2016-2017学年高中数学人教A版必修4课件：2.3.4 平面向量共线的坐标表示

3 由 AP 与 AC 共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得 λ＝ ， 4
3 所以 OP ＝ OB ＝(3,3)，所以点 P 的坐标为(3,3)． 4
[类题通法] 向量共线在几何中的应用及注意事项 向量共线在几何中的应用，可分为两个方面： (1)已知两向量共线，求点或向量的坐标； (2)证明或判断三点共线、直线平行． 解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起 点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行．
2 | P1 P |＝ | PP2 |.则 P 点的坐标为________． 3 [解析] (1)当 P1 P 与 PP2 同向时，
2 则有 P1 P ＝ PP2 ，设 P 点坐标为(x，y)， 3 P1 P ＝(x－2，y＋1)， PP2 ＝(－1－x,3－y)．
∴四边形 ABCD 是梯形． ∵ BC ＝(－2,1)， AD ＝(－1,2)， ∴| BC |＝ 5＝| AD |，即 BC＝AD. 故四边形 ABCD 是等腰梯形．
9.错用两向量共线的条件致误
[典例]
已知 P1(2，－1)，P2(－1,3)，P 在直线 P1P2 上，且
[随堂即时演练]
1．下列各组的两个向量，共线的是 A．a1＝(－2,3)，b1＝(4,6) B．a2＝(1，－2)，b2＝(7,14) C．a3＝(2,3)，b3＝(3,2) D．a4＝(－3,2)，b4＝(6，－4) ( )
答案：D
AB 平行且方向相反的向量 a 是 2．已知 A(2，－1)，B(3,1)，则与
2 ∴(x－2，y＋1)＝ (－1－x,3－y)， 3
2＋2×－1 x＝ 3 ， 2 1＋ 3 ∴ －1＋2×3 3 y＝ ， 2 1＋ 3
故
4 3 P 点坐标为5，5.
x＝4， 5 即 y＝3. 5
2 (2)当 P1 P 与 PP2 反向时，则有 P1 P ＝－ PP2 ，设 P 点坐 3
[成功破障] 平面上有 A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点 C 在直线
1 1 AB 上，且 AC ＝ BC ，连接 DC 延长至 E，使|CE |＝ | ED |，则 2 4
点 E 的坐标为________．
8 答案：3，－7
2 标为(x，y)，∴(x－2，y＋1)＝－ (－1－x,3－y)， 3
2 2－ ×－1 3 x＝ ， 2 1－ 3 ∴ －1－2×3 3 ， y＝ 2 1－ 3 故 P 点坐标为(8，－9)． 综上可得，P
[答案]
x＝8， 即 y＝－9.
4 3 点坐标为5，5或(8，－9)．
x1＝λx2， a∥b⇔ y1＝λy2
⇔x1y2－x2y1＝0.
[例 1]
(1)已知向量 a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a ( 1 B． 3 D．2 )
－2b)，则 λ 的值等于 1 A． 2 C．1
(2)已知 A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断 AB 与 CD
[活学活用] 已知直角坐标平面上四点 A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)， 求证：四边形 ABCD 是等腰梯形． 证明：由已知得， AB ＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)， CD ＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)． ∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴ AB 与 CD 共线． AD ＝(－1,2)， BC ＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)， ∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴ AD 与 BC 不共线．
[例 3]
如图，已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求 AC
与 OB 的交点 P 的坐标．
[解] 由 O，P，B 三点共线，可设 OP ＝λOB ＝(4λ，4λ)， 则 AP ＝ OP － OA ＝(4λ－4,4λ)． 连接 OC，则 AC ＝ OC － OA ＝(－2,6)．
2 ∴(x2－3，y2＋1)＝－3，1，
故
8 7 2 F3，0.∴ EF ＝3，－3.
2 8 又∵4×－3－ ×(－1)＝0， 3
∴ EF ∥ AB .
