2016高考_龙泉一轮-数文-作业 (39)

题组层级快练(六十三)1．到两定点A (0,0)，B (3,4)距离之和为5的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．AB 所在的直线 C ．线段AB D ．无轨迹答案 C解析 ∵|AB |＝5，∴到A ，B 两点距离之和为5的点的轨迹是线段AB .2．若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y 答案 C解析 由题意知P 到F (0,2)的距离比它到y ＋4＝0的距离小2，因此P 到F (0,2)的距离与到直线y ＋2＝0的距离相等，故P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，所以P 的轨迹方程为x 2＝8y .3．在△ABC 中，已知A (－1,0)，C (1,0)，且|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，则顶点B 的轨迹方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 23＋y 24＝1(x ≠±3) C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) 答案 D解析 ∵|BC |，|CA |，|AB |成等差数列， ∴|BC |＋|BA |＝2|CA |＝4.∴点B 的轨迹是以A ，C 为焦点，半焦距c ＝1，长轴长2a ＝4的椭圆．又B 是三角形的顶点，A ，B ，C 三点不能共线，故所求的轨迹方程为x 24＋y 23＝1，且y ≠0.4．已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线答案 D解析 连接MF ，由中垂线性质，知|MB |＝|MF |. 即M 到定点F 的距离与它到直线x ＝－1距离相等． ∴点M 的轨迹是抛物线．∴D 正确．5．设椭圆与双曲线有共同的焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍，则椭圆与双曲线的交点轨迹是( )A ．双曲线B ．一个圆C ．两个圆D ．两条抛物线答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得到|PF 1|＝3|PF 2|或|PF 2|＝3|PF 1|，所以是两个圆．6．经过抛物线y 2＝2px 焦点的弦的中点的轨迹是( ) A ．抛物线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．直线答案 A解析 点差法 k AB ＝2p y 1＋y 2＝2p 2y＝k MF ＝yx －p 2化简得抛物线．7．(2015·北京朝阳上学期期末)已知正方形的四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，点D ，E 分别在线段OC ，AB 上运动，且|OD |＝|BE |，设AD 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹方程是( )A ．y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)B ．x ＝y (1－y )(0≤y ≤1)C ．y ＝x 2(0≤x ≤1)D ．y ＝1－x 2(0≤x ≤1) 答案 A解析 设D (0，λ)，E (1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段AD 的方程为x ＋yλ＝1(0≤x ≤1)，线段OE 的方程为y ＝(1－λ)x (0≤x ≤1)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y λ＝1，0≤x ≤1，y ＝(1－λ)x ，0≤x ≤1，(λ为参数)，消去参数λ得点G 的轨迹方程为y＝x (1－x )(0≤x ≤1)，故A 正确．8．(2015·衡水调研卷)双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)实轴的两个顶点为A ，B ，点P 为双曲线M 上除A ，B 外的一个动点，若QA ⊥P A 且QB ⊥PB ，则动点Q 的运动轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 C解析 A (－a,0)，B (a,0)，设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a ，k AQ ＝y x ＋a ，k BQ ＝yx －a，由QA ⊥P A 且QB ⊥PB ，得k AP k AQ ＝y 0x 0＋a ·y x ＋a ＝－1，k BP k BQ ＝y 0x 0－a ·yx －a＝－1.两式相乘即得轨迹为双曲线． 9．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C (x ，y )满足AC →＝2CB →，则动点C 的轨迹方程________．答案 x 2＋14y 2＝1解析 设A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝9.又C (x ，y )，则由AC →＝2CB →，得(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )．即⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－2x ，y ＝2b －2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，代入a 2＋b 2＝9，并整理，得x 2＋14y 2＝1.10．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________．答案 y 2＝4(x －2)解析 设直线方程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.y ＝y 1＋y 2＝4kk2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．11．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为________． 答案 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)解析 方法一：直接法．设A (x ，y )，y ≠0，则D (x 2，y 2)．∴|CD |＝(x 2－5)2＋y 24＝3. 化简，得(x －10)2＋y 2＝36.由于A ，B ，C 三点构成三角形，所以A 不能落在x 轴上，即y ≠0.方法二：定义法．如图，设A (x ，y )，D 为AB 的中点，过A 作AE ∥CD 交x 轴于E .∵|CD |＝3，∴|AE |＝6，则E (10,0)，∴A 到E 的距离为常数6.∴A 的轨迹为以E 为圆心，6为半径的圆，即(x －10)2＋y 2＝36.又A ，B ，C 不共线，故A 点纵坐标y ≠0，故A 点轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．12．已知抛物线y 2＝nx (n <0)与双曲线x 28－y 2m＝1有一个相同的焦点，则动点(m ，n )的轨迹方程是________．答案 n 2＝16(m ＋8)(n <0)解析 抛物线的焦点为(n 4，0)，在双曲线中，8＋m ＝c 2＝(n4)2，n <0，即n 2＝16(m ＋8)(n <0)．13.如图所示，直角三角形ABC 的顶点坐标A (－2,0)，直角顶点B (0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．(1)求BC 边所在直线方程；(2)M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；(3)若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心N 的轨迹方程． 答案 (1)y ＝22x －22 (2)(x －1)2＋y 2＝9 (3)49x 2＋45y 2＝1 解析 (1)∵k AB ＝－2，AB ⊥BC ， ∴k CB ＝22.∴BC ：y ＝22x －2 2. (2)在上式中，令y ＝0，得C (4,0)．∴圆心M (1,0)． 又∵|AM |＝3，∴外接圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9. (3)∵P (－1,0)，M (1,0)，∵圆N 过点P (－1,0)，∴PN 是该圆的半径． 又∵动圆N 与圆M 内切，∴|MN |＝3－|PN |，即 |MN |＋|PN |＝3.∴点N 的轨迹是以M ，P 为焦点，长轴长为3的椭圆． ∴a ＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝54. ∴轨迹方程为49x 2＋45y 2＝1.14．已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)讨论轨迹C 的形状．答案 (1)x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1) (2)略解析 (1)由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ. 整理，得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．(2)①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)； ②当－1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)； ④当λ<－1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．15．(2014·福建文)已知曲线Γ上的点到点F (0,1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2. (1)求曲线Γ的方程；(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．答案 (1)x 2＝4y (2)线段AB 长度不变，证明略思路 (1)由题意判断曲线是抛物线，用定义求曲线方程；(2)先求出切线方程，联立方程得出A ，M 的坐标，用勾股定理表示AB 的长度．解析 方法一：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到F (0,1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F (0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下： 由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14x 2，设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝14x 20.由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0.所以切线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0，得A ⎝⎛⎭⎫12x 0，0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3，得M ⎝⎛⎭⎫12x 0＋6x 0，3. 又N (0,3)，所以圆心C ⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 0，3， 半径r ＝12|MN |＝⎪⎪⎪⎪14x 0＋3x 0. ∴|AB |＝|AC |2－r 2＝⎣⎡⎦⎤12x 0－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＋32－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＝ 6.所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变． 方法二：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点， 则|y －(－3)|－(x －0)2＋(y －1)2＝2，依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方，所以y >－3. 所以(x －0)2＋(y －1)2＝y ＋1. 化简，得曲线Γ的方程为x 2＝4y . (2)同方法一．16．(2014·湖北)在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．答案 (1)y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0. (2)略思路 (1)根据两点间的距离公式及点到直线的距离公式列方程求解轨迹方程，注意分x ≥0，x <0两种情况讨论，最后写成分段函数的形式；(2)先求出直线l 的方程，然后联立直线l 与抛物线的方程，消去x ，得到关于y 的方程，分k ＝0，k ≠0两种情况讨论；当k ≠0时，设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)进而按Δ，x 0与0的大小关系再分情况讨论．解析 (1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1， 即(x －1)2＋y 2＝|x |＋1. 化简整理，得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)． 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0. ①当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. 当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)． ② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1，或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．若⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝0，x 0<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，或－12≤k <0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点． 故当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点． 若⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0<0，由②③解得－1<k <－12，或0<k <12.即当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综上可知，当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．。

