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第4章因式分解一．选择题（共8小题）1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4B．ab+ac+d＝a（b+c）+dC．x2﹣9＝（x﹣3）2D．a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）2．多项式：①16x2﹣8x；②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4；③（x+1）4﹣4x（x+1）2+4x2；④﹣4x2﹣1+4x分解因式后，结果中含有相同因式的是（）A．①和②B．③和④C．①和④D．②和③3．如果a﹣b＝4，ab＝6，那么ab2﹣a2b的值是（）A．﹣24B．﹣10C．24D．24．下列多项式能用完全平方公式分解的是（）A．x2﹣2x﹣B．（a+b）（a﹣b）﹣4abC．a2+ab+D．y2+2y﹣15．若x2+mx+9＝（x﹣3）2，则m＝（）A．6B．﹣6C．3D．﹣36．下列各式能用平方差公式计算的是（）A．（x﹣0.2）（0.2﹣x）B．（﹣2x﹣5）（5﹣2x）C．（3x﹣1）（2x+1）D．（﹣2x﹣5）（2x+5）7．983﹣98不能被下列哪些正整数整除（）A．97B．98C．99D．1008．已知x2+kx+4可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（）A．﹣4B．2C．4D．±4二．填空题（共8小题）9．若关于x的多项式ax3+bx2﹣2的一个因式是x2+3x﹣1，则a+b的值为．10．若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为．11．如果关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能因式分解，那么m的值可以是．（填出符合条件的一个值）12．在实数范围内分解因式﹣4+x4的结果是．13．利用几何图形可以得到一些相关的代数关系式，请根据右图分解因式：2a2+5ab+2b2＝．14．a与b互为相反数，则a3+2a2b+ab2＝．15．已知x2﹣3x﹣1＝0，则多项式x3﹣x2﹣7x+5的值为．16．在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如x4﹣y4＝（x ﹣y）（x+y）（x2+y2），当x＝9，y＝9时，x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，则密码018162．对于多项式9y3﹣x2y，取x＝10，y＝10，用上述方法产生密码是．（写出一个即可）三．解答题（共5小题）17．将下列各式分解因式：（1）（p﹣4）（p+1）+3p；（2）4xy2﹣4x2y﹣y318．已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．（1）求ab2﹣a2b的值；（2）求a2+b2的值；（3）已知a+b＝k2﹣2，求非负数k的值．19．请仔细阅读下面某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程，然后回答问题：解：令x2﹣4x+2＝y，则：原式＝y（y+4）+4（第一步）＝y2+4y+4（第二步）＝（y+2）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的；A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）另外一名同学发现第四步因式分解的结果不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果；（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．20．1637年笛卡儿（R．Descartes，1596﹣1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：分解因式：x3+2x2﹣3．观察知，显然x＝1时，原式＝0，因此原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积．令：x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+bx+c），而（x﹣1）（x2+bx+c）＝x3+（b ﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c，因等式两边x同次幂的系数相等，则有：，得，从而x3+2x2﹣3＝0．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）若x+1是多项式x3+ax+1的因式，求a的值并将多项式x3+ax+1分解因式．（2）若多项式3x4+ax3+bx﹣34含有因式x+1及x﹣2，求a，b的值．21．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2＝（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片，如图C：①若要拼出一个面积为（3a+b）（a+2b）的矩形，则需要1号卡片张，2号卡片张，3号卡片张；②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为6a2+7ab+2b2，并利用你画的图形面积对6a2+7ab+2b2进行因式分解．参考答案一．选择题（共8小题）1．D．2．C．3．A．4．C．5．B．6．B．7．D．8．D．二．填空题（共8小题）9．26．10．13或﹣11．11．5（答案不唯一）．12．（x2+2）（x+）（x﹣）．13．2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b）．14．0．15．7．16．104020．三．解答题（共5小题）17．解：（1）（p﹣4）（p+1）+3p＝p2﹣3p﹣4+3p＝p2﹣4＝（p+2）（p﹣2）；（3）4xy2﹣4x2y﹣y3＝﹣y（4x2﹣4xy+y2）＝﹣y（2x﹣y）2．18．解：（1）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，∴ab2﹣a2b＝﹣ab（a﹣b）＝﹣（﹣12）×7＝84；（2）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，∴（a﹣b）2＝49，∴a2+b2﹣2ab＝49，∴a2+b2﹣2×（﹣12）＝49，∴a2+b2＝25；（3）∵a2+b2＝25，∴（a+b）2＝25+2ab＝25﹣24＝1，∴a+b＝±1，∵a+b＝k2﹣2，∴k2﹣2＝1或k2﹣2＝﹣1，∴k2＝3或k2＝1，∴k＝±或k＝±1，∵k是非负数，∴k＝或k＝1．19．解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；故答案为：C；（2）x2﹣4x+4还可以分解，分解不彻底；（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4．故答案为：（x﹣2）4．（3）设x2﹣2x＝y．（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1，＝y（y+2）+1，＝y2+2y+1，＝（y+1）2，＝（x2﹣2x+1）2，＝（x﹣1）4．20．解：（1）令x3+ax+1＝（x+1）（x2+bx+c），而（x+1）（x2+bx+c）＝x3+（b+1）x2+（c+b）x+c，∵等式两边x同次幂的系数相等，即x3+（b+1）x2+（c+b）x+c＝x3+ax+1∴解得∴a的值为0，x3+1＝（x+1）（x2﹣x+1）（2）（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2令3x4+ax3+bx﹣34＝（x2﹣x﹣2）（3x2+cx+d），而（x2﹣x﹣2）（3x2+cx+d）＝3x4+（c﹣3）x3+（d﹣c﹣6）x2﹣（2c+d）x﹣2d，∵等式两边x同次幂的系数相等，即3x4+（c﹣3）x3+（d﹣c﹣6）x2﹣（2c+d）x﹣2d＝3x4+ax3+bx﹣34∴解得答：a、b的值分别为8、﹣39．21．解：（1）由图形面积可得：（2n）2＝4n2；故答案为（2n）2＝4n2；（2）①∵（3a+b）（a+2b）＝3a2+7ab+2b2，∴需要1号考3张，2号卡片2张，3号卡片7张，故答案为3，2，7；②图形是一个两边长分别为（2a+b）和（3a+2b）的长方形；∴6a2+7ab+2b2＝（2a+b）（3a+2b）．。
第四章 因式分解一、单选题1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．a(x －y)＝ax －ayB ．x 2+2x+1＝x(x+2)+1C ．(x+1)(x+3)＝x 2+4x+3D ．x 3－x ＝x(x+1)(x －1)2．把多项式x 2 +ax+b 分解因式，得（x -3）(x+1)，则（ ）A ．a=-2,b=-3B ．a=2,b=3C ．a=-2.b=3D ．a= 2,b=-33．多项式481x -和269x x -+的公因式是（ ）A ．3x +B ．3x -C ．()23x +D ．()23x - 4．四个长宽分别为a ，b 的小长方形（白色的）按如图所示的方式放置，形成了一个长、宽分别为m 、n 的大长方形，则下列各式不能表示图中阴影部分的面积是（ ）A ．4mn ab -B ．2mn ab am --C ．24an bn ab +-D ．22a ab am mn --+ 5．把多项式 x 3－9x 分解因式所得的结果是（ ）A ．x （x 2－9）B ．x （x+9）（x －9）C ．x （x+3）（x －3）D ．（x+3）（x －3） 6．已知实数a 、b 满足等式x=a 2+b 2+20，y =a(2b －a )，则x 、y 的大小关系是（ ）． A ．x ≤ y B ．x ≥ y C ．x < y D ．x > y7．将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )A ．a 2-1B ．a 2+aC ．a 2+a -2D ．(a+2)2-2(a+2)+18．小意是一位密码翻译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：-a b ，22x y -，x y -，x y +，22a b -，+a b 分别对应下列六个字：泗、我、大、美、爱、水，现将()()222222x y a x y b ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A ．我爱美B ．我爱水C ．我爱泗水D ．大美泗水 9．若△ABC 的边长为 a 、b 、c ，且满足 a 2+b 2+c 2＝ab+bc+ca ，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．任意三角形 D ．不能确定 10．如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形，根据图形中阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a ，b 的恒等式为( )A ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)B ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2C ．(a －b)2＝(a ＋b)2－4abD ．a 2＋ab ＝a(a ＋b)二、填空题11．多项式-24ax a 与多项式244x x -+的公因式是______________．12．如果1x y +=-，3x y -=-,那么22x y -=__________．13．已知12x y -+是2244xy x y k ---的一个因式，则常数k 的值是_____________ 14．在数学活动课上，老师说有人根据如下的证明过程，得到“1＝2”的结论．设a 、b 为正数，且a ＝b ．△a ＝b ，△ab ＝b 2．△△ab ﹣a 2＝b 2﹣a 2．△△a （b ﹣a ）＝（b +a ）（b ﹣a ）．△△a ＝b +a ．△△a ＝2a ．△△1＝2．△大家经过认真讨论，发现上述证明过程中从某一步开始出现错误，这一步是_____（填入编号），造成错误的原因是_____三、解答题15．把下列各式分解因式：（1）36ax ay -；（2）2(1)(1)m n n -+-16．已知x +y =7，xy =6．试求：（1）x −y 的值；（2）x 3y +xy 3的值．17．阅读下列材料，并解答相应问题：对于二次三项式222x ax a ++这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成2()x a +的形式，但是对于二次三项式22x ax +-23a ，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式2223x ax a +-，就不能直接运用完全平方公式了，我们可以在二次三项式2223x ax a +-中先加上一项2a ，配出一个完全平方式，再减去2a 这一项，使整个式子的值不变，于是有：2222222323x ax a x ax a a a +-=++--22()(2)x a a =+-(2)(2)x a a x a a =+++-(3)()x a x a =+-．这样的方法叫做“配方法”．利用“配方法”解决下列问题：（1）分解因式：268a a -+；（2）当2222210x xy y y -+-+=时，求xy 的值．18．我们知道对于二次三项式x 2+2ax+a 2这样的完全平方式可以用公式法将它们分解成（x+a ）2的形式，但是，对于二次三项式x 2+4ax+3a 2，就不能直接用完全平方公式因式分解，可以采用如下方法：x 2+4ax+3a 2=x 2+4ax+4a 2-a 2△=（x+2a ）2-a 2△=（x+3a ）（x+a ）△（1）在第△步中，将“+3a 2”改写成“+4a 2-a 2”，获得的式子“x 2+4ax+4a 2”叫______； （2）从第△步到第△步，运用的数学公式是______；（3）用上述方法把a 2-8a+15分解因式．19．阅读材料对式子223x x +-可以变化如下：原式2222113(21)4(1)4x x x x x =++--=++-=+-此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方．请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题：（1）分解因式：243x x -+；（2）无论x 取何值，代数式222019x x -+总有一个最小值，请尝试用配方求出它的最小值．。
