2019-2020学年度山东省淄博实验中学高三年级第一学期模块考试数学试卷(含答案)

2019-2020学年山东省淄博实验中学高三上学期第一次教学诊断考试数学（文）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（）A. {1，2，3，4}B. {1，2，3}C. {2，3，4}D. {1，3，4}2. 已知cosα=﹣，α是第三象限的角，则sinα=（）A. ﹣B.C. ﹣D.3. 命题p：“∃x0∈R，x2﹣1≤0”的否定￢p为（）A. ∀x∈R，x2﹣1≤0B. ∀x∈R，x2﹣1＞0C. ∃x0∈R，x2﹣1＞0 D. ∃x∈R，x2﹣1＜04. 函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A. B. C. π D. 2π5. 已知函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值和最小值的和为6，则a=（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 设非零向量满足则（）A. B. C. D.7. 已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（）A. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是偶函数，且在R上是增函数C. 是奇函数，且在R上是减函数D. 是偶函数，且在R上是减函数8. 设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A. f（x）的一个周期为﹣2πB. y=f（x）的图象关于直线x=对称C. f（x+π）的一个零点为x=D. f（x）在（，π）单调递减9. 已知函数f（x）=sinx﹣cosx，且f′（x）=2f（x），则tan2x的值是（）A. ﹣B.C. ﹣D.10. 已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C211. 函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（）A. B. C. D.12. 函数y=的部分图象大致为（）A. B. C. D.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13、已知向量=（–1，2），=（m，1）.若向量与平行，则m=______________.14、函数的极大值为____________15、已知，，则．16．在区间上随机取一个数x，则的概率是___________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17、（10分）已知（1）求的最小正周期及最大值；（2）若将函数的图像沿x轴向左平移个单位得到的图像。

2019-2020学年山东省淄博实验中学高三上学期第一次教学诊断考试数学（理）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，那么P∪Q=（）A.（﹣1，2）B.（0，1）C.（﹣1，0）D.（﹣1，3）2．已知集合，则M∪N=（）A. B. C. D.3．设函数y= 的定义域为A，函数y=ln（x﹣1）的定义域为B，则A∩B=（）A.（1，2）B.（1，2]C.（﹣2，1）D. [﹣2，1）4．设，是两个集合，则“A∩B=A”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件5．设曲线在点(2,0)处的切线方程为，则（）A. 2B. 3C. 4D.56.若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）.A. B. C. D.7. “”是“函数在区间内单调递减”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 设，则“”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件9. 命题“，使得”的否定形式是（）A．，使得B．，使得C．，使得D．，使得10．已知f(x)在R上是偶函数，f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(11)＝（）A．2 B．9 C．－98 D．－211．函数的零点所在的大致区间是（）A．（1，2） B． C． D．12．已知f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m－3)> 0，那么实数m的取值范围是（）A. B. C．(1,3) D.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．计算定积分（+x）dx= ．14.曲线f(x)＝x ln x在点M(1，f(1))处的切线方程为________．15.已知函数f(x)＝a x＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________. 16．函数f（x）=，（a＞0且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）已知命题p：∀x∈[1，12]，x2﹣a≥0．命题q：∃x0∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．18．（12分）已知幂函数f（x）=（﹣2m2+m+2）x m+1为偶函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数y=f（x）﹣2（a﹣1）x+1在区间（2，3）上为单调函数，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．20．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣x2+1．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为4x﹣y+b=0，求实数a和b的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；21．（12分）设函数f（x）=ax﹣﹣2lnx．（Ⅰ）若f（x）在x=2时有极值，求实数a的值和f（x）的极大值；（Ⅱ）若f（x）在定义域上是减函数，求实数a的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求a的取值范围；（3）若对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，求a的取值范围．2019-2020学年山东省淄博实验中学高三上学期第一次教学诊断考试数学（理）选择题：12题×5分=60分（每题5分）填空题：4题×5分=20分（每题5分）13. 14. x－y－1＝0 15. ． 16.（0，]17、（10分）【解答】解：∵x∈[1，12]，x2≥1，∴命题p为真时，a≤1；∵∃x0∈R，使得x+（a﹣1）x+1＜0，∴△=（a﹣1）2﹣4＞0⇒a＞3或a＜﹣1，∴命题q为真时，a＞3或a＜﹣1，由复合命题真值表得：若p或q为真，p且q为假，则命题p、q一真一假，当p真q假时，有⇒﹣1≤a≤1；当p假q真时，有⇒a＞3．故a的取值范围为﹣1≤a≤1或a＞3-------------------10分18、（12分）【解答】解：（1）由f（x）为幂函数知﹣2m2+m+2=1，即2m2﹣m﹣1=0，得m=1或m=﹣，当m=1时，f（x）=x2，符合题意；当m=﹣时，f（x）=，为非奇非偶函数，不合题意，舍去．∴f（x）=x2．---------------------------------6分（2）由（1）得y=f（x）﹣2（a﹣1）x+1=x2﹣2（a﹣1）x+1，即函数的对称轴为x=a﹣1，由题意知函数在（2，3）上为单调函数，∴对称轴a﹣1≤2或a﹣1≥3，即a≤3或a≥4．-------------------------------------12分19、（12分）【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，∴f′（x）=﹣﹣，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，解得：a=．-----------5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，f′（x）=﹣﹣=（x＞0），令f′（x）=0，解得x=5，或x=﹣1（舍），∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值﹣ln5．-----12分20、【解答】解：（Ⅰ）f（x）=alnx﹣x2+1求导得在x=1处的切线方程为4x﹣y+b=0，f′（1）=a﹣2=4，得a=6，4﹣f（1）+b=0；b=﹣4．------6分（Ⅱ）当a≤0时，f′（x）≤0在（0，+∞）恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞0时，（舍负），f（x）在上是增函数，在上是减函数；---12分21、【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=a+﹣；∴f′（2）=a+﹣1=0，解得a=；∴f′（x）=+﹣=，x＞0，令f′（x）=0，解得：x=，或2；∴x∈（0，）时，f′（x）＞0；x∈（，2）时，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0；∴x=时，f（x）取得极大值f（）=2ln2﹣；----6分（Ⅱ）∵f′（x）=，∴需x＞0时ax2﹣2x+a≤0恒成立；a=0时，函数y=ax2﹣2x+a开口向上，x＞0时，满足ax2﹣2x+a＜0恒成立，a＜0时，函数g（x）=ax2﹣2x+a的对称轴是x=1/a＜0，图象在y轴左侧且g（0）=a＜0，故满足题意，a>0时不成立综上，a≤0．---------12分22、【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=2x﹣3+，因为f'（1）=0，f（1）=﹣2，所以切线方程为y=﹣2；（2）函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx的定义域为（0，+∞），当a＞0时，f′（x）=2ax﹣（a+2）+（x＞0），令f'（x）=0，即f′（x）=，所以x=或x=．当0＜≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=﹣2；当1＜＜e，即＜a＜1时，f（x）在[1，e]上的最小值是f（）＜f（1）=﹣2，不合题意；当≥e，即0≤a≤时，f（x）在（1，e）上单调递减，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=﹣2，不合题意．综上可得 a≥1；（3）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax2﹣ax+lnx，对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，等价于g（x）在（0，+∞）上单调递增．而g′（x）=2ax﹣a+=，当a=0时，g′（x）=，此时g（x）在（0，+∞）单调递增；当a≠0时，只需g'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，因为x∈（0，+∞），只要2ax2﹣ax+1≥0，则需要a≥0，对于函数y=2ax2﹣ax+1，过定点（0，1），对称轴x=，只需△=a2﹣8a≤0，即0＜a≤8．综上可得 0≤a≤8．。

