圆的垂径定理习题及答案

垂径定理实例练习题
根据垂径定理，设有一个圆，有一个直径和一个点位于该圆上，连接该点与直径的两个端点，则连接该点与圆心的线段垂直于直径。

下面是一些关于垂径定理的实例练题：
1. 问题描述：在一个圆上，有一条直径AB，并且连接圆上一
点C与直径的两个端点A和B，证明线段AC与线段BC互相垂直。

解答：因为AC连接了圆上的一点与圆心，所以根据垂径定理，线段AC与直径AB垂直。

同理，线段BC与直径AB也垂直。

因此，线段AC与线段BC互相垂直，证毕。

2. 问题描述：在圆P上，有一条直径EF，并且连接了圆上一
点D与直径的两个端点E和F。

已知EF长度为10厘米，点D离
圆心的距离为8厘米，求线段DF的长度。

解答：根据垂径定理，因为点D连接了圆上的一点与圆心，所以线段DF垂直于直径EF。

由于EF长度为10厘米，根据直角三角
形的性质，可以使用毕达哥拉斯定理计算线段DF的长度。

根据毕达哥拉斯定理，我们有：
其中，c代表斜边（即线段EF），a和b代表直角边（即线段DF和DE）。

已知EF长度为10厘米，代入公式可得：
解方程可得DF的值为6厘米，即线段DF的长度为6厘米。

以上是垂径定理的一些实例练习题的讲解。

希望能够帮助你理解和应用垂径定理。

如有任何问题，请随时向我提问。

垂径定理专题试题精选二附答案一．解答题（共29小题）1．（2015•永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE=CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．2．（2015•东西湖区校级模拟）如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB 于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．3．（2015•安徽模拟）如图，⊙O中，AB、CD是⊙O的直径，F是⊙O上一点，连接BC、BF，若点B是弧CF的中点．（1）求证：△ABF≌△DCB；（2）若CD⊥AF，垂足为E，AB=10，∠C=60°，求EF的长．4．（2015•黄浦区一模）已知：如图，⊙O的半径为5，P为⊙O外一点，PB、PD与⊙O分别交于点A、B和点C、D，且PO平分∠BPD．（1）求证：=；（2）当PA=1，∠BPO=45°时，求弦AB的长．5．（2015•大庆模拟）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．请完成下列填空：①请在图中确定并点出该圆弧所在圆心D点的位置，圆心D坐标；②⊙D的半径=（结果保留根号）；③的长为．6．（2015•历城区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，交AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为2cm，求弦CD的长．7．（2015•嘉定区一模）如图，已知AB是圆O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC=30°，ON：AN=2：3，OM⊥CD，垂足为点M．（1）求OM的长；（2）求弦CD的长．8．（2014•武汉模拟）如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC，点E为垂足，点D在优弧上．（1）若∠AOB=56°，求∠ADC的度数；（2）若BC=6，AE=1，求⊙O的半径．9．（2015•温州模拟）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点C作CD⊥AB 于点D，CD=4，AD=8．点E为的中点，延长AE交DC的延长线于点F．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CA=CF．10．（2015•镇海区模拟）如图A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是弧的中点，求证四边形OACB是菱形．11．（2015•巴中模拟）如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长．12．（2015春•安岳县月考）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．13．（2015•绵阳模拟）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）请证明：E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．14．（2015•黄陂区校级模拟）在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4．以点A为圆心，AC 长为半径画弧交CB的延长线与点D，求CD的长．15．（2015•江岸区校级模拟）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D 两点．求证：AC=BD．16．（2015•东西湖区校级模拟）如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．17．（2015•宝应县校级模拟）如图，过▱ABCD中的三个顶点A、B、D作⊙O，且圆心O在▱ABCD外部，AB=8，OD⊥AB于点E，⊙O的半径为5，求▱ABCD的面积．18．（2015•高密市一模）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA∥PE （1）求证：AP=AO；（2）若弦AB=12，求tan∠OPB的值．19．（2015•武汉模拟）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，若⊙O的半径为2．（1）求BC的长度；（2）如图2，过点A作AH⊥BC于点H，若AB+AC=12，求AH的长度．20．（2012•长春）如图，在同一平面内，有一组平行线l1、l2、l3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l1上，⊙O与直线l3的交点为A、B，AB=12，求⊙O的半径．21．（2012•怀远县校级模拟）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=2，求⊙O 的半径．22．（2012•长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，﹣3）为圆心，5为半径作圆A，交x轴于B、C两点，交y轴于点D、E两点．（1）求点B、C、D的坐标；（2）如果一个二次函数图象经过B、C、D三点，求这个二次函数解析式．23．（2011•怀化）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．（1）求证：OF∥BC；（2）求证：△AFO≌△CEB；（3）若EB=5cm，CD=10cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积．24．（2011•南昌）如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）．（1）求∠BAC的度数；（2）求△ABC面积的最大值．（参考数据：sin60°=，cos30°=，tan30°=．）25．（2010•南充）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=BC．（1）求∠BAC的度数；（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG是正方形；（3）若BD=6，CD=4，求AD的长．26．（2010•河池）如图所示，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．（1）如果⊙O的半径为4，，求∠BAC的度数；（2）若点E为的中点，连接OE，CE．求证：CE平分∠OCD；（3）在（1）的条件下，圆周上到直线AC距离为3的点有多少个？并说明理由．27．（2010•武汉模拟）如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B （﹣3，O），C（，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．28．（2010•宁波模拟）已知：如图，矩形ABCD中，点E、F分别在DC，AB边上，且点A、F、C在以点E为圆心，EC为半径的圆上，连接CF，作EG⊥CF于G，交AC于H．已知AB=6，设BC=x，AF=y．（1）求证：∠CAB=∠CEG；（2）①求y与x之间的函数关系式．②x=时，点F是AB的中点；（3）当x为何值时，点F是的中点，以A、E、C、F为顶点的四边形是何种特殊四边形？试说明理由．29．（2008•广安）如图，AB为⊙O的直径，OE交弦AC于点P，交于点M，且=．（1）求证：OP=BC；（2）如果AE2=EP•EO，且AE=，BC=6，求⊙O的半径．垂径定理专题试题精选二附答案参考答案一．解答题（共29小题）1．；2．；3．；4．；5．（2，0 ）；2；π；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．；16．；17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．3；29．；。

2013中考全国100份试卷分类汇编圆的垂径定理1、（2013年潍坊市）如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1:5,则CD 的长为（ ）.A.24B.28C.52D.542、(2013年黄石)如右图，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，3AC =，4BC =，以点C 为圆心，CA 为 半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为（ ）A.95B. 245C. 185D. 523、(2013河南省)如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥于点G ，直线EF 与O 相切与点D ，则下列结论中不一定正确的是（ ）A. AG ＝BGB. AB ∥BFC.AD ∥BCD. ∠ABC ＝ADC4、（2013•泸州）已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ） A. cm B. cm C. cm 或cm D. cm 或cm5、（2013•广安）如图，已知半径OD 与弦AB 互相垂直，垂足为点C ，若AB=8cm ，CD=3cm ，则圆O 的半径为（ ）A. cmB. 5cmC. 4cmD. cm6、（2013•绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8m ，桥拱半径OC 为5m ，则水面宽AB 为（ ）7、（2013•温州）如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（）A. B. C. D.8、（2013•嘉兴）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A. 2B.C.D.9、（2013•莱芜）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A. B. C. D. 3210、（2013•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（）A. 10B. 8C. 5D. 311、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是A. 4B. 5C.6D.812、（2013•宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A. B. AF=BF C. OF=CF D. ∠DBC=90°13、（2013•毕节地区）如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O的半径（）A. 5B. 10C. 8D. 614、（2013•南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O 的半径为（）A. 4B. 5C. 4D. 315、（2013年佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（）A.3B.4C.5D.716、（2013甘肃兰州4分、12）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm17、（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．18、（13年安徽省4分、10）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不．正确．．的是（）19、（2013•宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为．图20 图21 图2220、（2013•宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 cm．21、（2013•包头）如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB=度．图23 图24 图25 图26 图27 图2823、（2013•黄冈）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为．24、（2013•绥化）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB 的长为．25、（2013哈尔滨）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为52，CD=4，则弦AC的长为．26、（2013•张家界）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD=．27、（2013•遵义）如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC=度．28、（2013陕西）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为．29、（2013年广州市）如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，PΘ与x轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0），PΘ的半径为13，则点P的坐标为 ____________.30、(2013年深圳市)如图5所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。

