2016年高考数学江苏省理科试题及答案解析版

2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{－1，2，3，6}，B ＝{x|－2<x<3}，那么A ∩B ＝________．2. 若复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________．3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，那么该组数据的方差是________． 5. 函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．6. 如图所示的算法流程图，输出的a 的值是________．(第6题)7. 将一枚质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．8. 已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． 9. 定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点，若直线y＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．(第10题)11. 设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x<0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x<1，其中a ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f(5a)的值是________．12. 已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，那么x 2＋y 2的取值范围是________．13. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，若BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．(第13题)14. 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin Bsin C ，则tan Atan Btan C 的最小值是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，已知AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1) 求边AB 的长； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫A －π6的值．\16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.(1) 求证：直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2) 求证：平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F.(第16题)17. (本小题满分14分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，如图，上部分的形状是正四棱锥PA 1B 1C 1D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1) 若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？(第17题)18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A(2，4)．(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3) 设点T(t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．(第18题)19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝a x ＋b x (a>0，b>0，a ≠1，b ≠1)． (1) 设a ＝2，b ＝12.①求方程f(x)＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m 的最大值． (2) 若0<a<1，b>1，函数g(x)＝f(x)－2有且只有1个零点，求ab 的值．20. (本小题满分16分)记U ＝{1，2，…，100}．对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T ，若T ＝定义S T ＝0；若T ＝{t 1，t 2，…，t k }，定义S T ＝at 1＋at 2＋…＋at k .例如：T ＝{1，3，66}时，S T ＝a 1＋a 3＋a 66.现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列，且当T ＝{2，4}时，S T ＝30.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 对任意正整数k(1≤k ≤100)，若T {1，2，…，k}，求证：S T <a k ＋1； (3) 设S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D .数学Ⅱ(附加题)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修41：几何证明选讲 如图，在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：∠EDC ＝∠ABD.(第21－A 题)B. 选修42：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1202，求矩阵AB .C. 选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D. 选修45：不等式选讲设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．(1) 若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2) 已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．(第22题)23. (本小题满分10分)(1) 求7C36－4C47的值；(2) 设m，n∈N*，n≥m，求证：(m＋1)C m m＋(m＋2)C m m＋1＋(m＋3)C m m＋2＋…＋nC m n－1＋(n ＋1)C m n＝(m＋1)C m＋2.n＋22016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)1. {－1，2} 【解析】由题意知A ∩B ＝{－1，2}．2. 5 【解析】由题意知z ＝5＋5i ，所以z 的实部是5.3. 210 【解析】由题意知c ＝a 2＋b 2＝7＋3＝10，所以焦距为2c ＝210.4. 0.1 【解析】因为x ＝15(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，所以s 2＝15(0.42＋0.32＋02＋0.32＋0.42)＝0.1.5. [－3，1] 【解析】由题意知3－2x －x 2≥0，解得－3≤x ≤1，所以原函数的定义域为[－3，1]．6. 9 【解析】由流程图可知，在循环的过程中，a 与b 的值依次为1，9；5，7；9，5.因为9>5，所以输出的a ＝9.7. 56 【解析】由题意知，先后抛掷骰子2次，共有36个基本事件．其中点数之和大于等于10的基本事件有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6个，则点数之和小于10的基本事件共有30个．故所求的概率为3036＝56.8. 20 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意知a 1＋(a 1＋d)2＝－3，5a 1＋10d ＝10，解得a 1＝－4，d ＝3，所以a 9＝－4＋8×3＝20.9. 7 【解析】如图，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝sin 2x 与y ＝cos x 在区间[0，3π]上的图象，可知共有7个交点．(第9题)10.63【解析】由题意知焦点F 的坐标为(c ，0)，联立解得x ＝±32a ，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－3a 2，b 2，点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫3a 2，b 2. 因为∠BFC ＝90°，所以BF →·CF →＝0.又BF →＝⎝⎛⎭⎫c ＋3a 2，－b 2，CF →＝⎝⎛⎭⎫c －3a 2，－b 2，所以c 2－34a 2＋14b 2＝0.因为b 2＝a 2－c 2，所以34c 2＝12a 2，即c 2a 2＝23，所以e ＝ca ＝23＝63.11. －25 【解析】由题意知f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋a ，f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 因为f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，所以－12＋a ＝110，解得a ＝35， 所以f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋a ＝－1＋35＝－25.12. ⎣⎡⎦⎤45，13 【解析】作出实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则x 2＋y 2即为可行域内的点(x ，y)到原点O 的距离的平方．由图可知点A 到原点O 的距离最近，点B到原点O 的距离最远．点A 到原点O 的距离即原点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝|0－2|12＋22＝255，则(x 2＋y 2)min ＝45；点B 为直线x －2y ＋4＝0与3x －y －3＝0的交点，即点B 的坐标为(2，3)，则(x 2＋y 2)max ＝13.综上，x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤45，13.(第12题)13. 78 【解析】方法一：设DF →＝a ，DB →＝b ，则DC →＝－b ，DE →＝2a ，DA →＝3a ，所以BA→＝DA →－DB →＝3a －b ，CA →＝DA →－DC →＝3a ＋b ，BE →＝DE →－DB →＝2a －b ，CE →＝DE →－DC →＝2a ＋b ，BF →＝DF →－DB →＝a －b ，CF →＝DF →－DC →＝a ＋b ，所以BA →·CA →＝9a 2－b 2，BF →·CF →＝a 2－b 2，BE →·CE →＝4a 2－b 2.又因为BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，所以9a 2－b 2＝4，a 2－b 2＝－1，解得a 2＝58，b 2＝138，所以BE →·CE →＝4a 2－b 2＝4×58－138＝78. 方法二：以D 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设点B 的坐标为(－a ，0)，点C 的坐标为(a ，0)，点A 的坐标为(b ，c)，所以BA →＝(b ＋a ，c)，CA →＝(b －a ，c)，BF →＝⎝⎛⎭⎫b 3＋a ，c 3，CF →＝⎝⎛⎭⎫b 3－a ，c 3. 因为BA →·CA →＝b 2－a 2＋c 2＝4，BF →·CF →＝b 29－a 2＋c 29＝－1，所以b 2＋c 2＝458，a 2＝138.又因为BE →＝BD →＋DE →＝⎝⎛⎭⎫23b ＋a ，2c 3，CE →＝CD →＋DE →＝(23b －a ，2c 3)， 所以BE →·CE →＝49b 2－a 2＋4c 29＝49×458－138＝78.14. 8 【解析】因为sin A ＝2sin Bsin C ，所以sin(B ＋C)＝2sin Bsin C ，所以sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bsin C ，等式两边同时除以cos Bcos C ，得tan B ＋tan C ＝2tan Btan C. 又因为tan A ＝－tan(B ＋C)＝tan B ＋tan Ctan Btan C －1，所以tan Atan Btan C －tan A ＝2tan Btan C ，即tan Btan C(tan A －2)＝tan A.因为A ，B ，C 为锐角，所以tan A ，tan B ，tan C>0，且tan A>2， 所以tan Btan C ＝tan A tan A －2，所以原式＝tan 2Atan A －2.令tan A －2＝t(t>0)，则tan 2A tan A －2＝（t ＋2）2t ＝t 2＋4t ＋4t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝2，即tan A ＝4时取等号． 故tan Atan Btan C 的最小值为8.15. (1) 因为cos B ＝45，0<B<π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2) 在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C)， 所以cos A ＝－cos(B ＋C)＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝－cos Bcos π4＋sin Bsin π4.又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A<π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210，所以cos ⎝⎛⎭⎫A －π6＝cos Acos π6＋sin Asin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.16. (1) 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC.在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 所以DE ∥AC ，所以DE ∥A 1C 1. 又因为DE平面A 1C 1F ，A 1C 1平面A 1C 1F ，所以直线DE ∥平面A 1C 1F.(2) 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1. 因为A 1C 1平面A 1B 1C 1，所以A 1A ⊥A 1C 1.又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1A平面ABB 1A 1，A 1B 1平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B 1＝A 1，所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1. 因为B 1D平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥B 1D.又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1平面A 1C 1F ，A 1F平面A 1C 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，所以B 1D ⊥平面A 1C 1F. 因为直线B 1D平面B 1DE ，所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F.17. (1) 由PO 1＝2 m ，知O 1O ＝4PO 1＝8 m ，因为A 1B 1＝AB ＝6 m ， 所以正四棱锥PA 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)， 正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)， 所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)． (2) 设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ，则0<h<6，O 1O ＝4h m.如图，连接O 1B 1.在Rt △PO 1B 1中，因为O 1B 21＋PO 21＝PB 21，所以⎝⎛⎭⎫2a 22＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2)， 所以仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0<h<6，所以V′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)．令V′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍去)． 当0<h<23时，V ′>0，V 在(0，23)上是单调增函数； 当23<h<6时，V ′<0，V 在(23，6)上是单调减函数． 故当h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值． 所以，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大．(第17题)18. 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M(6，7)，半径为5.(1) 由圆心N 在直线x ＝6上，可设N(6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，所以圆N 的 半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1， 所以圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2) 因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m|5＝|m ＋5|5.(第18题)如图，因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，又MC 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫BC 22，所以25＝（m ＋5）25＋5， 解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3) 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，因为A(2，4)，T(t ，0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25. ② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25，所以点P(x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点， 所以5－5≤[（t ＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5， 解得2－221≤t ≤2＋221.所以实数t 的取值范围是[2－221，2＋221 ]． 19. (1) 因为a ＝2，b ＝12，所以f(x)＝2x ＋2－x .①方程f(x)＝2，则2x ＋2－x ＝2，即(2x )2－2×2x ＋1＝0， 所以(2x －1)2＝0，所以2x ＝1，解得x ＝0.②由题意知f(2x)＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝(f(x))2－2， 因为f(2x)≥mf(x)－6对于x ∈R 恒成立，且f(x)>0，所以m ≤（f （x ））2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立．又（f （x ））2＋4f （x ）＝f(x)＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且（f （0））2＋4f （0）＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2) 因为函数g(x)＝f(x)－2只有1个零点，又g(0)＝f(0)－2＝a 0＋b 0－2＝0，所以0是函数g(x)的唯一零点． 因为g′(x)＝a x ln a ＋b x ln b ，又由0<a<1，b>1，知ln a<0，ln b>0，所以g′(x)＝0有唯一解x 0＝log b a⎝⎛⎭⎫－ln aln b .令h(x)＝g′(x)， 则h′(x)＝(a x ln a ＋b x ln b )′＝a x (ln a)2＋b x (ln b)2，从而对任意x ∈R ，h ′(x)>0，所以g′(x)＝h(x)是(－∞，＋∞)上的单调增函数， 所以当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x)<g′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x)>g ′(x 0)＝0.所以函数g(x)在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数． 下证x 0＝0.若x 0<0，则x 0<x 02<0，所以g ⎝⎛⎭⎫x 02<g(0)＝0.又g(log a 2)＝alog a 2＋blog a 2－2>alog a 2－2＝0，且函数g(x)在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在x 02和log a 2之间存在g(x)的零点，记为x 1.因为0<a<1，所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾． 若x 0>0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g(x)的非0的零点，矛盾．综上，x 0＝0. 所以－ln aln b＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1. 20. (1) 由已知得a n ＝a 1·3n －1，n ∈N *.所以当T ＝{2，4}时，S T ＝a 2＋a 4＝3a 1＋27a 1＝30a 1. 又S T ＝30，故30a 1＝30，即a 1＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *. (2) 因为T{1，2，…，k}，a n ＝3n －1>0，n ∈N *，所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k －1＝12(3k －1)<3k ，所以S T <a k ＋1.(3) 下面分三种情况证明．①若D 是C 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S D ≥S D ＋S D ＝2S D . ②若C 是D 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S C ＝2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集． 令E ＝C ∩∁U D ，F ＝D ∩∁U C ，则E ≠，F ≠，E ∩F ＝，所以S C ＝S E ＋S C ∩D ，S D ＝S F ＋S C ∩D ，又由S C ≥S D ，得S E ≥S F . 设k 为E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则k ≥1，l ≥1，k ≠l.由(2)知，S E <a k ＋1，所以3l －1＝a l ≤S F ≤S E <a k ＋1＝3k ，所以l －1<k ，即l ≤k. 又k ≠l ，故l ≤k －1，所以S F ≤a 1＋a 2＋…＋a l ＝1＋3＋…＋3l －1＝3l －12≤3k －1－12＝a k －12≤S E －12，故S E ≥2S F ＋1，所以S C －S C ∩D ≥2(S D －S C ∩D )＋1，即S C ＋S C ∩D ≥2S D ＋1.综合①②③得，S C ＋S C ∩D ≥2S D . 21. A. 在△ADB 和△ABC 中，因为∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，∠A 为公共角， 所以△ADB ∽△ABC ，所以∠ABD ＝∠C. 在Rt △BDC 中，因为E 是BC 的中点， 所以ED ＝EC ，从而∠EDC ＝∠C ， 所以∠EDC ＝∠ABD.C. 椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程代入x 2＋y 24＝1，得⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167， 所以AB ＝|t 1－t 2|＝167. D. 因为|x －1|<a 3，|y －2|<a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|<2×a 3＋a3＝a.22. (1) 抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，由点⎝⎛⎭⎫p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4， 所以抛物线C 的方程为y 2＝8x.(2) 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，线段PQ 的中点M(x 0，y 0)，因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ， 所以直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b. ①由错误!消去x ，得y 2＋2py －2pb ＝0. (*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y 1≠y 2， 所以Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化简得p ＋2b>0. 方程(*)的两根为y 1，2＝－p±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p. 因为点M(x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p ， 所以线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p)． ②因为M(2－p ，－p)在直线y ＝－x ＋b 上， 所以－p ＝－(2－p)＋b ，即b ＝2－2p.由①知p ＋2b>0，所以p ＋2(2－2p)>0，所以p<43，所以p 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，43. 23. (1) 7C 36－4C 47＝7×6×5×43×2×1－4×7×6×5×44×3×2×1＝0. (2) 当n ＝m 时，结论显然成立． 当n>m 时，(k ＋1)C m k ＝（k ＋1）·k ！m ！·（k －m ）！＝(m ＋1)·（k ＋1）！（m ＋1）！·[（k ＋1）－（m ＋1）]！＝(m ＋1)C m ＋1k ＋1，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n.又因为C m ＋1k ＋1＋C m ＋2k ＋1＝C m ＋2k ＋2，所以(k ＋1)C m k ＝(m ＋1)(C m ＋2k ＋2－C m ＋2k ＋1)，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n ，所以(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)C m n＝(m ＋1)C m m ＋[(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)C mn ]＝(m ＋1)C m ＋2m ＋2＋(m ＋1)[(C m ＋2m ＋3－C m ＋2m ＋2)＋(C m ＋2m ＋4－C m ＋2m ＋3)＋…＋(C m ＋2n ＋2－C m ＋2n ＋1)]＝(m ＋1)C m ＋2n ＋2.。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I参考公式：1 n样本数据 捲必,L ,X n 的方差S 2-X in i i棱柱的体积V Sh ，其中S 是棱柱的底面积，h 是高. 棱锥的体积V -Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 为高.3、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合 A 1,2,3,6 , B x| 2 x 3，则 AI B ___________________________【答案】 1,2 ;【解析】由交集的定义可得 AI B 1,2 .1 2i 3 i ,其中i 为虚数单位，则z 的实部是 【答案】5;【解析】由复数乘法可得 z 5 5i ，则则z 的实部是5.2 23. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 —— 1的焦距是 _____________ 73【答案】2 .10 ; 【解析】c ■. a 2 b 2 .10，因此焦距为 2c 2.10 .4.已知一组数据 4.7, 4.8, 5.1, 5.4, 5.5，则该组数据的方差是 ________________【答案】0.1 ; 【解析】x5.1 ,s 2 10.42 0.32 020.320.42 0.1 .55. 函数y ■■ 3 2x ______________________ x 2的定义域是 .【答案】 3,1 ;【解析】3 2x x 2 > 0,解得 3< x < 1，因此定义域为 3,1 . 6.如图是一个算法的流程图，则输出 a 的值是 _________________-21 nx ，其中x - x -n i i2.复数z【答案】9;【解析】a,b的变化如下表:a159b975则输出时a 9•7. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷现向上的点数之和小于10的概率是_____________ •【答案】5；6【解析】将先后两次点数记为x,y，则共有6 6 36个等可能基本事件，其中点数之和大于等于4,6 , 5,5 , 5,6 , 6,4 , 6,5 , 6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为3036 8. 已知a n是等差数列，S n是其前n项和•若a i a2 3 , S5 10，则a9的值是__________ 【答案】20;2【解析】设公差为d，则由题意可得a, a, d 3, 5a1 10d 10 ,解得a1 4 , d 3，则a9 4 8 3 20 .9. 定义在区间0,3 n上的函数y sin 2x的图象与y cosx的图象的交点个数是【答案】7;【解析】画出函数图象草图，共7个交点.2次，则出10有5610.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆 笃 % 1 a b 0的右焦点，直线 y -与椭圆交于a b2B,C 两点，且 BFC 90，则该椭圆的离心率是 ___________________ .