不等式的概念和性质

不等式基本性质：基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果a b >，那么a c b c ±>± 如果a b <，那么32(1)x a x +≥-基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果a b >，并且0c >，那么ac bc >(或a bc c >)如果a b <，并且0c >，那么ac bc <(或a bc c<)基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，并且0c <，那么ac bc <(或a bc c<)如果a b <，并且0c <，那么ac bc >(或ax b >)易错点：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．在计算的时候符号方向容易忘记改变．另外，不等式还具有互逆性和传递性．不等式的互逆性：如果a>b ，那么b<a ；如果b<a ，那么a>b ． 不等式的传递性：如果a>b ，b>c ，那么a>c ．注意：⑴在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，要改变不等号的方向．⑵在不等式两边不能乘以０，因为乘以０后不等式将变为等式，以不等式３＞２为例，在不等式３＞２两边都乘同一个数a 时，有下面三种情形： ①如果a>0，那么3a>2a ； ②如果a=0时，那么3a=2a ； ③如果a<0时，那么3a<2a ．一、不等式的基本概念内容 基本要求 略高要求 较高要求 不等式(组)能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义． 能根据具体问题中的数量关系列出不等式(组)．不等式的性质理解不等式的基本性质． 会利用不等式的性质比较两个实数的大小．解一元一次不等式(组) 了解一元一次不等式(组)的解的意义，会在数轴上表示(确定)其解集． 会解一元一次不等式和由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会根据条件求整数解．能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式解决简单问题．中考要求不等式及不等式的性质【例1】 用不等式表示数量的不等关系．⑴ a 是正数 ⑵ a 是非负数 ⑶ a 的相反数不大于 1 ⑷ x 与y 的差是负数⑸ m 的4倍不小于8 ⑹ q 的相反数与q 的一半的差不是正数⑺ x 的3倍不大于x 的13⑻ a 不比0大【例2】 用不等式表示：⑴ x 的15与6的差大于2； ⑵ y 的23与4的和小于x ；⑶ a 的3倍与b 的12的差是非负数； ⑷ x 与5的和的30%不大于2-．【例3】 关于x 的某个不等式组的解集在数轴上表示为如图，则不等式组的解集为__________．4321-2-156-3-4-5-6【例4】 用不等式表示下列数量关系（1）代数式43x +的值不大于2； （2）m 和n 的和是非负数。

不等式的性质和解法一、不等式的性质1.不等式的定义：表示两个数之间的大小关系，用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示。