初中垂径定理试题及答案一、选择题1. 在圆中，垂直于弦的直径是该弦的（）。

A. 垂线B. 垂径C. 弦心距D. 弦长答案：B2. 垂径定理告诉我们，如果一条线段垂直于弦，并且平分弦，那么它也平分弦所对的（）。

A. 弧B. 圆心角C. 弦心距D. 弦长答案：A3. 在圆中，如果一条直径垂直于弦，那么这条直径将弦分成的两段长度（）。

A. 相等B. 不相等C. 无法确定D. 取决于圆的大小答案：A二、填空题4. 在圆中，如果弦AB的中点为M，且直径CD垂直于弦AB于点M，则弦AB所对的弧ACB的度数为______。

答案：90°5. 垂径定理在圆的几何学中非常重要，它说明了垂直于弦的直径将弦平分，并且平分的弦所对的弧是______。

答案：相等的三、解答题6. 已知圆O的半径为10cm，弦AB垂直于直径CD于点M，求弦AB的长度。

答案：由于直径CD垂直于弦AB，根据垂径定理，弦AB被直径CD平分，因此弦AB的长度为圆的直径，即20cm。

7. 在一个圆中，弦AC的长度为12cm，弦BC的长度为8cm，且AC和BC相交于点O，求圆的半径。

答案：由于AC和BC相交于圆心O，根据垂径定理，OA=OC，OB=OA，因此OA=OC=6cm，OB=OA=6cm。

根据勾股定理，圆的半径r满足r^2 =OA^2 + OB^2 = 6^2 + 6^2 = 72，所以r = √72 = 6√2 cm。

四、证明题8. 证明：在圆中，如果一条直径垂直于弦，那么这条直径将弦平分。

答案：设圆心为O，直径为CD，弦为AB，且CD垂直于AB于点M。

要证明CM=MD。

由于CD是直径，所以∠CMO=∠DMO=90°。

根据垂径定理，CM=MD，因此这条直径将弦平分。

圆的垂径定理练习题圆的垂径定理是几何学中的重要定理之一，它给出了圆上的垂径之间的关系。

在这篇文章中，我们将通过一些练习题来加深对这个定理的理解和应用。

练习题一：给定一个半径为5的圆，其中一条垂径的长度为12。

求另一条垂径的长度。

解析：根据圆的垂径定理，垂径的乘积等于半径的平方。

设另一条垂径的长度为x，则有12 * x = 5 * 5。

解这个方程可以得到x的值，进而求出另一条垂径的长度。

练习题二：在一个半径为8的圆中，一条垂径的长度为15。

求另一条垂径的长度。

解析：同样地，根据圆的垂径定理，垂径的乘积等于半径的平方。

设另一条垂径的长度为y，则有15 * y = 8 * 8。

解这个方程可以得到y的值，进而求出另一条垂径的长度。

练习题三：在一个半径为10的圆中，一条垂径的长度为24。

求另一条垂径的长度。

解析：同样地，根据圆的垂径定理，垂径的乘积等于半径的平方。

设另一条垂径的长度为z，则有24 * z = 10 * 10。

解这个方程可以得到z的值，进而求出另一条垂径的长度。

通过以上三个练习题，我们可以看到圆的垂径定理的应用。

它告诉我们，对于一个圆来说，任意两条垂径的乘积都等于半径的平方。

这个定理在解决一些几何问题中非常有用。

除了上述练习题，我们还可以通过一些实际问题来应用圆的垂径定理。

例如，假设有一个圆形花坛，我们想在花坛中心种一棵树。

为了确保树能够均匀地分布在花坛中，我们可以利用垂径定理来确定每棵树之间的最佳位置。

另一个实际应用的例子是在建筑设计中。

如果我们想在一个圆形庭院中建造一个喷泉，我们可以利用垂径定理来确定喷泉的位置，以确保水能够均匀地喷射到庭院的各个角落。

综上所述，圆的垂径定理是一个重要的几何定理，它给出了圆上的垂径之间的关系。

通过练习题和实际应用，我们可以更好地理解和应用这个定理。

无论是解决几何问题还是在实际生活中应用，垂径定理都发挥着重要的作用。

圆中垂径定理综合应用(3大类题型)重难点题型归纳【题型1直接运用勾股定理求线段】【题型2勾股定理与方程综合求线段】【题型3垂径定理在实际中应用】满分必练【题型1直接运用勾股定理求线段】1(2023•大连模拟)如图所示，在⊙O中，直径AB=10，弦DE⊥AB于点C，连接DO．若OC：OB =3：5，则DE的长为()A.3B.4C.6D.82(2023•杭州模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE= ( )cm．A.8B.5C.3D.23(2023•宜昌)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD=CD=8，OD=6，则BD的长为()A.5B.4C.3D.24(2023•金寨县校级模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，AB=10，则AE 的长为()A.1B.2C.3D.45(2023•亳州三模)如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点H．若AB=10，CD=8，则BH的长为()A.5B.4C.3D.26(2023•容县一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，CD=8cm，AB=10cm，则AE=．7(2023•衡南县三模)在⊙O中，直径AB=4，弦CD⊥AB于P，OP=3，则弦CD的长为．8(2023•东台市校级模拟)如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA=5，AB= 8，则线段CD的长为=．9(2023•望城区模拟)如图，AB是⊙O的直径，且AB=10cm，弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，连接OC，则BE=cm．10(2023•长沙县二模)如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为．【题型2勾股定理与方程综合求线段】11(2023•邯郸模拟)如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB=16，CM=16．则MD 的长为()A.4B.6C.8D.1012(2022秋•南开区校级期末)如图，在⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB=8，CD=2，则EC的长度为()A.215B.8C.210D.21313(2022秋•文登区期末)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE=CD=8，则⊙O的半径为()D.5A.3B.4C.9214(2022秋•西湖区校级期末)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若BE=10，CD= 8，则⊙O的半径为()A.3B.4.2C.5.8D.615(2022秋•泰山区校级期末)一块圆形宣传标志牌简图如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB=16dm，DC=4dm，则圆形标志牌的半径为()A.6dmB.5dmC.10dmD.3dm16(2022秋•任城区校级期末)如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=2寸，AB=16寸，直径CD的长是()A.28寸B.30寸C.36寸D.34寸17(2023•汉阳区校级一模)如图，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=6，则CD长为()A.10B.9C.8D.518(2023•汇川区三模)在半径为r的圆中，弦BC垂直平分OA，若BC=6，则r的值是()A.3B.33C.23D.23219(2023春•仪征市期末)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CE=3，BE=1，则OC=．20(2023•大冶市一模)如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD=1，AB=4，则⊙O的半径是　52　．【题型3垂径定理在实际中应用】21(2022秋•海淀区校级月考)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是弧AB的圆心，C为弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D．已知AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径．22(2022秋•郾城区期中)如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽AB 为0.6米，污水的最大深度为0.1米．(1)求此下水管横截面的半径；(2)随着污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此时水面的宽度增加了多少？23(2022秋•沭阳县期中)如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB=3.2米，拱高CD=0.8米(C为AB的中点，D为弧AB的中点)．(1)求该圆弧所在圆的半径；(2)在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．24如图，有一拱桥是圆弧形，它的跨度(所对弦长)为60m，拱高18m，当水面涨至其跨度只有30m时，就要采取紧急措施．某次洪水来到时，拱顶离水面只有4m，问是否需要采取紧急措施？25如图，残缺轮片上弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB=24cm，CD=8cm．(1)找出此残缺轮片所在圆的圆心(写出找到圆心的方法)；(2)求此圆的半径．26某地有一座圆弧形拱桥，所在圆的圆心为点O，桥下水面宽度AB为7.2m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD=2.4m(如图)．现有一艘宽3m、船舱顶部高出水面AB2m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？27我国古算书《九章算术》中有“圆材埋壁”一题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径(直径)几何？”(注：如图，⊙O表示圆材截面，CE是⊙O的直径，AB表示“锯道”，CD表示“锯深”，1尺=10寸，求圆材的直径长就是求CE的长．)28如图，半圆拱桥的圆心为O，圆的半径为5m，一只8m宽的船装载一集装箱，箱顶宽6m，离水面AB高3.8m，这条船能过桥洞吗？请说明理由．29(2022秋•沭阳县校级月考)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24(1)求CD的长；(2)现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？30(2022秋•东台市期中)如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．(精确到0.1m)圆中垂径定理综合应用(3大类题型)重难点题型归纳【题型1直接运用勾股定理求线段】【题型2勾股定理与方程综合求线段】【题型3垂径定理在实际中应用】满分必练【题型1直接运用勾股定理求线段】1(2023•大连模拟)如图所示，在⊙O中，直径AB=10，弦DE⊥AB于点C，连接DO．若OC：OB =3：5，则DE的长为()A.3B.4C.6D.8【答案】D【解答】解：∵AB=10，∴OA=OB=5，∵OC：OB=3：5，∴OC=3，在Rt△OCD中，CD=OD2-OC2=52-32=4，∵DE⊥AB，∴DE=2CD=8，故选：D．2(2023•杭州模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE= ( )cm．A.8B.5C.3D.2【答案】A【解答】解：∵AB⊥CD，AB是直径，∴CE=ED=4cm，在Rt△OEC中，OE=OC2-EC2=52-42=3(cm)，∴AE=OA+OE=5+3=8(cm)，故选：A．3(2023•宜昌)如图，OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，AC ，OB 交于点D ．若AD =CD =8，OD =6，则BD 的长为()A.5B.4C.3D.2【答案】B 【解答】解：∵AD =CD =8，∴OB ⊥AC ，在Rt △AOD 中，OA =AD 2+OD 2=82+62=10，∴OB =10，∴BD =10-6=4．故选：B ．4(2023•金寨县校级模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若CD =6，AB =10，则AE 的长为()A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解答】解：连接OC ，∵直径AB ⊥CD ，∴EC =12CD =12×6=3，∵AB =10，∴OC =OA =5，∴OE =OC 2-CE 2=4，∴AE =OA -OE =1．故选：A ．5(2023•亳州三模)如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点H．若AB=10，CD=8，则BH的长为()A.5B.4C.3D.2【答案】D【解答】解：连接OC，∵AB⊥CD，CD=8，∴CH=DH=12CD=4，∠OHC=90°，∵AB=10，∴OB=OC=5，∴OH=OC2-CH2=52-42=3，∴BH=OB-OH=2，故选：D．6(2023•容县一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，CD=8cm，AB=10cm，则AE=2cm．【答案】2cm．【解答】解：由题意可知，AB垂直平分CD，OC=OA=12AB=5cm，∴CE=12CD=4cm，在Rt△CEO中，OE=OC2-CE2=52-42=3(cm)，∴AE=OA-OE=2cm．故答案为：2cm．7(2023•衡南县三模)在⊙O中，直径AB=4，弦CD⊥AB于P，OP=3，则弦CD的长为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OC，∵在⊙O中，直径AB=4，AB=2，∴OA=OC=12∴弦CD⊥AB于P，OP=3，∴CP=OC2-OP2=1，∴CD=2CP=2．故答案为：2．8(2023•东台市校级模拟)如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA=5，AB= 8，则线段CD的长为=2．【答案】2．【解答】解：∵OC⊥AB，AB=4，∴AD=BD=12在Rt△OAD中，OD=OA2-OD2=52-42=3，∴CD=OC-OD=5-3=2．故答案为：2．9(2023•望城区模拟)如图，AB是⊙O的直径，且AB=10cm，弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，连接OC，则BE=2cm．【答案】2．【解答】解：∵弦CD ⊥AB ，CD =8cm ，∴CE =12CD =4cm ，在Rt △OEC 中，OC =12AB =5cm ，∴OE =OC 2-CE 2=3cm ，∴BE =OB -OE =2(cm )，故答案为：2．