【答案】 A ；3a 2 c 2 可得—c 3- a 2，贝U e—42a其中a R , 若f5 f 9 则f 5a的值是【答案】2 ；225【解析】由题意得f5f -1—a ,f 目f 丄2 1 1222 2 25 210由f5 f 9 可得 - 1 a 一 , n r 3则a 一，22 2 10 523 2 1 , 22则c 3a -b o ,由b【解析】由题意得F c,0，直线y b 与椭圆方程联立可得B2 朽a b 2 ,2»'3a b 2 ,2由 BFCuuu 90可得BF uuurCFuu u BFlulnCF 11.设f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间x a,1,1 上 f x 2-x51 x 0, 0x1,~2 6 3 I 6则f 5ax 2y 412. 已知实数x,y满足2x y 23x y 34【答案】4,13 ；5【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下9 9x y为可行域内的点到原点距离的平方.可以看出图中A点距离原点最近，此时距离为原点A到直线2x y 20的距离,B点为x 2y 4 0与3x y 3 0交点，贝U B 2,3 ,则x2 y213.max13. 如图，在△ ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上两个三等分点,uuu nu则BE CE的值是_______________ .【答案】7;8uur【解析】令DFrbr ra WE r2auur uur 「2 则BA CA 9a 2rb2rauur uun iuur uuu由BA CA 4 , BF CF「2 「2 「2 「2 r 2 5 r21 可得9a b 4, a b 1，因此a 5,b 813一80,20,则x0,9y的取值范围是uur uur uuu uurB AC A 4, B F C F45图中B点距离原点最远,uuf由三角形 ABC 为锐角三角形, 则 cosB 0,cosC 0 ,二、解答题：本大题共6小题，共计90分•请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明 过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)在厶ABC 中，AC 6, cosB -, C 丄.5 4⑴求AB 的长； ⑵求cos A —的值.6 【答案】⑴5 2 ；2)7 2云.204【解析】⑴Q cosB , B 为三角形的内角5「 ,, uur 因此BEmui r 2CE 4a 14.在锐角三角形 【答案】8； ABC中, si nA 2s in Bsi nC ，则 tan Ata nBta nC 的最小值是【解析】由sin A sin n Asin B C sin BcosC cos Bs in C ， si nA 2sin Bsi nC ，可得 sin BcosC cosBsinC 2sinBsinC （*）, 在（* ）式两侧同时除以 cosBcosC 可得tan B tanC 2ta nBta nC , 又 tan A tan n Ata n B C tan B tan C1 tan BtanC （， tan B tan C 则 tan AtanBtanC1 tan BtanCtan BtanC ，由 tan B tanC 2ta nBta nC 可得 tan Ata nBta nC 22 tan BtanC 1 tan BtanC 'tan A 0,tan B 0,tan C 0 ,由(#)得1 tan Bta nC 0 , 解得t 12t2 2 tan Ata n Bta nC1 t1 1t 2 t21 12 — 1 1 1 由t 1 则 0 g 1t 2tt 2 4t t令tan BtanC t ，由A, B, C 为锐角可得 当且仅当t 2时取到等号，此时tanB 1，因此tanAtanBtanC 最小值为8 , 4tanC 4 , tanBtanC解得tan B 22, tanC22, ta nA 4 （或tan B,ta nC 互换），此时 A,B,C 均为锐角.sinB 3 5 又QA 为三角形的内角-IcosA 1sinA 7 2 •2 2 20 16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱 ABC ABG 中，D,E 分别为AB,BC 的中点，点F 在侧棱BB 上, 且 B 1D AF ， AC 1 A Bi • 求证：⑴直线DE II 平面AGF ；⑵平面B 1DE 平面AGF •【答案】见解析； 【解析】⑴Q D,E 为中点，DE 为 ABC 的中位线DEIIAC又 Q ABC A 1B 1C 1 为棱柱，AC IIAC 1DEIIAC 1，又 Q AG 平面 AGF ，且 DE AC 1FDEII 平面 A 1C 1F ；⑵Q ABC AB 1C 1为直棱柱，AA 1 平面ABQAA| A|C 1，又 Q AC 1 A B|且 AA I A 1B 1 A , AA 1, A B 平面 AA B 1B AC 1 平面 AA B 1B , 又Q DEIIAC 1 ,DE 平面 AARB又Q AF 平面 AA 1B 1B , DE AFsin A7 2 10AB si nC AC sin BAB "2 2 即: AB 5 .2 ;⑵ cos Acos C B sinBsinC cos B cosCcos A” ncos A - 610C 1B 1又Q A i F B i D , DEI B i D D ，且 DE, B i D 平面 B i DE AF 平面 B i DE ，又Q AF AC i F 平面B i DE 平面AGF .i7.（本小题满分I4分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥p A B i C i Di ，下部分的形状是正四棱柱ABCD AB i C i D i （如图所示），并要求正四棱柱的高 O i O 是正四棱锥的高 PO i 的4倍. ⑴若AB 6m , PO i 2m ,则仓库的容积是多少；⑵若正四棱锥的侧棱长为 6m ，当PO i 为多少时，仓库的容积最大?【答案】⑴3i2 m 3 ；⑵2、3m ； 【解析】⑴PO i 2 m ,则00i 8m ,因此，当x 2 3时，V x 取到最大值,即PO i 2 3m 时，仓库的容积最大.1 V P AB i C iD i= -S AB CD PO 13622 3 24 m , VABCD AiBC i D i=S ABCDOO i 62 8 288 m 3 ,3i2 m 3 2361 1 ____________________V P碎才尹翻POi§72 2x2i-72x 32x 324xVABCD A 1B 1C 1 D 1=S ABCD OO i ：：'72_____ 22x 24x 288x 8x 3V x=V P A 1B 1C 1D 1V ABCD A 1B 1C 1D 124x - x 333288x 8x26 x 33 312x 0x6 , V' x 26x 2 3i226 x 2i2 0x6 , 0,2 3 时, V'x 单调递增, 2.3,6 时，V'x 单调递减,C iC18.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以M 为圆心的圆M : x 2 $ 12x 14y 60 0 及其上一点A 2,4 设圆N 与x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线x 6上, 求圆N 的标准方程; 设平行于OA 的直线I 与圆M 相交于B,C 两点，且BC OA ，求直线I 的方程; 设点T t,0满足：存在圆 ULT M 上的两点P 和Q ，使得TA UL T TP 【答案】⑴1⑵y 2x 5或 2x 15⑶ 2 【解析】⑴ 因为 N 在直线6上，设N 6,n 因为与x 轴相切,则圆又圆 N 与圆M 外切，圆M :2 26 x 725 ,^.21,2 uuTQ ，求实数t 的取值范围. I |n 5，解得 n 1 ,即圆N 的标准方程为 x 由题意得OA 2・、5， k OA 212 7 b设l :y2x b ，则圆心M 到直线 I 的距离则 BC 2 后~d^ 255 bBC 2 5，即 2 25 25，解得b 5或b 15，即I : uuu TQ ULT ULT UUUUL TTA TP TQ ，即 TA y ur TP 2x 5 或 y 2x 15 ;--，uuu PQ ，即ur TAULUPQ W 10,解得2 2 21,2 2 21 ， 对于任意t2 2 .21,2 2.21ULT ，欲使TA uuPQ，uir此时TA 10,只需要作直线TA 的平行线，使圆心到直线的距离为 r~ UL T2 125k4必然与圆交于P 、Q 两点，此时ULT LUT TA PQULT UUT ，即 TA PQ ,因此对于任意t 2 2.21,2 ^.21，均满足题意,综上 t 2 2 . 21,2 2.2119. （本小题满分14分）已知函数 f x a x b x a 0,b 0,a1,b 11⑴设a 2, b -.2①求方程f x 2的根；【答案】⑴①x 0 :②4 :⑵1 ;x【解析】⑴①f x 2x 1 ，由f x 2可得2x 丄2 ,2 2x2 2贝U 2x 2 2x 1 0，即卩 2x 10 ,则 2x 1 , x 0 ;②由题意得22x 丄＞ m 2x 丄 6恒成立，2 2令 t 2x 2.，则由 2x 0可得 t > 2（2x 2- 2 ,22t 44此时t 2 > mt 6恒成立，即 m < —t t -恒成立••• t > 2时t 扌》2 t 44，当且仅当t 2时等号成立，x Iog b 2 时，a x 0, b x b '°9b2x时，h x 0 , a Inb 0,贝U g' x 0；则g x 在，X °递减，X 。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式: 样本数据12,,,n x x x 的方差()2211ni i s x xn ==-∑,其中11ni i x x n ==∑．棱柱的体积V Sh =,其中S 是棱柱的底面积，h 是高．棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 为高．一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2016年江苏，1，5分】已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则A B =_______．【答案】{}1,2-【解析】由交集的定义可得{}1,2AB =-．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题． (2）【2016年江苏，2,5分】复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是_______． 【答案】5【解析】由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（3)【2016年江苏，3，5分】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是_______．【答案】210【解析】2210c a b =+=,因此焦距为2210c =．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础 （4）【2016年江苏，4，5分】已知一组数据4.7，4.8，5.1,5.4，5.5，则该组数据的方差是_______． 【答案】0.1【解析】 5.1x =，()22222210.40.300.30.40.15s =++++=．【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用． （5)【2016年江苏,5，5分】函数232y x x =--的定义域是_______． 【答案】[]3,1-【解析】2320x x --≥，解得31x -≤≤，因此定义域为[]3,1-．【点评】本题考查的知识点是函数的定义域,二次不等式的解法，难度不大，属于基础题． （6）【2016年江苏,6，5分】如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是________． 【答案】9【解析】,a b 的变化如下表：a 1 5 9b 9 7 5 则输出时9a =．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答．（7)【2016年江苏，7，5分】将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．【答案】56【解析】将先后两次点数记为(),x y ,则共有6636⨯=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为305366=．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．（8）【2016年江苏，8，5分】已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2123a a +=-，510S =,则9a 的值是_______． 【答案】20【解析】设公差为d ，则由题意可得()2113a a d ++=-,151010a d +=，解得14a =-,3d =，则948320a =-+⨯=． 【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．（9）【2016年江苏，9，5分】定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是________．【答案】7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象,作出函数sin 2y x =与cos y x =在区间[]0,3π上的图象是关键，属于中档题．（10）【2016年江苏,10，5分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒,则该椭圆的离心率是________【解析】由题意得(),0F c ,直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭,由90BFC ∠=︒可得 0BF CF ⋅=，2b BF c ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，2b CF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则22231044c a b -+=,由222b a c =-可得 223142c a =，则c e a ==． 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力,属于中档题．（11）【2016年江苏,11，5分】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是________．【答案】25-【解析】由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11210a -+=，则35a =，则()()()325311155f a f f a ==-=-+=-+=-．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a 值，是解答的关键．（12)【2016年江苏，12，5分】已知实数,x y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩ 则22x y +的取值范围是________．【答案】4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下：22x y +为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中A 点距离原点最近，此时距离为原点A 到直线220x y +-=的距离，d ==，则()22min 45x y +=,图中B 点距离原点最远，B 点为240x y -+=与330x y --=交点,则()2,3B ,则()22max13x y +=．【点评】本题主要考查线性规划的应用,涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键． （13）【2016年江苏，13,5分】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 上两个三等分点,4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________．【答案】78【解析】令DF a =，DB b =，则DC b =-，2DE a =,3DA a =，则3BA a b =-，3CA a b =+，2BE a b =-，2CE a b =+,BF a b =-，CF a b =+，则229BA CA a b ⋅=-，22BF CF a b ⋅=-， 224BE CE a b ⋅=-，由4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-可得2294a b -=，221a b -=-，因此22513,88a b ==，因此22451374888BE CE a b ⨯⋅=-=-=．【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算,平面向量的线性运算,难度中档．（14)【2016年江苏,14，5分】在锐角三角形ABC 中,sin 2sin sin A B C =,则tan tan tan A B C 的最小值是_______． 【答案】8【解析】由()()sin sin πsin sin cos cos sin A A B C B C B C =-=+=+，sin 2sin sin A B C =，可得sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=（*）,由三角形ABC 为锐角三角形，则cos 0,cos 0B C >>， 在（*)式两侧同时除以cos cos B C 可得tan tan 2tan tan B C B C +=，又()()tan tan tan tan πtan 1tan tan B CA ABC B C+=--=-+=--（＃），则tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C B C+=-⨯-,由tan tan 2tan tan B C B C +=可得()22tan tan tan tan tan 1tan tan B C A B C B C=--，令tan tan B C t =，由,,A B C 为锐角可得tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>， 由（＃）得1tan tan 0B C -<，解得1t >，2222tan tan tan 111t A B C t t t =-=---，221111124t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由1t >则211104t t >-≥-，因此tan tan tan A B C 最小值为8, 当且仅当2t =时取到等号，此时tan tan 4B C +=,tan tan 2B C =，解得tan 2tan 2tan 4B C A ===(或tan ,tan B C 互换）,此时,,A B C 均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15)【2016年江苏，15，14分】在ABC △中,6AC =，4cos 5B =,π4C =．（1）求AB 的长；(2）求πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 解：(1）4cos 5B =，B 为三角形的内角，3sin 5B ∴=，sinC sin AB ACB =，635=，即：AB = （2）()cos cos sin sin cos cos A C B B C B C =-+=-，cos A ∴=又A 为三角形的内角，sin A ∴=，π1cos sin 62A A A ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭【点评】本题考查正弦定理,考查两角和差的余弦公式,考查学生的计算能力，属于中档题．（16）【2016年江苏，16，14分】如图,在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证： （1）直线//DE 平面11A C F ； （2）平面1B DE ⊥平面11A C F ．解：（1）,D E 为中点，DE ∴为ABC ∆的中位线，//DE AC ∴，又111ABC A B C -为棱柱，11//AC AC ∴11//DE AC ∴，又11AC ⊂平面11A C F ，且11DE AC F ⊄，//DE ∴平面11A C F ．(2）111ABC A B C -为直棱柱,1AA ∴⊥平面111A B C ，111AA AC ∴⊥，又1111AC A B ⊥,且1111AA A B A =，111,AA A B ⊂平面11AA B B ，11AC ∴⊥平面11AA B B ，又11//DE AC ，DE ∴⊥平面11AA B B ， 又1A F ⊂平面11AA B B ，1DE A F ∴⊥，又11A F B D ⊥，1DEB D D =，且1,DE B D ⊂平面1B DE ，1A F ∴⊥平面1B DE ,又111A F AC F ⊂,∴平面1B DE ⊥平面11A C F ．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明,把握常用方法最关键，难答不大． （17）【2016年江苏，17，14分】现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示）,并要求正四棱柱 的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍．（1)若6m AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少；（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时,仓库的容积最大？解:(1）12m PO =，则18m OO =,1111231116224m 33P A B C D ABCD V S PO -⋅=⨯⨯==, 111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -⋅=⨯==，111111113312m =P A B C D ABCD A B C D V V V --+=，故仓库的容积为3312m ． （2）设1m PO x =，仓库的容积为()V x ，则14m OO x =,11m A O =，11A B =，()111123331111272224m 3333P A B C D ABCD V S PO x x x x x -⋅=⨯⨯=-=-=，1111233142888m ABCD A B C D ABCD V S OO x x x-⋅=⨯=-=,()()111111113332262428883120633=P A B C D ABCD A B C D V x V V x x x x x x x --+=-+-=-+<<,()()22'263122612V x x x =-+=--()06x <<，当(x ∈时，()'0V x >，()V x 单调递增,当()x ∈时,()'0V x <,()V x 单调递减,因此，当x =时，()V x 取到最大值，即1m PO =时，仓库的容积最大．【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．（18)【2016年江苏，18，16分】如图，在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+=及其上一点()2,4A ．（1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切,且圆心N 在直线6x =上,求圆N 的标准方程； (2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点,且BC OA =，求直线l 的方程;（3）设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围．解:（1)因为N 在直线6x =上，设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2226x y n n -+-=，0n >，又圆N 与圆M 外切，圆M :()()226725x x -+-=，则75n n -=+，解得1n =，即圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=．（2）由题意得OA =2OA k = 设:2l y x b =+,则圆心M 到直线l的距离d ==，则BC ==BC =1A FEDCBAC 1B 1A 1解得5b =或15b =-,即l ：25y x =+或215y x =-． （3)TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=，即TA PQ =，(TA t =，又10PQ ≤，10，解得2t⎡∈-+⎣,对于任意2t ⎡∈-+⎣，欲使TA PQ =，此时10TA ≤，只需要作直线TA 的平行线,2TA P Q 、两点,此时TA PQ=，即TA PQ =，因此对于任意2t ⎡∈-+⎣，均满足题意,综上2t ⎡∈-+⎣．【点评】本题考查圆的标准方程的求法,考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法,是中档题，解题时要认真审题,注意圆的性质的合理运用．（19)【2016年江苏，19,16分】已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠． （1）设2a =，12b =． ①求方程()2f x =的根;②若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立,求实数m 的最大值；（2)若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点,求ab 的值． 解：（1)①()122xxf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由()2f x =可得1222x x +=，则()222210x x -⨯+=，即()2210x -=，则21x =，0x =．②由题意得221122622x x x x m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭≥恒成立,令122xx t =+，则由20x >可得2t =≥，此时226t mt --≥恒成立，即244t m tt t+=+≤恒成立∵2t ≥时44t t +=≥,当且仅当2t =时等号成立，因此实数m 的最大值为4．（2)()()22x x g x f x a b =-=+-，()ln 'ln ln ln ln x x x xa b g x a a b b a b b a ⎡⎤⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,由01a <<，1b >可得1b a >，令()ln ln xb a h x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()h x 递增，而ln 0,ln 0a b <>,因此0ln log ln b a a x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时()00h x =， 因此()0,x x ∈-∞时,()0h x <，ln 0x a b >，则()'0g x <；()0,x x ∈+∞时,()0h x >,ln 0x a b >， 则()'0g x >；则()g x 在()0,x -∞递减，()0,x +∞递增，因此()g x 最小值为()0g x ，① 若()00g x <，log 2a x <时，log 22a x a a >=，0x b >,则()0g x >；x >log b 2时,0x a >,log 22b x b b >=, 则()0g x >；因此1log 2a x <且10x x <时,()10g x >,因此()g x 在()10,x x 有零点， 2log 2b x >且20x x >时，()20g x >，因此()g x 在()02,x x 有零点， 则()g x 至少有两个零点,与条件矛盾；② 若()00g x ≥，由函数()g x 有且只有1个零点,()g x 最小值为()0g x ，可得()00g x =， 由()00020g a b =+-=，因此00x =，因此ln log 0ln b a a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ln 1ln a b -=，即ln ln 0a b +=， 因此()ln 0ab =，则1ab =．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用,函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．(20）【2016年江苏,20，16分】记{}1,2,,100U =．对数列{}n a （*n ∈N ）和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t =，定义12k T t t t S a a a =+++．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++．现设{}n a （*n ∈N )是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =． （1)求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数k （1100k ≤≤），若{}1,2,,T k ⊆，求证：1T k S a +<；（3)设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C CDD S S S +≥．解：(1）当{}2,4T =时，2422930T S a a a a =+=+=，因此23a =，从而2113a a ==，13n n a -=． （2）2112131133332k k kT k k S a a a a -+-++=++++=<=≤(3）设()C A C D =，()D B C D =，A B =∅，C A C D S S S =+，D B CDS S S =+， 22C CDD A B S S S S S +-=-,因此原题就等价于证明2A B S S ≥．由条件C D S S ≥可知A B S S ≥． ① 若B =∅，则0B S =，所以2A B S S ≥．② 若B ≠∅，由A B S S ≥可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ，B 中最大元素为m ,若1m l +≥,则由第⑵小题，1A l m B S a a S +<≤≤，矛盾．因为A B =∅,所以l m ≠，所以1l m +≥,211123113332222m m m lA B m a a S S a a a -+-+++=++++=<≤≤≤，即2A B S S >．综上所述,2A B S S ≥，因此2C C D D S S S +≥．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．数学Ⅱ【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答 的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （21-A ）【2016年江苏，21-A,10分】（选修4—1：几何证明选讲)如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒,BD AC ⊥，D 为垂足,E 是BC 中点，求证：EDC ABD ∠=∠．解：由BD AC ⊥可得90BDC ∠=︒，由E 是BC 中点可得12DE CE BC ==，则EDC C ∠=∠， 由90BDC ∠=︒可得90C DBC ∠+∠=︒,由90ABC ∠=︒可得90ABD DBC ∠+∠=︒，因此ABD C ∠=∠， 又EDC C ∠=∠可得EDC ABD ∠=∠．