数学北师大版选修4-5学案：第二章§1柯西不等式 含解析 精品

高中数学 柯西不等式教案 选修4-5教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a ba b +>>及几种变式.2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥二、讲授新课：1. 教学柯西不等式：① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则2||m a b =+，2||n c d =+∵ m n ac bd •=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即….. ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？ 222||c d ac bd +≥+ 或222||||c d ac bd +≥+222c d ac bd +≥+.④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）→ 讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d ≥. 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈≥分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2. 作业：教材P 37 4、5题.第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：一、复习准备：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y 的最大值?要点：利用变式22||ac bd c d ++.二、讲授新课：1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y =的最大值？ 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→ 变式：y =→推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值.解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 讨论：其它方法 （数形结合法） 2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥.分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）要点：2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b++≥.3. 练习：① 已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值.要点：()()a bx y x y x y+=++=…. → 其它证法② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=.3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.三、巩固练习：1. 练习：教材P 37 8、9题2. 作业：教材P 37 1、6、7题第三课时 3.2 一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想.教学过程：一、复习准备： 1. 练习：2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式：① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++讨论：什么时候取等号？（当且仅当1212n na a ab b b ===时取等号，假设0i b ≠）联想：设1122n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++，22212n C b b b =+++，则有20B AC -≥，可联想到一些什么？③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？ （注意分类）要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（22212()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则 2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，[]22221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++22212()n b b b +++≤0即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）④ 变式：222212121()n n a a a a a a n++≥++⋅⋅⋅+. （讨论如何证明）2. 教学柯西不等式的应用：① 出示例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值. 分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：② 练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23y zx ++的最小值. ③ 出示例2：若a >b >c ，求证：ca cb b a -≥-+-411. 要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c-+=-+-+≥+=---- 3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：1. 练习：教材P 41 4题2. 作业：教材P 41 5、6题第四课时 3.3 排序不等式教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式. 教学难点：排序不等式的证明思路.教学过程：一、复习准备：1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？ （柯西不等式、三角不等式）2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课：1. 教学排序不等式： ① 看书：P 42~P 44.② 提出排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列,则有1122a b a b ++···+n n a b (同序和)1122a c a c ≥++···+n n a c (乱序和) 121n n a b a b -≥++···+1n a b (反序和)当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和.（要点：理解其思想，记住其形式） 2. 教学排序不等式的应用：① 出示例1：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：32122211112323n a a a a n n +++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+. 分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？ 证明过程：设12,,,n b b b ⋅⋅⋅是12,,,n a a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12n b b b <<⋅⋅⋅<，则121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥.又222111123n>>>⋅⋅⋅>，由排序不等式，得3322112222222323n n a a b b a b a b n n +++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥… 小结：分析目标，构造有序排列. ② 练习：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++.解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++， 两式相加即得.3. 小结：排序不等式的基本形式.三、巩固练习：1. 练习：教材P 45 1题2. 作业：教材P 45 3、4题。