题组层级快练(五十六)1．若椭圆x 216＋y 2b 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )A ．25B ．2 3C ．4 5D ．4 3答案 D解析 ∵椭圆过(－2，3)，则有416＋3b 2＝1，b 2＝4，c 2＝16－4＝12，c ＝23，2c ＝4 3.故选D.2．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 答案 A解析 圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝16. 知其半径r ＝4，∴长轴长2a ＝4，∴a ＝2. 又e ＝c a ＝12，∴c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.3．已知曲线C 上的动点M (x ，y )，向量a ＝(x ＋2，y )和b ＝(x －2，y )满足|a |＋|b |＝6，则曲线C 的离心率是( )A.23B. 3C.33D.13答案 A解析 因为|a |＋|b |＝6表示动点M (x ，y )到两点(－2,0)和(2,0)距离的和为6，所以曲线C 是椭圆且长轴长2a ＝6，即a ＝3.又c ＝2，∴e ＝23.4．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为( )A ．3B ．3或253C.15D.15或5153答案 B解析 若焦点在x 轴上，则有⎩⎪⎨⎪⎧5>m ，5－m 5＝105.∴m ＝3.若焦点在y 轴上，则有⎩⎪⎨⎪⎧m >5，m －5m＝105.∴m ＝253. 5．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 B解析 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|P A |＝|PN |.又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，P 的轨迹是椭圆．6．(2015·广东韶关调研)已知椭圆与双曲线x 24－y 212＝1的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于( )A.35B.45C.54D.34 答案 B解析 因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，所以根据椭圆的定义可得2a ＝10⇒a ＝5，则c ＝4＋12＝4，e ＝c a ＝45，故选B.7．(2015·广东广州二模)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 1的中点在y 轴上，若∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为( )A.16 B.13 C.36D.33 答案 D解析 设PF 1的中点为M ，连接PF 2，由于O 为F 1F 2的中点，则OM 为△PF 1F 2的中位线，所以OM ∥PF 2.所以∠PF 2F 1＝∠MOF 1＝90°.由于∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2|PF 2|. 由勾股定理，得 |F 1F 2|＝|PF 1|2－|PF 2|2 ＝3|PF 2|.由椭圆定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3|PF 2|⇒a ＝3|PF 2|2，2c ＝|F 1F 2|＝3|PF 2|⇒c ＝3|PF 2|2. 所以椭圆的离心率为e ＝c a ＝3|PF 2|2·23|PF 2|＝33.故选D.8．(2015·河北邯郸一模)已知P 是椭圆x 225＋y 2b 2＝1(0<b <5)上除顶点外一点，F 1是椭圆的左焦点，若|OP →＋OF 1→|＝8，则点P 到该椭圆左焦点的距离为( )A ．6B ．4C ．2 D.52答案 C解析 取PF 1的中点M ，连接OM ，OP →＋OF 1→＝2OM →，∴|OM |＝4.在△F 1PF 2中，OM 是中位线，∴|PF 2|＝8.∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，解得|PF 1|＝2，故选C.9．(2015·北京海淀期末练习)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为( )A.32B.332C.94D.154 答案 B解析 由椭圆方程知c ＝4－3＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)．因为椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2，则可设A (1，y 0)，代入椭圆方程可得y 20＝94，所以y 0＝±32. 设P (x 1，y 1)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 2A →＝(0，y 0)， 所以F 1P →·F 2A →＝y 1y 0.因为点P 是椭圆C 上的动点，所以－3≤y 1≤3，F 1P →·F 2A →的最大值为332.故B 正确．10．(2015·河北唐山二模)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )A ．[12，1)B ．[22，32]C ．[22，1) D ．[32，1) 答案 C解析 在椭圆长轴端点向圆引两条切线P ′A ，P ′B ，则两切线形成的角∠AP ′B 最小，若椭圆C 1上存在点P 令切线互相垂直，则只需∠AP ′B ≤90°，即α＝∠AP ′O ≤45°.∴sin α＝b a ≤sin45°＝22，解得a 2≤2c 2，∴e 2≥12.即e ≥22.而0<e <1，∴22≤e <1，即e ∈[22，1)． 11．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．答案 x 216＋y 28＝1解析 根据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵e ＝22，∴c a ＝22.根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y 28＝1.12．椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到左焦点F 的距离为6，若点M 满足OM →＝12(OP →＋OF →)，则|OM →|＝________.答案 2解析 设右焦点为F ′，由OM →＝12(OP →＋OF →)知M 为线段PF 中点，∴|OM →|＝12|PF ′→|＝12(10－6)＝2.13．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________．答案3解析 ∵PM →·AM →＝0，∴AM →⊥PM →. ∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1. ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小， 故|AP →|min ＝2，∴|PM →|min ＝ 3.14．已知点A (4,0)和B (2,2)，M 是椭圆x 225＋y 29＝1上一动点，则|MA |＋|MB |的最大值为________．答案 10＋210解析 显然A 是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为A 1(－4,0)，连接BA 1并延长交椭圆于M 1，则M 1是使|MA |＋|MB |取得最大值的点．事实上，对于椭圆上的任意点M 有：|MA |＋|MB |＝2a －|MA 1|＋|MB |≤2a ＋|A 1B |(当M 1与M 重合时取等号)，∴|MA |＋|MB |的最大值为 2a ＋|A 1B |＝2×5＋62＋22＝10＋210.15.如右图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B.(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程． 答案 (1)22 (2)x 23＋y 22＝1解析 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )， 由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32，y ＝－b 2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1.即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3. 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.16．(2014·新课标全国Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 答案 (1)12(2)a ＝7，b ＝27思路 本题主要考查椭圆的方程与基本量，考查椭圆的几何性质与离心率的计算，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查考生的分析转化能力与运算求解能力．(1)将M ，F 1的坐标都用椭圆的基本量a ，b ，c 表示，由斜率条件可得到a ，b ，c 的关系式，然后由b 2＝a 2－c 2消去b 2，再“两边同除以a 2”，即得到离心率e 的二次方程，由此解出离心率．若能抓住△MF 1F 2是“焦点三角形”，则可利用△MF 1F 2的三边比值快速求解，有：|F 1F 2|＝2c ，|MF 2|＝2c ×34＝32c ，则|MF 1|＝52c ，由此可得离心率e ＝|F 1F 2||MF 1|＋|MF 2|＝12.(2)利用“MF 2∥y 轴”及“截距为2”，可得y M ＝b 2a ＝4，此为一个方程；再转化条件“|MN |＝5|F 1N |”为向量形式，可得到N 的坐标，代入椭圆得到第二个方程．两方程联立可解得a ，b 的值．解析 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点． 故b 2a＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28. 故a ＝7，b ＝27.1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1，F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20答案 D解析 如图，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ，又e ＝c a ＝35，即c ＝35a ， ∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16.∴a ＝5，△ABF 2的周长为20.2．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦距为2c .若d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.34答案 A解析 由d 1＋d 2＝2a ＝4c ，∴e ＝c a ＝12.3．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(3，163)C ．(0,3)∪(163，＋∞)D ．(0,2)答案 C解析 当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3，综上知选C.4．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A ，B ，则△ABM 的周长为______________．答案 8解析 直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M ，N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8.5．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶ 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．答案 (1)x 216＋y 212＝1 (2)1≤m ≤4解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a b ＝23，a 2＝b 2＋4，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝12.∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x 0，y 0)，且x 2016＋y 2012＝1，∴|MP →|2＝(x 0－m )2＋y 20 ＝x 20－2mx 0＋m 2＋12(1－x 2016)＝14x 20－2mx 0＋m 2＋12 ＝14(x 0－4m )2－3m 2＋12(－4≤x 0≤4)． ∴|MP →|2为关于x 0的二次函数，开口向上，对称轴为4m . 由题意知，当x 0＝4时，|MP →|2最小，∴4m ≥4，∴m ≥1. 又点M (m,0)在椭圆长轴上，∴1≤m ≤4.。