第4章因式分解一．选择题（共8小题）1．在下列分解因式的过程中，分解因式正确的是（）A．﹣xz+yz＝﹣z（x+y）B．3a2b﹣2ab2+ab＝ab（3a﹣2b）C．6xy2﹣8y3＝2y2（3x﹣4y）D．x2+3x﹣4＝（x+2）（x﹣2）+3x2．多项式8x m y n﹣1﹣12x3m y n的公因式是（）A．x m y n B．x m y n﹣1C．4x m y n D．4x m y n﹣13．下列多项式中，含有因式（y+1）的多项式是（）A．y2﹣2xy﹣3x2B．（y+1）2﹣（y﹣1）2C．（y+1）2﹣（y2﹣1）D．（y+1）2+2（y+1）+14．若a+b＝6，ab＝3，则3a2b+3ab2的值是（）A．9B．27C．19D．545．下列各式可以用平方差公式的是（）A．（﹣a+4c）（a﹣4c）B．（x﹣2y）（2x+y）C．（﹣3a﹣1）（1﹣3a）D．6．下列分解因式错误的是（）A．15a2+5a＝5a（3a+1）B．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y）C．ax+x+ay+y＝（a+1）（x+y）D．a2﹣bc﹣ab+ac＝（a﹣b）（a+c）7．把多项式ab﹣1+a﹣b因式分解的结果是（）A．（a+1）（b+1）B．（a﹣1）（b﹣1）C．（a+1）（b﹣1）D．（a﹣1）（b+1）8．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（）A．1B．4C．11D．12二．填空题（共7小题）9．将x n﹣y n分解因式的结果为（x2+y2）（x+y）（x﹣y），则n的值为．10．多项式9abc﹣6a2b2+12abc2各项的公因式是．11．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b＝．12．若x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为．13．已知m，n为实数，等式x2+x+m＝（x﹣3）（x+n）恒成立，则m＝．14．为保证数据安全，通常会将数据经过加密的方式进行保存，例如：将一个多项式a3﹣a 因式分解为a（a﹣1）（a+1），当a＝20时，a﹣1＝19，a+1＝21，将得到的三个数字按照从小到大的顺序排列得到加密数据：192021，根据上述方法．当x＝15时，多项式16x3﹣9x分解因式后形成的加密数据是．15．设a＝8582﹣1，b＝8562+1713，c＝14292﹣11422，则数a，b，c按从小到大的顺序排列，结果是＜＜．三．解答题（共6小题）16．分解因式：（1）a4﹣16；（2）x2﹣2xy+y2﹣9．17．已知：a+b＝3，ab＝2，求下列各式的值：（1）a2b+ab2；（2）a2+b2．18．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式．19．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b），则：2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b比较系数得，解得，∴解法二：设2x3﹣x2+m＝A•（2x+1）（A为整式）由于上式为恒等式，为方便计算了取，2×＝0，故．（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．20．对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a 代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．21．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；（2）已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．参考答案一．选择题（共8小题）1．C．2．D．3．C．4．D．5．C．6．B．7．D．8．C．二．填空题（共7小题）9．4．10．3ab．11．15．12．﹣2或8．13．﹣1214．15576315．b、a、c．三．解答题（共6小题）16．解：（1）a4﹣16＝（a2）2﹣42，＝（a2﹣4）（a2+4），＝（a2+4）（a+2）（a﹣2）；（2）x2﹣2xy+y2﹣9，＝（x2﹣2xy+y2）﹣9，＝（x﹣y）2﹣32，＝（x﹣y﹣3）（x﹣y+3）．17．解：（1）a2b+ab2＝ab（a+b）＝2×3＝6；（2）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，＝32﹣2×2，＝5．18．解：设原多项式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0）．∵2（x﹣1）（x﹣9）＝2（x2﹣10x+9）＝2x2﹣20x+18，∴a＝2，c＝18；又∵2（x﹣2）（x﹣4）＝2（x2﹣6x+8）＝2x2﹣12x+16，∴b＝﹣12．∴原多项式为2x2﹣12x+18，将它分解因式，得2x2﹣12x+18＝2（x2﹣6x+9）＝2（x﹣3）2．19．解：设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），取x＝1，得1+m+n﹣16＝0①，取x＝2，得16+8m+2n﹣16＝0②，由①、②解得m＝﹣5，n＝20．20．解：（1）在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），中，分别令x＝0，x＝1，即可求出：m＝﹣3，n＝﹣5（2）把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，（7分）用上述方法可求得：a＝4，b＝4，（8分）所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4），（9分）＝（x+1）（x+2）2．（10分）21．解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1＝0，∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）＝0，∴（x+y）2+（y+1）2＝0，∴x+y＝0，y+1＝0，解得，x＝1，y＝﹣1，∴2x+y＝2×1+（﹣1）＝1；（2）∵a﹣b＝4，∴a＝b+4，∴将a＝b+4代入ab+c2﹣6c+13＝0，得b2+4b+c2﹣6c+13＝0，∴（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，∴（b+2）2+（c﹣3）2＝0，∴b+2＝0，c﹣3＝0，解得，b＝﹣2，c＝3，∴a＝b+4＝﹣2+4＝2，∴a+b+c＝2﹣2+3＝3．。
章节测试题1.【答题】把x2y－y分解因式，正确的是（）A. y（x2－1）B. y（x+1）C. y（x－1）D. y（x+1）（x－1）【答案】D【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】解：原式选D.2.【答题】已知a-b=3，则的值是（）A. 4B. 6C. 9D. 12【答案】C【分析】先分解因式，再代入求值即可.【解答】∵a-b=3，∴=(a+b)(a-b)-6b=(a+b)(a-b)-6b=3(a+b) -6b=3a+3b-6b=3(a-b)=3×3=9.选C.3.【答题】下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（）A. -x2-2x-1B. x2-2x-1C. x2+xy+y2D. x2+4【答案】A【分析】能用完全平方公式分解因式的式子的特点是：有三项，其中两个平方项的符号必须相同，第三项为两平方项底数乘积的2倍．【解答】解：A、－x2－2x－1＝－(x2＋2x＋1)＝－(x＋1)2，能用完全平方公式分解因式，故此选项正确；B、x2－2x－1不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特点，故此选项错误；C、x2＋xy＋y2不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特点，故此选项错误；D、x2＋4不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特点，故此选项错误．选A.4.【答题】下列多项式中，在有理数范围内能够分解因式的是（）A. ﹣5B. +5x+3C. 0.25﹣16D. +9【答案】C【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】解：0.25x2－16y2＝(0.5x)2－(4y)2＝(0.5x＋4y)( 0.5x－4y)，所以在有理数范围内能够分解因式的是C，选C.5.【答题】把多项式x3-2x2+x分解因式结果正确的是（）A. x（x2-2x）B. x2（x-2）C. x（x+1）（x-1）D. x（x-1）2【答案】D【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】解：x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2选D.6.【答题】下列分解因式正确的是（）A. x3﹣x=x（x2﹣1）B. x2+y2=（x+y）（x﹣y）C. （a+4）（a﹣4）=a2﹣16D. m2+m+=（m+）2【答案】D【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】解：A、x3﹣x＝x(x＋1)(x－1)，故此选项错误；B、x2＋y2不能够进行因式分解，故错选项错误；C、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项错误；D、正确．选D.7.【答题】把代数式x3﹣4x2+4x分解因式，结果正确的是（）A. x（x2﹣4x+4）B. x（x﹣4）2C. x（x+2）（x﹣2）D. x（x﹣2）2【答案】D【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】原式=x（x2﹣4x+4）=x（x﹣2）2，选D.8.【答题】下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A. 16x2＋1B. x2＋2x－1C. a2＋2ab＋4b2D. x2－x＋【答案】D【分析】根据完全平方公式因式分解.【解答】解： A. 16x2＋1只有两项，不能用完全平方公式分解；B. x2＋2x-1，不能用完全平方公式分解；C. a2＋2ab＋4b2，不能用完全平方公式分解；D. x2－x＋=，能用完全平方公式分解．选D.9.【答题】分解因式结果正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】解：选D.10.【答题】把代数式3x3-12x2+12x分解因式,结果正确的是（）A. 3x(x2-4x+4)B. 3x(x-4)2C. 3x(x+2)(x-2)D. 3x(x-2)2【答案】D【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】3x3-12x2+12x=3x(x2-4x+4)=3x(x-2)2选D.11.【答题】2 0152-2 015一定能被（）整除A. 2 010B. 2 012C. 2 013D. 2 014【答案】D【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】解析：2 0152-2 015=2 015×（2 015-1）=2 015×2 014，所以一定能被2 014整除.选D.12.【答题】下列因式分解正确的是（）．A.B.C.D.【答案】C【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】A选项中，因为，所以本选项分解错误；B选项中，因为，所以本选项错误；C选项中，因为，所以本选项正确；D选项中，因为，所以本选项错误；选C.13.【答题】把2x-4x分解因式，结果正确的是（）A. (x+2)(x-2)B. 2x(x-2)C. 2(x-2x)D. x(2x-4)【答案】B【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】2x2-4x=2(x2-2x)=2x(x-2).选B.14.【答题】计算：2-(-2) 的结果是（）A. 2B. 3×2C. -2D. ()【答案】B【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】22014-(-2)2015=22014+22015=22014(1+2)=3×22014.选B.15.【答题】下列多项式① x²+xy-y²② -x²+2xy-y²③ xy+x²+y²④1-x+ x其中能用完全平方公式分解因式的是（）A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④【答案】D【分析】根据完全平方公式分解因式.【解答】①③均不能用完全平方公式分解；②－x2＋2xy－y2＝－(x2－2xy＋y2）＝－（x－y)2，能用完全平方公式分解，正确；④1－x＋＝（x2－4x＋4）＝（x－2）2，能用完全平方公式分解.选D.16.