2016年江苏理科数学高考试题(含解析)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则A B = ． 【答案】{}1,2-；【解析】由交集的定义可得{}1,2A B =- ．2. 复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ． 【答案】5；【解析】由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5．3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是 ．【答案】【解析】c ==，因此焦距为2c =4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ． 【答案】0.1； 【解析】 5.1x =，()22222210.40.300.30.40.15s =++++=． 5.函数y =的定义域是 ． 【答案】[]3,1-；【解析】2320x x --≥，解得31x -≤≤，因此定义域为[]3,1-． 6. 如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是 ．【答案】9；【解析】,a b 的变化如下表：则输出时9a =．7. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ． 【答案】56； 【解析】将先后两次点数记为(),x y ，则共有6636⨯=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为305366=． 8. 已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2123a a +=-，510S =，则9a 的值是 ． 【答案】20；【解析】设公差为d ，则由题意可得()2113a a d ++=-，151010a d +=，解得14a =-，3d =，则948320a =-+⨯=．9. 定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是． 【答案】7；【解析】画出函数图象草图，共7个交点．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是 ．FC BOyx【解析】由题意得(),0F c ，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎭， 由90BFC ∠=︒可得0BF CF ⋅=，2b BF c ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，2b CF c ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ， 则22231044c a b -+=，由222b a c =-可得223142c a =，则c e a ===． 11. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是 ． 【答案】25-；【解析】由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11210a -+=，则35a =，则()()()325311155f a f f a ==-=-+=-+=-． 12. 已知实数,x y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩ 则22x y +的取值范围是 ．【答案】4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦；【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下xyB A –1–2–3–41234–1–2–3–4123422x y+为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中A点距离原点最近，此时距离为原点A到直线220x y+-=的距离，d，则()22min45x y+=，图中B点距离原点最远，B点为240x y-+=与330x y--=交点，则()2,3B，则()22max13x y+=．13.如图，在ABC△中，D是BC的中点，,E F是AD上两个三等分点，4BA CA⋅=，1BF CF⋅=-，则BE CE⋅的值是．【答案】78；【解析】令DF a=，DB b=，则DC b=-，2DE a=，3DA a=，则3BA a b=-，3CA a b=+，2BE a b=-，2CE a b=+，BF a b=-，CF a b=+，则229BA CA a b⋅=-，22BF CF a b⋅=-，224BE CE a b⋅=-，由4BA CA⋅=，1BF CF⋅=-可得2294a b-=，221a b-=-，因此22513,88a b==，因此22451374888BE CE a b⨯⋅=-=-=．14.在锐角三角形ABC中，sin2sin sinA B C=，则tan tan tanA B C的最小值是．【答案】8；【解析】由()()sin sinπsin sin cos cos sinA ABC B C B C=-=+=+，sin2sin sinA B C=，可得sin cos cos sin2sin sinB C B C B C+=（*），由三角形ABC为锐角三角形，则cos0,cos0B C>>，在（*）式两侧同时除以cos cosB C可得tan tan2tan tanB C B C+=，又()()tan tantan tanπtan1tan tanB CA AB CB C+=--=-+=--(#)，则tan tantan tan tan tan tan1tan tanB CA B C B CB C+=-⨯-，由tan tan2tan tanB C B C+=可得()22tan tantan tan tan1tan tanB CA B CB C=--，令tan tanB C t=，由,,A B C为锐角可得tan0,tan0,tan0A B C>>>，由(#)得1tan tan0B C-<，解得1t>FED CBA2222tan tan tan 111t A B C t t t=-=---， 221111124t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由1t >则211104t t >-≥-，因此tan tan tan A B C 最小值为8， 当且仅当2t =时取到等号，此时tan tan 4B C +=，tan tan 2B C =，解得tan 2tan 2tan 4B C A ===（或tan ,tan B C 互换），此时,,A B C 均为锐角．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）在ABC △中，6AC =，4cos 5B =，π4C =． ⑴ 求AB 的长； ⑵ 求πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】⑴． 【解析】⑴ 4cos 5B =，B 为三角形的内角 3sin 5B ∴= sinC sin AB ACB=635=，即：AB = ⑵ ()cos cos sin sin cos cos A C B B C B C =-+=-cos A ∴=又A 为三角形的内角sin A ∴=π1cos sin 62A A A ⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上， 且11B D A F ⊥，1111A C A B ⊥． 求证：⑴ 直线//DE 平面11A C F ；⑵ 平面1B DE ⊥平面11A C F ．【答案】见解析；【解析】⑴ ,D E 为中点，DE ∴为ABC ∆的中位线//DE AC ∴又111ABC A B C - 为棱柱，11//AC A C ∴11//DE A C ∴，又11A C ⊂ 平面11A C F ，且11DE A C F ⊄ //DE ∴平面11A C F ；⑵ 111ABC A B C - 为直棱柱，1AA ∴⊥平面111A B C111AA A C ∴⊥，又1111A C A B ⊥且1111AA A B A = ，111,AA A B ⊂平面11AA B B 11A C ∴⊥平面11AA B B ，又11//DE A C ，DE ∴⊥平面11AA B B 又1A F ⊂ 平面11AA B B ，1DE A F ∴⊥又11A F B D ⊥ ，1DE B D D = ，且1,DE B D ⊂平面1B DE 1A F ∴⊥平面1B DE ，又111A F A C F ⊂ ∴平面1B DE ⊥平面11A C F ．17. （本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍． ⑴ 若6m AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少；⑵ 若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，仓库的容积最大？【答案】⑴3312m；⑵m ； 【解析】⑴ 12m PO =，则18m OO =，FEDC BAC 1B 1A 11A1111231116224m 33P A B C D ABCD V S PO -⋅=⨯⨯==，111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -⋅=⨯==，111111113312m =P A B C D ABCD A B C D V V V --+=，故仓库的容积为3312m ；⑵ 设1m PO x =，仓库的容积为()V x则14m OO x =，11m A O =，11m A B =，()111123331111272224m 3333P A B C D ABCD V S PO x x x x x -⋅=⨯⨯=-=-=，1111233142888m ABCD A B C D ABCD V S OO x x x-⋅=⨯=-=，()()111111113332262428883120633=P A B C D ABCD A B C D V x V V x x x x x x x --+=-+-=-+<<， ()()22'263122612V x x x =-+=--()06x <<，当(x ∈时，()'0V x >，()V x 单调递增，当()x ∈时，()'0V x <，()V x 单调递减，因此，当x =时，()V x 取到最大值，即1m PO =时，仓库的容积最大．18. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+= 及其上一点()2,4A ．⑴ 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； ⑵ 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；⑶ 设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．【答案】⑴()()22611x y -+-=⑵25y x =+或215y x =-⑶2⎡-+⎣【解析】⑴ 因为N 在直线6x =上，设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2226x y n n -+-=，0n >又圆N 与圆M 外切，圆M ：()()226725x x -+-=，则75n n -=+，解得1n =，即圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=；⑵ 由题意得OA =，2OA k = 设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l 的距离d则BC ==BC =，即=，解得5b =或15b =-，即l ：25y x =+或215y x =-；⑶ TA TP TQ += ，即TA TQ TP PQ =-=，即TA PQ = ，，又10PQ≤,10，解得2t ⎡∈-+⎣，对于任意2t ⎡∈-+⎣，欲使TA PQ =，此时10TA ≤，只需要作直线TA必然与圆交于P Q 、两点，此时TA PQ = ，即TA PQ =，因此对于任意2t ⎡∈-+⎣，均满足题意，综上2t ⎡∈-+⎣．19. （本小题满分14分）已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠． ⑴ 设2a =，12b =． ① 求方程()2f x =的根；② 若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值； ⑵ 若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值． 【答案】⑴ ①0x =；②4；⑵1；【解析】⑴ ① ()122xxf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2f x =可得1222x x +=，则()222210x x -⨯+=，即()2210x -=，则21x =，0x =；② 由题意得221122622x x x x m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭≥恒成立，令122x xt =+，则由20x >可得2t =≥， 此时226t mt --≥恒成立，即244t m t t t +=+≤恒成立 ∵2t ≥时44t t +=≥，当且仅当2t =时等号成立，因此实数m 的最大值为4．()()22xxg x f x a b =-=+-，()ln 'ln ln ln ln x xxxa b g x a a b b a b b a ⎡⎤⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由01a <<，1b >可得1b a >，令()ln ln xb ah x a b⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()h x 递增，而ln 0,ln 0a b <>，因此0ln log ln b a a x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时()00h x =，因此()0,x x ∈-∞时，()0h x <，ln 0x a b >，则()'0g x <；()0,x x ∈+∞时，()0h x >，ln 0x a b >，则()'0g x >；则()g x 在()0,x -∞递减，()0,x +∞递增，因此()g x 最小值为()0g x ， ① 若()00g x <，log 2a x <时，log 22a x a a >=，0x b >，则()0g x >； x >log b 2时，0x a >，log 22b x b b >=，则()0g x >；因此1log 2a x <且10x x <时，()10g x >，因此()g x 在()10,x x 有零点， 2log 2b x >且20x x >时，()20g x >，因此()g x 在()02,x x 有零点， 则()g x 至少有两个零点，与条件矛盾；② 若()00g x ≥，由函数()g x 有且只有1个零点，()g x 最小值为()0g x ， 可得()00g x =， 由()00020g a b =+-=， 因此00x =，因此ln log 0ln b aa b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ln 1ln a b -=，即ln ln 0a b +=， 因此()ln 0ab =，则1ab =．20. （本小题满分14分）记{}1,2,,100U = ．对数列{}n a （*n ∈N ）和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t = ，定义12k T t t t S a a a =+++ ．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++． 现设{}n a （*n ∈N ）是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =． ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 对任意正整数k （1100k ≤≤），若{}1,2,,T k ⊆ ，求证：1T k S a +<； ⑶ 设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C C D D S S S + ≥． 【答案】⑴13n n a -=；⑵⑶详见解析；【解析】⑴ 当{}2,4T =时，2422930T S a a a a =+=+=，因此23a =，从而2113a a ==，13n n a -=； ⑵ 2112131133332k k k T k k S a a a a -+-++=++++=<= ≤；⑶ 设()C A C D = ð，()D B C D = ð，则A B =∅ ，C A C D S S S =+ ，D B C D S S S =+ ，22C C D D A B S S S S S +-=- ，因此原题就等价于证明2A B S S ≥．由条件C D S S ≥可知A B S S ≥．① 若B =∅，则0B S =，所以2A B S S ≥．② 若B ≠∅，由A B S S ≥可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ，B 中最大元素为m ， 若1m l +≥，则由第⑵小题，1A l m B S a a S +<≤≤，矛盾． 因为A B =∅ ，所以l m ≠，所以1l m +≥， 211123113332222m m m l A B m a a S S a a a -+-+++=++++=< ≤≤≤，即2A B S S >．综上所述，2A B S S ≥，因此2C C D D S S S + ≥．数学Ⅱ（附加题）21. [选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，D 为垂足，E 是BC 中点． 求证：EDC ABD ∠=∠．【答案】详见解析；【解析】由BD AC ⊥可得90BDC ∠=︒，由E 是BC 中点可得12DE CE BC ==， 则EDC C ∠=∠，EDCBA由90BDC ∠=︒可得90C DBC ∠+∠=︒， 由90ABC ∠=︒可得90ABD DBC ∠+∠=︒， 因此ABD C ∠=∠，又EDC C ∠=∠可得EDC ABD ∠=∠．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1202⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，矩阵B 的逆矩阵111202-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB ． 【答案】51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；【解析】()11112124221010222--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B ，因此151121*********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长． 【答案】167； 【解析】直线l0y --=，椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=，联立得22014y y x --=⎨+=⎪⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或17x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此167AB ==．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设0a >，13a x -<，23ay -<，求证：24x y a +-<．【答案】详见解析； 【解析】由13a x -<可得2223a x -<， 22422233a ax y x y a +--+-<+=≤．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线()2:20C y px p =>． ⑴ 若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； ⑵ 已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ． ①求证：线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --； ②求p 的取值范围．Cl yxO 【答案】⑴28y x =；⑵①见解析；②40,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】⑴ :20l x y --= ，∴l 与x 轴的交点坐标为()2,0即抛物线的焦点为()2,0，22p∴= 28y x ∴=；⑵ ① 设点()11,P x y ，()22,Q x y则：21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21122222y x py x p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12221212222PQ y y p k y y y y p p -==+- 又,P Q 关于直线l 对称，1PQ k ∴=- 即122y y p +=-，122y y p +∴=- 又PQ 中点一定在直线l 上 12122222x x y y p ++∴=+=- ∴线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --；② 中点坐标为()2,p p --122212122422y y p y y x x p p +=-⎧⎪∴+⎨+==-⎪⎩即1222212284y y p y y p p +=-⎧⎨+=-⎩ 12212244y y py y p p+=-⎧∴⎨=-⎩，即关于222440y py p p ++-=有两个不等根 0∴∆>，()()2224440p p p -->，40,3p ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭．23. （本小题满分10分）⑴ 求34677C 4C -的值；⑵ 设*,m n ∈N ，n m ≥，求证：()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m n n n m m m n n m +++-++++++++++=+ ．【答案】⑴0；⑵详见解析；【解析】⑴ 34677C 4C 7204350-=⨯-⨯=；⑵ 对任意的*m ∈N ，① 当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+，等式成立，② 假设()n k k m =≥时命题成立，即()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m k k k m m m k k m +++-++++++++++=+ ，当1n k =+时，左边=()()()()()12111C 2C 3C C 1C 2C m m m m m m m m m k k k m m m k k k ++-++++++++++++ ()()2211C 2C m m k k m k +++=+++，右边()231C m k m ++=+， 而()()22321C 1C m m k k m m +++++-+，()()()()()()()()()()()()()()()()13!2!12!1!2!!2!1312!1!1!2!1!2C m k k k m m k m m k m k m k k m m k m k k m k m k +⎡⎤++=+-⎢⎥+-++-⎢⎥⎣⎦+=+⨯+--+⎡⎤⎣⎦+-++=+-+=+ 因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+，因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立，综合①②可得命题对任意n m ≥均成立．另解：因为()()111C 1C m m k k k m +++=+，所以左边()()()1111211C 1C 1C m m m m m n m m m ++++++=++++++ ()()1111211C C C m m m m m n m ++++++=++++ 又由111C C C k k k n n n ---=+，知2212112111112111221121C C C C C C C C C C C C m m m m m m m m m m m m n n n n n n m m n m m n ++++++++++++++++++++++=+=++==+++=+++ ， 所以，左边=右边．。

