ⎫ ⎝ 7 ⎭ln x + 2 x + 1 > 0 ，⎛ 1 ⎫ ⎝ 7 ⎭2 7 ⎛ 1 ⎫ 2 7 7 ⎝ 7 ⎭ 7所以， q (x)<0 ．⎛ 1 ⎫ q ( x ) =- > 0 ．⎝13由（i ）（ii ）知对任意 x ∈⎢⎡ 1, +∞ ⎪ ， t ∈ [2 2, +∞ ), g (t )…0 ，, +∞ ⎪ ，均有 f ( x)…即对任意 x ∈ ⎢ ⎣ e ⎭（从而 f ' ( x) = 3( x - b ) x - f ' ( x ) = 0 ，得 x = b 或 x =⎪ ．令⎣ e 2 ⎫ ⎭⎡ 1 ⎫ 2 x 2a ．⎛ 综上所述，所求 a 的取值范围是 ⎝0, 2 ⎤⎥ ．4 ⎦【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． 3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．14．【2019 年高考江苏】设函数 f ( x ) = ( x - a)( x - b )( x - c), a, b , c ∈ R 、 f ' (x) 为 f （x ）的导函数．（1）若 a =b =c ，f （4）=8，求 a 的值；（2）若 a ≠b ，b =c ，且 f （x ）和 f ' (x) 的零点均在集合{ - 3,1,3} 中，求 f （x ）的极小值；（3）若 a = 0,0 < b … 1, c = 1 ，且 f （x ）的极大值为 M ，求证:M ≤ 4 27．【答案】（1） a = 2 ；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）因为 a = b = c ，所以 f ( x ) = ( x - a)( x - b )( x - c) = ( x - a)3 ．因为 f (4) = 8 ，所以 (4 - a)3 = 8 ，解得 a = 2 ．（2）因为 b = c ，所以 f ( x ) = ( x - a)( x - b )2 = x 3 - (a + 2b ) x 2 + b (2a + b ) x - ab 2 ，⎛ ⎝2a + b ⎫ 2a + b3 ⎭ 3 ．因为 a, b ,2a + b 3都在集合{-3,1,3}中，且 a ≠ b ，2a + b所以 = 1,a = 3, b = -3 ．3此时 f ( x ) = ( x - 3)(x + 3)2 ， f ' ( x ) = 3( x + 3)( x - 1) ．令 f ' ( x ) = 0 ，得 x = -3 或 x = 1 ．列表如下：1433,x==[3x2-2(b+1)x+b] 1-⎝3()b+1⎫2b2-b+1b(b+1) -x+9⎭99⎪(b-b+1)≤b(b+1)xf'(x)(-∞,-3)+-3(-3,1)–1(1,+∞)+ f(x)极大值极小值所以f(x)的极小值为f(1)=(1-3)(1+3)2=-32．（3）因为a=0,c=1，所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx，f'(x)=3x2-2(b+1)x+b．因为0<b≤1，所以∆=4(b+1)2-12b=(2b-1)2+3>0，则f'(x)有2个不同的零点，设为x,x12(x1<x)．2b+1-b2-b+1b+1+b2-b+1由f'(x)=0，得x=．12列表如下：x f'(x)(-∞,x)1+x1(x,x)12–x2(x,+∞)2+f(x)所以f(x)的极大值M=f (x)．1解法一：M=f(x)=x3-(b+1)x2+bx1111极大值极小值11⎛x1=-2(b2-b+1)(b+1)b(b+1)2++2792723 b(b+1)2(b-1)2(b+1)2=-+(b(b-1)+1)3 272727244+≤．因此M≤．27272727解法二：15令 g ( x) = x( x - 1)2 , x ∈ (0,1) ，则 g' ( x) = 3 x - ⎪ ( x - 1) ．1 ⎛ 1 ⎫ 4max = g ⎪=.因为 0 < b ≤ 1 ，所以 x ∈ (0,1) ．1当 x ∈ (0,1) 时， f ( x ) = x( x - b )( x - 1) ≤ x( x - 1)2 ．⎛ 1 ⎫ ⎝3 ⎭1令 g' ( x ) = 0 ，得 x = 3xg' ( x )g ( x )．列表如下：1 (0, )3+1 3极大值1( ,1) 3–所以当 x = 时， g ( x ) 取得极大值，且是最大值，故 g ( x ) 3 ⎝ 3 ⎭ 27 ．所以当 x ∈ (0,1) 时， f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ 4 4，因此 M ≤ ．27 27【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．15．【河北省武邑中学 2019 届高三第二次调研考试数学】函数的单调减区间是A ．C ．，【答案】AB ．D ．【解析】，令，解得：.故选 A ．【名师点睛】本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道基础题16．【江西省南昌市 2019 届高三模拟考试数学】已知在 上连续可导，为其导函数，且，则A ．