2.不等式的基本性质：（1）传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。

（2）同向相加：如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。

（3）同向相减：如果a>b，那么a-c>b-c。

（4）乘除性质：如果a>b且c>0，那么ac>bc；如果a>b且c<0，那么ac<bc。

二、不等式的解法1.解不等式的基本步骤：（1）去分母：将不等式两边同乘以分母的最小正整数，使分母消失。

（2）去括号：将不等式两边同乘以括号内的正数，或者将不等式两边同除以括号内的负数，使括号内的符号改变。

（3）移项：将不等式中的常数项移到一边，将含有未知数的项移到另一边。

（4）合并同类项：将不等式两边同类项合并。

（5）化简：将不等式化简到最简形式。

2.解一元一次不等式：（1）ax+b>c（a≠0）：移项得ax>c-b，再除以a得x>(c-b)/a。

（2）ax+b≤c（a≠0）：移项得ax≤c-b，再除以a得x≤(c-b)/a。

3.解一元二次不等式：（1）ax2+bx+c>0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。

（2）ax2+bx+c≤0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。

4.不等式的组：（1）解不等式组的步骤：先解每个不等式，再根据不等式的解集确定不等式组的解集。

（2）不等式组解集的表示方法：用区间表示，例如：[x1, x2]。

三、不等式的应用1.实际问题中的不等式：例如，距离、温度、速度等问题。

2.不等式在生活中的应用：例如，购物、制定计划、比较大小等问题。

3.不等式在其他学科中的应用：例如，在物理学中描述物体的运动状态，在经济学中描述市场的供求关系等。

高一基本不等式知识点笔记在高一的数学学习中，基本不等式是一个非常重要的知识点。

掌握好基本不等式的相关概念和性质，对于解决各种数学问题和提高数学思维能力都具有重要的作用。

本文将为大家总结高一基本不等式的知识点，并提供相关例题进行讲解。

一、基本不等式的定义在数学中，不等式是通过“大于”、“小于”等符号来表示大小关系的数学语句。

基本不等式是指那些具有普遍适用性的不等式，它们是数学思维的基础。

二、基本不等式的性质1. 加法性质：如果a＞b，则a+c＞b+c，其中c为任意实数。

2. 减法性质：如果a＞b，则a-c＞b-c，其中c为任意实数。

3. 乘法性质：如果a＞b，且c＞0，则ac＞bc；如果a＞b，且c ＜0，则ac＜bc。

4. 除法性质：如果a＞b，且c＞0，则a/c＞b/c；如果a＞b，且c＜0，则a/c＜b/c。

5. 倒数性质：如果a＞b，且a、b为正数，则1/a＜1/b。

三、基本不等式的解法1. 原则一：不等式两边同时加（或减）一个相同的数，不等式的大小关系保持不变。

2. 原则二：不等式两边同时乘以（或除以）一个相同的正数，不等式的大小关系保持不变；不等式两边同时乘以（或除以）一个相同的负数，不等式的大小关系颠倒。

3. 原则三：同一个不等式两边可以加（或减）同一个数，可以乘以一个正数，但不能除以一个有可能为零的数。

四、基本不等式的例题解析例题一：如果3x+4y＞2，且x＞1，求x和y的取值范围。

解析：根据题目条件，可以得到不等式3x+4y＞2，以及x＞1。

首先，解不等式 x＞1，可以得到 x 的取值范围为 x＞1。

然后，将 x 代入不等式 3x+4y＞2 中，得到 3(1)+4y＞2，化简为 4y＞-1，再化简为 y＞-1/4。

综合以上两个条件，可以得到不等式 x＞1 且 y＞-1/4，即 x 的取值范围为 x＞1，y 的取值范围为 y＞-1/4。

例题二：已知 a＞0，b＞0，c＞0，证明 (a+b+c)/3＞√(abc)。

不等式和它的基本性质一、考点扫描：1．了解不等式的意义。

2．掌握不等式的三条基本性质，并会运用这些基本性质将不等式变形。

二、名师精讲：1．不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。

2．不等式的基本性质（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

用式子表示：如果a>b，那a+c>b+c（或a–c>b–c）（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

用式子表示：如果a>b，且c>0，那么ac>bc(或> )（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

用式子表示：如果a>b，且c<0，那么ac<BC(< SPAN>或< )3．不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据。

不等式的性质与等式的性质类似，但等式的结论是“仍是等式”，而不等式的结论则是“不等号方向不变或改变”。

在运用性质（2）和性质（3）时，要特别注意不等式的两边乘以或除以同一个数，首先认清这个数的性质符号，从而确定不等号的方向是否改变。

三、例题分析第一阶梯[例1]我们已经学过的等式，方程是用"="连接式子，它表示数量间的相等关系，例如2+3=5，3x-1=2x+7， a+b=b+a等。

事实上，在实际生活中，同类量之间具有不相等关系的例子是大量的，普遍的，例如：某天的气温最低是-2℃，最高是3℃说明气温不相等，两个同学们体重分别是95斤和87斤，也不相等，上述两个例子我们可以分别表示成-2＜3，95＞87，像这种用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式，常用的不等号有"＞""＜""＞""≥""≤""≠"。

根据不等式的概念，请指出下列各式哪些是不等式：①x+y=y+x②4+x＞5③-3＜0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4提示：什么叫做不等式？常用的不等号有哪些？参考答案：②③④⑤是不等式。

线性不等式的解与应用线性不等式是数学中常见的一种不等式类型，它们在实际生活中有着广泛的应用。

解决线性不等式问题可以帮助人们理解和分析现实世界中的各种情况。

本文将介绍线性不等式的概念、性质以及其在实际中的应用。

一、线性不等式的概念与性质1. 线性不等式的定义线性不等式是指一个或多个线性方程的不等式形式，其中包括变量、常数和系数。

一般形式为 ax + b > 0 或 ax + b < 0，其中 a 和 b 是实数，且a ≠ 0。

2. 线性不等式的解集线性不等式的解是指使不等式成立的所有数值的集合。

对于一元线性不等式 ax + b > 0，其解集可以表示为 x > -b/a，其中a ≠ 0。

类似地，对于 ax + b < 0，解集可以表示为 x < -b/a。

3. 线性不等式的性质线性不等式有一些重要的性质，包括以下几点：- 两个线性不等式的和仍然是一个线性不等式；- 两个线性不等式的积仍然是一个线性不等式；- 两个线性不等式的差仍然是一个线性不等式；- 线性不等式的解集与不等式中的常数项无关。