淄博实验中学高三年级第一学期第一次教学诊断考试 2019.10数 学一、选择题:本题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，第1-10题只有一项符合题目要求，第11-13题有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.1.若21i z i-=+，则z z +=（ ） A.－1 B.1 C.－3 D.32.若集合2{06},{20}A x x B x x x =<<=+->，则A B =（ ） A. {16}x x << B.{2,0}x x x <->或 C.{26}x x << D.{2,1}x x x <->或3.0.50.40.50.4,0.5,log 0.4的大小关系为（ ）A.0.50.40.50.40.5log 0.4<<B.0.40.50.50.50.4log 0.4<<C.0.50.40.5log 0.40.40.5<<D.0.40.50.5log 0.40.50.4<<4.设 ，则“ ”是“ ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)π-C ．1)π+D ．2)π6.已知1sin()3απ+=，则cos 2sin αα=（ ） A.37- B.73- C.37 D.737. 设函数()21ln 1f x x x =-+，则不等式()()21>-f x f x 的解集为（ ） A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. (),1-∞8. 设命题0)12(:22<+++-a a x a x p ，命题1)13lg(:≤-x q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]38,31[ B ．)38,31[ C ．)38,31( D ．]38,(-∞9.若函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩在(－∞，a]上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ）A.[0，17]B.(－ ∞，17 ]C. [1，17]D. [1，＋∞)10.若对任意的实数x>0，ln 0x x x a --≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－1]11.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A.()f x ()g x 是奇函数B.|()f x |()g x 是奇函数C.()f x |()g x |是奇函数D.|()f x ()g x |是奇函数 12若函数()f x 的导函数()f x '的图象关于y 轴对称，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()3cos =f x xB ．3()=+f x x xC ．1()=+f x x x D ．()=+x f x e x 13.已知实数,a b 满足0,0,1,1a b a b >>≠≠，且lg lg lg lg ,,,b a a b x ay b z a w b ====，则（ ） A ．存在实数,a b ，使得x y z w >>>B ．存在a b ¹，使得x y z w ===C ．任意符合条件的实数,a b 都有x y =D ．,,,x y z w 中至少有两个大于1二、填空题：本题共4小题，每小题4分，其中16小题每空2分，共16分.14.已知正项等比数列{a n }中，1132,10a a a =+=，则24a a +=15.假设一个人的日薪按这样的方式增长，第一天发3元，第二天发6元，第三天发12元……从第二天起每天发的工资是前一天的2倍，则连续十四天后此人日薪总和 (填“大于”“等于”或“小于”)4.8万元16.已知不等式230mx nx +-<的解集为(3,1)-，若曲线|y|＝n x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是_____．17.对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得()001x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P .（1）下列函数中具有性质P 的有__________．①()ln f x x x = ②()sin g x x x =- ③()1x x h x e +=， （2）若函数()()()1ln ,1,1x f x x a x +=∈+∞-具有性质P ，则实数a 的最小正整数为________．三、解答题：共82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本小题12分）已知关于x的方程)22x 10x m -+=的两根为sin θ和cos θ，()0θπ∈，.求： （1）m 的值；（2）tan sin cos tan 11tan θθθθθ+-- 的值； （3）方程的两根.19.（本小题12分）某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体(这1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布N(69，49)。

2019-2020学年山东省淄博市高三（上）摸底数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x||x −2|≥2}，B ={x|x ≤2}，则(∁U A)∩B =( )A. {x|0≤x ≤2}B. {x|0<x ≤2}C. {x|−2≤x ≤2}D. {x|−2<x ≤2}2. 已知z 为复数，i 为虚数单位，若复数z−iz+i 为纯虚数，则|z|=( )A. 2B. √2C. 1D. √223. 命题“∃x 0∈(0,+∞)，lnx 0>x 02−1”的否定为( )A. ∃x 0∈(0,+∞)，lnx 0≤x 02−1B. ∃x 0∈(−∞,0]，1nx 0>x 02−1C. ∀x ∈(0,+∞)，lnx ≤x 2−1D. ∀x ∈(−∞,0]，lnx >x 2−14. 设a =(12)log 312，b=2log 1323，c =2log √343，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <b <cB. c <b <aC. b <a <cD. b <c <a5. 为庆祝中华人民共和国成立70周年，某校组织“我和我的祖国”知识竞赛活动，30名参加比赛学生的得分情况(十分制)如图所示，则得分的中位数m ，众数n ，平均数p 的大小关系是( )A. m =n <pB. m <n <pC. n <p <mD. p <m =n6. 已知cos(π4+α)=13，则cos(π2−2α)=( )A. 79B. −79C. 4√29D. −4√297. 函数y =(e x −e −x )sinx 的图象(部分)大致是( )A. B.C. D.8.将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是()A. 40B. 60C. 80D. 1009.若函数f(x)={2−x,x≤0f(x−1)−f(x−2),x>0，则f(2020)=()A. 1B. 2C. 4D. 1610.已知函数f(x)=|x−a|−3x+a(a∈R)，若方程f(x)=2有且只有三个不同的实数解，则a的取值范围为()A. (1+√3,3)B. (−∞,1−√3)∪(1+√3,3)C. (−∞,1−√3)D. (−1,1−√3)∪(1+√3,+∞)二、多选题（本大题共3小题，共12.0分）11.已知f(x)=sin2x，g(x)=cos2x，下列四个结论正确的是()A. f(x)的图象向左平移π2个单位长度，即可得到g(x)的图象B. 当x=π8时，函数f(x)−g(x)取得最大值√2C. y=f(x)+g(x)图象的对称中心是(kπ2−π8,0)，k∈ZD. y=f(x)⋅g(x)在区间(3π8,π2)上单调递增12.甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是()A. P(A)=P(B)=P(C)B. P(BC)=P(AC)=P(AB)C. P(ABC)=18D. P(A)⋅P(B)⋅P(C)=1813.已知a1，a2，a3，a4成等比数列，满足a1+a2+a3+a4=(a2+a3+a4)2，且a4>1，下列选项正确的是()A. a1>a3B. a3>a4C. a1>a2D. a2<a4三、单空题（本大题共4小题，共16.0分）14.欧拉公式e ix=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，e4i表示的复数在复平面中位于第______象限．15.数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n+ln(1+1n)，则a10=______ ．16.已知函数f(x)=12x+1−x，则f(12)+f(−12)=______ ，f(x)+f(1−2x)≤1的解集为______ ．17.函数f(x)同时满足条件：①偶函数；②值域为[0,+∞)；③周期为2020.请写出f(x)的一个解析式______ ．四、解答题（本大题共6小题，共82.0分）18.已知等差数列{a n}中，a3=3，a2+2，a4，a6−2顺次成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n=(−1)n a2n+1a n a n+1，{b n}的前n项和S n，求S2n．19.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，且√2sinA=√3cosA．(1)求A的值，并求△ABC面积的最大值；(2)求b+c的取值范围．20.为了解某初中学校学生睡眠状况，在该校全体学生中随机抽取了容量为120的样本，统计睡眠时间(单位：ℎ).经统计，时间均在区间[4.5,10.5]内，将其按[4.5,5.5)，[5.5,6.5)，[6.5,7.5)，[7.5,8.5)，[85,9.5)，[9.5,10.5]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：(1)世界卫生组织表明，该年龄段的学生睡眠时间ξ服从正态分布N(μ,σ2)，其标准为：该年龄段的学生睡眠时间的平均值μ=8，方差σ2=0.5625.根据3σ原则，用样本估计总体，判断该初中学校学生睡眠时间在区间(μ−2σ,μ+2σ)上是否达标？(参考公式：P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974.)(2)若规定睡眠时间不低于8.5ℎ为优质睡眠.