3.3 垂径定理

质疑2.条件改为：①过圆心，③平分弦.
结论改为：②垂直于弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦 所对的优弧. 这个命题正确吗？
垂径定理的推论
① 直径过圆心 ③ 平分弦 （不是直径）
C
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
D
已知：CD是直径，AB是弦（不是直径），
B C求D证平：分CADB⊥AB，AD⌒＝BD⌒，AC⌒＝BC⌒
② 垂直于弦 ③ 平分弦
C
① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
D
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB， 求证：CD是直径，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
B
（3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分 弦所对的两条弧．
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧
C
③ 平分弦 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
D
已知：CD是直径，AB是弦，并且A⌒C＝B⌒C 求证：CD平分AB，CD ⊥AB，A⌒D＝B⌒D
B
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧

1 1 MD MN 6, EG行弦之间的距离分两种情况， 第12题图 分别是两弦心距的和与差．
B组 自主提高 12．已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN＝12cm， EF＝16cm，求弦MN和EF之间的距离． 【答案】如图分两种情况：MN，EF分别在圆心O的 同侧或异侧．作OD⊥MN于D，OG⊥EF于G，则
由勾股定理 OD＝ OM 2 MD 2 ＝8，OG＝ OE 2 EG 2 ＝6， ∴两平行弦之间的距离为8＋6＝14cm或8－6＝2cm.
3.3 垂径定理(第1课时)
圆的轴对称性 例1 如图，AB是⊙O的一条弦， 作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M. (1)右图是轴对称图形吗？如果是， 对称轴是什么？ (2)图中有哪些等量关系？ 说一说你的理由．
反思：圆是轴对称图形，它的每一条直径所在的直线 都是它的对称轴．
垂径定理
例2 一条30m宽的河上架有一半径为25m 的圆弧形 拱桥，请问一顶部宽为6m且高出水面4m的船能否通 过此桥？并说明理由． 解析：假设该桥恰能通过桥时，桥的半径为r，如图 所示，AB表示拱桥，EF为船顶部宽，CD为船顶到水面 的距离． (
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
答案：A
垂径定理的应用 例3 如图，△OCD为等腰三角形，底边CD交⊙O于 A、B两点．求证：AC＝BD.
解：作OE⊥CD于E.则由垂 径定理，得AE＝BE. ∵△OCD为等腰三角形， ∴CE＝DE.∴AC＝BD.
(
例
利用尺规作图把弧 AB 四等分．
5．如图所示，CD是⊙O的直径，AB是弦， OD⊥AB于M，则可得出AM＝BM，AC＝BC等结论， 请你按现有的图形再写出另外两个结 论： AD＝BD，∠ACD＝∠BCD等 ．

垂足为 N，则 ON＝( A )
A．5
B．7
C．9
D．11
如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D ，且 AB＝8 cm，
OC＝5 cm，则 OD 的长是( A )
ห้องสมุดไป่ตู้
A. 3 cm
B． 2.5 cm
C． 2 cm
D． 1 cm
如图，CD 为⊙O 的直径，弦 AB⊥CD，垂足为 M.若 AB＝12，
OM∶MD＝5∶8，则⊙O 的周长为( B )
A．26π
B．13π
C．956π
D．39 5 10π
二、填空题
如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD , 垂足为 E , 若∠COD
＝120°，OE＝3 厘米，则 CD＝ 66 3
厘米．
如图，AP＝4，BP＝6，OP＝5，则⊙O 的半径＝ 7 7 .
积为 6 ．
三、解答题 如图是某公园新建的圆形人工湖，为测量该湖的半径，小强和 ︵︵ 小丽沿湖边选取 A，B，C 三根木桩，使得AB＝BC，并测得 点 B 到 AC 的距离为 15 米，AC 的长为 60 米，请你帮他们求 出人工湖的半径．
解：如图，设点 O 为圆心， 连接半径 OA，OB，
设 OB 交 AC 于点 D．
即 AC＝BD．
(2)若大圆的半径 R＝10，小圆的半径 r＝8，且圆心 O 到直线 AB 的距离为 6，求 AC 的长.
解：由(1)可知，OE⊥AB，OE⊥CD， 如图，连接 OC，OA. ∵OE＝6，
∴CE＝ OC2－OE2＝ 82－62＝2 7， AE＝ OA2－OE2＝ 102－62＝8. ∴AC＝AE－CE＝8－2 7.
∵A︵B＝B︵C， ∴OB⊥AC，AD＝CD＝30 米．