§1柯西不等式1.1简单形式的柯西不等式学习目标 1.认识简单形式的柯西不等式的代数形式和向量形式，理解它们的几何意义.2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式，会求某些特定形式的函数的最值．知识点简单形式的柯西不等式思考1(a2＋b2)(c2＋d2)与4abcd的大小关系如何？那么(a2＋b2)(c2＋d2)与(ac＋bd)2的大小关系又如何？答案(a2＋b2)(c2＋d2)≥4abcd，(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.思考2当且仅当a＝b且c＝d时，(a2＋b2)(c2＋d2)＝4abcd，那么在什么条件下(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2?答案当且仅当ad＝bc时，(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2.思考3若向量α＝(a，b)，向量β＝(c，d)，你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系发现怎样的不等式？答案a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|.梳理(1)简单形式的柯西不等式①定理1：对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立．②简单形式的柯西不等式的推论(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d为非负实数)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |(a ，b ，c ，d ∈R )．以上不等式，当向量(a ，b )与向量(c ，d )共线时，等号成立． (2)柯西不等式的向量形式设α，β是任意两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当向量α，β共线时，等号成立．类型一 利用柯西不等式证明不等式例1 (1)已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：|ax ＋by |≤1；(2)设a ，b ，c 为正数，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2≥2(a ＋b ＋c )． 证明 (1)|ax ＋by |＝(ax ＋by )2≤(a 2＋b 2)·(x 2＋y 2)＝1，当且仅当ay ＝bx 时，等号成立．(2)由柯西不等式，得a 2＋b 2·12＋12≥a ＋b ，即2·a 2＋b 2≥a ＋b .同理，2·b 2＋c 2≥b ＋c ，2·a 2＋c 2≥a ＋c . 将上面三个同向不等式相加，得 2(a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2)≥2(a ＋b ＋c )． ∴当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2≥2(a ＋b ＋c )．反思与感悟 利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，要抓住不等式的基本特征：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，其中a ，b ，c ，d ∈R 或(a ＋b )(c ＋d )≥(ac ＋bd )2，其中a ，b ，c ，d ∈R ＋.找出待证不等式中相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需分析，增补(特别是对数字的增补：如a ＝1×a )，变形等．跟踪训练1 已知a 1，a 2，b 1，b 2∈R ＋，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)·⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2. 证明 ∵a 1，a 2，b 1，b 2∈R ＋，∴(a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2＝[](a 1b 1)2＋(a 2b 2)2·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a 1b 12＋⎝⎛⎭⎫a 2b 22 ≥⎝⎛⎭⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22＝(a 1＋a 2)2.当且仅当a 1b 1·a 2b 2＝a 2b 2·a 1b 1，即b 1＝b 2时，等号成立． ∴(a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2. 例2 若实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＋z 2＝3，求证：|x ＋2y ＋z |≤3. 证明 因为x 2＋4y 2＋z 2＝3，所以由柯西不等式得[x 2＋(2y )2＋z 2](12＋12＋12)≥(x ＋2y ＋z )2⎝⎛当且仅当x 1＝2y 1＝z 1，即x ＝z ＝1，y ＝12⎭⎫或x ＝z ＝－1，y ＝－12时，等号成立.整理得(x ＋2y ＋z )2≤9，即|x ＋2y ＋z |≤3.反思与感悟 (1)抓住柯西不等式的特征“方、和、积”，构造使用柯西不等式的条件． (2)此类题也可以用三角不等式，把△ABO 的三个顶点分别设为O (0,0)，A (x 1，x 2)，B (－y 1，－y 2)即可．跟踪训练2 若a >b >c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c. 证明 ∵a －c ＝(a －b )＋(b －c )， 又a >b >c ，∴a －c >0，a －b >0，b －c >0.∴(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[(a －b )＋(b －c )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c≥(1＋1)2＝4，当且仅当a －b ＝b －c 时，等号成立． ∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c. 类型二 利用柯西不等式求最值例3 若3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2的最小值及最小值点． 