山东省淄博市实验中学2015届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

【高三】山东省淄博市届高三上学期期末考试数学理试题 Word版含答案试卷说明：高三教学质量抽测试题理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在试卷和答题卡规定的位置。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（共60分）注意事项：I．第Ⅰ卷共12小题．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分。

一、选择题（本大题共l2小题，每小题5分，满分60分．每小题只有一项是符合题目要求的．）1．设集合，则A．B．C．D．2．复数z满足A．1+3i B． l-3iC．3+ iD．3-i3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A．B．C．D．4．执行如图所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数为A1B．2 C．3 D．45．已知实数ab，则a>b”是“()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知，等比数列，，则A．B．C．D．27．如图所示的三棱柱，其正视图是一个边长为2的正方形，其俯视图是一个正三角形，该三棱柱侧视图的面积为A．B．C．D．48．已知函数①，则下列结论正确的是A．两个函数的图象均关于点B．两个函数的图象均关于直线C．两个函数在区间D．可以将函数②的图像向左平移9．函数10．若为△ABC所在平面内任一点，且满足△ABC的形状为A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形11．下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②某只股票经历了10个跌停（下跌10%）后需再经过10个涨停（上涨10%）就可以回到原来的净值；③某校高三一级部和二级部的人数分别是m、，本次期末考试两级部数学平均分分别，则这两个级部的数学平均分为④某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从l到800进行编号已知从497～513这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组1～16中随机抽到的学生编号是7其中真命题的个数是A0个B．1个C．2个D．3个12已知、B、P是双曲线、B关于坐标原点对称，若直PA、P的斜率乘积A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共10道题．2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷上答题不得分。

淄博实验中学高三年级第一学期第一次诊断考试试题 2015.10数学（人文）第I卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁U A）∩B=（）A.∅B.{x|＜x≤1}C.{x|x＜1}D.{x|0＜x＜1}2．若，其中a，b∈R，则|a＋b i|＝( )．A．＋i B． C． D．3．已知函数，则的值是（）A． B． C． D．4．设R，则“>1”是“>1”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件5．在等差数列和中，，，，则数列的前项和为（）A. B. C. D.6．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是A． B． C． D．7．已知非零向量满足则的夹角为（）A． B． C． D．8．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是 ( )A． B．C． D．9．函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）（A）（B）（C）（D）10．已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：①对于任意，函数是上的减函数；②对于任意，函数存在最小值；③存在，使得对于任意的，都有成立；④存在，使得函数有两个零点．其中正确命题的序号是 ( )．A．①② B．②③ C．②④ D．③④第II卷二、填空题：(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)11．设是周期为的偶函数，当时, ,则12．数列的前80项的和等于．13．已知，则= ．14．计算：＝________．15．有下列命题：①的图象中相邻两个对称中心的距离为；②的图象关于点对称；③关于的方程有且仅有一个实根，则；④命题对任意，都有；则存在，使得.其中真命题的序号是_________________________ .三、解答题：（本大题共6个小题，共75分。

2015年山东省淄博市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z1=1﹣i，z2=1+i，则等于（）A． 2i B．﹣2i C． 2+i D．﹣2+i2．设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={y|y=e x，x∈R}，则A∩B=（）A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（1，2）3．已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜的图象过点，则f（x）的图象的一个对称中心是（）A． B． C． D．4．下列四个结论：其中正确结论的个数是（）①命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件；④若x＞0，则x＞sinx恒成立．A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个5．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A． B．C．D．6．如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的值是（）A． 0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣37．已知函数f（x）=（x﹣1）的三个零点值分别可以作为抛物线、椭圆、双曲线的离心率，则a2+b2的取值范围是（）A．上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，0） C．（0，2） D．（﹣2，0）10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的半焦距为c，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的弦长是be2（e为双曲线的离心率），则e的值为（）A． B． C．或3 D．或二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.12．若函数f（x）=x2+2x+2a与g（x）=|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值，则f（x）dx= ．13．设、、都是单位向量且•=0，则（+）•（+）的最大值为．14．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（Ⅰ）对任意a∈R，a*0=a；（Ⅱ）对任意Ra，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．关于函数f（x）=（e x）*的性质，有如下说法：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为偶函数；③函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0]．其中所有正确说法的序号为．15．已知函数f（x）=，点O为坐标原点，点A n（n，f（n））（n∈N*），向量是向量与的夹角，则的值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．设向量=（sin2ωx，cos2ωx），=（cosφ，sinφ），其中|φ|＜，ω＞0，函数f （x）=的图象在y轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为，在原点右侧与x轴的第一个交点为．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）在△ABC中，角A′B′C的对边分别是a′b′c′若f（C）=﹣1，，且a+b=2，求边长c．17．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，AC=AP=2．（Ⅰ）求证：PC⊥AE；（Ⅱ）求二面角A﹣CE﹣P的余弦值．18．某单位要从甲、乙、丙、丁四支门球队中选拔两支参加上级比赛，选拔赛采用单循环制（即每两个队比赛一场），并规定积分前两名的队出线，其中胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积7分，乙队积1分，丙和丁队各积0分．根据以往的比赛情况统计：乙队胜的概率乙队平的概率乙队负的概率与丙队比赛与丁队比赛注：各队之间比赛结果相互独立．（Ⅰ）选拔赛结束，求乙队积4分的概率；（Ⅱ）设随机变量X为选拔赛结束后乙队的积分，求随机变量X的分布列与数学期望；（Ⅲ）在目前的积分情况下，M同学认为：乙队至少积4分才能确保出线，N同学认为：乙队至少积5分才能确保出线．你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证明）19．表是一个由正数组成的数表，数表中各列依次成等差数列，各行依次成等比数列，且公比都相等．已知a1，1=1，a2，3=8，a3，2=6．（Ⅰ）求数列{a2，n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n和S n．a1，1 a1，2 a1，3 a1，4…a2，1 a2，2 a2，3 a2，4…a3，1 a3，2 a3，3 a3，4…a4，1 a4，2 a4，3 a4，4………………20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值；（Ⅲ）∠PMQ能否为直角？