【答题】下列各式是完全平方公式的是（）A. 16x²-4xy+y²B. m²+mn+n²C. 9a²-24ab+16b²D. c²+2cd+c²【答案】C【分析】根据完全平方式解答即可.【解答】A.16x²-4xy+y²，不能分解成两个因式的乘积，故本选项错误；B.m²+mn+n²不能分解成两个因式的乘积，故本选项错误；C.9a²-24ab+16b²=(3a-4b)2，故本选项正确；D.c²+2cd+c²不能分解成两个因式的乘积，故本选项错误.选C.17.【答题】下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A.B.C.D.【答案】C【分析】根据平方差公式分解因式解答即可.【解答】平方差公式为：a2－b2=（a+b）（a－b），C选项-x2+4y2= -（x2－4y2）= -（x+2y）（x－2y）.方法总结：平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）.18.【答题】一次数学课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题．你认为小明做得不够完整的一题是（）A. 4x2－4x＋1＝(2x－1)2B. x3－x＝x(x2－1)C. x2y－xy2＝xy(x－y)D. x2－y2＝(x＋y)(x－y)【答案】B【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】B选项中，(x2－1)仍能继续运用平方差公式，最后结果应为x（x+1）（x-1）；选B.19.【答题】把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是（）A. 2a(4a2－4a＋1)B. 8a2(a－1)C. 2a(2a＋1)2D. 2a(2a－1)2【答案】D【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】8a3－8a2＋2a=2a(4a2-4a+1)=2a(2a－1)2.选D.20.【答题】下列各式不能用公式法分解因式的是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】选项A能用平方差公式分解因式；选项C、D能用完全平方公式因式分解；选项B不能因式分解，选B.。
第4章因式分解一．选择题（共5小题）1．若多项式x2+bx+c因式分解后的一个因式是（x+1），则b﹣c的值是（）A．﹣1 B．1 C．0 D．﹣22．把多项式a2﹣4a分解因式的正确结果是（）A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣43．下列式子中，属于2x3+x2﹣13x+6的因式是（）A．x+2 B．x﹣3 C．2x﹣1 D．2x+14．下多项式中，在实数范围内能分解因式的是（）A．x2﹣x+1 B．x2﹣2x+2 C．x2﹣3x+3 D．x2﹣5x+5．5．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（）A．﹣1 B．﹣1或﹣11 C．1 D．1或11二．填空题（共5小题）6．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣3，则3m﹣n的值为．7．若对于一切实数x，等式x2﹣px+q＝（x+1）（x﹣2）均成立，则p2﹣4q的值是．8．已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x2﹣6x＝；则2x3﹣7x2+4x﹣2019＝．9．定义一种运算：〈a，b〉＝ab+2a+3b，例如：〈﹣2，1〉＝﹣2﹣4+3＝﹣3．则〈a，b〉+6要进行因式分解的结果为；如果x，y都是整数，且〈x，y〉＝1，那么x+y的值为．10．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x ＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是（写出一个即可）．三．解答题（共7小题）11．把下列各式因式分解：（1）8x2yz﹣4xy（2）（x2+4）2﹣16x2．12．因为x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），这说明多项式x2+2x﹣3有一个因式为x﹣1，我们把x＝1代入此多项式发现x＝1能使多项式x2+2x﹣3的值为0．利用上述阅读材料求解：（1）若x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式，求k的值；（2）若（x﹣3）和（x﹣4）是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m，n的值．（3）在（2）的条件下，把多项式x3+mx2+12x+n因式分解．13．先阅读材料，再回答问题：分解因式：（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1解：设a﹣b＝M，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2再将a﹣b＝M还原，得到：原式＝（a﹣b﹣1）2上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题：（1）分解因式：（x+y）（x+y﹣4）+4（2）若a为正整数，则（a﹣1）（a﹣2）（a﹣3）（a﹣4）+1为整数的平方，试说明理由．14．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x ﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．15．阅读题：分解因式：x2+2x﹣3解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法．此题为用配方法分解因式．请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：4a2+4a﹣1．16．阅读理解应用待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解：x3﹣1．因为x3﹣1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多顶式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a ﹣1＝0，b﹣a＝0，﹣b＝﹣1可以求出a＝1，b＝1．所以x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．（1）若x取任意值，等式x2+2x+3＝x2+（3﹣a）x+s恒成立，则a＝；（2）已知多项式x3+2x+3有因式x+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式；（3）请判断多项式x4+x2+1是否能分解成的两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．17．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为；（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．【分析】根据多项式x2+bx+c因式分解后的一个因式是（x+1），即可得到当x+1＝0，即x＝﹣1时，x2+bx+c＝0，即1﹣b+c＝0，即可得到b﹣c的值．【解答】解：∵多项式x2+bx+c因式分解后的一个因式是（x+1），∴当x+1＝0，即x＝﹣1时，x2+bx+c＝0，即1﹣b+c＝0，∴b﹣c＝1，故选：B．2．【分析】根据提公因式法的分解方法分解即可．【解答】解：a2﹣4a＝a（a﹣4）．故选：A．3．【分析】将2x3+x2﹣13x+6利用分组分解法分解因式，注意首先拆项可得：2x3+x2﹣10x ﹣3x+6，然后将前三项作为一组，后两项作为一组分解即可求得答案．【解答】解：∵2x3+x2﹣13x+6＝2x3+x2﹣10x﹣3x+6＝x（2x2+x﹣10）﹣3（x﹣2）＝x（2x+5）（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝（x﹣2）（2x2+5x﹣3）＝（x﹣2）（2x﹣1）（x+3），∴2x3+x2﹣13x+6的因式是：（x﹣2），（2x﹣1），（x+3）．故选：C．4．【分析】求出各项中根的判别式的值，根的判别式的值大于等于0即为在实数范围内能分解因式．【解答】解：A、∵a＝1，b＝﹣1，c＝1，∴△＝1﹣4＝﹣3＜0，本选项不合题意；B、∵a＝1，b＝﹣2，c＝2，∴△＝4﹣8＝﹣4＜0，本选项不合题意；C、∵a＝1，b＝﹣3，c＝3，∴△＝9﹣12＝﹣3＜0，本选项不合题意；D、∵a＝1，b＝﹣5，c＝5，∴△＝25﹣20＝5＞0，本选项符合题意；故选：D．5．【分析】根据因式分解的分组分解法即可求解．【解答】解：a2﹣ab﹣ac+bc＝11（a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）＝11a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝11（a﹣b）（a﹣c）＝11∵a＞b，∴a﹣b＞0，a，b，c是正整数，∴a﹣b＝1或11，a﹣c＝11或1．故选：D．二．填空题（共5小题）6．【分析】设另一个因式为x+a，（x+a）（x﹣3）＝x2+（﹣3+a）x﹣3a，根据题意得出﹣m＝﹣3+a，n＝﹣3a，求出m、n后代入即可．【解答】解：设另一个因式为x+a，则（x+a）（x﹣3）＝x2+（﹣3+a）x﹣3a，∴﹣m＝﹣3+a，n＝﹣3a，∴m＝3﹣a∴3m﹣n＝3（3﹣a）﹣（﹣3a）＝9﹣3a+3a＝9，故答案为：9．7．【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：﹣p＝1﹣2，q＝1×（﹣2），即可求得p、q的值，代入求值即可．【解答】解：由题意得：﹣p＝1﹣2，q＝1×（﹣2），∴p＝1，q＝﹣2，∴p2﹣4q＝1﹣4×（﹣2）＝1+8＝9．故答案为：9．8．【分析】根据因式分解的提公因式法分解因式，利用整体代入的方法即可求得第一个空的解；分解第二个因式后把﹣7x写成﹣4x﹣3x再重新组合，进行提公因式，最后整体代入即可求得第二个空的解．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，2x2﹣4x＝2，∴3x2﹣6x＝3（x2﹣2x）＝3．2x3﹣7x2+4x﹣2019＝x（2x2﹣7x）+4x﹣2019＝x（2x2﹣4x﹣3x）+4x﹣2019＝x（2﹣3x）+4x﹣2019＝2x﹣3x2+4x﹣2019＝﹣3x2+6x﹣2019＝﹣3（x2﹣2x）﹣2019＝﹣3×1﹣2019＝﹣2022．故答案为：3，﹣2022．9．【分析】由已知可得〈a，b〉+6＝ab+2a+3b+6，再分组分解；由〈x，y〉＝xy+2x+3y＝1，将式子变形为xy+2x+3y+6＝7，进行分组分解得到（x+2）（y+3）＝7，再由x，y都是整数，分别得到+2＝1，y+3＝7或x+2＝﹣1，y+3＝﹣7，即可求解．【解答】解：〈a，b〉+6＝ab+2a+3b+6＝a（b+2）+3（b+2）；〈x，y〉＝xy+2x+3y＝1，∵xy+2x+3y+6＝7，∴（x+2）（y+3）＝7，∵x，y都是整数，∴x+2＝1，y+3＝7或x+2＝﹣1，y+3＝﹣7，∴x＝﹣1，y＝4或x＝﹣3，y＝﹣10，∴x+y＝3或x+y＝﹣13；故答案为（b+2）（a+3）；3或﹣13．10．【分析】9x3﹣xy2＝x（9x2﹣y2）＝x（3x+y）（3x﹣y），当x＝10，y＝10时，密码可以是10、40、20的任意组合即可．【解答】解：9x3﹣xy2＝x（9x2﹣y2）＝x（3x+y）（3x﹣y），当x＝10，y＝10时，密码可以是104020或102040等等都可以，答案不唯一．三．解答题（共7小题）11．【分析】（1）直接提取公因式4xy，进而分解因式得出答案；（2）直接利用平方差公式分解因式，进而结合完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：（1）8x2yz﹣4xy＝4xy（2xz﹣1）；（2）（x2+4）2﹣16x2＝（x2+4﹣4x）（x2+4+4x）＝（x﹣2）2（x+2）2．12．【分析】（1）由已知条件可知，当x＝3时，x2+kx+12＝0，将x的值代入即可求得（2）由题意可知，x＝3和x＝4时，x3+mx2+12x+n＝0，由此得二元一次方程组，从而可求得m和n的值；（3）将（2）中m和n的值代入x3+mx2+12x+n，提取公因式x，则由题意知（x﹣3）和（x﹣4）也是所给多项式的因式，从而问题得解．【解答】解：（1）∵x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式∴x＝3时，x2+kx+12＝0∴9+3k+12＝0∴3k＝﹣21∴k＝﹣7∴k的值为﹣7．（2）（x﹣3）和（x﹣4）是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式∴x＝3和x＝4时，x3+mx2+12x+n＝0∴解得∴m、n的值分别为﹣7和0．（3）∵m＝﹣7，n＝0，∴x3+mx2+12x+n可化为：x3﹣7x2+12x∴x3﹣7x2+12x＝x（x2﹣7x+12）＝x（x﹣3）（x﹣4）13．【分析】（1）设M＝x+y，据此原式＝M（M﹣4）+4＝M2﹣4M+4＝（M﹣2）2，再将M＝x+y代回即可得；（2）由原式变形为（a2﹣5a+4）（a2﹣5a+6）+1，令N＝a2﹣5a+4，据此可得原式N（N+2）+1＝N2+2N+1＝（N+1）2，根据a为正整数可作出判断．【解答】解：（1）设M＝x+y，则原式＝M（M﹣4）+4＝M2﹣4M+4＝（M﹣2）2，将M＝x+y代入还原可得原式＝（x+y﹣2）2；（2）原式＝（a﹣1）（a﹣4）（a﹣2）（a﹣3）+1＝（a2﹣5a+4）（a2﹣5a+6）+1令N＝a2﹣5a+4，∵a为正整数，∴N＝（a﹣1）（a﹣4）＝a2﹣5a+4也是整数，则原式＝N（N+2）+1＝N2+2N+1＝（N+1）2，∵N为整数，∴原式＝（N+1）2即为整数的平方．14．