2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为 5 ．2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 6 ．那么这组数据的平均数为：3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．|z||z|=|3+4i|==5．故答案为：4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7 ．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．．故答案为：．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3 ．解：向量，+n=，解得7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．解；∵28．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为 3 ．，==9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：则新圆锥和圆柱的体积和为：，解得：故答案为：10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2 ．d=≤时，圆的半径最大为11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．．．=．{={项的和为．故答案为：．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．．故答案为：13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为 4 ．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为 ．答=+：++++++．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．﹣2×2×3×BC=sinC==cosC==sin2C=2sinCcosC=2×16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．y=，利用导数，确定单调性，即可求出当y=，得，y=，∴y′=﹣=（（，，则=0t=10，）时，g′（，t=10=15t=10千米．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．=，=3a=，即有椭圆方程为+y，==，，y+﹣，|PC|=，可得=19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．）+b（﹣）（时，时，﹣．）∪（∈（﹣）在（﹣∞，﹣，+∞）上单调递增，在（﹣，）∪（﹣，+∞）时，f′（）时，（﹣，﹣）+b（﹣）（时，时，，，+∞），）∪（））∪（20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．）证明：∵=2，，，依次构成等比数列；，则（﹣＜，﹣，，t≠0）[＞）在（﹣三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC 于点D．求证：△ABD∽△AEB．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．=2，即，即A=【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．ρsin（θ﹣）．[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．”“x＜，或即原不等式的解集为{x|x≥x=x≥x≥x≥时，原不等式化为，或【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．，＞≤，结合函数）上的单，∴=，=，得，，得=∴cos＜，=，所成两面角的余弦值为）∵=λ==，则===＜，=，＞≤，即λ=＜，的最大值为）上是减函数，此时直线又∵BP==，∴BQ=BP=26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．=6+2++=6+2++=13==6+2++=13+2+++1=k+2++1= +，结论成立；+2=k+2+++，结论成立；+2=k+2++2= +，结论成立；+2=k+2++2= +，结论成立；+2=k+2++2= +，结论成立．。