解 由柯西不等式，得(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2， 即25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425，当且仅当x 3＝y4时等号成立，点(x ，y )为所求最小值点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4，得⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425，最小值点为⎝⎛⎭⎫625，825. 反思与感悟 利用柯西不等式求最值(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件．(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧．(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．跟踪训练3 已知a ，b ∈R ，且9a 2＋4b 2＝18，求3a ＋2b 的最值． 解 由柯西不等式，得(9a 2＋4b 2)(12＋12)≥(3a ＋2b )2， ∵9a 2＋4b 2＝18， ∴36≥(3a ＋2b )2. ∴|3a ＋2b |≤6.由⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝2b ，9a 2＋4b 2＝18，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－32时等号成立． ∴当a ＝1，b ＝32时，3a ＋2b 有最大值6；当a ＝－1，b ＝－32时，3a ＋2b 有最小值－6.1．已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝4，则3a ＋2b 的最大值为( )A ．4B ．213C ．8D ．9答案 B解析 (a 2＋b 2)(32＋22)≥(3a ＋2b )2，当且仅当3b ＝2a 时取等号，所以(3a ＋2b )2≤4×13.所以3a ＋2b 的最大值为213.2．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3答案 C解析 ∵(a 2＋b 2)(12＋12)≥(a ＋b )2＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，∴a 2＋b 2≥2. 3．设xy ＞0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋4y 2⎝⎛⎭⎫y 2＋1x 2的最小值为________． 答案 9解析 ∵⎝⎛⎭⎫x 2＋4y 2⎝⎛⎭⎫y 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋4y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋y 2≥(1＋2)2＝9， 当且仅当xy ＝2xy ，即xy ＝2时取等号．∴最小值为9.4．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________． 答案5解析 ∵(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(ma ＋nb )2＝25， ∴m 2＋n 2≥5. ∴m 2＋n 2≥5，当且仅当an ＝bm 时取等号．5．已知a 2＋b 2＝1，求证：|a cos θ＋b sin θ|≤1.证明 ∵1＝a 2＋b 2＝(a 2＋b 2)(cos 2θ＋sin 2θ)≥(a cos θ＋b sin θ)2， ∴|a cos θ＋b sin θ|≤1.1．利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，应用时要对照柯西不等式的原形，进行多角度的尝试．2．柯西不等式取等号的条件的记忆方法如(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2等号成立的条件是ad＝bc，可以把a，b，c，d看成等比，则ad＝bc来联想记忆．一、选择题1．已知a，b∈R＋且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是()A．P≤Q B．P＜QC．P≥Q D．P＞Q答案 A解析设m＝(ax，by)，n＝(a，b)，则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n|＝(ax)2＋(by)2·(a)2＋(b)2＝ax2＋by2·a＋b＝ax2＋by2，∴(ax＋by)2≤ax2＋by2.即P≤Q.2．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是()A．[－25，25]B．[－210，210]C．[－10，10]D．(－5，5)答案 A解析(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2，当且仅当a＝－b时，等号成立．∵a2＋b2＝10，∴(a－b)2≤20.∴－25≤a－b≤2 5.3．函数y＝x－5＋26－x的最大值是()A. 3B. 5C．3 D．5答案 B解析根据柯西不等式知，y＝1×x－5＋2×6－x≤12＋22×(x－5)2＋(6－x)2＝5(当且仅当x＝265时取等号)．4．若3x 2＋2y 2≤1，则3x ＋2y 的取值范围是( ) A ．[0，5] B ．[－5，0] C ．[－5，5] D ．[－5,5]答案 C解析 (3x ＋2y )2≤[(3)2＋(2)2][(3x )2＋(2y )2]＝5×(3x 2＋2y 2)≤5， ∴－5≤3x ＋2y ≤ 5.5．已知a ，b ，c ，d ，m ，n ∈R ＋，P ＝ab ＋cd ，Q ＝am ＋cn ·b m ＋dn，则P 与Q 的大小关系为( ) A ．P ≤Q B ．P ＜Q C ．P ≥Q D ．P ＝Q答案 A 解析 ∵P ＝am ·b m＋nc ·d n≤[(am )2＋(cn )2]·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫b m 2＋⎝⎛⎭⎫d n 2 ＝am ＋cn ·b m ＋dn＝Q ， ∴P ≤Q .6．已知a ，b ＞0，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是( ) A ．2 6 B. 6 C ．6 D ．12答案 D 解析 (4a ＋1＋4b ＋1)2＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2]＝2×(4×1＋2)＝12， 当且仅当4b ＋1＝4a ＋1，即a ＝b ＝12时等号成立．二、填空题7．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值为________． 答案11解析 由柯西不等式，得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫122＝(3x 2＋2y 2)·⎝⎛⎭⎫43＋12≤6×116＝11 ⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝411，y ＝311时取等号， 所以2x ＋y ≤11.8．设x ，y ∈R ＋，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎫3x ＋2y 的最小值是________． 