已知所抽取的这120名学生中，男、女睡眠质量人数如下2×2列联表所示：将列联表数据补充完整，并判断是否有99%的把握认为优质睡眠与性别有关系，并说明理由；下面的临界值表仅供参考：(参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d.)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)21.已知t∈R，m，n是关于x的方程x2+2tx−1=0的两个不等的实根，且m<n，函数f(x)=x+t，的定义域为[m,n]，记max{f(x)}，min{f(x)}分别为函数f(x)的x2+1最大值和最小值．(1)试判断f(x)在[m,n]上的单调性；(2)设g(t)=max{f(x)}−min{f(x}，若函数ℎ(t)=ln[g(t)+at]是奇函数，求实数a的值．22.已知函数f(x)=ax−sinx(a∈R)．(1)当a=1时，求函数f(x)在区间[0,π]上的最值；2(2)若函数f(x)在R上是单调函数，求实数a的取值范围；(3)若不等式f(x)>0在区间(0,+∞)上恒成立，求a的最小值．23.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．(Ⅰ)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】可以求出集合A，然后进行交集和补集的运算即可．本题考查了描述法的定义，绝对值不等式的解法，交集和补集的运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．【解答】解：∵A={x|x≤0或x≥4}，B={x|x≤2}，U=R，∴∁U A={x|0<x<4}，(∁U A)∩B={x|0<x≤2}．故选：B．2.【答案】C【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，∴复数z−iz+i =a+(b−1)ia+(b+1)i=[a+(b−1)i][a−(b+1)i]a2+(b+1)2=a2+b2−1−2aia2+(b+1)2为纯虚数，∴a2+b2=1，a≠0．∴|z|=√a2+b2=1．故选：C．设z=a+bi(a,b∈R)，代入计算，利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算性质、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈(0,+∞)，lnx0>x02−1”的否定为：∀x∈(0,+∞)，lnx≤x2−1．故选：C．特称命题的否定是全称命题本题考查命题的否定，属于概念题，容易题．4.【答案】D【解析】解：a=(12)log312=2log32b=2log1323=2log332，c=2log√343=2log3169，∵对数函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增，且32<169<2，∴log332<log3169<log32，又∵指数函数y=2x在R上单调递增，∴2log332<2log3169<2log32即b<c<a，故选：D．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5.【答案】A【解析】解：由条形图可得，中位数m=6，众数n=6，平均数p=130×(3×3+2×4+ 6×5+10×6+4×7+2×9+3×10)=6.1，所以m=n<p．故选：A．由条形图中的数据，由中位数，众数以及平均数的定义分别求出m，n，p的值，即可得到答案．本题考查了条形图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：因为cos(π4+α)=√22(cosα−sinα)=13，可得cosα−sinα=√23，两边平方，可得1−2sinαcosα=1−sin2α=29，可得sin2α=79，则cos(π2−2α)=sin2α=79．故选：A．利用两角和的余弦公式化简已知等式可得cosα−sinα=√23，两边平方，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式可求sin2α的值，利用诱导公式化简即可求解．本题主要考查了两角和的余弦公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】先判断函数奇偶性，排除A、B，又因为当0<x<π时，f(x)>0，排除D．【解答】解：函数f(−x)=(e−x−e x)(−sinx)=(e x−e−x)sinx=f(x)，∴函数f(x)=(e x−e−x)sinx是偶函数，排除A、B；当0<x<π时，f(x)>0，排除D．∴C满足题意．故选：C．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查排列、组合的综合应用，关键是编号与放入的小球编号不相同的情况数目的分析．根据题意，分2步进行分析：①、在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，由组合数公式可得放法数目，②、假设剩下的3个盒子的编号为4、5、6，依次分析4、5、6号小球的放法数目即可；进而由分步计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，有C 63=20种选法，剩下的3个盒子的编号与放入的小球编号不相同，假设这3个盒子的编号为4、5、6， 则4号小球可以放进5、6号盒子，有2种选法， 剩下的2个小球放进剩下的2个盒子，有1种情况， 则不同的放法总数是20×2×1=40； 故选A ．9.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)={2−x ,x ≤0f(x −1)−f(x −2),x >0，∴f(1)=f(0)−f(−1)=20−21=−1， f(2)=f(1)−f(0)=−1−20=−2， f(3)=f(2)−f(1)=−2−(−1)=−1， f(4)=f(3)−f(2)=−1−(−2)=1， f(5)=f(4)−f(3)=1−(−1)=2， f(6)=f(5)−f(4)=2−1=1， f(7)=f(6)−f(5)=1−2=−1， f(8)=f(7)−f6)=−1−1=−2， f(9)=f(8)−f(7)=−2−(−1)=−1， f(10)=f(9)−f(8)=−1−(−2)=1， ∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(2020)=f(336×6+4)=f(4)=1． 故选：A ．利用递推思想依次求出f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)，f(6)，f(7)，f(8)，f(9)，f(10)，从而得到f(x)是周期为6的周期函数，进而得到f(2020)=f(4)，由此能求出结果． 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，运算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：方程f(x)=2，即|x−a|=3x+2−a，当a>0时，其左右两侧对应函数的图象如图示：，先求切点A的坐标，由y=3x +2−a得y′=−3x2，令y′=−1，解得：x=√3，故y=√3+2−a，即A(√3,√3+2−a)，要使方程|x−a|=3x+2−a有3个解，只需y=|x−a|和y=3x+2−a的图象有3个交点，此时需满足切点A在直线x+y−a=0的下方，即√3−a+√3+2−a<0，且x=a时，y=3x+2−a>0，解得：1+√3<a<3；当a<0时，其左右两侧对应函数的图象如图示：，先求切点A的坐标，由y=3x +2−a得y′=−3x2，令y′=−1，解得：x=−√3，故y=−√3+2−a，即A(−√3,−√3+2−a)，要使方程|x−a|=3x+2−a有3个解，只需y=|x−a|和y=3x+2−a的图象有3个交点，此时需满足切点A在直线x+y−a=0的上方，即−√3−a−√3+2−a>0，解得：a<1−√3；综上：a的取值范围是(−∞,1−√3)∪(1+√3,3)，故选：B．问题转化为只需y=|x−a|和y=3x+2−a的图象有3个交点，通过讨论a的范围，结合函数的图象，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了函数的零点问题，考查导数的应用以及转化思想，数形结合思想，分类讨论思想，是中档题．11.【答案】CD【解析】解：∵f(x)=sin2x，g(x)=cos2x，故把f(x)的图象向左平移π2个单位长度，即可得到y=sin(2x+π)=−sin2x的图象，故A不正确；当x=π8时，函数f(x)−g(x)=sinπ4−cosπ4=0，故B不正确；对于函数y=f(x)+g(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)，令2x+π4=kπ，求得x=kπ2−π8，k∈Z，可得图象的对称中心是(kπ2−π8,0)，k∈Z，故C正确；对于函数y=f(x)⋅g(x)=12sin4x，当x∈(3π8,π2)时，4x∈(3π2,2π)，函数y=f(x)⋅g(x)单调递增，故D正确，故选：CD．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．12.【答案】ABD【解析】解：甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则P(A)=C21C21+C21C214×4=12.P(B)=24=12，P(C)=24=12，∴P(A)=P(B)=P(C)，故A正确；P(BC)=P(B)P(C)=12×12=14，P(AC)=C21C214×4=14，P(AB)=C21C214×4=14，∴P(BC)=P(AC)=P(AB)，故B正确；P(ABC)=C21C214×4=14，故C错误；P(A)⋅P(B)⋅P(C)=12×12×12=18，故D正确．故选：ABD．利用古典概型、相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】AD【解析】解：设公比为q，则a1(1+q+q2+q3)=[a1(q+q2+q3)]2，则(1+q+q2+q3)=a1q2(1+q+q2)2，则(1+q+q2+q3)q=a1q3(1+q+q2)2，a4=a1q3=(1+q+q2+q3)q(1+q+q2)2>1，即(1+q+q2+q3)q−(1+q+q2)2>0，即1+q+2q2+q3<0，令f(x)=x3+2x2+x+1，f′(x)=3x2+4x+1=(x+1)(3x+1)，故x∈(−∞,−1)∪(−13,+∞)时，f′(x)>0，x∈(−1,−13)时，f′(x)<0，故f(x)在(−∞,−1)，(−13,+∞)上单调递增，在(−1,−13)上单调递减．且f(−1)=−1+2−1+1=1，f(−13)=(−13)3+2⋅(−13)2+(−13)+1>0，故作f(x)的图象如右图，结合图象可知，q<−1，a1<0，则a1>a1q2，即a1>a3，同理可得，a3<a4，a1<a2，a2<a4，故选：AD．设公比为q，代入化简可得(1+q+q 2+q3)q(1+q+q2)2>1，即1+q+2q2+q3<0，从而构造函数f(x)=x3+2x2+x+1，利用导数及函数图象可得q<−1，a1<0，从而判断．本题考查了等比数列的性质应用及导数的综合应用，同时考查了数形结合及转化思想方法的应用，属于难题．14.