选修系列4 综合测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t2，y ＝2＋32t (t 为参数)，则其直角坐标方程为( )A.3x ＋y ＋2－3＝0B.3x －y ＋2－3＝0 C ．x －3y ＋2－3＝0 D ．x ＋3y ＋2－3＝0答案 B解析 ∵⎩⎨⎧x －1＝t 2，y －2＝32t ， ∴y －2＝3(x －1)．即3x －y ＋2－3＝0.2.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，BC ＝10，AC 与BD 交于点O ，过O 点作EF ∥AD ，交AB 于E ，交DC 于F ，则EF ＝( )A.103B.203 C ．10 D ．20答案 B3．“a ＝2”是“关于x 的不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 因为|x ＋1|＋|x ＋2|≥|x ＋1－(x ＋2)|＝1，所以由不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空，得a >1，所以“a ＝2”是“关于x 的不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空”的充分不必要条件，故选C.4．在极坐标系中，点(2，π3)到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )A ．2 B.4＋π29C.1＋π29D. 3答案 D解析 由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π3＝3可知，点(2，π3)的直角坐标为(1，3)，圆ρ＝2cos θ的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心到点(1，3)的距离为 3.5．设x ，y ∈R ，M ＝x 2＋y 2＋1，N ＝x ＋y ＋xy ，则M 与N 的关系是( ) A ．M ≥N B ．M ≤N C ．M ＝N D ．不能确定答案 A解析 x 2＋1≥2x ，y 2＋1≥2y ，x 2＋y 2≥2xy ，三式相加即可．6.如图，E ，C 分别是∠A 两边上的点，以CE 为直径的⊙O 交∠A 的两边于点D ，点B ，若∠A ＝45°，则△AEC 与△ADB 的面积比为( )A ．2∶1B ．1∶2 C.2∶1 D.3∶1答案 A解析 连接BE ，求△AEC 与△ABD 的面积比即求AE 2∶AB 2的值，设AB ＝a ，∵∠A ＝45°， 又∵CE 为⊙O 的直径，∴∠CBE ＝∠ABE ＝90°. ∴BE ＝AB ＝a ，∴AE ＝2a .∴AE 2∶AB 2＝2a 2∶a 2. 即AE 2∶AB 2＝2∶1，∴S △AEC ∶S △ABD ＝2∶1.7．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长为( )A.125 B.125 5 C.95 5 D.9510 答案 B解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t ⇒⎩⎨⎧x ＝1＋5t ×25，y ＝1＋5t ×15.把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t 代入x 2＋y 2＝9，得(1＋2t )2＋(2＋t )2＝9.5t 2＋8t －4＝0.∴|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(－85)2＋165＝125，弦长为5|t 1－t 2|＝1255. 8．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是( ) A ．[1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，1]答案 A解析 设f (x )＝|x ＋1|－|x －2|，则f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.由f (x )≥1，解得x ≥1，所以解集为[1，＋∞)．9.如图，AC 切⊙O 于D ，AO 延长线交⊙O 于B ，BC 切⊙O 于B ，若AD ∶AC ＝1∶2，则AO ∶OB 等于( )A ．2∶1B ．1∶1C ．1∶2D ．2∶1.5 答案 A解析 如右图所示，连接OD ，OC .∵AD ∶AC ＝1∶2， ∴D 为AC 的中点． 又∵AC 切⊙O 于点D ， ∴OD ⊥AC .∴OA ＝OC . ∴△AOD ≌△COD . ∴∠1＝∠2.又∵△OBC ≌△ODC ，∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠2＝∠3＝60°，∴OC ＝2OB . ∴OA ＝2OB .故选A.10．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，直线l 与曲线C 交于A ，B ，则|AB |＝( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2答案 B解析 依题意得，直线AB 的普通方程是y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.曲线C 的标准方程是x 2＋y 2＝4，圆心C (0,0)到直线AB 的距离等于22＝2，|AB |＝24－(2)2＝22，选B. 11．若不等式|x ＋a |≤2在x ∈[1,2]时恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0] B ．[0,3] C ．(－3,0) D ．(0,3)答案 A解析 由题意得－2≤x ＋a ≤2，－2－x ≤a ≤2－x ，所以(－2－x )max ≤a ≤(2－x )min .因为x ∈[1,2]，所以－3≤a ≤0.12.如图，AB 是半圆的直径，点C ，D 在AB 上，且AD 平分∠CAB ，已知AB ＝10，AC ＝6，则AD 等于( )A ．8B ．10C ．210D ．4 5答案 D解析 如图，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C ＝∠D ＝90°.又∵AC ＝6，AB ＝10，∴BC ＝8. ∴cos ∠BAC ＝35.又∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝12∠BAC .∴2cos 2∠BAD ＝1＋cos ∠BAC ＝85.∴cos ∠BAD ＝255.又在Rt △ADB 中，AD ＝AB ·cos ∠BAD ＝10×255＝4 5.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．(2014·重庆)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1，12]解析 |2x －1|＋|x ＋2|＝|x －12|＋(|x －12|＋|x ＋2|)≥0＋|(x －12)－(x ＋2)|＝52，当且仅当x ＝12时取等号，因此函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值是52.所以a 2＋12a ＋2≤52，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12，即实数a的取值范围是[－1，12]．14．(2014·湖北)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐标为________．答案 (3，1)解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3⇒x 2＝3y 2(x ≥0，y ≥0)，曲线C 2的普通方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝4，x 2＝3y 2得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，即C 1与C 2的交点坐标为(3，1)． 15.如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G ，给出下列三个结论：①AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ；②AF ·AG ＝AD ·AE ；③△AFB ∽△ADG .其中正确结论的序号是________． 答案 ①②解析 由题意，根据切线长定理，有BD ＝BF ，CE ＝CF ，所以AD ＋AE ＝(AB ＋BD )＋(AC ＋CE )＝(AB ＋BF )＋(AC ＋CF )＝AB ＋AC ＋(BF ＋CF )＝AB ＋AC ＋BC .所以①正确；因为AD ，AE 是圆的切线，根据切线长定理，有AD ＝AE .又因为AG 是圆的割线，所以根据切割线定理有AD 2＝AF ·AG ＝AD ·AE ，所以②正确；根据弦切角定理，有∠ADF ＝∠AGD .又因为BD ＝BF ，所以∠BDF ＝∠BFD ＝∠ADF ，在△AFB 中，∠ABF ＝2∠ADF ＝2∠AGD ，所以③错误．16．已知正实数x ，y 满足2x ＋12y ＋m ＝xy ，若xy 的最小值是9，则实数m 的值为________．答案 3解析 由基本不等式，得xy ≥2xy ＋m ，令xy ＝t ，得不等式t 2－2t －m ≥0.∵xy 的最小值是9，∴t 的最小值是3.∴3是方程t 2－2t －m ＝0的一个根，∴m ＝3.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1. 答案 (1)略 (2)略证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.18．(本小题满分12分)如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED . 答案 (1)略 (2)略证明 (1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA . 又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA . 所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD . 从而∠BDA ＝∠PF A .由于AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°，于是∠BDA ＝90°. 故AB 是直径．(2)连接BC ，DC . 由于AB 是直径， 故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB . 于是∠DAB ＝∠CBA . 又因为∠DCB ＝∠DAB ， 所以∠DCB ＝∠CBA . 故DC ∥AB .由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角． 于是ED 为直径，由(1)得ED ＝AB . 19．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，直线l 的极坐标方程为ρ＝42sin θ＋cos θ. (1)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；(2)设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值． 答案 (1)C 1：x 2＋2y 2＝2，l ：2y ＋x －4＝0 (2)233解析 (1)C 1：x 2＋2y 2＝2，l ：2y ＋x ＝4. (2)设Q (2cos θ，sin θ)，则点Q 到直线l 的距离 d ＝|2sin θ＋2cos θ－4|3＝|2sin (θ＋π4)－4|3≥23，当且仅当θ＋π4＝2k π＋π2，即θ＝2k π＋π4(k ∈Z )时取等号．∴点Q 到直线l 距离的最小值为233.20．(本小题满分12分)如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB ，FC .(1)求证：FB ＝FC ； (2)求证：FB 2＝F A ·FD ；(3)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6，求AD 的长． 答案 (1)略 (2)略 (3)4 3解析 (1)∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC . ∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC . ∵∠EAD ＝∠F AB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB . ∴FB ＝FC .(2)∵∠F AB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ， ∴△FBA ∽△FDB ，∴FB FD ＝F AFB ，∴FB 2＝F A ·FD .(3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°.∴∠D ＝30°.∵BC ＝6，∴AC ＝23，∴AD ＝2AC ＝4 3. 21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．答案 (1)C 1：ρ＝2，C 2：ρ＝4cos θ，⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝⎛⎭⎫－π3≤θ≤π3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t (－3≤t ≤3) 解析 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3.故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t(－3≤t ≤3)．⎝ ⎛⎭⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y (－3≤y ≤3) 方法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝⎛⎭⎫－π3≤θ≤π3.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x －1|＋2a (a ∈R )． (1)解关于x 的不等式f (x )<3.(2)若不等式f (x )≥ax ，∀x ∈R 恒成立，求a 的取值范围． 答案 (1)当a ≥32时，x ∈∅；当a <32时，x ∈(2a －2,4－2a )(2)[0,1]解析 (1)由f (x )<3，即|x －1|＋2a <3，得|x －1|<3－2a . 当3－2a ≤0时，即a ≥32，不等式的解集为∅；当3－2a >0时，即a <32，不等式等价于2a －3<x －1<3－2a ，得2a －2<x <4－2a .综上，当a ≥32时，不等式的解集为∅；当a <32时，不等式的解集为{x |2a －2<x <4－2a }．(2)方法一：由f (x )≥ax ，当x <1时，a ≥1－x x －2＝(－1－1x －2)∈(－1,0)．∴a ≥0.当1≤x ≤2时，a (x －2)≤x －1恒成立⇔a ≥x －1x －2恒成立，∵x －1x －2＝(1＋1x －2)∈(－∞，0]，∴a ≥0. 当x ＝2时，1＋2a ≥2a 恒成立，a ∈R . 当x >2时，a ≤x －1x －2恒成立，∵x －1x －2∈(1，＋∞)，∴a ≤1. 综上，∀x ∈R 使得不等式f (x )≥ax 恒成立的a 的取值范围是[0,1]． 方法二：由f (x )≥ax ，即|x －1|＋2a ≥ax ， ∴|x －1|≥a (x －2)．依题意，y＝|x－1|的图像恒在y＝a(x－2)图像的上方，而y＝a(x－2)恒过(2,0)点，依图分析得0≤a≤1.。