证明你的结论．21．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣．（Ⅰ）证明：当a=1，x＞0时，f（x）＞0；（Ⅱ）若a＞1，讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；（Ⅲ）设n∈N*，比较与n﹣ln（1+n）的大小，并加以证明．2015年山东省淄博市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z1=1﹣i，z2=1+i，则等于（）A． 2i B．﹣2i C． 2+i D．﹣2+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：代入复数，利用复数的代数形式的乘除运算，求解即可．解答：解：∵复数z1=1﹣i，z2=1+i，则====﹣2i．故选：B．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，基本知识的考查．2．设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={y|y=e x，x∈R}，则A∩B=（）A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（1，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．解答：解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即A=（﹣1，3），由B中y=e x＞0，得到B=（0，+∞），则A∩B=（0，3），故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜的图象过点，则f（x）的图象的一个对称中心是（）A． B． C． D．考点：正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得=2sinφ，结合（|φ|＜可得φ的值，由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则可求f（x）的图象的一个对称中心．解答：解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜的图象过点，∴=2sinφ，由（|φ|＜，可得：φ=∴f（x）=2sin（2x+），∴由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则f（x）的图象的一个对称中心是．故选：B．点评：本题主要考查了正弦函数的对称性，属于基本知识的考查．4．下列四个结论：其中正确结论的个数是（）①命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件；④若x＞0，则x＞sinx恒成立．A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个考点：复合命题的真假；命题的否定．专题：简易逻辑．分析：①利用命题的否定定义即可判断出真假；②利用逆否命题的定义即可判断出真假；③利用复合命题真假的判定方法、充要条件的判定方法即可判断出真假；④若x＞0，令f（x）=x﹣sinx，则f′（x）=1﹣cosx≥0，即可函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，即可判断出真假．解答：解：①命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，正确；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”，正确；③“命题p∨q为真”，则p与q中至少有一个为真命题，取p真q假时，“命题p∧q为真”为假命题，反之：若“命题p∧q为真”，则p与q都为真命题，因此“命题p∨q为真”，∴“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件，因此是假命题；④若x＞0，令f（x）=x﹣sinx，则f′（x）=1﹣cosx≥0，因此函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，则x＞sinx恒成立，正确．综上只有①②④是真命题．故选：C．点评：本题考查了简易逻辑的判定方法、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力，属于中档题．5．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A． B．C． D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）=x+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．解答：解：由于f（x）=x+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，故选：A．点评：本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题．6．如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的值是（）A． 0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：利用循环结构，直到条件不满足退出，即可得到结论．解答：解：执行一次循环，y=0，x=0；执行第二次循环，y=﹣1，x=﹣2；执行第三次循环，y=﹣2，满足条件，退出循环故选C点评：本题考查循环结构，考查学生的计算能力，属于基础题．7．已知函数f（x）=（x﹣1）的三个零点值分别可以作为抛物线、椭圆、双曲线的离心率，则a2+b2的取值范围是（）A．解答：解：令函数f（x）=（x﹣1）=0，∴x=1是其中的一个根，所以f（x）=（x﹣1）的另外两个零点分别是一个椭圆一个双曲线的离心率，故g（x）=x2+（1+a）x+a+b+1，有两个分别属于（0，1），（1，+∞）的零点，故有g（0）＞0，g（1）＜0，即a+b+1＞0且2a+b+3＜0，利用线性规划的知识，可确定a2+b2的取值范围是（5，+∞）．故选：D．点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，简单线性规划，考查计算能力．8．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中，有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A． 432 B． 288 C． 216 D． 144考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有=6种．先排3个奇数：用插空法求得结果，再排除1在左右两端的情况，问题得以解决．解答：解：从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有=6种，先排3个奇数，有=6种，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的4个空中，方法有=12种．根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×6×12=432种．若1排在两端，1的排法有•=4种，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的3个空中，方法有=6种，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×4×6=144种，故满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为432﹣144=288种．故选：B．点评：本题主要考查排列、组合、两个基本原理的应用，注意不相邻问题用插空法，相邻问题用捆绑法，属于中档题．9．已知f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，0） C．（0，2） D．（﹣2，0）考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次函数的单调性容易判断出函数f（x）在R上单调递减，所以根据题意得到x+a＜2a﹣x，即2x＜a在上恒成立，所以只需满足2（a+1）＜a，解该不等式即得实数a的取值范围解答：解：当x＞0时，f（x）=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4此时函数f（x）单调递减，∵不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在上恒成立∴x+a＜2a﹣x恒成立，即a＞2x恒成立，∵x∈，∴（2x）max=2（a+1）=2a+2，即a＞2a+2，解得a＜﹣2，当x≤0时，f（x）=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1此时函数f（x）单调递减，∵不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在上恒成立∴x+a＜2a﹣x恒成立，即a＞2x恒成立，∵x∈，∴（2x）max=2（a+1）=2a+2，即a＞2a+2，解得a＜﹣2，综上所述：即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：A点评：考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断方法，函数单调性定义的运用，以及一次函数的单调性．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的半焦距为c，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的弦长是be2（e为双曲线的离心率），则e的值为（）A． B． C．或3 D．或考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线y2=4cx的准线：x=﹣c，它正好经过双曲线C：﹣=1（a＞b＞0）的左焦点，准线被双曲线C截得的弦长为：，可得=be2，得出a和c的关系，从而求出离心率的值．