弦，观察一下，还有与刚才类似的结论吗？
C
AE=BE， AC=BC，AD=BD
A
O E
B
D
探索新知——垂径定理及其逆定理
活动：
在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出
猜想.
C
猜想：垂直于弦的直径
平分这条弦，并且平分弦所
O
对的弧.
E
A
B
D
你能写出已知求 证，并证明吗？
探索新知——垂径定理及其逆定理
别相等.
A M
B
O
B′ M′ A′
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径 折叠可以是哪些位置关系呢？ 斜交，垂直
垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
C
A
B
O
D
AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD
探索新知——垂径定理及其逆定理
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的
直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
C
求证：AE=BE， AC=BC， AD=BD.
若只证明AE=BE，还有什么方
A
法？
O E
B D
探索新知——垂径定理及其逆定理
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫 做____定___理____.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的弧.
垂径定理的推理格式
弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂 线,垂线被弦和弧所截的线段的长,
称为弓形的高.如EF .
C E
FD
O
应用实际
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点.

3.3 垂径定理
复习
M
●
A
1、圆弧：圆上任意两点之间的部分
2、等弧：能够完全重合的圆弧
3、弦：连结圆上任意两点的线段
4、圆具有轴对称性
O
B
实验操作
1、取出课前准备的圆，折出这个圆的一条对称轴
2、请用折叠的方法在圆上找到两个对称点
你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
O
·
E
A
B
D
几何演绎
如图,理由是：
梳理
A
C
M
└
●
B
O
D
条件
由①CD是直径
②CD⊥AB
可推得
结论
③AM＝BM
⌒ ⌒
④AC＝BC
⌒ ⌒
⑤AD＝BD
归纳小结
定理：垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的弧.
如图∵ CD是直径，
CD⊥AB，
B
∴AM ＝ BM，
C
A
M└
O
●
⌒
⌒
AC ＝BC，
⌒
⌒
AD＝BD.
D
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
问题一：
⌒
例1、已知AB如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点.
E
⌒
分析:要平分AB,只要画垂
直于弦AB的直径.而这条直径应在弦A源自的垂直平分线上.A
作法:
1. 连结AB;
⌒
2. 作AB的垂直平分线CD,交AB与点E;
⌒
∴点E就是所求AB的中点.
B
问题二：
例2：如图已知在⊙ O 中 弦AB=16，半径0B=10，
连接OA,OB, 则OA＝OB.

O ·
A
E
D
B
小结:
A
解决有关弦的问题，常用辅助线:
M B A C C A D B N D B
. O
连接半径
O E
.
.O
过圆心作 弦的垂线
垂直于弦的直径
为应用垂径定理创造条件
常用辅助线:
垂直于弦的直径
学生练习
已知：AB是⊙O直径，CD 是弦，AE⊥CD，BF⊥CD 求证：EC＝DF A E C D O
A
●
O
D
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 ⌒ AB(用 两个字母).

C
⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 AmB (用三个字母).

猜想探索
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。 （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
垂径定理的逆定理
如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直 径CD，交AB于点M.
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由. C A
●
B
O
由
M
●
① CD是直径 ② AM=BM
可推得
③CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
最短的弦等于_________。
M
.
O
P N
A
B
双基训练 1. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C ) A.2cm B. 3 cm C. 2 3cm D. 2 5 cm
O A
B
2.已知点P是半径为5的⊙O内 的一定点，且OP=4，则过P 点的所有弦中，弦长可能取 的整数值为（ C ）