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°,证得∠ABD=∠C 是关键,属于中档题．（21—B ）【2016年江苏，21—B,10分】（选修4—2:矩阵与变换)已知矩阵1202⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，矩阵B 的逆矩阵111202-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB ．解：()11112124221010222--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B ，因此151121*********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ． 【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质,属于中档题． （21—C ）【2016年江苏,21—C ，10分】（选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．ED CB A解:直线l0y --=,椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=，联立得22014y y x --=⎨+=⎪⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或17x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此167AB =． 【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．（21-D ）【2016年江苏，21-D 】（本小题满分10分)（选修4—4：不等式选讲）设0a >，13a x -<，23ay -<，求证：24x y a +-<．解：由13a x -<可得2223a x -<，22422233a a x y x y a +--+-<+=≤． 【点评】本题考查绝对值不等式的证明,注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．【必做题】第22、23题,每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．． (22)【2016年江苏，22，10分】如图，在平面直角坐标系xOy 中,已知直线:20l x y --=，抛物线()2:20C y px p =>．（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；(2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ．①求证：线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --; ②求p 的取值范围．解：(1）:20l x y --=,∴l 与x 轴的交点坐标为()2,0，即抛物线的焦点为()2,0，22p∴=,28y x ∴=． (2）① 设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则:21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即21122222y x p y x p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,12221212222PQ y y p k y y y y p p -==+-， 又,P Q 关于直线l 对称，1PQ k ∴=-，即122y y p +=-,122y y p +∴=-，又PQ 中点一定在直线l 上，12122222x x y y p ++∴=+=-，∴线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --;② 中点坐标为()2,p p --，122212122422y y p y y x x p p +=-⎧⎪∴+⎨+==-⎪⎩即1222212284y y p y y p p +=-⎧⎨+=-⎩,12212244y y p y y p p +=-⎧∴⎨=-⎩， 即关于222440y py p p ++-=有两个不等根，0∴∆>，()()2224440p p p -->，40,3p ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用,考查转化思想以及计算能力． (23）【2016年江苏，23，10分】（1）求34677C 4C -的值；（2）设*,m n ∈N ，n m ≥，求证：()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m n n n m m m n n m +++-++++++++++=+．解：（1）34677C 4C 7204350-=⨯-⨯=．（2）对任意的*m ∈N ，① 当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+,等式成立,② 假设()n k k m =≥时命题成立，即()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m mm m m m m m k k k m m m k k m +++-++++++++++=+，当1n k =+时，左边=()()()()()12111C 2C 3C C 1C 2C m m mm m mm m m k k k m m m k k k ++-++++++++++++()()2211C2Cm m k k m k +++=+++,右边()231C m k m ++=+，而()()()()()()()()()22323!2!1C 1C 12!1!2!!m m k k k k m m m m k m m k m ++++⎡⎤+++-+=+-⎢⎥+-++-⎢⎥⎣⎦()()()()()()()()()12!1!13122C 2!1!!1!mk k k m k k m k k m k m m k m +++=+⨯+--+=+=+⎡⎤⎣⎦+-+-+ 因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+,因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立，综合①②可得命题对任意n m ≥均成立．另解：因为()()111C 1C m m k k k m +++=+，所以左边()()()1111211C 1C 1C m m m m m n m m m ++++++=++++++()()1111211C C C m m m m m n m ++++++=++++又由111C CCkk k n n n ---=+，知2212112111112111221121C C C C C C C C C C C C m m m m m m m m m m m m n n n n n n m m n m m n ++++++++++++++++++++++=+=++==+++=+++,所以,左边=右边．【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．。

...因此 BE CE4a b4 5 137 ．2288 8在锐角三角形 ABC 中， sin A 2sin B sin C ，那么 tan A tan B tan C 的最小值是 ．8；xiv.由 sin Asin π A sin B C sin B cosC cos B sin C ， sin A 2sin Bsin C ，可得 sin B cosC cos B sin C 2sin Bsin C 〔 * 〕，由三角形 ABC 为锐角三角形，那么 cosB 0,cos C 0 ，在〔 * 〕式两侧同时除以 cos B cosC 可得 tan B tan C2tan Btan C ，又 tan Atan π Atan BCtan B tan C (#) ，1 tan B tanC那么 tan A tan B tan Ctan B tan C1tan B tanC ，tan B tanC2由 tan B tanC2 tan B tanC2 tan B tanC 可得 tan A tan B tanC1，tan B tan C令 tan B tanC t ，由 A, B, C 为锐角可得 tan A0, tan B0,tanC 0 ，由(#)得 1 tan B tan C 0 ，解得 t 1tan A tan B tan C2t 2 2 ，t11 1t 2t1 1 1 1 21 1 11，由 t 1 那么0 ，因此 tan Atan B tanC最小值为 8，t2tt24 t2t4当且仅当 t 2 时取到等号，此时 tan B tan C 4 ， tan B tan C 2 ，解得 tan B22,tan C22,tan A 4 〔或 tan B,tan C 互换〕，此时 A, B,C 均为锐角．二、解答题： 本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．〔本小题总分值14 分〕在△ABC 中， AC 6 ， cos B4， Cπ．54⑴求 AB 的长；⑵求 cos Aπ 的值．6⑴ 5 2；⑵7 26 ．201.cos B4， B 为三角形的内角5sin B 3 5AB ACsinC sin BAB623，即： AB 5 2 ；25a) cos A cos C B sin B sin C cos B cosC2cos A10又A为三角形的内角72sin A10cos Aπ3cos A1s in A726．62220〔本小题总分值14分〕如图，在直三棱柱ABC A1 B1C1中， D, E 分别为 AB , BC 的中点，点F在侧棱 B1B 上，且 B D A F AC1A B C111，1 1 1 ．求证：⑴直线 DE // 平面 AC FA1B1；11⑵平面 BDE平面AC F．111F 见解析；2.D, E 为中点，DE 为ABC 的中位线DE // AC又ABC A B C 为棱柱，AC //AC1 1 111CEA D BDE // AC1 1，又AC1 1平面 AC11F，且DEAC1 1FDE //平面AC F；1 1a)ABC A1B1C1为直棱柱，AA1平面 A1B1C1AA AC，又AC1A B1 1 11 1 1且AA1 A1 B1 A1， AA1 , A1 B1平面 AA1B1 BAC1平面AAB B，11113又 A 1FB 1D ， DE B 1DD ，且 DE, B 1D平面 B 1 DEA F平面B DE，又A FAC F1111 1平面 B DE平面AC 1 F．11〔本小题总分值14 分〕现需要设计一个仓库，它由上下两局部组成，上局部的形状是正四棱锥P A 1 B 1C 1D 1，下局部的形状是正四棱柱 ABCD A 1B 1C 1 D 1〔如下图〕 ，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高 PO 1的 4 倍．⑴假设AB6 m ， PO 12 m ，那么仓库的容积是多少；PD 1 C 1⑵ 假设正四棱锥的侧棱长为6 m ，当 PO 1为多少时，仓库的容积最大？O 1A 1B 13；⑵ 2 3 m ； DC⑴ 312 mO3. PO 1 2 m ，那么OO 18 m ，ABV P A 1B 1C 1D 1=1S ABCD PO 11 62 224 m 3， V ABCDA 1B 1C 1D 1=S ABCD OO 1628 288 m 3 ，33V =V PABCDV ABCDABCD312 m3 ，11 1 111 11故仓库的容积为 312 m 3；a) 设 PO 1x m ，仓库的容积为 V ( x)那么 OO 1 4 x m ， AO 1 136 x 2 m ， A 1B 12 36 x 2 m ，11212V P A 1B 1C 1D 1= S ABCD PO 172 2 x 2x72x 2 x 3 24xx 3 m 3 ，3 3332233V ABCD A 1B 1C 1D 1=S ABCD OO 1724 x 288x2x 8 x m ，V x =V PABCDV ABCD ABC D24x 2 x 3 288x8x 326 x 3 312 x 0 x6 ，1 11 11 1 1 133V ' x26x 2 312 26 x 212 0 x 6 ，当 x 0,2 3 时，V' x0 ， V x 单调递增，当 x2 3,6 时，V'x0 ， V x 单调递减，因此，当 x2 3时，Vx 取到最大值，即 PO 1 23 m 时，仓库的容积最大．〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，〔本小题总分值14 分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2y 2 12x 14y 600及其上一点 A 2,4 ．⑴设圆 N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；⑵设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；⑶设点 T t,0满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TATPTQ ，XX 数t 的取值X 围．y2y21 ⑵ y 2x 5 或 y2 x 15 ⑶ 22 21,22 21 ；⑴ x 61M4.因为 N 在直线 x6 上，设 N 6, n ，因为与x 轴相切，A那么圆 N 为 x 622n 2， n 0y n又圆 N 与圆M 外切，圆M ： x22Oxx 76 25 ，那么 7 nn 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 22；6 y 11a) 由题意得 OA 2 5 ， k OA 2 设 l : y2 x b ，那么圆心M 到直线 l 的距离d12 7b5 b22,155 b2522 22 25， BCb那么 BC 2 5 d52 5，即2 252 5 ，5解得 b5 或 b 15 ，即 l ： y2 x 5 或 y 2 x 15 ；i.TA TP TQ ，即 TA TQ TPPQ ，即TAPQ ，TAt2242，又 PQ ≤10,242≤ 10 ，解得 t 2 2 21,2 2 21 ，即 t 2对于任意 t22 21,2 2 21 ，欲使 TAPQ ，2此时 TA 10 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25TA ，只需要作直线 ，4必然与圆交于 P 、 Q 两点，此时 TA PQ ，即TA PQ ，因此对于任意 t2 2 21,2 2 21 ，均满足题意，。

2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）【2016 江苏（理）】已知集合 A={ - 1, 2, 3, 6} , B={x| - 2 V x V 3}，则 A AB= _____ 【答案】{ - 1, 2}【解析】 解：•••集合 A={ - 1, 2, 3, 6} , B={x| - 2V x V 3}, ••• A n B={ - 1, 2},【2016江苏（理）】复数z= （1+2i ） （3- i ）,其中i 为虚数单位，则z 的实部是 _______ , 【答案】5【解析】 解：z= （1+2i ） （3 - i ） =5+5i , 则z 的实部是5,【答案】2 , I• c =Uw 5 护=顶,【2016江苏(理)】已知一组数据4.7, 4.8, 5.1 , 5.4 , 5.5，则该组数据的方差是 _ 【答案】0.1【解析】 解：•••数据4.7, 4.8, 5.1, 5.4, 5.5的平均数为：—1工=匸(4.7+4.8+5.1+5.4+5.5 ) =5.1,5•该组数据的方差： 2 1 2 2 2 2 2 s=〒[(4.7 -5.1)+ (4.8 -5.1) + ( 5.1 - 5.1) + ( 5.4 -5.1) + ( 5.5 -5.1)]=0.1 ・【2016江苏（理）】函数y= ： 「 ■-的定义域是 【答案】[-3, 11【解析】解：由3 - 2x - x 2%得：x 2+2x - 3包）,解得：x €[ - 3 , 1 ],【2016江苏（理）】如图是一个算法的流程图，则输出的【2016江苏（理）】在平面直角坐标系2X2 y3a= ； b=二2xOy 中，双曲线专■=1的焦距是【解析】解：双曲线 =1中, 的焦距是2 一【答案】9【解析】解：当a=1, b=9时，不满足a> b,故a=5, b=7 ,当a=5, b=7 时，不满足a>b，故a=9, b=5当a=9, b=5时，满足a> b,故输出的a值为9,【2016江苏(理)】将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1 , 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是_____ .【答案】卫【解析】解：将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1, 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，基本事件总数为n=6 0=36,出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10,出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：(4, 6), (6 , 4), (5 , 5), (5 , 6), (6 , 5), (6 , 6),共6 个，•••出现向上的点数之和小于10的概率：4 6 5p=1「—.2【2016江苏(理)】已知｛a n｝是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a2=-3 , S5=10 ,贝U a9 的值是—.【答案】20【解析】解：••• ｛a n｝是等差数列，S n是其前n项和，a1+a22=- 3 , S5=10 , 8］+( a^+d)'二- 3••5托4 ,5哲■尹左10解得a仁-4 , d=3 ,• a9= - 4+8 X3=20.【2016江苏(理)】定义在区间［0 , 3冗］上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是—.【答案】7【解析】解：画出函数y=sin2x与y=cosx 在区间［0, 3 n上的图象如下:【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆‘1+-’ =1 （a> b>0）的2)，由 / BFC=90 ° 可得k BF?k CF= - 1,_：_=- 1=1，2 2 °化简为b2=3a2- 4c2,由b2=a2- c2,即有3c2=2a2,C两点，且/ BFC=90 °则该椭圆的离心率是【解析】解：设右焦点可得B (-丄a,-2即有【答将y=*代入椭圆方程可得=± a，,一），C•-a _,【解析】 解：作出不等式组对应的平面区域，设Z=x 2+y 2，则Z 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方, 由图象知A 到原点的距离最大， 点O 到直线BC : 2x+y - 2=0的距离最小，，即 A （ 2，3），此时 Z =22+32=4+9=13 ,则 z=d 2= 一） 2=十, 故Z 的取值范围是［半,13］, 故答案为：［一，13］.5【2016江苏（理）】设f （ x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间［-1,1） 上,f (x )I 匕【答案】-二，其中a€R ，若f （-吕）=f （半），则f （5a ）的值是【解析】解：f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间［-1, 1） 上, f （x ）=f —= 丄)丐--1 -.7 i +a，ii••• f (5a ) =f (3) =f (- 1) = - 1+-匸x - 2y+4^0【2016江苏（理）】已知实数x , y 满足2>0,则x 2+y 2的取值范围是得r s-2[尸3点O 到直线BC : 2x+y - 2=0的距离_ 2|【答[x - 2^4=0:- ------------【2016江苏（理）】如图，在△ ABC中，D是BC的中点，E, F是AD上的两个三等分点, -.? -.=4, °T? i;=-1,则n的值是 _.【答案】丄s【解析】解：•/ D是BC的中点，E, F是AD上的两个三等分点,••• ¥=□+『. 卜=-二+5 ,「= .1-0+3 I', = - U1+3 ',.•.干？飞=：卩2-「2=- i,'；? '「.=9 下2-辰¥=4,s 8：r| —■ | —■冃|| jw | iH又•••i+2| I , ： =- +2，,【2016江苏(理)】在锐角三角形ABC中，若sin A=2si nBsi nC，贝U tan Ata nBta nC的最小值是____ .【答案】8【解析】解：由sinA=sin ( n- A) =sin (B+C ) =sinBcosC+cosBsinC , sinA=2sinBsinC , 可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC ,①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB>0, cosC>0,在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC ,又tanA= - tan ( n- A) = - tan (B+C ) = ------------- ------------- --- ② ,1 - tanBtanC门■ ' ?tanBtanC ,1 一t anBtanC由 tan B+ta nC=2ta nBta nC 可得 tan Ata nBta nC=-令 tanBtanC=t ，由 A , B , C 为锐角可得 tanA >0, tanB >0, tanC > 0, 由② 式得1 - tanBtanC V 0,解得t > 1,:■、解答题（共6小题，满分90分）4TT【2016江苏（理）】在厶ABC 中，AC=6 , cosB —, C^ .5 4（1 ）求AB 的长； （2）求cos （A -丄）的值.6【2016江苏（理）】如图，在直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1中，D , E 分别为AB , 点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D 丄A 1F , A 1C 1丄A 1B 1.求证： （1）直线DE //平面A 1C 1F ;（2）平面B 1DE 丄平面A 1C 1F .2=- Rtan Ata nBta nC=-（丄迪21「由 t>1 2 * *得,-严= 因此tanAtanBtanC 的最小值为8,当且仅当t=2时取到等号，此时 tanB+tanC=4 , tanBtanC=2, 解得 tan B=2+ 工，tan C=2—『.，ta nA=4 ,（或 tanB , ta nC 互换），此时 A , B , C 均为锐角. …cos 则 tan Ata nBta nC=-2 (tat^BtanC ) 2 1 一t anBtanCBC 的中点,sinB=【解析】解：(1) •/ D, E分别为AB , BC的中点，••• DE为仏ABC的中位线，••• DE // AC ,••• ABC - A1B1C1 为棱柱，•AC // A1C1,•DE // A1C1,•/ A1C1?平面A1C1F,且DE?平面A1C1F,•DE // A1C1F;(2)T ABC - A1B1C1 为直棱柱，•AA 1 丄平面A1B1C1,•AA 1 丄A1C1,又T A1C1 丄A1B1，且AA 1A A1B1=A1, AA1、A1B1?平面AA1B1B,•A1C1 丄平面AA1B1B,•/ DE // A1C1,•DE 丄平面AA1B1B, 又••• A1F?平面AA 1B1B,•DE 丄A1F,又T A1F丄B1D, DE A B1D=D，且DE、B1D?平面B1DE,•A1F丄平面B1DE , 又T A1F?平面A1C1F, •平面B1DE丄平面A1C1F .【2016江苏(理)】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P -A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD - A1B1C1D1 (如图所示)，并要求正四棱柱的高010是正四棱锥的高PO1的4倍.(1 )若AB=6m , P01=2m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当P01为多少时，仓库的容积最大？【解析】 解：(1) •/ PO i =2m ，正四棱柱的高 010是正四棱锥的高 PO 1的4倍. /• 0i 0=8m ,•••仓库的容积 V=2>62>2+62^8=312m 3,3(2 )若正四棱锥的侧棱长为 6m , 设 P01=xm ，则 010=4xm ， A 101= I - m ，A 1B 1= 下，-m ,则仓库的容积 V=g X(近剤 3" /)2?x+ (近勾36— F ) 2?4X =—^X 3+312X , (O v x3 「「■3v 6),• V = - 26X 2+312 , ( O v x v 6),当 O v x v 2.时，V'> 0, V ( x )单调递增； 当2 ：;v x v 6时，V'v 0, V (x )单调递减； 故当x=2 一时，V (x )取最大值； 即当P01=2 . _；m 时，仓库的容积最大.【2016江苏(理)】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以M 为圆心的圆M : x 2+y 2- 12x - 14y+60=0 及其上一点 A (2, 4).(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线x=6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于 0A 的直线I 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC=0A ，求直线I 的方程； M 上的两点P 和Q ,使得•：+“「=• i.i,求实数t 的取值【解析】 解：(1) ••• N 在直线x=6上，•设N (6, n ),•••圆 N 与 x 轴相切，•••圆 N 为：(x - 6) 2+ (y - n ) 2=n 2, n >0,又圆 N 与圆 M 外切，圆 M : x 2+y 2 - 12x - 14y+60=0，即圆 M : ((x - 6) 2+ (x - 7) 2=25 , • |7 — n|=|n|+5，解得 n=1 ,•••圆N 的标准方程为(x - 6) 2+ (y - 1) 2=1. (2)由题意得 0A=2 口，k °A =2，设 I : y=2x+b ,则圆心M 到直线l 的距离:解得b=5或b= - 15,•直线l 的方程为：y=2x+5或y=2x - 15.(3)设点T (t , 0)满足：存在圆 则 |BC|=2 •.辭BC=2「，，即(3) IN I ^ = li,即 T 】_T 「 一“ 即「〔Fl Ml ，I I 4=I ：' ' I '，又底Ho ,即J (我—2］打牡削，解得t €［2 - 2阿,2+2阿］, 对于任意t€［2 - 2阿,2+2届］，欲使冠二而，此时，I 丑鬥0, 只需要作直线TA 的平行线，使圆心到直线的距离为必然与圆交于P 、Q 两点，此时|」=|川，即Z — ll.i,因此实数t 的取值范围为t €［2 - 2「, 2+2.「］,. 【2016江苏(理)】已知函数 (1 )设 a=2, b=_.2① 求方程f (x ) =2的根； ② 若对于任意x€R ,不等式f (2)若 0v a v 1, b > 1，函数 【解析】解：(1 )设 a=2, f (x ) =a x +b x (a >0, b > 0, a 为,b 为).(2x )湘f ( x )- 6恒成立，求实数 m 的最大值； g (x ) =f (x ) - 2有且只有1个零点，求ab 的值.函数 f (x ) =a x +b x (a >0, b >0, a 鬥，b ^l ).b=-.2①方程f (x ) =2;即: =2，可得 x=0 .②不等式f (2x )初f (x )- 6恒成立，即-二2钥令t=^十丄，t 支.2K不等式化为：t 2- mt+4为在t 呈时，恒成立.可得：△<)或L 22-2inl-4>0即：m 2 - 160或m 詔， m € (-汽 4]. 实数m 的最大值为：4.(2) g (x ) =f (x )- 2=a x +b x - 2,ag'(x ) =ax In a+bx In b=ax|丄nr],0 v a v 1, b > 1 可得一-•,令 h(x ) = 1—则h (x )是递增函数，而，Ina v 0, Inb >0，因此，X0=__-lnbaIna+lnb ,1时，h (x 0) =0,)-6恒成立.湘(_x因此 x € (—a, x o )时，h (x )v 0, a Inb > 0,贝 U g' (x )v 0. x € (x o , + a)时，h (x )> 0, a x lnb >0,则 g'(x ) > 0, 则g (x )在(-a, x 0)递减，(x 0, + a)递增，因此g ( x )的最小值为：g (x 0). ①若 g (x 0)v 0, x v Iog a 2 时，a x > _ "、=2, b x > 0，则 g (x ) > 0,因此 x i v Iog a 2,且 x i v x 0时，g (x i )> 0,因此 g (x )在(x i , x 0)有零点, 则g (x )至少有两个零点，与条件矛盾.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 对任意正整数 k (1惑000),若T?｛1 , 2,…，k ｝，求证：S T v &+1 ； (3) 设 C? U , D? U , S C 爲D ，求证：S C +S CP 壹S D . 【解析】 解：(1 )当 T=｛2 , 4｝时，S T =a 2+a 4=a 2+9a 2=30 , 因此a 2=3，从而a 1= . =1, 故 a n =3n 1,(3 )设 A=?C ( C A D ), B=?D ( C A D ),则 A AB= ?,分析可得 S C =S A +S CAD , S D =S B +S CPD ,贝y S C +S CAD — 2S D =S A — 2S B , 因此原命题的等价于证明 S C^S B ,由条件S C ^S D ,可得S A 爲B ,① 、若 B=?,贝U S B =0 ,故 S A 支S B ,② 、若B 老,由S A ^S B 可得A 老,设A 中最大元素为I , B 中最大元素为 m , 若m 半1 ,则其与S Av a i+1毛m<S B 相矛盾，因为A AB=?,所以I 剂,则I 初+1 ,综上所述,S A 丝S B , 故 S C +S C PD 丝S D .附加题【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区 域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.A .【选修4—1几何证明选讲】②若g (x 0)> 0，函数g (x ) =f (x )— 2有且只有1个零点，g (x )的最小值为g (x o ),可得 g (x o ) =0 ,由g (0) =a 0 . 0 i +b—2=0 , 因此 x 0=0 , 因此 1□电a可得ab=1.=0,F 1，即lna+lnb=0,In (ab ) =0, ab=1 .【2016江苏(理)】记U={1 , 2, 定义 S T =0 ；若 T={t 1, t 2,…，t k }, …，100}，对数列{a n } (n€N ) 和U 的子集若 T=?,定义S T = I 一 兀LS T =a 1+a 3+a 66.现设｛a n ｝ (n€N )是公比为3的等比数列，且当 T=｛2 , 4｝时，S T =30.+a t+ •• +二+ .例如：T=｛1 , 3, 66}时,(2)2 k — 1S T OH +a 2+ --a k =1+3+3 + --+3~_12~kv 3 =a k+1 S B<a 1+a 2+-a m =1+3+32+1a»+l2 =2即S A 支S ,【2016江苏（理）】如图，在△ ABC中，/ ABC=90 ° BD丄AC, D为垂足，E为BC的中点，求证：/ EDC= / ABD .