解答：解：∵抛物线y2=4cx的准线：x=﹣c，它正好经过双曲线C：﹣=1（a＞b＞0）的左焦点，∴准线被双曲线C截得的弦长为：，∴=be2，即：c2=3ab，∴2c4=9a2（c2﹣a2），∴2e4﹣9e2+9=0∴e=或，又过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，∴e=．故选：A．点评：本题考查直线方程、椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系．由圆锥曲线的方程求焦点、离心率、双曲线的三参数的关系：c2=a2+b2注意双曲线与椭圆的区别．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.12．若函数f（x）=x2+2x+2a与g（x）=|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值，则f（x）dx= ．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：首先由已知得到a＞1，然后利用最小值相等得到a的值，然后求定积分．解答：解：由已知a＞1，并且f（x）=x2+2x+2a=（x+1）2+2a﹣1，它的最小值为2a﹣1，g（x）=|x﹣1|+|x+a|的最小值为1+a，所以2a﹣1=1+a解得a=2，所以f（x）dx==（）|=；故答案为：．点评：本题考查了二次函数、绝对值函数的最小值以及定积分的计算，关键是正确求出a值，然后计算定积分．13．设、、都是单位向量且•=0，则（+）•（+）的最大值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由已知中、、都是单位向量且•=0，可设=（1，0），=（0，1），=（cosθ，sinθ），进而根据和差角公式可将（+）•（+）的表达式转化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的性质得到（+）•（+）的最大值．解答：解：∵、、都是单位向量且•=0设=（1， 0），=（0，1），=（cosθ，sinθ），则（+）•（+）=（1，1）•（cosθ，1+sinθ）=cosθ+1+sinθ=sin（θ+）+1故（+）•（+）的最大值为故答案为：点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中求出（+）•（+）的表达式，是解答本题的关键．14．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（Ⅰ）对任意a∈R，a*0=a；（Ⅱ）对任意Ra，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．关于函数f（x）=（e x）*的性质，有如下说法：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为偶函数；③函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0]．其中所有正确说法的序号为①②．考点：指数函数单调性的应用．专题：函数的性质及应用．分析：直线阅读新定义得出函数关系式函数f（x）=（e x）*=1+e x+，利用基本不等式，偶函数的定义判断即可．解答：解；根据得出：函数f（x）=（e x）*=1+e x+∵e x+≥2（x=0时等号成立）∴函数f（x）的最小值为3，故①正确；∵f（﹣x）=1+e﹣x=1+e x=f（x），函数f（x）为偶函数；故②正确；运用复合函数的单调性判断函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．故③不正确故答案：①②点评：本题考查了新定义的题目，基本不等式的运用，符合函数的单调性，综合性较强，但是难度不大．15．已知函数f（x）=，点O为坐标原点，点A n（n，f（n））（n∈N*），向量是向量与的夹角，则的值为．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，﹣θn是直线OA n的倾斜角，化简为，从而求出要求式子的值．解答：解：根据题意得，﹣θn是直线OA n的倾斜角，∴==tan（﹣θn）===2（﹣），∴=2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=，故答案：．点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了直线的倾斜角与斜率的应用问题以及求函数值的应用问题，是综合性题目．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．设向量=（sin2ωx，cos2ωx），=（cosφ，sinφ），其中|φ|＜，ω＞0，函数f （x）=的图象在y轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为，在原点右侧与x轴的第一个交点为．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）在△ABC中，角A′B′C的对边分别是a′b′c′若f（C）=﹣1，，且a+b=2，求边长c．考点：余弦定理的应用；平面向量的综合题．专题：解三角形．分析：（I）利用向量的数量积通过两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用已知条件求解解析式即可．（II）求出C，利用，以及余弦定理即可求出c的值．解答：解：（I）因为向量=（sin2ωx，cos2ωx），=（cosφ，sinφ），所以=sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ=sin（2ωx+φ），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分由题意，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣3分将点代入y=sin（2x+φ），得，所以，又因为，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分即函数的表达式为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6分（II）由f（C）=﹣1，即又∵0＜C＜π，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分由，知，所以ab=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分由余弦定理知c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣2abcosC=所以 c=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12分．点评：本题考查余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，三角形的解法，考查计算能力．17．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，AC=AP=2．（Ⅰ）求证：PC⊥AE；（Ⅱ）求二面角A﹣CE﹣P的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明PC⊥AE；（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角A﹣CE﹣P的余弦值．解答：证明：（Ⅰ）取PC的中点F，连接EF，AF，则EF∥CD．因为AC=AP=2所以PC⊥AF．…1分因为 PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD所以 PA⊥CD又 AC⊥CD所以 CD⊥平面PAC…3分因为PC⊂平面PAC，所以 CD⊥PC；又 EF∥CD，所以 EF⊥PC；又因为 PC⊥AF，AF∩EF=F；所以 PC⊥平面AEF…5分因为AE⊂平面AEF，所以 PC⊥AE…6分（注：也可建系用向量证明）（Ⅱ）以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz．则B（0，0，0），A（0，1，0），，，，P（0，1，2），．…8分设平面ACE的法向量为=（x，y，z），则，所以令x=1．所以=（1，，﹣2）．…9分由（Ⅰ）知CD⊥平面PAC，AF⊂平面PAC，所以CD⊥AF．同理PC⊥AF．所以AF⊥平面PCE所以平面PCE的一个法向量==（，，1）．…10分所以cos＜＞==，…11分由图可知，二面角A﹣CE﹣P为锐角，所以二面角A﹣CE﹣P的余弦值为．…12分．点评：本题主要考查空间二面角的求解以及直线垂直的判断，建立空间坐标系，利用向量法是解决本题的关键．18．某单位要从甲、乙、丙、丁四支门球队中选拔两支参加上级比赛，选拔赛采用单循环制（即每两个队比赛一场），并规定积分前两名的队出线，其中胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积7分，乙队积1分，丙和丁队各积0分．根据以往的比赛情况统计：乙队胜的概率乙队平的概率乙队负的概率与丙队比赛与丁队比赛注：各队之间比赛结果相互独立．（Ⅰ）选拔赛结束，求乙队积4分的概率；（Ⅱ）设随机变量X为选拔赛结束后乙队的积分，求随机变量X的分布列与数学期望；（Ⅲ）在目前的积分情况下，M同学认为：乙队至少积4分才能确保出线，N同学认为：乙队至少积5分才能确保出线．你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证明）考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）设乙队胜、平、负丙队为事件A1、A2、A3，乙队胜、平、负丁队为事件B1、B2、B3．利用独立事件求概率．（Ⅱ）列举随机变量X的可能取值，求出各自概率得到分布列．解答：解：（Ⅰ）设乙队胜、平、负丙队为事件A1、A2、A3，乙队胜、平、负丁队为事件B1、B2、B3．则P（A1）=P（A2）=，P（A3）=；P（B1）=P（B2）=P（B3）=；…2分设乙队最后积4分为事件C，则P（C）=P（A1）P（B3）+P（B1）P（A3）=．…4分（Ⅱ）随机变量X的可能取值为：7，5，4，3，2，1．…5分；；；；；；随机变量X的分布列为：…8分X 7 5 4 3 2 1P．…10分（Ⅲ）N同学的观点对，乙队至少积5分才可以出线．…12分当乙队积5分时，丙队或丁队的得分可能为4，3，2，1，乙队为小组第2出线；当乙队积4分时，丙队或丁队均有可能为6分或4分，不能确保乙队出线．