二、线性不等式的解法1. 图解法对于一元线性不等式，我们可以通过绘制直线来求解其解集。

首先将不等式转化为等式，得到对应的直线方程；然后根据不等号的方向在直线上标出符号；最后通过几何方法确定解集的范围。

2. 代入法代入法是一种常用的求解线性不等式的方法。

通过将可能的解代入不等式中进行验证，确定是否满足不等式条件。

这种方法比较直观，适用于较简单的线性不等式。

3. 化简法化简法是用于求解复杂线性不等式的常用方法。

通过对不等式进行代数变换，将其化简为更简单的形式。

例如，可以通过移项、合并同类项和因式分解等方法对不等式进行变换。

三、线性不等式的应用线性不等式在实际中有着广泛的应用，这里介绍其中的几个典型应用。

1. 经济学中的应用线性不等式在经济学中有着重要的应用。

例如，在成本、收入、利润等经济指标的计算中，线性不等式可以帮助我们确定各种经济变量之间的关系。

初中数学知识点必备：不等式学校数学学问点：不等式1用小于号或大于号表示大小关系的式子，叫做不等式(inequality)。

使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

能使不等式成立的x的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集(solution set)。

含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式(linear inequality of one unknown)。

不等式的性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。

不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的`方向不变。

不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向转变。

三角形中任意两边之差小于第三边。

三角形中任意两边之和大于第三边。

不等式(组)1、不等式：用不等号(“”、“≤”、“”、“≥”、“≠”)表示不等关系的式子。

2、不等式的基本性质：(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。

(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向转变。

3、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

4、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的全部解，组成这个不等式的解集。

提示大家：解不等式指的是求不等式解集的过程叫做解不等式。

学校数学学问点：不等式21.二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数项的次数是1，这样的方程是二元一次方程.留意：一般说二元一次方程有很多个解.2.二元一次方程组：两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组.3.二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程，左右两边都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解.留意：一般说二元一次方程组只有解(即公共解).4.二元一次方程组的解法：(1)代入消元法；(2)加减消元法；(3)留意：推断如何解简洁是关键。

5.一次方程组的应用：(1)对于一个应用题设出的未知数越多，列方程组可能简单一些，但解方程组可能比较麻烦，反之则难列易解(2)对于方程组，若方程个数与未知数个数相等时，一般可求出未知数的值；(3)对于方程组，若方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值，但总可以求出任何两个未知数的关系。

第九章不等式与不等式组专题18不等式的概念、性质及一元一次不等式的解法知识要点1.不等式及其解集：2.不等式的性质（1）不等式的性质1：如果a>b，那么；（2）不等式的性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc或；（3）不等式的性质3：如果a>b，c<0，那么ac<bc或.由不等式和等式的性质可知，可以用求差法比较大小，当两数同号时，还可以用求商法比较大小3.一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式.4.解一元一次不等式即根据不等式的性质，将不等式化为x>a或x<a的形式，其一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.典例精析例1（1）不等式x<3的正整数解有；（2）关于x的不等式－x≥a的解集为x≤－1，则a的值是；（3）已知x>a的解集中最小整数为－2，则a的最小值是.【分析】在数轴上表示出不等式的解集，结合数轴解决与整数解相关的问题.【解】（1）依题意，如图18-1所示，可知正整数解有1，2.（2）依题意，x≤-a∴，.（3）依题意，如图18-2所示，可知a的最小值是－3.a cb c±>±a bc c>a bc c<0,0,0a b a b a b a b a b a b>⇔->=⇔--<⇔-<1a-=-1a=【点评】与不等式解集有关的问题特别是有整数解的问题要注意结合数轴，数形结合，同时要注意等号能否取到，可将取等的值代入原题中检验是否要取.拓展与变式1 （1）不等式的解集中的非负整数解为；（2）已知x≥a的解集中最小整数为－2，则a的最大值为.拓展与变式2关于x的不等式3m-2x<5的解集如图18-3所示，求m的值.拓展与变式3关于x的不等式解集是，则m的取值范围是.【反思】和不等式解集有关的问题注意结合数轴，利用数轴既直观又准确，同时注意等号能否取到.例2已知a<b，用“<”或“>”填空：（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】利用不等式的性质即可【解】（1）>；（2）<；（3）<；4）>.【点评】理解和掌握不等式的性质，才能熟练自如地应用拓展与变式4用拓展与变式4 用“<”或“>”填空：（1）若，则a b；（2）若-4a>-4b，则a b；（3）若，那么x y.拓展与变式5 若m，n为常数，则关于x的不等式的解集为.拓展与变式6 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数（式）大小的方法：（1）若A-B>0，则A>B；（2）若A-B=0，则A=B；（3）若A-B<0.则A<B.这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法比较与的大小.【反思】不等式的性质和等式的性质类似，在利用性质3时注意不等号方向要改变.5x≤34mx x<+63xm>-7a-7b-3a-3b-52a+52b+ 21a--21b--22a b->-()()2211a x a y+>+()21m x n-->22336a b-+ 22242a b-+例3 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来. 【分析】为便于运算，首先去分母（不等式的两边同乘分母的最小公倍数“6”），然后移项（利用不等式的性质1将未知数项放在左边，常数项放在右边），再把系数化为1（利用不等式的性质2或3，将不等式化为x >a 或x <a 的形式）.【解】，，，..这个不等式的解集在数轴上的表示如图18-4所示.【点评】解一元一次不等式的步骤类似于解一元一次方程的步骤，不同的是前者利用不等式的性质，后者利用等式的性质.拓展与变式7 解不等式，并求出其正整数解.拓展与变式8 x 取什么值时，式子的值不小于的值.拓展与变式9 已知不等式6（x +1）-4x>3（5x +2）+5，化简：.【点评】熟练掌握解一元一次不等式的解法，同时要注意易错点，如：去分母要注意每一项都要乘以分母的最小公倍数；去括号要注意是否漏乘和变号；系数化为1时若利用不等式的性质3时要注意不等号方向要改变. 2151132x x -+-≤()()2213516x x --+≤421536x x ---≤415623x x -≤++1111x -≤1x ≥-325164x x +->+134x --()3128x ++3113x x +--专题突破1.不等式4-3x ≥2x -6的非负整数解有（ ）.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个·2.已知，用“<”，“>”填空：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） .3.已知关于x 的不等式的解集是，试化简.4.解下列不等式：（1）； （2）.5.若关于x 的不等式的解集是，试求关于x 的不等式的解集.0a b c <<<ac bc 21a m +21b m +21a m --21b m --2a -2b -2ac 2bc ()12a x ->21x a <-12a a -++()21038137y y y ---≤+0.40.90.030.0250.50.032x x x ++-->0mx n ->14x <()n m x m n ->+。