【答案】三【解析】解：由e ix=cosx+isinx，得e4i=cos4+isin4，∴e4i表示的复数在复平面中所表示的点的坐标为(cos4,sin4)，∵π<4<32π，∴cos4<0，sin4<0，点(cos4,sin4)位于第三象限．故答案为：三．由已知可得e4i=cos4+isin4，得到e4i表示的复数在复平面中点的坐标，再由三角函数的象限符号得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数的象限符号，是基础题．15.【答案】3+ln10【解析】解：数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n+ln(1+1n)，a2=a1+ln(1+1)，a3=a2+ln(1+12)，a4=a3+ln(1+13)，…a10=a9+ln(1+19)，累积可得a10=a1+ln2+ln32+ln43+⋯+ln109=3+ln10．故答案为：3+ln10．通过数列的递推关系式，利用累积法，结合对数运算法则，转化求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，累积法的应用，考查转化思想以及计算能力．16.【答案】1 {x|x≤1}【解析】解：因为f(x)=12x+1−x，则f(12)+f(−12)=√2+112+√22+112=1，因为f(x)+f(−x)=12x+1−x+12−x+1+x=12x+1+2x1+2x=1，即f(x)=1−f(−x)，由f(x)+f(1−2x)≤1可得f(1−2x)≤1−f(x)=f(−x)，因为f(x)在R上单调递减，所以1−2x≥−x即x≤1．故答案为：1，{x|x≤1}由已知函数解析式，直接代入即可求解f(12)+f(−12)，由已知可得f(−x)+f(x)=1，从而原不等式可化为f(1−2x)≤1−f(x)=f(−x)，然后结合函数的单调性即可求解． 本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了转化思想的应用．17.【答案】f(x)=|tan πx2020|，(答案不唯一)【解析】解：根据题意，要求f(x)同时满足条件：①偶函数；②值域为[0,+∞)；③周期为2020，可以考虑f(x)为正切函数的变形， 则f(x)=|tan πx2020|，故答案为：f(x)=|tan πx2020|，(答案不唯一) 根据题意，结合正切函数的性质分析，即可得答案．本题考查函数的奇偶性、周期性、值域的定义，注意常见函数的性质，属于基础题．18.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3=3，a 2+2，a 4，a 6−2顺次成等比数列，所以a 42=(a 2+2)(a 6−2)，所以(3+d)2=(5−d)(1+3d)，化简得d 2−2d +1=0，解得d =1．所以a 1=a 3−2d =1，所以a n =a 1+(n −1)d =1+(n −1)×1=n ． (2)由(1)得b n =(−1)n a 2n+1a n a n+1=(−1)n 2n+1n(n+1)=(−1)n (1n +1n+1)，所以S 2n =b 1+b 2+b 3+⋯+b 2n =−(1+12)+(12+13)−(13+14)+⋯+(12n +12n+1)=−1+12n+1=−2n2n+1．【解析】(1)利用等比数列的通项公式列出方程求出数列的公差，然后求解通项公式． (2)化简通项公式，利用并项求和求解数列的和即可．本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及数列求和的方法，考查计算能力．19.【答案】解：(1)△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =2，且√2sinA =√3cosA ． 所以：2sin 2A =3cosA ，整理得(2cosA −1)(cosA −2)=0，所以cosA=12，由于0<A<π，所以A=π3，利用cosA=12=b2+c2−a22bc，整理得b2+c2−bc=4≥bc(b=c时，等号成立)，所以S△ABC=12bcsinA≤12×4×√32=√3，(2)由余弦定理：a2=b2+c2−2bccosA=(b+c)2−3bc，由于bc≤(b+c2)2(b=c时等号成立)，所以a2≥(b+c)24，整理得b+c≤4，由于b+c>a=2，故b+c∈(2,4]．【解析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和三角形的面积公式的应用求出结果；(2)利用余弦定理和基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦定理和基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)由频率分布直方图可得，a+a+2a+0.05+0.025+0.025=1，解得a=0.225，由平均值μ=8，方差σ2=0.5625，可得σ=0.75，2σ=1.5，所以P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)，即求样本数据中区间[6.5,9.5)内的概率，则有4a=0.9<0.9544，所以初中学校学生睡眠时间在区间(μ−2σ,μ+2σ)上不达标；(2)根据频率分布直方图，样本中优质睡眠的学生有120×(0.225+0.025)=30人，所以列联表为：所以K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=120×(11×30−19×60)271×49×30×90≈8.38>6.635，所以有99%的把握认为优质睡眠与性别有关系．【解析】(1)利用频率之和为1，求出a的值，然后求出σ，利用频率分布直方图以及正态分布的含义，求解样本数据中区间[6.5,9.5)内的概率和0.9544比较大小即可；(2)求出样本中优质睡眠学生的人数，补全2×2列联表，然后由公式求出K2的值，对照临界表中的数据，即可得到答案．本题考查了频率分布直方图的应用，正态分布的应用以及独立性检验的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．21.【答案】解：(1)由f(x)=x+tx2+1,x∈[m,n]得，f′(x)=−x2+2tx−1(x2+1)2，∵m，n是方程x2+2tx−1=0的两个不等的实根，∴x2+2tx−1≤0，x∈[m,n]，则f′(x)≥0，∴f(x)在[m,n]上单调递增；(2)由(1)可知，f(x)在[m,n]上的最大值为f(n)，最小值为f(m)，∴g(t)=f(n)−f(m)=(m−n)[mn+t(m+n)−1](n2+1)(m2+1)，又m，n是方程x2+2tx−1=0的两个不等的实根，∴m+n=−2t，mn=−1，∴n−m=√(n+m)2−4mn=√4t2+4=2√t2+1，∴代入化简可得g(t)=√t2+1，∴ℎ(t)=ln(√t2+1+at)，∵ℎ(t)为奇函数，∴ℎ(t)+ℎ(−t)=0对任意t∈R均成立，即ln(√t2+1+at)+ln(√t2+1−at)=0恒成立，∴ln[(1−a2)t2+1]=0，则(1−a2)t2+1=1，∴a2=1，解得a=±1．【解析】(1)对函数f(x)求导，由题意可知，f′(x)≥0在[m,n]上恒成立，即可判断其单调性；(2)由(1)得，f(x)在[m,n]上的最大值为f(n)，最小值为f(m)，结合韦达定理化简可得g(t)=√t2+1，进而ℎ(t)=ln(√t2+1+at)，由ℎ(t)为奇函数，可知ln(√t2+1+at)+ ln(√t2+1−at)=0恒成立，则(1−a2)t2+1=1，由此求得a的值．本题考查函数与导数的综合运用，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的最值以及奇偶性，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)当a=12时，f(x)=12x−sinx(a∈R)，f′(x)=12−cosx，随着x的变化，f′(x)，f(x)变化情况如下表：所以函数f(x)的最大值为f(π)=π2，函数f(x)的最小值为f(π3)=π6−√32．(2)当函数f(x)在R上单调递增时，即当且仅当f′(x)≥0，即f′(x)=a−cosx≥0恒成立，得a≥1，当函数f(x)在R上单调递减时，即当且仅当f′(x)≤0，即f′(x)=a−cosx≤0恒成立，得a≤−1，综上所述，函数f(x)在R上单调函数，实数a的取值范围为(−∞,−1]∪[1,+∞)．(3)f′(x)=a−cosx，且f(0)=0，当a≤0时，在区间(0,π2)上，f′(x)=a−cosx<0，得f(x)<0，当a≥1时，在区间(0,+∞)上，f′(x)=a−cosx≥0，得f(x)>0恒成立，当0<a<1时，由f′(x)=a−cosx=0，故存在x0∈(0,π2)，使得f′(x0)=a−cosx0=0成立，同时在区间(0,x0)上，f′(x)<0，f(x)在区间(0,x0)上单调递减，又f(0)=0，所以f(x)在区间(0,x 0)上小于零，综上所述，不等式f(x)>0在区间(0,+∞)上恒成立时，a ≥1， 所以a 的最小值为1．【解析】(1)求f′(x)，判断f(x)在区间[0,π]上的单调性，即求函数f(x)在区间[0,π]上的最值．(2)函数f(x)在R 上单调函数，则f′(x)≥0或f′(x)≤0，在R 上恒成立，即得实数a 的取值范围．(3)求出f′(x)，分两种情况：a ≤0，a ≥1，0<a <1三种情况讨论，求出不等式f(x)>0在区间(0,+∞)上恒成立时，实数a 的取值范围，即可求出a 的最小值．本题考查利用导数研究函数的最值，单调性，和不等式恒成立问题，分类讨论思想，属于中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)依题意，p 1=P(40<X <80)=1050=0.2，p 2=P(80≤X ≤120)=3550=0.7，p 3=P(X >120)=550=0.1，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为p =C 40(1−p 3)4+C 41(1−p 3)3⋅p 3=(910)4+4×(910)3×(110)=0.9477．(Ⅱ)记水电站的总利润为Y(单位，万元) (1)安装1台发电机的情形，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y =5000，E(Y)=5000×1=5000， (2)安装2台发电机的情形，依题意，当 40<X <80时，一台发电机运行，此时Y =5000−800=4200， 因此P(Y =4200)=P(40<X <80)=p 1=1050=0.2，当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y =5000×2=10000，因此，P(Y =10000)=P(X ≥80)=p 2+p 3=0.8， 由此得Y 的分布列如下所以E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840．