题组层级快练(八十六)1.商场在2014年国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为( )A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元 答案 C解析 由0.40.1＝x2.5，得10万元，故选C.2．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A ．57.2,3.6B ．57.2,56.4C ．62.8,63.6D ．62.8,3.6答案 D解析 平均数增加60，即为62.8. 方差＝1n ∑ni －1[(a i ＋60)－(a ＋60)]2＝1n ∑ni －1(a i －a )2＝3.6，故选D. 3．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差答案 D解析 只有标准差不变，其中众数、平均数和中位数都加2.4．(2013·辽宁)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60答案 B解析 由频率分布直方图，得低于60分的同学所占频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，故该班的学生人数为150.3＝50.故选B.5．(2014·山东理)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( ) A ．6 B ．8 C ．12 D ．18答案 C解析 第一组和第二组的频率之和为0.4，故样本容量为200.4＝50，第三组的频率为0.36，故第三组的人数为50×0.36＝18，故第三组中有疗效的人数为18－6＝12.6．(2015·荆州市质检)已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数和方差分别为( )A ．5,2423B ．5,2413C ．4,2513D ．4,2523答案 A7．如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和x B ，样本标准差分别为S A 和S B ，则( )A.x A >x B ，S A >S BB.x A <x B ，S A >S BC.x A >x B ，S A <S BD.x A <x B ，S A <S B答案 B解析 由图可知A 组的6个数为2.5,10,5,7.5,2.5,10， B 组的6个数为15,10,12.5,10,12.5,10， 所以x A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝37.56，x B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106＝706.显然x A <x B ，又由图形可知，B 组的数据分布比A 均匀，变化幅度不大，故B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以S A >S B ，故选B.8．(2015·南昌一模)甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表示如图，若甲、乙小组的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列结论正确的是( )A ．x 甲>x 乙，甲比乙成绩稳定B ．x 甲>x 乙，乙比甲成绩稳定C ．x 甲<x 乙，甲比乙成绩稳定D ．x 甲<x 乙，乙比甲成绩稳定 答案 A 解析 依题意得x 甲＝15(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，x 乙＝15(80×4＋90×1＋3＋4＋8＋9＋1)＝87，x 甲>x 乙；s 2甲＝15[(88－90)2＋(89－90)2＋(92－90)2＋(91－90)2]＝2， s 2乙＝15[(83－87)2＋(84－87)2＋(88－87)2＋(89－87)2＋(91－87)2]＝9.2， s 2甲<s 2乙，因此甲比乙成绩更稳定，选A.9．(2013·四川文)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )答案 A解析 由茎叶图知，各组频数统计如下表：10．下面茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．答案 45解析 设被污损的数字为a (0≤a ≤9且a ∈N )，则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋99＋90＋a ，解得8>a ，即得0≤a ≤7且a ∈N ，∴甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P ＝810＝45.11．某中学共有1 000名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试，数学成绩如下表所示：(1)100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率；(2)已知本次数学成绩的优秀线为110分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数； (3)作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)答案 (1)110(2)290 (3)90分解析 (1)分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为样本容量总体中个体总数，故甲同学被抽到的概率P ＝110.(2)由题意得x ＝1 000－(60＋90＋300＋160)＝390.故估计该中学达到优秀线的人数m ＝160＋390×120－110120－90＝290.(3)频率分布直方图如图所示．该学校本次考试的数学平均分x －＝60×15＋90×45＋300×75＋390×105＋160×1351 000＝90.估计该学校本次考试的数学平均分为90分．12．(2014·重庆文)20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；(3)从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)中的概率． 答案 (1)0.005 (2)2,3 (3)310思路 (1)根据所有小矩形的面积之和为1求a 的值；(2)先求对应组的频率，再由频率的计算公式求落在该组的人数；(3)先对落在[50,60)，[60,70)中的个体进行编号，列举出所有的基本事件，从中找出2人成绩都在[60,70)的基本事件的个数，代入古典概型的概率公式求解．解析 (1)据直方图知组距＝10， 由(2a ＋3a ＋6a ＋7a ＋2a )×10＝1，解得a ＝1200＝0.005.(2)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2， 成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3.(3)记成绩落在[50,60)中的2人为A 1，A 2，成绩落在[60,70)中的3人为B 1，B 2，B 3，则从成绩在[50,70)的学生中任选2人的基本事件共有10个：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有3个：(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，故所求概率为P ＝310.13．(2015·衡水调研)在每年的春节后，某市政府都会发动公务员参与到植树活动中去．为保证树苗的质量，该市林管部门都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，量出树苗的高度如下(单位：厘米)：甲：37,21,31,20,29,19,32,23,25,33； 乙：10,30,47,27,46,14,26,10,44,46.(1)根据抽测结果，完成下列的茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出两个统计结论；(2)设抽测的10件甲种树苗高度平均值为x －，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行的运算，问输出的S 大小为多少？并说明S 的统计学意义．答案 (1)略 (2)S ＝35 解析 (1)茎叶图：统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；③甲种树苗的中位数为27，乙种树苗的中位数为28.5；④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布较为分散． (2)x －＝37＋21＋31＋20＋29＋19＋32＋23＋25＋3310＝27，S ＝35.S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量．S 值越小，表示树苗长得越整齐，S 值越大，表示树苗长得越参差不齐．14．(2014·辽宁理)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．答案 (1)0.108 (2)E (X )＝1.8，D (X )＝0.72解析 (1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15， P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X 可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P (X ＝0)＝C 03(1－0.6)3＝0.064，P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288， P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432， P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216. ∴X 分布列为因为X ～B (3,0.6)－0.6)＝0.72.1．(2013·重庆文)如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为( )A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.6答案 B解析 由茎叶图可知数据落在区间[22,30)内的频数为4，所以数据落在区间[22,30)内的频率为410＝0.4，故选B.2．(2013·湖北理)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x 的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________． 答案 (1)0.004 4 (2)70解析 (1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1－(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋0.002 4＋0.001 2)×50＝0.22，于是x ＝0.2250＝0.004 4.(2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.006 0＋ 0．004 4)×50＝0.7， ∴所求户数为100×0.7＝70.3．(2013·江苏)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：答案 2解析 由题中数据可得x －甲＝90，x －乙＝90.于是s 2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，s 2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2，由s 2甲>s 2乙，可知乙运动员成绩稳定，故应填2.4．(2013·广东理)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率． 答案 (1)22 (2)4 (3)1633解析 (1)样本均值为17＋19＋20＋21＋25＋306＝1326＝22.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为26＝13，故推断该车间12名工人中有12×13＝4名优秀工人．(3)设事件A ：从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则P (A )＝C 14C 18C 212＝1633.。

某某一中、龙泉中学2016届高三年级11月联考数学（文）试题本试卷共2页，全卷满分150分，考试用时120分钟。

一．选择题 (本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1．已知i是虚数单位，若1(1)i z i+=-,则z的虚部为A.1-B. i-C. iD. 12.已知R为实数集，M={y y=，{N x y=|=，则()RM C N={}.1,A x x|0≤<{}.11B x x-≤<{}.10C x x-≤≤.D{}01x x≤≤3.设2log3a=,12log3b=, 23c-=,则A.a b c>>B.a c b>>C.b a c>>D.c b a>>4.已知(5,6)(sin,cos)a bαα==，，且//a b，则tanα=A．65-B．56-C．56D．655.下面几个命题中，假．命题是A.“π是函数xy sin=的一个周期”或“π2是函数cosy x=的一个周期”；B.“022=+yx”是“0=xy”的必要不充分条件.C.“若a b≤,则221a b≤-”的否命题；D.“),0(∞+∈∀a，函数x ay=在定义域内单调递增”的否定；6.设变量,x y满足约束条件2422x yx yx+≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则目标函数z x y=-的最小值为.A2.B4-.C1-.D47．将函数()2sin(2)4f x xπ=+的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图象关于直线4xπ=对称，则ϕ的最小值为A．18πB．38π C．12πD．34π8.平行四边形ABCD中，2,1,60AB AD A==∠=，点M在边AB上，且13AM AB DM DB=⋅，则等于.A.B.C1-D.19.已知函数1)(2-=axxf的图像在点A(1，f(1))处的切线l与直线028=+-yx平行，若数列})(1{nf的前n项和为nS，则2015S的值为A.40304031B.20144029C.20154031D.4030403110.已知正实数,x y满足24x y xy++=，若对任意满足条件的,x y都有2()1()0x y m x y++-+≥恒成立，则实数m的取值X围为A B C D11.设函数)(xf是定义在R上的奇函数，且当0≥x时，)(xf单调递减，若数列}{na是等差数列，且03<a，则)()()()()(54321afafafafaf++++的值A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负12.已知函数222(1)0()4(3)0x k a xf xx x a x⎧+-≥=⎨-+-<⎩（）（），其中a R∈,若对任意的非零实数1x，存在唯一的非零实数212()x x x≠，使得12()()f x f x=成立，则k的取值X围为.A0k≤.B8k≥.C08k≤≤.D8k≥或0k≤二．填空题 (本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡的相应位置．)13.函数1()1xf xe=+值域为__________14.,,1,a b c a=平面向量两两所成角相等，且2b=,3c=,a b c++则为_________.15.