【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c 的关系，判断三角形形状即可．【解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c或a＝b＝c，∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形．15．【分析】首先将原式配方，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：4a2+4a﹣1＝（2a+1）2﹣2＝（2a+1﹣）（2a+1+）．16．【分析】（1）根据题目中的待定系数法原理即可求得结果；（2）根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论；（3）根据待定系数原理和多项式乘以多项式即可求得结论．【解答】解：（1）根据待定系数法原理，得3﹣a＝2，a＝1．故答案为1．（2）设另一个因式为（x2+ax+b），（x+1）（x2+ax+b）＝x3+ax2+bx+x2+ax+b＝x3+（a+1）x2+（a+b）x+b∴a+1＝0 a＝﹣1 b＝3∴多项式的另一因式为x2﹣x+3．答：多项式的另一因式x2﹣x+3．（3）多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积．理由如下：设多项式x4+x2+1能分解成①（x2+1）（x2+ax+b）或②（x+1）（x3+ax2+bx+c）或（x2+x+1）（x2+ax+1），①（x2+1）（x2+ax+b）＝x4+ax3+bx2+ax+b＝x4+ax3+（b+1）x2+ax+b∴a＝o b+1＝1 b＝1由b+1＝1得b＝0≠1②（x+1）（x3+ax2+bx+c），＝x4+ax3+bx2+cx+x3+ax2+bx+c＝x4+（a+1）x3+（b+a）x2+（b+c）x+c∴a+1＝0 b+a＝1 b+c＝0 c＝1解得a＝﹣1，b＝2，c＝1，又b+c＝0，b＝﹣1≠2．③（x2+x+1）（x2+ax+1）＝x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1∴a+1＝0，a+2＝1，解得a＝﹣1．即x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1）∴x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积却不能分解成两个整系数二次二项式与二次三项式的乘积．答：多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积．17．【分析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；（2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10厘米2，得出等式求出m+n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．【解答】解：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；故答案为：（m+2n）（2m+n）；（2）依题意得，2m2+2n2＝58，mn＝10，∴m2+n2＝29，∵（m+n）2＝m2+2mn+n2，∴（m+n）2＝29+20＝49，∵m+n＞0，∴m+n＝7，∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m+6n＝6（m+n）＝42cm．。
2023年北师大版数学八年级下册《因式分解计算题》专项练习一、选择题1.若实数a，b满足a＋b＝5，a2b＋ab2＝－10，则ab的值是( )A.－2B.2C.－50D.502.因式分解x2－9y2的正确结果是( )A.(x+9y)(x－9y)B.(x+3y)(x－3y)C.(x－3y)2D.(x－9y)23.若a+b=3,a-b=7,则b2-a2的值为( )A.－21B.21C.-10D.104.下列各式中不能用完全平方公式因式分解的是( )A.-x2+2xy-y2B.x4-2x3y+x2y2C.(x2-3)2-2(3-x2)+1D.x2-xy+12y25.把多项式2x2-8x+8因式分解，结果正确的是( )A.(2x-4)2B.2(x-4)2C.2(x-2)2D.2(x+2)26.计算：101×1022﹣101×982=( )A.404B.808C.40400D.808007.把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x﹣3)则a，b的值分别是（）A.a=2，b=3B.a=﹣2，b=﹣3C.a=﹣2，b=3D.a=2，b=﹣38.已知(19x﹣31)(13x﹣17)﹣(13x﹣17)(11x﹣23)可因式分解成(ax＋b)(8x＋c)，其中a、b、c均为整数，则a＋b＋c＝( )A.﹣12B.﹣32C.38D.729.若a、b、c为一个三角形的三边长，则式子(a-c)2-b2的值( )A.一定为正数B.一定为负数C.可能是正数，也可能是负数D.可能为010.若m2+m-1=0,则m3+2m2+2026的值为( )A.2028B.2027C.2026D.202511.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )A.2x+19B.2x﹣19C.2x+15D.2x﹣1512. (－8)2 020＋(－8)2 019能被下列数整除的是( )A.3B.5C.7D.9二、填空题13.把多项式(x﹣2)2﹣4x+8因式分解开始出现错误的一步是 解：原式=(x﹣2)2﹣(4x﹣8)…A=(x﹣2)2﹣4(x﹣2)…B=(x﹣2)(x﹣2+4)…C=(x﹣2)(x+2)…D.14.若ab=3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是.15.已知a2＋b2=13，ab=6，则a4-2a2b2＋b4= .16.如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是_________.17.已知x=1,y=-2是方程mx+ny=4的解，则m2﹣4mn+4n2的值为.18.在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是：如对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9时,则各个因式的值是:(x-y)=0，(x+y)=18,(x2+y2)=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式x3-xy2,取x=27,y=3时，用上述方法产生的密码是：(写出一个即可).三、解答题19.因式分解：3x2﹣12xy+12y2；20.因式分解：4a2﹣3b(4a﹣3b)；21.因式分解：2x3(a-1)+8x(1-a).22.因式分解：－4x3y+16x2y2－16xy3.23.已知x2+3x-1=0，先化简，再求值：4x(x+2)+(x-1)2-3(x2-1).24.已知x－y=2，y－z=2，x＋z=4，求x2－z2的值.25.已知一个长方形的周长为20,其长为a,宽为b,且a,b满足a2﹣2ab＋b2﹣4a＋4b＋4=0,求a,b的值.26.两位数相乘：19×11=209,18×12=216,25×25=625,34×36=1 224，47×43=2 021，…(1)认真观察，分析上述各式中两因数的个位数字、十位数字分别有什么联系，找出因数与积之间的规律，并用字母表示出来；(2)验证你得到的规律.27.阅读理解：对于二次三项式x2+2ax+a2，能直接用公式法进行因式分解，得到x2+2ax+a2=（x+a）2，但对于二次三项式x2+2ax﹣8a2，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式x2+2ax﹣8a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是：x2+2ax﹣8a2=x2+2ax﹣8a2+a2﹣a2=x2+2ax+a2﹣8a2﹣a2=（x2+2ax+a2）﹣（8a2+a2）=（x+a）2﹣9a2=（x+a+3a）（x+a﹣3a）=（x+4a）（x﹣2a）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．问题解决：请用上述方法将二次三项式x2+2ax﹣3a2分解因式．拓展应用：二次三项式x2﹣4x+5有最小值或是最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由．答案1.A2.B3.A4.D5.C6.D7.B8.A9.B10.B11.A12.C13.答案为：C.14.答案为：15.15.答案为：2516.答案为：2m＋317.答案为：1618.答案为：273024或27243019.解：原式=3(x2﹣4xy+4y2)=3(x﹣2y)2；20.解：原式=4a2﹣12ab+9b2=(2a﹣3b)2.21.解：原式=2x(a-1)(x-2)(x+2).22.解：原式=－4xy(x－2y)2.23.解：原式=6.24.解：由x－y=2，y－z=2，得x－z=4.又∵x＋z=4，∴原式=(x＋z)(x－z)=16.25.解∵长方形的周长为20,其长为a,宽为b,∴a+b=20÷2=10.∵a2-2ab+b2-4a+4b+4=0,∴(a-b)2-4(a-b)+4=0.∴(a-b-2)2=0.∴a-b-2=0,由此得方程组a+b=10，a-b-2=0，解得a=6,b=4.26.解：(1)上述等式的规律是：两因数的十位数字相等，个位数字相加等于10，而积后两位是两因数个位数字相乘、前两位是十位数字相乘，乘积再加上这个十位数字之和；如果用m表示十位数字，n表示个位数字的话，则第一个因数为10m＋n，第二个因数为10m＋(10－n)，积为100m(m＋1)＋n(10－n)；表示出来为：(10m＋n)[10m＋(10－n)]=100m(m＋1)＋n(10－n)；(2)∵左边=(10m＋n)(10m－n＋10)=(10m＋n)[10(m＋1)－n]=100m(m＋1)－10mn＋10n(m＋1)－n2=100m(m＋1)－10mn＋10mn＋10n－n2=100m(m＋1)＋n(10－n)=右边，∴(10m＋n)[10m＋(10－n)]=100m(m＋1)＋n(10－n)，成立.27.解：（1）x2+2ax﹣3a2=x2+2ax﹣3a2+a2﹣a2=x2+2ax+a2﹣3a2﹣a2，=（x+a）2﹣4a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）；（2）有最小值，x2﹣4x+5=x2﹣4x+4+1=（x﹣2）2+1，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+1≥1，∴最小值为1．。
《因式分解》综合练习题一．选择题（共10小题）1．（2021春•沙坪坝区校级月考）多项式x3+6x2y+9xy2与x3y﹣9xy3的公因式是（）A．x（x+3y）2B．x（x+3y）C．xy（x+3y）D．x（x﹣3y）2．（2021春•高州市月考）已知：a＝2020x+2019，b＝2020x+2020，c＝2020x+2021，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（）A．0B．1C．2D．33．（2020秋•梁平区期末）已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（）A．0B．1C．2D．34．（2018秋•浦东新区期末）下列关于x的二次三项式中（m表示实数），在实数范围内一定能分解因式的是（）A．x2﹣2x+2B．2x2﹣mx+1C．x2﹣2x+m D．x2﹣mx﹣1 5．（2018秋•海珠区校级期中）已知a，b，c是△ABC的三条边长，且（a+b+c）（a﹣b）＝0，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．以上均不对6．（2021春•西湖区校级期中）多项式x2+ax+12分解因式为（x+m）（x+n），其中a，m，n 为整数，则a的取值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个7．（2020秋•澄海区期末）已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（）cm2．A．B．C．15D．168．对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数：把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为F（n）．例如n＝23．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为23+32＝55，55÷11＝5，所以F（23）＝5．若s，t都是“相异数”，其中s＝10x+3，t＝50+y（1≤x≤9，1≤y≤9．x，y都是正整数），当F（s）+F（t）＝15时，则的最大值为（）A．2B．C．D．49．设a为实数，且a3+a2﹣a+2＝0，则（a+1）2011+（a+1）2012+（a+1）2013＝（）A．3B．﹣3C．1D．﹣110．（2019秋•乐清市期末）如果x和y是非零实数，使得|x|+y＝3和|x|y+x3＝0，那么x+y的值是（）A．3B．C．D．4﹣二．填空题（共10小题）11．（2021•常德模拟）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3﹣xy2，取x＝11，y＝12时，用上述方法产生的密码是（写出一个即可）．12．（2021春•江北区校级期中）已知a+b＝4，ab＝﹣2，则a3b﹣2a2b2+ab3＝．13．（2021春•西湖区校级期中）已知多项式x4+mx+n能分解为（x2+px+q）（x2+2x﹣3），则p＝，q＝．14．（2018春•成都期末）已知x2﹣2x﹣3＝0，则x3﹣x2﹣5x+12＝．15．（2018春•成都期中）若a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为．