不等式及其性质（基础）知识讲解【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系.2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x 表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．要点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．用不等式表示：(1)x 与-3的和是负数；(2)x 与5的和的28％不大于-6;(3)m 除以4的商加上3至多为5．【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式．【答案与解析】解：(1)x-3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)34m +≤5． 【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x 是非负数，则x≥0；若x 是非正数，则x≤0；若x 大于y ，则有x-y ＞0；若x 小于y ，则有x-y ＜0等．举一反三：【变式】a a +的值一定是（ ）．A.大于零B.小于零C.不大于零D. 不小于零【答案】D.2.下列叙述：①a 是非负数则a≥0；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10＜2； ③“x 的倒数超过10”可表示为1x＞10；④“a ，b 两数的平方和为正数”可表示为a 2+b 2＞0．其中正确的个数是（ ）.A.1个B.2个C.3个D. 4个【答案与解析】①非负数是大于等于零的实数，即a≥0．故①正确；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10≤2；故②错误；③“x 的倒数超过10”就是“③“x 的倒数大于10”，可表示为1x＞10．故③正确； ④“a ，b 两数的平方和为正数”，即“；④“a ，b 两数的平方和大于零”，可表示为a 2+b 2＞0．故④正确．综上所述，正确的说法有3个．故选C ．【总结升华】考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠． 类型二、不等式的基本性质3.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若 b ﹣3a ＜0，则b ＜3a ；（2）如果﹣5x ＞20，那么x ＞﹣4；（3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2；（4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）．（6）若a ＞b ＞0，则＜． ．【答案与解析】解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；（2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；（3）若a＞b，当c=0时则ac2＞bc2错误，故错误；（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确；（5）若a＞b，根据c2+1，则a（c2+1）＞b（c2+1）正确．（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．4.（2020•青浦区一模）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（）A．a2＜b2B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b【思路点拨】根据不等式的性质分析判断．【答案】D.【解析】解：A，a2＜b2，错误，例如：2＞﹣1，则22＞（﹣1）2；B、若a＞b，则2a＞2b，故本选项错误；C、若a＞b，则a+2＞b+2，故本选项错误；D、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项正确.【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．举一反三：【变式】根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞3m”，则m的取值范围是．【答案】m＜0.解：∵将“mx＜3”变形为“x＞3m ”，∴m的取值范围是m＜0．故答案为：m＜0．。