因为E为BC的中点，所以DE=CE=2B C,2则：/ EDC= / C,由/ BDC=90 ° 可得 / C+Z DBC=90 ° 由Z ABC=90 ° 可得Z ABD+ Z DBC=90 ° 因此Z ABD= Z C,而Z EDC= Z C, 所以，Z EDC=Z ABD .B.【选修4—2:矩阵与变换】点，求线段AB的长.【2016江苏（理）】已知矩阵A=_ 1，矩阵B的逆矩阵B14，求矩阵AB .0 2【解析】解: _1•/ B 11"I0 2• B= (B••• AB=1 20 -212 i=2 20 12 20!=2，又A=1 20 -2C.【选修4—4: 坐标系与参数方程】【2016江苏（理）】在平面直角坐标系xOy中，已知直线I的参数方程为参数），椭圆C的参数方程为（0为参数），设直线I与椭圆C相交于A , B两(t为• |AB|=—「「，， I 二.【2016 江苏(理)】设 a >0, |x — 1|<—, |y — 2|v 卫，求证：|2x+y — 4|v a .、〒口口 亠 一、cI_ _,1 一巴【 -- ---- ------- -- --- 3可得 |2x+y — 4|=|2 (x — 1) + (y — 2) |则 |2x+y — 4|v a 成立.附加题【必做题】【2016江苏(理)】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l : x — y — 2=0,抛物线C :2y =2px ( p > 0).(1) 若直线I 过抛物线C 的焦点，求抛物线 C 的方程； (2) 已知抛物线 C 上存在关于直线I 对称的相异两点 P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2— p , — p );x - y - 2=0,「.l 与x 轴的交点坐标(2, 0), 0).2s !+ a 33€|x — l|+|y - 2|V =a ,由.\=<os 日L y=2sin6，得2两式平方相加得V3^-y-后Q联立，解得• 「.7【解析】证明：由a >0, |x — 1|v 寻|y - 2|v 冷,Jo代入①并整理得， )-:I.【解析】解:2 •••抛物线C: y =8x.又••• P , Q 关于直线l 对称,.线段PQ 的中点坐标为（2—p ,_ p ）;②因为Q 中点坐标（2 — p , — p ）.(n+1) C一( 3X2X144X3X2X1=7>20_ 4 X 35=0.证明：(2)对任意m €N *,① 当 n=m 时，左边=(m+1) C ：=m+1 , 右边=（m+1） C ：；；=m+1，等式成立.② 假设n=k （k 湘）时命题成立， 即（m+1）C +（ m+2）C +（ m+3）JILJl+LC 加+"k Ct-i +（ k+1）C, =（ m+1）C ：：；，f 2 Vi,k _叮 ■ y丫2,kPQ 一yJ -: y2 屮yj I 2p _2p即:(2)证明：①设点 P (X 1 , y i ) , Q (X 2, y 2),贝U ：码 2二y 22=Zpx 2又PQ 的中点在直线l 上，2填=2 - p ,2占y]4r 2="死旳+ y © yi 2-Fy 23=8p-4p 2yi +y £= -2p y 1/2=4p，即关于y 2+2py+4p 2_ 4p=0，有两个不相等的实数根,2 2•••△ > 0, (2p ) — 4 (4p — 4p )> 0,【2016江苏（理）】（1）求7C ： —4C 卡的值; (2)设 m , n€N *, n >n ,求证：(m+1) C：+(m+2 )C +(m+3 )C+・・+nC | +n ' Ik PQ = — 1，即 y 1+y 2= — 2p ,\17 1当n=k+1时，=(^ft) C ；：；+ (kf2) c£i ，右边=；：」二春左边=(m+1)+ (m+3) ，■二 +(m+2V J1L + (k+1) + (k+2)•••（毗C 豔-（讯）C 常[k+3 -( k — m+1)]=(k+2)c 角, ](nrl-2) ! (k _ ID ) I•'•(讨1) C?：* (k+2)蹲十1 =(m+1) i ：一 ：,•••左边=右边， ••• n=k+1时，命题也成立，• m , n€N *, ng ( m+1) C 二 + ( m+2) C 血 a+1+ (m+3 )C=+・・+nC 九’n~ 1+ (n+1) C 二=n (m+1 ) C ])L +2 n+2 2016年江苏省高考数学试卷（共14小题，每小题5分，满分70分） 1. 2. 、填空题【2016 江苏（理）】已知集合 A={ - 1 , 2, 3, 6} , B={x| - 2< x V 3},则 A A B= 【2016江苏（理）】复数z=（ 1+2i ）（ 3 - i ）,其中i 为虚数单位，则z 的实部是 3. 2【2016江苏（理）】在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线专■- =1的焦距是 4. ____________________________________________________________________________ 【2016江苏（理）】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4, 5.5,则该组数据的方差是_________________ 5. 【2016江苏（理）】函数y= ：「 .-的定义域是 _______________7.【2016江苏（理）】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1, 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩具） 先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ____________28【2016江苏（理）】已知｛a n ｝是等差数列，S 是其前n 项和，若a 1+a 2 = - 3, S 5=10，则 a 9的值是 __________________ .9. [ 2016江苏（理）】定义在区间[0 , 3冗]上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象的交点 个数是 _____________ . T2肿10.[2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆—亠 =1 （a >b > 0）a 2b 2的右焦点，直线y=^与椭圆交于B , C 两点，且/ BFC=90 °则该椭圆的离心率2-2y+4>0y 满足伍+y - 2>0 ，则x 2+y 2的取值范围3x-y- 3<Q是 _____________ .13. [2016江苏（理）】如图，在△ ABC 中，D 是BC 的中点，E , F 是AD 上的两个三等分6.【2016江苏（理）】如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是 ______________（X ）=，其中a 灵若（（*）=心），则（（5a ）的值是12. [2016江苏（理）】已知实数X , 是.11. [2016江苏（理）】设f （x ）是定义在 R 上且周期为2的函数，在区间[-1 , 1） 上, f点，•⑦「=4,丨=-1,贝U卜.？』的值是14. ____________ 【2016江苏（理）】在锐角三角形值是 . 二、解答题（共6小题，满分90分）47T 15. 【2016 江苏（理）】在厶 ABC 中，AC=6，cosB==，C=一 .5 4 （1 ）求AB 的长；TT（2 ）求 cos （A - 一）的值.616. 【2016江苏（理）】如图，在直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1中，D , E 分别为AB , BC 的中点, 点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D 丄A 1F , A 1C 1丄A 1B 1 .求证： （1） 直线 DE // 平面 A 1C 1F ; （2） 平面B 1DE 丄平面A 1C 1F .17. 【2016江苏（理）】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱 锥P - A 1B 1C 1D 1,下部的形状是正四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 （如图所示），并要求正四棱柱 的高010是正四棱锥的高 PO 1的4倍.（1 ）若AB=6m , PO 1=2m ，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为 6m ,则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ABC 中，若 sinA=2sinBsinC ，则 tanAtanBtanC 的最小AG2 2 18. 【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M : x +y-12x - 14y+60=0 及其上一点 A （2, 4）.(1) 设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；(2) 设平行于OA的直线I与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线I的方程；(3) 设点T( t, 0)满足：存在圆M上的两点P和Q,使得订|+「=Ti,求实数t的取值①求方程f (x) =2的根；②若对于任意x€R,不等式f (2x)湘f ( x)- 6恒成立，求实数m的最大值；(2)若O v a v 1, b> 1，函数g (x) =f (x)- 2有且只有1个零点，求ab的值.20. 【2016江苏(理)】记U=｛1 , 2,…，100｝，对数列｛a n｝(n3*)和U的子集T,若T=?,S T=a1+a3+a66.现设｛a n｝(n€N )是公比为3的等比数列，且当T=｛2 , 4｝时，S T=30.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)对任意正整数k (1惑O00),若T?｛1 , 2,…，k｝，求证：S T v e k+1 ；(3)设C? U , D? U , S C^S D，求证：S C+S CPD ^2S D.附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A .【选修4—1几何证明选讲】21. 【2016江苏(理)】如图，在△ ABC中，/ ABC=90 ° BD丄AC , D为垂足，E为BC的中点，求证：/ EDC= / ABD .C.【选修4—4:坐标系与参数方程】(a> 0, b > 0, a 力,b 詞).定义S T=0；若T={t 1 , t2, …，t k}，定义ST p%+%+ ••+*.例如: T={1 , 3, 66}时,B.【选修4—2:矩阵与变换】r 1222. 【2016江苏(理)】已知矩阵A=,矩阵B的逆矩阵B-1= I 2 ,求矩阵AB .0 2已知函数f( x) =a x+b x23. 【2016江苏（理）】在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线I 的参数方程为(2)设 m , n€N , n 身m ,求证：(m+1) C 7L + (m+2) HL (n+1) CI d为参数），椭圆C 的参数方程为.（0为参数），设直线I 与椭圆C 相交于A , B 两点，求线段AB 的长. 24.【2016江苏（理）】 设 a >0，|x - 1|^，|y -2心，求证:|2x+y - 4|< a . 附加题【必做题】25.【2016江苏（理）】 2C : y =2px （ p > 0）.（1）若直线I 过抛物线 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线I : x - y - 2=0 ,抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程;（2）已知抛物线C 上存在关于直线I 对称的相异两点①求证：线段PQ 的中点坐标为（2- p , - p ）;(1)求 7C : -4C(tC ' +(m+3 )C;+・・+nC r - n - I【解析】解：（1）•••△ ABC中，cosB=」,。

2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{－1，2，3，6}，B ＝{x|－2<x<3}，那么A ∩B ＝________．2. 若复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________．3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，那么该组数据的方差是________． 5. 函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．6. 如图所示的算法流程图，输出的a 的值是________．(第6题)7. 将一枚质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．8. 已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． 9. 定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点，若直线y＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．(第10题)11. 设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x<0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x<1，其中a ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f(5a)的值是________．12. 已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，那么x 2＋y 2的取值范围是________．13. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，若BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．(第13题)14. 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin Bsin C ，则tan Atan Btan C 的最小值是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，已知AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1) 求边AB 的长； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫A －π6的值．\16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.(1) 求证：直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2) 求证：平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F.(第16题)17. (本小题满分14分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，如图，上部分的形状是正四棱锥PA 1B 1C 1D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1) 若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？(第17题)18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A(2，4)．(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3) 设点T(t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．(第18题)19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝a x ＋b x (a>0，b>0，a ≠1，b ≠1)． (1) 设a ＝2，b ＝12.①求方程f(x)＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m 的最大值． (2) 若0<a<1，b>1，函数g(x)＝f(x)－2有且只有1个零点，求ab 的值．20. (本小题满分16分)记U ＝{1，2，…，100}．对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T ，若T ＝定义S T ＝0；若T ＝{t 1，t 2，…，t k }，定义S T ＝at 1＋at 2＋…＋at k .例如：T ＝{1，3，66}时，S T ＝a 1＋a 3＋a 66.现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列，且当T ＝{2，4}时，S T ＝30.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 对任意正整数k(1≤k ≤100)，若T {1，2，…，k}，求证：S T <a k ＋1； (3) 设S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D .数学Ⅱ(附加题)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修41：几何证明选讲 如图，在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：∠EDC ＝∠ABD.(第21－A 题)B. 选修42：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1202，求矩阵AB .C. 选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D. 选修45：不等式选讲设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．(1) 若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2) 已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．(第22题)23. (本小题满分10分)(1) 求7C36－4C47的值；(2) 设m，n∈N*，n≥m，求证：(m＋1)C m m＋(m＋2)C m m＋1＋(m＋3)C m m＋2＋…＋nC m n－1＋(n ＋1)C m n＝(m＋1)C m＋2.n＋22016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)1. {－1，2} 【解析】由题意知A ∩B ＝{－1，2}．2. 5 【解析】由题意知z ＝5＋5i ，所以z 的实部是5.3. 210 【解析】由题意知c ＝a 2＋b 2＝7＋3＝10，所以焦距为2c ＝210.4. 0.1 【解析】因为x ＝15(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，所以s 2＝15(0.42＋0.32＋02＋0.32＋0.42)＝0.1.5. [－3，1] 【解析】由题意知3－2x －x 2≥0，解得－3≤x ≤1，所以原函数的定义域为[－3，1]．6. 9 【解析】由流程图可知，在循环的过程中，a 与b 的值依次为1，9；5，7；9，5.因为9>5，所以输出的a ＝9.7. 56 【解析】由题意知，先后抛掷骰子2次，共有36个基本事件．其中点数之和大于等于10的基本事件有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6个，则点数之和小于10的基本事件共有30个．故所求的概率为3036＝56.8. 20 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意知a 1＋(a 1＋d)2＝－3，5a 1＋10d ＝10，解得a 1＝－4，d ＝3，所以a 9＝－4＋8×3＝20.9. 7 【解析】如图，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝sin 2x 与y ＝cos x 在区间[0，3π]上的图象，可知共有7个交点．(第9题)10.63【解析】由题意知焦点F 的坐标为(c ，0)，联立解得x ＝±32a ，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－3a 2，b 2，点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫3a 2，b 2. 因为∠BFC ＝90°，所以BF →·CF →＝0.又BF →＝⎝⎛⎭⎫c ＋3a 2，－b 2，CF →＝⎝⎛⎭⎫c －3a 2，－b 2，所以c 2－34a 2＋14b 2＝0.因为b 2＝a 2－c 2，所以34c 2＝12a 2，即c 2a 2＝23，所以e ＝ca ＝23＝63.11. －25 【解析】由题意知f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋a ，f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 因为f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，所以－12＋a ＝110，解得a ＝35， 所以f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋a ＝－1＋35＝－25.12. ⎣⎡⎦⎤45，13 【解析】作出实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则x 2＋y 2即为可行域内的点(x ，y)到原点O 的距离的平方．由图可知点A 到原点O 的距离最近，点B到原点O 的距离最远．点A 到原点O 的距离即原点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝|0－2|12＋22＝255，则(x 2＋y 2)min ＝45；点B 为直线x －2y ＋4＝0与3x －y －3＝0的交点，即点B 的坐标为(2，3)，则(x 2＋y 2)max ＝13.综上，x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤45，13.(第12题)13. 78 【解析】方法一：设DF →＝a ，DB →＝b ，则DC →＝－b ，DE →＝2a ，DA →＝3a ，所以BA→＝DA →－DB →＝3a －b ，CA →＝DA →－DC →＝3a ＋b ，BE →＝DE →－DB →＝2a －b ，CE →＝DE →－DC →＝2a ＋b ，BF →＝DF →－DB →＝a －b ，CF →＝DF →－DC →＝a ＋b ，所以BA →·CA →＝9a 2－b 2，BF →·CF →＝a 2－b 2，BE →·CE →＝4a 2－b 2.又因为BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，所以9a 2－b 2＝4，a 2－b 2＝－1，解得a 2＝58，b 2＝138，所以BE →·CE →＝4a 2－b 2＝4×58－138＝78. 方法二：以D 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设点B 的坐标为(－a ，0)，点C 的坐标为(a ，0)，点A 的坐标为(b ，c)，所以BA →＝(b ＋a ，c)，CA →＝(b －a ，c)，BF →＝⎝⎛⎭⎫b 3＋a ，c 3，CF →＝⎝⎛⎭⎫b 3－a ，c 3. 因为BA →·CA →＝b 2－a 2＋c 2＝4，BF →·CF →＝b 29－a 2＋c 29＝－1，所以b 2＋c 2＝458，a 2＝138.又因为BE →＝BD →＋DE →＝⎝⎛⎭⎫23b ＋a ，2c 3，CE →＝CD →＋DE →＝(23b －a ，2c 3)， 所以BE →·CE →＝49b 2－a 2＋4c 29＝49×458－138＝78.14. 8 【解析】因为sin A ＝2sin Bsin C ，所以sin(B ＋C)＝2sin Bsin C ，所以sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bsin C ，等式两边同时除以cos Bcos C ，得tan B ＋tan C ＝2tan Btan C. 又因为tan A ＝－tan(B ＋C)＝tan B ＋tan Ctan Btan C －1，所以tan Atan Btan C －tan A ＝2tan Btan C ，即tan Btan C(tan A －2)＝tan A.因为A ，B ，C 为锐角，所以tan A ，tan B ，tan C>0，且tan A>2， 所以tan Btan C ＝tan A tan A －2，所以原式＝tan 2Atan A －2.令tan A －2＝t(t>0)，则tan 2A tan A －2＝（t ＋2）2t ＝t 2＋4t ＋4t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝2，即tan A ＝4时取等号． 故tan Atan Btan C 的最小值为8.15. (1) 因为cos B ＝45，0<B<π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2) 在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C)， 所以cos A ＝－cos(B ＋C)＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝－cos Bcos π4＋sin Bsin π4.又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A<π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210，所以cos ⎝⎛⎫A －π6＝cos Acos π6＋sin Asin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.16. (1) 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC.在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 所以DE ∥AC ，所以DE ∥A 1C 1. 又因为DE平面A 1C 1F ，A 1C 1平面A 1C 1F ，所以直线DE ∥平面A 1C 1F.(2) 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1. 因为A 1C 1平面A 1B 1C 1，所以A 1A ⊥A 1C 1.又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1A平面ABB 1A 1，A 1B 1平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B 1＝A 1，所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1. 因为B 1D平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥B 1D.又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1平面A 1C 1F ，A 1F平面A 1C 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，所以B 1D ⊥平面A 1C 1F. 因为直线B 1D平面B 1DE ，所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F.17. (1) 由PO 1＝2 m ，知O 1O ＝4PO 1＝8 m ，因为A 1B 1＝AB ＝6 m ， 所以正四棱锥PA 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)， 正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)， 所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)． (2) 设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ，则0<h<6，O 1O ＝4h m.如图，连接O 1B 1.在Rt △PO 1B 1中，因为O 1B 21＋PO 21＝PB 21，所以⎝⎛⎭⎫2a 22＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2)， 所以仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0<h<6，所以V′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)．令V′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍去)． 当0<h<23时，V ′>0，V 在(0，23)上是单调增函数； 当23<h<6时，V ′<0，V 在(23，6)上是单调减函数． 故当h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值． 所以，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大．(第17题)18. 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M(6，7)，半径为5.(1) 由圆心N 在直线x ＝6上，可设N(6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，所以圆N 的 半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1， 所以圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2) 因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m|5＝|m ＋5|5.(第18题)如图，因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，又MC 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫BC 22，所以25＝（m ＋5）25＋5， 解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3) 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，因为A(2，4)，T(t ，0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25. ② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25，所以点P(x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点， 所以5－5≤[（t ＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5， 解得2－221≤t ≤2＋221.所以实数t 的取值范围是[2－221，2＋221 ]． 19. (1) 因为a ＝2，b ＝12，所以f(x)＝2x ＋2－x .