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为__________16.21()ln2f x a x x=+已知,12,(0,),x x∀∈+∞若对于12x x≠且都有1212()()4f x f xx x->-,则实数a的取值X围是_________三．解答题 (本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．)17．（本小题满分12分）已知ABC∆的三边cba,,成等比数列，且21=+ca，45tan1tan1=+CA．俯视图主视图侧视图(1)求B cos ； (2)求ABC ∆的面积．18. （本小题满分12分）设公差不为0的等差数列}{n a 的首项为1，且2514,,a a a 构成等比数列．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，求{}n b 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1AC =,2BC =,AC BC ⊥,F E D ,,分别为棱 AC B A AA ,,111的中点．（1）求证:EF ∥平面11B BCC ；（2）若异面直线1AA 与EF 所成角为30，求三棱锥DCB C -1的体积．20．（本小题满分12分） 据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风已知向正南方向移动，其移动速度(/)v km h 与时间()t h 的函数图象如图所示，过线段OC 上一点(,0)T t 作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为()t h 内台风所经过的路程()s km ．（1）当4t =时，求s 的值，并将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（2）若N 城位于M 地正南方向，且距N 地650km ，判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多少时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．21．（本小题满分12分）设函数ax xxx f -=ln )(． （1）若函数)(x f 在[)2+∞，上为减函数，某某数a 的最小值；（2）若存在212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使a x f x f +'≤)()(21成立，某某数a 的取值X 围．22．（本小题满分10分）已知函数()f x x =. (1) 解关于x 的不等式(1)f x a -<,a R ∈ (2)若不等式11(1)(2)1f x f x a a ++≤+-对任意．．(0,1)a ∈恒成立，求x 的取值X 围．龙泉中学、某某一中2016届高三11月联考文科数学试题参考答案一．选择题 DABDB BBDCA AD 二．填空题 13.()01，14.3或6 15. 152 16. [)4+∞，三．解答题AB1B C1A EF 1CDAB1BC1AEFDO1C17.解：（Ⅰ）由45sin sin )sin(sin cos sin cos tan 1tan 1=+=+=+C A C A C C A A C A ， …………2分 又∵c b a ,,成等比数列，得ac b =2，由正弦定理有C A B sin sin sin 2=， ………………4分∵在ABC ∆中有B C A sin )sin(=+，∴得45sin sin 2=B B ，即54sin =B ．………6分由ac b =2知，b 不是最大边， ∴53sin 1cos 2=-=B B ．………7分(Ⅱ)由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=得，ac c a ac c a ac 516)(532222-+=⋅-+=， ……………9分∵21=+c a ∴5=ac ， ……………10分∴2sin 21==∆B ac S ABC． ……………12分 18.解：（1）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），则∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴a 25＝a 2a 14，………………………2分即(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )， 解得d ＝0（舍去），或d ＝2． ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1． …………………………………5分（2）由已知b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，当n ＝1时，b 1a 1＝12；当n ≥2时，b n a n ＝1－12n －(1－12n －1)＝12n ．∴b n a n ＝12n ，n ∈N *． 由（1），知a n ＝2n －1，n ∈N *， ∴b n ＝2n －12n ，n ∈N *． ………………………………8分又T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ，12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1． 两式相减，得 12T n ＝12＋(222＋223＋…＋22n )－2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1，∴T n ＝3－2n ＋32n ． ……………………………………12分19．（1）证明：取AB 的中点O ,连接EO FO ,, 因为F E ,分别为棱AC B A ,11的中点， 所以FO ∥BC ,EO ∥1BB ,B BB BC O EO FO ==1, ,⊂EO FO ,平面EFO ,⊂1,BB BC 平面11B BCC ,所以平面EFO ∥平面11B BCC ，………………………4分又⊂EF 平面EFO ,所以EF ∥平面11B BCC .……………………………………6分 （2）由（Ⅰ）知FEO ∠异面直线1AA 与EF 所成角,所以 30=∠FEO ,…8分 因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱，所以⊥1BB 平面ABC ,所以⊥EO 平面ABC ,FO EO ⊥∴, 121==BC FO ,3,222=-==∴FO EF EO EF , 由⊥⊥1,CC BC AC BC ,⊥∴BC 平面11A ACC ,…………10分所以11113C BCDB CDC CDC V V BC S--∆==⋅112132=⨯⨯⨯. ………………12分20.解：（1）由图象可知：直线OA 的方程是：3v t =，直线BC 的方程是：270v t =-+ 当4t =时，12v =，所以1412242s =⨯⨯=.……………………………………2分 当010t ≤≤时，213322s t t t =⨯⨯=；……………………………………………3分当1020t <≤时，()1S=3010301502t t t ⨯⨯+-=-……………………4分当2035t <≤时，()()1302015027030202s t t =⨯-+-++-270550t t =-+-……………………6分综上可知s 随t 变化的规律是223[0,10]230150(10,20]70550(20,35]tt s t t t t t ⎧∈⎪⎪⎪=-∈⎨⎪⎪-+-∈⎪⎩……………………………………………7分（2）[0,10]t ∈，2max 3101506502s =⨯=<，……………………………………8分(10,20]t ∈,max 3020150450650s =⨯-=<，…………………………………9分当(20,35]t ∈时，令270550650t t -+-=，解得30t =，（40t =舍去）……11分 即在台风发生后30小时后将侵袭到N 城. ………………………………………12分21.解：（1）由已知得x ＞0，x ≠1． 2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在[)2+∞，上恒成立．…1分所以当[)2,x ∈+∞时，max ()0f x '≤又22ln 111()ln ln ln x f x a a x x x -'=-=-+-2111ln 24a x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，………2分 故当11ln 2x =，即2x e =时，max 1()4f x a '=-．所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14． ……………5分 （2）命题“若存在212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使a x f x f +'≤)()(21成立”等价于“当2[,]x e e ∈时，有()min max ()f x f x a '+≤”．由（1），当2[,]x e e ∈时，max 1()4f x a '=-，∴max 1()4f x a '+=． 问题等价于：“当2[,]x e e ∈时，有min 1()4f x ≤”． ①当14a ≥时，由（1），()f x 在2[,]e e 上为减函数，则min ()f x =2221()24e f e ae =-≤，故21124a e-≥． …………………7分 ②当a <14时，由于'2111()()ln 24f x a x =--+-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上的值域为1,4a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（ⅰ）0a -≥，即0a ≤，'()0f x ≥在2,e e ⎡⎤⎣⎦恒成立，故()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，于是，min 1()()4f x f e e ae e ==-≥>，矛盾．…………………9分 （ⅱ）0a -<，即104a <<，由'()f x 的单调性和值域知， 存在唯一20(,)x e e ∈，使'()0f x =，且满足：当0(,)x e x ∈时，'()0f x <，()f x 为减函数；当20(,)x x e ∈时，'()0f x >，()f x 为 增函数；所以，0min 0001()()ln 4x f x f x ax x ==-≤，20(,)x e e ∈……………………11分 所以，2001111111ln 4ln 4244a x x e e ≥->->-=，与104a <<矛盾． 综上得21124a e≥-……………………………………………………………12分 22.(1)1x a -<0,a >解为11a x a -<<+0a ≤,x ∈∅…………………4分(2)由f (x ＋1)＋f (2x )≤1a ＋11－a得：|x ＋1|＋|2x |≤1a ＋11－a .∵0<a <1，∴0<1－a <1，∴1a ＋11－a ＝1(1)a a -≥1[a ＋1－a 2]2＝4.当且仅当a ＝1－a ，即a ＝12时取“＝”．…………………7分∴原问题等价于|x ＋1|＋|2x |≤4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x －1≤4.或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，1－x ≤4.或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，3x ＋1≤4.∴－53≤x ≤1. …………………10分。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）第I 卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设i 为虚数单位，则复数(1+i)2= (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i2.设集合A={x11≤x ≤5},Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是 (A)6 (B) 5 (C)4 (D)33.抛物线y 2=4x 的焦点坐标是(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 4.为了得到函数y=sin )3(π+x 的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度5.设p:实数x ，y 满足x>1且y>1，q: 实数x ，y 满足x+y>2，则p 是q 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件6.已知a 函数f(x)=x 3-12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)27.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。

若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是 (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) 学科&网 (A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。

如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为(A)35 (B) 20 (C)18 (D)99.已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BM uuu r 的最大值是 (A)443 (B) 449(C) 43637+ (D) 433237+10. 设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)第II 卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