答案 5＋2 6解析 (x ＋y )⎝⎛⎭⎫3x ＋2y ≥⎝⎛⎭⎫x ·3x ＋y ·2y 2＝(3＋2)2＝5＋26， 当且仅当x ·2y＝3x·y 时，等号成立． 9．已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋1y ＝1，则2x ＋y 的最小值为________．答案 3＋2 2解析 2x ＋y ＝(2x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝[(2x )2＋(y )2]⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1x 2＋⎝⎛⎭⎫1y 2 ≥⎝⎛⎭⎫2x ·1x ＋y ·1y 2＝3＋22，当且仅当2x ·1y ＝1x ·y 时，等号成立，又1x ＋1y ＝1， 则此时⎩⎨⎧x ＝2＋22，y ＝2＋1.10．已知函数f (x )＝34－x ＋4x －3，则函数f (x )的最大值为________． 答案 5解析 由柯西不等式知， (34－x ＋4x －3)2≤(32＋42)·[(4－x )2＋(x －3)2]＝25.当且仅当3x －3＝44－x 时，等号成立，因此f (x )≤5. 三、解答题11．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2.求证：a 22－a ＋b 22－b≥2.证明 根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ＋b 22－b ＝[(2－a )2＋(2－b )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a ·a 2－a ＋2－b ·b 2－b 2＝(a ＋b )2＝4，∴a 22－a ＋b 22－b ≥4(2－a )＋(2－b )＝2. ∴原不等式成立．12．试求函数f (x )＝3cos x ＋41＋sin 2x 的最大值，并求出相应的sin x 和cos x 的值． 解 设m ＝(3,4)，n ＝(cos x ，1＋sin 2x )，则f (x )＝3cos x ＋41＋sin 2x ＝m ·n ≤|m ||n |＝32＋42·cos 2x ＋1＋sin 2x ＝5 2.当且仅当m ∥n 时，上式取“＝”． 此时31＋sin 2x －4cos x ＝0，解得sin x ＝±75，cos x ＝325.故当sin x ＝±75，cos x ＝325时，f (x )＝3cos x ＋41＋sin 2x 取得最大值5 2.13．已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)．求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2. 证明 由a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)， 及柯西不等式，可得(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(ax 2)2＋(bx 1)2]≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝x 1x 2， 当且仅当ax 1ax 2＝bx 2bx 1，即x 1＝x 2时取得等号． 所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2. 四、探究与拓展14．若a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值为( )A ．1B ．2 C.252 D.72答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＝a 2＋2＋1a 2＋b 2＋2＋1b 2. ∵a ＋b ＝1，∴a 2＋b 2＝12(a 2＋b 2)·(1＋1)≥12(a ＋b )2＝12.又∵1a 2＋1b 2≥2ab ≥8(a ＋b )2＝8，以上两个不等式都是当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥12＋2＋2＋8＝252， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．15．已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[(3)2＋12][(4－t )2＋(t )2]＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.。

第二节 不等式的证明与应用[考纲传真] 1.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.2.能够利用平均值不等式，柯西不等式求一些特定函数的极值.3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法．1．基本不等式定理1：设a ，b ∈R，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．2．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(当且仅当ad ＝bc 时，等号成立)．(2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α或β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β(α，β为非零向量)时，等号成立．(3)柯西不等式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R，则x 1－x 22＋y 1－y 22＋x 2－x 32＋y 2－y 32≥x 1－x 32＋y 1－y 32.(4)柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．3．不等式的证明方法 (1)比较法比较法是证明不等式最基本的方法，可分为求差比较法和求商比较法两种．从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的性质(或已经证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因导果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．(4)放缩法通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)不等式：①x 2＋3＞3x ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③b a ＋a b≥2，其中恒成立的是( )A ．①③B ．②③C ．①②③D ．①②D [由①得x 2＋3－3x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋34＞0，所以x 2＋3＞3x ；对于②，因为a 2＋b 2－2(a －b－1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以不等式成立；对于③，因为当ab ＜0时，b a ＋a b －2＝a －b2ab＜0，即b a ＋ab＜2，故选D ．]3．若a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >c >aD ．c >a >b A [“分子”有理化得a ＝13＋2，b ＝16＋5，c ＝17＋6，∴a >b >c .]4．已知a ＞0，b ＞0且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是________．