C ．0【答案】CB ．D ．16联立①②，解得 f (x ) = - x 3 - x + ，则 f ' (x ) = - x 2- 1 ，∴ f (1) = - - 1 + = - ， f ' (1) = - -1 = - ，= - (x -1)，即10 x + 4 y - 5 = 0 . 【解析】∵ f (- x ) = e - x + e x - f '(1)(- x )(e - x - e x )= f ( x ) ，∴ f ( x ) 是偶函数，两边对 x 求导，得 - f '(- x ) = f '( x ) ，即 f '(- x ) = - f '( x ) ，则 f '( x ) 是 R 上的奇函数，则 f '(0) = 0 ，f '(-2) = - f '(2) ，即 f '(2) + f '(-2) = 0 ，则 f '(2) + f '(-2) - f '(0) f '(1) = 0 .故选 C ．【名师点睛】本题主要考查函数导数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键，是中档题.17．【江西省新八校 2019 届高三第二次联考数学】若 f ( x ) + 3 f (- x ) = x 3 + 2 x + 1 对 x ∈ R 恒成立，则曲线y = f (x )在点 (1, f (1))处的切线方程为A ． 5x + 2 y - 5 = 0C ． 5x + 4 y = 0 【答案】BB ．10 x + 4 y - 5 = 0D ． 20 x - 4 y - 15 = 0【解析】f (x )+ 3 f (- x ) = x 3 + 2x + 1……①，∴ f (- x )+ 3 f (x ) = - x 3 - 2x + 1……②，1 1 32 4 21 1 5 3 524 4 2 2∴ 切线方程为： y + 5 5 4 2故选 B.【名师点睛】本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线方程，关键是能够利用构造方程组的方式求得函数的解析式.18．【云南省玉溪市第一中学 2019 届高三第二次调研考试数学】函数 f ( x ) = x 2 ln x 的最小值为17令 2ln x +1 = 0 ，解得 x = e2 ， 则当 x ∈ (0,e 2 ) 时， f ( x ) 为减函数，当 x ∈ (e 2, +∞) 时， f ( x ) 为增函数， 2 处的函数值为最小值，且f (e ) = - A ． - ,1⎪⎛1⎫⎝ e ⎭B ． - , +∞ ⎪ D ． -∞, ⎪1 ⎫+ + +A ． -1 e B ． 1eC ． -12eD ．12e【答案】C【解析】由题得 x ∈ (0, +∞) ， f '( x ) = 2 x ln x + x = x(2ln x + 1) ，- 1- 1 - 1所以 x = e- 1 - 121 2e.故选 C.【名师点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值.19．【四川省内江市 2019 届高三第三次模拟考试数学】若函数存在单调递增区间，则 的取值范围是⎛ 1 ⎫ ⎝ e ⎭C ． (-1,+∞)【答案】B【解析】 f '( x ) = ax + lnx ，∴ f '( x ) > 0 在 x ∈ (0， ∞) 上成立，即 ax+ lnx ＞0 在 x ∈ (0， ∞) 上成立，⎝ e ⎭即 a ＞ - lnxx在 x ∈ (0， ∞) 上成立．lnx 1 - ln x令 g （x ） = - ，则 g ′（x ） = - ，x x 2 lnx∴g （x ） =- 在（0，e ）上单调递减，在（e ，+∞）上单调递增，x lnx 1∴g （x ） = - 的最小值为 g （e ）= - ，x e18【.1∴a ＞ - ．e故选 B ．【名师点睛】本题考查学生利用导数研究函数的单调性及转化化归思想的运用，属中档题．20．山西省太原市 2019 届高三模拟试题（一）数学】已知定义在 上的函数 满足，且，则 的解集是A ． C ．【答案】A【解析】令=在上单调递减，且故等价为B ．D ．，即 ，故,即 x < ，则所求的解集为 .故选 A.【名师点睛】本题考查导数与单调性的应用，构造函数的思想，考查分析推理能力，是中档题21．【河南省焦作市 2019 届高三第四次模拟考试数学】已知， ，关系为 ，则 的大小A ．C ．【答案】D【解析】依题意，得 a = ln 3 3 =令，所以.B ．D ．ln3 lne 3ln2 ln8， b = e -1 = ， c = = 3 e 8 8.所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，且，即，所以.故选 D.19A ． -∞, ⎪⎛e ⎭ B ． (-∞,0 )C ． ⎢ , +∞ ⎪⎭D ． , +∞ ⎪设 h (x ) = ，则 h ' (x ) = x 设 g (x ) = - lnx - 1 ，则 g ' (x ) = - 【【名师点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，构造出函数 f (x ) = lnx x是解题的关键，属于中档题.22．