(3)安装3台发电机的情形，依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y=5000−1600=3400，因此P(Y=3400)=P(40<X<80)=p1=0.2，当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×2−800=9200，因此，P(Y= 9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7，当X>120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此，P(Y=15000)= P(X>120)=p3=0.1，由此得Y的分布列如下所以E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．【解析】本题考查概率、离散型随机变量的分布列的求法、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查分类讨论、运算求解能力和应用意识，属于中档题．(Ⅰ)依题意，p1=P(40<X<80)=1050=0.2，p2=P(80≤X≤120)=3550=0.7，p3=P(X>120)=550=0.1，根据二项分布，可得未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．(Ⅱ)记水电站的总利润为Y(单位，万元).(1)安装1台发电机的情形，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，可得E(Y)．(2)安装2台发电机的情形，依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y=5000−800=4200，因此P(Y=4200)=p1=1050=0.2，当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P(Y=10000)=P(X≥80)=P2+P3，由此得Y的分布列及其E(Y)．(3)安装3台发电机的情形，依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y= 5000−1600=3400，因此P(Y=3400)=p1=0.2，当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×2−800=9200，因此，P(Y=9200)=p2，当X>120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，P(Y=15000)=p3，由此得Y的分布列及其E(Y)．第21页，共21页。

1 山东省淄博市2019～2020学年度高三模拟考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

l ．已知集合{}{}220,2A x x x B x Z x =−−==∈≤，则A B ⋂=A ．{1，2}B ．{1，－2}C ．{－1，2}D ．{－1，－2}2．复数()()2a i i −−的实部与虚部相等，其中i 为虚数单位，则实数a =A ．3B ．13−C. 12−D ．1−3．设m R ∈，命题“存在m>0，使方程20x x m +−=有实根”的否定是A ．任意m>0，使方程20x x m +−=无实根B ．任意m ≤0，使方程2x x m +−=有实根C ．存在m>0，使方程20x x m +−=无实根D ．存在m ≤0，使方程20x x m +−=有实根4. 521mx x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数是10−，则实数m=A ．2B ．1C ．1−D ．2−5．函数()()[]sin 0f x x θπ=+在，上为增函数，则θ的值可以是A ．0B. 2πC.πD ．32π6.若圆锥轴截面面积为23，母线与底面所成角为60°，则体积为2 A.33π B.63π C.233π D.263π7.2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有 A.18种B.20种C.22种D.24种8.在ABC ∆中，0,2,OA OB OC AE EB AB AC λ++===，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数=λ A.33B.32C.63D.62二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

2019-2020学年山东省淄博实验中学高三（上）第一次学习检测数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={1,2，3，4，5}，B={x∈N|(x−1)(x−4)<0}，则A∩B=()A. {2,3}B. {1,2，3}C. {2,3，4}D. {1,2，3，4}2.设命题p：∀x∈R，e x≥x+1，则￢p为()A. ∀x∈R，e x<x+1B. ∃x0∈R，e x0<x0+1C. ∃x0∈R，e x0≤x0+1D. ∃x∈R，e x0≥x0+13.设a,b,c∈R，则a>b的充要条件是()A. ac<bcB. a5>b5C. a2>b2D. 1a >1b4.已知a>b>0，c>1，则下列各式成立的是()A. sina>sinbB. c a>c bC. a c<b cD. c−1b <c−1a5.已知1a +1b=1(a>0,b>0),则a+b的最小值为()A. 2B. 3C. 4D. 56.各项为正数的等比数列{a n}中，a5与a15的等比中项为2√2，则log2a4+log2a16等于()A. 4B. 3C. 2D. 17.等差数列{a n}为递增数列，S n为其前n项和，已知a5=4，a4⋅a6=12，则S7=()A. 14B. 12C. 21D. 78.在等差数列{a n}中，a9=12a12+6，则a6=()A. 10B. 11C. 12D. 139.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=√5x，则双曲线的离心率为()A. √66B. 2C. √5D. √610.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若满足a=2b，则C的离心率为()A. 12B. √22C. √32D. √5511.设0<m<12，若1m+21−2m≥k恒成立，则k的最大值为()A. 2B. 4C. 6D. 812.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)有共同的焦点F1，F2，且在第一象限内相交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2.若∠F1PF2=π3，当e1⋅e2取最小值时，e1=()．A. 12B. √22C. √32D. √62二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(1x−1)(√x+1)5的展开式中，x的系数为_________(用数字作答)．14.两个女生和三个男生站成一排照相，两个女生要求相邻，男生甲不站在两端，不同排法的种数为______．15.已知(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6，若a1+a2+⋯+a6=63，则实数m=________．16.函数f(x)=x3−e1−x−1在[0,2]上的最大值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知等差数列{a n}中，公差d>0，又a2·a3=45,a1+a4=14．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记数列b n=1a n·a n+1，数列{b n}的前n项和记为Sn，求Sn．18.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=PB=1，点E在线段PC上，且PE=2EC．(Ⅰ)证明：平面BDE⊥平面PCD；(Ⅱ)求二面角P−BD−E的余弦值．19.如图，已知椭圆C： x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线l：y=12x+1交于A、B两点．(1)若椭圆的离心率为√22，B 点坐标为(−43,13)，求椭圆的标准方程；(2)若直线OA 、OB 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1k 2=−14，求证：椭圆恒过定点，并求出所有定点坐标．20. 某市教科院为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关，从高一年级抽取60名同学(男同学30名，女同学30名)，给所有同学物理题和数学题各一题，让每位同学自由选择一题进行解答。

7淄博实验中学高三级部第一学期学习效果检测试题数 学第I 卷（共60分）12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）、选择题（本大题共 1. 已知集合 2N |x 3 , B x|x，则AIA.0,1B .1C.0,1 D. 0,12. 已知命题 P ：R , e x 1sin x .则命题A. sin xB .sinxC.x °sin x 0D. x °e x0sin x 03. 设a , b R ，则 “ a |b ”是 “ ab ”的（A. 充分不必要条件 B .必要不充分条件 C •充要条件 D •既不充分也不必要条件4. 已知 a b ，则下列成立的是（ A.-.bB . a 2 b 25. 已知 a 0,b 0, a b2，则a b C•二 2e e4 —的最小值是（bD. ac 2 be 2山东中学联盟A. B .C. D. 46. 已知 a 0,b 0,a,b 的等比中项为 2,b 1的最小值为（） aA.B . 4C.7. 已知等差数列 {a n }中，d 11,前7项的和S 735，则前n 项和S n 中（）A. 前6项和最大B .前7项和最大C .前6项和最小D .前7项和最小《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的最小一份的量为（）1 、—是较小的两份之和，则752b1（a b 0）的一个焦点，若椭圆上存在点A 使AOF （。

