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授课主题导数公式及运算法则教学目标1．掌握各基本初等函数的求导公式．2．能根据导数定义，求几个常用函数cy=，xy=，2xy=，xy1=的导数．3．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．教学内容1.几个常用函数的导数.原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2f(x)＝x f′(x)＝12x2.基本初等函数的导数公式.原函数导函数y＝c y′＝0y＝x n(n∈R)y′＝nx n－1y＝sin x y′＝cos xy＝cos x y′＝－sin xy＝a x(a>0，a≠1)y′＝a x ln ay＝e x y′＝e xy＝log a x(a>0，a≠1，x>0)y′＝1x ln ay＝ln x y′＝1x3.导数的运算法则：设两个函数分别为f (x )和g (x )数乘的导数 [c f (x )] ′＝c f ′(x )（c 为常数） 举例：(3x 2)′＝6x 两个函数的和的导数 [f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x ) 举例：(x 3＋x 2)′＝3x 2＋2x 两个函数的差的导数 [f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x ) 举例：(x 3－x 2)′＝3x 2－2x 两个函数的积的导数 [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 举例：(x e x )′＝e x ＋x e x 两个函数的商的导数[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0) 举例：⎝⎛⎭⎫e xx ′＝x e x－exx 2题型一 直接用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数：(1)y ＝1x 3； (2)y ＝3x 4；(3)y ＝2sin x 2cos x 2； (4)y ＝4ln x ＋ln 1x 3.解析：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4＝－3x 4. (2)y ′＝3x 4′＝x 43＝43x 13＝43x3.(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x2′＝(sin x )′＝cos x . (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫4ln x ＋ln 1x 3′＝⎣⎡⎦⎤ln ⎝⎛⎭⎫x 4·1x 3′＝(ln x )′＝1x. 点评：对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y ＝1x 4可以写成y ＝x －4，y ＝3x 2＝23x 等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导；y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，这样就可以直接使用余弦函数的求导公式求导． 巩 固 求下列函数的导数：(1)y ＝x 12； (2)y ＝1x 4； (3)y ＝5x 3.解析：(1)y ′＝(x 12)′＝12x 11； (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5；(3)y ′＝5x 3′＝(x 35)′＝35x －25＝355x 2.巩 固 设f (x )＝10x ，则f ′(1)＝__________.答案：10ln 10题型二 利用所求导数解决简单几何问题例2 求与曲线y ＝f (x )＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程．解析：因为y ＝3x 2，所以y ′＝(3x 2)′＝(x23)′＝23x －13.所以f ′(8)＝23×138-＝13，即曲线在点P (8,4)处的切线的斜率为13. 所以适合条件的直线的斜率为－3.从而适合条件的直线方程为y －8＝－3(x －4)， 即3x ＋y －20＝0.点评：解决曲线的切线问题要灵活利用切点的性质：①切点在切线上；②切点在曲线上；③切点处的导数为此点处的切线的斜率． 巩 固 若曲线y ＝12x-在点12(,)a a-处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( )A ．64B ．32C ．16D ．8分析：本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力．解析：y ′＝3212x --，∴k ＝3212a --，切线方程是y －12a -＝ 3212a -- (x －a )．令x ＝0得y ＝1232a -；令y ＝0得x＝3a ，∴三角形的面积是S ＝12·3a ·1232a -＝18.解得a ＝64.故选A.答案：A题型三 利用导数公式及运算法则求函数的导数 例3 求下列函数的导数：(1)y ＝3x 2＋x cos x ； (2)y ＝(x 2＋3)(e x ＋ln x )； (3)y ＝xe xsin .解析：(1)y ′＝6x ＋cos x ＋x (cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x .(2)y ′＝(x 2＋3)′(e x ＋ln x )＋(x 2＋3)(e x ＋ln x )′＝2x (e x ＋ln x )＋(x 2＋3)⎝⎛⎭⎫e x ＋1x ＝e x (x 2＋2x ＋3)＋2x ln x ＋x ＋3x (3) y ′＝⎝⎛⎭⎫e xsin x ′＝(e x)′sin x －e x(sin x )′sin 2x ＝e xsin x －e xcos x sin 2x ＝e x(sin x －cos x )sin 2x. 点评：(1)运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数，一定要先分析函数y ＝f (x )的结构特征，若直接求导很繁琐，可以先进行合理的化简变形，再选择恰当的求导法则和导数公式求导．(2)若要求导的函数解析式与三角函数有关，往往需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简整理，然后再套用公式求导．巩 固 求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－4x ＋5； (2)y ＝x 2tan x ； (3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1.