①方程f(x)＝2，则2x ＋2－x ＝2，即(2x )2－2×2x ＋1＝0， 所以(2x －1)2＝0，所以2x ＝1，解得x ＝0.②由题意知f(2x)＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝(f(x))2－2， 因为f(2x)≥mf(x)－6对于x ∈R 恒成立，且f(x)>0，所以m ≤（f （x ））2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立．又（f （x ））2＋4f （x ）＝f(x)＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且（f （0））2＋4f （0）＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2) 因为函数g(x)＝f(x)－2只有1个零点，又g(0)＝f(0)－2＝a 0＋b 0－2＝0，所以0是函数g(x)的唯一零点． 因为g′(x)＝a x ln a ＋b x ln b ，又由0<a<1，b>1，知ln a<0，ln b>0，所以g′(x)＝0有唯一解x 0＝log b a⎝⎛⎭⎫－ln aln b .令h(x)＝g′(x)， 则h′(x)＝(a x ln a ＋b x ln b )′＝a x (ln a)2＋b x (ln b)2，从而对任意x ∈R ，h ′(x)>0，所以g′(x)＝h(x)是(－∞，＋∞)上的单调增函数， 所以当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x)<g′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x)>g ′(x 0)＝0.所以函数g(x)在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数． 下证x 0＝0.若x 0<0，则x 0<x 02<0，所以g ⎝⎛⎭⎫x 02<g(0)＝0.又g(log a 2)＝alog a 2＋blog a 2－2>alog a 2－2＝0，且函数g(x)在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在x 02和log a 2之间存在g(x)的零点，记为x 1.因为0<a<1，所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾． 若x 0>0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g(x)的非0的零点，矛盾．综上，x 0＝0. 所以－ln aln b＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1. 20. (1) 由已知得a n ＝a 1·3n －1，n ∈N *.所以当T ＝{2，4}时，S T ＝a 2＋a 4＝3a 1＋27a 1＝30a 1. 又S T ＝30，故30a 1＝30，即a 1＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *. (2) 因为T{1，2，…，k}，a n ＝3n －1>0，n ∈N *，所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k －1＝12(3k －1)<3k ，所以S T <a k ＋1.(3) 下面分三种情况证明．①若D 是C 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S D ≥S D ＋S D ＝2S D . ②若C 是D 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S C ＝2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集． 令E ＝C ∩∁U D ，F ＝D ∩∁U C ，则E ≠，F ≠，E ∩F ＝，所以S C ＝S E ＋S C ∩D ，S D ＝S F ＋S C ∩D ，又由S C ≥S D ，得S E ≥S F . 设k 为E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则k ≥1，l ≥1，k ≠l.由(2)知，S E <a k ＋1，所以3l －1＝a l ≤S F ≤S E <a k ＋1＝3k ，所以l －1<k ，即l ≤k. 又k ≠l ，故l ≤k －1，所以S F ≤a 1＋a 2＋…＋a l ＝1＋3＋…＋3l －1＝3l －12≤3k －1－12＝a k －12≤S E －12，故S E ≥2S F ＋1，所以S C －S C ∩D ≥2(S D －S C ∩D )＋1，即S C ＋S C ∩D ≥2S D ＋1.综合①②③得，S C ＋S C ∩D ≥2S D . 21. A. 在△ADB 和△ABC 中，因为∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，∠A 为公共角， 所以△ADB ∽△ABC ，所以∠ABD ＝∠C. 在Rt △BDC 中，因为E 是BC 的中点， 所以ED ＝EC ，从而∠EDC ＝∠C ， 所以∠EDC ＝∠ABD.C. 椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程代入x 2＋y 24＝1，得⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167， 所以AB ＝|t 1－t 2|＝167. D. 因为|x －1|<a 3，|y －2|<a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|<2×a 3＋a3＝a.22. (1) 抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，由点⎝⎛⎭⎫p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4， 所以抛物线C 的方程为y 2＝8x.(2) 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，线段PQ 的中点M(x 0，y 0)，因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ， 所以直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b. ①由错误!消去x ，得y 2＋2py －2pb ＝0. (*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y 1≠y 2， 所以Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化简得p ＋2b>0. 方程(*)的两根为y 1，2＝－p±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p. 因为点M(x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p ， 所以线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p)． ②因为M(2－p ，－p)在直线y ＝－x ＋b 上， 所以－p ＝－(2－p)＋b ，即b ＝2－2p.由①知p ＋2b>0，所以p ＋2(2－2p)>0，所以p<43，所以p 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，43. 23. (1) 7C 36－4C 47＝7×6×5×43×2×1－4×7×6×5×44×3×2×1＝0. (2) 当n ＝m 时，结论显然成立． 当n>m 时，(k ＋1)C m k ＝（k ＋1）·k ！m ！·（k －m ）！＝(m ＋1)·（k ＋1）！（m ＋1）！·[（k ＋1）－（m ＋1）]！＝(m ＋1)C m ＋1k ＋1，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n.又因为C m ＋1k ＋1＋C m ＋2k ＋1＝C m ＋2k ＋2，所以(k ＋1)C m k ＝(m ＋1)(C m ＋2k ＋2－C m ＋2k ＋1)，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n ，所以(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)C m n＝(m ＋1)C m m ＋[(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)C mn ]＝(m ＋1)C m ＋2m ＋2＋(m ＋1)[(C m ＋2m ＋3－C m ＋2m ＋2)＋(C m ＋2m ＋4－C m ＋2m ＋3)＋…＋(C m ＋2n ＋2－C m ＋2n ＋1)]＝(m ＋1)C m ＋2n ＋2.。

2016年江苏数学高考试卷一、填空题（共14小题.每小题5分.满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2＜x＜3}.则A∩B=______．2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i）.其中i为虚数单位.则z的实部是______．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中.双曲线﹣=1的焦距是______．4．（5分）已知一组数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5.则该组数据的方差是______．5．（5分）函数y=的定义域是______．6．（5分）如图是一个算法的流程图.则输出的a的值是______．7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1.2.3.4.5.6个点的正方体玩具）先后抛掷2次.则出现向上的点数之和小于10的概率是______．8．（5分）已知{a n}是等差数列.S n是其前n项和.若a1+a22=﹣3.S5=10.则a9的值是______．9．（5分）定义在区间[0.3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是______．10．（5分）如图.在平面直角坐标系xOy中.F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点.直线y=与椭圆交于B.C两点.且∠BFC=90°.则该椭圆的离心率是______．11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1）上.f（x）=.其中a∈R.若f（﹣）=f（）.则f（5a）的值是______．12．（5分）已知实数x.y满足.则x2+y2的取值范围是______．13．（5分）如图.在△ABC中.D是BC的中点.E.F是AD上的两个三等分点.•=4.•=﹣1.则•的值是______．14．（5分）在锐角三角形ABC中.若sinA=2sinBsinC.则tanAtanBtanC的最小值是______．二、解答题（共6小题.满分90分）15．（14分）在△ABC中.AC=6.cosB=.C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．16．（14分）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.D.E分别为AB.BC 的中点.点F在侧棱B1B上.且B1D⊥A1F.A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．17．（14分）现需要设计一个仓库.它由上下两部分组成.上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1.下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示）.并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m.PO1=2m.则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m.则当PO1为多少时.仓库的容积最大？18．（16分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2.4）．（1）设圆N与x轴相切.与圆M外切.且圆心N在直线x=6上.求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点.且BC=OA.求直线l的方程；（3）设点T（t.0）满足：存在圆M上的两点P和Q.使得+=.求实数t 的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0.b＞0.a≠1.b≠1）．（1）设a=2.b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R.不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立.求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1.b＞1.函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点.求ab的值．20．（16分）记U={1.2.….100}.对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T.若T=∅.定义S T=0；若T={t1.t2.….t k}.定义S T=++…+．例如：T={1.3.66}时.S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列.且当T={2.4}时.S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100）.若T⊆{1.2.….k}.求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U.D⊆U.S C≥S D.求证：S C+S C∩D≥2S D．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题.请选定其中两小题.并在相应的答题区域内作答.若多做.则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）如图.在△ABC中.∠ABC=90°.BD⊥AC.D为垂足.E 为BC的中点.求证：∠EDC=∠ABD．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=.矩阵B的逆矩阵B﹣1=.求矩阵AB．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中.已知直线l的参数方程为（t为参数）.椭圆C的参数方程为（θ为参数）.设直线l与椭圆C相交于A.B两点.求线段AB的长．24．设a＞0.|x﹣1|＜.|y﹣2|＜.求证：|2x+y﹣4|＜a．附加题【必做题】25．（10分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知直线l：x﹣y﹣2=0.抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点.求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p.﹣p）；②求p的取值范围．26．（10分）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m.n∈N*.n≥m.求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．2016年江苏数学参考答案与试题解析一、填空题（共14小题.每小题5分.满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2＜x＜3}.则A∩B={﹣1.2}．【分析】根据已知中集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2＜x＜3}.结合集合交集的定义可得答案．【解答】解：∵集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2＜x＜3}.∴A∩B={﹣1.2}.故答案为：{﹣1.2}【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算.难度不大.属于基础题．2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i）.其中i为虚数单位.则z的实部是5．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i.则z的实部是5.故答案为：5．【点评】本题考查了复数的运算性质.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中.双曲线﹣=1的焦距是2．【分析】确定双曲线的几何量.即可求出双曲线﹣=1的焦距．【解答】解：双曲线﹣=1中.a=.b=.∴c==.∴双曲线﹣=1的焦距是2．故答案为：2．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质.考查学生的计算能力.比较基础．4．（5分）已知一组数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5.则该组数据的方差是0.1．【分析】先求出数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5的平均数.由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5的平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1.∴该组数据的方差：S2=[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．故答案为：0.1．【点评】本题考查方差的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意方差计算公式的合理运用．5．（5分）函数y=的定义域是[﹣3.1]．【分析】根据被开方数不小于0.构造不等式.解得答案．【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0.解得：x∈[﹣3.1].故答案为：[﹣3.1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域.二次不等式的解法.难度不大.属于基础题．6．（5分）如图是一个算法的流程图.则输出的a的值是9．【分析】根据已知的程序框图可得.该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值.模拟程序的运行过程.可得答案．【解答】解：当a=1.b=9时.不满足a＞b.故a=5.b=7.当a=5.b=7时.不满足a＞b.故a=9.b=5当a=9.b=5时.满足a＞b.故输出的a值为9.故答案为：9【点评】本题考查的知识点是程序框图.当循环次数不多.或有规律可循时.可采用模拟程序法进行解答．7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1.2.3.4.5.6个点的正方体玩具）先后抛掷2次.则出现向上的点数之和小于10的概率是．【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10.由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1.2.3.4.5.6个点的正方体玩具）先后抛掷2次.基本事件总数为n=6×6=36.出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10.出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：（4.6）.（6.4）.（5.5）.（5.6）.（6.5）.（6.6）.共6个.∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意对立事件概率计算公式的合理运用．8．（5分）已知{a n}是等差数列.S n是其前n项和.若a1+a22=﹣3.S5=10.则a9的值是20．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组.求出首项和公差.由此能求出a9的值．【解答】解：∵{a n}是等差数列.S n是其前n项和.a1+a22=﹣3.S5=10.∴.解得a1=﹣4.d=3.∴a9=﹣4+8×3=20．故答案为：20．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）定义在区间[0.3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7．【分析】画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0.3π]上的图象即可得到答案．【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0.3π]上的图象如下：由图可知.共7个交点．故答案为：7．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象.作出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0.3π]上的图象是关键.属于中档题．10．（5分）如图.在平面直角坐标系xOy中.F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点.直线y=与椭圆交于B.C两点.且∠BFC=90°.则该椭圆的离心率是．【分析】设右焦点F（c.0）.将y=代入椭圆方程求得B.C的坐标.运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1.结合离心率公式.计算即可得到所求值．【解答】解：设右焦点F（c.0）.将y=代入椭圆方程可得x=±a=± a.可得B（﹣ a.）.C（ a.）.由∠BFC=90°.可得k BF•k CF=﹣1.即有•=﹣1.化简为b2=3a2﹣4c2.由b2=a2﹣c2.即有3c2=2a2.由e=.可得e2==.可得e=.故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法.注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1.考查化简整理的运算能力.属于中档题．11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1）上.f（x）=.其中a∈R.若f（﹣）=f（）.则f（5a）的值是﹣．【分析】根据已知中函数的周期性.结合f（﹣）=f（）.可得a值.进而得到f（5a）的值．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1）上.f（x）=.∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a.f（）=f（）=|﹣|=.∴a=.∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣.故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用.函数的周期性.根据已知求出a值.是解答的关键．12．（5分）已知实数x.y满足.则x2+y2的取值范围是[.13]．【分析】作出不等式组对应的平面区域.利用目标函数的几何意义.结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域.设z=x2+y2.则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方.由图象知A到原点的距离最大.点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离最小.由得.即A（2.3）.此时z=22+32=4+9=13.点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离d==.则z=d2=（）2=.故z的取值范围是[.13].故答案为：[.13]．【点评】本题主要考查线性规划的应用.涉及距离的计算.利用数形结合是解决本题的关键．13．（5分）如图.在△ABC中.D是BC的中点.E.F是AD上的两个三等分点.•=4.•=﹣1.则•的值是．【分析】由已知可得=+.=﹣+.=+3.=﹣+3.=+2.=﹣+2.结合已知求出2=.2=.可得答案．【解答】解：∵D是BC的中点.E.F是AD上的两个三等分点.∴=+.=﹣+.=+3.=﹣+3.∴•=2﹣2=﹣1.•=92﹣2=4.∴2=.2=.又∵=+2.=﹣+2.∴•=42﹣2=.故答案为：【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算.平面向量的线性运算.难度中档．14．（5分）在锐角三角形ABC中.若sinA=2sinBsinC.则tanAtanBtanC的最小值是8．【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.进而得到tanB+tanC=2tanBtanC.结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC.sinA=2sinBsinC.可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.①由三角形ABC为锐角三角形.则cosB＞0.cosC＞0.在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC.又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②.则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC.由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣.令tanBtanC=t.由A.B.C为锐角可得tanA＞0.tanB＞0.tanC＞0.由②式得1﹣tanBtanC＜0.解得t＞1.tanAtanBtanC=﹣=﹣.=（）2﹣.由t＞1得.﹣≤＜0.因此tanAtanBtanC的最小值为8.当且仅当t=2时取到等号.此时tanB+tanC=4.tanBtanC=2.解得tanB=2+.tanC=2﹣.tanA=4.（或tanB.tanC互换）.此时A.B.C均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识.有一定灵活性．二、解答题（共6小题.满分90分）15．（14分）在△ABC中.AC=6.cosB=.C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【分析】（1）利用正弦定理.即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA.利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中.cosB=.∴sinB=.∵.∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角.∴sinA=.∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．【点评】本题考查正弦定理.考查两角和差的余弦公式.考查学生的计算能力.属于基础题．16．（14分）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.D.E分别为AB.BC 的中点.点F在侧棱B1B上.且B1D⊥A1F.A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．【分析】（1）通过证明DE∥AC.进而DE∥A1C1.据此可得直线DE∥平面A1C1F1；（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D.进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F．【解答】解：（1）∵D.E分别为AB.BC的中点.∴DE为△ABC的中位线.∴DE∥AC.∵ABC﹣A1B1C1为棱柱.∴AC∥A1C1.∴DE∥A1C1.∵A1C1⊂平面A1C1F.且DE⊄平面A1C1F.∴DE∥A1C1F；（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱.∴AA1⊥平面A1B1C1.∴AA1⊥A1C1.又∵A1C1⊥A1B1.且AA1∩A1B1=A1.AA1、A1B1⊂平面AA1B1B.∴A1C1⊥平面AA1B1B.∵DE∥A1C1.∴DE⊥平面AA1B1B.又∵A1F⊂平面AA1B1B.∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥B1D.DE∩B1D=D.且DE、B1D⊂平面B1DE.∴A1F⊥平面B1DE.又∵A1F⊂平面A1C1F.∴平面B1DE⊥平面A1C1F．【点评】本题考查直线与平面平行的证明.以及平面与平面相互垂直的证明.把握常用方法最关键.难度不大．17．（14分）现需要设计一个仓库.它由上下两部分组成.上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1.下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示）.并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m.PO1=2m.则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m.则当PO1为多少时.仓库的容积最大？（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.可得PO1=2m 【分析】时.O1O=8m.进而可得仓库的容积；（2）设PO1=xm.则O1O=4xm.A1O1=m.A1B1=•m.代入体积公式.求出容积的表达式.利用导数法.可得最大值．【解答】解：（1）∵PO1=2m.正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．∴O1O=8m.∴仓库的容积V=×62×2+62×8=312m3.（2）若正四棱锥的侧棱长为6m.设PO1=xm.则O1O=4xm.A1O1=m.A1B1=•m.则仓库的容积V=×（•）2•x+（•）2•4x=x3+312x.（0＜x＜6）.∴V′=﹣26x2+312.（0＜x＜6）.当0＜x＜2时.V′＞0.V（x）单调递增；当2＜x＜6时.V′＜0.V（x）单调递减；故当x=2时.V（x）取最大值；即当PO1=2m时.仓库的容积最大．【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积.导数法求函数的最大值.难度中档．18．（16分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2.4）．（1）设圆N与x轴相切.与圆M外切.且圆心N在直线x=6上.求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点.且BC=OA.求直线l的方程；（3）设点T（t.0）满足：存在圆M上的两点P和Q.使得+=.求实数t 的取值范围．【分析】（1）设N（6.n）.则圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2.n＞0.从而得到|7﹣n|=|n|+5.由此能求出圆N的标准方程．（2）由题意得OA=2.k OA=2.设l：y=2x+b.则圆心M到直线l的距离：d=.