10(2023•长沙县二模)如图，⊙O 的半径为5，弦AB =8，点C 是AB 的中点，连接OC ，则OC 的长为3．【答案】3．【解答】解：∵B 是AC 的中点，∴AC =12AB =4，OC ⊥AB ，在Rt △OAC 中，OC =OA 2-AC 2=52-42=3．故答案为：3．【题型2勾股定理与方程综合求线段】11(2023•邯郸模拟)如图，以CD 为直径的⊙O 中，弦AB ⊥CD 于M ．AB =16，CM =16．则MD 的长为()A.4B.6C.8D.10【答案】A【解答】解：连接OA ，如图，设⊙O 的半径为r ，则OA =r ，OM =16-r ，∵AB ⊥CD ，∴AM =BM =12AB =8，在Rt △AOM 中，82+(16-r )2=r 2，解得r =10，∴MD =CD -CM =20-16=4．故选：A ．12(2022秋•南开区校级期末)如图，在⊙O 中，半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC ，若AB =8，CD =2，则EC 的长度为()A.215B.8C.210D.213【答案】D【解答】解：如图，连接BE ，设⊙O 的半径为R ，∵OD ⊥AB ，∴AC =BC =12AB =12×8=4，在Rt △AOC 中，OA =r ，OC =r -CD =r -2，由勾股定理，得OC 2+AC 2=OA 2，∴42+(r -2)2=r 2，解得r =5，∴OC =5-2=3，∵O 是AE 的中点，C 是AB 的中点，∴OC 是三角形ABE 的中位线，∴BE =2OC =6，∵AE 为⊙O 的直径，∴∠ABE =90°，在Rt △BCE 中，CE =BC 2+BE 2=213．故选：D ．13(2022秋•文登区期末)如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AE =CD =8，则⊙O 的半径为()A.3B.4C.9D.52【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE=CD=8，CD=4，∴CE=DE=12设OC=r，则OE=8-r，在Rt△OCE中，OE2+CE2=OC2，即(8-r)2+42=r2，解得r=5．故选：D．14(2022秋•西湖区校级期末)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若BE=10，CD= 8，则⊙O的半径为()A.3B.4.2C.5.8D.6【答案】C【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OE=10-R，∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD=8，∴∠OEC=90°，CE=DE=4，由勾股定理得：OC2=CE2+OE2，R2=42+(10-R)2，解得：R=5.8，即⊙O的半径长是5.8，故选：C．15(2022秋•泰山区校级期末)一块圆形宣传标志牌简图如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB=16dm，DC=4dm，则圆形标志牌的半径为()A.6dmB.5dmC.10dmD.3dm【答案】C【解答】解：连接OA，OD，∵点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，AB=16dm，DC=4dm，∴AD=8dm，设圆形标志牌的半径为r，可得：r2=82+(r-4)2，解得：r=10，故选：C．16(2022秋•任城区校级期末)如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=2寸，AB=16寸，直径CD的长是()A.28寸B.30寸C.36寸D.34寸【答案】D【解答】解：如图，连接OA，∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB=16寸，∴∠AEO=90°，AE=BE=8寸，设圆的半径是r寸，在直角△OAE中，OA=r寸，OE=(r-2)寸，由勾股定理得：OA2=OE2+AE2，r2=(r-2)2+82，解得：r=17．则CD=2×17=34(寸)．故选：D．17(2023•汉阳区校级一模)如图，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=6，则CD长为()A.10B.9C.8D.5【答案】A【解答】解：设⊙O的半径为R，则OE=R-1，∵AB⊥CD，AB=6，∴AE=BE=3，∠AEO=90°，在Rt△AEO中，由勾股定理得：AO2=AE2+OE2，R2=(R-1)2+32，解得：R=5，即CD =10，故选：A ．18(2023•汇川区三模)在半径为r 的圆中，弦BC 垂直平分OA ，若BC =6，则r 的值是()A.3B.33C.23D.232【答案】C 【解答】解：设OA 交BC 于点D ，如图，∵BC 垂直平分OA ，∴OD =12r ，BD =CD =12BC =3，在Rt △OBD 中，(12r )2+32=r 2，解得r 1=23，r 2=-23(舍去)，即r 的值为23．故选：C ．19(2023春•仪征市期末)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，CE =3，BE =1，则OC =2．【答案】2．【解答】解：设OC =x ，则OE =x -1，在Rt △COE 中由勾股定理得，OC 2=CE 2+OE 2，即x 2=(3)2+(x -1)2，解得x =2，即OC =2，故答案为：2．20(2023•大冶市一模)如图，AB 是⊙O 的弦，C 是AB 的中点，连接OC 并延长交⊙O 于点D ．若CD =1，AB =4，则⊙O 的半径是　52　．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OA ，∵C 是AB 的中点，∴AC =12AB =2，OC ⊥AB ，∴OA 2=OC 2+AC 2，即OA 2=(OA -1)2+22，解得，OA =52，故答案为：52．【题型3垂径定理在实际中应用】21(2022秋•海淀区校级月考)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB ，点O 是弧AB 的圆心，C 为弧AB 上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ．已知AB =60m ，CD =10m ，求这段弯路的半径．【答案】这段弯路的半径为50m ．【解答】解：连接OB ，∵OC ⊥AB ，∴AD =BD =12AB =30m ，设半径为r ，则OD =r -10，在Rt △OBD 中，OD 2+BD 2=OB 2，即(r -10)2+302=r 2，解得r =50m ，答：这段弯路的半径为50m ．22(2022秋•郾城区期中)如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽AB 为0.6米，污水的最大深度为0.1米．(1)求此下水管横截面的半径；(2)随着污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此时水面的宽度增加了多少？【答案】(1)下水管半径为0.5米；(2)水位又被抬升0.7米，水面的宽度增加了0.2米．【解答】解：(1)作半径OD ⊥AB 于C ，连接OB ，则CD =0.1米，由垂径定理得：BC =12AB =0.3米，在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2，∴OB 2=(OB -0.1)2+0.09，∴BO =0.5，即下水管半径为0.5米；(2)如图，过点O 作OH ⊥MN 于H ，∴NH =MH ，∵水位又被抬升0.7米，∴OH =0.1+0.7-0.5=0.3米，∴NH =ON 2-OH 2=0.25-0.09=0.4米，∴MN =0.8米，∴增加了0.2米，∴水位又被抬升0.7米，水面的宽度增加了0.2米．23(2022秋•沭阳县期中)如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB =3.2米，拱高CD =0.8米(C 为AB 的中点，D 为弧AB 的中点)．(1)求该圆弧所在圆的半径；(2)在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF ，求支撑杆EF 的高度．【答案】0.4米．【解答】解：(1)设弧AB 所在的圆心为O ，D 为弧AB 的中点，CD ⊥AB 于C ，延长DC 经过O 点，则BC =12AB =1.6(米)，设⊙O 的半径为R ，在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+CB 2，∴R 2=(R -0.8)2+1.62，解得R =2，即该圆弧所在圆的半径为2米；(2)过O 作OH ⊥FE 于H ，则OH =CE =1.6-0.4=1.2=65(米)，OF =2米，在Rt △OHF 中，HF =OF 2-OH 2=22-652=1.6(米)，∵HE =OC =OD -CD =2-0.8=1.2(米)，∴EF =HF -HE =1.6-1.2=0.4(米)，即支撑杆EF 的高度为0.4米．24如图，有一拱桥是圆弧形，它的跨度(所对弦长)为60m ，拱高18m ，当水面涨至其跨度只有30m 时，就要采取紧急措施．某次洪水来到时，拱顶离水面只有4m ，问是否需要采取紧急措施？【答案】不需要．【解答】解：∵AB =60米，MP =18米，OP ⊥AB ，∴AM =12AB =30(米)，OM =OP -MP =(x -18)米，在Rt △OAM 中，由勾股定理得OA 2=AM 2+OM 2，∴x 2=302+(x -18)2，∴x =34(米)．当PN =4时，∵PN =4，OP =x ，∴ON =34-4=30(米)，设A ′N =y 米，在Rt △OA ′N 中，∵OA ′=34，A ′N =y ，ON =30，∴342=y 2+302，∴y =16或y =-16(舍去)，∴A ′N =16，∴A ′B ′=16×2=32(米)>30米，∴不需要采取紧急措施．25如图，残缺轮片上弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D ，已知AB =24cm ，CD =8cm ．(1)找出此残缺轮片所在圆的圆心(写出找到圆心的方法)；(2)求此圆的半径．【答案】(1)圆的圆心如图所示；(2)13．【解答】解：(1)连接AC，作线段AC的垂直平分线交直线CD为O，则点O为此残缺轮片所在圆的圆心；(2)连接OA，设此圆的半径为rcm，则OD=(r-8)cm，∵CD是弦AB的垂直平分线，AB=24cm，∴AD=12cm，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=(r-8)2+122，解得：r=13．26某地有一座圆弧形拱桥，所在圆的圆心为点O，桥下水面宽度AB为7.2m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD=2.4m(如图)．现有一艘宽3m、船舱顶部高出水面AB2m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？【答案】此货船能顺利通过这座拱桥．【解答】解：如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB=7.2m，AB=3.6m．∴BD=12又∵CD=2.4m，设OB=OC=ON=rm，则OD=(r-2.4)m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2=(r-2.4)2+3.62，解得r=3.9．∵CD=2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB2m，∴CE=2.4-2=0.4m，∴OE=r-CE=3.9-0.4=3.5m，在Rt△OEN中，EN2=ON2-OE2=3.92-3.52=2.96(m2)，∴EN= 2.96(m)．∴MN=2EN=2× 2.96≈3.44m>3m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．27我国古算书《九章算术》中有“圆材埋壁”一题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径(直径)几何？”(注：如图，⊙O 表示圆材截面，CE 是⊙O 的直径，AB 表示“锯道”，CD 表示“锯深”，1尺=10寸，求圆材的直径长就是求CE 的长．)【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OA ，如图所示：∵AB ⊥CE ，∴AD =BD ，∵AB =10，∴AD =5，在Rt △AOE 中，∵OA 2=OD 2+AD 2，∴OA 2=(OA -1)2+52，解得：OA =13，∴CD =2A 0=26；即直径为26寸．28如图，半圆拱桥的圆心为O ，圆的半径为5m ，一只8m 宽的船装载一集装箱，箱顶宽6m ，离水面AB 高3.8m ，这条船能过桥洞吗？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，过点O 作OF ⊥DE 于点F ，则EF =DF =12DE ，假设DE =6m ，则DF =3m ，∵圆的半径为5m ，∴OD =5m ，∴OF =OD 2-DF 2=52-32=4>3.8，∴这条船能过桥洞．29(2022秋•沭阳县校级月考)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且AB =26m ，OE ⊥CD 于点E ．水位正常时测得OE ：CD =5：24(1)求CD 的长；(2)现汛期来临，水面要以每小时4m 的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)∵直径AB=26m，∴OD=12AB=12×26=13m，∵OE⊥CD，∴DE=12CD，∵OE：CD=5：24，∴OE：ED=5：12，∴设OE=5x，ED=12x，∴在Rt△ODE中(5x)2+(12x)2=132，解得x=1，∴CD=2DE=2×12×1=24m；(2)由(1)得OE=1×5=5m，延长OE交圆O于点F，∴EF=OF-OE=13-5=8m，∴84=2(小时)，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．30(2022秋•东台市期中)如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．(精确到0.1m)【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接OC，AB交CD于E，由题意知：AB=1.6+6.4+4=12，所以OC=OB=6，OE=OB-BE=6-4=2，由题意可知：AB⊥CD，∵AB过O，∴CD=2CE，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE=OC2-OE3=62-22=42，∴CD=2CE=82≈11.3m，所以路面CD的宽度为11.3m．。