2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）【2016 江苏（理）】已知集合 A={ - 1, 2, 3, 6} , B={x| - 2 V x V 3}，则 A AB= _____ 【答案】{ - 1, 2}【解析】 解：•••集合 A={ - 1, 2, 3, 6} , B={x| - 2V x V 3}, ••• A n B={ - 1, 2},【2016江苏（理）】复数z= （1+2i ） （3- i ）,其中i 为虚数单位，则z 的实部是 _______ , 【答案】5【解析】 解：z= （1+2i ） （3 - i ） =5+5i , 则z 的实部是5,【答案】2 , I• c =Uw 5 护=顶,【2016江苏(理)】已知一组数据4.7, 4.8, 5.1 , 5.4 , 5.5，则该组数据的方差是 _ 【答案】0.1【解析】 解：•••数据4.7, 4.8, 5.1, 5.4, 5.5的平均数为：—1工=匸(4.7+4.8+5.1+5.4+5.5 ) =5.1,5•该组数据的方差： 2 1 2 2 2 2 2 s=〒[(4.7 -5.1)+ (4.8 -5.1) + ( 5.1 - 5.1) + ( 5.4 -5.1) + ( 5.5 -5.1)]=0.1 ・【2016江苏（理）】函数y= ： 「 ■-的定义域是 【答案】[-3, 11【解析】解：由3 - 2x - x 2%得：x 2+2x - 3包）,解得：x €[ - 3 , 1 ],【2016江苏（理）】如图是一个算法的流程图，则输出的【2016江苏（理）】在平面直角坐标系2X2 y3a= ； b=二2xOy 中，双曲线专■=1的焦距是【解析】解：双曲线 =1中, 的焦距是2 一【答案】9【解析】解：当a=1, b=9时，不满足a> b,故a=5, b=7 ,当a=5, b=7 时，不满足a>b，故a=9, b=5当a=9, b=5时，满足a> b,故输出的a值为9,【2016江苏(理)】将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1 , 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是_____ .【答案】卫【解析】解：将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1, 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，基本事件总数为n=6 0=36,出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10,出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：(4, 6), (6 , 4), (5 , 5), (5 , 6), (6 , 5), (6 , 6),共6 个，•••出现向上的点数之和小于10的概率：4 6 5p=1「—.2【2016江苏(理)】已知｛a n｝是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a2=-3 , S5=10 ,贝U a9 的值是—.【答案】20【解析】解：••• ｛a n｝是等差数列，S n是其前n项和，a1+a22=- 3 , S5=10 , 8］+( a^+d)'二- 3••5托4 ,5哲■尹左10解得a仁-4 , d=3 ,• a9= - 4+8 X3=20.【2016江苏(理)】定义在区间［0 , 3冗］上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是—.【答案】7【解析】解：画出函数y=sin2x与y=cosx 在区间［0, 3 n上的图象如下:【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆‘1+-’ =1 （a> b>0）的2)，由 / BFC=90 ° 可得k BF?k CF= - 1,_：_=- 1=1，2 2 °化简为b2=3a2- 4c2,由b2=a2- c2,即有3c2=2a2,C两点，且/ BFC=90 °则该椭圆的离心率是【解析】解：设右焦点可得B (-丄a,-2即有【答将y=*代入椭圆方程可得=± a，,一），C•-a _,【解析】 解：作出不等式组对应的平面区域，设Z=x 2+y 2，则Z 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方, 由图象知A 到原点的距离最大， 点O 到直线BC : 2x+y - 2=0的距离最小，，即 A （ 2，3），此时 Z =22+32=4+9=13 ,则 z=d 2= 一） 2=十, 故Z 的取值范围是［半,13］, 故答案为：［一，13］.5【2016江苏（理）】设f （ x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间［-1,1） 上,f (x )I 匕【答案】-二，其中a€R ，若f （-吕）=f （半），则f （5a ）的值是【解析】解：f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间［-1, 1） 上, f （x ）=f —= 丄)丐--1 -.7 i +a，ii••• f (5a ) =f (3) =f (- 1) = - 1+-匸x - 2y+4^0【2016江苏（理）】已知实数x , y 满足2>0,则x 2+y 2的取值范围是得r s-2[尸3点O 到直线BC : 2x+y - 2=0的距离_ 2|【答[x - 2^4=0:- ------------【2016江苏（理）】如图，在△ ABC中，D是BC的中点，E, F是AD上的两个三等分点, -.? -.=4, °T? i;=-1,则n的值是 _.【答案】丄s【解析】解：•/ D是BC的中点，E, F是AD上的两个三等分点,••• ¥=□+『. 卜=-二+5 ,「= .1-0+3 I', = - U1+3 ',.•.干？飞=：卩2-「2=- i,'；? '「.=9 下2-辰¥=4,s 8：r| —■ | —■冃|| jw | iH又•••i+2| I , ： =- +2，,【2016江苏(理)】在锐角三角形ABC中，若sin A=2si nBsi nC，贝U tan Ata nBta nC的最小值是____ .【答案】8【解析】解：由sinA=sin ( n- A) =sin (B+C ) =sinBcosC+cosBsinC , sinA=2sinBsinC , 可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC ,①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB>0, cosC>0,在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC ,又tanA= - tan ( n- A) = - tan (B+C ) = ------------- ------------- --- ② ,1 - tanBtanC门■ ' ?tanBtanC ,1 一t anBtanC由 tan B+ta nC=2ta nBta nC 可得 tan Ata nBta nC=-令 tanBtanC=t ，由 A , B , C 为锐角可得 tanA >0, tanB >0, tanC > 0, 由② 式得1 - tanBtanC V 0,解得t > 1,:■、解答题（共6小题，满分90分）4TT【2016江苏（理）】在厶ABC 中，AC=6 , cosB —, C^ .5 4（1 ）求AB 的长； （2）求cos （A -丄）的值.6【2016江苏（理）】如图，在直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1中，D , E 分别为AB , 点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D 丄A 1F , A 1C 1丄A 1B 1.求证： （1）直线DE //平面A 1C 1F ;（2）平面B 1DE 丄平面A 1C 1F .2=- Rtan Ata nBta nC=-（丄迪21「由 t>1 2 * *得,-严= 因此tanAtanBtanC 的最小值为8,当且仅当t=2时取到等号，此时 tanB+tanC=4 , tanBtanC=2, 解得 tan B=2+ 工，tan C=2—『.，ta nA=4 ,（或 tanB , ta nC 互换），此时 A , B , C 均为锐角. …cos 则 tan Ata nBta nC=-2 (tat^BtanC ) 2 1 一t anBtanCBC 的中点,sinB=【解析】解：(1) •/ D, E分别为AB , BC的中点，••• DE为仏ABC的中位线，••• DE // AC ,••• ABC - A1B1C1 为棱柱，•AC // A1C1,•DE // A1C1,•/ A1C1?平面A1C1F,且DE?平面A1C1F,•DE // A1C1F;(2)T ABC - A1B1C1 为直棱柱，•AA 1 丄平面A1B1C1,•AA 1 丄A1C1,又T A1C1 丄A1B1，且AA 1A A1B1=A1, AA1、A1B1?平面AA1B1B,•A1C1 丄平面AA1B1B,•/ DE // A1C1,•DE 丄平面AA1B1B, 又••• A1F?平面AA 1B1B,•DE 丄A1F,又T A1F丄B1D, DE A B1D=D，且DE、B1D?平面B1DE,•A1F丄平面B1DE , 又T A1F?平面A1C1F, •平面B1DE丄平面A1C1F .【2016江苏(理)】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P -A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD - A1B1C1D1 (如图所示)，并要求正四棱柱的高010是正四棱锥的高PO1的4倍.(1 )若AB=6m , P01=2m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当P01为多少时，仓库的容积最大？【解析】 解：(1) •/ PO i =2m ，正四棱柱的高 010是正四棱锥的高 PO 1的4倍. /• 0i 0=8m ,•••仓库的容积 V=2>62>2+62^8=312m 3,3(2 )若正四棱锥的侧棱长为 6m , 设 P01=xm ，则 010=4xm ， A 101= I - m ，A 1B 1= 下，-m ,则仓库的容积 V=g X(近剤 3" /)2?x+ (近勾36— F ) 2?4X =—^X 3+312X , (O v x3 「「■3v 6),• V = - 26X 2+312 , ( O v x v 6),当 O v x v 2.时，V'> 0, V ( x )单调递增； 当2 ：;v x v 6时，V'v 0, V (x )单调递减； 故当x=2 一时，V (x )取最大值； 即当P01=2 . _；m 时，仓库的容积最大.【2016江苏(理)】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以M 为圆心的圆M : x 2+y 2- 12x - 14y+60=0 及其上一点 A (2, 4).(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线x=6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于 0A 的直线I 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC=0A ，求直线I 的方程； M 上的两点P 和Q ,使得•：+“「=• i.i,求实数t 的取值【解析】 解：(1) ••• N 在直线x=6上，•设N (6, n ),•••圆 N 与 x 轴相切，•••圆 N 为：(x - 6) 2+ (y - n ) 2=n 2, n >0,又圆 N 与圆 M 外切，圆 M : x 2+y 2 - 12x - 14y+60=0，即圆 M : ((x - 6) 2+ (x - 7) 2=25 , • |7 — n|=|n|+5，解得 n=1 ,•••圆N 的标准方程为(x - 6) 2+ (y - 1) 2=1. (2)由题意得 0A=2 口，k °A =2，设 I : y=2x+b ,则圆心M 到直线l 的距离:解得b=5或b= - 15,•直线l 的方程为：y=2x+5或y=2x - 15.(3)设点T (t , 0)满足：存在圆 则 |BC|=2 •.辭BC=2「，，即(3) IN I ^ = li,即 T 】_T 「 一“ 即「〔Fl Ml ，I I 4=I ：' ' I '，又底Ho ,即J (我—2］打牡削，解得t €［2 - 2阿,2+2阿］, 对于任意t€［2 - 2阿,2+2届］，欲使冠二而，此时，I 丑鬥0, 只需要作直线TA 的平行线，使圆心到直线的距离为必然与圆交于P 、Q 两点，此时|」=|川，即Z — ll.i,因此实数t 的取值范围为t €［2 - 2「, 2+2.「］,. 【2016江苏(理)】已知函数 (1 )设 a=2, b=_.2① 求方程f (x ) =2的根； ② 若对于任意x€R ,不等式f (2)若 0v a v 1, b > 1，函数 【解析】解：(1 )设 a=2, f (x ) =a x +b x (a >0, b > 0, a 为,b 为).(2x )湘f ( x )- 6恒成立，求实数 m 的最大值； g (x ) =f (x ) - 2有且只有1个零点，求ab 的值.函数 f (x ) =a x +b x (a >0, b >0, a 鬥，b ^l ).b=-.2①方程f (x ) =2;即: =2，可得 x=0 .②不等式f (2x )初f (x )- 6恒成立，即-二2钥令t=^十丄，t 支.2K不等式化为：t 2- mt+4为在t 呈时，恒成立.可得：△<)或L 22-2inl-4>0即：m 2 - 160或m 詔， m € (-汽 4]. 实数m 的最大值为：4.(2) g (x ) =f (x )- 2=a x +b x - 2,ag'(x ) =ax In a+bx In b=ax|丄nr],0 v a v 1, b > 1 可得一-•,令 h(x ) = 1—则h (x )是递增函数，而，Ina v 0, Inb >0，因此，X0=__-lnbaIna+lnb ,1时，h (x 0) =0,)-6恒成立.湘(_x因此 x € (—a, x o )时，h (x )v 0, a Inb > 0,贝 U g' (x )v 0. x € (x o , + a)时，h (x )> 0, a x lnb >0,则 g'(x ) > 0, 则g (x )在(-a, x 0)递减，(x 0, + a)递增，因此g ( x )的最小值为：g (x 0). ①若 g (x 0)v 0, x v Iog a 2 时，a x > _ "、=2, b x > 0，则 g (x ) > 0,因此 x i v Iog a 2,且 x i v x 0时，g (x i )> 0,因此 g (x )在(x i , x 0)有零点, 则g (x )至少有两个零点，与条件矛盾.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 对任意正整数 k (1惑000),若T?｛1 , 2,…，k ｝，求证：S T v &+1 ； (3) 设 C? U , D? U , S C 爲D ，求证：S C +S CP 壹S D . 【解析】 解：(1 )当 T=｛2 , 4｝时，S T =a 2+a 4=a 2+9a 2=30 , 因此a 2=3，从而a 1= . =1, 故 a n =3n 1,(3 )设 A=?C ( C A D ), B=?D ( C A D ),则 A AB= ?,分析可得 S C =S A +S CAD , S D =S B +S CPD ,贝y S C +S CAD — 2S D =S A — 2S B , 因此原命题的等价于证明 S C^S B ,由条件S C ^S D ,可得S A 爲B ,① 、若 B=?,贝U S B =0 ,故 S A 支S B ,② 、若B 老,由S A ^S B 可得A 老,设A 中最大元素为I , B 中最大元素为 m , 若m 半1 ,则其与S Av a i+1毛m<S B 相矛盾，因为A AB=?,所以I 剂,则I 初+1 ,综上所述,S A 丝S B , 故 S C +S C PD 丝S D .附加题【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区 域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.A .【选修4—1几何证明选讲】②若g (x 0)> 0，函数g (x ) =f (x )— 2有且只有1个零点，g (x )的最小值为g (x o ),可得 g (x o ) =0 ,由g (0) =a 0 . 0 i +b—2=0 , 因此 x 0=0 , 因此 1□电a可得ab=1.=0,F 1，即lna+lnb=0,In (ab ) =0, ab=1 .【2016江苏(理)】记U={1 , 2, 定义 S T =0 ；若 T={t 1, t 2,…，t k }, …，100}，对数列{a n } (n€N ) 和U 的子集若 T=?,定义S T = I 一 兀LS T =a 1+a 3+a 66.现设｛a n ｝ (n€N )是公比为3的等比数列，且当 T=｛2 , 4｝时，S T =30.+a t+ •• +二+ .例如：T=｛1 , 3, 66}时,(2)2 k — 1S T OH +a 2+ --a k =1+3+3 + --+3~_12~kv 3 =a k+1 S B<a 1+a 2+-a m =1+3+32+1a»+l2 =2即S A 支S ,【2016江苏（理）】如图，在△ ABC中，/ ABC=90 ° BD丄AC, D为垂足，E为BC的中点，求证：/ EDC= / ABD .因为E为BC的中点，所以DE=CE=2B C,2则：/ EDC= / C,由/ BDC=90 ° 可得 / C+Z DBC=90 ° 由Z ABC=90 ° 可得Z ABD+ Z DBC=90 ° 因此Z ABD= Z C,而Z EDC= Z C, 所以，Z EDC=Z ABD .B.【选修4—2:矩阵与变换】点，求线段AB的长.【2016江苏（理）】已知矩阵A=_ 1，矩阵B的逆矩阵B14，求矩阵AB .0 2【解析】解: _1•/ B 11"I0 2• B= (B••• AB=1 20 -212 i=2 20 12 20!=2，又A=1 20 -2C.【选修4—4: 坐标系与参数方程】【2016江苏（理）】在平面直角坐标系xOy中，已知直线I的参数方程为参数），椭圆C的参数方程为（0为参数），设直线I与椭圆C相交于A , B两(t为• |AB|=—「「，， I 二.【2016 江苏(理)】设 a >0, |x — 1|<—, |y — 2|v 卫，求证：|2x+y — 4|v a .、〒口口 亠 一、cI_ _,1 一巴【 -- ---- ------- -- --- 3可得 |2x+y — 4|=|2 (x — 1) + (y — 2) |则 |2x+y — 4|v a 成立.附加题【必做题】【2016江苏(理)】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l : x — y — 2=0,抛物线C :2y =2px ( p > 0).(1) 若直线I 过抛物线C 的焦点，求抛物线 C 的方程； (2) 已知抛物线 C 上存在关于直线I 对称的相异两点 P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2— p , — p );x - y - 2=0,「.l 与x 轴的交点坐标(2, 0), 0).2s !+ a 33€|x — l|+|y - 2|V =a ,由.\=<os 日L y=2sin6，得2两式平方相加得V3^-y-后Q联立，解得• 「.7【解析】证明：由a >0, |x — 1|v 寻|y - 2|v 冷,Jo代入①并整理得， )-:I.【解析】解:2 •••抛物线C: y =8x.又••• P , Q 关于直线l 对称,.线段PQ 的中点坐标为（2—p ,_ p ）;②因为Q 中点坐标（2 — p , — p ）.(n+1) C一( 3X2X144X3X2X1=7>20_ 4 X 35=0.证明：(2)对任意m €N *,① 当 n=m 时，左边=(m+1) C ：=m+1 , 右边=（m+1） C ：；；=m+1，等式成立.② 假设n=k （k 湘）时命题成立， 即（m+1）C +（ m+2）C +（ m+3）JILJl+LC 加+"k Ct-i +（ k+1）C, =（ m+1）C ：：；，f 2 Vi,k _叮 ■ y丫2,kPQ 一yJ -: y2 屮yj I 2p _2p即:(2)证明：①设点 P (X 1 , y i ) , Q (X 2, y 2),贝U ：码 2二y 22=Zpx 2又PQ 的中点在直线l 上，2填=2 - p ,2占y]4r 2="死旳+ y © yi 2-Fy 23=8p-4p 2yi +y £= -2p y 1/2=4p，即关于y 2+2py+4p 2_ 4p=0，有两个不相等的实数根,2 2•••△ > 0, (2p ) — 4 (4p — 4p )> 0,【2016江苏（理）】（1）求7C ： —4C 卡的值; (2)设 m , n€N *, n >n ,求证：(m+1) C：+(m+2 )C +(m+3 )C+・・+nC | +n ' Ik PQ = — 1，即 y 1+y 2= — 2p ,\17 1当n=k+1时，=(^ft) C ；：；+ (kf2) c£i ，右边=；：」二春左边=(m+1)+ (m+3) ，■二 +(m+2V J1L + (k+1) + (k+2)•••（毗C 豔-（讯）C 常[k+3 -( k — m+1)]=(k+2)c 角, ](nrl-2) ! (k _ ID ) I•'•(讨1) C?：* (k+2)蹲十1 =(m+1) i ：一 ：,•••左边=右边， ••• n=k+1时，命题也成立，• m , n€N *, ng ( m+1) C 二 + ( m+2) C 血 a+1+ (m+3 )C=+・・+nC 九’n~ 1+ (n+1) C 二=n (m+1 ) C ])L +2 n+2 2016年江苏省高考数学试卷（共14小题，每小题5分，满分70分） 1. 2. 、填空题【2016 江苏（理）】已知集合 A={ - 1 , 2, 3, 6} , B={x| - 2< x V 3},则 A A B= 【2016江苏（理）】复数z=（ 1+2i ）（ 3 - i ）,其中i 为虚数单位，则z 的实部是 3. 2【2016江苏（理）】在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线专■- =1的焦距是 4. ____________________________________________________________________________ 【2016江苏（理）】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4, 5.5,则该组数据的方差是_________________ 5. 【2016江苏（理）】函数y= ：「 .-的定义域是 _______________7.【2016江苏（理）】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1, 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩具） 先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ____________28【2016江苏（理）】已知｛a n ｝是等差数列，S 是其前n 项和，若a 1+a 2 = - 3, S 5=10，则 a 9的值是 __________________ .9. [ 2016江苏（理）】定义在区间[0 , 3冗]上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象的交点 个数是 _____________ . T2肿10.[2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆—亠 =1 （a >b > 0）a 2b 2的右焦点，直线y=^与椭圆交于B , C 两点，且/ BFC=90 °则该椭圆的离心率2-2y+4>0y 满足伍+y - 2>0 ，则x 2+y 2的取值范围3x-y- 3<Q是 _____________ .13. [2016江苏（理）】如图，在△ ABC 中，D 是BC 的中点，E , F 是AD 上的两个三等分6.【2016江苏（理）】如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是 ______________（X ）=，其中a 灵若（（*）=心），则（（5a ）的值是12. [2016江苏（理）】已知实数X , 是.11. [2016江苏（理）】设f （x ）是定义在 R 上且周期为2的函数，在区间[-1 , 1） 上, f点，•⑦「=4,丨=-1,贝U卜.？』的值是14. ____________ 【2016江苏（理）】在锐角三角形值是 . 二、解答题（共6小题，满分90分）47T 15. 【2016 江苏（理）】在厶 ABC 中，AC=6，cosB==，C=一 .5 4 （1 ）求AB 的长；TT（2 ）求 cos （A - 一）的值.616. 【2016江苏（理）】如图，在直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1中，D , E 分别为AB , BC 的中点, 点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D 丄A 1F , A 1C 1丄A 1B 1 .求证： （1） 直线 DE // 平面 A 1C 1F ; （2） 平面B 1DE 丄平面A 1C 1F .17. 【2016江苏（理）】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱 锥P - A 1B 1C 1D 1,下部的形状是正四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 （如图所示），并要求正四棱柱 的高010是正四棱锥的高 PO 1的4倍.（1 ）若AB=6m , PO 1=2m ，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为 6m ,则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ABC 中，若 sinA=2sinBsinC ，则 tanAtanBtanC 的最小AG2 2 18. 【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M : x +y-12x - 14y+60=0 及其上一点 A （2, 4）.(1) 设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；(2) 设平行于OA的直线I与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线I的方程；(3) 设点T( t, 0)满足：存在圆M上的两点P和Q,使得订|+「=Ti,求实数t的取值①求方程f (x) =2的根；②若对于任意x€R,不等式f (2x)湘f ( x)- 6恒成立，求实数m的最大值；(2)若O v a v 1, b> 1，函数g (x) =f (x)- 2有且只有1个零点，求ab的值.20. 【2016江苏(理)】记U=｛1 , 2,…，100｝，对数列｛a n｝(n3*)和U的子集T,若T=?,S T=a1+a3+a66.现设｛a n｝(n€N )是公比为3的等比数列，且当T=｛2 , 4｝时，S T=30.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)对任意正整数k (1惑O00),若T?｛1 , 2,…，k｝，求证：S T v e k+1 ；(3)设C? U , D? U , S C^S D，求证：S C+S CPD ^2S D.附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A .【选修4—1几何证明选讲】21. 【2016江苏(理)】如图，在△ ABC中，/ ABC=90 ° BD丄AC , D为垂足，E为BC的中点，求证：/ EDC= / ABD .C.【选修4—4:坐标系与参数方程】(a> 0, b > 0, a 力,b 詞).定义S T=0；若T={t 1 , t2, …，t k}，定义ST p%+%+ ••+*.例如: T={1 , 3, 66}时,B.【选修4—2:矩阵与变换】r 1222. 【2016江苏(理)】已知矩阵A=,矩阵B的逆矩阵B-1= I 2 ,求矩阵AB .0 2已知函数f( x) =a x+b x23. 【2016江苏（理）】在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线I 的参数方程为(2)设 m , n€N , n 身m ,求证：(m+1) C 7L + (m+2) HL (n+1) CI d为参数），椭圆C 的参数方程为.（0为参数），设直线I 与椭圆C 相交于A , B 两点，求线段AB 的长. 24.【2016江苏（理）】 设 a >0，|x - 1|^，|y -2心，求证:|2x+y - 4|< a . 附加题【必做题】25.【2016江苏（理）】 2C : y =2px （ p > 0）.（1）若直线I 过抛物线 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线I : x - y - 2=0 ,抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程;（2）已知抛物线C 上存在关于直线I 对称的相异两点①求证：线段PQ 的中点坐标为（2- p , - p ）;(1)求 7C : -4C(tC ' +(m+3 )C;+・・+nC r - n - I【解析】解：（1）•••△ ABC中，cosB=」,。