16．（2017秋•虎林市期末）多项式kx2﹣9xy﹣10y2可分解因式得（mx+2y）（3x﹣5y），则k ＝，m＝．17．（2017春•大邑县期末）已知x2+x＝3，则2015+2x+x2﹣2x3﹣x4＝．18．（2015春•青羊区校级月考）若a3+3a2+a＝0，求＝．19．（2019春•西湖区校级月考）已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x2﹣6x＝；则2x3﹣7x2+4x﹣2019＝．20．（2019春•嘉兴期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是（写出一个即可）．三．解答题（共10小题）21．（2020秋•泗水县期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图（1）可以用来解释a2+2ab+b2＝（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．如图（2），将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正（以方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n．上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以分解因式为；（2）若每块小长方形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．22．（2021春•拱墅区校级期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52；则8、16、24这三个数都是奇特数．（1）填空：32奇特数，2018奇特数．（填“是”或者“不是”）（2）设两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？（3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积．23．（2021春•龙华区期中）（1）分解因式：﹣ax2+6ax﹣9a．（2）解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来．24．（2021春•龙泉驿区期中）综合与实践下面是某同学对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x﹣10）+25进行因式分解的过程：解：设x2﹣4x＝y，原式＝y（y﹣10）+25（第一步）＝y2﹣10y+25（第二步）＝（y﹣5）2（第三步）＝（x2﹣4x﹣5）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了．A．提取公因式B．平方差公式C．两数差的完全平方公式D．两数和的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为．（3）请你模仿上述方法，对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解．25．（2021春•巴南区期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．定义：对于三位自然数n，若各位数字都不为0，且百位上的数字与十位上的数字之和恰好能被个位上的数字整除，则称这个三位自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除，所以426是“好数”；643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除，所以643不是“好数”．（1）判断134，614是否是“好数”？并说明理由；（2）求出百位上的数字比十位上的数字大7的所有“好数”．26．（2021春•九龙坡区校级月考）若一个四位正整数满足，a+b+c+d＝20，则称该数为“0萌数”．例如：对于四位数3890，因为3+8+9+0＝20，所以3890是“0萌数”；对于四位数2983，因为2+9+8+3＝22≠20，所以2983不是“0萌数”．（1）最小的“0萌数”是；（2）判断4579是不是“0萌数”，并说明理由；（3）若一个四位“0萌数”S，满足S＝1010a+100b+305（1≤a≤9，0≤b≤6，a、b均为整数），请求出所有满足条件的“0萌数”S．27．（2021春•沙坪坝区校级月考）若一个正整数a可以表示为a＝（b+1）（b﹣2），其中b 为大于2的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点”．例如28＝（6+1）×（6﹣2）＝7×4．（1）“十字点”为7的“十字数”为；130的“十字点”为；（2）若b是a的“十字点”，且a能被（b﹣1）整除，其中b为大于2的正整数，求a 的值；（3）m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，当m﹣n＝18时，求p+q的值．28．（2021春•郫都区校级期中）（1）若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，求解以下问题：①求p，q的值；②代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值．（2）若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求ab．29．（2021春•望城区校级月考）若三个非零实数x，y，z中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数x，y，z三构成“星城三元数”．（1）实数4，6，9可以构成“星城三元数”吗？请说明理由；（2）若M1（t，y1），M2（t﹣1，y2），M3（t+1，y3）三点均在函数（k为常数且k ≠0）的图象上且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“星城三元数”，求实数t的值；（3）设非负实数x1，x2，x3是“星城三元数”且满足x1＜x3＜x2，其中x1，x2是关于x的一元二次方程nx2+mx+n＝0的两个根，x3是二次函数y＝ax2+bx+c（其中a＞2b＞3c）与x轴的一个交点的横坐标，求点P（，）到原点的距离OP的取值范围．30．（2021•九龙坡区校级模拟）一个正整数p能写成p＝（m+n）（m﹣n）（m、n均为正整数，且m≠n），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若m2+n2最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时F（p）＝m2+n2．例如：24＝（7+5）（7﹣5）＝（5+1）（5﹣1），因为72+52＞52+12，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以F（24）＝74．（1）F（32）＝；（2）若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y（1≤x≤y≤7），q为“平方差数”且x+y能被7整除，求F（q）的最小值．参考答案一．选择题（共10小题）1．（2021春•沙坪坝区校级月考）多项式x3+6x2y+9xy2与x3y﹣9xy3的公因式是（）A．x（x+3y）2B．x（x+3y）C．xy（x+3y）D．x（x﹣3y）【考点】公因式．【专题】整式；运算能力．【分析】分别将多项式x3+6x2y+9xy2与多项式x3y﹣9xy3进行因式分解，再寻找他们的公因式．【解答】解：∵x3+6x2y+9xy2＝x（x2+6xy+9y2）＝x（x+3y）2，x3y﹣9xy3＝xy（x2﹣9y2）＝xy（x+3y）（x﹣3y），∴多项式x3+6x2y+9xy2与多项式x3y﹣9xy3的公因式是x（x+3y）．故选：B．【点评】本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．2．（2021春•高州市月考）已知：a＝2020x+2019，b＝2020x+2020，c＝2020x+2021，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（）A．0B．1C．2D．3【考点】因式分解的应用．【专题】因式分解；运算能力．【分析】由题意：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，设S＝a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc，则2S＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，将式子的右边进行因式分解变形，结论可得．【解答】解：∵a＝2020x+2019，b＝2020x+2020，c＝2020x+2021，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1．设S＝a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc，则2S＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc．∵2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2＝6，∴S＝3．∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝3．故选：D．【点评】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式，利用因式分解法可使运算简便．3．（2020秋•梁平区期末）已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（）A．0B．1C．2D．3【考点】因式分解的应用．【专题】计算题．【分析】根据题目中的式子，可以求得a﹣b、a﹣c、b﹣c的值，然后对所求式子变形，利用完全平方公式进行解答．【解答】解：∵a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝＝＝＝＝3，故选：D．【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，应用完全平方公式进行解答．4．（2018秋•浦东新区期末）下列关于x的二次三项式中（m表示实数），在实数范围内一定能分解因式的是（）A．x2﹣2x+2B．2x2﹣mx+1C．x2﹣2x+m D．x2﹣mx﹣1【考点】实数范围内分解因式．【专题】实数；运算能力．【分析】对每个选项，令其值为0，得到一元二次方程，计算判别式的值，即可判断实数范围内一定能分解因式的二次三项式．【解答】解：选项A，x2﹣2x+2＝0，△＝4﹣4×2＝﹣4＜0，方程没有实数根，即x2﹣2x+2在数范围内不能分解因式；选项B，2x2﹣mx+1＝0，△＝m2﹣8的值有可能小于0，即2x2﹣mx+1在数范围内不一定能分解因式；选项C，x2﹣2x+m＝0，△＝4﹣4m的值有可能小于0，即x2﹣2x+m在数范围内不一定能分解因式；选项D，x2﹣mx﹣1＝0，△＝m2+4＞0，方程有两个不相等的实数根，即x2﹣mx﹣1在数范围内一定能分解因式．故选：D．【点评】本题考查二次三项式在实数范围内的因式分解．解题的关键是把问题转化为一元二次方程是否有实数根的问题．5．（2018秋•海珠区校级期中）已知a，b，c是△ABC的三条边长，且（a+b+c）（a﹣b）＝0，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．以上均不对【考点】因式分解的应用．【专题】因式分解；运算能力．【分析】利用因式分解法得到a+b+c＝0或a﹣b＝0，而a+b+c＞0，所以a﹣b＝0，即a ＝b，从而可判断△ABC一定是等腰三角形．【解答】解：∵（a+b+c）（a﹣b）＝0，∴a+b+c＝0或a﹣b＝0，∵a，b，c是△ABC的三条边长，∴a+b+c＞0，∴a﹣b＝0，即a＝b，∴△ABC一定是等腰三角形．故选：A．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题．利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．6．（2021春•西湖区校级期中）多项式x2+ax+12分解因式为（x+m）（x+n），其中a，m，n 为整数，则a的取值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】因式分解﹣十字相乘法等．【专题】整式；数感．【分析】把12分解为两个整数的积的形式，a等于这两个整数的和．【解答】解：12＝1×12时，a＝1+12＝13；12＝﹣1×（﹣12）时，﹣1+（﹣12）＝﹣13；12＝2×6时，a＝2+6＝8；12＝﹣2×（﹣6）时，﹣2+（﹣6）＝﹣8；12＝3×4时，a＝3+4＝7；12＝﹣3×（﹣4）时，﹣3+（﹣4）＝﹣7；∴a的取值有6个．故选：D．【点评】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．能够得出m、n之积为12，m、n之和为a是解题的关键．7．（2020秋•澄海区期末）已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（）cm2．A．B．C．15D．16【考点】因式分解的应用．【专题】整式；运算能力．【分析】由长方形的周长可以求出x+y＝8①，再利用完全平方公式可以得出x﹣y＝1②，联立①②，解方程组即可得出x，y的值，最后求长方形的面积即可得出结论．【解答】解：∵长方形的周长为16cm，∴2（x+y）＝16，∴x+y＝8①；∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，∴（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0，∴（x﹣y﹣1）2＝0，∴x﹣y＝1②．