由此能求出直线l的方程．（3）=.即||=.又||≤10.得t∈[2﹣2.2+2].对于任意t∈[2﹣2.2+2].欲使.只需要作直线TA的平行线.使圆心到直线的距离为.由此能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵N在直线x=6上.∴设N（6.n）.∵圆N与x轴相切.∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2.n＞0.又圆N与圆M外切.圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0.即圆M：（（x ﹣6）2+（x﹣7）2=25.∴|7﹣n|=|n|+5.解得n=1.∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．（2）由题意得OA=2.k OA=2.设l：y=2x+b.则圆心M到直线l的距离：d==.则|BC|=2=2.BC=2.即2=2.解得b=5或b=﹣15.∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）=.即.即||=||.||=.又||≤10.即≤10.解得t∈[2﹣2.2+2].对于任意t∈[2﹣2.2+2].欲使.此时.||≤10.只需要作直线TA的平行线.使圆心到直线的距离为.必然与圆交于P、Q两点.此时||=||.即.因此实数t的取值范围为t∈[2﹣2.2+2].．【点评】本题考查圆的标准方程的求法.考查直线方程的求法.考查实数的取值范围的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意圆的性质的合理运用．19．（16分）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0.b＞0.a≠1.b≠1）．（1）设a=2.b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R.不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立.求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1.b＞1.函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点.求ab 的值．【分析】（1）①利用方程.直接求解即可．②列出不等式.利用二次函数的性质以及函数的最值.转化求解即可．（2）求出g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2.求出函数的导数.构造函数h（x）=+.求出g（x）的最小值为：g（x0）．同理①若g（x0）＜0.g（x）至少有两个零点.与条件矛盾．②若g（x0）＞0.利用函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点.推出g（x0）=0.然后求解ab=1．【解答】解：函数f（x）=a x+b x（a＞0.b＞0.a≠1.b≠1）．（1）设a=2.b=．①方程f（x）=2；即：=2.可得x=0．②不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立.即≥m（）﹣6恒成立．令t=.t≥2．不等式化为：t2﹣mt+4≥0在t≥2时.恒成立．可得：△≤0或即：m2﹣16≤0或m≤4.∴m∈（﹣∞.4]．实数m的最大值为：4．（2）g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2.g′（x）=a x lna+b x lnb=a x[+]lnb.0＜a＜1.b＞1可得.令h（x）=+.则h（x）是递增函数.而.lna＜0.lnb＞0.因此.x0=时.h（x0）=0.因此x∈（﹣∞.x0）时.h（x）＜0.a x lnb＞0.则g′（x）＜0．x∈（x0.+∞）时.h（x）＞0.a x lnb＞0.则g′（x）＞0.则g（x）在（﹣∞.x0）递减.（x0.+∞）递增.因此g（x）的最小值为：g（x0）．①若g（x0）＜0.x＜log a2时.a x＞=2.b x＞0.则g（x）＞0.因此x1＜log a2.且x1＜x0时.g（x1）＞0.因此g（x）在（x1.x0）有零点.则g（x）至少有两个零点.与条件矛盾．②若g（x0）＞0.函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点.g（x）的最小值为g（x0）.可得g（x0）=0.由g（0）=a0+b0﹣2=0.因此x0=0.因此=0.﹣=1.即lna+lnb=0.ln（ab）=0.则ab=1．可得ab=1．【点评】本题考查函数与方程的综合应用.函数的导数的应用.基本不等式的应用.函数恒成立的应用.考查分析问题解决问题的能力．20．（16分）记U={1.2.….100}.对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T.若T=∅.定义S T=0；若T={t1.t2.….t k}.定义S T=++…+．例如：T={1.3.66}时.S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列.且当T={2.4}时.S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100）.若T⊆{1.2.….k}.求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U.D⊆U.S C≥S D.求证：S C+S C∩D≥2S D．【分析】（1）根据题意.由S T的定义.分析可得S T=a2+a4=a2+9a2=30.计算可得a2=3.进而可得a1的值.由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意.由S T的定义.分析可得S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1.由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A=∁C（C∩D）.B=∁D（C∩D）.则A∩B=∅.进而分析可以将原命题转化为证明S C≥2S B.分2种情况进行讨论：①、若B=∅.②、若B≠∅.可以证明得到S A≥2S B.即可得证明．【解答】解：（1）当T={2.4}时.S T=a2+a4=a2+9a2=30.因此a2=3.从而a1==1.故a n=3n﹣1.（2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=a k+1.（3）设A=∁C（C∩D）.B=∁D（C∩D）.则A∩B=∅.分析可得S C=S A+S C∩D.S D=S B+S C∩D.则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B.因此原命题的等价于证明S C≥2S B.由条件S C≥S D.可得S A≥S B.①、若B=∅.则S B=0.故S A≥2S B.②、若B≠∅.由S A≥S B可得A≠∅.设A中最大元素为l.B中最大元素为m.若m≥l+1.则其与S A＜a i+1≤a m≤S B相矛盾.因为A∩B=∅.所以l≠m.则l≥m+1.S B≤a1+a2+…a m=1+3+32+…+3m﹣1=≤=.即S A≥2S B.综上所述.S A≥2S B.故S C+S C∩D≥2S D．【点评】本题考查数列的应用.涉及新定义的内容.解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题.请选定其中两小题.并在相应的答题区域内作答.若多做.则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）如图.在△ABC中.∠ABC=90°.BD⊥AC.D为垂足.E 为BC的中点.求证：∠EDC=∠ABD．【分析】依题意.知∠BDC=90°.∠EDC=∠C.利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°.可得∠ABD=∠C.从而可证得结论．【解答】解：由BD⊥AC可得∠BDC=90°.因为E为BC的中点.所以DE=CE=BC.则：∠EDC=∠C.由∠BDC=90°.可得∠C+∠DBC=90°.由∠ABC=90°.可得∠ABD+∠DBC=90°.因此∠ABD=∠C.而∠EDC=∠C.所以.∠EDC=∠ABD．【点评】本题考查三角形的性质应用.利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°.证得∠ABD=∠C是关键.属于中档题．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=.矩阵B的逆矩阵B﹣1=.求矩阵AB．【分析】依题意.利用矩阵变换求得B=（B﹣1）﹣1==.再利用矩阵乘法的性质可求得答案．【解答】解：∵B﹣1=.∴B=（B﹣1）﹣1==.又A=.∴AB==．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵.考查矩阵乘法的性质.属于中档题．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中.已知直线l的参数方程为（t为参数）.椭圆C的参数方程为（θ为参数）.设直线l与椭圆C相交于A.B两点.求线段AB的长．【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程.然后联立方程组.求出直线与椭圆的交点坐标.代入两点间的距离公式求得答案．【解答】解：由.由②得.代入①并整理得.．由.得.两式平方相加得．联立.解得或．∴|AB|=．【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程.考查了参数方程化普通方程.考查直线与椭圆位置关系的应用.是基础题．24．设a＞0.|x﹣1|＜.|y﹣2|＜.求证：|2x+y﹣4|＜a．【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|.结合不等式的基本性质.即可得证．【解答】证明：由a＞0.|x﹣1|＜.|y﹣2|＜.可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜+=a.则|2x+y﹣4|＜a成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明.注意运用绝对值不等式的性质.以及不等式的简单性质.考查运算能力.属于基础题．附加题【必做题】25．（10分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知直线l：x﹣y﹣2=0.抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点.求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p.﹣p）；②求p的取值范围．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标.然后求解抛物线方程．（2）：①设点P（x1.y1）.Q（x2.y2）.通过抛物线方程.求解k PQ.通过P.Q 关于直线l对称.点的k PQ=﹣1.推出.PQ的中点在直线l上.推出=2﹣p.即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p.﹣p）；②利用线段PQ中点坐标（2﹣p.﹣p）．推出.得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0.有两个不相等的实数根.列出不等式即可求出p的范围．【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0.∴l与x轴的交点坐标（2.0）.即抛物线的焦点坐标（2.0）．∴.∴抛物线C：y2=8x．（2）证明：①设点P（x1.y1）.Q（x2.y2）.则：.即：.k PQ==.又∵P.Q关于直线l对称.∴k PQ=﹣1.即y1+y2=﹣2p.∴.又PQ的中点在直线l上.∴==2﹣p.∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p.﹣p）；②因为Q中点坐标（2﹣p.﹣p）．∴.即∴.即关于y2+2py+4p2﹣4p=0.有两个不相等的实数根.∴△＞0.（2p）2﹣4（4p2﹣4p）＞0.∴p∈．【点评】本题考查抛物线方程的求法.直线与抛物线的位置关系的应用.考查转化思想以及计算能力．26．（10分）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m.n∈N*.n≥m.求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7的值．（2）对任意m∈N*.当n=m时.验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立.推导出当n=k+1时.命题也成立.由此利用数学归纳法能证明（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【解答】解：（1）7=﹣4×=7×20﹣4×35=0．证明：（2）对任意m∈N*.①当n=m时.左边=（m+1）=m+1.右边=（m+1）=m+1.等式成立．②假设n=k（k≥m）时命题成立.即（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+k+（k+1）=（m+1）.当n=k+1时.左边=（m+1）+（m+2）+（m+3）++（k+1）+（k+2）=.右边=∵=（m+1）[﹣]=（m+1）×[k+3﹣（k﹣m+1）]=（k+2）=（k+2）.∴=（m+1）.∴左边=右边.∴n=k+1时.命题也成立.∴m.n∈N*.n≥m.（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【点评】本题考查组合数的计算与证明.是中档题.解题时要认真审题.注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．。

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ▲.2.复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是▲.3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是▲.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是▲.5.函数y =232x x --的定义域是▲.6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是▲.7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是▲.8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是▲.9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是▲.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b +=＞＞0的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

本卷满分为160分。

考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）（ 江苏）已知集合 ﹣ ， ， ， ， ﹣ ＜ ＜ ，则 ．．（ 分）（ 江苏）复数 （ ）（ ﹣ ），其中 为虚数单位，则 的实部是 ．．（ 分）（ 江苏）在平面直角坐标系 中，双曲线﹣ 的焦距是 ．．（ 分）（ 江苏）已知一组数据 ， ， ， ， ，则该组数据的方差是 ．．（ 分）（ 江苏）函数 的定义域是 ．．（ 分）（ 江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的 的值是．．（ 分）（ 江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 ， ， ， ， ， 个点的正方体玩具）先后抛掷 次，则出现向上的点数之和小于 的概率是 ．．（ 分）（ 江苏）已知 是等差数列， 是其前 项和，若 ，则 的值是 ．﹣ ，．（ 分）（ 江苏）定义在区间 ， 上的函数 的图象与 的图象的交点个数是 ．．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中， 是椭圆 （ ＞ ＞ ）的右焦点，直线 与椭圆交于 ， 两点，且∠ ，则该椭圆的离心率是 ．．（ 分）（ 江苏）设 （ ）是定义在 上且周期为 的函数，在区间 ﹣ ， ）上， （ ） ，其中 ∈ ，若 （﹣） （），则 （ ）的值是 ．．（ 分）（ 江苏）已知实数 ， 满足，则 的取值范围是 ．．（ 分）（ 江苏）如图，在△ 中， 是 的中点， ， 是 上的两个三等分点， ， ﹣ ，则 的值是 ．．（ 分）（ 江苏）在锐角三角形 中，若 ，则的最小值是 ．二、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）（ 江苏）在△ 中， ， ， ．（ ）求 的长；（ ）求 （ ﹣）的值．．（ 分）（ 江苏）如图，在直三棱柱 ﹣ 中， ， 分别为 ， 的中点，点 在侧棱 上，且 ⊥ ， ⊥ ．求证：；（ ）直线 ∥平面⊥平面 ．（ ）平面．（ 分）（ 江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部，下部的形状是正四棱柱 ﹣ （如图所示），的形状是正四棱锥 ﹣是正四棱锥的高 的 倍．并要求正四棱柱的高，则仓库的容积是多少？（ ）若 ，（ ）若正四棱锥的侧棱长为 ，则当为多少时，仓库的容积最大？．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，已知以 为圆心的圆 ： ﹣ ﹣ 及其上一点 （ ， ）．（ ）设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上，求圆 的标准方程；（ ）设平行于 的直线 与圆 相交于 、 两点，且 ，求直线 的方程；（ ）设点 （ ， ）满足：存在圆 上的两点 和 ，使得 ，求实数 的取值范围．．（ 分）（ 江苏）已知函数 （ ） （ ＞ ， ＞ ， ≠ ， ≠ ）．（ ）设 ， ．求方程 （ ） 的根；若对于任意 ∈ ，不等式 （ ）≥ （ ）﹣ 恒成立，求实数 的最大值；（ ）若 ＜ ＜ ， ＞ ，函数 （ ） （ ）﹣ 有且只有 个零点，求 的值． ．（ 分）（ 江苏）记 ， ， ， ，对数列 （；若 ， ， ， ，定义∈ ）和 的子集 ，若 ∅，定义．例如： ， ， 时， ．现设 （ ∈ ）是公比为 的等比数列，且当 ， 时， ．（ ）求数列 的通项公式；（ ）对任意正整数 （ ≤ ≤ ），若 ⊆ ， ， ， ，求证： ＜ ； （ ）设 ⊆ ， ⊆ ， ≥ ，求证： ≥ ．附加题【选做题】本题包括 、 、 、 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ．【选修 几何证明选讲】．（ 分）（ 江苏）如图，在△ 中，∠ ， ⊥ ， 为垂足， 为 的中点，求证：∠ ∠ ．【选修 ：矩阵与变换】．（ 分）（ 江苏）已知矩阵 ，矩阵 的逆矩阵 ﹣，求矩阵 ．【选修 ：坐标系与参数方程】．（ 江苏）在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为（ 为参数），椭圆 的参数方程为（ 为参数），设直线 与椭圆 相交于 ， 两点，求线段 的长．．（ 江苏）设 ＞ ， ﹣ ＜， ﹣ ＜，求证： ﹣ ＜ ．附加题【必做题】．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 ： ﹣ ﹣ ，抛物线 ： （ ＞ ）．（ ）若直线 过抛物线 的焦点，求抛物线 的方程；（ ）已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 和 ．求证：线段 的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）；求 的取值范围．．（ 分）（ 江苏）（ ）求 ﹣ 的值；（ ）设 ， ∈ ， ≥ ，求证：（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ．年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）（ 江苏）已知集合 ﹣ ， ， ， ， ﹣ ＜ ＜ ，则 ﹣ ， ．【分析】根据已知中集合 ﹣ ， ， ， ， ﹣ ＜ ＜ ，结合集合交集的定义可得答案．【解答】解：∵集合 ﹣ ， ， ， ， ﹣ ＜ ＜ ，∴ ﹣ ， ，故答案为： ﹣ ，【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．．（ 分）（ 江苏）复数 （ ）（ ﹣ ），其中 为虚数单位，则 的实部是 ．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解： （ ）（ ﹣ ） ，则 的实部是 ，故答案为： ．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ．（ 分）（ 江苏）在平面直角坐标系 中，双曲线﹣ 的焦距是 ．【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线﹣ 的焦距．【解答】解：双曲线﹣ 中， ， ，∴ ，∴双曲线﹣ 的焦距是 ．故答案为： ．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础．．（ 分）（ 江苏）已知一组数据 ， ， ， ， ，则该组数据的方差是 ．【分析】先求出数据 ， ， ， ， 的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据 ， ， ， ， 的平均数为：（ ） ，∴该组数据的方差：（ ﹣ ） （ ﹣ ） （ ﹣ ） （ ﹣ ） （ ﹣ ） ．故答案为： ．【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．．（ 分）（ 江苏）函数 的定义域是 ﹣ ， ．【分析】根据被开方数不小于 ，构造不等式，解得答案．【解答】解：由 ﹣ ﹣ ≥ 得： ﹣ ≤ ，解得： ∈ ﹣ ， ，故答案为： ﹣ ，【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．．（ 分）（ 江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的 的值是 ．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当 ， 时，不满足 ＞ ，故 ， ，当 ， 时，不满足 ＞ ，故 ，当 ， 时，满足 ＞ ，故输出的 值为 ，故答案为：【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．．（ 分）（ 江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 ， ， ， ， ， 个点的正方体玩具）先后抛掷 次，则出现向上的点数之和小于 的概率是．【分析】出现向上的点数之和小于 的对立事件是出现向上的点数之和不小于 ，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于 的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 ， ， ， ， ， 个点的正方体玩具）先后抛掷 次，基本事件总数为 × ，出现向上的点数之和小于 的对立事件是出现向上的点数之和不小于 ，出现向上的点数之和不小于 包含的基本事件有：（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），共 个，∴出现向上的点数之和小于 的概率：﹣ ．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．．（ 分）（ 江苏）已知 是等差数列， 是其前 项和，若 ，则 的值是 ．﹣ ，【分析】利用等差数列的通项公式和前 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出的值．是等差数列， 是其前 项和， ﹣ ， ，【解答】解：∵∴，﹣ ， ，解得﹣ × ．∴故答案为： ．【点评】本题考查等差数列的第 项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．．（ 分）（ 江苏）定义在区间 ， 上的函数 的图象与 的图象的交点个数是 ．【分析】画出函数 与 在区间 ， 上的图象即可得到答案．【解答】解：画出函数 与 在区间 ， 上的图象如下：由图可知，共 个交点．故答案为： ．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数 与 在区间 ， 上的图象是关键，属于中档题．．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中， 是椭圆 （ ＞ ＞ ）的右焦点，直线 与椭圆交于 ， 两点，且∠ ，则该椭圆的离心率是．【分析】设右焦点 （ ， ），将 代入椭圆方程求得 ， 的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣ ，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设右焦点 （ ， ），将 代入椭圆方程可得 ± ± ，可得 （﹣ ，）， （ ，），﹣ ，由∠ ，可得即有 ﹣ ，化简为 ﹣ ，由 ﹣ ，即有 ，由 ，可得 ，可得 ，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣ ，考查化简整理的运算能力，属于中档题．．（ 分）（ 江苏）设 （ ）是定义在 上且周期为 的函数，在区间 ﹣ ， ）上， （ ） ，其中 ∈ ，若 （﹣） （），则 （ ）的值是﹣．【分析】根据已知中函数的周期性，结合 （﹣） （），可得 值，进而得到 （ ）的值．【解答】解： （ ）是定义在 上且周期为 的函数，在区间 ﹣ ， ）上， （ ） ，∴ （﹣） （﹣） ﹣ ，（） （） ﹣ ，∴ ，∴ （ ） （ ） （﹣ ） ﹣ ﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出 值，是解答的关键．．（ 分）（ 江苏）已知实数 ， 满足，则 的取值范围是 ， ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设 ，则 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，由图象知 到原点的距离最大，点 到直线 ： ﹣ 的距离最小，由得，即 （ ， ），此时 ，点 到直线 ： ﹣ 的距离 ，则 （） ，故 的取值范围是 ， ，故答案为： ， ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．．（ 分）（ 江苏）如图，在△ 中， 是 的中点， ， 是 上的两个三等分点， ， ﹣ ，则 的值是．【分析】由已知可得 ， ﹣ ， ， ﹣ ， ， ﹣ ，结合已知求出 ， ，可得答案．【解答】解：∵ 是 的中点， ， 是 上的两个三等分点，∴ ， ﹣ ，， ﹣ ，∴ ﹣ ﹣ ，﹣ ，∴ ， ，又∵ ， ﹣ ，∴ ﹣ ，故答案为：【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档． ．（ 分）（ 江苏）在锐角三角形 中，若 ，则的最小值是 ．【分析】结合三角形关系和式子 可推出，进而得到 ，结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由 （ ﹣ ） （ ） ，，可得 ，由三角形 为锐角三角形，则 ＞ ， ＞ ，在 式两侧同时除以 可得 ，又 ﹣ （ ﹣ ） ﹣ （ ） ﹣ ，则 ﹣ ，由 可得 ﹣，令 ，由 ， ， 为锐角可得 ＞ ， ＞ ， ＞ ，由 式得 ﹣ ＜ ，解得 ＞ ，﹣ ﹣，（） ﹣，由 ＞ 得，﹣≤＜ ，因此 的最小值为 ，当且仅当 时取到等号，此时 ， ，解得 ， ﹣， ，（或 ， 互换），此时 ， ， 均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．二、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）（ 江苏）在△ 中， ， ， ．（ ）求 的长；（ ）求 （ ﹣）的值．【分析】（ ）利用正弦定理，即可求 的长；（ ）求出 、 ，利用两角差的余弦公式求 （ ﹣）的值．【解答】解：（ ）∵△ 中， ，∴ ，∵，∴ ；（ ） ﹣ （ ） ﹣ ﹣．∵ 为三角形的内角，∴ ，∴ （ ﹣） ．【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．．（ 分）（ 江苏）如图，在直三棱柱 ﹣ 中， ， 分别为 ， 的中点，点 在侧棱 上，且 ⊥ ， ⊥ ．求证：；（ ）直线 ∥平面⊥平面 ．（ ）平面【分析】（ ）通过证明 ∥ ，进而 ∥ ，据此可得直线 ∥平面 ； （ ）通过证明 ⊥ 结合题目已知条件 ⊥ ，进而可得平面 ⊥平面 ．【解答】解：（ ）∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ 为△ 的中位线， ∴ ∥ ，∵ ﹣ 为棱柱， ∴ ∥ ， ∴ ∥ ，∵ ⊂平面 ，且 ⊄平面 ， ∴ ∥ ；（ ）∵ ﹣ 为直棱柱， ∴ ⊥平面 ， ∴ ⊥ ，又∵ ⊥ ，且 ， 、 ⊂平面 ， ∴ ⊥平面 ， ∵ ∥ ，，∴ ⊥平面⊂平面 ，又∵，∴ ⊥⊥ ， ，且 、 ⊂平面 ，又∵⊥平面 ，∴⊂平面 ，又∵⊥平面 ．∴平面【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大．．（ 分）（ 江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部，下部的形状是正四棱柱 ﹣ （如图所示），的形状是正四棱锥 ﹣是正四棱锥的高 的 倍．并要求正四棱柱的高，则仓库的容积是多少？（ ）若 ，为多少时，仓库的容积最大？（ ）若正四棱锥的侧棱长为 ，则当是正四棱锥的高 的 倍，可得 时，【分析】（ ）由正四棱柱的高，进而可得仓库的容积；，则 ， ， ，（ ）设代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值．，正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的 倍．【解答】解：（ ）∵，∴∴仓库的容积 × × × ，（ ）若正四棱锥的侧棱长为 ，，设， ， ，则则仓库的容积 ×（ ） （ ），（ ＜ ＜ ），∴ ﹣ ，（ ＜ ＜ ），当 ＜ ＜ 时， ＞ ， （ ）单调递增；当 ＜ ＜ 时， ＜ ， （ ）单调递减；故当 时， （ ）取最大值；时，仓库的容积最大．即当【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档． ．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，已知以 为圆心的圆 ： ﹣ ﹣ 及其上一点 （ ， ）．（ ）设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上，求圆 的标准方程；（ ）设平行于 的直线 与圆 相交于 、 两点，且 ，求直线 的方程；（ ）设点 （ ， ）满足：存在圆 上的两点 和 ，使得 ，求实数 的取值范围．【分析】（ ）设 （ ， ），则圆 为：（ ﹣ ） （ ﹣ ） ， ＞ ，从而得到 ﹣ ，由此能求出圆 的标准方程．，设 ： ，则圆心 到直线 的距离：（ ）由题意得 ，，由此能求出直线 的方程．（ ） ，即 ，又 ≤ ，得 ∈ ﹣ ， ，对于任意 ∈ ﹣ ， ，欲使，只需要作直线 的平行线，使圆心到直线的距离为，由此能求出实数 的取值范围．【解答】解：（ ）∵ 在直线 上，∴设 （ ， ），∵圆 与 轴相切，∴圆 为：（ ﹣ ） （ ﹣ ） ， ＞ ，又圆 与圆 外切，圆 ： ﹣ ﹣ ，即圆 ：（（ ﹣ ） （ ﹣ ） ，∴ ﹣ ，解得 ，∴圆 的标准方程为（ ﹣ ） （ ﹣ ） ．