2016年江苏数学高考试卷含答案和解析D7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______．8．（5分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是______．9．（5分）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx的图象的交点个数是______．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F 是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是______．11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是______．12．（5分）已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是______．13．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是______．14．（5分）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．17．（14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O 是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．20．（16分）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t 1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n ∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D ≥2S D．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B﹣1=，求矩阵AB．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．24．设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．附加题【必做题】25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p ＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．26．（10分）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m，n∈N *，n≥m，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．2016年江苏数学参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B={﹣1，2} ．【分析】根据已知中集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，结合集合交集的定义可得答案．【解答】解：∵集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={﹣1，2}，故答案为：{﹣1，2}【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是5．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i，则z的实部是5，故答案为：5．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是2．【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线﹣=1的焦距．【解答】解：双曲线﹣=1中，a=，b=，∴c==，∴双曲线﹣=1的焦距是2．故答案为：2．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础．4．（5分）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是0.1．【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，∴该组数据的方差：S 2=[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．故答案为：0.1．【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．5．（5分）函数y=的定义域是[﹣3，1] ．【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案．【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，解得：x∈[﹣3，1]，故答案为：[﹣3，1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．6．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5 当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为：9【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为n=6×6=36，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6个，∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．8．（5分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是20．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a9的值．【解答】解：∵{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，∴，解得a1=﹣4，d=3，∴a9=﹣4+8×3=20．故答案为：20．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx的图象的交点个数是7．【分析】画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象即可得到答案．【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．故答案为：7．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象是关键，属于中档题．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F 是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是．【分析】设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a，可得B（﹣a，），C（a，），由∠BFC=90°，可得k BF•k CF=﹣1，即有•=﹣1，化简为b2=3a2﹣4c2，由b2=a2﹣c2，即有3c2=2a2，由e=，可得e 2==，可得e=，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是﹣．【分析】根据已知中函数的周期性，结合f（﹣）=f（），可得a值，进而得到f（5a）的值．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a，f（）=f（）=|﹣|=，∴a=，∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a值，是解答的关键．12．（5分）已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是[，13]．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，由图象知A到原点的距离最大，点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离最小，由得，即A（2，3），此时z=22+32=4+9=13，点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离d==，则z=d 2=（）2=，故z的取值范围是[，13]，故答案为：[，13]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．13．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．【分析】由已知可得=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，=+2，=﹣+2，结合已知求出2=，2=，可得答案．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD 上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，故答案为：【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．14．（5分）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8．【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC 可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC ＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA ＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角，∴sinA=，∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1，据此可得直线DE∥平面A1C1F1；（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F ⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F．【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，∴DE∥A1C1F；（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE∥A1C1，∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F⊂平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大．17．（14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O 是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？【分析】（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，可得PO1=2m时，O1O=8m，进而可得仓库的容积；（2）设PO 1=xm，则O1O=4xm，A1O1=m，A 1B1=•m，代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值．【解答】解：（1）∵PO1=2m，正四棱柱的高O1O 是正四棱锥的高PO1的4倍．∴O1O=8m，∴仓库的容积V=×62×2+62×8=312m3，（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，设PO1=xm，则O 1O=4xm，A1O1=m，A1B1=•m，则仓库的容积V=×（•）2•x+（•）2•4x=x3+312x，（0＜x＜6），∴V′=﹣26x2+312，（0＜x＜6），当0＜x＜2时，V′＞0，V（x）单调递增；当2＜x＜6时，V′＜0，V（x）单调递减；故当x=2时，V（x）取最大值；即当PO 1=2m时，仓库的容积最大．【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．【分析】（1）设N（6，n），则圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，从而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圆N的标准方程．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d=，由此能求出直线l的方程．（3）=，即||=，又||≤10，得t∈[2﹣2，2+2]，对于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，由此能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）2+（y ﹣n）2=n2，n＞0，又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（（x﹣6）2+（x﹣7）2=25，∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d==，则|BC|=2=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=﹣15，∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）=，即，即||=||，||=，又||≤10，即≤10，解得t∈[2﹣2，2+2]，对于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，此时，||≤10，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于P、Q两点，此时||=||，即，因此实数t的取值范围为t∈[2﹣2，2+2]，．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．19．（16分）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．【分析】（1）①利用方程，直接求解即可．②列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可．（2）求出g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，求出函数的导数，构造函数h（x）=+，求出g（x）的最小值为：g（x0）．同理①若g（x0）＜0，g （x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，利用函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，推出g（x0）=0，然后求解ab=1．【解答】解：函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a ≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①方程f（x）=2；即：=2，可得x=0．②不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，即≥m（）﹣6恒成立．令t=，t≥2．不等式化为：t2﹣mt+4≥0在t≥2时，恒成立．可得：△≤0或即：m2﹣16≤0或m≤4，∴m∈（﹣∞，4]．实数m的最大值为：4．（2）g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，g′（x）=a x lna+b x lnb=a x[+]lnb，0＜a＜1，b＞1可得，令h（x）=+，则h（x）是递增函数，而，lna＜0，lnb＞0，因此，x0=时，h（x0）=0，因此x∈（﹣∞，x0）时，h（x）＜0，a x lnb＞0，则g′（x）＜0．x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，a x lnb＞0，则g′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，x0）递减，（x0，+∞）递增，因此g（x）的最小值为：g（x0）．①若g（x 0）＜0，x＜log a2时，a x＞=2，b x ＞0，则g（x）＞0，因此x1＜log a2，且x1＜x0时，g（x1）＞0，因此g （x）在（x1，x0）有零点，则g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，g（x）的最小值为g（x0），可得g（x0）=0，由g（0）=a0+b0﹣2=0，因此x 0=0，因此=0，﹣=1，即lna+lnb=0，ln（ab）=0，则ab=1．可得ab=1．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．20．（16分）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t 1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n ∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D ≥2S D．【分析】（1）根据题意，由S T的定义，分析可得S T=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由S T的定义，分析可得S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，进而分析可以将原命题转化为证明S C≥2S B，分2种情况进行讨论：①、若B=∅，②、若B≠∅，可以证明得到S A≥2S B，即可得证明．【解答】解：（1）当T={2，4}时，S T=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，从而a1==1，故a n=3n﹣1，（2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=a k+1，（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，分析可得S C=S A+S C∩D，S D=S B+S C∩D，则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B，因此原命题的等价于证明S C≥2S B，由条件S C≥S D，可得S A≥S B，①、若B=∅，则S B=0，故S A≥2S B，②、若B≠∅，由S A≥S B可得A≠∅，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若m≥l+1，则其与S A＜a i+1≤a m≤S B相矛盾，因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，S B≤a1+a2+…a m=1+3+32+…+3m﹣1=≤=，即S A≥2S B，综上所述，S A≥2S B，故S C+S C∩D≥2S D．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．【分析】依题意，知∠BDC=90°，∠EDC=∠C，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，可得∠ABD=∠C，从而可证得结论．【解答】解：由BD⊥AC可得∠BDC=90°，因为E为BC的中点，所以DE=CE=BC，则：∠EDC=∠C，由∠BDC=90°，可得∠C+∠DBC=90°，由∠ABC=90°，可得∠ABD+∠DBC=90°，因此∠ABD=∠C，而∠EDC=∠C，所以，∠EDC=∠ABD．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C是关键，属于中档题．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B﹣1=，求矩阵AB．【分析】依题意，利用矩阵变换求得B=（B﹣1）﹣1==，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．【解答】解：∵B﹣1=，∴B=（B﹣1）﹣1==，又A=，∴AB==．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．24．设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证．【解答】证明：由a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜+=a，则|2x+y﹣4|＜a成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．附加题【必做题】25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p ＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（2）：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），通过抛物线方程，求解k PQ，通过P，Q关于直线l对称，点的k PQ=﹣1，推出，PQ的中点在直线l 上，推出=2﹣p，即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②利用线段PQ中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出，得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围．【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0），即抛物线的焦点坐标（2，0）．∴，∴抛物线C：y2=8x．（2）证明：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则：，即：，k PQ==，又∵P，Q关于直线l对称，∴k PQ=﹣1，即y1+y2=﹣2p，∴，又PQ的中点在直线l上，∴==2﹣p，∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②因为Q中点坐标（2﹣p，﹣p）．∴，即∴，即关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，∴△＞0，（2p）2﹣4（4p2﹣4p）＞0，∴p∈．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．26．（10分）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m，n∈N *，n≥m，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7的值．（2）对任意m∈N*，当n=m时，验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立，推导出当n=k+1时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【解答】解：（1）7=﹣4×=7×20﹣4×35=0．证明：（2）对任意m∈N*，①当n=m时，左边=（m+1）=m+1，右边=（m+1）=m+1，等式成立．②假设n=k（k≥m）时命题成立，即（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+k+（k+1）=（m+1），当n=k+1时，左边=（m+1）+（m+2）+（m+3）++（k+1）+（k+2）=，右边=∵=（m+1）[﹣]=（m+1）×[k+3﹣（k﹣m+1）]=（k+2）=（k+2），∴=（m+1），∴左边=右边，∴n=k+1时，命题也成立，∴m，n∈N *，n≥m，（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．。