联立①②，得，解得：，∴长方形的面积S＝xy＝＝（cm2），故选：A．【点评】本题考查完全平方公式，解二元一次方程组，考查学生的计算能力，本题的关键是把x﹣y看作一个整体，进行因式分解．8．对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数：把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为F（n）．例如n＝23．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为23+32＝55，55÷11＝5，所以F（23）＝5．若s，t都是“相异数”，其中s＝10x+3，t＝50+y（1≤x≤9，1≤y≤9．x，y都是正整数），当F（s）+F（t）＝15时，则的最大值为（）A．2B．C．D．4【考点】因式分解的应用．【专题】新定义；运算能力．【分析】先用含x的式子表示出F（s），再用含y的式子表示出F（t），然后根据x和y 的取值求出最大值即可．【解答】解：将s的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为s'．∵s＝10x+3．∴s'＝30+x∴F（s）＝．将t的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为t'．∵t＝50+y．∴t'＝10y+5．∴F（t）＝．∵F（s）+F（t）＝15．∴3+x+5+y＝15．∴x+y＝7．∴y＝7﹣x．∴．∵x，y都是正整数．∴x最大为6．∴．故选：B．【点评】本题主要考查数字的处理能力和计算能力，关键在于将F（s）和F（t）用含x 和y的式子表示出来．9．设a为实数，且a3+a2﹣a+2＝0，则（a+1）2011+（a+1）2012+（a+1）2013＝（）A．3B．﹣3C．1D．﹣1【考点】因式分解的应用．【专题】计算题；分类讨论；因式分解；实数；数感；符号意识；运算能力；推理能力．【分析】由已知等式用分组分解法，提取公因式法，整式乘法，方程等知识恒等变形，求出符合条件的a+1的值为﹣1，再将﹣1代入式子中进行运算求出值为﹣1，即答案为D．【解答】解：∵a3+a2﹣a+2＝0，（a3+1）+（a2﹣a+1）＝0，（a+1）（a2﹣a+1）+（a2﹣a+1）＝0（a2﹣a+1）（a+1+1）＝0，（a2﹣a+1）（a+2）＝0，∴a+2＝0，或a2﹣a+1＝0，（1）若a2﹣a+1＝0时，△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，∵a为实数，∴此一元二次方程在实数范围内无解；（2）若a+2＝0时，变形得：a+1＝﹣1…①将①代入下列代数式得：（a+1）2011+（a+1）2012+（a+1）2013＝（﹣1）2011+（﹣1）2012+（﹣1）2013＝﹣1+1+（﹣1）＝﹣1故选：D．【点评】本题综合考查了因式分解中分组分解法，提取公因式法，多项式乘法法则，一元二次方程的解法，乘方运算等相关知识点，重点掌握因式分解的运用，难点是分组分解法因式分解，判定一元二次方程的根的存在性．10．（2019秋•乐清市期末）如果x和y是非零实数，使得|x|+y＝3和|x|y+x3＝0，那么x+y的值是（）A．3B．C．D．4﹣【考点】因式分解的应用．【专题】计算题；分类讨论；运算能力．【分析】根据题意，结合2个式子可得|x|（3﹣|x|）+x3＝0，分x＞0与x＜0两种情况讨论，求出x的值，由y＝3﹣|x|，求出y的值，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，|x|+y＝3则y＝3﹣|x|，又由|x|y+x3＝0，则有|x|（3﹣|x|）+x3＝0，分2种情况讨论：①当x＞0时，由|x|（3﹣|x|）+x3＝0得到：x（3﹣x）+x3＝0，变形可得：x2﹣x+3＝0，无解；②当x＜0时，由|x|（3﹣|x|）+x3＝0得到（﹣x）[3﹣（﹣x）]+x3＝0，变形可得：x2﹣x﹣3＝0，解可得：x＝或x＝，（舍）综合可得：x＝，则y＝3﹣|x|＝3+x，x+y＝3+2x＝4﹣；故选：D．【点评】本题考查因式分解的应用，绝对值的化简计算，注意分类讨论|x|的值．二．填空题（共10小题）11．（2021•常德模拟）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3﹣xy2，取x＝11，y＝12时，用上述方法产生的密码是113410（写出一个即可）．【考点】因式分解的应用．【专题】因式分解；运算能力．【分析】先因式分解，再代值计算．【解答】解：4x3﹣xy2＝x（4x2﹣y2）＝x（2x+y）（2x﹣y）．当x＝11，y＝12时，各因式的值为：x＝11，2x+y＝22+12＝34．2x﹣y＝22﹣12＝10．∴产生的密码为：113410．故答案为：113410．【点评】本题考查因式分解的应用，正确因式分解是求解本题的关键．12．（2021春•江北区校级期中）已知a+b＝4，ab＝﹣2，则a3b﹣2a2b2+ab3＝﹣48．【考点】因式分解的应用．【专题】因式分解；运算能力．【分析】因式分解后整体代换求值【解答】解：∵a3b﹣2a2b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2＝ab[（a+b）2﹣4ab]＝﹣2×（16+8）＝﹣48．故答案为﹣48．【点评】本题考查因式分解，提公因式再分解求值是求解本题的关键．13．（2021春•西湖区校级期中）已知多项式x4+mx+n能分解为（x2+px+q）（x2+2x﹣3），则p＝﹣2，q＝7．【考点】因式分解﹣十字相乘法等．【专题】方程思想；因式分解；运算能力；推理能力．【分析】把（x2+px+q）（x2+2x﹣3）展开，找到所有x3和x2的项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．【解答】解：∵（x2+px+q）（x2+2x﹣3）＝x4+px3+qx2+2x3+2px2+2qx﹣3x2﹣3px﹣3q ＝x4+（p+2）x3+（q+2p﹣3）x2+（2q﹣3p）x﹣3q＝x4+mx+n．∴展开式乘积中不含x3、x2项，∴，解得：．故答案为：﹣2，7．【点评】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可．14．（2018春•成都期末）已知x2﹣2x﹣3＝0，则x3﹣x2﹣5x+12＝15．【考点】因式分解的应用．【专题】因式分解；数据分析观念．【分析】由x2﹣2x﹣3＝0，则x2＝2x+3，原式＝x（2x+3）﹣x2﹣5x+12＝2x2+3x﹣x2﹣5x+12＝x2﹣2x+12，即可求解．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，∴x2＝2x+3，∴原式＝x（2x+3）﹣x2﹣5x+12＝2x2+3x﹣x2﹣5x+12＝x2﹣2x+12＝3+12＝15，故答案为15．【点评】主要考查了分解因式的实际运用，解此类题目的关键是将分解的因式与条件比对，将条件代入后再继续分解．15．（2018春•成都期中）若a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为3．【考点】因式分解的应用．【分析】根据已知条件可得a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，再将a2+b2+c2﹣ab﹣bc ﹣ca变形为[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，然后代入计算即可．【解答】解：∵a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝（1+1+4）＝3．故答案为3．【点评】本题考查了因式分解的应用以及代数式求值，掌握完全平方公式以及整体代入思想是解题的关键．16．（2017秋•虎林市期末）多项式kx2﹣9xy﹣10y2可分解因式得（mx+2y）（3x﹣5y），则k ＝9，m＝3．【考点】因式分解﹣十字相乘法等．【分析】直接利用多项式乘法将原式化简，进而得出关于m，k的等式求出答案即可．【解答】解：∵kx2﹣9xy﹣10y2＝（mx+2y）（3x﹣5y），∴kx2﹣9xy﹣10y2＝3mx2﹣5mxy+6xy﹣10y2，∴，解得：，故答案为：9，3．【点评】此题主要考查了十字相乘法的应用，正确利用多项式乘法是解题关键．17．（2017春•大邑县期末）已知x2+x＝3，则2015+2x+x2﹣2x3﹣x4＝2012．【考点】因式分解的应用．【专题】转化思想．【分析】把代数式2015+2x+x2﹣2x3﹣x4整理成含（x2+x）的形式，进一步整体代入求得数值即可．【解答】解：∵x2+x＝3，∴2015+2x+x2﹣2x3﹣x4＝﹣x2（x2+x）﹣x3+（x2+x）+x+2015＝﹣3x2﹣x3+3+x+2015＝﹣x（x2+x）﹣2x2+3+x+2015＝﹣3x﹣2x2+3+x+2015＝﹣2（x2+x）+2018＝﹣6+2018＝2012．故答案是：2012．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，整理成已知条件的形式，利用整体代入求解是解题的关键．18．（2015春•青羊区校级月考）若a3+3a2+a＝0，求＝﹣或0．【考点】因式分解的应用．【专题】计算题．【分析】用提公因式法对方程a3+3a2+a＝0的左边因式分解得a（a2+3a+1）＝0则a＝0或a2+3a+1＝0，当a＝0时上式的值为零，当a2+3a+1＝0时，可将每一项都除以a，得到a+＝﹣3，上式分子分母中每一项都除以a3，分子为常数2，分母为a3+3+，再用立方和公式进行计算．【解答】解：∵a3+3a2+a＝0，∴a（a2+3a+1）＝0∴a＝0或a2+3a+1＝0当a＝0时的值为0．当a2+3a+1＝0时，每项都除以a得a+＝﹣3，将上式的分子分母同时除以a3，分子为常数2，分母为a3+6+，又∵a3+＝（a+）（a2﹣1+）＝（a+）[（a+）2﹣3]＝﹣3[9﹣3]＝﹣18，∴＝＝﹣故的值为﹣或0．【点评】用因式分解法将多项式分解，使多项式化简，灵活运用立方和公式．19．（2019春•西湖区校级月考）已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x2﹣6x＝3；则2x3﹣7x2+4x﹣2019＝﹣2022．【考点】因式分解的应用．【专题】计算题；整体思想；运算能力．【分析】根据因式分解的提公因式法分解因式，利用整体代入的方法即可求得第一个空的解；分解第二个因式后把﹣7x写成﹣4x﹣3x再重新组合，进行提公因式，最后整体代入即可求得第二个空的解．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，2x2﹣4x＝2，∴3x2﹣6x＝3（x2﹣2x）＝3．2x3﹣7x2+4x﹣2019＝x（2x2﹣7x）+4x﹣2019＝x（2x2﹣4x﹣3x）+4x﹣2019＝x（2﹣3x）+4x﹣2019＝2x﹣3x2+4x﹣2019＝﹣3x2+6x﹣2019＝﹣3（x2﹣2x）﹣2019＝﹣3×1﹣2019＝﹣2022．故答案为：3，﹣2022．【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是整体思想的运用．20．（2019春•嘉兴期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是104020（答案不唯一）（写出一个即可）．【考点】因式分解的应用．【专题】整式；数据分析观念．【分析】9x3﹣xy2＝x（9x2﹣y2）＝x（3x+y）（3x﹣y），当x＝10，y＝10时，密码可以是10、40、20的任意组合即可．【解答】解：9x3﹣xy2＝x（9x2﹣y2）＝x（3x+y）（3x﹣y），当x＝10，y＝10时，密码可以是104020或102040等等都可以，答案不唯一．【点评】本题考查的是因式分解，分解后，将变量赋值，按照因式组合即可．三．解答题（共10小题）21．（2020秋•泗水县期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图（1）可以用来解释a2+2ab+b2＝（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．如图（2），将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正（以方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n．上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以分解因式为（2m+n）（m+2n）；（2）若每块小长方形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．【考点】代数式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用；全等图形．【专题】阅读型；数形结合；符号意识．【分析】（1）通过图形即可求得到；（2）由题意可得mn＝10，2m2+2n2＝58，利用完全平方公式求出m+n的值，即可求解．【解答】解：（1）由图形可知，2m2+5mn+2n2表示所有部分面积之和，整体来看面积为：（2m+n）（m+2n），∴2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n），故答案为：（2m+n）（m+2n）；（2）由题意可知mn＝10，2m2+2n2＝58，所有裁剪线（虚线部分）长之和为：6（m+n），∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝29+20＝49，∴m+n＝7，∴所有裁剪线（虚线部分）长之和为：6（m+n）＝42（cm）．【点评】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由图形的特点求解是解题的关键．22．（2021春•拱墅区校级期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52；则8、16、24这三个数都是奇特数．（1）填空：32是奇特数，2018不是奇特数．