为坐标原点）为正三角形，则椭圆的离心率为（ ） A3 1B,3 1C 忑1D. 2 12211. 已知m0, xy 0 ，当x y2时，不等式-mx y4恒成立，则 m 的取值范围是A.2, B .2, C. 0, .2 D. 0,212 .已知Fi ，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 PF i PF 2，线段2 e ?PF 1的垂直平分线过 F 2，若椭圆的离心率为 0，双曲线的离心率为 €2，贝U-的最小值e 〔 2为（） A.B . 3C. 6D. ；3第H 卷非选择题（共90分）二、填空题：（请把答案填在题中横线上每小题 5分，共20分）.2 613. ____________________________________________ 在（3x -）的展开式中，x 2的系数为 .（用数字作答）x14.现有3位男学生3位女学生排成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有两位相邻，则不同的排法种数是 ______ .（用数字作答）5 5 5 A.-B.-C.-243D.9. 若双曲线2x ~2 a2y b 21的一条渐近线与直线 y 2x 垂直，则该双曲线的离心率为（A.B . ,5C.D. 210•点F 为椭圆2x~2a5 2018 2 , 201815. 设（1 ax）a0a1x a2x L a2018x ，右a1 2a2 3比2018a2018 2018a a 0，则实数a ____________ .16•已知函数y f x 在R 上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数 为f x ，当x 0时，有不等式x f x 2xf x 成立，若对x R ，不等式e 2xf e x a 2x 2 f ax0恒成立，则正整数a 的最大值为 _________ .山东中学联盟三•解答题：(本大题共6小题，共70分•解答应写岀文字说明，证明 过程或演算步骤).217. (本小题满分10分)等差数列a n 中，公差d 0, a 5 14 , a 3 a i a ii .(1) 求a n 的通项公式；1(2)若b n ，求数列b n 的前n 项和S n .a n an 118. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD 中，ABCD 为矩形， APB 是以 P 为直角的等腰直角三角形，平面 PAB 丄平面ABCD .(1)证明：平面PAD 丄平面PBC ;⑵ M 为直线PC 的中点，且AP2 219•已知椭圆c:%与 1(a b a 2 b 2 成的四边形的面积为 4 2 • (1)求椭圆C 的标准方程； 20 •(本小题满分12分)2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度，新高考不再分文理科。

淄博实验中学高三年级第一学期模块考试 2020.01数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}(){}10,ln A x x x B x y x a =-≤==-，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为（ ）A.(),0-∞ B (],0-∞ C.()1,+∞ D.[)1,+∞ 2.已知复数(3)13i z i +=-，i 为虚数单位，则下列说法正确的是( )A.i z =||B.i z =C.12=z D.z 的虚部为i - 3.“0x <”是“ln(1)0x +<”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.己知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为A ．7-B ．7C ．1D ．1-5.已知定义在[]m m 21,5--上的奇函数)(x f ，满足0>x 时，12)(-=xx f ，则)(m f 的值为（ ）A. -15B. -7C. 3D. 156.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代入们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代入们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ）A ．59B ．49C ．716D ．9167.已知23.035.02122log 5log ⎪⎭⎫ ⎝⎛====d c b a 、、、，从这四个数中任取一个数m ，使函数231)(23+++=x mx x x f 有极值点的概率为 ( )A.41 B.21 C.43D.1 8.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射入，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为 ( )A.712612+ B. 926+ C. 910+D.832612+ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值。

淄博实验中学高三年级第一学期第一次教学诊断考试数 学（科学）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1.已知集合}42|{},034|{2<<=<+-=x x B x x x A ，则A B =（ ）A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)2. 已知}{n a 是等差数列，,28,48721=+=+a a a a 则该数列前10项和=10S （ ）A.100B.64C.110D.1203．若函数ax x x x f -+=22ln )(存在与直线2-0=x y 平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A.]6--，（∞B.（-，-6][2,)∞+∞ C.),2[+∞ D. (.6)(2,)-∞-+∞4．若,a b R ∈，则1a b +>是1a b +>的（ ）条件A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件5．如图所示，函数26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象与坐标轴分别交于点,,D E F ，则DE F ∆的面积等于（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π6．在ABC ∆中，3,,3a C π=∠=ABC ∆的面积为,4则c=( )A.13B.7. 已知数列}{n a 的通项公式是nn n a 212-=，其前n 项和64321=n S ，则项数=n （ ）A. 13B. 10C. 9D. 68. 已知函数351()151x xf x x -=+++，若()(1)2f m f m ++>，则实数m 的取值范围( ) A. 1(,)2-+∞ B. 1(,)2+∞ C. 1(,)2-∞ D. 1(,)2-∞- 9. 已知ABC ∆和点M 满足MA ++=MB MC 0，若存在实数m ，使得AB +=AC mAM 成立，则=m （ ）A ．2B ．3C ．4D ．510.已知函数2x ,0()=ln(1),0⎧-≤⎨+>⎩x x f x x x ，若存在0R ∈x 使得00()1,≤-f x ax 则实数a 的取值范围是（ ）A.(0,)+∞B.[3,0]-C.(,-3][3,)-∞+∞D. (,-3]0,)（-∞+∞ 11. 已知函数()()1ln ,0mf x x m x m x=-+->，当[]1,e x ∈时，()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． ()1,+∞ C. ()0,1 D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭12.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0>m ，使()f x m x ≤对一切实数x 均成立，则()f x 称为“倍约束函数”．现给出下列函数：①()0=f x ；②2()=f x x ；③2()1=++xf x x x ；④ f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12，x x 均有1212()()2f x f x x x -≤-．其中是“倍约束函数”的序号是 （ ）A ．①②④B ．③④C ．①④D ．①③④二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量,a b 满足()()26,1,2a b a b a b +⋅-=-==且，则a b 与的夹角为_________.14.在ABC ∆中，B 120,AB AC ∠=︒==若A ∠的平分线交BC于点D ，则AD 的长为15. 函数()(ln )f x x x ax =-有极值，则实数a 的取值范围是 16.定义：若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意，()()x R f x T f x T ∈+=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期。

2019-2020学年山东省淄博实验中学高三（上）开学数学试卷（8月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合A＝{x∈N|x<3}，B＝{x|x2−x≤0}，则A∩B＝（）A.{0, 1}B.{1}C.[0, 1]D.(0, 1]【答案】A【考点】交集及其运算【解析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】∵集合A＝{x∈N|x<3}＝{0, 1, 2}，B＝{x|x2−x≤0}＝{x|0≤x≤1}，∴A∩B＝{0, 1}．2. 已知命题p:∀x∈R，e x≥1+sinx．则命题￢p为（）A.∀x∈R，e x<1+sinxB.∀x∈R，e x≤1+sinxC.∃x0∈R，e x0≤1+sinx0D.∃x0∈R，e x0<1+sinx0【答案】D【考点】命题的否定【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p:∀x∈R，e x≥1+sinx的否定是：∃x0∈R，e x0<1+sinx0．3. 设a，b∈R，则“a≥|b|”是“a>b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】举例说明不充分，再由a>b不能得到a≥|b|说明不必要．【解答】当a＝b＝0时，a≥|b|成立，不能得到a>b；反之由a>b，也不能得到a≥|b|，故“a≥|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件．4. 已知a>b，则下列成立的是（）A.√a>√bB.a2>b2C.ac >bcD.ac2>bc2【答案】C【考点】不等式的基本性质【解析】利用不等式的基本性质逐一判断即可．【解答】A．a>b，不能保证a，b都大于0，故不成立；B．b<a<0时，不成立；C．∵1c2>0,a>b，∴ac2>bc2，故C成立；D．当c＝0时，不成立．5. 已知a>0，b>0，a+b＝2，则y=1a +4b的最小值是（）A.9 2B.72C.5D.4【答案】A【考点】基本不等式及其应用【解析】利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【解答】∵a>0，b>0，a+b＝2，∴y=1a +4b=12(1a+4b)(a+b)=12(1+4+ba+4ab)≥12(5+2√ba⋅4ab)=92，当且仅当b＝2a时等号成立，6. 已知a>0，b>0，a，b的等比中项为2，则a+1b +b+1a的最小值为( )A.3B.4C.5D.4√2【答案】C【考点】等比中项数列与不等式的综合基本不等式【解析】利用等比数列中项、不等式基本性质直接求解．【解答】解：∵a>0，b>0，a，b的等比中项为2，∴ab=4，∴a+1b +b+1a≥2√ab+2√1a⋅1b=4+1=5．当且仅当a=b时，取等号，∴a+1b +b+1a的最小值为5．故选C.7. 已知等差数列{a n}中，a1＝11，前7项的和S7＝35，则前n项和S n中（）A.前6项和最小B.前7项和最小C.前6项和最大D.