4 [由题意得，a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．](1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件． [证明] (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd ， 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2. 因此a ＋b ＞c ＋d .(2)①必要性：若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2， 即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd . 由(1)，得a ＋b ＞c ＋d .②充分性：若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因为|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．设x ≥1，y ≥1，求证：x ＋y ＋xy ≤x ＋y＋xy .[证明] 由于x ≥1，y ≥1， 要证x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ，只需证xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.因为[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1]＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )]＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)，因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立．【例2】 若a ，b ∈R，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.[证明] 当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立． 当|a ＋b |≠0时， 由0＜|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |， 所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |＝|a |1＋|a |＋|b |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.kk －k ＋；设n 是正整数，求证：2≤n ＋1＋n ＋2＋ (2)＜1.[证明] 由2n ≥n ＋k ＞n (k ＝1,2，…，n )，得 12n ≤1n ＋k ＜1n.当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n ＜1n，∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜n n ＝1. ∴原不等式成立．【例3】 (2017·江苏高考)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8.[证明] 由柯西不等式，得(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16， 所以(ac ＋bd )2≤64， 因此ac ＋bd ≤8.已知大于1的正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝3 3.求证：x ＋2y ＋3z ＋y ＋2z ＋3x＋z 2z ＋2x ＋3y ≥32. [证明] 由柯西不等式及题意得，x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y·[(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )]≥(x ＋y ＋z )2＝27.又(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )＝6(x ＋y ＋z )＝183，∴x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥27183＝32， 当且仅当x ＝y ＝z ＝3时，等号成立．1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.[证明] (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4. (2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋a ＋b24(a ＋b )＝2＋a ＋b34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2；当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0.因此|a ＋b |＜|1＋ab |.。

第二讲不等式的证明与柯西不等式知识梳理·双基自测知识错误!错误!知识点一综合法从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法．知识点二分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法．知识点三放缩法证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法称为放缩法．知识点四均值不等式定理1:设a、b∈R，则a2＋b2≥__2ab__．当且仅当a＝b时,等号成立．定理2：如果a、b为正数,则错误!≥__错误!__，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则a＋b＋c3≥__当且仅当a＝b＝c时,等号成立．定理4：（一般形式的算术－几何平均不等式）如果a1、a2、…、a n为n个正数，则错误!≥__错误!__，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时,等号成立．知识点五柯西不等式（1）设a、b、c、d均为实数,则(a2＋b2)(c2＋d2)≥（ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．（2）若a i、b i(i∈N＋）为实数，则（错误!a错误!)（错误!b错误!)≥(错误!a ib i）2，当且仅当错误!＝错误!＝…＝错误!（当a i＝0时，约定b i＝0，i＝1,2,…，n）时等号成立．（3)柯西不等式的向量形式：设α、β为平面上的两个向量，则｜α|｜β|≥｜α·β｜,当且仅当α，β共线时等号成立．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)(1）当a≥0,b≥0时,错误!≥错误!．（√)(2）用反证法证明命题“a,b,c全为0"的假设为“a,b,c全不为0"．(×）（3）若实数x，y适合不等式xy＞1，x＋y＞－2，则x＞0,y ＞0．(√)(4)若m＝a＋2b,n＝a＋b2＋1，则n≥m．（√）题组二走进教材2．（理)（P35例改编)(2020·宁夏银川一中月考）已知正数x、y满足x＋y＝1，则错误!＋错误!的最小值为（B）A．2 B．错误!C．错误!D．5（文）(P35例3）已知a，b∈R＋,a＋b＝2，则错误!＋错误!的最小值为（B)A．1 B．2C．4 D．8［解析]（理）∵x＋y＝1，所以x＋(1＋y)＝2,则2错误!＝[x＋(1＋y）］错误!＝错误!＋错误!＋5≥2错误!＋5＝9，所以错误!＋错误!≥错误!，当且仅当错误!,即当错误!时，等号成立,故选B．（文）∵a，b∈R＋，且a＋b＝2，∴错误!＋错误!＝错误!（a＋b）错误!＝错误!错误!≥错误!错误!＝2．(当且仅当a＝b＝1时“＝"成立),∴错误!＋错误!的最小值为2，故选B．3．（P41习题3。