点评：本题主要考查了独立事件求概率的方法和随机变量的分布列期望值，属中档题型．19．表是一个由正数组成的数表，数表中各列依次成等差数列，各行依次成等比数列，且公比都相等．已知a1，1=1，a2，3=8，a3，2=6．（Ⅰ）求数列{a2，n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n和S n．a1，1 a1，2 a1，3 a1，4…a2，1 a2，2 a2，3 a2，4…a3，1 a3，2 a3，3 a3，4…a4，1 a4，2 a4，3 a4，4………………考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设第一行依次组成的等差数列的公差是d，等比数列的公比是q＞0，可得a2，3=qa1，3=q（1+2d）=8，a3，2=q 2a1，2=q2（1+d）=6，解出d，q即可得到所求；（Ⅱ）利用等差数列的通项公式可得a n，1，可得b n，可得S n=（1﹣+++…+﹣+﹣）﹣1+2﹣3+4﹣5+…+（﹣1）n n，再利用裂项相消求和和对n分类讨论即可得出．解答：解：（Ⅰ）设第一列依次组成的等差数列的公差为d，设第一行依次组成的等比数列的公比为q（q≠0），则，解得：，因为等差数列是正数数列，所以d=1，q=2，a2，1=1+1=2，即有；（Ⅱ）因为a n，1=a1，1+（n﹣1）d=n，所以，则S n=（1﹣+++…+﹣+﹣）﹣1+2﹣3+4﹣5+…+（﹣1）n n=，当n为偶数时；当n为奇数时．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，裂项相消求和分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值；（Ⅲ）∠PMQ能否为直角？证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点M（﹣2，﹣1），离心率为，建立方程可求a，b的值，从而可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的倾斜角为α，β，则α+β=180°，α=β+∠PMQ，若∠PMQ=90°，则β=45°，α=135°，求出直线的方程与椭圆方程联立，验证即可得到结论；（III）设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为﹣k，假设∠PMQ为直角，则k•（﹣k）=﹣1，k=±1，再验证即可求得结论．解答：（Ⅰ）解：由题设，得=1，①且=，②由①、②解得a2=6，b2=3，椭圆C的方程为．…3分（Ⅱ）证明：记P（x1，y1）、Q（x2，y2）．由题意知，直线MP、MQ的斜率存在．设直线MP的方程为y+1=k（x+2），与椭圆C的方程联立，得（1+2k2）x2+（8k2﹣4k）x+8k2﹣8k﹣4=0，﹣2，x1是该方程的两根，则﹣2x1=，x1=．设直线MQ的方程为y+1=﹣k（x+2），同理得x2=．…6分因y1+1=k（x1+2），y2+1=﹣k（x2+2），故k PQ===1，因此直线PQ的斜率为定值．…9分（Ⅲ）解：设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为﹣k，假设∠PMQ为直角，则k•（﹣k）=﹣1，k=±1．…11分若k=1，则直线MQ方程y+1=﹣（x+2），与椭圆C方程联立，得x2+4x+4=0，该方程有两个相等的实数根﹣2，不合题意；同理，若k=﹣1也不合题意．故∠PMQ不可能为直角．…13分点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线斜率的计算，确定椭圆方程，联立方程是关键．21．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣．（Ⅰ）证明：当a=1，x＞0时，f（x）＞0；（Ⅱ）若a＞1，讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；（Ⅲ）设n∈N*，比较与n﹣ln（1+n）的大小，并加以证明．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=1时，，利用导数研究函数的单调性即可证明；（Ⅱ）由题设，．对a2﹣2a≤0，与a2﹣2a＞0，分类讨论即可得出；（III）有结论，证明如下：方法一：上述不等式等价于++…+＜ln（n+1），由（Ⅰ），可得ln（1+x）＞，x＞0．令x=，n∈N+，则＜ln．利用数学归纳法证明即可．方法二：上述不等式等价于++…+＜ln（n+1），由（Ⅰ），可得ln（1+x）＞，x＞0．令x=，n∈N+，则ln＞．化为ln（n+1）﹣lnn＞．利用“累加求和”即可证明．解答：（Ⅰ）证明：当a=1时，，，∴x＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（0）=0，f（x）＞f（0）=0；结论得证．（Ⅱ）解：由题设，．①当a2﹣2a≤0，即1＜a≤2时，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数．②当a2﹣2a＞0，即a＞2时，有x∈（0，a2﹣2a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数；x∈（a2﹣2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．综上可知：当1＜a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＞2时，f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．（Ⅲ）解：，证明如下：方法一：上述不等式等价于++…+＜ln（n+1），由（Ⅰ），可得ln（1+x）＞，x＞0．令x=，n∈N+，则＜ln．下面用数学归纳法证明．①当n=1时，＜ln 2，结论成立．②假设当n=k时结论成立，即++…+＜ln（k+1）．那么，当n=k+1时，++…++＜ln（k+1）+＜ln（k+1）+ln=ln（k+2），即结论成立．由①②可知，结论对n∈N+成立．方法二：上述不等式等价于++…+＜ln（n+1），由（Ⅰ），可得ln（1+x）＞，x＞0．令x=，n∈N+，则ln＞．故有ln 2﹣ln 1＞，ln 3﹣ln 2＞，…ln（n+1）﹣ln n＞，上述各式相加可得ln（n+1）＞++…+，结论得证．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、数学归纳法、“累加求和”方法，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．。

淄博实验中学高三模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合1{|23},{|21}x M x x N x +=-<<=≤，则()R M C N =（ ）A ．(3,)+∞B ．(2,1]--C ．(1,3)-D ．[1,3)-2、设i 是虚数单位，a 为实数，复数1ai z i+=为纯虚数，则z 的共轭复数为（ ） A ．i - B ．i C ．2i D ．2i -3、命题32:,p x N x x ∃∈<；命题:(0,1)(1,)q a ∀∈+∞，函数()log (1)a f x x =-的图象过点（2，0），则（ ）A ．p 假q 假B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 真q 真4、设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,m n αβ⊥，且αβ⊥，则//m nB ．若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m nC ．若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥D ．若,//,//m m n n αβ⊥，则αβ⊥5、已知(,)P x y 为区域2200y x x a⎧-≤⎨≤≤⎩内的任意一点，当该区域的面积为4时，2z x y =-的最大值是（ ）A ．6B ．0C ．2 D．6、设随机变量~(2,4)N ξ，若(2)(23)P a P a ξξ>+=<-，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．53C ．5D ．9 7、函数12082sin()0,032kx x y wx x ππϕϕ+-≤<⎧⎪=⎨+≤≤<<⎪⎩的图象如图，则（ ） A ．11,,226k w πϕ=== B ．11,,223k w πϕ===C ．11,,226k w πϕ=-== D ．2,2,3k w πϕ=-== 8、已知20(sin cos )a x x dx π=+⎰，在64(1)(1)ax y ++的展开式中，2xy 项的系数为（ ）A ．45B ．72C ．60D ．1209、已知0a >且1a ≠，函数()log (a f x x =+在区间(,)-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则函数()log a g x x b =-的图象是（ ）10、已知抛物线24y x =，圆22:(1)1F x y -+=，过点F 作直线l ，自上而下依次与上述两曲线交于点,,,A B C D (如图所示)， 则AB CD ⋅=( )A ．等于1B ．最小值是1C ．等于4D ．最大值是4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