9题10题11题5题6题《垂径定理》练习题1.半径为8的圆中，垂直平分半径的弦长为 。

2.⊙O 的半径为6，M 为⊙O 内一点，OM=4，则过点M 的所有弦中，最长的弦长为 ,最短的弦长为 。

3. 如图，⊙O 的AB 垂直平分半径OACB 的形状为 。

4.如图，⊙O 中，AB ⊥AC ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，且OE=3,OF=4,则AB= ,AC= ,⊙O 的半径R= 。

5.如图，⊙O 中，AB 为弦，AB=8m,直径为10cm ，若M 为弦AB 上一点，则OM 的长x 的取值范围为 。

6.如图，⊙O 中，AB 为弦，且AB=421 cm ，sin ∠OAB=25,则⊙O 的半径为 。

7.如图，AB 是半径为15cm 的⊙O 中的一条弦，交半径为13cm 的同心圆于点C 、D 两点，已知，O 到AB 的距离为12cm,则AC+BD= 。

8.如图，有一条圆弧形拱桥，桥的跨度AB=16m,拱高CD=4m ，则拱形的半径为 。

9.如图，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于点M ，添加一个条件 ，就可以得到M 为AB 的中点。

10.如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆PA 与点A 运动所形成的⊙O 交于点B ，现测得PB=4cm,AB=10cm, ⊙O 的半径R=13cm,此时P 点到圆心O 的距离是 。

11.如图，已知AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB=10cm,PB=4cm,OP=5cm,则⊙O 的半径为 。

12.如图，水平放置的圆柱形水管的截面半径为5dm,水面宽AB 为6dm,则此时水深为 。

13.⊙O 的半径为13cm ，E 为⊙O 内一点，OE=5cm,则过E 点的所有弦中，长度为整数的弦有 条。

14.⊙O 中弦AB 与弦CD 垂直于点P ，且AP=PB=4cm,PC=2cm,则⊙O 的直径为 .15.已知P 为⊙O 内一点，且经过P 点的最长弦长为26cm, 过P 点的最短弦长为10cm ，则OP= 。