2．3.4
平面向量共线的坐标表示
[提出问题] 已知下列几组向量： (1)a＝(0,2)，b＝(0,4)；(2)a＝(2,3)，b＝(4,6)； 1 1 (3)a＝(－1,4)，b＝(2，－8)；(4)a＝2，1，b＝－2，－1. 问题 1：上面几组向量中，a 与 b 有什么关系？
答案：C 2．已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当实数 k 为何值时，(ka＋b)∥
(a－3b)？这两个向量的方向是相同还是相反？ 1 答案：当 k＝－ 时，(ka＋b)∥(a－3b)，并且它们的方向相反. 3
[例 2] ＝________.
(1)若点
1 A(1，－3)，B8，2，C(x,1)共线，则
[活学活用] 已知点 A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)． (1)求实数 x 的值，使向量 AB 与 CD 共线； (2)当向量 AB 与 CD 共线时，点 A，B，C，D 是否在一条直 线上？
答案：(1)x＝± 2 (2)当 x＝－2 时，A，B，C，D 四点在一条直线上
1 2 2 ∵ AE ＝ AC ，∴ AE ＝3，3， 3

2 2 ∴(x1＋1，y1)＝3，3，故
1 2 E－3，3.
1 2 ∵ BF ＝ BC ，∴ BF ＝－3，1， 3
x
(2)设向量 OA ＝(k,12)， OB ＝(4,5)， OC ＝(10，k)，求
当 k 为何值时，A，B，C 三点共线．
[解]
(1)9
(2)若 A，B，C 三点共线，则 AB ， AC 共线， 则存在实数 λ，使得 AB ＝λ AC . ∵ AB ＝ OB － OA ＝(4－k，－7)， AC ＝ OC － OA ＝(10－k，k－12)．
是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
[解] (1)A (2) AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)， CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)， ∵(－2)×(－)－3×4＝0，∴ AB ， CD 共线． 又∵ CD ＝－2 AB ，∴ AB ， CD 方向相反． 综上， AB 与 CD 共线且方向相反．
提示：(1)(2)中 b＝2a；(3)中 b＝－2a；(4)中 b＝－a.
问题 2：以上几组向量中，a，b 共线吗？
提示：共线．
[导入新知]
平面向量共线的坐标表示
前提条件
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0 当且仅当 x1y2－x2y1＝0 时，向量a、b(b≠0)
结论
共线
[化解疑难] 向量共线的坐标表示的推导 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0， 则 a∥b⇔a＝λb(λ∈R)． 上式若用坐标表示，可写为 a∥b⇔(x1，y1)＝λ(x2，y2)， 即
[类题通法] 向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理，由 a＝λb(b≠0)推出 a∥b. (2)利用向量共线的坐标表达式 x1y2－x2y1＝0 直接求解．
[活学活用] 1． 已知向量 a＝(1， m)， b＝(m,2)， 若 a∥b， 则实数 m 等于( A．－ 2 C．－ 2或 2 B． 2 D．0 )
答案：23
1 5．已知 A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,2)，并且 AE ＝ AC ，BF ＝ 3 1 BC ，求证： EF ∥ AB . 3
证明：设 E(x1，y1)，F(x2，y2)， 依题意有 AC ＝(2,2)， BC ＝(－2,3)， AB ＝(4，－1)．
( A．(2,1) C．(－1,2) B．(－6，－3) D．(－4，－8)
)
答案：D
3． 已知向量 a＝(1,2)， b＝(1,0)， c＝(3,4)． 若 λ 为实数， (a＋λb)∥c， 则 λ＝________. 1 答案： 2
4．已知 A(－1,4)，B(x，－2)，若 C(3,3)在直线 AB 上，则 x＝ ________.
4 3 ， 或(8，－9) 5 5
[易错防范]
2 2 1．本题易由| P1 P |＝ | PP2 |只得出 P1 P ＝ PP2 的结论，从而 3 3
得出 P
4 3 点坐标为5，5的错误答案．
2．解决两向量共线问题时，要注意两非零向量 a 与 b 共线 有同向共线和反向共线两种情况，不要发生遗漏．
∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，
4－k＝λ10－k， 即 －7＝λk－12，
解得 k＝－2 或 k＝11.
∴当 k＝－2 或 11 时，A，B，C 三点共线．
[类题通法] 三点共线的实质与证明步骤 (1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量 共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行 是一致的． (2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成： ①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．