题组层级快练(七十五)1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋9y 2＝1B ．9x 2＋25y 2＝1C ．25x ＋9y ＝1 D.x 225＋y 29＝1 答案 A2．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( ) A ．(x ＋12)2＋y 2＝14B ．x 2＋(y ＋12)2＝14C ．x 2＋(y －12)2＝14D ．(x －12)2＋y 2＝14答案 D解析 由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D. 3．极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线为( ) A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 答案 C4．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标为( ) A ．(2，π3，3)B ．(2，2π3，3)C ．(2，4π3，3)D ．(2，5π3，3)答案 C5．(2015·北京西城一模)在极坐标系中，过点(2，π2)且与极轴平行的直线方程是( )A ．ρ＝0B ．θ＝π2C ．ρcos θ＝2D ．ρsin θ＝2 答案 D解析 极坐标为(2，π2)的点的直角坐标为(0,2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y ＝2，其极坐标方程为ρsin θ＝2，故选D.6．(2015·北京海淀期末练习)下列极坐标方程表示圆的是( ) A ．ρ＝1 B ．θ＝π2C ．ρsin θ＝1D ．ρ(sin θ＋cos θ)＝1 答案 A解析 ρ＝1化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，表示圆心在原点，半径为1的圆，故A 正确；θ＝π2化为直角坐标方程为x ＝0(y ≥0)，表示射线，故B 不正确；ρsin θ＝1化为直角坐标方程为y ＝1，表示直线，故C 不正确；ρ(sin θ＋cos θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，表示直线，故D 不正确．7．(2015·皖北协作区联考)在极坐标系中，直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为( )A ．(2，π6)B ．(2，π3)C ．(4，π6)D ．(4，π3)答案 A解析 ρ(3cos θ－sin θ)＝2可化为直角坐标方程3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为(2，π6)，故选A.8．在极坐标系中，极坐标为(2，π6)的点到极点和极轴的距离分别为( )A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,2 答案 C解析 点(ρ，θ)到极点和极轴的距离分别为ρ，ρ|sin θ|，所以点(2，π6)到极点和极轴的距离分别为2,2sinπ6＝1.9．在以O 为极点的坐标系中，直线l 的极坐标方程是ρcos θ－2＝0，直线l 与极轴相交于点M ，以OM 为直径的圆的极坐标方程是( )A ．ρ＝2cos θB ．ρ＝2sin θC ．2ρ＝cos θD ．ρ＝2＋cos θ 答案 A解析 直线l ：ρcos θ－2＝0的直角坐标方程是x ＝2，直线l 与x 轴相交于点M (2,0)，以OM 为直径的圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2－2x ＋y 2＝0，化为极坐标方程是ρ2－2ρcos θ＝0，即ρ＝2cos θ.10．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程是( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4 D ．ρcos θ＝－4 答案 B解析 方法一：圆的极坐标方程ρ＝4sin θ即ρ2＝4ρsin θ，所以直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0. 选项A ，直线ρsin θ＝2的直角坐标方程为y ＝2，代入圆的方程，得x 2＝4，∴x ＝±2，不符合题意；选项B ，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，代入圆的方程，得(y －2)2＝0，∴y ＝2，符合题意．同理，以后选项都不符合题意．方法二：如图，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO ⊥Ox ，OA 为直径，|OA |＝4，直线l 和圆相切， l 交极轴于点B (2,0)，点P (ρ，θ)为l 上任意一点， 则有cos θ＝|OB ||OP |＝2ρ，得ρcos θ＝2.11．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________．答案 (1,0)，(2，π4)解析 ρ＝2cos θ表示以点(1,0)为圆心，1为半径的圆，故圆心的极坐标为(1,0)． 当θ＝π4时，ρ＝2，故交点的极坐标为(2，π4)．12．(2014·陕西)在极坐标系中，点(2，π6)到直线ρsin(θ－π6)＝1的距离是________．答案 1解析 ρsin(θ－π6)＝ρ(sin θcos π6－sin π6cos θ)＝1，因为在极坐标系中，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 所以直线可化为x －3y ＋2＝0. 同理点(2，π6)可化为(3，1)，所以点到直线距离d ＝|3－3＋2|3＋1＝1.13．在极坐标系中，点M (4，π3)到曲线ρcos(θ－π3)＝2上的点的距离的最小值为________．答案 2解析 点M (4，π3)的直角坐标为M (2,23)，曲线ρcos(θ－π3)＝2，即ρ(12cos θ＋32sin θ)＝2，化为普通方程为x ＋3y －4＝0. 点M (2,23)到此直线的距离d ＝|2＋23×3－4|1＋(3)2＝2即为所求． 14．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线4ρcos θ＋3ρsin θ＋a ＝0相切，则a ＝________. 答案 1或－9解析 圆ρ＝2cos θ即ρ2＝2ρcos θ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线4ρcos θ＋3ρsin θ＋a ＝0，即4x ＋3y ＋a ＝0， 已知圆ρ＝2cos θ与直线4ρcos θ＋3ρsin θ＋a ＝0相切， ∴圆心到直线的距离等于半径． 即|4＋0＋a |42＋32＝1，解得a ＝1或－9. 15．(2015·广州综合测试一)在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则实数a 的值为________．答案 －5或－1解析 将直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 化为普通方程，得y －x ＝a ，即x －y ＋a ＝0，将曲线ρ＝2cos θ－4sin θ的方程化为普通方程，得x 2＋y 2＝2x －4y ，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，圆心坐标为(1，－2)，半径长为r ＝ 5.设圆心到直线AB 的距离为d ，由勾股定理可得d ＝r 2－(|AB |2)2＝5－(232)2＝2，而d ＝|1－(－2)＋a |12＋(－1)2＝|a ＋3|2＝2，所以|a ＋3|＝2，解得a ＝－5或a ＝－1. 16．已知极坐标方程C 1：ρ＝10，C 2：ρsin(θ－π3)＝6.(1)化C 1，C 2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状； (2)求C 1，C 2交点间的距离．答案 (1)C 1：x 2＋y 2＝100，C 2：3x －y ＋12＝0 (2)16 解析 (1)由C 1：ρ＝10，得ρ2＝100.∴x 2＋y 2＝100. 所以C 1为圆心在(0,0)，半径等于10的圆． 由C 2：ρsin(θ－π3)＝6，得ρ(12sin θ－32cos θ)＝6.∴y －3x ＝12，即3x －y ＋12＝0. 所以C 2表示直线．(2)由于圆心(0,0)到直线3x －y ＋12＝0的距离为d ＝|12|(3)2＋(－1)2＝6<10，所以直线C 2被圆截得的弦长等于2102－62＝16.17．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．答案 (1)x ＋3y －2＝0，M (2,0)，N (233，π2)(2)θ＝π6，ρ∈R解析 (1)由ρcos(θ－π3)＝1，得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)； 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)．(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为(0，233)．所以P 点的直角坐标为(1，33)，则P 点的极坐标为(233，π6)．所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．18．(2014·辽宁)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．答案 (1)C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数) (2)ρ＝34sin θ－2cos θ思路 (1)利用相关点法先求出直角坐标方程，再写出参数方程．(2)先联立方程求出P 1，P 2两点的坐标，进而求出P 1P 2的中点坐标，得到与l 垂直的直线方程，再化为极坐标方程．解析 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋(y 2)2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k ＝12.于是所求直线方程为y －1＝12(x －12)．化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.(2015·广东肇庆一模)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(ρ>0,0≤θ<2π)，曲线C 在点(2，π4)处的切线为l ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则l 的直角坐标方程为________．答案 x ＋y －22＝0解析 根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线ρ＝2⇒x 2＋y 2＝4，点(2，π4)⇒(2，2)．因为点(2，2)在圆x 2＋y 2＝4上，故圆在点(2，2)处的切线方程为2x ＋2y ＝4⇒x ＋y －22＝0，故填x ＋y －22＝0.。

题组层级快练(十九)1.函数f (x )的图像如图所示，下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)<－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 答案 B解析 f ′(2)，f ′(3)是x 分别为2,3时对应图像上点的切线斜率，f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2，∴f (3)－f (2)是图像上x 为2和3对应两点连线的斜率，故选B.2．(2015·赣州模拟)函数y ＝x 2e x 的图像大致为( )答案 A解析 因为y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝x (x ＋2)e x ，所以当x <－2或x >0时，y ′>0，函数y ＝x 2e x 为增函数；当－2<x <0时，y ′<0，函数y ＝x 2e x 为减函数，排除B ，C ，又y ＝x 2e x >0，所以排除D ，故选A.3．设底面为等边三角形的直三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D ．23V答案 C4.如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10 000米2，鱼塘前面要留4米的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长、宽分别为( )A ．长102米，宽5 00051 米B ．长150米，宽66米C ．长、宽均为100米D ．长150米，宽2003米答案 D解析 设鱼塘长、宽分别为y 米，x 米，依题意xy ＝10 000. 设占地面积为S ，则S ＝(3x ＋8)(y ＋6)＝18x ＋80 000x ＋30 048，令S ′＝18－80 000x 2＝0，得x ＝2003，此时y ＝150.5．(2015·南昌一模)已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈(－π2，π2)满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是( )A.2f (－π3)<f (－π4)B.2f (π3)<f (π4)C ．f (0)>2f (π3)D ．f (0)>2f (π4)答案 A解析 由f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0知(f (x )cos x )′>0，所以g (x )＝f (x )cos x 在(－π2，π2)上是增函数，所以g (－π3)<g (－π4)，即f (－π3)cos (－π3)<f (－π4)cos (－π4)，即2f (－π3)<f (－π4)，所以A 正确．同理有g (π3)>g (π4)，即f (π3)cos π3>f (π4)cosπ4，得2f (π3)>f (π4)，所以B 不正确；由g (π3)>g (0)，即f (π3)cos π3>f (0)cos0，得f (0)<2f (π3)，所以C 不正确；由g (π4)>g (0)，即f (π4)cos π4>f (0)cos0，得f (0)<2f (π4)，所以D 不正确．故选A.6．(2015·江西七校一联)定义域为R 的连续函数f (x )，对任意x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，且其导函数f ′(x )满足(x －2)f ′(x )>0，则当2<a <4时，有( )A ．f (2a )<f (2)<f (log 2a )B ．f (2)<f (2a )<f (log 2a )C ．f (log 2a )<f (2a )<f (2)D ．f (2)<f (log 2a )<f (2a ) 答案 D解析 ∵对任意x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，∴x ＝2是f (x )的对称轴．又∵(x －2)f ′(x )>0，∴当x >2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <2时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又∵2<a <4，∴1<log 2a <2.4<2a <16；由f (2＋x )＝f (2－x )，得f (x )＝f (4－x )．∴f (log 2a )＝f (4－log 2a )．由1<log 2a <2，得－2<－log 2a <－1.∴2<4－log 2a <3.∴2<4－log 2a <2a .∴f (2)<f (4－log 2a )<f (2a )，即f (2)<f (log 2a )<f (2a )，故选D.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 当x <2时，f ′(x )＝3(x －2)2>0，说明函数在(－∞，2]上单调递增，函数的值域是(－∞，1)，函数在[2，＋∞)上单调递减，函数的值域是(0,1]．