前7项和最大【答案】C【考点】等差数列的性质【解析】先根据等差数列的求和公式和S7的值，求得公差d，进而求得数列的通项公式，要使前n项和最大，只需a n≥0，进而求得n的范围．【解答】由等差数列求和公式S7＝7×11+7(7−1)2，d＝35可得d＝−2，则a n＝11+(n−1)×(−2)＝13−2n，要使前n项和最大，只需a n≥0即可，故13−2n≥0，解之得n≤6.5，故前6项的和最大．8. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小一份的量为（）A.5 2B.54C.53D.56【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】易得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a1，公差为d，由题意可得a1和d的方程，解方程可得．【解答】由题意可得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a1，公差为d，由题意可得[20+(a1+3d)+(a1+4d)]×17=a1+(a1+d)，解得a1=53，9. 若双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线与直线y＝2x垂直，则该双曲线的离心率为（）A.√52B.√5 C.√62D.2【答案】A【考点】双曲线的离心率【解析】由双曲线的渐近线斜率即可计算该双曲线的离心率，再利用c2＝a2+b2，e=ca即可得双曲线的离心率．【解答】双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线方程为y＝±bax，∵渐近线与直线y＝2x垂直，故渐近线的斜率为−12，∴ba ×(−12)＝−1，即a＝2b．即a2＝4b2＝4(c2−a2)，即5a2＝4c2，e2=54．∴双曲线的离心率e=√52．10. 点F为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A.√22B.√32C.√3−12D.√3−1【答案】D【考点】椭圆的离心率【解析】首先，写出焦点F的坐标，然后，根据△AOF为正三角形，建立等式，求解其离心率．【解答】如图所示：方法一、设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得直线OP的斜率为k＝tan60∘=√3，∴点P坐标为：(12c, √32c)，代入椭圆的标准方程，得c24 a2+34c2b2=1，∴b2c2+3a2c2＝4a2b2，∴(a2−c2)c2+3a2c2＝4a2(a2−c2)∴a2c2−c4+3a2c2＝4a4−4a2c2∴e2＝4−2√3∴e=√4−2√3=√(√3−1)2，∴e=√3−1．方法二、设椭圆的左焦点为F ′，连接PF ′，由题意可得∠FPF ′＝90∘， PF ＝c ，FF ′＝2c ，PF ′=√3c ， 由椭圆的定义可得√3c +c ＝2a ， 即有e =ca =3+1=√3−1． 故选：D ．11. 已知m >0，xy >0，当x +y ＝2时，不等式2x +m y≥4恒成立，则m 的取值范围是（ ）A.[√2, +∞)B.[2, +∞)C.(0, √2]D.(√2, 2]【答案】 B【考点】基本不等式及其应用 【解析】 根据条件有2x +m y=12(x +y)(2x+m y)=12(m +2+2y x +mx y)，化简后利用基本不等式可得2x +my 的最小值，然后根据2x +m y≥4恒成立可得12(m +2+2√2m)≥4，解出m 的范围即可． 【解答】∵ m >0，xy >0，x +y ＝2， ∴ 2x +m y=12(x +y)(2x+m y)=12(m +2+2y x+mx y)≥1(m +2+2√2y ⋅mx ) =12(m +2+2√2m)，∵ 不等式2x +m y≥4恒成立，∴ 12(m +2+2√2m)≥4，整理得(√m +3√2)(√m −√2)≥0，解得√m ≥√2，即m ≥2， ∴ m 的取值范围为[2, +∞)．12. 已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2e 1+e22的最小值为（ ） A.√6B.3C.6D.√3【答案】C【考点】圆锥曲线的综合问题椭圆的离心率双曲线的离心率【解析】通过图象可知F1F2＝F2P＝2c，利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得2e1+e22的表达式，通过基本不等式即得结论．【解答】由题意可知：F1F2＝F2P＝2c，又∵F1P+F2P＝2a1，F1P−F2P＝2a2，∴F1P+2c＝2a1，F1P−2c＝2a2，两式相减，可得：a1−a2＝2c，∵2e1+e22=2a1c+c2a2=4a1a2+c22ca2，∴2e1+e22=4(2c+a2)a2+c22ca2=8ca2+4a22+c22ca2=4+2a2c+c2a2，∵2a2c +c2a2≥2√2a2c⋅c2a2=2，当且仅当2a2c=c2a2时等号成立，∴2e1+e22的最小值为6，二、填空题：（请把答案填在题中横线上每小题5分，共20分）．在(3x−2x)6的展开式中，x2的系数为________．（用数字作答）【答案】4860【考点】二项式定理及相关概念【解析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．【解答】在(3x−2x)6的展开式中，通项公式为T r+1=C6r⋅(−2)r⋅36−r⋅x6−2r，令6−2r＝2，求得r＝2，可得x2的系数为C62⋅4⋅34＝4860，现有3位男学生3位女学生排成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有两位相邻，则不同的排法种数是________．（用数字作答）【答案】72【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分3步进行分析：①，将3位男学生全排列，②，在中间的2个空位中，任选1个安排1个女生，③，在剩下的3空位中，安排剩下的2个女生，由分步计数原理计算可得答案．【解答】根据题意，分3步进行分析：①，将3位男学生全排列，有A33＝6种情况，排好后中间有2个空位，②，在中间的2个空位中，任选1个安排1个女生，有3×2＝6种情况，③，在剩下的3空位中，安排剩下的2个女生，有2种情况；则有6×6×2＝72种安排方法；设(1−ax)2018＝a0+a1x+a2x2+...+a2018x2018，若a1+2a2+3a3+...+2018a2018＝2018a(a≠0)，则实数a＝________．【答案】2【考点】二项式定理及相关概念【解析】把已知等式边同时对x求导，再令x＝1，求得a的值．【解答】将(1−ax)2018＝a0+a1x+a2x2+...+a2018x2018两边同时对x求导，可得2018(1−ax)2017(−a)＝a1+2a2x+3a3x2+...+2018a2018x2017，令x＝1得，−2018a(1−a)2017＝a1+2a2+3a3+...+2018a2018＝2018a，又a≠0，所以(1−a)2017＝−1，1−a＝−1，故a＝2，已知函数y=f(x)在R上的图像是一条连续不断的曲线，并且关于原点对称，其导函数为f′(x)，且当x>0时，有x2f′(x)>−2xf(x)恒成立. 若对∀x∈R，不等式e2x f(e x)−a2x2f(ax)>0恒成立，则正整数a的最大值为________．【答案】2【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性奇偶性与单调性的综合【解析】可得函数f(x)为R上的奇函数．令g(x)＝x2f(x)，则g(x)为奇函数．可得g(x)在[0, +∞)单调递增．函数g(x)在R上单调递增．对∀x∈R，不等式e2x f(e x)−a2x2f(ax)>0恒成立，⇔e2x f(e x)>a2x2f(ax)−ax⇔g(e x)>g(ax)．即只需e x>ax．进而得出答案【解答】解：定义在R上的函数f(x)关于原点对称，∴函数f(x)为R上的奇函数．令g(x)=x2f(x)，则g(x)为奇函数．g′(x)=x2f′(x)+2xf(x)，当x>0时，不等式g′(x)>0，g(x)在[0, +∞)单调递增，∴函数g(x)在R上单调递增．不等式e2x f(e x)−a2x2f(ax)>0恒成立⇔e2x f(e x)>a2x2f(ax)⇔g(e x)>g(ax)，∴e x>ax．当x>0时，a<e xx=ℎ(x)，则ℎ′(x)=e x(x−1)x2，可得x=1时，函数ℎ(x)取得极小值即最小值，ℎ(1)=e，∴a<e，此时正整数a的最大值为2．a=2对于x≤0时，e x>ax恒成立．综上可得：正整数a的最大值为2．故答案为：2．三．解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．等差数列{a n}中，公差d≠0，a5＝14，a32＝a1a11．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和S n．【答案】解：(1)∵{a n}是等差数列，公差d≠0，a5=14，a32=a1a11，可得a1+4d=14，(a1+2d)2=a1(a1+10d)，解得a1=2，d=3，所以{a n}的通项公式：a n=a1+(n−1)d=3n−1；(2)b n=1a n a n+1=1(3n−1)(3n+2)=13(13n−1−13n+2)，数列{b n}的前n项和：S n=1[1−1+1−1+⋯+1−1]=13(12−13n+2)=16−19n+6．【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】（1）利用已知条件求出数列的首项与公差，然后求解等差数列的通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．【解答】解：(1)∵{a n}是等差数列，公差d≠0，a5=14，a32=a1a11，可得a1+4d=14，(a1+2d)2=a1(a1+10d)，解得a1=2，d=3，所以{a n}的通项公式：a n=a1+(n−1)d=3n−1；(2)b n=1a n a n+1=1(3n−1)(3n+2)=13(13n−1−13n+2)，数列{b n }的前n 项和：S n =13[12−15+15−18+⋯+13n −1−13n +2]=13(12−13n+2)=16−19n+6．如图，在四棱锥P −ABCD 中，ABCD 为矩形，△APB 是以∠P 为直角的等腰直角三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ．（1）证明：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）M 为直线PC 的中点，且AP ＝AD ＝2，求二面角A −MD −B 的余弦值． 【答案】∵ ABCD 为矩形，∴ AD ⊥AB ，∵ 平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ， ∴ AD ⊥平面PAB ，则AD ⊥PB ，又PA ⊥PB ，PA ∩AD ＝A ， ∴ PB ⊥平面PAD ，而PB ⊂平面PBC ， ∴ 平面PAD ⊥平面PBC ．