淄博实验中学高三模拟考试数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知复数(1)(12)z i i =-+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 A ．i - B ．1 C ．1- D ． i2、设集合(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤，则A B =A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{1}D ．{}0,1 3、若点(3,1)P -是圆22(2)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是A ．40x y --=B ．270x y --=C ．20x y +-=D ．250x y +-= 4、设向量(cos ,1),(2,sin )a b αα=-=，若a b ⊥，则tan()4πα-=A ．13-B ．13C ．1-D ．0 5、设直线:10l kx y -+=与圆22:4C x y +=相较于A 、B 两点，OM OA OB =+，且点M在圆C 上，则实数k 等于A ．1B ．2C ．1-D ．06、已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y +-=的两侧，且0,0a b >>，则2w a b =-的取值范围是 A ．21[,]32-B ．2(,0)3-C ．1(0,)2D ．21(,)32- 7、在等差数列{}n a 中，满足4737a a =，且10,n a S >是数列{}n a 的前n 项的和，若n S 取得最大值，则n =A ．7B ．8C ．9D ．108、设678,,364964e e e a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9、双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的实轴长为，虚轴的一个端点与抛物线22(0)x p y p =>的焦点重合，直线1y kx =-与抛物线相切与双曲线的一条渐近线平行，则p =A ．4B ．3C ．2D ．110、函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围为 A ．()2,+∞ B ．(),2-∞- C ．()1,+∞ D ．(),1-∞-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

2014-2015学年山东省淄博六中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数的虚部是（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i2．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题3．（5分）已知函数y=（）x﹣2与y=x3图象的交点坐标为（x0，y0），则x0所在的大致区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．（5分）若实数x，y满足，则z=的最大值为（）A．1B．2C．﹣1D．5．（5分）集合A={（x，y）|函数y=f（x），x∈（0，1）}，B={（x，y）|x=a，a∈R，a是常数}，则A∩B中元素个数是（）A．至少有1个B．有且只有1个C．可能2个D．至多有1个6．（5分）如图1所示，长方体AC1沿截面A1C1MN截得几何体DMN﹣D1A1C1，它的正视图、侧视图均为图2所示的直角梯形，则该几何体的体积为（）A．B．C．14D．107．（5分）已知双曲线渐近线方程：y=±2x，焦点是F（0，±），则双曲线标准方程是（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=18．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，且32a2+a7=0，则=（）A．11B．5C．﹣8D．﹣119．（5分）（+）8的展开式中x2的系数为（）A．B．C．D．710．（5分）f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：①f（x）=3+是1型函数；②若函数y=﹣x2+x是3型函数，则m=﹣4，n=0；③函数f（x）=x2﹣3x+4是2型函数；④若函数y=（a≠0）是1型函数，则n﹣m的最大值为．则以上说法正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则整数m=．12．（5分）已知正数x，y满足x+y+=10，则x+y的最大值为．13．（5分）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.7，则ξ在（0，1）内取值的概率为．14．（5分）若函数f（a）=（2+sinx）dx，则f（）=．15．（5分）棱长为1的正方体AC1，动点P在其表面上运动，且与点A的距离是，点P的集合形成一条曲线，这条曲线的长度是．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答过程需写出必要的文字说明，只有最后结果不得分）16．（12分）已知向量=（cosωx，sinωx），（cosωx，cosωx）（ω＞0），函数f（x）=•的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足a+c=8，b=7，f （）=，求△ABC的面积．17．（12分）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC⊥侧面AA1C1C，△AA1C是正三角形，AB⊥BC且AB=BC．又三棱锥A﹣A1BC的体积是．（1）证明：AC⊥A1B；（2）求直线BC和面ABA1所成角的正弦．18．（12分）某高中进行高中生歌唱比赛，在所有参赛成绩中随机抽取100名学生的成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．现在组委会决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试．（1）求3，4，5组各应该抽取多少人进入第二轮面试；（2）学校决定在（1）中抽取的这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第3组中有ξ名学生被考官D面试，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．20．（13分）设函数f（x）=alnx+bx，g（x）=x2．（1）若f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程是y=3x ﹣4，求a ，b 的值． （2）若f （1）=g （1），f′（1）=g′（1），是否存在实数k 和m ，使得不等式f （x ）≤kx +m ，g （x ）≥kx +m 都在各自定义域内恒成立，若存在，求出k 和m 的值，若不存在，说明理由．21．（14分）已知点F 1（0，﹣），F 2（0，），曲线r 上任意一点P 满足|PF 1|+|PF 2|=4，抛物线x 2=2py ，（p ＞0）．（1）若抛物线的焦点在曲线r 上，求曲线r 的标准方程和抛物线标准方程； （2）设抛物线的焦点是F （0，），在抛物线上是否存在点M ，使得以点M 为切点的切线与曲线r 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过坐标原点O ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．2014-2015学年山东省淄博六中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数的虚部是（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i【解答】解：=，则复数的虚部为﹣1，故选：A．2．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故选：D．3．（5分）已知函数y=（）x﹣2与y=x3图象的交点坐标为（x0，y0），则x0所在的大致区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【解答】解：根据题意，设f（x）=﹣x3，则f（0）=﹣03=4＞0，f（1）=﹣13=1＞0，f（2）=﹣23=﹣7＜0；∴函数f（x）存在零点x0∈（1，2），即函数y=（）x﹣2与y=x3图象的交点横坐标x0所在的区间为（1，2）．故选：B．4．（5分）若实数x，y满足，则z=的最大值为（）A．1B．2C．﹣1D．【解答】解：z===1+，设k=，则k的几何意义是点P到定点Q（1，﹣1）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知AQ的斜率最大，此时A（﹣1，0），k=，则z=的最大值1，故选：D．5．（5分）集合A={（x，y）|函数y=f（x），x∈（0，1）}，B={（x，y）|x=a，a∈R，a是常数}，则A∩B中元素个数是（）A．至少有1个B．有且只有1个C．可能2个D．至多有1个【解答】解：由函数的定义，当a∈（0，1）时，A∩B中有唯一的元素，当a∉（0，1）时，A∩B为空集．∴A∩B元素个数是至多有1个．故选：D．6．（5分）如图1所示，长方体AC1沿截面A1C1MN截得几何体DMN﹣D1A1C1，它的正视图、侧视图均为图2所示的直角梯形，则该几何体的体积为（）A．B．C．14D．10【解答】解：由已知可得几何体DMN﹣D1A1C1是三棱台，又∵它的正视图、侧视图均为图2所示的直角梯形，故棱台的上下底面面积分别为：和2，高为4，故棱台的体积V==，故选：A．7．（5分）已知双曲线渐近线方程：y=±2x，焦点是F（0，±），则双曲线标准方程是（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【解答】解：双曲线焦点在y轴上，设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），则渐近线方程为y=x，由题意可得c=，=2，又10=a2+b2，解得a=2，b=，则双曲线方程为﹣=1．故选：A．8．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，且32a2+a7=0，则=（）A．11B．5C．﹣8D．﹣11【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，且32a2+a7=0，得，∴，q5=﹣32，即q=﹣2．则=．故选：D．9．（5分）（+）8的展开式中x2的系数为（）A．B．C．D．7=C8r×（）【解答】解：由二项式定理，可得（+）8的展开式的通项为T r+1 8﹣r×（）r=（）r×Cr×x4﹣r；8令4﹣r=2，解可得r=2；则r=2时，T3=×C82×x2=7x2；即其展开式中x2的系数为7；故选：D．10．（5分）f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：①f（x）=3+是1型函数；②若函数y=﹣x2+x是3型函数，则m=﹣4，n=0；③函数f（x）=x2﹣3x+4是2型函数；④若函数y=（a≠0）是1型函数，则n﹣m的最大值为．