垂径定理的应用专项练习60题（有答案）1．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则中间柱CD的高度为多少m？2．赵州桥建于1400多年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性的桥梁，桥拱是圆弧形（如图）．经测量，桥拱下的水面距拱顶6m时，水面宽34.64m，已知桥拱跨度是37.4m，运用你所学的知识计算出赵州桥的大致拱高．（注意：运算时取37.4=14，34.64=20）3．有一圆弧形拱桥，水面AB的宽32米，当水面上升4米时，水面宽24米，当上游洪水来到时，水面每小时上升0.25米，问再过几小时，洪水会漫过桥面？4．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如下图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱项距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时，高度为5m的船是否能通过该桥？请说明理由．5．一个半圆形桥洞截面如图所示，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD=16m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE=．（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？6．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．7．某处一个圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面，量得AB的长为16cm，截面最深处为4cm，请你帮助维修人员确定管道圆形截面的半径长．8．已知排水管的截面为如图所示的圆O，半径为10，圆心O到水面的距离是6，求水面宽AB．9．如图是小方在十一黄金周某旅游景点看到的圆弧形门，小方同学很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20cm，BD=200cm，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助小方同学计算出这个圆弧形门的半径是多少？10．某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，修理工人应准备内径多大的管道？11．在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．12．小明想知道一个大理石球的半径，于是找了两块厚10cm的砖塞在球的两侧（如图），并量的两砖之间的距离是60cm，请你在图中利用所学的几何知识，求出大理石球的半径（要写计算过程）．13．如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为⊙O，有水部分弓形的高为2，弦AB=（1）求⊙O的半径；（2）求截面中有水部分弓形的面积．（保留根号及π）14．一种花边是由如图的弓形组成，弧ACB的半径为5，弦AB=8．求弓形的高．15．有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度8m，拱顶高出水面2m．现有一货船载一货箱欲从桥下经过，已知货箱宽6m，高1.5m（货箱底与水面持平），问该货船能否顺利通过该桥？16．我们在园林游玩时，常见到如图所示的圆弧形的门，若圆弧所在圆与地面BC相切于E点，四边形ABCD是一个矩形．已知AB=米，BC=1米．（1）求圆弧形门最高点到地面的距离；（2）求弧AMD的长．17．一辆卡车装满货物后，高4米，宽2.8米．（1）这辆卡车能通过横截面如图所示（上方是一个半圆）的隧道吗？请说明你的理由；（2）若将此隧道的上部（从边AB、CD的中点起）装上彩灯，请计算彩灯线的总长度L．（结果保留整数）18．如图，是一块残破的圆轮片，A、B、C是圆弧上的三点．（1）作出弧ACB所在的⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如果AC=BC=60cm，∠ACB=120°，求该残破圆轮片的半径．19．某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚10cm的砖塞在球的两侧（如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是60cm，聪明的你也能算出这个大石球的半径了吗？请你建立一个用于求大理石球的几何模型，并写出你的计算过程．20．如图，有一座石拱桥的桥拱是以O为圆心，OA为半径的一段圆弧．（1）请你确定弧AB的中点；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果已知石拱桥的桥拱的跨度（即弧所对的弦长）为24米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为8米，求桥拱所在圆的半径．21．如图1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分；图2是车棚顶部截面的示意图．（1）用尺规在图2中作出弧AB所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法与证明）；（2）车棚顶部是用一种帆布覆盖的，由图1中给出数据求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留π）．22．如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB=80米，桥拱到水面的最大高度为20米．求：（1）桥拱的半径．（2）现有一轮船宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？23．如图是有一部分埋藏在地下的圆形水管截面的示意图，小明量得这个圆形水管的弦AB=160cm，露出地面部分的高为40cm，求圆形水管的半径．24．小明家在进行新房装修时准备在阳台中间位置做一个圆弧形的观景台．已知阳台的宽为80cm，廊道的宽为60cm，观景台的跨度AB为120cm，观景台的外端到墙壁EF的最近距离为40cm．求设计的圆弧形的观景台的半径应为多少cm？25．如图，一条公路的转变处是一段圆弧（图中的弧AB），点O是这段弧的圆心，C弧AB是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB=300m，CD=50m，求这段弯路的半径．26．一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．27．如图是某公园新建的圆形人工湖．为测量该湖的半径，小强和小丽沿湖边选取A、B、C三根木桩，使得A、B 之间的距离与B、C之间的距离相等，并测得B到AC的距离为3米，AC的长为60米，请你帮他们求出人工湖的半径．28．如图所示，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=30m，拱形的半径R=30m，则拱形的弧长为多少？29．某地方有座弧形的拱桥，如图，桥下的水面宽为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱形桥吗？30．如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于C，交弦AB于D．（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=24cm，CD=8cm，求（1）中所作圆的半径．31．如图是无为中学某景点内的一个拱门，它是⊙O的一部分．已知拱门的地面宽度CD=2m，它的最大高度EM=3m，求构成该拱门的⊙O的半径．32．如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面宽16cm，最深地方的高度是4cm，求这个圆形切面的半径．33．一辆汽车装满货物的卡车，2.5m的高，1.6m的宽，要进厂门形状如图某工厂，问这辆卡车能否通过门？请说明理由．34．在半径为13cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图．若油面宽AB=24cm，求油的最大深度．35．如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，求截面上有油部分油面高CD（单位：cm）．36．一条排水管的截面如右图所示，截面中有水部分弓形的弦AB为cm，弓形的高为6cm．（1）求截面⊙O的半径．（2）求截面中的劣弧AB的长．37．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径AB是多少毫米？38．如图，是一个直径为650㎜的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600㎜，求油面的最大深度．39．如图，半径是13cm圆柱形油槽，装入油后，油深CD为8cm，求油面宽度AB．40．①白云商厦服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六•一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？②如图，有一圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一竹排运送一货箱从桥下经过，已知货箱长10m，宽3m，高2m（竹排与水面持平）．问：该货箱能否顺利通过该桥？41．（1）试找出如图3所示的破残轮片的圆心的位置；（不写作法，保留作图痕迹）（2）如图4，在等边△ABC外接圆劣弧上任取一点P，连接PA、PB、PC，判断结论“PB+PC＞PA”是否正确，若正确请证明，若不正确，请举反例．42．如图为桥洞的形状，其正视图是由圆弧和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB 为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．（1）求所在⊙O的半径DO；（2）若河里行驶来一艘正视图为矩形的船，其宽6米，露出水面AB的高度为h米，求船能通过桥洞时的最大高度h．43．如图是团风某座石拱桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为？44．当宽为3cm的刻度尺的一边与⊙O相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为多少cm？45．如图所示，一种花边是由如图弧ACB组成的，弧ACB所在圆的半径为5，弦AB=8，则弓形的高CD为多少？46．如图直径为26cm的圆柱形的油槽内装入一些油以后截面如图所示，若油面宽AB=24cm，求油的最大深度．47．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB=300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD=45m，求这段公路的半径．48．某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度为7.2m，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD=2.4m（如图所示）．现有一艘宽3m、船舱顶部为正方形并高出水面AB，2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？49．如图，在直径为100mm的半圆铁片上切去一块高为20mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长．50．高速公路上一个隧道的横截面的形状是以O为圆心的圆的一部分（弓形ACB），如图，若路面AB=10米，隧道顶端与路面的最大距离（弓形高）CD=7米，求⊙O的半径．51．小明家位于六朝古都西安，一个星期天的早晨，小明吃过早饭，像往常一样来到菜地，帮助妈妈锄草，“铛”的一声，引起小明的注意，好奇的小明发现草丛下面的土里，有一个圆形的破损的古镜，爱动脑筋的小明想知道这个古镜的半径大小，他在古镜上随意找到了三个点A、B、C．