【安徽省毛坦厂中学 2019 届高三校区 4 月联考数学】已知，若关于 的不等式恒成立，则实数 的取值范围是1 ⎫ ⎝⎡ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫⎣ e⎝ e ⎭【答案】D【解析】由 f (x ) < 0 恒成立得 a > lnx + 1 e x恒成立，lnx + 1e x 1- lnx - 1 e x.1 1 1- < 0 恒成立，x x 2 x在上单调递减，又， 当时， ，即；当时， ，即，在上单调递增，在上单调递减，，.故选 D.【名师点睛】本题考查利用导数求函数的最值，不等式恒成立问题，分离参数是常见的方法，属于中档题.23． 辽宁省丹东市 2019 届高三总复习质量测试】若 x = 1 是函数 f ( x ) =极值点，则 a 的值为A ．-2B ．3C ．-2 或 3D ．-3 或 2【答案】B1 3x 3+ (a + 1)x 2 - ( a 2 + a - 3 )x 的【解析】 f (x ) =1 3 x 3 + (a + 1) x2 - (a 2 + a - 3)x ⇒ f '( x ) = x 2 + 2(a + 1) x - (a 2 + a - 3)，2 0( )( )( ).由题意可知 f '(1) = 0 ，即1 + 2(a + 1) - a 2 + a - 3 = 0 ⇒ a = 3 或 a = -2 ，当 a = 3 时， f '( x ) = x 2 + 2(a + 1)x - a 2 + a - 3 = x 2 + 8x - 9 = ( x + 9)( x - 1) ，当 x > 1 或 x < -9 时， f '( x ) > 0 ，函数单调递增；当 -9 < x < 1 时， f '( x ) < 0 ，函数单调递减，显然 x = 1 是函数 f (x )的极值点；当 a = -2 时， f '( x ) = x 2 + 2(a + 1) x - a 2 + a - 3 = x 2 - 2 x + 1 = ( x - 1)2 ≥ 0 ，所以函数 f ( x ) 是 R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去.故 a = 3 .故选 B ．【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出 a 的值，没有通过单调性来验证 x = 1 是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点24．【黑龙江省大庆市第一中学 2019 届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试】已知奇函数 f (x )是定义在 R 上的可导函数，其导函数为 f ' (x )，当 x > 0 时，有 2 f (x )+ xf ' (x ) > x 2 ，则不等式(x + 2018 )2 f (x+2018 )＋4 f (-2 ) < 0 的解集为A ． (-∞, -2016)C ． (-∞, -2018) 【答案】A【解析】设 g (x ) = x 2 f (x )，因为 f (x )为 R 上的奇函数，所以 g (- x ) = (- x )2 f (- x ) = - x 2 f (x ) ，即 g (x )为 R 上的奇函数对 g (x )求导，得 g ' (x ) = x ⎡⎣2 f (x )+ xf ' (x )⎤⎦ ，而当 x > 0 时，有 2 f (x )+ xf ' (x ) > x 2 ≥ 0 ，故 x > 0 时， g ' (x ) > 0 ，即 g (x )单调递增，B ． (-2016,-2012)D ． (-2016,0)【所以 g (x )在 R 上单调递增，则不等式 (x + 2018 )2 f (x+2018 )＋4 f (-2 ) < 0 即 (x + 2018)2 f (x+2018 ) < -4 f (-2 ) ，即 (x + 2018)2 f (x+2018 ) < 4 f (2 )，即 g (x + 2018) < g (2)，所以 x + 2018 < 2 ，解得 x < -2016.故选 A.【名师点睛】本题考查构造函数解不等式，利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性，题目较综合，有一定的技巧性，属于中档题.25． 重庆西南大学附属中学校 2019 届高三第十次月考数学】曲线 f ( x ) =线与直线 ax - y - 1 = 0 垂直，则 a = ________.1 【答案】 -21 2 x 2+ x ln x 在点 (1，f (1))处的切【解析】因为 f ( x ) = 1 2x 2+ x ln x ，所以 f '( x ) = x + ln x + 1 ，因此，曲线 f ( x ) =12x 2 + x ln x 在点 (1，f (1))处的切线斜率为 k = f '(1) = 1 + 1 = 2 ，又该切线与直线 ax - y - 1 = 0 垂直，所以 a = - 1 2.1故答案为 - .2【名师点睛】本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可求解，属于常考题型.