2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分,满分70分）【2016江苏(理）】已知集合A={﹣1，2，3,6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=．【答案】｛﹣1，2｝【解析】解：∵集合A=｛﹣1，2，3，6}，B=｛x｜﹣2＜x＜3}，∴A∩B=｛﹣1，2}，【2016江苏（理）】复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是．【答案】5【解析】解：z=(1+2i）（3﹣i）=5+5i，则z的实部是5，【2016江苏(理）】在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是．【答案】2【解析】解：双曲线﹣=1中，a=，b=，∴c==，∴双曲线﹣=1的焦距是2．【2016江苏（理）】已知一组数据4。

7，4.8，5。

1，5。

4，5.5，则该组数据的方差是．【答案】0。

1【解析】解：∵数据4。

7,4。

8,5.1，5。

4，5。

5的平均数为:=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5。

1,∴该组数据的方差：S2=［（4.7﹣5。

1)2+(4。

8﹣5。

1)2+(5。

1﹣5。

1)2+(5.4﹣5。

1）2+（5.5﹣5。

1)2］=0。

1．【2016江苏(理）】函数y=的定义域是．【答案】［﹣3,1］【解析】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0,解得：x∈[﹣3，1]，【2016江苏（理）】如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．【答案】9【解析】解：当a=1,b=9时，不满足a＞b，故a=5,b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，【2016江苏（理)】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4,5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．【答案】【解析】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次,基本事件总数为n=6×6=36，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：(4，6)，（6，4)，(5，5),（5，6），（6,5），（6，6),共6个，∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1﹣=．【2016江苏（理）】已知{a n｝是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是．【答案】20【解析】解：∵｛a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，∴,解得a1=﹣4，d=3，∴a9=﹣4+8×3=20．【2016江苏（理）】定义在区间［0，3π］上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．【答案】7【解析】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间［0，3π］上的图象如下：由图可知,共7个交点．【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是．【答案】【解析】解：设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a，可得B(﹣a,）,C(a，），由∠BFC=90°，可得k BF•k CF=﹣1,即有•=﹣1，化简为b2=3a2﹣4c2，由b2=a2﹣c2，即有3c2=2a2，由e=,可得e2==，可得e=，【2016江苏（理）】设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R,若f（﹣）=f（），则f(5a)的值是．【答案】﹣【解析】解：f(x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，∴f(﹣）=f（﹣）=﹣+a，f(）=f(）=｜﹣｜=,∴a=，∴f（5a)=f(3）=f(﹣1）=﹣1+=﹣，【2016江苏(理）】已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是．【答案】［,13］【解析】解:作出不等式组对应的平面区域，设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方,由图象知A到原点的距离最大，点O到直线BC:2x+y﹣2=0的距离最小，由得，即A（2，3）,此时z=22+32=4+9=13,点O到直线BC:2x+y﹣2=0的距离d==，则z=d2=（）2=，故z的取值范围是［,13]，故答案为:[，13]．【2016江苏（理）】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点,•=4,•=﹣1，则•的值是．【答案】【解析】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1,•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，【2016江苏（理）】在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．【答案】8【解析】解：由sinA=sin(π﹣A）=sin（B+C)=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0,在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0,解得t＞1,tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，当且仅当t=2时取到等号,此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+,tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．二、解答题（共6小题，满分90分）【2016江苏(理）】在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．(1）求AB的长; （2)求cos（A﹣)的值．【解析】解：（1）∵△ABC中，cosB=,∴sinB=，∵，∴AB==5;（2）cosA=﹣cos(C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角,∴sinA=，∴cos(A﹣）=cosA+sinA=．【2016江苏(理）】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点,点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证:(1)直线DE∥平面A1C1F；（2)平面B1DE⊥平面A1C1F．【解析】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点,∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1,∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，∴DE∥A1C1F；（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B,∵DE∥A1C1,∴DE⊥平面AA1B1B,又∵A1F⊂平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D,且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．【2016江苏（理）】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P ﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？【解析】解：（1）∵PO1=2m，正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．∴O1O=8m，∴仓库的容积V=×62×2+62×8=312m3，（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=m,则仓库的容积V=×(•）2•x+（•）2•4x=x3+312x，（0＜x＜6）,∴V′=﹣26x2+312,(0＜x＜6），当0＜x＜2时,V′＞0，V(x)单调递增；当2＜x＜6时，V′＜0，V（x)单调递减；故当x=2时，V（x）取最大值；即当PO1=2m时，仓库的容积最大．【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:x2+y2﹣12x ﹣14y+60=0及其上一点A（2,4）．(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程;（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=,求实数t的取值范围．【解析】解:（1）∵N在直线x=6上,∴设N（6,n）,∵圆N与x轴相切,∴圆N为：(x﹣6）2+（y﹣n)2=n2,n＞0，又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（(x﹣6）2+（x﹣7)2=25，∴｜7﹣n|=|n｜+5，解得n=1，∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+(y﹣1）2=1．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d==，则|BC｜=2=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=﹣15，∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）=，即，即｜｜=||，|｜=，又||≤10，即≤10，解得t∈［2﹣2，2+2］，对于任意t∈［2﹣2，2+2]，欲使，此时,｜｜≤10，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为,必然与圆交于P、Q两点，此时｜｜=|｜,即，因此实数t的取值范围为t∈［2﹣2，2+2]，．【2016江苏（理）】已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1,b≠1)．(1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf(x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1,b＞1，函数g(x)=f(x)﹣2有且只有1个零点，求ab的值．【解析】解:函数f（x)=a x+b x（a＞0,b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①方程f（x）=2;即:=2，可得x=0．②不等式f(2x)≥mf(x）﹣6恒成立，即≥m（）﹣6恒成立．令t=,t≥2．不等式化为：t2﹣mt+4≥0在t≥2时，恒成立．可得：△≤0或即：m2﹣16≤0或m≤4，∴m∈（﹣∞，4]．实数m的最大值为：4．（2)g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，g′（x）=axlna+bxlnb=ax[+］，0＜a＜1，b＞1可得，令h（x）=+，则h（x）是递增函数，而，lna＜0，lnb＞0，因此，x0=时，h(x0）=0，因此x∈（﹣∞,x0）时，h（x）＜0,a x lnb＞0，则g′（x）＜0．x∈（x0，+∞）时，h(x）＞0，a x lnb＞0,则g′（x）＞0,则g(x）在（﹣∞，x0）递减,（x0，+∞）递增,因此g（x）的最小值为：g（x0)．①若g（x0）＜0，x＜log a2时，a x＞=2,b x＞0，则g（x)＞0，因此x1＜log a2，且x1＜x0时,g(x1）＞0,因此g（x）在(x1，x0）有零点，则g(x)至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，g（x)的最小值为g（x0）,可得g（x0）=0，由g（0）=a0+b0﹣2=0，因此x0=0,因此=0，﹣=1，即lna+lnb=0,ln（ab)=0,则ab=1．可得ab=1．【2016江苏（理)】记U={1，2,…，100}，对数列{a n}(n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0;若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如:T=｛1，3，66｝时，S T=a1+a3+a66．现设｛a n｝（n∈N*）是公比为3的等比数列,且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；(2)对任意正整数k(1≤k≤100），若T⊆｛1，2，…,k}，求证：S T＜a k+1；(3）设C⊆U,D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．【解析】解：(1）当T=｛2，4}时，S T=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3,从而a1==1，故a n=3n﹣1,(2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=a k+1，(3）设A=∁C(C∩D），B=∁D（C∩D),则A∩B=∅，分析可得S C=S A+S C∩D，S D=S B+S C∩D，则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B，因此原命题的等价于证明S C≥2S B，由条件S C≥S D，可得S A≥S B，①、若B=∅，则S B=0，故S A≥2S B，②、若B≠∅，由S A≥S B可得A≠∅,设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若m≥l+1，则其与S A＜a i+1≤a m≤S B相矛盾，因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，S B≤a1+a2+…a m=1+3+32+…+3m﹣1=＜=,即S A≥2S B,综上所述，S A≥2S B,故S C+S C∩D≥2S D．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ▲.2.复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是▲.3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是▲.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是▲.5.函数y =232x x --的定义域是▲.6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是▲.7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是▲.8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是▲.9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是▲.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b +=＞＞0的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