分析：通过分析各函数解析式的结构特征，联系基本初等函数求导公式求解． 解析：(1)y ′＝(x 4－3x 2－4x ＋5)′＝(x 4)′－(3x 2)′－(4x )′＋5′＝4x 3－6x －4. (2)y ′＝(x 2tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x 2sin x cos x ′＝(x 2sin x )′cos x －x 2sin x (cos x )′cos 2x ＝(2x sin x ＋x 2cos x )cos x ＋x 2sin 2x cos 2x ＝x sin 2x ＋x 2cos 2x. (3)解法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋[(x ＋1)(x ＋2)](x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11； 解法二 ∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11. (4)解法一 y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2； 解法二 ∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.题型四 求曲线的切线方程例4 已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．解析：(1)∵y ′＝2x ＋1，∴y ′|x ＝1＝3. ∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 20＋x 0－2)，则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0)，∵l 1⊥l 2，∴3(2x 0＋1)＝－1，x 0＝－23.∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52.又直线l 1，l 2与x 轴的交点分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫－223，0. ∴所求三角形面积为S ＝12×⎪⎪⎪⎪－52×⎝⎛⎭⎫1＋223＝12512. 巩 固 曲线y ＝3sin x 上的一点P 的横坐标为π3，则过P 点的曲线的切线方程为________．解析：因为y ′＝3cos x ，所以曲线过点P 的切线的斜率为k ＝3cos π3＝32，又切点的纵坐标为y ＝3sin π3＝332，所以切线方程为y －332＝32⎝⎛⎭⎫x －π3，即3x －2y ＋33－π＝0.答案：3x －2y ＋33－π＝0（导数公式）A 组1．下列各式正确的是( )A ．(log a x )′＝1xB ．(log a x )′＝ln 10xC ．(3x )′＝3xD ．(3x )′＝3x ln 3 答案：D2．曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x ＋5C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝2x答案：A3．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝0； ②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：对于y ＝ln 2，y ′＝0，所以①错；对于y ＝1x 2，y ′＝(x －2)′＝－2x －3，所以y ′|x ＝3＝－233＝－227，所以②正确；对于y ＝2x ，y ′＝(2x )′＝2x ln 2，所以③正确；对于y ＝log 2x ，y ′＝1x ln 2，所以④正确．故选D.答案：DB 组一、选择题1．下列函数满足f (x )＝f ′(x )的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝xC ．f (x )＝0D ．f (x )＝1 答案：C2．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为3π4的点是( )A.⎝⎛⎭⎫π8，π28 B ．(2,4) C.⎝⎛⎭⎫12，14 D.⎝⎛⎭⎫－12，14 答案：D 3．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝⎛⎭⎫－1x ′＝12x x . 其中正确的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案：B4．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2 C.⎝⎛⎭⎫－12，－2 D.⎝⎛⎭⎫12，－2 答案：B 5．曲线y ＝14x 3在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为( )A ．－32 B.32 C ．－34 D.34解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 3′＝34x -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝7434x --，所以y ′|x ＝1＝－34，即曲线在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为－34.故选C.答案：C 二、填空题6．如果f (x )＝sin x ，则f ′(6π)＝________.答案：17．求下列函数的导数：(1) (3x )′＝________；答案：2313x -(2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 2′＝____________.答案：7525x --8．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________.解析：因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a ＝－1.所以ln a ＝－1，所以a ＝1e .答案：1e三、解答题9．(1)求函数y ＝a x 在点P (3，f (3))处的导数；(2)求函数y ＝ln x 在点Q (5，ln 5)处的导数．分析：先按求导公式求出导函数，再求导函数在相应点的函数值． 解析：(1)∵y ＝a x ，∴y ′＝(a x )′＝a x ln a ，则y ′|x ＝3＝a 3ln a . (2)∵y ＝ln x ，∴y ′＝(ln x )′＝1x ，则y ′|x ＝5＝15.10. 