*3.3 垂径定理
续表
（1）定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直线（线段），其 本质是“过圆心”； 特别提醒 （2）“平分弦所对的两条弧”是指既平分弦所对的优弧（如图中的
），又平分弦所对的劣弧（如图中的 ）
-2-
*3.3 垂径定理
2. 垂径定理的推论
文字描述 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 如图，直径 CD 与非直径的弦 AB
的是 （ ）
A. CM=DM B.
C. ∠ACD=∠ADC D. OM=MB
（第 1 题图）
（第 2 题图）
2. 如图所示，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂足为 N，
则 ON= （ ）
A． 5
B． 7
C． 9
D． 11
-1-
*3.3 垂径定理
3.（教材 P76，习题 T2 变式）如图，AE 是⊙O 的直径，半径 OD 垂直于 弦 AB，垂足为 C，AB=8 cm，CD=2 cm，求 BE 的长．
∴AN= AB=12， 在 Rt△AON 中， ∵AO=13，∴ON=
=5．
3. 解：∵ 半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C， AB=8 cm，∴AC= AB=4 cm，
设 CO=x cm，则 AO=DO=（x+2）cm，在 Rt△AOC 中，AO2=CO2+AC2， ∴（x+2）2=x2+42，解得 x=3，即 CO=3 cm. ∵AO=EO，AC=CB，OC 为△ABE 的中位线，∴BE=2CO=6 cm． 4. D 提示：一条直线经过圆心，平分弦所对的劣弧，根据垂径定理及其推论可 知，它垂直平分这条弦，并且平分弦所对的优弧． 5. 120 提示：∵ 弦 AC 与半径 OB 互相平分，∴OA=AB，∵OA=OB，∴△OAB 是 等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=2∠AOB=120°.

实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重 复几次，你发现了什么？由此你能得到什 么结论？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴。
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（X ）
观察并回答
（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？ （2）若把直径AB向下平移，变成非直径 的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？
A
E
B
A
D
E
B
A
O
E
B
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
( )(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
√( )(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，
CD⊥AB于E，则下列结论中C不成立的A是（ ）
A、∠COE=∠DOE
B、CE=DE C、OE=AE
C A
么？
M D B
.O
解：AC＝BD，理由是：
作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥NCD。 则AM＝BM，CM＝⌒DM（⌒垂直⌒于弦⌒的直径 平分弦所对的弧） ∵A⌒M－C⌒M ＝ B⌒M －D⌒M ∴A⌒C＝B⌒D
图中两圆为同心圆
变式1：AC与BD有什么关系？ 变式2：AC＝BD依然成立吗
B (1)垂直于弦
●O
(2)过圆心
(3)平分弦
(4)平分弦所对的优弧
D
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(2）(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C

C A O · B D
C
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
A
└ M
●
B
O
如果具备上面五个条件中的任何两个，那 么一定可以得到其他三个结论吗？ 一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3) 平分弦（不是直径）; (4)平分弦所对优弧;(5) 平分弦所对的劣弧.
D
课堂讨论
根据已知条件进行推导：
① ② ② ④ ⑤ ① ④
③ ④ ⑤ ③ ② ⑤
① ③ ② ① ④ ④ ③ ⑤ ⑤ ② （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧
解： OE AB 1 1 AE AB 8 4 2 2
A E B
在Rt △ AOE 中
2 2 2
O
·
AO OE AE = 3 +4 =5cm
2
答：⊙O的半径为5cm.
结论：
在直径，弦长，弦心距，弓形的高，这四个量 中已知任意两个量，即可根据勾股定理求出另 外两个量。
① ③
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
（2015中考题）如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,
点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、 BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于 F,EF= 。
O
A
E
F
B
P
试一试
C
O · E D B

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂径定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了垂径定理及其在实际问题中的应用。回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思和总结。
首先，关于导入新课环节，我通过提出与生活密切相关的问题，激发了学生的兴趣。这种方法有助于吸引学生的注意力，使他们更快地进入学习状态。在今后的教学中，我将继续采用这种导入方式，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“垂径定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“你们认为垂径定理在建筑设计中有哪些应用？”
-理解垂径定理的证明过程：学生对几何证明的逻辑推理过程往往感到困难。
-作图的准确性：学生在作图时难以精确地表示出直径垂直于弦，以及弦被平分的情况。
-弦、弦心距、半径之间数量关应用于不同题型。
-解决实际问题时构建数学模型的能力：学生需要学会将实际问题转化为数学问题，并运用垂径定理进行解决。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂径定理的基本概念。垂径定理指出，圆的直径垂直于其所在的弦，并且平分这条弦。这个定理在几何学中非常重要，它不仅揭示了圆的内在性质，还在解决实际问题中有着广泛的应用。