⎧2x 2 , x ≤ 0, 26．【广东省深圳市高级中学 2019 届高三适应性考试（6 月）数学】已知函数 f ( x ) = ⎨ ⎩ e x , x > 0,[ f ( x )]2 = a 恰有两个不同的实数根 x , x ，则 x + x 的最大值是______．12 1 2【答案】 3ln 2 - 2【解析】作出函数 f (x )的图象如图所示，若方程不妨设 x < x ，则 2x 2 = e x 2 = a ，22f ' (x ) ；（3）解方程 f ' (x ) = 0, 求出函数定义域内的所有根；（4）判断 f ' (x ) 在 f ' (x ) = 0 的根 x 左（x 4 - ax 2 ， a ∈ R .由 ⎡⎣ f (x )⎤⎦ 2 = a ，可得 f ( x) =a ,∴ a > 1， 即 a > 1 ，121令 a = t (t > 1) ，则 x = -t, x = ln t ，1 2∴ x + x = ln t -t12，令 g (t ) = ln t - t 4 - 2t，则 g '(t ) = ，2 4t∴ 当1 < t < 8 时， g ' (t ) > 0 ， g (t )在 (1,8 )上单调递增；当 t >8 时， g ' (t ) < 0 ， g (t )在 (8, +∞)上单调递减，∴ 当 t = 8 时， g (t )取得最大值，为 g (8) = ln8 - 2 = 3ln2 - 2 .故答案为 3ln 2 - 2 .【名师点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数 f (x )的极值与最值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 f (x )在 x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 f (x )在 x 处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该点处取得极值也是最值； 6）如果求闭 0区间上的最值还需要比较端点处的函数值与极值的大小.27．【山东省烟台市 2019 届高三 3 月诊断性测试（一模）数学】已知函数 f ( x ) =（1）当 a = 1 时，求曲线 f ( x ) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程；1 14 2（2）设函数g(x)=(x2-2x+2-a)e x-e f(x)，其中e=2.71828...是自然对数的底数，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【答案】（1）6x-y-10=0；（2）当a≤0时，g(x)在(-∞,+∞)上单调递增，无极值；当a>0时，g(x)在(-∞,-a)和(a,+∞)单调递增，在(-a,a)单调递减，极大值为g(-a)=(2a+2)e-ae+a2，极小值为4g(a)=(-2a+2)e ae+a2. 4【解析】（1）由题意f'(x)=x3-ax，所以当a=1时，f(2)=2，f'(2)=6，因此曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程是y-2=6(x-2)，即6x-y-10=0.（2）因为g(x)=(x2-2x+2-a)e x-e f(x)，所以g'(x)=(2x-2)e x+(x2-2x+2-a)e x-e f'(x)=(x2-a)e x-e(x3-ax)=(x2-a)(e x-e x)，令h(x)=e x-e x，则h'(x)=e x-e，令h'(x)=0得x=1，当x∈(-∞,1)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增，所以当x=1时，h(x)min=h(1)=0，也就说，对于∀x∈R恒有h(x)≥0.当a≤0时，g'(x)=(x2-a)h(x)≥0，g(x)在(-∞,+∞)上单调递增，无极值；当a>0时，令g'(x)=0，可得x=±a．当x<-a或x>a时，g'(x)=(x2-a)h(x)≥0，g(x)单调递增，当-a<x<a时，g'(x)<0，g(x)单调递减，因此，当x=-a时，g(x)取得极大值g(-a)=(2a+2)e-ae+a2；4当x=a时，g(x)取得极小值g(a)=(-2a+2)e ae+a2. 4综上所述：当a≤0时，g(x)在(-∞,+∞)上单调递增，无极值；当a>0时，g(x)在(-∞,-a)和(a,+∞)上单调递增，在(-a,a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值为g(-a)=(2a+2)e-ae+a2，4极小值为g(a)=(-2a+2)e ae+a2. 4【名师点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．28．【陕西省2019届高三第三次联考数学】已知函数，，.（1）求函数的极值点；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）极大值点为，无极小值点.（2）.