（填“是”或者“不是”）（2）设两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？（3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积．【考点】平方差公式的几何背景；因式分解的应用．【专题】整式；运算能力．【分析】（1）根据32＝92﹣72，以及8、16、24这三个数都是奇特数，他们都是8的倍数，而2018＝2×1009，不是8的整数倍，进行判断．（2）利用平方差公式计算（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n •2＝8n，得到两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数；（3）利用阴影部分面积为：S阴影部分＝992﹣972+952﹣932+912﹣892+…+72﹣52+32﹣12，进而求出即可．【解答】解：（1）∵8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52；则8、16、24这三个数都是奇特数，∴奇特数是8的整数倍，即8n（n是正整数），∵32＝8×4＝92﹣72，∴32是奇特数，∵2018＝2×1009，不是8的整数倍，∴2018不是奇特数，故答案为：是，不是；（2）由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，理由：∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n•2＝8n，∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．（3）S阴影部分＝992﹣972+952﹣932+912﹣892+…+72﹣52+32﹣12＝（99+97）（99﹣97）+（95+93）（95﹣93）+（91+89）（91﹣89）+…+（7+5）（7﹣5）+（3+1）（3﹣1）＝（99+97+95+…+3+1）×2＝×2＝5000．【点评】本题考查了正方形面积、新概念应用、平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）应用，利用图形正确表示出阴影部分是解题关键．23．（2021春•龙华区期中）（1）分解因式：﹣ax2+6ax﹣9a．（2）解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来．【考点】提公因式法与公式法的综合运用；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【专题】整式；运算能力．【分析】（1）先提公因式﹣a，再用完全平方公式即可；（2）分别解出两个不等式的解集，表示在数轴上，公共部分即为不等式组的解集．【解答】解：（1）原式＝﹣a（x2﹣6x+9）＝﹣a（x﹣3）2；（2），解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜2，把不等式的解集表示在数轴上如图所示，∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2．【点评】本题考查了因式分解，解一元一次不等式组，考核学生的计算能力，解不等式时，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变．24．（2021春•龙泉驿区期中）综合与实践下面是某同学对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x﹣10）+25进行因式分解的过程：解：设x2﹣4x＝y，原式＝y（y﹣10）+25（第一步）＝y2﹣10y+25（第二步）＝（y﹣5）2（第三步）＝（x2﹣4x﹣5）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了C．A．提取公因式B．平方差公式C．两数差的完全平方公式D．两数和的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？不彻底（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为（x﹣5）2（x+1）2．（3）请你模仿上述方法，对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解．【考点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣运用公式法；因式分解﹣十字相乘法等．【专题】整式；运算能力；模型思想．【分析】（1）由完全平方公式可得答案；（2）根据换元法分解因式的方法进行解答即可；（3）利用（1）（2）问中提供的方法，设x2﹣2x＝m，再逐步进行分解即可．【解答】解：（1）由y2﹣10y+25到（y﹣5）2是利用完全平方公式所得，故答案为：C；（2）设x2﹣4x＝y，原式＝y（y﹣10）+25，＝y2﹣10y+25，＝（y﹣5）2＝（x2﹣4x﹣5）2，＝[（x﹣5）（x+1）]2，＝（x﹣5）2（x+1）2；故答案为：不彻底，（x﹣5）2（x+1）2；（3）设x2﹣2x＝m，原式＝（m﹣1）（m+3）+4，＝m2+2m+1，＝（m+1）2＝（x2﹣2x+1）2，＝[（x﹣1）2]2，＝（x﹣1）4；即（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4＝（x﹣1）4．【点评】本题考查换元法分解因式，掌握换元的意义，完全平方公式是解决问题的关键．25．（2021春•巴南区期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．定义：对于三位自然数n，若各位数字都不为0，且百位上的数字与十位上的数字之和恰好能被个位上的数字整除，则称这个三位自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除，所以426是“好数”；643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除，所以643不是“好数”．（1）判断134，614是否是“好数”？并说明理由；（2）求出百位上的数字比十位上的数字大7的所有“好数”．【考点】列代数式；因式分解的应用．【专题】阅读型；运算能力．【分析】（1）根据好数的定义判断即可得出结论；（2）设十位数数字为a，则百位数数字为a+7（0＜a≤2的整数），得出百位数字和十位数字的和为2a+7，再分别取a＝1，2，计算判断即可得出结论．【解答】解：（1）134是“好数”．理由：∵1，3，4都不为0，且1+3＝4，4能被4整除，∴134是“好数”．614不是“好数”．理由：∵6+1＝7，7不能被4整除，∴614不是“好数”．（2）设十位数数字为a，则百位数数字为a+7（0＜a≤2的整数），∴a+a+7＝2a+7．当a＝1时，2a+7＝9．∵9能被1，3，9整除，∴满足条件的三位数有：811，813，819．当a﹣2时，2a+7＝11．∵11能被1整除，∴满足条件的三位数有：921．综上，百位上的数字比十位上的数字大7的所有“好数”有：811，813，819，921．【点评】本题主要考查了因式分解的应用，列代数式和求代数式的值，正确理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键．26．（2021春•九龙坡区校级月考）若一个四位正整数满足，a+b+c+d＝20，则称该数为“0萌数”．例如：对于四位数3890，因为3+8+9+0＝20，所以3890是“0萌数”；对于四位数2983，因为2+9+8+3＝22≠20，所以2983不是“0萌数”．（1）最小的“0萌数”是1199；（2）判断4579是不是“0萌数”，并说明理由；（3）若一个四位“0萌数”S，满足S＝1010a+100b+305（1≤a≤9，0≤b≤6，a、b均为整数），请求出所有满足条件的“0萌数”S．【考点】因式分解的应用；解二元一次方程组．【专题】整式；运算能力．【分析】（1）根据a，b，c，d为正整数，最小的0萌数的千位数字和百位数字为1，根据和为20可知十位数字和个位数字都是9；（2）根据四个数字的和是否为20进行判断；（3）对S进行变形，得到这个四位数的千位数字为a，百位数字为b+3，十位数字为a，个位数字为5，根据四个数字的和为20得到a，b的关系，根据题中1≤a≤9，0≤b≤6，a、b均为整数确定a，b的值，进而求出S．【解答】解：（1）∵a，b，c，d为正整数，∴最小的0萌数的千位数字和百位数字为1，∴a＝b＝1，∵a+b+c+d＝20，∴c+d＝18，∴c＝d＝9，∴最小的0萌数是1199．故答案为：1199．（2）不是，理由如下：∵4+5+7+9＝25≠20，∴4579不是0萌数；（3）∵S＝1010a+100b+305＝1000a+100（b+3）+10a+5，∴四位数的千位数字为a，百位数字为b+3，十位数字为a，个位数字为5，∴a+b+3+a+5＝20，∴2a+b＝12，∵1≤a≤9，0≤b≤6，a、b均为整数，∴满足条件的有或或或，∴S＝6365，5555，4745，3935．。
第4章单元检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是( C )A ．(3－x )(3＋x )＝9－x 2B ．(y ＋1)(y －3)＝－(3－y )(y ＋1)C ．m 4－n 4＝(m 2＋n 2)(m ＋n )(m －n )D ．4yz －2y 2z ＋z ＝2y (2z －yz )＋z2．多项式mx 2－m 与多项式x 2－2x ＋1的公因式是( A )A ．x －1B ．x ＋1C ．x 2－1D ．(x －1)23．下列各式中，能用公式法分解因式的有( B )①－x 2－y 2；②－14a 2b 2＋1；③a 2＋ab ＋b 2；④－x 2＋2xy －y 2；⑤14－mn ＋m 2n 2. A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个4．把代数式3x 3－12x 2＋12x 分解因式，结果正确的是( D )A ．3x (x 2－4x ＋4)B ．3x (x －4)2C ．3x (x ＋2)(x －2)D ．3x (x －2)25．一次数学课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题．你认为小明做得不够完整的一题是( B )A ．4x 2－4x ＋1＝(2x －1)2B ．x 3－x ＝x (x 2－1)C ．x 2y －xy 2＝xy (x －y )D ．x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )6．若a 2－b 2＝14，a －b ＝12，则a ＋b 的值为( B ) A ．b ＝3，c ＝－1 B ．b ＝－6，c ＝2 C ．b ＝－6，c ＝－4 D ．b ＝－4，c ＝－68．计算(－2)99＋(－2)100的结果为( A )A ．299B ．2100C ．－299D ．－29．若多项式x 2－2(k －1)x ＋4是一个完全平方式，则k 的值为( D )A ．3B ．－1C ．3或0D ．3或－110．若三角形的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2b －a 2c ＋b 2c －b 3＝0，则这个三角形是( A )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．三角形的形状不确定二、填空题(每小题3分，共24分)11．分解因式：4＋12(x －y)＋9(x －y)2＝__(2＋3x －3y )2__．12．若2a －b ＋1＝0，则8a 2－8ab ＋2b 2的值为__2__．13．已知实数x ，y 满足x 2＋4x ＋y 2－6y ＋13＝0，则x ＋y 的值为__1__．14．多项式2ax 2－8a 与多项式2x 2－8x ＋8的公因式为__2(x －2)__．15．若多项式(3x ＋2)(2x －5)＋(5－2x)(2x －1)可分解为(2x ＋m)(x ＋n)，其中m ，n 均为整数，则mn 的值为__－15__．16．已知长方形的面积为6m 2＋60m ＋150(m ＞0)，长与宽的比为3∶2，则这个长方形的周长为__10m ＋50__.17．已知代数式a 2＋2a ＋2，当a ＝__－1__时，它有最小值，最小值为__1__．三、解答题(共66分)19．(12分)将下列各式分解因式：(1)2x 2y －8xy ＋8y; (2)a 2(x －y)－9b 2(x －y)；解：2y (x －2)2 解：(x －y )(a ＋3b )(a －3b )(3)9(m ＋2n )2－4(m －2n )2; (4)(y 2－1)2＋6(1－y 2)＋9.解：(5m ＋2n )(m ＋10n ) 解：(y ＋2)2(y －2)220．(10分)先分解因式，再求值：(1)已知x －y ＝－23，求(x 2＋y 2)2－4xy(x 2＋y 2)＋4x 2y 2的值； 解：原式＝(x －y )4，当x －y ＝－23时，原式＝1681(2)已知x ＋y ＝1，xy ＝－12，求x (x ＋y )(x －y )－x (x ＋y )2的值． 解：原式＝－2xy (x ＋y )，当x ＋y ＝1，xy ＝－12时，原式＝－2×(－12)×1＝121．(6分)下列三个多项式：12x 3＋2x 2－x ，12x 3＋4x 2＋x ，12x 3－2x 2，请选择你喜欢的两个多项式进行加法运算，再将结果因式分解．解：12x 3＋2x 2－x ＋12x 3＋4x 2＋x ＝x 3＋6x 2＝x 2(x ＋6)(答案不唯一)22．(8分)甲，乙两同学分解因式x 2＋mx ＋n ，甲看错了n ，分解结果为(x ＋2)(x ＋4)；乙看错了m ，分解结果为(x ＋1)(x ＋9)，请分析一下m ，n 的值及正确的分解过程．解：∵(x ＋2)(x ＋4)＝x 2＋6x ＋8，甲看错了n 的值，∴m ＝6，又∵(x ＋1)(x ＋9)＝x 2＋10x＋9，乙看错了m的值，∴n＝9，∴原式为x2＋6x＋9＝(x＋3)223．