，设 ： ，（ ）由题意得 ，则圆心 到直线 的距离： ，则 ， ，即，解得 或 ﹣ ，∴直线 的方程为： 或 ﹣ ．（ ） ，即，即 ，，又 ≤ ，即≤ ，解得 ∈ ﹣ ， ，对于任意 ∈ ﹣ ， ，欲使，此时， ≤ ，只需要作直线 的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于 、 两点，此时 ，即，因此实数 的取值范围为 ∈ ﹣ ， ，．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．．（ 分）（ 江苏）已知函数 （ ） （ ＞ ， ＞ ， ≠ ， ≠ ）．（ ）设 ， ．求方程 （ ） 的根；若对于任意 ∈ ，不等式 （ ）≥ （ ）﹣ 恒成立，求实数 的最大值；（ ）若 ＜ ＜ ， ＞ ，函数 （ ） （ ）﹣ 有且只有 个零点，求 的值．【分析】（ ） 利用方程，直接求解即可． 列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可．（ ）求出 （ ） （ ）﹣ ﹣ ，求出函数的导数，构造函数 （ ），求出 （ ）的最小值为： （ ）．同理 若 （ ）＜ ， （ ）至少有两个）＞ ，利用函数 （ ） （ ）﹣ 有且只有 个零点，推零点，与条件矛盾． 若 （出 （） ，然后求解 ．【解答】解：函数 （ ） （ ＞ ， ＞ ， ≠ ， ≠ ）．（ ）设 ， ． 方程 （ ） ；即：，可得 ．不等式 （ ）≥ （ ）﹣ 恒成立，即≥ （）﹣ 恒成立．令， ≥ ．不等式化为： ﹣ ≥ 在 ≥ 时，恒成立．可得：△≤ 或即： ﹣ ≤ 或 ≤ ， ∴ ∈（﹣ ， ． 实数 的最大值为： ．（ ） （ ） （ ）﹣ ﹣ ， （ ），＜ ＜ ， ＞ 可得，令 （ ），则 （ ）是递增函数，而， ＜ ， ＞ ，因此，时， （ ） ，因此 ∈（﹣ ， ）时， （ ）＜ ， ＞ ，则 （ ）＜ ． ∈（ ， ）时， （ ）＞ ， ＞ ，则 （ ）＞ ，则 （ ）在（﹣ ， ）递减，（ ， ）递增，因此 （ ）的最小值为： （ ）． 若 （ ）＜ ， ＜ 时， ＞， ＞ ，则 （ ）＞ ，因此 ＜ ，且 ＜ 时， （ ）＞ ，因此 （ ）在（ ， ）有零点， 则 （ ）至少有两个零点，与条件矛盾．若 （ ）＞ ，函数 （ ） （ ）﹣ 有且只有 个零点， （ ）的最小值为 （ ），可得 （ ） ，由 （ ） ﹣ ， 因此 ，因此，﹣，即 ， （ ），则 ．可得 ．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．．（ 分）（ 江苏）记 ， ， ， ，对数列 （ ∈ ）和 的子集 ，若 ∅，定义 ；若 ， ， ， ，定义．例如： ， ， 时， ．现设 （ ∈ ）是公比为 的等比数列，且当 ， 时， ．（ ）求数列 的通项公式；（ ）对任意正整数 （ ≤ ≤ ），若 ⊆ ， ， ， ，求证： ＜ ； （ ）设 ⊆ ， ⊆ ， ≥ ，求证： ≥ ．【分析】（ ）根据题意，由 的定义，分析可得 ，计算可得 ，进而可得 的值，由等比数列通项公式即可得答案；（ ）根据题意，由 的定义，分析可得 ≤﹣，由等比数列的前 项和公式计算可得证明；（ ）设 ∁ （ ）， ∁ （ ），则 ∅，进而分析可以将原命题转化为证明 ≥ ，分 种情况进行讨论： 、若 ∅， 、若 ≠∅，可以证明得到 ≥ ，即可得证明．【解答】解：（ ）当 ， 时， ， 因此 ，从而 ，故﹣，（ ） ≤ ﹣＜ ，（ ）设 ∁ （ ）， ∁ （ ），则 ∅，分析可得 ， ，则 ﹣ ﹣ ， 因此原命题的等价于证明 ≥ ， 由条件 ≥ ，可得 ≥ ， 、若 ∅，则 ，故 ≥ ，、若 ≠∅，由 ≥ 可得 ≠∅，设 中最大元素为 ， 中最大元素为 ， 若 ≥ ，则其与 ＜ ≤ ≤ 相矛盾， 因为 ∅，所以 ≠ ，则 ≥ ，≤ ﹣≤，即 ≥，综上所述， ≥ ， 故 ≥ ．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．附加题【选做题】本题包括 、 、 、 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ．【选修 几何证明选讲】．（ 分）（ 江苏）如图，在△ 中，∠ ， ⊥ ， 为垂足， 为 的中点，求证：∠ ∠ ．【分析】依题意，知∠ ，∠ ∠ ，利用∠ ∠ ∠ ∠，可得∠ ∠ ，从而可证得结论．【解答】解：由 ⊥ 可得∠ ，因为 为 的中点，所以 ，则：∠ ∠ ，由∠ ，可得∠ ∠ ，由∠ ，可得∠ ∠ ，因此∠ ∠ ，而∠ ∠ ，所以，∠ ∠ ．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠ ∠ ∠ ∠ ，证得∠ ∠ 是关键，属于中档题．【选修 ：矩阵与变换】．（ 分）（ 江苏）已知矩阵 ，矩阵 的逆矩阵 ﹣，求矩阵 ．【分析】依题意，利用矩阵变换求得 （ ﹣ ）﹣ ，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．【解答】解：∵ ﹣ ，∴ （ ﹣ ）﹣ ，又 ，∴ ．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题．【选修 ：坐标系与参数方程】．（ 江苏）在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为（ 为参数），椭圆 的参数方程为（ 为参数），设直线 与椭圆 相交于 ， 两点，求线段 的长．【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案．【解答】解：由，由 得，代入 并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴ ．【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．．（ 江苏）设 ＞ ， ﹣ ＜， ﹣ ＜，求证：﹣ ＜ ．【分析】运用绝对值不等式的性质： ≤ ，结合不等式的基本性质，即可得证．【解答】证明：由 ＞ ， ﹣ ＜， ﹣ ＜，可得 ﹣ （ ﹣ ） （ ﹣ ）≤ ﹣ ﹣ ＜ ，则 ﹣ ＜ 成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．附加题【必做题】．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 ：﹣ ﹣ ，抛物线 ： （ ＞ ）．（ ）若直线 过抛物线 的焦点，求抛物线 的方程；（ ）已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 和 ．求证：线段 的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）；求 的取值范围．【分析】（ ）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（ ）： 设点 （ ， ）， （ ， ），通过抛物线方程，求解 ，通过 ， 关于直线 对称，点的 ﹣ ，推出， 的中点在直线 上，推出 ﹣，即可证明线段 的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）；利用线段 中点坐标（ ﹣ ，﹣ ）．推出，得到关于﹣ ，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出 的范围．【解答】解：（ ）∵ ： ﹣ ﹣ ，∴ 与 轴的交点坐标（ ， ）， 即抛物线的焦点坐标（ ， ）． ∴，∴抛物线 ： ．（ ）证明： 设点 （ ， ）， （ ， ），则：，即：，，又∵ ， 关于直线 对称，∴ ﹣ ，即 ﹣ ，∴，又 的中点在直线 上，∴ ﹣ ，∴线段 的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）； 因为 中点坐标（ ﹣ ，﹣ ）．∴，即∴，即关于 ﹣ ，有两个不相等的实数根，∴△＞ ，（ ） ﹣ （ ﹣ ）＞ ，∴ ∈．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．．（ 分）（ 江苏）（ ）求 ﹣ 的值；（ ）设 ， ∈ ， ≥ ，求证：（ ） （ ） （ ）（ ） （ ） ．【分析】（ ）由已知直接利用组合公式能求出 的值．（ ）对任意 ∈ ，当 时，验证等式成立；再假设 （ ≥ ）时命题成立，推导出当 时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ．【解答】解：（ ）﹣ ×× ﹣ × ．证明：（ ）对任意 ∈ ，当 时，左边 （ ） ，右边 （ ） ，等式成立．假设 （ ≥ ）时命题成立，即（ ） （ ） （ ） （ ） （ ），当 时，左边 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ），右边∵（ ） ﹣（ ）× ﹣（ ﹣ ）（ ）（ ），∴ （ ），∴左边 右边，∴ 时，命题也成立，∴ ， ∈ ， ≥ ，（ ） （ ） （ ）（ ） （ ） ．【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．剑影实验学校名师高中部 高一化学第二次月考试卷。

2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2016•江苏）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=______．2．（5分）（2016•江苏）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是______．3．（5分）（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是______．4．（5分）（2016•江苏）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是______．5．（5分）（2016•江苏）函数y=的定义域是______．6．（5分）（2016•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是______．7．（5分）（2016•江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______．8．（5分）（2016•江苏）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是______．9．（5分）（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是______．10．（5分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是______．11．（5分）（2016•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是______．12．（5分）（2016•江苏）已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是______．13．（5分）（2016•江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是______．14．（5分）（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2016•江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．16．（14分）（2016•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．17．（14分）（2016•江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？18．（16分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．19．（16分）（2016•江苏）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．20．（16分）（2016•江苏）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）（2016•江苏）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC 的中点，求证：∠EDC=∠ABD．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）（2016•江苏）已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B﹣1=，求矩阵AB．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．24．（2016•江苏）设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．附加题【必做题】25．（10分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．26．（10分）（2016•江苏）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．2016年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2016•江苏）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B={﹣1，2} ．【分析】根据已知中集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，结合集合交集的定义可得答案．【解答】解：∵集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={﹣1，2}，故答案为：{﹣1，2}【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）（2016•江苏）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是5．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i，则z的实部是5，故答案为：5．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是2．【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线﹣=1的焦距．【解答】解：双曲线﹣=1中，a=，b=，∴c==，∴双曲线﹣=1的焦距是2．故答案为：2．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础．4．（5分）（2016•江苏）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是0.1．【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，∴该组数据的方差：S2=[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．故答案为：0.1．【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．5．（5分）（2016•江苏）函数y=的定义域是[﹣3，1] ．【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案．【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，解得：x∈[﹣3，1]，故答案为：[﹣3，1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．6．（5分）（2016•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为：9【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．7．（5分）（2016•江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为n=6×6=36，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6个，∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．8．（5分）（2016•江苏）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是20．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a9的值．【解答】解：∵{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，∴，解得a1=﹣4，d=3，∴a9=﹣4+8×3=20．故答案为：20．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7．【分析】画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象即可得到答案．【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．故答案为：7．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象是关键，属于中档题．10．（5分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是．【分析】设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a，可得B（﹣a，），C（a，），由∠BFC=90°，可得k BF•k CF=﹣1，即有•=﹣1，化简为b2=3a2﹣4c2，由b2=a2﹣c2，即有3c2=2a2，由e=，可得e2==，可得e=，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11．（5分）（2016•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是﹣．【分析】根据已知中函数的周期性，结合f（﹣）=f（），可得a值，进而得到f（5a）的值．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a，f（）=f（）=|﹣|=，∴a=，∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a值，是解答的关键．12．（5分）（2016•江苏）已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是[，13]．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，由图象知A到原点的距离最大，点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离最小，由得，即A（2，3），此时z=22+32=4+9=13，点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离d==，则z=d2=（）2=，故z的取值范围是[，13]，故答案为：[，13]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．13．（5分）（2016•江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．【分析】由已知可得=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，=+2，=﹣+2，结合已知求出2=，2=，可得答案．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，故答案为：【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．14．（5分）（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8．【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2016•江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角，∴sinA=，∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（14分）（2016•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1，据此可得直线DE∥平面A1C1F1；（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F．【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，∴DE∥A1C1F；（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE∥A1C1，∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F⊂平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大．17．（14分）（2016•江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？【分析】（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，可得PO1=2m时，O1O=8m，进而可得仓库的容积；（2）设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=•m，代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值．【解答】解：（1）∵PO1=2m，正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．∴O1O=8m，∴仓库的容积V=×62×2+62×8=312m3，（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=•m，则仓库的容积V=×（•）2•x+（•）2•4x=x3+312x，（0＜x＜6），∴V′=﹣26x2+312，（0＜x＜6），当0＜x＜2时，V′＞0，V（x）单调递增；当2＜x＜6时，V′＜0，V（x）单调递减；故当x=2时，V（x）取最大值；即当PO1=2m时，仓库的容积最大．【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．18．（16分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．【分析】（1）设N（6，n），则圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，从而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圆N的标准方程．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d=，由此能求出直线l的方程．（3）=，即||=，又||≤10，得t∈[2﹣2，2+2]，对于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，由此能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（（x﹣6）2+（x﹣7）2=25，∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d==，则|BC|=2=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=﹣15，∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）=，即，即||=||，||=，又||≤10，即≤10，解得t∈[2﹣2，2+2]，对于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，此时，||≤10，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于P、Q两点，此时||=||，即，因此实数t的取值范围为t∈[2﹣2，2+2]，．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．19．（16分）（2016•江苏）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．【分析】（1）①利用方程，直接求解即可．②列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可．（2）求出g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，求出函数的导数，构造函数h（x）=+，求出g（x）的最小值为：g（x0）．同理①若g（x0）＜0，g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，利用函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，推出g（x0）=0，然后求解ab=1．【解答】解：函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①方程f（x）=2；即：=2，可得x=0．②不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，即≥m（）﹣6恒成立．令t=，t≥2．不等式化为：t2﹣mt+4≥0在t≥2时，恒成立．可得：△≤0或即：m2﹣16≤0或m≤4，∴m∈（﹣∞，4]．实数m的最大值为：4．（2）g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，g′（x）=a x lna+b x lnb=a x[+]lnb，0＜a＜1，b＞1可得，令h（x）=+，则h（x）是递增函数，而，lna＜0，lnb＞0，因此，x0=时，h（x0）=0，因此x∈（﹣∞，x0）时，h（x）＜0，a x lnb＞0，则g′（x）＜0．x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，a x lnb＞0，则g′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，x0）递减，（x0，+∞）递增，因此g（x）的最小值为：g（x0）．①若g（x0）＜0，x＜log a2时，a x＞=2，b x＞0，则g（x）＞0，因此x1＜log a2，且x1＜x0时，g（x1）＞0，因此g（x）在（x1，x0）有零点，则g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，g（x）的最小值为g（x0），可得g（x0）=0，由g（0）=a0+b0﹣2=0，因此x0=0，因此=0，﹣=1，即lna+lnb=0，ln（ab）=0，则ab=1．可得ab=1．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．20．（16分）（2016•江苏）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．【分析】（1）根据题意，由S T的定义，分析可得S T=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由S T的定义，分析可得S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，进而分析可以将原命题转化为证明S C ≥2S B，分2种情况进行讨论：①、若B=∅，②、若B≠∅，可以证明得到S A≥2S B，即可得证明．【解答】解：（1）当T={2，4}时，S T=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，从而a1==1，故a n=3n﹣1，（2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=a k+1，（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，分析可得S C=S A+S C∩D，S D=S B+S C∩D，则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B，因此原命题的等价于证明S C≥2S B，由条件S C≥S D，可得S A≥S B，①、若B=∅，则S B=0，故S A≥2S B，②、若B≠∅，由S A≥S B可得A≠∅，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若m≥l+1，则其与S A＜a i+1≤a m≤S B相矛盾，因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，S B≤a1+a2+…a m=1+3+32+…+3m﹣1=≤=，即S A≥2S B，综上所述，S A≥2S B，故S C+S C∩D≥2S D．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）（2016•江苏）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC 的中点，求证：∠EDC=∠ABD．【分析】依题意，知∠BDC=90°，∠EDC=∠C，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，可得∠ABD=∠C，从而可证得结论．【解答】解：由BD⊥AC可得∠BDC=90°，因为E为BC的中点，所以DE=CE=BC，则：∠EDC=∠C，由∠BDC=90°，可得∠C+∠DBC=90°，由∠ABC=90°，可得∠ABD+∠DBC=90°，因此∠ABD=∠C，而∠EDC=∠C，所以，∠EDC=∠ABD．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C是关键，属于中档题．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）（2016•江苏）已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B﹣1=，求矩阵AB．【分析】依题意，利用矩阵变换求得B=（B﹣1）﹣1==，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．【解答】解：∵B﹣1=，∴B=（B﹣1）﹣1==，又A=，∴AB==．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．24．（2016•江苏）设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证．【解答】证明：由a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜+=a，则|2x+y﹣4|＜a成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．附加题【必做题】25．（10分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（2）：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），通过抛物线方程，求解k PQ，通过P，Q关于直线l对称，点的k PQ=﹣1，推出，PQ的中点在直线l上，推出=2﹣p，即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②利用线段PQ中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出，得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围．【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0），即抛物线的焦点坐标（2，0）．∴，∴抛物线C：y2=8x．（2）证明：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则：，即：，k PQ==，又∵P，Q关于直线l对称，∴k PQ=﹣1，即y1+y2=﹣2p，∴，又PQ的中点在直线l上，∴==2﹣p，∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②因为Q中点坐标（2﹣p，﹣p）．∴，即∴，即关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，∴△＞0，（2p）2﹣4（4p2﹣4p）＞0，∴p∈．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．26．（10分）（2016•江苏）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7的值．（2）对任意m∈N*，当n=m时，验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立，推导出当n=k+1时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【解答】解：（1）7=﹣4×=7×20﹣4×35=0．证明：（2）对任意m∈N*，①当n=m时，左边=（m+1）=m+1，右边=（m+1）=m+1，等式成立．②假设n=k（k≥m）时命题成立，即（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+k+（k+1）=（m+1），当n=k+1时，左边=（m+1）+（m+2）+（m+3）++（k+1）+（k+2）=，右边=∵=（m+1）[﹣]=（m+1）×[k+3﹣（k﹣m+1）]=（k+2）=（k+2），∴=（m+1），∴左边=右边，∴n=k+1时，命题也成立，∴m，n∈N*，n≥m，（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．。