【解析】（1）f(x)=lnx-ax的定义域为，，当时，，所以在上单调递增，无极值点；当时，解得，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数有极大值点，为，无极小值点.（2）由条件可得恒成立，则当时，令恒成立，，则，令，则当时，，所以在上为减函数.又，所以在上，；在上，.所以在上为增函数，在上为减函数，所以，所以.【名师点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.29．【山东省济宁市2019届高三二模数学】已知函数.（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（2）若，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意知，在上恒成立，所以在上恒成立.令，则，所以在上单调递增，所以，所以.（2）当时，.则，令，则，所以在上单调递减.由于，，所以存在满足，即.当时，，；当时，，.所以在上单调递增，在上单调递减.所以，因为，所以，所以，所以..【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值，零点存在性定理及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力30．【福建省龙岩市 2019 届高三 5 月月考数学】今年 3 月 5 日，国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”.教育部日前公布的《教育部 2019 年部门预算》中透露，2019 年教育部拟抽检博士学位论文约 6000 篇，预算为 800 万元.国务院学位委员会、教育部2014 年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送 3 位同行专家进行评议，3 位专家中有 2 位以上（含 2 位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.有且只有 1 位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送 2 位同行专家进行复评，2 位复评专家中有 1 位以上（含 1 位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为 p (0 < p < 1) ，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立.（1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为 f ( p ) ，求 f ( p ) ；（2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为 900 元，需要复评的评审费用为 1500 元；除评审费外，其它费用总计为 100 万元.现以此方案实施，且抽检论文为 6000 篇，问是否会超过预算？并说明理由.【答案】（1）；（2）若以此方案实施，不会超过预算.【解析】（1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为 ，一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为，所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为.（2）设每篇学位论文的评审费为 元，则 的可能取值为 900，1500.，，所以.令,.当时， ， 在 上单调递增；.当时， ，在 上单调递减,所以的最大值为.所以实施此方案，最高费用为（万元）.综上，若以此方案实施，不会超过预算.【名师点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查随机变量的期望的求法，考查利用导数求函数的最大值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力31．【北京市西城区 2019 届高三 4 月统一测试（一模）数学】设函数 e，其中 ．（1）当为偶函数时，求函数的极值；（2）若函数在区间上有两个零点，求 的取值范围．【答案】（1）极小值，极大值；（2） e或 .ee【解析】（1）由函数是偶函数，得 ，即 ee对于任意实数 都成立，所以.此时，则.由，解得.当 x 变化时，与的变化情况如下表所示：↘极小值 ↗ 极大值 ↘所以在， 上单调递减，在 上单调递增.所以有极小值，极大值.（2）由 e，得. e所以“在区间上有两个零点”等价于“直线 与曲线， 有且只有两e个公共点”..对函数 求导，得. e由，解得，.当 x 变化时， 与的变化情况如下表所示：↘极小值↗ 极大值 ↘所以在 ， 上单调递减，在上单调递增.又因为e ，e ，，，所以当ee或 时，直线 与曲线e， 有且只有两个公共点.eee即当 e 或时，函数 在区间 上有两个零点.ee【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两熟悉的函数图象问题，从而构建不等式求解。