则以上说法正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由题意知k＞0．当存在直线y=kx与曲线y=f（x）至少有两个交点时，函数就是k型函数．①：由解得：x=﹣1或4f（x）在x∈[﹣1，0）∪（0，4]上的值域是：f（x）∈（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）故不是1型函数；②：若函数是3型函数，则解得：x1=﹣4，x2=0，即m=﹣4，n=0故②对；③：由x2﹣3x+4=2x得到x2﹣5x+4=0，△＞0有两解，故③对；④：若函数是1型函数，则有两个不同的解，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0有两个不同的解m和n．由△＞0得：a＜﹣3或a＞1，所以n﹣m=（当a=3时取等号），所以n﹣m的最大值为；故④对．故选：C．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则整数m=4．【解答】解：由z==3，可得P=93=36，模拟执行程序，可得：P=1，k=0不满足条件k≥m，P=1，k=1不满足条件k≥m，P=3，k=2不满足条件k≥m，P=3×32=33，k=3不满足条件k≥m，P=33×33=36，k=4此时，由题意，应该满足条件k≥m，退出循环，计算并输出z==3．则整数m=4．故答案为：4．12．（5分）已知正数x，y满足x+y+=10，则x+y的最大值为8．【解答】解：因为，所以即，化简得因为，（当且仅当y=3x 时取等号）所以（1）式化为（x+y）2+6+10≤10（x+y）即（x+y）2﹣10（x+y）+16≤0解得2≤x+y≤8，由，解得所以当x=2，y=6时，x+y的最大值为8．13．（5分）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.7，则ξ在（0，1）内取值的概率为0.35．【解答】解：∵ξ服从正态分布N（1，σ2）∴曲线的对称轴是直线x=1，∵ξ在（0，2）内取值的概率为0.7，∴根据正态曲线的性质知在（0，1）内取值的概率为0.7×=0.35．故答案为：0.35．14．（5分）若函数f（a）=（2+sinx）dx，则f（）=π+1．【解答】解：===π+1．故答案为π+1．15．（5分）棱长为1的正方体AC1，动点P在其表面上运动，且与点A的距离是，点P的集合形成一条曲线，这条曲线的长度是．【解答】解：由题意，此问题的实质是以A为球心、为半径的球在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD、AA1DD1、AA1BB1为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为、A1B1C1D1、B1BCC1、D1DCC1为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r=，故各段弧圆心角为．∴这条曲线长度为3••+3••=故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答过程需写出必要的文字说明，只有最后结果不得分）16．（12分）已知向量=（cosωx，sinωx），（cosωx，cosωx）（ω＞0），函数f（x）=•的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足a+c=8，b=7，f （）=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）向量=（cosωx，sinωx），=（cosωx，cosωx）则：f（x）=•===由最小正周期是π及ω＞0得到：解得：ω=1所以：f（x）=令：解得：所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）（2）由已知f（）=得：解得：由于B是三角形的内角，所以：由于：a+c=8，b=7，所以：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣3ac所以：ac=517．（12分）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC⊥侧面AA1C1C，△AA1C是正三角形，AB⊥BC且AB=BC．又三棱锥A﹣A1BC的体积是．（1）证明：AC⊥A1B；（2）求直线BC和面ABA1所成角的正弦．【解答】（1）证明：取AC的中点O，∵AB=BC，∴BO⊥AC…（1分）又△AA1C是正三角形，∴A1O⊥AC，BO∩A1O=O，…（2分）∴AC⊥平面A1BO…（3分）又A1B⊂平面A1BO，∴AC⊥A1B…（4分）（2）解：设AC=a，则∵三棱锥A﹣A1BC的体积是，∴=，∴a=3…（6分）建系如图，则A（0，﹣，0），B（0，0，），C（0，，0），A1（，0，0），∴=（﹣，，0），=（0，，），=（，，0），=（0，﹣，），…（8分）设面ABA1法向量为=（x，y，z），则得：=（，﹣1，1）…（10分）设直线BC和面ABA1所成角为θ，则sinθ==．…（12分）18．（12分）某高中进行高中生歌唱比赛，在所有参赛成绩中随机抽取100名学生的成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．现在组委会决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试．（1）求3，4，5组各应该抽取多少人进入第二轮面试；（2）学校决定在（1）中抽取的这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第3组中有ξ名学生被考官D面试，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图可得第三组的频率是0.06×5=0.3，…（1分）第四组的频率是0.04×5=0.2，…（2分）第五组的频率是0.02×5=0.1，…（3分）则3，4，5组各有30，20，10人．第三组应抽取：=3人，…4分第四组应抽取：人，…5分第五组应抽取：=1人．…（6分）（2）由（1）可得6人中有3人是第三组的，所以ξ=0，1，2，…（7分）由超几何分布原理可得：P（ξ=k）=，k=0，1，2，ξ的分布列为ξ012P…（10分）期望：Eξ==1．…（12分）19．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．【解答】解：（1）由题意得，解得a1=6，d=4，∴a n=6+（n﹣1）×4=4n+2．（2）∵a1=6，d=4，∴S n=6n+=2n2+4n，==，∴T n===﹣＜，（T n）min=T1=﹣=．故≤T n＜．20．（13分）设函数f（x）=alnx+bx，g（x）=x2．（1）若f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣4，求a，b的值．（2）若f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），是否存在实数k和m，使得不等式f（x）≤kx+m，g（x）≥kx+m都在各自定义域内恒成立，若存在，求出k和m的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由题意得f（x）=alnx+bx，则，因为f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣4，所以，即，解得…（3分）（2）由题意得，，g′（x）=2x，因为f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），所以，解得…（5分）由f（1）=g（1）=1得，所以（1，1）是f（x）和g（x）的公共点，则函数f（x）、g（x）在（1，1）处的切线：y=2x﹣1．若存在实常数k和m，使得f（x）≤kx+m和g（x）≥kx+m成立，即g（x）≥2x﹣1和f（x）≤2x﹣1同时成立，∵g（x）﹣2x+1=x2﹣2x+1=（x﹣1）2≥0，∴g（x）≥2x﹣1，则g（x）≥2x﹣1都在定义域内恒成立．…（8分）令h（x）=f（x）﹣（2x﹣1）=lnx﹣x+1，则h′（x）==，由h′（x）＞0得0＜x＜1，由h′（x）＜0得x＞1，∴h（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减，∴h（x）max=h（1）=0，则h（x）≤0，即f（x）≤2x﹣1成立．…（12分）综上可得，存在k=2，m=﹣1使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m恒成立．…（13分）21．（14分）已知点F1（0，﹣），F2（0，），曲线r上任意一点P满足|PF1|+|PF2|=4，抛物线x2=2py，（p＞0）．（1）若抛物线的焦点在曲线r上，求曲线r的标准方程和抛物线标准方程；（2）设抛物线的焦点是F（0，），在抛物线上是否存在点M，使得以点M为切点的切线与曲线r相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过坐标原点O？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵|PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|∴P的轨迹是以4为长轴长，2为焦距的椭圆，椭圆方程为：又抛物线焦点在y轴正半轴上，所以焦点F（0，2），∴x2=8y．（2）由题意可得抛物线方程：x2=2y…（6分）假设存在点M，设坐标为（a，），由y=，得y2=x，所以切线方程：y﹣，即…（8分）设A（x1，y1），B（x2，y2）由得，△=（*）由韦达定理，得：=由题意可得：，即x 1x 2+y 1y 2=0∴（）=解得：a2=4，带入*式，得：△＞0 综上，存在点M （±2，2）…（14分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<<1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数 名称 对数函数定义 函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