本卷满分为160分。

考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）（ 江苏）已知集合 ﹣ ， ， ， ， ﹣ ＜ ＜ ，则 ．．（ 分）（ 江苏）复数 （ ）（ ﹣ ），其中 为虚数单位，则 的实部是 ．．（ 分）（ 江苏）在平面直角坐标系 中，双曲线﹣ 的焦距是 ．．（ 分）（ 江苏）已知一组数据 ， ， ， ， ，则该组数据的方差是 ．．（ 分）（ 江苏）函数 的定义域是 ．．（ 分）（ 江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的 的值是．．（ 分）（ 江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 ， ， ， ， ， 个点的正方体玩具）先后抛掷 次，则出现向上的点数之和小于 的概率是 ．．（ 分）（ 江苏）已知 是等差数列， 是其前 项和，若 ，则 的值是 ．﹣ ，．（ 分）（ 江苏）定义在区间 ， 上的函数 的图象与 的图象的交点个数是 ．．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中， 是椭圆 （ ＞ ＞ ）的右焦点，直线 与椭圆交于 ， 两点，且∠ ，则该椭圆的离心率是 ．．（ 分）（ 江苏）设 （ ）是定义在 上且周期为 的函数，在区间 ﹣ ， ）上， （ ） ，其中 ∈ ，若 （﹣） （），则 （ ）的值是 ．．（ 分）（ 江苏）已知实数 ， 满足，则 的取值范围是 ．．（ 分）（ 江苏）如图，在△ 中， 是 的中点， ， 是 上的两个三等分点， ， ﹣ ，则 的值是 ．．（ 分）（ 江苏）在锐角三角形 中，若 ，则的最小值是 ．二、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）（ 江苏）在△ 中， ， ， ．（ ）求 的长；（ ）求 （ ﹣）的值．．（ 分）（ 江苏）如图，在直三棱柱 ﹣ 中， ， 分别为 ， 的中点，点 在侧棱 上，且 ⊥ ， ⊥ ．求证：；（ ）直线 ∥平面⊥平面 ．（ ）平面．（ 分）（ 江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部，下部的形状是正四棱柱 ﹣ （如图所示），的形状是正四棱锥 ﹣是正四棱锥的高 的 倍．并要求正四棱柱的高，则仓库的容积是多少？（ ）若 ，（ ）若正四棱锥的侧棱长为 ，则当为多少时，仓库的容积最大？．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，已知以 为圆心的圆 ： ﹣ ﹣ 及其上一点 （ ， ）．（ ）设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上，求圆 的标准方程；（ ）设平行于 的直线 与圆 相交于 、 两点，且 ，求直线 的方程；（ ）设点 （ ， ）满足：存在圆 上的两点 和 ，使得 ，求实数 的取值范围．．（ 分）（ 江苏）已知函数 （ ） （ ＞ ， ＞ ， ≠ ， ≠ ）．（ ）设 ， ．求方程 （ ） 的根；若对于任意 ∈ ，不等式 （ ）≥ （ ）﹣ 恒成立，求实数 的最大值；（ ）若 ＜ ＜ ， ＞ ，函数 （ ） （ ）﹣ 有且只有 个零点，求 的值． ．（ 分）（ 江苏）记 ， ， ， ，对数列 （；若 ， ， ， ，定义∈ ）和 的子集 ，若 ∅，定义．例如： ， ， 时， ．现设 （ ∈ ）是公比为 的等比数列，且当 ， 时， ．（ ）求数列 的通项公式；（ ）对任意正整数 （ ≤ ≤ ），若 ⊆ ， ， ， ，求证： ＜ ； （ ）设 ⊆ ， ⊆ ， ≥ ，求证： ≥ ．附加题【选做题】本题包括 、 、 、 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ．【选修 几何证明选讲】．（ 分）（ 江苏）如图，在△ 中，∠ ， ⊥ ， 为垂足， 为 的中点，求证：∠ ∠ ．【选修 ：矩阵与变换】．（ 分）（ 江苏）已知矩阵 ，矩阵 的逆矩阵 ﹣，求矩阵 ．【选修 ：坐标系与参数方程】．（ 江苏）在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为（ 为参数），椭圆 的参数方程为（ 为参数），设直线 与椭圆 相交于 ， 两点，求线段 的长．．（ 江苏）设 ＞ ， ﹣ ＜， ﹣ ＜，求证： ﹣ ＜ ．附加题【必做题】．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 ： ﹣ ﹣ ，抛物线 ： （ ＞ ）．（ ）若直线 过抛物线 的焦点，求抛物线 的方程；（ ）已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 和 ．求证：线段 的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）；求 的取值范围．．（ 分）（ 江苏）（ ）求 ﹣ 的值；（ ）设 ， ∈ ， ≥ ，求证：（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ．年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）（ 江苏）已知集合 ﹣ ， ， ， ， ﹣ ＜ ＜ ，则 ﹣ ， ．【分析】根据已知中集合 ﹣ ， ， ， ， ﹣ ＜ ＜ ，结合集合交集的定义可得答案．【解答】解：∵集合 ﹣ ， ， ， ， ﹣ ＜ ＜ ，∴ ﹣ ， ，故答案为： ﹣ ，【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．．（ 分）（ 江苏）复数 （ ）（ ﹣ ），其中 为虚数单位，则 的实部是 ．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解： （ ）（ ﹣ ） ，则 的实部是 ，故答案为： ．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ．（ 分）（ 江苏）在平面直角坐标系 中，双曲线﹣ 的焦距是 ．【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线﹣ 的焦距．【解答】解：双曲线﹣ 中， ， ，∴ ，∴双曲线﹣ 的焦距是 ．故答案为： ．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础．．（ 分）（ 江苏）已知一组数据 ， ， ， ， ，则该组数据的方差是 ．【分析】先求出数据 ， ， ， ， 的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据 ， ， ， ， 的平均数为：（ ） ，∴该组数据的方差：（ ﹣ ） （ ﹣ ） （ ﹣ ） （ ﹣ ） （ ﹣ ） ．故答案为： ．【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．．（ 分）（ 江苏）函数 的定义域是 ﹣ ， ．【分析】根据被开方数不小于 ，构造不等式，解得答案．【解答】解：由 ﹣ ﹣ ≥ 得： ﹣ ≤ ，解得： ∈ ﹣ ， ，故答案为： ﹣ ，【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．．（ 分）（ 江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的 的值是 ．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当 ， 时，不满足 ＞ ，故 ， ，当 ， 时，不满足 ＞ ，故 ，当 ， 时，满足 ＞ ，故输出的 值为 ，故答案为：【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．．（ 分）（ 江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 ， ， ， ， ， 个点的正方体玩具）先后抛掷 次，则出现向上的点数之和小于 的概率是．【分析】出现向上的点数之和小于 的对立事件是出现向上的点数之和不小于 ，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于 的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 ， ， ， ， ， 个点的正方体玩具）先后抛掷 次，基本事件总数为 × ，出现向上的点数之和小于 的对立事件是出现向上的点数之和不小于 ，出现向上的点数之和不小于 包含的基本事件有：（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），共 个，∴出现向上的点数之和小于 的概率：﹣ ．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．．（ 分）（ 江苏）已知 是等差数列， 是其前 项和，若 ，则 的值是 ．﹣ ，【分析】利用等差数列的通项公式和前 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出的值．是等差数列， 是其前 项和， ﹣ ， ，【解答】解：∵∴，﹣ ， ，解得﹣ × ．∴故答案为： ．【点评】本题考查等差数列的第 项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．．（ 分）（ 江苏）定义在区间 ， 上的函数 的图象与 的图象的交点个数是 ．【分析】画出函数 与 在区间 ， 上的图象即可得到答案．【解答】解：画出函数 与 在区间 ， 上的图象如下：由图可知，共 个交点．故答案为： ．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数 与 在区间 ， 上的图象是关键，属于中档题．．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中， 是椭圆 （ ＞ ＞ ）的右焦点，直线 与椭圆交于 ， 两点，且∠ ，则该椭圆的离心率是．【分析】设右焦点 （ ， ），将 代入椭圆方程求得 ， 的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣ ，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设右焦点 （ ， ），将 代入椭圆方程可得 ± ± ，可得 （﹣ ，）， （ ，），﹣ ，由∠ ，可得即有 ﹣ ，化简为 ﹣ ，由 ﹣ ，即有 ，由 ，可得 ，可得 ，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣ ，考查化简整理的运算能力，属于中档题．．（ 分）（ 江苏）设 （ ）是定义在 上且周期为 的函数，在区间 ﹣ ， ）上， （ ） ，其中 ∈ ，若 （﹣） （），则 （ ）的值是﹣．【分析】根据已知中函数的周期性，结合 （﹣） （），可得 值，进而得到 （ ）的值．【解答】解： （ ）是定义在 上且周期为 的函数，在区间 ﹣ ， ）上， （ ） ，∴ （﹣） （﹣） ﹣ ，（） （） ﹣ ，∴ ，∴ （ ） （ ） （﹣ ） ﹣ ﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出 值，是解答的关键．．（ 分）（ 江苏）已知实数 ， 满足，则 的取值范围是 ， ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设 ，则 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，由图象知 到原点的距离最大，点 到直线 ： ﹣ 的距离最小，由得，即 （ ， ），此时 ，点 到直线 ： ﹣ 的距离 ，则 （） ，故 的取值范围是 ， ，故答案为： ， ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．．（ 分）（ 江苏）如图，在△ 中， 是 的中点， ， 是 上的两个三等分点， ， ﹣ ，则 的值是．【分析】由已知可得 ， ﹣ ， ， ﹣ ， ， ﹣ ，结合已知求出 ， ，可得答案．【解答】解：∵ 是 的中点， ， 是 上的两个三等分点，∴ ， ﹣ ，， ﹣ ，∴ ﹣ ﹣ ，﹣ ，∴ ， ，又∵ ， ﹣ ，∴ ﹣ ，故答案为：【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档． ．（ 分）（ 江苏）在锐角三角形 中，若 ，则的最小值是 ．【分析】结合三角形关系和式子 可推出，进而得到 ，结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由 （ ﹣ ） （ ） ，，可得 ，由三角形 为锐角三角形，则 ＞ ， ＞ ，在 式两侧同时除以 可得 ，又 ﹣ （ ﹣ ） ﹣ （ ） ﹣ ，则 ﹣ ，由 可得 ﹣，令 ，由 ， ， 为锐角可得 ＞ ， ＞ ， ＞ ，由 式得 ﹣ ＜ ，解得 ＞ ，﹣ ﹣，（） ﹣，由 ＞ 得，﹣≤＜ ，因此 的最小值为 ，当且仅当 时取到等号，此时 ， ，解得 ， ﹣， ，（或 ， 互换），此时 ， ， 均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．二、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）（ 江苏）在△ 中， ， ， ．（ ）求 的长；（ ）求 （ ﹣）的值．【分析】（ ）利用正弦定理，即可求 的长；（ ）求出 、 ，利用两角差的余弦公式求 （ ﹣）的值．【解答】解：（ ）∵△ 中， ，∴ ，∵，∴ ；（ ） ﹣ （ ） ﹣ ﹣．∵ 为三角形的内角，∴ ，∴ （ ﹣） ．【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．．（ 分）（ 江苏）如图，在直三棱柱 ﹣ 中， ， 分别为 ， 的中点，点 在侧棱 上，且 ⊥ ， ⊥ ．求证：；（ ）直线 ∥平面⊥平面 ．（ ）平面【分析】（ ）通过证明 ∥ ，进而 ∥ ，据此可得直线 ∥平面 ； （ ）通过证明 ⊥ 结合题目已知条件 ⊥ ，进而可得平面 ⊥平面 ．【解答】解：（ ）∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ 为△ 的中位线， ∴ ∥ ，∵ ﹣ 为棱柱， ∴ ∥ ， ∴ ∥ ，∵ ⊂平面 ，且 ⊄平面 ， ∴ ∥ ；（ ）∵ ﹣ 为直棱柱， ∴ ⊥平面 ， ∴ ⊥ ，又∵ ⊥ ，且 ， 、 ⊂平面 ， ∴ ⊥平面 ， ∵ ∥ ，，∴ ⊥平面⊂平面 ，又∵，∴ ⊥⊥ ， ，且 、 ⊂平面 ，又∵⊥平面 ，∴⊂平面 ，又∵⊥平面 ．∴平面【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大．．（ 分）（ 江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部，下部的形状是正四棱柱 ﹣ （如图所示），的形状是正四棱锥 ﹣是正四棱锥的高 的 倍．并要求正四棱柱的高，则仓库的容积是多少？（ ）若 ，为多少时，仓库的容积最大？（ ）若正四棱锥的侧棱长为 ，则当是正四棱锥的高 的 倍，可得 时，【分析】（ ）由正四棱柱的高，进而可得仓库的容积；，则 ， ， ，（ ）设代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值．，正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的 倍．【解答】解：（ ）∵，∴∴仓库的容积 × × × ，（ ）若正四棱锥的侧棱长为 ，，设， ， ，则则仓库的容积 ×（ ） （ ），（ ＜ ＜ ），∴ ﹣ ，（ ＜ ＜ ），当 ＜ ＜ 时， ＞ ， （ ）单调递增；当 ＜ ＜ 时， ＜ ， （ ）单调递减；故当 时， （ ）取最大值；时，仓库的容积最大．即当【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档． ．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，已知以 为圆心的圆 ： ﹣ ﹣ 及其上一点 （ ， ）．（ ）设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上，求圆 的标准方程；（ ）设平行于 的直线 与圆 相交于 、 两点，且 ，求直线 的方程；（ ）设点 （ ， ）满足：存在圆 上的两点 和 ，使得 ，求实数 的取值范围．【分析】（ ）设 （ ， ），则圆 为：（ ﹣ ） （ ﹣ ） ， ＞ ，从而得到 ﹣ ，由此能求出圆 的标准方程．，设 ： ，则圆心 到直线 的距离：（ ）由题意得 ，，由此能求出直线 的方程．（ ） ，即 ，又 ≤ ，得 ∈ ﹣ ， ，对于任意 ∈ ﹣ ， ，欲使，只需要作直线 的平行线，使圆心到直线的距离为，由此能求出实数 的取值范围．【解答】解：（ ）∵ 在直线 上，∴设 （ ， ），∵圆 与 轴相切，∴圆 为：（ ﹣ ） （ ﹣ ） ， ＞ ，又圆 与圆 外切，圆 ： ﹣ ﹣ ，即圆 ：（（ ﹣ ） （ ﹣ ） ，∴ ﹣ ，解得 ，∴圆 的标准方程为（ ﹣ ） （ ﹣ ） ．，设 ： ，（ ）由题意得 ，则圆心 到直线 的距离： ，则 ， ，即，解得 或 ﹣ ，∴直线 的方程为： 或 ﹣ ．（ ） ，即，即 ，，又 ≤ ，即≤ ，解得 ∈ ﹣ ， ，对于任意 ∈ ﹣ ， ，欲使，此时， ≤ ，只需要作直线 的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于 、 两点，此时 ，即，因此实数 的取值范围为 ∈ ﹣ ， ，．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．．（ 分）（ 江苏）已知函数 （ ） （ ＞ ， ＞ ， ≠ ， ≠ ）．（ ）设 ， ．求方程 （ ） 的根；若对于任意 ∈ ，不等式 （ ）≥ （ ）﹣ 恒成立，求实数 的最大值；（ ）若 ＜ ＜ ， ＞ ，函数 （ ） （ ）﹣ 有且只有 个零点，求 的值．【分析】（ ） 利用方程，直接求解即可． 列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可．（ ）求出 （ ） （ ）﹣ ﹣ ，求出函数的导数，构造函数 （ ），求出 （ ）的最小值为： （ ）．同理 若 （ ）＜ ， （ ）至少有两个）＞ ，利用函数 （ ） （ ）﹣ 有且只有 个零点，推零点，与条件矛盾． 若 （出 （） ，然后求解 ．【解答】解：函数 （ ） （ ＞ ， ＞ ， ≠ ， ≠ ）．（ ）设 ， ． 方程 （ ） ；即：，可得 ．不等式 （ ）≥ （ ）﹣ 恒成立，即≥ （）﹣ 恒成立．令， ≥ ．不等式化为： ﹣ ≥ 在 ≥ 时，恒成立．可得：△≤ 或即： ﹣ ≤ 或 ≤ ， ∴ ∈（﹣ ， ． 实数 的最大值为： ．（ ） （ ） （ ）﹣ ﹣ ， （ ），＜ ＜ ， ＞ 可得，令 （ ），则 （ ）是递增函数，而， ＜ ， ＞ ，因此，时， （ ） ，因此 ∈（﹣ ， ）时， （ ）＜ ， ＞ ，则 （ ）＜ ． ∈（ ， ）时， （ ）＞ ， ＞ ，则 （ ）＞ ，则 （ ）在（﹣ ， ）递减，（ ， ）递增，因此 （ ）的最小值为： （ ）． 若 （ ）＜ ， ＜ 时， ＞， ＞ ，则 （ ）＞ ，因此 ＜ ，且 ＜ 时， （ ）＞ ，因此 （ ）在（ ， ）有零点， 则 （ ）至少有两个零点，与条件矛盾．若 （ ）＞ ，函数 （ ） （ ）﹣ 有且只有 个零点， （ ）的最小值为 （ ），可得 （ ） ，由 （ ） ﹣ ， 因此 ，因此，﹣，即 ， （ ），则 ．可得 ．