若构成的△ABC恰好是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB=5cm，你能帮忙计算镜子的半径吗？52．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A、B、C，（1）画出该轮子的圆心；（用直尺与圆规）（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=10cm，腰AB=6cm，求圆片的半径R．53．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处是否会受到噪音影响？若受到影响，求出影响的时间，若不受到影响，请说明理由．54．如图，要把破残的圆形模具复制完整，已知弧上的三点A、B、C；（1）用尺规作图法，找出B、A、C所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC是等腰直角三角形，腰AB=5cm，求圆形模具中弧AC的长．55．如图是一个装有水的水管的截面，已知水管的直径是100cm，装有水的液面宽度为AB=60cm，则水管中水的最大深度为多少？56．如图，某排水管模截面，已知原有积水的水平面宽CD=0.8m时最大水深0.2m，当水面上升0.2m时水面宽多少？57．如图是一个弓形零件的截面图．已知弓形高为9cm，弦长为6cm，求弓形所在圆的半径．58．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°．点A处有一所中学，AP=160m，一辆拖拉机从P 沿公路MN前行，假设拖拉机行驶时周围100m以内会受到噪声影响，那么该所中学是否会受到噪声影响，请说明理由，若受影响已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多长？59．如图，两条公路EF和PQ在点O外交汇，∠QOF=30°，在点A处有一栋居民楼，AO=200米，如果公路上的汽车行驶时，周围200米以内会受噪音影响，那么一汽车在公路EF上沿OF的方向行驶时，居民楼是否会受影响？如果这辆汽车的速度是每小时72千米，居民楼受影响的时间约为多少秒？（≈1.732，精确到0.1秒）60．如图所示，某城区的过境公路MN和城区马路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，现计划在点A（马路PQ边）处建一所中学，AP=160m，假设汽车行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响．（1）那么汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校A是否会受到噪声的影响？请说明理由；（2）如果受到影响，已知汽车的速度限为60km/小时，那么学校受到影响的时间为多少秒？参考答案：1．如图所示：已知AB=16m，半径OA=10m，AB为弦，∴OC垂直平分AB∴AD=AB=8m在Rt△AOD中，由勾股定理可得：OD2=AO2﹣AD2∴OD=6m∴CD=OC﹣OD=4m答：中间柱CD的高度为4m．2．如图，设圆弧所在圆的圆心为O，AB=37.4=14m，CD=34.6=20m，GE=6m．在Rt△OCE中，OE=OC﹣6，CE=10．∵OC2=CE2+OE2，∴OC2=（10）2+（OC﹣6）2．∴OC=28（m）．∴OA=28．在Rt△OAF中，AF=7，∴．∴拱高GF=28﹣21=7（m）．3．如图，AE=AB=16m，CF=CD=12m设OE=x，OF=4+x根据勾股定理R2=AE2+OE2=CF2+OF2即162+x2=122+（4+x）2解得x=12∴R==2020﹣（12+4）=44÷0.25=16∴时间为16小时4．不能通过．设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18，R2=302+（R﹣18）2，R2=900+R2﹣36R+324解得R=34m连接OM，在Rt△MOE中，ME=16，OE2=OM2﹣ME2即OE2=342﹣162=900，∴OE=30，∴DE=34﹣30=4，∴不能通过．5．（1）∵OE⊥CD于E，CD=16，∴ED=CD=8．在Rt△DOE中，∵sin∠DOE==，∴OD=10（m）；（2）在Rt△DOE中，OE==（m），根据题意知：水面要以每小时0.5m的速度下降，即时间t=6÷0.5=12（小时），故将水排干需12小时．6．过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，∵OC⊥AB∴BD=AB=×16=8cm由题意可知，CD=4cm∴设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2（x﹣4）2+82=x2解得：x=10．答：这个圆形截面的半径为10cm．7．设圆形截面的圆心过O作OC⊥AB于D，交弧AB于C，连接AO，（1分）∵OC⊥AB，∴cm．（3分）由题意可知：CD=4cm，设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD2+AD2=OA2，∴（x﹣4）2+82=x2．∴x=10．（5分）答：这个圆形截面的半径为10cm．8．过O点作OC⊥AB，连接OB，∴AB=2BC，在Rt△OBC中，BC2+OC2=OB2，∵OB=10，OC=6，∴BC=8，∴AB=16．答：水面宽AB为16．9．∵AB⊥BD，CD⊥BD∴AB∥CD∵AB=CD∴ABCD为矩形∴AC=BD=200cm，GN=AB=CD=20cm∴AG=GC=100cm （3分）设⊙O的半径为R，得R2=（R﹣20）2+1002，解得R=260cm答：这个圆弧形门的半径是260cm10．过O作OD⊥AB于D，设内径为R，则有：AD2=DO2+AO2，故R2=（R﹣10）2+302，解得：R=50．答：修理工人应准备内径为50cm的管道．11．过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，由垂径定理得：AC=AB=×600=300（mm），在Rt△ACO中，AC2+OC2=AO2，∴3002+OC2=3252，解得：OC=125mm，∴CD=OD﹣OC=325﹣125=200（mm）．答：油的最大深度是200mm12．连接AC，OA，OB，设⊙O的半径为r，∵AC=60cm，BD=10cm，OB⊥AC，∴AD=AC=×60=30cm，在Rt△ADO中，AD2+OD2=OA2，即302+（r﹣10）2=r2，解得r=50cm．答；大理石球的半径为50cm13．（1）过点O作OC⊥AB于点D ，交于点C，连接OB，设⊙O的半径为r，则OD=r﹣2，∵OC⊥AB，∴BD=AB=×4=2，在Rt△BOD中，∵OD2+BD2=OB2，即（r﹣2）2+（2）2=r2，解得r=4；（2）∵由（1）可知，BD=2，OB=4，∴sin∠BOD===，∴∠BOD=60°，∴∠AOB=2∠BOD=120°，∴S弓形=S扇形AOB﹣S△AOB =﹣×2×2=﹣214．如右图，连接OC、OA，设OC与AB的交点为D点．在Rt△OAD中，OA=5，OD=5﹣CD，AD=AB=4；由勾股定理得：52=（5﹣CD）2+42，解得CD=2．故弓形的高为2．15．作出弧AB所在圆的圆心O，连接OA、ON，则NH=MN=6=3，设OA=r，则OD=OC﹣CD=r﹣2，AD=AB=4，在Rt△AOD中，∵OA2=AD2+OD2，∴r2=42+（r﹣2）2，∴r=5（m）在Rt△ONH中，OH2=ON2﹣NH2∴，∴FN=DH=OH﹣OD=4﹣3=1（m），∵1＜1.5，∴货船不可以顺利通过这座拱桥．16．（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OE交AD于F，连接OA，如图所示：设⊙O半径为x，则OF=x ﹣米，AF=米在Rt△AOF中x2=（）2+（x ﹣）2解得：x=1 圆弧门最高点到地面的距离为2米．（2）∵OA=1，OF=1﹣=∴∠AOF=30°∴∠AOD=60°（8分）弧AMD的长==米．17．（1）如图，设半圆O的半径为R，则R=2，作弦EF∥AD，且EF=2.8，OH⊥EF于H，连接OF，由OH⊥EF，得HF=1.4，（3分）又OH=，∴此时隧道的高AB+OH＞2.6+1.4=4（米），∴这辆卡车能通过此隧道；（2）L=（AB+CD）+AD=2.6+2π=8.88≈9（米）．18．①如图1所示：②如图2，∵AC=BC=60cm，∠ACB=120°∴∠AOC=∠BOC，又∵AO=CO，CO=BO，∴△AOC≌△COB，∴∠CBO=∠ACO=60°，∵BO=CO，∴∠OBC=∠BCO=60°，∴△OBC是等边三角形，∴半径为60cm．19．根据题意可以建立圆中垂径定理的模型如图：AC=60cm，BD=10cm，设半径为r，∵OB⊥AC，∴，在Rt△ADO中，AD2+OD2=OA2，可得：302+（r﹣10）2=r2，解得r=50cm．答：大理石球的半径为50cm．20．（1）如图：点E即为所求（2）设和AB的交点是D，在直角三角形AOD中，AB=24m，DE=8m，：r2=122+（r﹣8）2解得：r=13cm．答：桥拱所在圆的半径为13cm．21．（1）如图所示：；（2）如（1）中的图，根据垂径定理，得AD=2．设圆的半径是r．在直角三角形AOD中，根据勾股定理，得r2=（r﹣2）2+（2）2，解得r=4．则OD=2．∴∠AOD=60°，∴∠AOB=2∠AOD=120°，则弧AB 的长是=，则覆盖棚顶的帆布的面积是×60=160π（m2）．22．（1）如图，点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB 于F，延长EF交圆于点D，则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF=FB=AB=40，EF=ED﹣FD=AE﹣DF，由勾股定理知，AE2=AF2+EF2=AF2+（AE﹣DF）2，设圆的半径是r，则：r2=402+（r﹣20）2，解得：r=50；（2）货船能顺利通过这座拱桥．理由：连接EM，设MD=30米．∵DE⊥MN，EF=50﹣20=30（m），在Rt△DEM中，DE==40（米），∵DF=DF﹣EF=40﹣30=10（米）∵10米＞9米，∴货船能顺利通过这座拱桥．23．设圆心为O，作OD⊥AB于点D，交圆于点C．∵OC⊥AB，∴BD=AB=×160=80cm，设圆形水管的半径是rcm，则在直角△ODB中，OB=rcm，OD=r﹣40cm．根据勾股定理可以得到：r2=802+（r﹣40）2．解得：r=100cm．24．找AB中点D，作OC垂直AB于D，连OB．OC为⊙O半径，设⊙O半径为x．由图可知，CD=80﹣40=40cm∵D是AB的中点，AB=120cm，∴BD==60cm，∵△BOD是直角三角形，∴OB2=OD2+BD2，即x2=（x﹣40）2+602，x2=x2﹣80x+1600+3600，80x=5200，解得，x=65cm．答：设计的圆弧型的观井台的半径应为65cm．25．∵OC⊥AB，∴BD=AB=×300=150m，∵设这段弯路的半径长是r，则在直角△OBD中，OB=r，OD=r﹣50m，OB2=OD2+BD2，∴r2=1502+（r﹣50）2，解得：r=250m26．这辆卡车能通过厂门．理由如下：如图M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，则CD=MN=1.6m，AB=2m，由作法得，CE=DE=0.8m，又∵OC=OA=1m，在Rt△OCE中，OE===0.6（m），∴CM=2.3+0.6=2.9m＞2.5m．所以这辆卡车能通过厂门．27．设点O为圆心，连接半径OA、OB、OC，设OB交AC 于点D．∵AB=BC，∴=，∴OB⊥AC，∴∠AOB=∠COB，∵OA=OC，∴AD=CD=30米．设OA=x米，则有x2﹣（x﹣3）2=302，解得x=151.5（米）．故人工湖的半径为151.5米28．过O作OD⊥AB，交AB于点C ，交于点D，如图所示，∴C为AB的中点，即AC=BC=AB=15m，在Rt△AOC中，sin∠AOC===，∴∠AOC=60°，∴∠AOB=2∠AOC=120°，则拱形的弧长l==2π．29．假设圆心在O处，连接OA，OC，过O作OK⊥AB于K，交CD于H，交圆O于G点．设圆O的半径为r，则OA=OG=r，GK=2.4，OK=OG﹣GK=r﹣2.4，又∵AB为7.2米，所以AK=3.6米，在直角三角形AOK中，根据勾股定理得：（r﹣2.4）2+3.62=r2解得：r=3.9，∴OK=3.9﹣2.4=1.5（米），当CD=3米时，HC=1.5米，则OH2=3.92﹣1.52，解得OH=3.6，∴HK=OH﹣OK=3.6﹣1.5=2.1米＞2米．