山东省淄博市实验中学2015届高三上学期期末考试（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一． 选择题：（每小题5分，共60分.下列每小题所给出选项只有一项是符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上.） 1. 复数2a ii+-为纯虚数，则实数a =( ) A. 2- B.12- C. 2 D. 122.设集合{}32M x x =-<，{N x y ==，则M N ⋂=( )A.[)2,5B.()1,5C.(]2,5D. [)1,53.下列说法中正确的是 ( )A.命题“若x y >，则x y -<-”的逆否命题是“若x y -<-，则x y >”B.若命题2:,10p x R x ∀∈+>，则2:,10p x R x ⌝∃∈+>C.设l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβD.设,x y R ∈，则“()20x y x -⋅<”是“x y <”的必要不充分条件4. 定义R 在上的偶函数()y f x =的部分图像如图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是 ( ) A.21y x =+ B.1y x =+C.321,01,0x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩ D. ,0,0x x e x y e x -⎧≥=⎨<⎩5. 若过点()2P --的直线与圆224x y +=有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是 ( ) A.0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦6.二项式5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为 ( )A. -20B. 20C. -40D. 407. 运行右面的程序框图，若输入2015n =，则输出的a = ( )A.40304029B.20154029 C.40304031D.201540318.向右图中边长为2的正方形中，随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率为 ( )A.12ln 24+B.ln 22C.22ln 24+ D.2ln 24- 9.某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品 1桶需耗A 原料3千克，B 原料1千克；生产乙产品1桶需耗A 原料1千克，B 原料3千克.每生产一桶甲产品的利润400元，每生产一桶乙产品的利润300元.公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A 、B 原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，公司每天可获得的最大利润是（单位：元） ( )A. 1600B. 2100C.2800D. 480010.设函数()f x 的定义域为D ，若任取1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，满足()()122f x f x C +=，则称C 为函数()y f x =在D 上的均值.给出下列五个函数：①y x =；②2y x =；③4sin y x =；④lg y x =；⑤2x y = .则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为 ( )A.①③B.①④C.①④⑤D.②③④⑤第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 11.若向量,a b 的夹角为0150，3,4a b ==，则2a b += . 12. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 .13.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边,,a b c 分别为.已知22,sin 2sin a b bc C B -==，则角A 为 .14.已知12,F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，P 为双曲线右支上的一点，且122PF PF =.若12PF F ∆为等腰三角形，则该双曲线的离心率为15. 设方程440x ax +-=的各实根为()123,,,...4k x x x x k ≤.若点()4,1,2,...,i i x i k x ⎛⎫= ⎪⎝⎭均在直线y x =的同侧，则实数a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数()211cos sin cos2,22f x x x x x x R =-++∈（Ⅰ）求函数()f x 在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值；（Ⅱ）若将函数()f x 的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到()g x 的图像.已知()6411,,536g ππαα⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.求cos 26απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值..17.（本小题满分12分）如图，四边形ACDF 为正方形，平面ACDF ⊥平面BCDE,BC=2DE=2CD=4，DE//BC,090CDE ∠=,M 为AB 的中点.（Ⅰ）证明：EM//平面ACDF ； （Ⅱ）求二面角A-BE-C 的余弦值. 18. （本小题满分12分）某机械厂生产一种产品，产品按测试指标分为：指标大于或等于90为优等次，大于或等于80小于90为良等次，小于80为差等次.生产一件优等次产品盈利100元，生产一件良等次产品盈利60元，生产一件差等次产品亏损20元.现随机抽根据上表统计得到甲、乙两人生产这种产品为优，良，差等次的频率，现分别作为他们每次生产一件这种产品为优，良，差等次的概率，且每次生产一件产品的等次户不受影响.（Ⅰ）计算高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率；（Ⅱ）甲、乙各生产一件产品给工厂带来的利润之和记为X 元（利润=盈利-亏损），求随机变量X 的概率分布和数学期望.19. （本小题满分12分）各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知点()()1,*n n a a n N +∈在函数3y x =的图象上，且326S =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，并求使184055327n n n T -+≤⨯成立的最大正正整数n .20. （本小题满分13分）已知焦点在y 轴上的椭圆()22122:10y x C a b a b+=>>经过点Q ⎫⎪⎪⎝⎭，过椭圆的一个焦点且垂直长轴的弦长为1. （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）过抛物线()22:C y x h h R =+∈上一点P 的切线与椭圆1C 交于不同两点M,N ，点A 为椭圆1C 的右顶点，记线段MN 与PA的中点分别为G 、H 点，当直线GH 与x 轴垂直时，求h 的最小值.21. （本小题满分14分）设函数()()()()()ln ,212f x x g x a x f x ==---. （Ⅰ）当1a =时，求函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y 是函数()y f x =图象上任意不同两点，线段AB 中点为()00,C x y ,直线AB 的斜率为k .证明：()0`k f x >.（Ⅲ）设()()()01bF x f x b x =+>+，对任意(]12,0,2x x ∈，12x x ≠都有()()12121F x F x x x -<--，求实数b 的取值范围.。

高三年级第一学期第一次教学诊断考试试题数 学（人文）第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则M N = （ ）A.()1,1-B. ()1,2-C. ()0,2D. ()1,2 2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 3．“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要 4．已知函数f （x ）=3x﹣（13）x，则f （x ）（ ） A ．是偶函数，且在R 上是增函数 B ．是奇函数，且在R 上是增函数 C ．是偶函数，且在R 上是减函数 D ．是奇函数，且在R 上是减函数5.已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B.p q ∧⌝ C.p q ⌝∧ D.p q ⌝∧⌝6．设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是（ ）.7.为了得到函数y=sin )3(π+x 的图象，只需把函数y=sin x 的图象上所有的点（ ）A.向左平行移动3π个单位长度 B. 向右平行移动3π个单位长度 C.向上平行移动3π个单位长度 D. 向下平行移动3π个单位长度8．在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅= ( ) A ．23-B ．32- C ．32 D ．239． 若，则( )A ．B ．C ．D ．10.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。

淄博实验中学三年级第一学期第一次教学诊断考试试题2017.10数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则集合为（）A．（0，3] B．[﹣4，3] C．[﹣4，0）D．[﹣4，0]2．下列四个结论中正确的个数是（）①“”是“”的充分不必要条件。

②命题：“”的否定是“”。

山东中学联盟提供③“若，则，”的逆命题为真命题。

④若是上的奇函数，则。