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．．（ 分）（ 江苏）记 ， ， ， ，对数列 （ ∈ ）和 的子集 ，若 ∅，定义 ；若 ， ， ， ，定义．例如： ， ， 时， ．现设 （ ∈ ）是公比为 的等比数列，且当 ， 时， ．（ ）求数列 的通项公式；（ ）对任意正整数 （ ≤ ≤ ），若 ⊆ ， ， ， ，求证： ＜ ； （ ）设 ⊆ ， ⊆ ， ≥ ，求证： ≥ ．【分析】（ ）根据题意，由 的定义，分析可得 ，计算可得 ，进而可得 的值，由等比数列通项公式即可得答案；（ ）根据题意，由 的定义，分析可得 ≤﹣，由等比数列的前 项和公式计算可得证明；（ ）设 ∁ （ ）， ∁ （ ），则 ∅，进而分析可以将原命题转化为证明 ≥ ，分 种情况进行讨论： 、若 ∅， 、若 ≠∅，可以证明得到 ≥ ，即可得证明．【解答】解：（ ）当 ， 时， ， 因此 ，从而 ，故﹣，（ ） ≤ ﹣＜ ，（ ）设 ∁ （ ）， ∁ （ ），则 ∅，分析可得 ， ，则 ﹣ ﹣ ， 因此原命题的等价于证明 ≥ ， 由条件 ≥ ，可得 ≥ ， 、若 ∅，则 ，故 ≥ ，、若 ≠∅，由 ≥ 可得 ≠∅，设 中最大元素为 ， 中最大元素为 ， 若 ≥ ，则其与 ＜ ≤ ≤ 相矛盾， 因为 ∅，所以 ≠ ，则 ≥ ，≤ ﹣≤，即 ≥，综上所述， ≥ ， 故 ≥ ．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．附加题【选做题】本题包括 、 、 、 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ．【选修 几何证明选讲】．（ 分）（ 江苏）如图，在△ 中，∠ ， ⊥ ， 为垂足， 为 的中点，求证：∠ ∠ ．【分析】依题意，知∠ ，∠ ∠ ，利用∠ ∠ ∠ ∠，可得∠ ∠ ，从而可证得结论．【解答】解：由 ⊥ 可得∠ ，因为 为 的中点，所以 ，则：∠ ∠ ，由∠ ，可得∠ ∠ ，由∠ ，可得∠ ∠ ，因此∠ ∠ ，而∠ ∠ ，所以，∠ ∠ ．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠ ∠ ∠ ∠ ，证得∠ ∠ 是关键，属于中档题．【选修 ：矩阵与变换】．（ 分）（ 江苏）已知矩阵 ，矩阵 的逆矩阵 ﹣，求矩阵 ．【分析】依题意，利用矩阵变换求得 （ ﹣ ）﹣ ，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．【解答】解：∵ ﹣ ，∴ （ ﹣ ）﹣ ，又 ，∴ ．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题．【选修 ：坐标系与参数方程】．（ 江苏）在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为（ 为参数），椭圆 的参数方程为（ 为参数），设直线 与椭圆 相交于 ， 两点，求线段 的长．【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案．【解答】解：由，由 得，代入 并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴ ．【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．．（ 江苏）设 ＞ ， ﹣ ＜， ﹣ ＜，求证：﹣ ＜ ．【分析】运用绝对值不等式的性质： ≤ ，结合不等式的基本性质，即可得证．【解答】证明：由 ＞ ， ﹣ ＜， ﹣ ＜，可得 ﹣ （ ﹣ ） （ ﹣ ）≤ ﹣ ﹣ ＜ ，则 ﹣ ＜ 成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．附加题【必做题】．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 ：﹣ ﹣ ，抛物线 ： （ ＞ ）．（ ）若直线 过抛物线 的焦点，求抛物线 的方程；（ ）已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 和 ．求证：线段 的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）；求 的取值范围．【分析】（ ）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（ ）： 设点 （ ， ）， （ ， ），通过抛物线方程，求解 ，通过 ， 关于直线 对称，点的 ﹣ ，推出， 的中点在直线 上，推出 ﹣，即可证明线段 的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）；利用线段 中点坐标（ ﹣ ，﹣ ）．推出，得到关于﹣ ，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出 的范围．【解答】解：（ ）∵ ： ﹣ ﹣ ，∴ 与 轴的交点坐标（ ， ）， 即抛物线的焦点坐标（ ， ）． ∴，∴抛物线 ： ．（ ）证明： 设点 （ ， ）， （ ， ），则：，即：，，又∵ ， 关于直线 对称，∴ ﹣ ，即 ﹣ ，∴，又 的中点在直线 上，∴ ﹣ ，∴线段 的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）； 因为 中点坐标（ ﹣ ，﹣ ）．∴，即∴，即关于 ﹣ ，有两个不相等的实数根，∴△＞ ，（ ） ﹣ （ ﹣ ）＞ ，∴ ∈．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．．（ 分）（ 江苏）（ ）求 ﹣ 的值；（ ）设 ， ∈ ， ≥ ，求证：（ ） （ ） （ ）（ ） （ ） ．【分析】（ ）由已知直接利用组合公式能求出 的值．（ ）对任意 ∈ ，当 时，验证等式成立；再假设 （ ≥ ）时命题成立，推导出当 时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ．【解答】解：（ ）﹣ ×× ﹣ × ．证明：（ ）对任意 ∈ ，当 时，左边 （ ） ，右边 （ ） ，等式成立．假设 （ ≥ ）时命题成立，即（ ） （ ） （ ） （ ） （ ），当 时，左边 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ），右边∵（ ） ﹣（ ）× ﹣（ ﹣ ）（ ）（ ），∴ （ ），∴左边 右边，∴ 时，命题也成立，∴ ， ∈ ， ≥ ，（ ） （ ） （ ）（ ） （ ） ．【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．剑影实验学校名师高中部 高一化学第二次月考试卷。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差()2211ni i s x xn ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．棱柱的体积V Sh =，其中S 是棱柱的底面积，h 是高．棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2016年江苏，1，5分】已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则A B =_______．【答案】{}1,2-【解析】由交集的定义可得{}1,2AB =-．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题． （2）【2016年江苏，2，5分】复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是_______． 【答案】5【解析】由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（3）【2016年江苏，3，5分】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是_______．【答案】210【解析】2210c a b =+=，因此焦距为2210c =．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础 （4）【2016年江苏，4，5分】已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是_______． 【答案】0.1【解析】 5.1x =，()22222210.40.300.30.40.15s =++++=．【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用． （5）【2016年江苏，5，5分】函数232y x x =--的定义域是_______． 【答案】[]3,1-【解析】2320x x --≥，解得31x -≤≤，因此定义域为[]3,1-．【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题． （6）【2016年江苏，6，5分】如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是________． 【答案】9【解析】,a b 的变化如下表：a 1 5 9b 9 7 5 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． （7）【2016年江苏，7，5分】将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．【答案】56【解析】将先后两次点数记为(),x y ，则共有6636⨯=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为305366=． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．（8）【2016年江苏，8，5分】已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2123a a +=-，510S =，则9a 的值是_______． 【答案】20【解析】设公差为d ，则由题意可得()2113a a d ++=-，151010a d +=，解得14a =-，3d =，则948320a =-+⨯=．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．（9）【2016年江苏，9，5分】定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是________．【答案】7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数sin 2y x =与cos y x =在区间[]0,3π上的图象是关键，属于中档题．（10）【2016年江苏，10，5分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是________．【解析】由题意得(),0F c ，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭，由90BFC ∠=︒可得 0BF CF ⋅=，2b BF c ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，2b CF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则22231044c a b -+=，由222b a c =-可得 223142c a =，则c e a ==． 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．（11）【2016年江苏，11，5分】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是________．【答案】25-【解析】由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11210a -+=，则35a =，则()()()325311155f a f f a ==-=-+=-+=-．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a 值，是解答的关键．（12）【2016年江苏，12，5分】已知实数,x y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩ 则22x y +的取值范围是________．【答案】4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下：22x y +为可行域内的点到原点距离的平方． 可以看出图中A 点距离原点最近，此时距离为原点A 到直线220x y +-=的距离， d ==，则()22min 45x y +=，图中B 点距离原点最远，B 点为240x y -+=与330x y --=交点，则()2,3B ，则()22max13x y +=．【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键． （13）【2016年江苏，13，5分】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________．【答案】78【解析】令DF a =，DB b =，则DC b =-，2DE a =，3DA a =，则3BA a b =-，3CA a b =+，2BE a b =-，2CE a b =+，BF a b =-，CF a b =+，则229BA CA a b ⋅=-，22BF CF a b ⋅=-， 224BE CE a b ⋅=-，由4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-可得2294a b -=，221a b -=-，因此22513,88a b ==，因此22451374888BE CE a b ⨯⋅=-=-=．【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档． （14）【2016年江苏，14，5分】在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是_______． 【答案】8【解析】由()()sin sin πsin sin cos cos sin A A B C B C B C =-=+=+，sin 2sin sin A B C =，可得sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=（*），由三角形ABC 为锐角三角形，则cos 0,cos 0B C >>， 在（*）式两侧同时除以cos cos B C 可得tan tan 2tan tan B C B C +=，又()()tan tan tan tan πtan 1tan tan B CA ABC B C+=--=-+=--(#)，则tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B CB C+=-⨯-，由tan tan 2tan tan B C B C +=可得()22tan tan tan tan tan 1tan tan B C A B C B C=--，令tan tan B C t =，由,,A B C 为锐角可得tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>， 由(#)得1tan tan 0B C -<，解得1t >，2222tan tan tan 111t A B C t t t =-=---，221111124t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由1t >则211104t t >-≥-，因此tan tan tan A B C 最小值为8， 当且仅当2t =时取到等号，此时tan tan 4B C +=，tan tan 2B C =，解得tan 2tan 2tan 4B C A ===（或tan ,tan B C 互换），此时,,A B C 均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2016年江苏，15，14分】在ABC △中，6AC =，4cos 5B =，π4C =．（1）求AB 的长；（2）求πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．解：（1）4cos 5B =，B 为三角形的内角，3sin 5B ∴=，sinC sin AB ACB =，635=，即：AB = （2）()cos cos sin sin cos cos A C B B C B C =-+=-，cos A ∴=又A为三角形的内角，sin A ∴，π1cos sin 62A A A ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于中档题．（16）【2016年江苏，16，14分】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，FEC BAC 1B 1A 1点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证： （1）直线//DE 平面11A C F ； （2）平面1B DE ⊥平面11A C F ．解：（1）,D E 为中点，DE ∴为ABC ∆的中位线，//DE AC ∴，又111ABC A B C -为棱柱，11//AC AC ∴11//DE AC ∴，又11AC ⊂平面11A C F ，且11DE AC F ⊄，//DE ∴平面11A C F ．（2）111ABC A B C -为直棱柱，1AA ∴⊥平面111A B C ，111AA AC ∴⊥，又1111AC A B ⊥，且1111AA A B A =，111,AA A B ⊂平面11AA B B ，11AC ∴⊥平面11AA B B ，又11//DE AC ，DE ∴⊥平面11AA B B ， 又1A F ⊂平面11AA B B ，1DE A F ∴⊥，又11A F B D ⊥，1DE B D D =，且1,DE B D ⊂平面1B DE ，1A F ∴⊥平面1B DE ，又111A F AC F ⊂，∴平面1B DE ⊥平面11A C F ．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难答不大． （17）【2016年江苏，17，14分】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱 的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍．（1）若6m AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少；（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，仓库的容积最大解：（1）12m PO =，则18m OO =，1111231116224m 33P A B C D ABCD V S PO -⋅=⨯⨯==， 111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -⋅=⨯==，111111113312m =P A B C D ABCD A B C D V V V --+=，故仓库的容积为3312m ． （2）设1m PO x =，仓库的容积为()V x ，则14m OO x =，11A O =，11A B =，()111123331111272224m 3333P A B C D ABCD V S PO x x x x x -⋅=⨯⨯=-=-=，1111233142888m ABCD A B C D ABCD V S OO x x x-⋅=⨯=-=，()()111111113332262428883120633=P A B C D ABCD A B C D V x V V x x x x x x x --+=-+-=-+<<，()()22'263122612V x x x =-+=--()06x <<，当(x ∈时，()'0V x >，()V x 单调递增，当()x ∈时，()'0V x <，()V x单调递减，因此，当x =时，()V x 取到最大值，即1m PO =时，仓库的容积最大．