1．2 一般形式的柯西不等式[对应学生用书P35][自主学习]1．一般形式的柯西不等式定理2：设a 1，a 2，…，a n 与b 1，b 2，…，b n 是两组实数，则有：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.当向量(a 1，a 2，…，a n )与向量(b 1，b 2，…，b n )共线时，等号成立． 2．三维形式的柯西不等式定理2推论：设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3是两组实数，则有(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2当向量(a 1，a 2，a 3)与向量(b 1，b 2，b 3)共线时，等号成立．[合作探究]1．类比二维形式的柯西不等式的向量式你能写出一般形式的柯西不等式的向量式吗？ 提示：设α＝(a 1，a 2，…，a n )，β＝(b 1，b 2，…，b n )， 则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α，β共线时等号成立．2．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件，记为a i ＝kb i (i ＝1,2,3，…，n )，可以吗？ 提示：不可以，若b i ＝0，而a i ≠0，则k 不存在．[对应学生用书P36][例1] 设a ，b ，c 为正数，求证：a b ＋b c ＋c a≥a ＋b ＋c .[思路点拨] 本题考查柯西不等式在证明不等式中的应用，考查不等式的性质及推理论证能力、代数式的变形求解能力．解答此题，需要构造两组实数，满足柯西不等式的结构特征是关键．[精解详析] 由柯西不等式得⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a b 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎫c a 2[(b )2＋(c )2＋(a )2]≥⎝⎛⎭⎫a b ·b ＋b c ·c ＋c a ·a 2.于是⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b 2c ＋c 2a (a ＋b ＋c )≥(a ＋b ＋c )2， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .利用柯西不等式证明不等式的关键是根据待证不等式的结构特征，对其进行代数式的恒等变形，通过“拆分”“拼”“合”等构造两组实数，使其满足柯西不等式的结构后证明之．结合本例证明过程和结果，求证：对实数a 1a 2，…，a n ，和正实数b 1，b 2，…b n . 有：a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2nb n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n )2b 1＋b 2＋…＋b n.证明：⎝⎛⎭⎫a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2nb n (b 1＋b 2＋…＋b n ) ≥⎝⎛⎭⎫a 1b 1·b 1＋a 2b 2·b 2＋…＋a n b n ·b n 2 ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2.∵b 1，b 2，…，b n 为正实数，∴b 1＋b 2＋…＋b n >0.∴a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2nb n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n )2b 1＋b 2＋…＋b n.1．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a ⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c ≥9. 证明：由柯西不等式，知 左边＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a b 2＋⎝⎛⎭⎫ b c 2＋⎝⎛⎭⎫ c a 2× ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫ b a 2＋⎝⎛⎭⎫ c b 2＋⎝⎛⎭⎫ a c 2 ≥⎝⎛⎭⎫b a× a b＋ b c × c b＋ c a× a c 2＝(1＋1＋1)2＝9. ∴原不等式成立.[例2] 已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值． [思路点拨] 本题考查柯西不等式等基础知识，考查变形求解能力．解答此题利用x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，构造柯西不等式，再利用公式得出取值范围，从而求得最小值．[精解详析](x 2＋2y 2＋3z 2)⎣⎡⎦⎤32＋(2)2＋⎝⎛⎭⎫132≥⎝⎛⎭⎫3x ＋2y ·2＋3z ·132＝(3x ＋2y ＋z )2，∴(3x ＋2y ＋z )2≤(x 2＋2y 2＋3z 2)·⎣⎡⎦⎤32＋(2)2＋⎝⎛⎭⎫132＝12， ∴－23≤3x ＋2y ＋z ≤23， 当且仅当x 2＝9y 2＝81z 2，即x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时取“＝”．∴3x ＋2y ＋z 的最小值为－2 3.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．2．设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数u ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值． 解：根据柯西不等式120＝3[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]≥(1×2x ＋1＋1×3y ＋4＋1×5z ＋6)2， 故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230. 当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6，即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立，此时u max ＝230.考查一般柯西不等式在最值中的应用，是高考及模拟对本课时内容的常规考法，近几年各省市的模拟题多次出现应用柯西不等式求最值的应用题，将是今后高考对本内容的一个考查方向．[考题印证]等腰直角三角形AOB 的直角边长为1.如图所示，在此三角形中任取点P ，过P 分别引三边的平行线，与各边围成以P 为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时P 的位置．[命题立意]本题考查柯西不等式在解决实际问题中的应用，考查应用所学知识分析解决实际问题的能力．