A．1 B．2 C．3 D．43．若，则=（）A．B． C． D．4.已知，，那么有（）A． B． C．D．5.平面向量满足，，，则向量与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.6．函数的图象可能是（）A．B．C．D．7．函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（）A．关于点对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于直线对称8．在中，分别为内角所对的边，若，则的最大值为( )A．4 B．C．D．2 山东中学联盟9.设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是()A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－2,0)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2)10.若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对[P,Q]是函数的一对“友好点对”（注：点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”）.已知函数，则此函数的“友好点对”有（）A. 0对B. 2对C. 3对D. 4对11. 已知，若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是（）A. B. C. D.12．定义在R上的奇函数满足①，②，③时，则函数的零点个数是（）A． 2 B． 4 C．5 D．6第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，，向量在方向上的投影为，则= .14．已知△ABC的周长为，面积为，且，则角C的值为．15.已知函数，且，则.16.若函数＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点，，则关于x的方程+ 的不同实数根的个数是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.( 10分）设实数满足：（），实数满足：，若，且为真，求实数的取值范围；是的充分不必要条件，求实数的取值范围.18.(本小题满分12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．求角A的大小；若a=4，b+c=8，求△ABC的面积．19.( 12分）已知向量，，函数若，求的最小值及对应的的值；若，，求的值.20.( 12分）已知是奇函数求的单调区间；关于的不等式＞有解，求m的取值范围.21.( 12分）高速公路为人民出行带来极大便利，但由于高速上车速快，一旦出事故往往导致生命或财产的重大损失，我国高速公路最高限速，最低限.当驾驶员以1 20千米/小时速度驾车行驶，驾驶员发现前方有事故，以原车速行驶大约需要秒后才能做出紧急刹车，做出紧急刹车后，车速依（秒，：米/秒）规律变化直到完全停止，求驾驶员从发现前方事故到车辆完全停止时，车辆行驶的距离；国庆期间，高速免小车通行费，某人从襄阳到曾都自驾游，只需承担油费.已知每小时油费与车速有关，，高速路段必须按国家规定限速内行驶，假定高速上为匀速行驶，高速上共行驶了千米，当高速上行驶的这千米油费最少时，求速度应为多少？22．(12分)已知函数(a为实数)若的图象在处切线的斜率为，且不等式在上有解，求实数的取值范围；因为的图象与轴交于两个不同的点，且0＜x1＜x2，求证：（其中是的导函数）．理科参考答案一、DACCB ABCDB AD二 、13.214 14. 3π 15. 32- 16. 3 三、17.解：()I ()03:><<a a x a p ，41=a 时 ，4341:<<x p …（1分）121:<<x q …（2分）q p ∧ 为真 p ∴真且q 真 …（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<1214341x x ，得4321<<x ，即实数x 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<4321x x …（5分） ()II q 是p 的充分不必要条件，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=121x x A ，{}0,3><<=a a x a x B则A 是B 的真子集 …（7分）1231a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩或⎪⎩⎪⎨⎧≥<1321a a …（9分）得2131≤≤a ，即a 的取值范围为1132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…（10分） 18.解：解：（1）∵△ABC 中，， ∴根据正弦定理，得，∵锐角△ABC 中，sinB ＞0， ∴等式两边约去sinB ，得sinA=∵A 是锐角△ABC 的内角，∴A=；（2）∵a=4，A=，∴由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，得16=b 2+c 2﹣2bccos ， 山东中学联盟提供化简得b 2+c 2﹣bc=16，∵b +c=8，平方得b 2+c 2+2bc=64， ∴两式相减，得3bc=48，可得bc=16． 因此，△ABC 的面积S=bcsinA=×16×sin=4．19.解：()I ()12cos 2cos 2sin 32+-=x x x x f21cos 21sin 2312cos 1sin 23+-=++-=x x x x …（2分） 216sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx …（3分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,2x πππ6563≤-≤∴x …（4分）ππ656=-∴x ，即π=x 时，()1min =x f …（6分） ()II ()1011=x f ，即1011216sin =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ，得536sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx …（7分） 20π≤≤x ， 366πππ≤-≤-∴x ，546cos =⎪⎭⎫⎝⎛-∴πx …（8分）1sin sin sin cos 66662x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…（10分）3414525210=⨯+⨯=…（12分） 20.解：()I ∵22()()1x a f x x bx -=++是奇函数,∴()()0f x f x +-=恒成立…（1分）()20a b x a ∴++=恒成立，0,0a b ∴== …（3分） 22()1xf x x ∴=+， 222(1)(1)'()(1)x x f x x -+=+ …（4分）由'()0f x >,得-1＜x ＜1；由'()0f x <,得x ＞1或x ＜-1 …（5分） 故函数()f x 的增区间为()1,1-，()f x 的减区间为(,1)(1,)-∞-+∞和…（6分） ()II ∵2m —1＞()f x 有解，∴2m —1＞min ()f x 即可 …（7分） 当()()()0,0;0,00;00x f x x f x f x >>==<<时当时当时， …（8分） 由()I 知()f x 在(),1-∞-上为减函数，在()1,0-上为增函数()()min 11f x f ∴=-=- …（10分） ∴2m —1＞1-，∴m ＞0 …（12分）21.解：()I 令()()1005=0313v t t t =-+，解得()45t t ==-秒或秒舍 …（2分）从发现前方事故到车辆完全停止行驶距离为ss =3120100.93600⨯⨯+()401005313t dt t ⎛⎫-⎪+⎝⎭⎰ …（4分） =30+()2401005ln 136t t ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=30+1005ln 51636-⨯=70()米 …（6分） ()II 设高速上油费总额为y ，速度v 满足60120v ≤≤，则 …（7分）S y w v=⨯=40250v S v ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥=45S…（9分）当且仅当40250vv=，100v=时取等号 …（10分）由[]10060120v =∈，，即100/v km h =时，高速上油费最少 …（12分） 22（12分）解：（Ⅰ）由得切线的斜率(2)31,2,k f a a '==-=-∴=，故2()2ln 2f x x x x =-+，由()2f x x m ≥+得22ln m x x ≤-∵不等式()2f x x m ≥+在1[e]e,上有解，所以2max (2ln )m x x ≤- 山东中学联盟提供令2()2ln g x x x =-，故()0g x '=时，1x =．当()0g x '>；当1e x <<时，()0g x '<．故()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =-， 所以1m ≤- （Ⅱ）因为()f x 的图象与x 轴交于两个不同的点()()12,0,,0A x B x 所以方程22ln 0x xax -+=的两个根为12,x x ，则211122222ln 02ln 0x x ax x x ax ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，两式相减得 ()()1212122ln ln x x a x x x x -=+--，又()()222ln ,2f x x x ax f x x a x'=-+=-+，则()()1212121212122ln ln 442x x x x f x x a x x x x x x -+⎛⎫'=-++=-⎪++-⎝⎭下证()1212122ln ln 40x x x x x x --<+-（*），即证明()211112222ln 0,x x x x t x x x x -+<=+ 120,01,x x t <<∴<< 即证明()()21ln 01t u t t t -=+<+在01t <<上恒成立因为()()()()222221211114(1)(1)(1)t t t u t t t t t t t -+---'=+=-=+++又01t <<，所以()0u t '> 所以，()u t 在()0,1上是增函数，则()()10u t u <=，从而知()2111222ln 0x x xx x x -+<+故()1212122ln ln 40x x x x x x --<+-，即1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭成立。