2016江苏数学高考答案【篇一：2016年江苏理科数学高考试题(含解析)】xt>数学Ⅰ试题参考公式圆柱的体积公式：v圆柱=sh，其中s是圆柱的底面积，h为高。

圆锥的体积公式：v圆锥1sh，其中s是圆锥的底面积，h为高。

3一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1.已知集合a?{?1,2,3,6},b?{x|?2?x?3},则a?b=________▲________. 2.复数z?(1?2i)(3?i),其中i为虚数单位，则z的实部是________▲________.x2y23.在平面直角坐标系xoy中，双曲线??1的焦距是________▲________.734.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________. 5.函数y.6.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是▲.7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是▲ .8.已知{an}是等差数列，sn是其前n项和.若a1+a2=-3，s5=10，则a9的值是▲ .2x2y2b10.如图，在平面直角坐标系xoy中，f是椭圆2?2?1(a＞b＞0)的右焦点，直线y?与椭圆交于b，2abc两点，且?bfc?90? ,则该椭圆的离心率是▲ .1(第10题)?x?a,?1?x?0,?11.设f（x）是定义在r上且周期为2的函数，在区间[ ?1,1)上，f(x)??2其中a?r.若?x,0?x?1,?5?59f(?)?f()，则f（5a）的值是.22?x?2y?4?0?2212. 已知实数x，y满足?2x?y?2?0，则x+y的取值范围是▲ .?3x?y?3?0??????????????????????bc?ca?4，bf?cf??1，ece?13.如图，在△abc中，d是bc的中点，e，f是ad上的两个三等分点，则b 的值是▲.14.在锐角三角形abc中，若sina=2sinbsinc，则tanatanbtanc 的最小值是▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）在△abc中，ac=6，cosb=（1）求ab的长；（2）求cos(a-2，c=. 54)的值.616.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱abc-a1b1c1中，d，e分别为ab，bc的中点，点f在侧棱b1b上，且b1d?aac1f，11?a1b1.求证：（1）直线de∥平面a1c1f；（2）平面b1de⊥平面a1c1f.17.（本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥p?a1bc11d1，下部分的形状是正四棱柱abcd?a1bc11d1(如图所示)，并要求正四棱柱的高po1的四倍. 若ab?6m,po1?2m,则仓库的容积是多少？(1) 若正四棱柱的侧棱长为6m,则当po1为多少时，仓库的容积最大？318. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知以m为圆心的圆m:x2?y2?12x?14y?60?0及其上一点a(2，4)(1) 设圆n与x轴相切，与圆m外切，且圆心n在直线x=6上，求圆n的标准方程； (2) 设平行于oa的直线l与圆m相交于b、c两点，且bc=oa,求直线l的方程； (3) 设点t（t,o）满足：存在圆m 上的两点p和q,使得??????????ta?tp?tq,,求实数t的取值范围。

【说明】： 【参考版答案】非官方版正式答案，有可能存在少量错误，仅供参考使用。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差()2211ni i s x xn ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．棱柱的体积V Sh =，其中S 是棱柱的底面积，h 是高． 棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则A B = ．【答案】{}1,2-；【解析】由交集的定义可得{}1,2AB =-．2. 复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ． 【答案】5；【解析】由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5．3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是 ．【答案】【解析】c，因此焦距为2c =4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ． 【答案】0.1； 【解析】 5.1x =，()22222210.40.300.30.40.15s =++++=． 5.函数y =的定义域是 ． 【答案】[]3,1-；【解析】2320x x --≥，解得31x -≤≤，因此定义域为[]3,1-． 6. 如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是 ． 【答案】9；【解析】,a b 的变化如下表：则输出时9a =．7. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ． 【答案】56； 【解析】将先后两次点数记为(),x y ，则共有6636⨯=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为305366=． 8. 已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2123a a +=-，510S =，则9a 的值是 ． 【答案】20；【解析】设公差为d ，则由题意可得()2113a a d ++=-，151010a d +=， 【解析】解得14a =-，3d =，则948320a =-+⨯=．9. 定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 ． 【答案】7；【解析】画出函数图象草图，共7个交点．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是 ．【解析】由题意得(),0F c ，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭，【解析】由90BFC ∠=︒可得0BF CF ⋅=，2b BF c ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，2b CF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 【解析】则22231044c a b -+=，由222b a c =-可得223142c a =，则c e a ==．11. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩12. 其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是 ．【答案】25-；【解析】由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 【解析】由5922f f ⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11210a -+=，则35a =，【解析】则()()()325311155f a f f a ==-=-+=-+=-． 13. 已知实数,x y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则22x y +的取值范围是 ．【答案】4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦；【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下22x y +为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中A 点距离原点最近，此时距离为原点A 到直线220x y +-=的距离，d =，则()22min45x y +=， 图中B 点距离原点最远，B 点为240x y -+=与330x y --=交点，则()2,3B ， 则()22max13x y +=．14. 如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，15. 则BE CE ⋅的值是 ． 【答案】78； 【解析】令DF a =，DB b =，则DC b =-，2DE a =，3DA a =，【解析】则3BA a b =-，3CA a b =+，2BE a b =-，2CE a b =+，BF a b =-【解析】则229BA CA a b ⋅=-，22BF CF a b ⋅=-，224BE CE a b ⋅=-，【解析】由4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-可得2294a b -=，221a b -=-，因此22513,88a b ==，【解析】因此22451374888BE CE a b ⨯⋅=-=-=． 16. 在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 ． 【答案】8；【解析】由()()sin sin πsin sin cos cos sin A A B C B C B C =-=+=+，sin 2sin sin A B C =， 【解析】可得sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=（*）， 【解析】由三角形ABC 为锐角三角形，则cos 0,cos 0B C >>，【解析】在（*）式两侧同时除以cos cos B C 可得tan tan 2tan tan B C B C +=， 【解析】又()()tan tan tan tan πtan 1tan tan B CA ABC B C+=--=-+=--(#)，【解析】则tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C B C+=-⨯-，【解析】由tan tan 2tan tan B C B C +=可得()22tan tan tan tan tan 1tan tan B C A B C B C=--，令tan tan B C t =，由,,A B C 为锐角可得tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>， 由(#)得1tan tan 0B C -<，解得1t > 2222tan tan tan 111t A B C t t t=-=---，221111124t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由1t >则211104t t >-≥-，因此tan tan tan A B C 最小值为8， 当且仅当2t =时取到等号，此时tan tan 4B C +=，tan tan 2B C =，解得tan 2tan 2tan 4B C A ===（或tan ,tan B C 互换），此时,,A B C 均为锐角．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分14分）在ABC △中，6AC =，4cos 5B =，π4C =．⑴ 求AB 的长； ⑵ 求πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】⑴． 【解析】⑴ 4cos 5B =，B 为三角形的内角635=，即：AB =又A 为三角形的内角π1cos sin 62A A A ⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭18. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上， 且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥． 求证：⑴ 直线//DE 平面11A C F ；⑵ 平面1B DE ⊥平面11A C F ．【答案】见解析； 【解析】⑴,D E 为中点，DE ∴为ABC ∆的中位线 又111ABC A B C -为棱柱，11//AC AC ∴11//DE AC ∴，又11AC ⊂平面11A C F ，且11DE AC F ⊄//DE ∴平面11A C F ；⑵111ABC A B C -为直棱柱，1AA ∴⊥平面111A B C111AA AC ∴⊥，又1111AC A B ⊥且1111AA A B A =，111,AA A B ⊂平面11AA B B11AC ∴⊥平面11AA B B ，又11//DE AC ，DE ∴⊥平面11AA B B 又1A F ⊂平面11AA B B ，1DE A F ∴⊥又11A F B D ⊥，1DE B D D =，且1,DE B D ⊂平面1B DE 1A F ∴⊥平面1B DE ，又111A F AC F ⊂∴平面1B DE ⊥平面11A C F ．19. （本小题满分14分）20. 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍． 21. ⑴ 若6m AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少；FEC BAC 1B 1A 11A22. ⑵ 若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，仓库的容积最大？【答案】⑴3312m ；⑵m ； 【解析】⑴ 12m PO =，则18m OO =，【解析】⑴ 1111231116224m 33P A B C D ABCD V S PO -⋅=⨯⨯==，111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -⋅=⨯==，【解析】⑴ 111111113312m =P A B C D ABCD A B C D V V V --+=， 【解析】⑴ 故仓库的容积为3312m ；⑵ 设1m PO x =，仓库的容积为()V x则14m OO x =，11A O =，11A B =，()111123331111272224m 3333P A B C D ABCD V S PO x x x x x -⋅=⨯⨯=-=-=，1111233142888m ABCD A B C D ABCD V S OO x x x-⋅=⨯=-=，()()111111113332262428883120633=P A B C D ABCD A B C D V x V V x x x x x x x --+=-+-=-+<<，()()22'263122612V x x x =-+=--()06x <<，当(x ∈时，()'0V x >，()V x 单调递增，当()x ∈时，()'0V x <，()V x 单调递减，因此，当x =()V x 取到最大值，即1m PO =时，仓库的容积最大．23. （本小题满分14分）24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+= 25. 及其上一点()2,4A ．26. ⑴ 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； 27. ⑵ 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；28. ⑶ 设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．【答案】⑴()()22611x y -+-=⑵25y x =+或215y x =-⑶2⎡-+⎣；【解析】⑴ 因为N 在直线6x =上，设()6,N n ，因为与x 轴相切， 【解析】⑴ 则圆N 为()()2226x y n n -+-=，0n >【解析】⑴ 又圆N 与圆M 外切，圆M ：()()226725x x -+-=，【解析】⑴ 则75n n -=+，解得1n =，即圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=；⑵ 由题意得OA =2OA k = 设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l 的距离d ==,⑵ 则BC ==BC =⑵ 解得5b =或15b =-，即l ：25y x =+或215y x =-； ⑶ TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=，即TA PQ =， ⑶ (TA t =⑶ 又10PQ ≤,⑶ 10，解得2t ⎡∈-+⎣，⑶ 对于任意2t ⎡∈-+⎣，欲使TA PQ =， ⑶ 此时10TA ≤，只需要作直线TA 2TA⑶ 必然与圆交于P Q 、两点，此时TA PQ =，即TA PQ =，⑶ 因此对于任意2t ⎡∈-+⎣，均满足题意，⑶ 综上2t ⎡∈-+⎣．29. （本小题满分14分）30. 已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠． 31. ⑴ 设2a =，12b =． 32. ① 求方程()2f x =的根；33. ② 若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值； 34. ⑵ 若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值． 【答案】⑴ ①0x =；②4；⑵1；【解析】⑴ ① ()122xxf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2f x =可得1222x x +=，【解析】⑴ 则()222210x x -⨯+=，即()2210x -=，则21x =，0x =；【解析】⑴ ② 由题意得221122622x x x x m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭≥恒成立， 【解析】⑴ 令122x xt =+，则由20x >可得2t ≥， 【解析】⑴ 此时226t mt --≥恒成立，即244t m t t t+=+≤恒成立【解析】⑴ ∵2t ≥时44t t +=≥，当且仅当2t =时等号成立，【解析】⑴ 因此实数m 的最大值为4．()()22xxg x f x a b =-=+-，()ln 'ln ln ln ln x x x xa b g x a a b b a b b a ⎡⎤⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由01a <<，1b >可得1b a >，令()ln ln xb ah x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()h x 递增，而ln 0,ln 0a b <>，因此0ln log ln b aa xb ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时()00h x =，因此()0,x x ∈-∞时，()0h x <，ln 0x a b >，则()'0g x <； ()0,x x ∈+∞时，()0h x >，ln 0x a b >，则()'0g x >；则()g x 在()0,x -∞递减，()0,x +∞递增，因此()g x 最小值为()0g x ， ① 若()00g x <，log 2a x <时，log 22a x a a >=，0x b >，则()0g x >； x >log b 2时，0x a >，log 22b x b b >=，则()0g x >；因此1log 2a x <且10x x <时，()10g x >，因此()g x 在()10,x x 有零点， 2l o g 2b x >且20x x >时，()20g x >，因此()g x 在()02,x x 有零点， 则()g x 至少有两个零点，与条件矛盾；② 若()00g x ≥，由函数()g x 有且只有1个零点，()g x 最小值为()0g x ， 可得()00g x =， 由()00020g a b =+-=， 因此00x =，因此ln log 0ln b a a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ln 1ln a b -=，即ln ln 0a b +=， 因此()ln 0ab =，则1ab =．35. （本小题满分14分） 36. 记{}1,2,,100U =．对数列{}n a （*n ∈N ）和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t =，定义12k T t t t S a a a =+++．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++．现设{}n a （*n ∈N ）是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =． ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 对任意正整数k （1100k ≤≤），若{}1,2,,T k ⊆，求证：1T k S a +<； ⑶ 设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C CDD S S S +≥．【答案】⑴13n n a -=；⑵⑶详见解析；【解析】⑴ 当{}2,4T =时，2422930T S a a a a =+=+=，因此23a =，从而2113a a ==，13n n a -=； ⑵ 2112131133332k k k T k k S a a a a -+-++=++++=<=≤；⑶ 设()C A CD =ð，()D B C D =ð，则A B =∅，C A CDS S S =+，D B CDS S S =+，22C CDD A B S S S S S +-=-，因此原题就等价于证明2A B S S ≥．⑶ 由条件C D S S ≥可知A B S S ≥．⑶ ① 若B =∅，则0B S =，所以2A B S S ≥．⑶ ② 若B ≠∅，由A B S S ≥可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ，B 中最大元素为m ， ⑶ 若1m l +≥，则由第⑵小题，1A l m B S a a S +<≤≤，矛盾． ⑶ 因为A B =∅，所以l m ≠，所以1l m +≥， ⑶ 211123113332222m m m lA B m a a S S a a a -+-+++=++++=<≤≤≤，即2A B S S >．⑶ 综上所述，2A B S S ≥，因此2C CDD S S S +≥．数学Ⅱ（附加题）37. [选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，D 为垂足，E 是BC 中点．求证：EDC ABD ∠=∠． 【答案】详见解析；【解析】由BD AC ⊥可得90BDC ∠=︒， 【解析】由E 是BC 中点可得12DE CE BC ==， 【解析】则EDC C ∠=∠，【解析】由90BDC ∠=︒可得90C DBC ∠+∠=︒， 【解析】由90ABC ∠=︒可得90ABD DBC ∠+∠=︒， 【解析】因此ABD C ∠=∠，【解析】又EDC C ∠=∠可得EDC ABD ∠=∠．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1202⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，矩阵B 的逆矩阵111202-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB ． 【答案】51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；【解析】()11112124221010222--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B ，因此151121*********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长． 【答案】167； 【解析】直线l0y --=，【解析】椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=，【解析】联立得22014y y x -=⎨+=⎪⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或17x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】因此167AB ==．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设0a >，13a x -<，23ay -<，求证：24x y a +-<． 【答案】详见解析； 【解析】由13a x -<可得2223a x -<， 【解析】22422233a ax y x y a +--+-<+=≤． [必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤． 38. （本小题满分10分）39. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线()2:20C y px p =>． 40. ⑴ 若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； 41. ⑵ 已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ． ①求证：线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --； ②求p 的取值范围．【答案】⑴28y x =；⑵①见解析；②40,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】⑴ :20l x y --=，∴l 与x 轴的交点坐标为()2,0即抛物线的焦点为()2,0，22p∴= 28y x ∴=；⑵ ① 设点()11,P x y ，()22,Q x y则：21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21122222y x p y x p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12221212222PQ y y p k y y y y p p -==+- 又,P Q 关于直线l 对称，1PQ k ∴=-即122y y p +=-，122y y p +∴=- 又PQ 中点一定在直线l 上∴线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --；②中点坐标为()2,p p --122212122422y y p y y x x p p +=-⎧⎪∴+⎨+==-⎪⎩即1222212284y y p y y p p +=-⎧⎨+=-⎩ 12212244y y py y p p+=-⎧∴⎨=-⎩，即关于222440y py p p ++-=有两个不等根 0∴∆>，()()2224440p p p -->，40,3p ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭．42. （本小题满分10分）43. ⑴ 求34677C 4C -的值；44. ⑵ 设*,m n ∈N ，n m ≥，求证：45. ()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m n n n m m m n n m +++-++++++++++=+．【答案】⑴0；⑵详见解析；【解析】⑴ 34677C 4C 7204350-=⨯-⨯=；⑵ 对任意的*m ∈N ，⑵ ① 当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+，等式成立，⑵ ② 假设()n k k m =≥时命题成立，⑵ 即()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m k k k m m m k k m +++-++++++++++=+，⑵ 当1n k =+时，⑵ 左边=()()()()()12111C 2C 3C C 1C 2C m m mm m mm m m k k k m m m k k k ++-++++++++++++⑵ ()()2211C 2C m m k k m k +++=+++， ⑵ 右边()231C m k m ++=+， ⑵ 而()()22321C 1C m m k k m m +++++-+，⑵ ()()()()()()()()()()()()()()()()13!2!12!1!2!!2!1312!1!1!2!1!2C m k k k m m k m m k m k m k k m m k m k k m k m k +⎡⎤++=+-⎢⎥+-++-⎢⎥⎣⎦+=+⨯+--+⎡⎤⎣⎦+-++=+-+=+ ⑵ 因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+，⑵ 因此左边=右边，⑵ 因此1n k =+时命题也成立，综合①②可得命题对任意n m ≥均成立．另解：因为()()111C 1C m m k k k m +++=+，所以 左边()()()1111211C 1C 1C m m m m m n m m m ++++++=++++++()()1111211C C C m m m m m n m ++++++=++++又由111C C C k k k n n n ---=+，知2212112111112111221121C C C C C C C C C C C C m m m m m m m m m m m m n n n n n n m m n m m n ++++++++++++++++++++++=+=++==+++=+++，所以，左边=右边．。