[自主尝试]分别取OA ，OB 为x 轴、y 轴，则AB 的方程为x ＋y ＝1，记P 点坐标为P (x p ，y p )，则以P 为公共顶点的三个三角形的面积和S 为S ＝12x 2p ＋12y 2p ＋12(1－x p －y p )2， 2S ＝x 2p ＋y 2p ＋(1－x p －y p )2.由柯西不等式，得[x 2p ＋y 2p ＋(1－x p －y p )2](12＋12＋12)≥[x p ＋y p ＋(1－x p －y p )]2，即2S ×3＝6S ≥1，所以S ≥16.当且仅当x p 1＝y p 1＝1－x p －y p1时，等号成立，即x p ＝y p ＝13时，面积S 最小，且最小值为S min ＝16.[对应学生用书P37]一、选择题1．已知w 2＋x 2＋y 2＋z 2＋F 2＝16，则F ＝8－w －x －y －z 的最大值为( ) A ．－165B. 5C.165D.455解析：|F －8|＝|w ＋x ＋y ＋z |≤4x 2＋y 2＋z 2＋w 2＝216－F 2，两边平方后得：0≤F ≤165.答案：C2．设实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，且a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，则e 的最大值是( )A.165B.516 C ．5D ．16解析：由已知，得a ＋b ＋c ＋d ＝8－e ，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝16－e 2，所以(8－e )2＝(a ＋b ＋c ＋d )2≤(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)(12＋12＋12＋12)＝4(16－e 2)， 当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝2或65时等号成立．化简得5e 2－16e ≤0⇒0≤e ≤165，所以e max ＝165. 答案：A3．设a 1，a 2，…，a n 为正实数，P ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，Q ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，则P ，Q 间的大小关系为( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q解析：∵(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a2＋…＋1a n≥2(111)n ⋯＋＋＋个＝n 2，∴a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n.即P ≥Q . 答案：B4．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z ＝( )A.14B.13C.12D.34解析：由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.答案：C 二、填空题5．已知(x －1)2＋(y －2)2＝4，则3x ＋4y 的最大值为________．解析：根据柯西不等式得[](x －1)2＋(y －2)2(32＋42)≥[3(x －1)＋4(y －2)]2＝(3x ＋4y －11)2，∴(3x ＋4y －11)2≤100. 可得3x ＋4y ≤21，当且仅当x －13＝y －24＝25时取等号．答案：216．设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝________.解析：由柯西不等式，得25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302. 当且仅当a x ＝b y ＝cz ＝k 时取“＝”，由k 2(x 2＋y 2＋z 2)2＝25×36，解得k ＝56所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z＝k ＝56.答案：567．(湖南高考)设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________. 解析：根据柯西不等式可得，(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2＝14，所以要取到等号，必须满足x 1＝y 2＝z 3，结合x ＋2y ＋3z ＝14，可得x ＋y ＋z ＝3 147.答案：3 1478．边长为a ，b ，c 的三角形，其面积为14，外接圆半径为1，若S ＝a ＋b ＋c ，t ＝1a ＋1b ＋1c，则S 与t 的大小关系是________． 解析：S △＝abc 4R ＝abc 4＝14，即abc ＝1，所以t ＝ab ＋bc ＋ca ，则t 2＝(ab ＋bc ＋ca )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥(a ＋b ＋c )2＝S 2， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立． 又因为a ，b ，c ＞0， 所以S ≤t . 答案：S ≤t 三、解答题9．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 是正数， 求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9. 证明：左边＝[2(a ＋b ＋c )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a )＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a≥(1＋1＋1)2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号，∴2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9.10．设x ，y ，z ∈R ，且(x －1)216＋(y ＋2)25＋(z －3)24＝1.求x ＋y ＋z 的最大值和最小值． 解：根据柯西不等式，知[42＋(5)2＋22]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫x －142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋252＋⎝⎛⎭⎫z －322≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4·x －14＋5·y ＋25＋2·z －322，当且仅当x －116＝y ＋25＝z －34，即x ＝215，y ＝－1，z ＝195或x ＝－115，y ＝－3，z ＝115时等号成立．∴25×1≥(x ＋y ＋z －2)2. ∴|x ＋y ＋z －2|≤5， ∴－3≤x ＋y ＋z ≤7，即x ＋y ＋z 的最大值为7，最小值为－3.11．已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围．解：1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x ≤12xy ＋12yz ＋12zx＝12⎝⎛⎭⎪⎫1× zx ＋y ＋z＋1×xx ＋y ＋z＋1×y x ＋y ＋z≤12⎣⎡⎦⎤(12＋12＋12)⎝⎛⎭⎫z x ＋y ＋z ＋x x ＋y ＋z ＋y x ＋y ＋z 12 ＝32. 故λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞.。