∴此货船能顺利通过这座拱形桥．30．（1）如图：⊙O即为所求；（2）∵AB⊥CD，∴AD=AB=12cm，设OA=x，OD=（x﹣8）cm，∵OA2=OD2+AD2，即x2=144+（x﹣8）2，解得：x=13．∴圆的半径为13．31．连接OC．设⊙O的半径为xm，∵EM⊥CD，∴CM=CD=1m．在Rt△OCM中，由OM2+CM2=OC2，得（3﹣x）2+1=x2．解得：x=．答：构成该拱门的⊙O 的半径为m32．设圆形切面的半径，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，则AD=BD=AB=×16=8cm，∵最深地方的高度是4cm，∴OD=r=4，在Rt△OBD中，OB2=BD2+OD2，即r2=82+（r﹣4）2，解得r=10（cm）．答：这个圆形切面的半径是10cm．33．这辆卡车能通过厂门．理由如下：如图M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，则CD=MN=1.6m，AB=2m，由作法得，CE=DE=0.8m，又∵OC=OA=1m，∴OE==0.6m∴CM=0.6+2.3=2.9m＞2.5m∴卡车能通过大门．34．过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连OA，如图，∵OA=OD=13cm，AB=24cm，∴AC=BC=12cm，在Rt△AOC中，OA=13，AC=12，∴OC=5，∴CD=5+12=17（cm）．所以油的最大深度为17cm．35．如图；连接OA；根据垂径定理，得AC=BC=12cm；Rt△OAC中，OA=13cm，AC=12cm；根据勾股定理，得：OC==5cm；∴CD=OD﹣OC=8cm；∴油面高为8cm．36．（1）设⊙O半径为r，作OC⊥AB于C点，交弧AB于D点∵AB=12，∴AC=BC=AB=6，∵CD=6，∴，解得：r=12（cm）答：截面⊙O的半径为12cm．（2）连接AD，∵∴AD=OA=OD∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°同理∠BOD=60°∴∠AOB=120°∴弧长．答：截面中有水部分弓形的弧AB的长为8πcm．37．如图，设钢珠的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连OC，则OA=12÷2=6mm，CD=9mm，OC=9mm﹣6mm=3mm，∵OC⊥AB，∴CA=CB，在Rt△AOC中，AC===3，∴AB=6mm．所以这个小孔的直径AB是6毫米．38．过点O作OD⊥AB于点D ，交于点F，连接OA，∵AB=600mm，∴AD=300mm，∵底面直径为650mm，∴OA=×650=325mm，∴OD===125mm，∴DF=OF﹣OD=×650﹣125=200mm．答：油面的最大深度为200mm．39．连接OA，故OC⊥AB于点D，由垂径定理知，点D为AB的中点，AB=2AD，∵OA=13cm，∴OD=OC﹣CD=13﹣8=5（cm），由勾股定理知，AD===12（cm），故油面宽度AB=24cm．40．①∵如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，∴如果每件童装每降价1元，那么平均每天就可多售出2件，设每件童装应降价x元，根据题意列方程得，（40﹣x）（20+2x）=1200，解得x1=20，x2=10（舍去），答：每件童装应降价20元；②连接OA，OM，设OA=r，ME=2，则OM=r，DG=2，∵AB=7.2，∴AD=3.6，∵CD=2.4，∴OD=r﹣2.4，在Rt△AOD中，∵OA2=AD2+OD2，∴r2=3.62+（r﹣2.4）2，∴r=3.9，OD=3.9﹣2.4=1.5，∴OG=OD+DG=1.5+2=3.5，在Rt△OMG中，MG2=OM2﹣OG2=3.92﹣3.52=2.96，∴MG==，∴MN=2MG=≈3.44＞3，∴该货箱能顺利通过该桥．41．（1）点O就是所求的圆心．（2）在PA上截取PE=PC，连接CE，∵△ABC是等边三角形，∴∠APC=∠ABC=60°，∴△PCE是等边三角形，∴PC=CE，∠PCE=∠ACB=60°，∴∠PCB=∠ACE，∵BC=AC，∠PBC=∠CAE，∴△ACE≌△PBC，∴PB=AE，∴PA=PB+PC．故结论“PB+PC＞PA”不正确42．（1）∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，∴EO垂直平分CD，DF=4m，FO=DO﹣2（m），在Rt△DFO中，DO2=FO2+DF2，则DO2=（DO﹣2）2+42，解得：DO=5；答：所在⊙O的半径DO为5m；（2）如图所示：假设矩形的船为矩形MQRN，船沿中点O为中心通过，连接MO，∵MN=6m，∴MY=YN=3m，在Rt△MOY中，MO2=YO2+NY2，则52=YO2+32，解得：YO=4，答：船能通过桥洞时的最大高度为4m．43．如图，桥拱所在圆心为E，作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H．由垂径定理知，点F是AB的中点．由题意知，FH=10﹣2=8m，则AE=EH，EF=EH﹣HF．由勾股定理知，AE2=AF2+EF2=AF2+（AE﹣HF）2，即AE2=122+（AE﹣8）2，解得：AE=13m．答：桥拱的半径为13m．44．连接OC，交AB于点D，连接OA，由图可得：AB=9﹣1=8（cm），∵刻度尺的一边与⊙O相切，∴OC⊥CE，∵AB∥CE，∴OD⊥AB，∴AD=AB=4cm，设OA=xcm，则OD=（x﹣3）cm，在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2，∴x2=（x﹣3）2+42，解得：x=．∴该圆的半径为cm．45．找出圆心O，连接OA，OC，D必然在OC上，∴OA=OC=5，∵OC⊥AB，AB=8，∴AD=BD=4，在Rt△AOD中，OA=5，AD=4，根据勾股定理得：OD==3，则弓形的高CD=OC﹣OD=5﹣3=2．46．连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，∵AB=24cm，∴BD=AB=×24=12cm，∵⊙O的直径为26cm，∴OB=OC=12cm，在Rt△OBD中，OD===5cm，∴CD=OC﹣OD=13﹣5=8cm．答；油的最大深度为8cm．47．如图，设半径为r，则OD=r﹣CD=r﹣45，∵OC⊥AB，∴AD=BD=AB，∴在Rt△AOD中，AO2=AD2+OD2，即r2=（×300）2+（r﹣45）2=22500+r2﹣90r+2025，90r=24525，解得，r=272.5m．答：这段弯路的半径是272.5m．48．如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB=7.2m，∴BD=AB=3.6m．又∵CD=2.4m，设OB=OC=ON=r，则OD=（r﹣2.4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2=（r﹣2.4）2+3.62，解得r=3.9．∵CD=2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB，2m，∴CE=2.4﹣2=0.4m，∴OE=r﹣CE=3.9﹣0.4=3.5m，在Rt△OEN中，EN2=ON2﹣OE2=3.92﹣3.52=2.96（m2），∴EN=（m）．∴MN=2EN=2×≈3.44m＞3m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．49．OA=50mm，CD=20mm∴OD=OC﹣CD=30mm在Rt△AOD中AD==40（mm）∴AB=2AD=80mm．50．∵CD⊥AB且过圆心O，∴AD=AB=×10=5m，设半径为rm，∴OA=OC=rm，∴OD=CD﹣OC=（7﹣r）m，∴在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，∴r2=（7﹣r）2+52，解得：r=，⊙O 的半径为．51．连接AO，OB，∵△ABC恰好是等腰三角形，∴AB=AC ，∴=，∴AO⊥BC，∵BC=8cm，∴BD=4cm，∵AB=5cm，∴AD==3（cm），设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=（R﹣3）cm，∴R2=52+（R﹣3）2，解得：R=8.5（cm），答：圆片的半径R为8.5cm52．（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；（2）连接AO，OB，∵BC=10cm，∴BD=5cm，垂径定理的应用----21∵AB=6cm，∴AD==cm，设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=（R ﹣）cm，∴R2=52+（R ﹣）2，解得：R=cm，∴圆片的半径R 为cm．53．如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，∵∠QON=30°，OA=240米，∴AC=120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，∵72千米/小时=20米/秒，∴影响时间应是：320÷20=16（秒）．54．（1）如图所示：（2）连接AO，∵△ABC是等腰直角三角形，腰AB=5cm，∴AC=5，BC==5，∴AO⊥BC，∴∠AOC=90°，∴圆的半径为：，∴弧AC 的长为：=π．55．连接OA，根据题意得：CD⊥AB，∴AD=AB=×60=30（cm），∵水管的直径是100cm，∴OA=50cm，在Rt△AOD中，OD==40（cm），∴CD=OC+OD=90（cm）．∴水管中水的最大深度为90cm．56．如图，AB为水面上升0.2m时水面宽，CD=0.8m，过O作OH⊥AB于H，交CD于F，交⊙O于E，则EF=0.2m，FH=0.2m，连OA，OC，∵OH⊥AB，∴OF⊥CD，∴CF=DF=0.4m，AH=BH，设⊙O的半径为R，在Rt△OCF中，OF=R﹣0.2，∴R2=（R﹣0.2）2+0.42，解得R=0.5，在Rt△OAH中，OH=R﹣0.4=0.1，∴AH==，∴AB=m．即当水面上升0.2m 时水面宽为m．57．连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，∵OE⊥AB，AB=6cm，∴AE=3cm，设弓形所在圆的半径OA=r，则OE=9﹣r，在Rt△AOE中，OA2=OE2+AE2，即r2=（9﹣r）2+32，解得r=5cm．垂径定理的应用----22故弓形所在圆的半径为5cm58．过点A作AB⊥MN于B，∵∠QPN=30°，AP=160m，∴AB=AP=×160=80（m），∵80＜100，∴该所中学会受到噪声影响；以A为圆心，100m为半径作圆，交MN于点C与D，则AC=AD=100m，在Rt△ABC中，BC==60（m），∵AC=AD，AB⊥MN，∴BD=BC=60m，∴CD=BC+BD=120m，∵18km/h=5m/s，∴学校受影响的时间为：120÷5=24（秒）．59．过点A作AD⊥EF，∵∠QOF=30°，AO=200米，∴AD=AO•sin30°=200×=100米＜200米，∴居民楼会受到影响；连接AB，∵OA=200米，AD⊥OB，∴OB=2DO，∵在Rt△AOD中，AO=200米，AD=100米，∴OD===100米，∴OB=200米，∵这辆汽车的速度是每小时72千米=20米/秒，∴=10≈17.3秒．答：居民楼受影响的时间约为17.3秒．60．（1）汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校A会受到噪声的影响．理由是：过A作AE⊥PN于E，∵∠QPN=30°，AP=160，∴AE=80＜100，∴汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校A会受到噪声的影响．（2）以A为圆心，以100m为半径作圆，交PN与C、D，连接AC、AD，AC=AD=100，∵AE⊥CD，∴CE=DE==60，∴CD=120m，60KM/小时=m/秒，∴120÷=7.2（秒），答：学校受到影响的时间为7.2秒．垂径定理的应用----23。