2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设函数()xf x xe =，则（ ）A. 1x =为()f x 的极大值点B.1x =为()f x 的极小值点C. 1x =-为()f x 的极大值点D. 1x =-为()f x 的极小值点[学2．函数2sin 2xy x =-的图象大致是二、填空题3． 函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为 __________________. 4． 若函数1()ax f x e b=-的图象在x=0处的切线l 与圆C: 221x y +=相离，则P(a ，b)与圆C 的位置关系是 ▲ ．5．如图，质点P 在半径为10cm 的圆上逆时针作匀速圆周运动，角速度为1/rad s ，设(10,0)A 为起始点，则时刻2t =时，点P 在x 轴上的射影点M6．已知函数x x x f sin )(=，∈x R ，则)5(πf ，)1(f ，）（3π-f 的大小关系为 ▲(第11题图)7．若函数f (x )＝x － p x ＋p2在(1，＋∞)上是增函数，则实数p 的取值范围是___________________．8．函数22()log (2)f x x x =+的单调递减区间为 ▲9．设曲线()1x y ax e =-在点()01,A x y 处的切线为1l ，曲线()1xx y e -=在点()02,Bx y 处的切线为2l ，若存在0302x ≤≤，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是 ．关键字：切线垂直；求导；有解问题；参变分离；求值域；换元10．已知函数32()6f x x ax x =--+在（0，1）内单调递减，则a 的取值范围为 ．11．函数()ln (1),(0)f x x a x a =-->的单调增区间是 ．12．已知函数c x x y +-=33的图像与x 13．如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线是l ， 则(2)(2)f f '+= ★ ．14．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则=max )(ab ________15．从边长为10 cm×16 cm 的矩形纸板的四个角上截去四个相同的小正方形，做成一个无 盖的盒子，盒子容积的最大值是 ．16．已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值10，则a b ⋅= ▲ . 17． 若对任意的x D ∈,均有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则称函数()f x 为函数()1f x 到函数()2f x 在区间D 上的“折中函数”．已知函数()()()11,0,f x k x g x =--=()()1ln h x x x =+，且()f x 是()g x 到()h x 在区间[]1,2e 上的“折中函数”，则实数k 的取值范围为 ．18．曲线12ex y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为19． 若直线y x b =-+为函数1y x =的一条切线，则实数b = ▲ ．三、解答题20．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式2)6(103-+-=x x ay ，其中63<<x ， a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． ⑴求a 的值；⑵若该商品的成本为3元/千克， 试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．21． 已知二次函数)(x g y =的导函数的图像与直线2y x =平行,且)(x g y =在x =－1处取得最小值m －1(m 0≠).设函数xx g x f )()(=(1)若曲线)(x f y =上的点P 到点Q (0,2)的距离的最小值为,求m 的值(2) )(R k k ∈如何取值时,函数kx x f y -=)(存在零点,并求出零点.22．设32121()()3(,,0)32x a b f x x x x x a b R a λλ-=+++⋅∈>（1）当121,0λλ==时，设12,x x 是()f x 的两个极值点， ①如果1212x x <<<，求证：(1)3f '->；②如果21122,2,(,)a x x x x x ≥-=∈时，函数2()()2()g x f x x x '=+-的最小值为()h a ，求()h a 的最大值．（2）当120,1λλ==时，①求函数()3(ln31)y f x x =-+的最小值；②对于任意的实数,,a b c ，当3a b c ++=时，求证3339.a b c a b c ++≥ 23．已知函数()ln af x x x=-()()10a f x >当时，判断在定义域上的单调性；()()[]212f x e a 若在，上的最小值为，求值。