因此要使方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则0<k <1.8．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0. (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．(其中，e 为自然对数的底数)． 答案 (1)单调递增区间为(0，a )，单调递减区间为(a ，＋∞) (2)a ＝e 解析 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0， 所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x.由于a >0，所以f (x )的单调递增区间为(0，a )，单调递减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意得，f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]上单调递增， 要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．只要⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a －1≥e －1， ①f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2， ② 由①得a ≥e ；由②得a ≤e.因此a ＝e.故当e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立时，实数a 的值为e. 9．(2013·北京)设l 为曲线C ：y ＝ln x x 在点(1,0)处的切线．(1)求l 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方． 答案 (1)y ＝x －1 (2)略解析 (1)设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2.所以f ′(1)＝1.所以l 的方程为y ＝x －1.(2)令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线l 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)． g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln xx 2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增． 所以g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线l 的下方．10．(2014·浙江文)已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a >0)，若f (x )在[－1,1]上的最小值记为g (a )． (1)求g (a )；(2)证明：当x ∈[－1,1]时，恒有f (x )≤g (a )＋4.答案 (1)g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 3，0<a <1，－2＋3a ，a ≥1 (2)略解析 (1)因为a >0，－1≤x ≤1，所以 ①当0<a <1时，若x ∈[－1，a ]，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ，f ′(x )＝3x 2－3<0，故f (x )在(－1，a )上是减函数； 若x ∈[a,1]，则f (x )＝x 3＋3x －3a ，f ′(x )＝3x 2＋3>0，故f (x )在(a,1)上是增函数． 所以g (a )＝f (a )＝a 3.②当a ≥1时，有x ≤a ，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ，f ′(x )＝3x 2－3<0，故f (x )在(－1,1)上是减函数，所以g (a )＝f (1)＝－2＋3a .综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 3，0<a <1，－2＋3a ，a ≥1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (a )． ①当0<a <1时，g (a )＝a 3.若x ∈[a,1]，则h (x )＝x 3＋3x －3a －a 3，h ′(x )＝3x 2＋3，所以h (x )在(a,1)上是增函数，所以h (x )在[a,1]上的最大值是h (1)＝4－3a －a 3，且0<a <1，所以h (1)≤4.故f (x )≤g (a )＋4.若x ∈[－1，a ]，则h (x )＝x 3－3x ＋3a －a 3，h ′(x )＝3x 2－3，所以h (x )在(－1，a )上是减函数，所以h (x )在[－1，a ]上的最大值是h (－1)＝2＋3a －a 3.令t (a )＝2＋3a －a 3，则t ′(a )＝3－3a 2>0， 知t (a )在(0,1)上是增函数．所以t (a )<t (1)＝4， 即h (－1)<4.故f (x )≤g (a )＋4. ②当a ≥1时，g (a )＝－2＋3a ， 故h (x )＝x 3－3x ＋2，h ′(x )＝3x 2－3.此时h (x )在(－1,1)上是减函数，因此h (x )在[－1,1]上的最大值是h (－1)＝4. 故f (x )≤g (a )＋4.综上，当x ∈[－1,1]时，恒有f (x )≤g (a )＋4.11．(2014·北京)已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求证：f (x )≤0；(2)若a <sin xx <b 对x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，求a 的最大值与b 的最小值． 答案 (1)略 (2)a 的最大值为2π，b 的最小值为1解析 (1)证明：由f (x )＝x cos x －sin x ，得 f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .因为在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上f ′(x )＝－x sin x <0， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 从而f (x )≤f (0)＝0.(2)当x >0时，“sin x x >a ”等价于“sin x －ax >0”；“sin xx <b ”等价于“sin x －bx <0”．令g (x )＝sin x －cx ，则g ′(x )＝cos x －c . 当c ≤0时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立． 当c ≥1时，因为对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，g ′(x )＝cos x －c <0， 所以g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减，从而g (x )<g (0)＝0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立． 当0<c <1时，存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2使得g ′(x 0)＝cos x 0－c ＝0. g (x )与g ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的情况如下表：因为g (x )在区间[0，x 0]上是增函数，所以g (x 0)>g (0)＝0.进一步，“g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立”当且仅当g ⎝⎛⎭⎫π2＝1－π2c ≥0，即0<c ≤2π. 综上所述，当且仅当c ≤2π时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立；当且仅当c ≥1时，g (x )<0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立．所以，若a <sin x x <b 对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.。

题组层级快练(二十六)1．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( ) A ．(－32，12] B ．[－12，32] C ．[12，32] D ．[－32，－12] 答案 B解析 x ∈[0，π2]，x ＋π6∈[π6，23π]，∴y ∈[－12，32]． 2．如果|x |≤π4，那么函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是( ) A.2－12 B ．－2＋12C ．－1 D.1－22答案 D 解析 f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－(sin x －12)2＋54，当sin x ＝－22时，有最小值，y min ＝24－22＝1－22. 3．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( ) A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] 答案 B解析 ∵f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin(x －π6)，∴f (x )的值域为[－3，3]．4．函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin(πx 6－π3)≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.5．函数y ＝sin x ＋sin|x |的值域是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[0,2]D ．[0,1]答案 B解析 当x ＞0时，y ＝2sin x ，y ∈[－2,2]，x ≤0时，y ＝0.6．函数y ＝12sin(2x ＋π6)＋5sin(π3－2x )的最大值是( ) A ．6＋532B ．17C ．13D ．12答案 C解析 y ＝12sin(2x ＋π6)＋5cos[π2－(π3－2x )] ＝12sin(2x ＋π6)＋5cos(2x ＋π6) ＝13sin(2x ＋π6＋φ)，故选C. 7．当0＜x ＜π4时，函数f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x的最小值是( ) A.14 B.12 C ．2D ．4 答案 D解析 f (x )＝1－tan 2x ＋tan x ＝1－(tan x －12)2＋14， 当tan x ＝12时，f (x )的最小值为4，故选D. 8．已知f (x )＝sin x ＋1sin x，x ∈(0，π)．下列结论正确的是( ) A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值答案 B解析 令t ＝sin x ，t ∈(0,1]，则y ＝1＋1t，t ∈(0,1]是一个减函数，则f (x )只有最小值而无最大值．另外还可通过y ＝1＋1sin x ，得出sin x ＝1y －1，由sin x ∈(0,1]也可求出，故选B. 9．若函数y ＝sin 2x ＋2cos x 在区间[－23π，α]上最小值为－14，则α的取值范围是________． 答案 (－2π3，2π3] 解析 y ＝2－(cos x －1)2，当x ＝－23π时，y ＝－14，根据函数的对称性x ∈(－2π3，2π3]． 10．(2014·新课标全国Ⅱ理)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 f (x )＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ－φ)＝sin x ，因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为1.11．若函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2－2cos 2x －m 在[0，π2]上有零点，则实数m 的取值范围是________． 答案 [－1，2]解析 f (x )＝1＋2sin x cos x －2cos 2x －m ＝0有解，x ∈[0，π2]．即sin2x －cos2x ＝m 有解． 2sin(2x －π4)＝m 有解． ∵x ∈[0，π2]，∴2x －π4∈[－π4，3π4]． ∴2sin(2x －π4)∈[－1，2]． 12．函数y ＝1sin 2x ＋2cos 2x的最小值是________． 答案 3＋2 2解析 y ＝1sin 2x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋2sin 2x ＋2cos 2x cos 2x ＝3＋cos 2x sin 2x ＋2sin 2x cos 2x≥3＋22， ∴y min ＝3＋2 2.13．(2015·湖北武汉调研)已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m 在区间[0，π2]上的最大值为3，则： (1)m ＝________；(2)对任意a ∈R ，f (x )在[a ，a ＋20π]上的零点个数为________．答案 (1)0 (2)40或41解析 (1)f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin2x ＋1＋cos2x ＋m ＝2sin(2x ＋π6)＋m ＋1， 因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6. 所以－12≤sin(2x ＋π6)≤1，f (x )max ＝2＋m ＋1＝3＋m ＝3，所以m ＝0. (2)由(1)f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1，T ＝2π2＝π， 在区间[a ，a ＋20π]上有20个周期，故零点个数为40或41.14．已知函数f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )， g (x )＝12sin2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．