垂径定理一、选择题（共9小题）1．如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是（）A．2B．C．D．【答案】B【解答】解：连结BD、OC，如图，∵四边形BCDE为矩形，∴∠BCD＝90°，∴BD为⊙O的直径，∴BD＝2，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°，而OB＝OC，∴∠CBD＝30°，在Rt△BCD中，CD＝BD＝1，BC＝CD＝，∴矩形BCDE的面积＝BC•CD＝．故选：B．2．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：过点O作OD⊥BC，垂足为D，∵OB＝5，OD＝3，∴BD＝4，∵∠A＝∠BOC，∴∠A＝∠BOD，∴tan A＝tan∠BOD＝＝，故选：D．3．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为（）A．2B．4C．6D．8【答案】D【解答】解：∵CE＝2，DE＝8，∴OB＝5，∴OE＝3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，得BE＝4，∴AB＝2BE＝8．故选：D．4．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（）A．AE＝BE B．＝C．OE＝DE D．∠DBC＝90°【答案】C【解答】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，∴AE＝BE，＝，故A、B正确；∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，故D正确．故选：C．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）A．OE＝BE B．＝C．△BOC是等边三角形D．四边形ODBC是菱形【答案】B【解答】解：∵AB⊥CD，AB过O，∴DE＝CE，＝，根据已知不能推出OE＝BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．故选：B．6．如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知的长为2π，且OD∥BC，则BD 的长为（）A．3B．6C．6D．12【答案】C【解答】解：连结OC交BD于E，如图，设∠BOC＝n°，根据题意得2π＝，得n＝60，即∠BOC＝60°，而OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∴∠C＝60°，∠OBC＝60°，BC＝OB＝6，∵BC∥OD，∴∠2＝∠C＝60°，∵∠1＝∠2（圆周角定理），∴∠1＝30°，∴BD平分∠OBC，BD⊥OC，∴BE＝DE，在Rt△CBE中，CE＝BC＝3，∴BE＝CE＝3，∴BD＝2BE＝6．故选：C．7．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x 的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4B．C．D．【答案】B【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC＝3，PC＝a，把x＝3代入y＝x得y＝3，∴D点坐标为（3，3），∴CD＝3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×4＝2，在Rt△PBE中，PB＝3，∴PE＝，∴PD＝PE＝，∴a＝3+．故选：B．8．如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D ＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝6；③sin∠AOB＝；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（）A．①③B．①②③④C．②③④D．①③④【答案】B【解答】解：∵点A是劣弧的中点，OA过圆心，∴OA⊥BC，故①正确；∵∠D＝30°，∴∠ABC＝∠D＝30°，∴∠AOB＝60°，∵点A是劣弧的中点，∴BC＝2CE，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB＝6cm，∴BE＝AB•cos30°＝6×＝3cm，∴BC＝2BE＝6cm，故②正确；∵∠AOB＝60°，∴sin∠AOB＝sin60°＝，故③正确；∵∠AOB＝60°，∴AB＝OB，∵点A是劣弧的中点，∴AC＝AB，∴AB＝BO＝OC＝CA，∴四边形ABOC是菱形，故④正确．故选：B．9．如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC＝2，AE＝，CE＝1．则的长是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：连接OC，∵△ACE中，AC＝2，AE＝，CE＝1，∴AE2+CE2＝AC2，∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，∵sin A＝＝，∴∠A＝30°，∴∠COE＝60°，∴＝sin∠COE，即＝，解得OC＝，∵AE⊥CD，∴＝，∴＝＝＝．故选：B．二、填空题（共16小题）10．如图，圆O的直径CD＝10cm，AB是圆O的弦，且AB⊥CD，垂足为P，AB＝8cm，则sin∠OAP＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AB⊥CD，∴AP＝BP＝AB＝×8＝4cm，在Rt△OAP中，OA＝CD＝5，∴OP＝＝3，∴sin∠OAP＝＝．故答案为：．11．在半径为2的圆中，弦AC长为1，M为AC中点，过M点最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图．∵M为AC中点，过M点最长的弦为BD，∴BD是直径，BD＝4，且AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积＝AC•BD＝×1×4＝2．故答案为：2．12．如图，在⊙O中，半径OA垂直弦于点D．若∠ACB＝33°，则∠OBC的大小为24度．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵OA⊥BC，∴∠ODB＝90°，∵∠ACB＝33°，∴∠AOB＝2∠ACB＝66°，∴∠OBC＝90°﹣∠AOB＝24°．故答案为：24．13．如图，在边长为1的正方形网格中，若一段圆弧恰好经过四个格点，则该圆弧所在圆的圆心是图中的点C．【答案】见试题解答内容【解答】解：圆心是弦EF和弦FG的中垂线的交点，是C．故选C．14．如图，△ABC内接于⊙O，AO＝2，BC＝2，则∠BAC的度数为60°．【答案】见试题解答内容【解答】解：连结OB、OC，作OD⊥BC于D，如图，∵OD⊥BC，∴BD＝BC＝×2＝，在Rt△OBD中，OB＝OA＝2，BD＝，∴cos∠OBD＝＝，∴∠OBD＝30°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝30°，∴∠BOC＝120°，∴∠BAC＝∠BOC＝60°．故答案为60°．15．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝2cm，∠BCD＝22°30′，则⊙O的半径为2cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：连结OB，如图，∵∠BCD＝22°30′，∴∠BOD＝2∠BCD＝45°，∵AB⊥CD，∴BE＝AE＝AB＝×2＝，△BOE为等腰直角三角形，∴OB＝BE＝2（cm）．故答案为：2．16．⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为1或3．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示：∵⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，∴AD⊥BC，∴BD＝BC＝，在Rt△OBD中，∵BD2+OD2＝OB2，即（）2+OD2＝22，解得OD＝1，∴当如图1所示时，AD＝OA﹣OD＝2﹣1＝1；当如图2所示时，AD＝OA+OD＝2+1＝3．故答案为：1或3．17．如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为3．【答案】见试题解答内容【解答】解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，在Rt△AOC中，OA＝5，∴OC＝＝＝3，即圆心O到AB的距离为3．故答案为：3．18．如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC＝α，则sinα的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：连结BC，如图，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，∵OD⊥AC，∴AE＝CE＝AC＝4，在Rt△BCE中，BE＝＝2，∴sinα＝＝＝．故答案为：．19．如图，点A，B，C在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10cm，AB＝12cm，则CD＝2cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵⊙O的半径是10cm，弦AB的长是12cm，OC是⊙O的半径且OC⊥AB，垂足为D，∴OA＝OC＝10cm，AD＝AB＝×12＝6cm，∵在Rt△AOD中，OA＝10cm，AD＝6cm，∴OD＝＝＝8cm，∴CD＝OC﹣OD＝10﹣8＝2cm．故答案为：2．20．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB＝10，CD＝8，则圆心O到弦CD的距离为3．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB＝10，∴OC＝5，∵CD⊥AB，CD＝8，∴CE＝4，∴OE＝＝＝3．故答案为：3．21．如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD＝30°，且BE＝2，则CD ＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：连结OD，如图，设⊙O的半径为R，∵∠BAD＝30°，∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，∵CD⊥AB，∴DE＝CE，在Rt△ODE中，OE＝OB﹣BE＝R﹣2，OD＝R，∵cos∠EOD＝cos60°＝，∴＝，解得R＝4，∴OE＝4﹣2＝2，∴DE＝OE＝2，∴CD＝2DE＝4故答案为：4．22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝6cm，则OE＝4cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵CD⊥AB∴CE＝CD＝×6＝3cm，∵在Rt△OCE中，OE＝cm．故答案为：4．23．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN 于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则P A+PC的最小值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OB，OC，作CH垂直AB于H．根据垂径定理，得到BE＝AB＝4，CF＝CD＝3，∴OE＝＝＝3，OF＝＝＝4，∴CH＝OE+OF＝3+4＝7，BH＝BE+EH＝BE+CF＝4+3＝7，在直角△BCH中根据勾股定理得到BC＝7，则P A+PC的最小值为．故答案为：24．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是4．【答案】见试题解答内容【解答】解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，∵∠AMB＝45°，∴∠AOB＝2∠AMB＝90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB＝OA＝2，∵S四边形MANB＝S△MAB+S△NAB，∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB 的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，此时四边形MANB面积的最大值＝S四边形DAEB＝S△DAB+S△EAB＝AB•CD+AB•CE＝AB（CD+CE）＝AB•DE＝×2×4＝4．故答案为：4．25．如图，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE＝∠BDF＝60°，连接AE、BF，则图中两个阴影部分的面积为6 cm2．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图作△DBF的轴对称图形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，∵△DBF的轴对称图形△CAG，由于C、D为直径AB的三等分点，∴△ACG≌△BDF，∴∠ACG＝∠BDF＝60°，∵∠ECB＝60°，∴G、C、E三点共线，∵AM⊥CG，ON⊥CE，∴AM∥ON，∴＝，在Rt△ONC中，∠OCN＝60°，∴ON＝sin∠OCN•OC＝•OC，∵OC＝OA＝2，∴ON＝×2＝，∴AM＝2，∵ON⊥GE，∴NE＝GN＝GE，连接OE，在Rt△ONE中，NE＝＝＝，∴GE＝2NE＝2，∴S△AGE＝GE•AM＝×2×2＝6，∴图中两个阴影部分的面积为6，故答案为：6．三、解答题（共5小题）26．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE＝4，OF＝6，求⊙O的半径和CD的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠OEF＝90°，∵OC为小圆的直径，∴∠OFC＝90°，而∠EOF＝∠FOC，∴Rt△OEF∽Rt△OFC，∴OE：OF＝OF：OC，即4：6＝6：OC，∴⊙O的半径OC＝9；在Rt△OCF中，OF＝6，OC＝9，∴CF＝＝3，∵OF⊥CD，∴CF＝DF，∴CD＝2CF＝6．27．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC＝BD；（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，则CE＝DE，AE＝BE，∴BE﹣DE＝AE﹣CE，即AC＝BD；（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE＝6，∴CE＝＝＝2，AE＝＝＝8，∴AC＝AE﹣CE＝8﹣2．28．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，∵AB＝8cm，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4cm，∵⊙O的直径为10cm，∴OB＝×10＝5cm，∴OE＝＝＝3cm，∵垂线段最短，半径最长，∴3cm≤OP≤5cm．29．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，∴CE＝DE＝8，设OB＝x，又∵BE＝4，∴x2＝（x﹣4）2+82，解得：x＝10，∴⊙O的直径是20．（2）∵∠M＝∠BOD，∠M＝∠D，∴∠D＝∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D＝30°．30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC＝∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若∠PBC＝22.5°，⊙O的半径R＝2，求劣弧AC的长度．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠PBC＝∠D，∠PBC＝∠C，∴∠C＝∠D，∴CB∥PD；（2）连结OC，OD．∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴＝，∵∠PBC＝∠DCB＝22.5°，∴∠BOC＝∠BOD＝2∠C＝45°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝135°，∴劣弧AC的长为：＝．。