已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解析：根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，因为y ′＝2x ，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1, 所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14， 所以切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.（运算法则）A 组1．函数y ＝e x ln x 的导数是( )A.e xx B ．e x ln x C ．e xln x ＋e x x D.e x ln xx答案：C2．若曲线y ＝x α＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝______.解析：y ′＝αx α－1，则k ＝α，故切线方程y ＝αx 过点(1,2)解得α＝2. 答案：23．求下列函数的导数：(x ＋x 2)′＝________；(x ·sin x )′＝________；⎝⎛⎭⎫x 5＋sin x x ′＝________.答案：1＋2x ； sin x ＋x cos x ； 4x 5＋x cos x －sin xx 2B 组一、选择题1．下列求导运算正确的是( )A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x ·log 3e D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 答案：B2. 对任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则( )A ．f (x )＝x 4－2B ．f (x )＝x 4＋2C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝－x 4 答案：A3．函数y ＝x 2ln x 的导数为( )A ．y ′＝2x ＋ln(e x )B ．y ′＝x ＋ln(e x 2)C ．y ′＝x ln(e x 2)D ．y ′＝2x ln(e x ) 解析：由导数的计算公式得y ′＝(x 2)′ln x ＋x 2(ln x )′＝2x ln x ＋x 2x＝x (2ln x ＋1)＝x (ln x 2＋1)＝x ln(e x 2)．故选C. 答案：C4．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12解析：设切点的横坐标为x 0，因为曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，所以y ′＝x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3(x 0＝－2舍去)，即切点的横坐标为3.故选A.答案：A5．下列求导式正确的是( )①(2x 3－cos x )′＝6x 2＋sin x ；②⎝⎛⎭⎫2－1x ′＝1x 2； ③[(3＋x 2)(2－x 3)]′＝2x (2－x 3)＋3x 2(3＋x 2)； ④⎝⎛⎭⎫1＋cos x x 2′＝2x (1＋cos x )＋x 2sin x x 4；⑤⎝⎛⎭⎫x 3sin x ′＝3x 2sin x －x 3cos xsin 2x；⑥(t an x )′＝1cos 2x.A ．①②③⑤B ．②④⑤⑥C ．①②⑤⑥D ．①②③④⑤⑥ 答案：C 二、填空题6．设f (x )＝10x ＋lg x ，则f ′(1)＝________________.答案：10ln 10＋1ln 107．若曲线y ＝a x 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.解析：依题意y ′＝2ax －1x ，y ′|x ＝1＝2a －1＝0，得a ＝12.答案：128．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π3sin x ＋cos x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π3cos x －sin x ，令x ＝π3，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝－2sin π3＝－3， 所以f (x )＝－3sin x ＋cos x ，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝－3sin π6＋cos π6＝0. 答案：0 三、解答题9. 已知曲线y ＝x 3－2x －3在点P 处的切线与y ＝x ＋4平行，求切点的坐标．解析：设切点的横坐标为x 0，因为曲线y ＝x 3－2x －3在点P 处的切线斜率为1， 所以y ′＝3x 20－2＝1，解得x 0＝±1， 当x 0＝1时，y 0＝－4；当x 0＝－1时，y 0＝－2， 所以切点坐标的(1，－4)或(－1，－2)． 10．求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ＋cos x ； (2)y ＝ln xx ＋1； (3)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)； (4)f (x )＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x. 分析：对于(1)、(2)可以利用公式直接求导，(3)、(4)先化简再求导．解析：(1)y ′＝(x 2sin x ＋cos x )′＝(x 2sin x )′＋(cos x )′＝2x sin x ＋x 2cos x －sin x .＝(2x －1)sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ＋1′＝1x (x ＋1)－ln x (x ＋1)2＝1－ln x ＋1x (x ＋1)2＝x －x ln x ＋1x (x ＋1)2.(3)∵f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)＝2x 5＋8x 4－5x 3＋2x 2＋8x －5，∴f ′(x )＝(2x 5＋8x 4－5x 3＋2x 2＋8x －5)′＝10x 4＋32x 3－15x 2＋4x ＋8.(4)∵f (x )＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2(1＋x )1－x ＝41－x －2，∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝4′(1－x )－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.。