【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档． （18）【2016年江苏，18，16分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+=及其上一点()2,4A ．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；（3）设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．解：（1）因为N 在直线6x =上，设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2226x y n n -+-=，0n >，又圆N 与圆M 外切，圆M ：()()226725x x -+-=，则75n n -=+，解得1n =，即圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=．（2）由题意得OA =2OA k = 设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l的距离d =，则BC ==BC ==解得5b =或15b =-，即l ：25y x =+或215y x =-．（3）TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=，即TA PQ =，(TA t =-10PQ ≤，1A10，解得2t⎡∈-+⎣，对于任意2t⎡∈-+⎣，欲使TA PQ=，此时10TA≤，只需要作直线TA2TAP Q、两点，此时TA PQ=，即TAPQ=，因此对于任意2t⎡∈-+⎣，均满足题意，综上2t⎡∈-+⎣．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．（19）【2016年江苏，19，16分】已知函数()()0,0,1,1x xf x a b a b a b=+>>≠≠．（1）设2a=，12b=．①求方程()2f x=的根；②若对于任意x∈R，不等式()()26f x mf x-≥恒成立，求实数m的最大值；（2）若01a<<，1b>，函数()()2g x f x=-有且只有1个零点，求ab的值．解：（1）①()122xxf x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2f x=可得1222xx+=，则()222210x x-⨯+=，即()2210x-=，则21x=，0x=．②由题意得221122622x xx xm⎛⎫++-⎪⎝⎭≥恒成立，令122xxt=+，则由20x>可得2t=≥，此时226t mt--≥恒成立，即244tm tt t+=+≤恒成立∵2t≥时44tt+=≥，当且仅当2t=时等号成立，因此实数m的最大值为4．（2）()()22x xg x f x a b=-=+-，()ln'ln ln lnlnxx x xa bg x a a b b a bb a⎡⎤⎛⎫=+=+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由01a<<，1b>可得1ba>，令()lnlnxb ah xa b⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()h x递增，而ln0,ln0a b<>，因此lnloglnbaaxb⎛⎫=-⎪⎝⎭时()00h x=，因此()0,x x∈-∞时，()0h x<，ln0xa b>，则()'0g x<；(),x x∈+∞时，()0h x>，ln0xa b>，则()'0g x>；则()g x在()0,x-∞递减，(),x+∞递增，因此()g x最小值为()0g x，① 若()00g x<，log2ax<时，log22axa a>=，0xb>，则()0g x>；x>log b2时，0xa>，log22bxb b>=，则()0g x>；因此1log2ax<且10x x<时，()10g x>，因此()g x在()10,x x有零点，2log2bx>且20x x>时，()20g x>，因此()g x在()02,x x有零点，则()g x至少有两个零点，与条件矛盾；② 若()00g x≥，由函数()g x有且只有1个零点，()g x最小值为()0g x，可得()00g x=，由()00020g a b=+-=，因此x=，因此lnlog0lnbaab⎛⎫-=⎪⎝⎭，即ln1lnab-=，即ln ln0a b+=，因此()ln0ab=，则1ab=．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．（20）【2016年江苏，20，16分】记{}1,2,,100U=．对数列{}n a（*n∈N）和U的子集T，若T=∅，定义0TS=；若{}12,,,kT t t t=，定义12kT t t tS a a a=+++．例如：{}1,3,66T=时，1366TS a a a=++．现设{}n a（*n∈N）是公比为3的等比数列，且当{}2,4T=时，30TS=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数k （1100k ≤≤），若{}1,2,,T k ⊆，求证：1T k S a +<；（3）设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C CDD S S S +≥．解：（1）当{}2,4T =时，2422930T S a a a a =+=+=，因此23a =，从而2113a a ==，13n n a -=． （2）2112131133332k k kT k k S a a a a -+-++=++++=<=≤（3）设()C A C D =，()D B C D =，A B =∅，C A C D S S S =+，D B C DS S S =+， 22C CDD A B S S S S S +-=-，因此原题就等价于证明2A B S S ≥．由条件C D S S ≥可知A B S S ≥． ① 若B =∅，则0B S =，所以2A B S S ≥．② 若B ≠∅，由A B S S ≥可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ，B 中最大元素为m ，若1m l +≥，则由第⑵小题，1A l m B S a a S +<≤≤，矛盾．因为A B =∅，所以l m ≠，所以1l m +≥，211123113332222m m m lA B m a a S S a a a -+-+++=++++=<≤≤≤，即2A B S S >．综上所述，2A B S S ≥，因此2C C D D S S S +≥．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．数学Ⅱ【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答 的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （21-A ）【2016年江苏，21-A ，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，D 为垂足，E 是BC 中点，求证：EDC ABD ∠=∠．解：由BD AC ⊥可得90BDC ∠=︒，由E 是BC 中点可得12DE CE BC ==，则EDC C ∠=∠， 由90BDC ∠=︒可得90C DBC ∠+∠=︒，由90ABC ∠=︒可得90ABD DBC ∠+∠=︒，因此ABD C ∠=∠，又EDC C ∠=∠可得EDC ABD ∠=∠．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C 是关键，属于中档题．（21-B ）【2016年江苏，21-B ，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵1202⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，矩阵B 的逆矩阵111202-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB ．解：()11112124221010222--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B ，因此151121*********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ． 【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题． （21-C ）【2016年江苏，21-C ，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的 参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．解：直线l 0y -，椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=，ECB A联立得22014y y x --=⎨+=⎪⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或17x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此167AB =． 【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．（21-D ）【2016年江苏，21-D 】（本小题满分10分）（选修4-4：不等式选讲）设0a >，13a x -<，23ay -<，求证：24x y a +-<．解：由13a x -<可得2223a x -<，22422233a a x y x y a +--+-<+=≤． 【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．． （22）【2016年江苏，22，10分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线()2:20C y px p =>．（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ．①求证：线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --； ②求p 的取值范围．解：（1）:20l x y --=，∴l 与x 轴的交点坐标为()2,0，即抛物线的焦点为()2,0，22p∴=，28y x ∴=． （2）① 设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则：21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21122222y x p y x p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12221212222PQ y y p k y y y y p p -==+-， 又,P Q 关于直线l 对称，1PQ k ∴=-，即122y y p +=-，122y y p +∴=-，又PQ 中点一定在直线l 上，12122222x x y y p ++∴=+=-，∴线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --； ② 中点坐标为()2,p p --，122212122422y y p y y x x p p +=-⎧⎪∴+⎨+==-⎪⎩即1222212284y y p y y p p +=-⎧⎨+=-⎩，12212244y y p y y p p +=-⎧∴⎨=-⎩， 即关于222440y py p p ++-=有两个不等根，0∴∆>，()()2224440p p p -->，40,3p ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． （23）【2016年江苏，23，10分】（1）求34677C 4C -的值；（2）设*,m n ∈N ，n m ≥，求证：()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m n n n m m m n n m +++-++++++++++=+．解：（1）34677C 4C 7204350-=⨯-⨯=．（2）对任意的*m ∈N ，① 当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+，等式成立， ② 假设()n k k m =≥时命题成立，即()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m k k k m m m k k m +++-++++++++++=+，当1n k =+时，左边=()()()()()12111C 2C 3C C 1C 2C m m m m m mm m m k k k m m m k k k ++-++++++++++++()()2211C 2C m mk k m k +++=+++，右边()231C m k m ++=+，而()()()()()()()()()22323!2!1C 1C 12!1!2!!m m k k k k m m m m k m m k m ++++⎡⎤+++-+=+-⎢⎥+-++-⎢⎥⎣⎦()()()()()()()()()12!1!13122C 2!1!!1!m k k k m k k m k k m k m m k m +++=+⨯+--+=+=+⎡⎤⎣⎦+-+-+ 因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+，因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立，综合①②可得命题对任意n m ≥均成立．另解：因为()()111C 1C m m k k k m +++=+，所以左边()()()1111211C 1C 1C m m m m m n m m m ++++++=++++++()()1111211C C C m m m m m n m ++++++=++++又由111C CCkk k n n n ---=+，知2212112111112111221121C C C C C C C C C C C C m m m m m m m m m m m m n n n n n n m m n m m n ++++++++++++++++++++++=+=++==+++=+++， 所以，左边=右边．【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．。

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数 学Ⅰ注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，均为非选择题（第1题—第20题，共20题）。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的制定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差()2211ni i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑棱柱的体积公式： V =Sh ，其中S 是棱柱的底面积，h 为高. 棱锥的体积公式：V13Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<< 则=A B ________▲________. 2.复数(12i)(3i),z =+- 其中i 为虚数单位，则z 的实部是________▲________.3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是________▲________.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________. 5.函数y =232x x -- 的定义域是 ▲ .6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ .7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=－3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ .10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2b y = 与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 ▲.(第10题)11.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则f （5a ）的值是 ▲ .12. 已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则x 2+y 2的取值范围是 ▲ .13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA ⋅= ，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是 ▲ .14.在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ .二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分） 在ABC △中，AC =6，4πcos .54B C ==， （1）求AB 的长； （2）求πcos(6A -)的值.16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥ .求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .17.（本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A BC D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1OO 是正四棱锥的高1PO 的四倍. (1) 若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4)(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC =OA ,求直线l 的方程；(3) 设点T （t ,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。