答案 (1)π (2)22 {x |x ＝k π－π8，k ∈Z }解析 (1)f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )＝(12cos x －32sin x )(12cos x ＋32sin x )＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos2x 8－3－3cos2x 8＝12cos2x －14， ∴f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos2x －12sin2x ＝22cos(2x ＋π4)， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )时，h (x )取得最大值22. h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为{x |x ＝k π－π8，k ∈Z }． 15．(2015·江西百强中学月考)设函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a .(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)当x ∈[－π6，π3]时，函数f (x )的最大值与最小值的和为32，求实数a 的值． 答案 (1)T ＝π，[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z ) (2)a ＝0解析 (1)∵f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a ＝32sin2x ＋12(1＋cos2x )＋a ＝32sin2x ＋12cos2x ＋a ＋12＝sin(2x ＋π6)＋a ＋12， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )， 解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )． 故函数f (x )的单调递增区间为[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z )． (2)∵－π6≤x ≤π3，∴－π6≤2x ＋π6≤5π6. 当2x ＋π6＝－π6时，函数f (x )取最小值，即f (x )min ＝－12＋a ＋12＝a ； 当2x ＋π6＝π2时，函数f (x )取最大值，即f (x )max ＝1＋a ＋12＝a ＋32. ∴a ＋a ＋32＝32，∴a ＝0. 16．(2014·江西)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．答案 (1)最大值为22，最小值为－1 (2)a ＝－1，θ＝－π6解析 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x . 因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4. 故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ(1－2a sin θ)＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1. 由θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，θ＝－π6.。

题组层级快练(五十七)1．已知对任意k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,5)C ．[1,5)∪(5，＋∞)D ．[1,5)答案 C解析 直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，只要(0,1)不在椭圆x 25＋y 2m ＝1外部即可．从而m ≥1.又因为椭圆x 25＋y 2m ＝1中m ≠5，所以m 的取值范围是[1,5)∪(5，＋∞)．2．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为( ) A.33B.13C.23D.63 答案 C解析 PQ 为过F 1垂直于x 轴的弦，则Q (－c ，b 2a )，△PF 2Q 的周长为36.∴4a ＝36，a ＝9.由已知b 2a ＝5，即a 2－c 2a ＝5.又a ＝9，解得c ＝6， 解得c a ＝23，即e ＝23.3．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 228＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵A ，B 在椭圆上，∴⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②①－②，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，即b 2a 2＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)(x 1＋x 2)(x 1－x 2)， ∵AB 的中点为(1，－1)， ∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2.而y 1－y 2x 1－x 2＝k AB ＝0－(－1)3－1＝12，∴b 2a 2＝12.又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.故选D.4．(2015·安徽安庆六校联考)已知斜率为－12的直线l 交椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C 的离心率等于( )A.12 B.22 C.34 D.32答案 D解析 k AB ＝－12，k OP ＝12，由k AB ·k OP ＝－b 2a 2，得12×(－12)＝－b 2a 2.∴b 2a 2＝14.∴e ＝ca＝1－b 2a 2＝32. 5．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)在( )A ．圆x 2＋y 2＝2内B ．圆x 2＋y 2＝2上C ．圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能 答案 A解析 由已知得e ＝c a ＝12，c ＝a 2，x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－c a ，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2ca a 2＝b 2＋a 2a 2<2a 2a2＝2，因此点P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝2内．6．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2答案 D解析 设圆的圆心为C ，则C (0,6)，半径为r ＝2，点C 到椭圆上的点Q (10cos α，sin α)的距离|CQ |＝(10cos α)2＋(sin α－6)2＝46－9sin 2α－12sin α＝50－9⎝⎛⎭⎫sin α＋232≤50＝52，当且仅当sin α＝－23时取等号，所以|PQ |≤|CQ |＋r ＝52＋2＝62，即P ，Q 两点间的最大距离是62，故选D.7．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，若原点O 与线段MN 的中点P 连线的斜率为22，则mn的值是________． 答案22解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，mx 2＋ny 2＝1消去y ， 得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0.则MN 的中点P 的坐标为(n m ＋n ，mm ＋n )．∴k OP ＝m n ＝22.8．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________．答案 y 24＋x 2＝1解析 ∵椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1的右顶点为A (1,0)，∴b ＝1，焦点坐标为(0，c )，∵过焦点且垂直于长轴的弦长为1，即1＝2|x |＝2b 1－c 2a 2＝2b 2a ＝2a，a ＝2. 则椭圆方程为y 24＋x 2＝1.9.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，以O 为圆心，短半轴长为半径作圆O ，过椭圆的长轴的一端点P 作圆O的两条切线，切点为A ，B ，若四边形P AOB 为正方形，则椭圆的离心率为________．答案22解析 如图，因为四边形P AOB 为正方形，且P A ，PB 为圆O 的切线，所以△OAP 是等腰直角三角形，故a ＝2b .所以e ＝c a ＝22.10．(2013·福建)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．答案3－1解析 由直线y ＝3(x ＋c )知其倾斜角为60°，由题意知∠MF 1F 2＝60°，则∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°. 故|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c .又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴(3＋1)c ＝2a . 即e ＝23＋1＝3－1. 11．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1→·PF 2→取值范围．答案 [－2,1]解析 易知a ＝2，b ＝1，c ＝3， 所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)． 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y ) ＝x 2＋y 2－3＝x 2＋1－x 24－3＝14(3x 2－8)．因为x ∈[－2,2]，故当x ＝0，即点P 为椭圆短轴端点时，PF 1→·PF 2→有最小值－2； 当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时，PF 1→·PF 2→有最大值1. 所以PF 1→·PF 2→的取值范围为[－2,1]．12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点A (2,0)，离心率为22，直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求实数k 的值． 答案 (1)x 24＋y 22＝1 (2)k ＝±1解析 (1)∵a ＝2，e ＝c a ＝22，∴c ＝2，b ＝ 2.椭圆C ：x 24＋y 22＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，消y ，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.∵直线y ＝k (x －1)恒过椭圆内一点(1,0)， ∴Δ>0恒成立．由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.S △AMN ＝12×1×|y 1－y 2|＝12×|kx 1－kx 2|＝|k |2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|k |216＋24k 21＋2k 2＝103. 即7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1.13．(2015·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心C .(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程． 答案 (1)x 28＋y 24＝1(2)2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0 解析 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6， 圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6. 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1－(ba )2＝(22)2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2(2,0)， |F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2<r < 6.F 2在圆C 内，故过F 2没有圆C 的切线． 设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0， 点C (2，－2)到直线l 的距离为d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k 2，由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k 2＝ 6.化简，得5k 2＋42k －2＝0，解得k ＝25或k ＝－ 2.故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0. 14．(2014·北京文)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值． 答案 (1)e ＝22(2)2 2 解析 (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 22＋2(4－x 20)x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4)． 因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8. 故线段AB 长度的最小值为2 2.15．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 答案 (1)x 22＋y 2＝1(2)y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2 解析 (1)椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，∴c ＝1.又点P (0,1)在曲线C 1上，∴0a 2＋1b 2＝1，得b ＝1，则a 2＝b 2＋c 2＝2. 所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理，得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理，得km ＝1.② 综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝22，m ＝ 2.或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.。