(8分)阅读下列解题过程：已知a，b，c为三角形的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4, (A)∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2), (B)则c2＝a2＋b2, (C)∴△ABC为直角三角形. (D)(1)上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号__C__；(2)错误的原因__忽略了a2－b2＝0，即a＝b的可能__；(3)请写出正确的解答过程．解：∵a2c2－b2c2＝a4b4，∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，即c2(a2－b2)－(a2＋b2)(a2－b2)＝0，∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0，即a＝b或c2＝a2＋b2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形24．(10分)有足够多的长方形和正方形的卡片，如图①(1)如果选取1号，2号，3号卡片分别为1张，2张，3张(如图②)，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系将多项式a2＋3ab＋2b2分解因式；(2)小明想用类似的方法将多项式2a2＋7ab＋3b2分解因式，那么需要1号卡片__2__张，2号卡片__3__张，3号卡片__7__张．试画出草图，写出将多项式2a2＋7ab＋3b2分解因式的结果．解：(1)画图略．a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)(a＋2b)(2)2，3，7.画图略.2a2＋7ab＋3b2＝(2a＋b)(a＋3b)25．(12分)阅读下列计算过程：多项式x 2－11x ＋24分解因式，可以采取以下两种方法：①将－11x 拆成两项，即－6x －5x ；将24拆成两项，即9＋15，则：x 2－11x ＋24＝x 2－6x ＋9－5x ＋15＝(x 2－6x ＋9)－5(x －3)＝(x －3)2－5(x －3)＝(x －3)(x －3－5)＝(x －3)(x －8)； ②添加一个数(112)2，再减去这个数(112)2，则： x 2－11x ＋24＝x 2－11x ＋(112 )2－(112 )2＋24＝[x 2－11x ＋(112 )2]－254＝(x －112 )2－(52)2＝(x －112＋52)(x －112－52)＝(x －3)(x －8)． (1)根据上面的启发，请任选一种方法将多项式x 2＋4x －12分解因式；(2)已知A ＝a ＋10，B ＝a 2－a ＋7，其中a ＞3，指出A 与B 哪个大，并说明理由．解：(1)x 2＋4x －12＝x 2＋4x ＋4－16＝(x ＋2)2－16＝(x ＋6)(x －2) (2)B ＞A.理由：B －A ＝a 2－a ＋7－a －10＝a 2－2a ＋1－4＝(a －3)(a ＋1)，∵a ＞3，∴a －3＞0，a ＋1＞0，∴B －A ＞0，即B ＞A。
第4章因式分解一．选择题（共8小题）1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a2+1＝a（a+）2．下列各式中，不能用公式法分解因式的是（）A．x2﹣6x+9 B．﹣x2+y2C．x2+2x D．﹣x2+2xy﹣y2 3．已知a为任意整数，且（a+7）2﹣a2的值总可以被n（n为自然数，且n≠1）整除，则n的值为（）A．14 B．7 C．7或14 D．7的倍数4．在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+b2＝（a+b）2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b25．如果：x2﹣8xy+16y2＝0，且x＝5，则（2x﹣3y）2＝（）A．B．C．D．6．对于任何整数m，多项式（4m+5）2﹣9都能（）A．被8整除B．被m整除C．被（m﹣1）整除D．被（2m﹣1）整除7．若多项式5x2+17x﹣12可因式分解成（x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，则a+c之值为何？（）A．1 B．7 C．11 D．138．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形二．填空题（共7小题）9．多项式15a2b2+5a2b﹣20a2b2中各项的公因式是．10．若多项式x2﹣mx﹣21可以分解为（x+3）（x﹣7），则m＝．11．多项式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），则m＝．12．已知关于x的三次三项式2x3+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则另一个因式为．13．已知x2﹣2x﹣3是多项式3x3+ax2+bx﹣3的因式（a、b为整数）则a＝，b＝．14．分解因式x2+3x+2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）．这样，我们可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请利用这种方法，分解因式2x2﹣3x﹣2＝．15．多项式x4﹣7x2+12在实数范围内因式分解为．三．解答题（共6小题）16．（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy17．阅读某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程，并解决问题：解：设x2﹣4x＝y，原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步的变形运用了（填序号）；A．提公因式法B．平方差公式C．两数和的平方公式D．两数差的平方公式（2）该同学在第三步用所设的代数式进行了代换，得到第四步的结果，这个结果能否进一步因式分解？（填“能”或“不能”）．如果能，直接写出最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+6x）（x2+6x+18）+81进行因式分行解．18．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：（1）因式分解：1+2（2x﹣3y）+（2x﹣3y）2．（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；19．阅读下面文字内容：对于形如x2+2ax+a2的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+4x ﹣5，就不能直接用完全平方公式分解了．对此，我们可以添上一项4，使它与x2+4x构成个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即x2+4x﹣5＝（x2+4x+4）﹣4﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．请用配方法来解下列问题（1）请用上述方法把x2﹣6x﹣7分解因式．（2）已知：x2+y2+4x﹣6y+13＝0，求y的值．20．我们借助对同一个长方形面积的不同表示，可以解释一些多项式的因式分解．例如选取图①中的A卡片1张、B卡片1张、C卡片2张，就能拼成图②所示的正方形，从而可以解释a2+2ab+b2＝（a+b）2．请用A卡片1张、B卡片2张、C卡片3张拼成一个长方形，画图并完成多项式a2+3ab+2b2的因式分解．21．阅读材料：某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形的面积来解释．（1）如图②所表示的因式分解的恒等式是．（2）现有足够多的正方形和长方形卡片（如图③），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的长方形（每两张卡片之间既不重叠也无空隙），使该长方形的面积为a2+3ab+2b2，并利用你画的长方形的面积对a2+3ab+2b2进行因式分解．参考答案一．选择题（共8小题）1．B．2．C．3．B．4．B．5．B．6．A．7．A．8．C．二．填空题（共7小题）9．5a2b；10．4．11．﹣5．12．x2+2.5x+．13．解：﹣5，﹣11．14．（2x+1）（x﹣2）15．（x+2）（x﹣2）（x+）（x﹣）三．解答题（共6小题）16．（1）解：x（x﹣a）+y（a﹣x）＝x（x﹣a）﹣y（x﹣a）＝（x﹣a）（x﹣y）；（2）解：x3y﹣10x2y+25xy＝xy（x2﹣10x+25）＝xy（x﹣5）2．17．解：（1）该同学第二步到第三步的变形运用了两数和的平方公式，故选C；（2）该同学在第三步用所设的代数式进行了代换，得到第四步的结果，这个结果能进一步因式分解，最后结果（x﹣2）4，故答案为能，（x﹣2）4；（3）设x2+6x＝y（x2+6x）（x2+6x+18）+81＝y（y+18）+81＝y2+18y+81＝（y+9）2＝（x2+6x+9）2＝（x+3）4．18．解：（1）原式＝（1+2x﹣3y）2．（2）令A＝a+b，则原式变为A（A﹣4）+4＝A2﹣4A+4＝（A﹣2）2，故（a+b）（a+b﹣4）+4＝（a+b﹣2）2．19．解：（1）x2﹣6x﹣7＝x2﹣6x+9﹣9﹣7＝（x﹣3）2﹣16＝（x﹣3﹣4）（x﹣3+4）＝（x﹣7）（x+1）（2）∵x2+y2+4x﹣6y+13＝0，∴x2+4x+4+y2﹣6y+9＝0，∴（x+2）2+（y﹣3）2＝0，∴x+2＝0，y﹣3＝0，解得x＝﹣2，y＝3．20．解：如图③，所以a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．21．解：（1）2a2+2ab＝2a（a+b），故答案为：2a2+2ab＝2a（a+b），；（2）画图如下：此题画法不唯一，提供以下参考答案：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b），。
北师大版八年级下第四章因式分解综合测试题(word无答案)一、单选题(★★) 1 . 下列因式分解正确的是（）A．4-x²+3x=(2-x)(2+x)+3xB．-x²-3x+4=(x+4)(x-1)C．1-4x+4x²="(1-2x)" ²D．x²y-xy+x3y=x(xy-y+x²y)(★) 2 . 下列因式分解中，正确的个数为（）①x 3+2xy+x=x（x 2+2y）；②x 2+4x+4=（x+2）2；③﹣x 2+y 2=（x+y）（x﹣y）A．3个B．2个C．1个D．0个(★★) 3 . 将下列多项式分解因式，结果中不含因式的是A．B．C．D．(★) 4 . 已知，，则（）A．1B．2C．3D．4(★★) 5 . 计算：85 2﹣15 2=（）A．70B．700C．4900D．7000(★★) 6 . 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1B．x2+2x﹣1C．x2﹣1D．x2﹣6x+9 (★) 7 . 若是完全平方式，则 m的值等于（）．A．3B．-5C．7D．7或-1(★) 8 . 已知可以分解为，则的值为（）A．-3B．3C．10D．-10(★★) 9 . 多项式ax 2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（）A．a（x﹣6）（x+2）B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x2﹣4x﹣12）D．a（x+6）（x﹣2）(★★★★) 10 . （2017重庆市兼善中学八年级上学期联考）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值为，，，于是就可以把“ ”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码不可能是（）A．201030B．201010C．301020D．203010二、填空题(★) 11 . 已知 a+b=2, ab=1,则 a 2 b+ab 2的值为 ____ .(★) 12 . 因式分解： _______________________ ．(★) 13 . 若正方形的面积是，则它的边长是________．(★★) 14 . 若|m﹣1|+ =0，将mx 2﹣ny 2因式分解得 _____ ．(★★) 15 . 分解因式：= ____________ ．(★) 16 . 因式分解：= ______ ．(★★) 17 . 长、宽分别为 a、 b的矩形，它的周长为14，面积为10，则 a 2 b+ ab 2的值为_____．三、解答题(★★) 18 . 已知x 2+y 2－6x+10y+34=0，求x+y的值．四、填空题(★★) 19 . 若的三边、、满足，则这个三角形是_______．(★★) 20 . 已知，，，则的值为_____．五、解答题(★★) 21 . 已知且，求代数式的值．(★★) 22 . 将下列各式分解因式．（1）；（2）；（3）；（4）．(★★) 23 . 证明:不论 x取何实数,多项式 -2 x 4 +12 x 3 -18 x 2的值都不会是正数 .(★★) 24 . 设，是否存在实数，使得代数式能化简为？若能，请求出所有满足条件的值，若不能，请说明理由.(★★) 25 . 已知长方形的长宽为 x 、 y，周长为16 cm，且满足，求长方形的面积．(★★) 26 . 定义新运算：对于任意实数、，都有，等式右边通常是加法、减法及乘法运算．例如，．（1）求的值．（2）通过计算，验证等成立．(★★) 27 . 如图，大长方形是由四个小长方形拼成的，请根据此图填空：x 2+（p+q）x+pq=x 2+px+qx+pq=（）（）．说理验证事实上，我们也可以用如下方法进行变形：x 2+（p+q）x+pq=x 2+px+qx+pq=（x 2+px）+（）= =（）（）．于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解．尝试运用例题把x 2+3x+2分解因式．解：x 2+3x+2=x 2+（2+1）x+2×1=（x+2）（x+1）．请利用上述方法将下列多项式分解因式：（1）x 2﹣7x+12；（2）（y 2+y）2+7（y 2+y）﹣18．。