取AB 中点O ，分别以OP ，OB 所在直线为x ，y 轴建立空间直角坐标系， 由AP ＝AD ＝2，△APB 是以∠P 为直角的等腰直角三角形， 得：A(0, −√2, 0)，D(0, −√2, 2)，B(0, √2, 0)，M(√22, √22, 1)，MA →=(−√22, −3√22, −1)，MD→=(−√22, −3√22, 1)，MB→=(−√22, √22, −1)， 设平面MAD 的一个法向量为m →=(x, y, z)，由{m →⋅MA →=−√22x −3√22y −z =0m →⋅MD →=−√22x −3√22y +z =0，取y ＝1，得m →=(−3, 1, 0)， 设平面MBD 的一个法向量为n →=(x, y, z)，由{n →⋅MD →=−√22x −3√22y +z =0n →⋅MB →=−√22x +√22y −z =0 ，取z ＝1，得n →=(−1, 1, √2)， ∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=10×2=√105， ∴ 二面角A −MD −B 的余弦值为√105．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】（1）推导出AD ⊥AB ，从而AD ⊥平面PAB ，进而AD ⊥PB ，由PA ⊥PB ，得PB ⊥平面PAD ，由此能一个劲的平面PAD ⊥平面PBC ．（2）取AB 中点O ，分别以OP ，OB 所在直线为x ，y 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −MD −B 的余弦值． 【解答】∵ ABCD 为矩形，∴ AD ⊥AB ，∵ 平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ， ∴ AD ⊥平面PAB ，则AD ⊥PB ，又PA ⊥PB ，PA ∩AD ＝A ， ∴ PB ⊥平面PAD ，而PB ⊂平面PBC ， ∴ 平面PAD ⊥平面PBC ．取AB 中点O ，分别以OP ，OB 所在直线为x ，y 轴建立空间直角坐标系， 由AP ＝AD ＝2，△APB 是以∠P 为直角的等腰直角三角形， 得：A(0, −√2, 0)，D(0, −√2, 2)，B(0, √2, 0)，M(√22, √22, 1)，MA →=(−√22, −3√22, −1)，MD →=(−√22, −3√22, 1)，MB →=(−√22, √22, −1)， 设平面MAD 的一个法向量为m →=(x, y, z)，由{m →⋅MA →=−√22x −3√22y −z =0m →⋅MD →=−√22x −3√22y +z =0 ，取y ＝1，得m →=(−3, 1, 0)， 设平面MBD 的一个法向量为n →=(x, y, z)，由{n →⋅MD →=−√22x −3√22y +z =0n →⋅MB →=−√22x +√22y −z =0，取z ＝1，得n →=(−1, 1, √2)， ∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√10×2=√105， ∴ 二面角A −MD −B 的余弦值为√105．已知椭圆C:x 2a +y 2b=1(a >b >0)的离心率为√22，椭圆C 的四个顶点围成的四边形的面积为4√2．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)设M 为椭圆C 的右顶点，过点N(6, 0)且斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，记直线PM ，QM 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1⋅k 2为定值． 【答案】（1）由题意有{e =ca =√222ab =4√2a 2=b 2+c 2⇒{a =2b =√2c =√2 ，∴ 椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1． （2）由(Ⅰ)可知M(2, 0)，依题意得直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝k(x −6)(k ≠0) 设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，(x 1, x 2≠2)，联立方程{x 24+y 22=1y =k(x −6) ， 消去y 并整理可得(1+2k 2)x 2−24k 2x +72k 2−4＝0，x 1+x 2=24k 21+2k 2，x 1x 2=72k 2−41+2k2，k 1k 2=y 1x 1−2.y 2x 2−2=k 2(x 1−6)(x 2−6)x1x 2−2(x 1+x 2)+4=k 2[x 1x 2−6(x 1+x 2)+36]x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=k 2[72k 2−41+2k 2−144k 21+2k 2+36]72k 2−41+2k 2−48k21+2k 2+4=k 2[72k 2−4−144k 2+36(1+2k 2)]72k 2−4−48k 2+4(1+2k 2)=32k 232k 2=1为定值．【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】(Ⅰ)利用性质建立方程组，求出椭圆的方程；(Ⅱ)先建立方程组化为一元二次方程，利用根与系数关系，建立k 1⋅k 2的表达式，并化简证明． 【解答】（1）由题意有{e =ca =√222ab =4√2a 2=b 2+c 2⇒{a =2b =√2c =√2 ，∴ 椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1． （2）由(Ⅰ)可知M(2, 0)，依题意得直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝k(x −6)(k ≠0) 设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，(x 1, x 2≠2)，联立方程{x 24+y 22=1y =k(x −6)， 消去y 并整理可得(1+2k 2)x 2−24k 2x +72k 2−4＝0，x 1+x 2=24k 21+2k 2，x 1x 2=72k 2−41+2k 2，k 1k 2=y 1x1−2.y 2x 2−2=k 2(x 1−6)(x 2−6)x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=k 2[x 1x 2−6(x 1+x 2)+36]x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=k 2[72k 2−41+2k 2−144k 21+2k 2+36]72k 2−41+2k 2−48k 21+2k 2+4=k 2[72k 2−4−144k 2+36(1+2k 2)]72k 2−4−48k 2+4(1+2k 2)=32k 232k 2=1为定值．2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度，新高考不再分文理科．某省采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3)，每科目满分100分．为了应对新高考，某学校从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别分层，采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查．（1）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的100名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），如下表是根据调查结果得到的2×2列联表．请求出a 和b ，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中随机抽取4人，设这4人中选择“历史”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)由题意，男生人数为100×5501000=55，女生人数为100×4501000=45， 所以2×2列联表为：a ＝45，b ＝20．假设H 0：选择科目与性别无关，所以K 2的观测值k =100(45×20−25×10)270×30×55×45≈8.129>6.635，查表可得：P(K 2≥k)<0.01，所以有99%的把握认为选择科目与性别有关．从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择物理，4人选择历史，9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择历史的人数X 可为0，1，2，3，4．设事件X 发生概率为P(X)，则P(X =0)=C 54C 94=5126，P(X =1)=C 53C41C 94=40126， P(X =2)=C 52C42C 94=60126， P(X =3)=C 51C43C 94=20126，P(X =4)=C 44C 94=1126．所以X 的分布列为：所以X 的数学期望EX =0×5126+1×40126+2×60126+3×20126+4×1126=169．【考点】离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）求出男生人数，女生人数，完成2×2列联表．即可求出a 和b ，求出k2，即可判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关．（2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中随机抽取4人，设这4人中选择“历史”的人数为X 的取值，求出概率即可得到，X 的分布列及数学期望． 【解答】由题意，男生人数为100×5501000=55，女生人数为100×4501000=45， 所以2×2列联表为：a ＝45，b ＝20．假设H 0：选择科目与性别无关，所以K 2的观测值k =100(45×20−25×10)270×30×55×45≈8.129>6.635，查表可得：P(K 2≥k)<0.01，所以有99%的把握认为选择科目与性别有关．从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择物理，4人选择历史，9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择历史的人数X 可为0，1，2，3，4．设事件X 发生概率为P(X)，则P(X =0)=C 54C 94=5126，P(X =1)=C 53C41C 94=40126，P(X=2)=C52C42C94=60126，P(X=3)=C51C43C94=20126，P(X=4)=C44C94=1126．所以X的分布列为：所以X的数学期望EX=0×5126+1×40126+2×60126+3×20126+4×1126=169．已知函数f(x)=12x2−alnx+1(a∈R)．(Ⅰ)若函数f(x)在[1, 2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；(Ⅱ)若−2≤a<0，对任意x1，x2∈[1, 2]，不等式|f(x1)−f(x2)|≤m|1x1−1x2|恒成立，求实数m的取值范围．．【答案】（1）∵f(x)=12x2−alnx+1在[1, 2]上是增函数，∴f′(x)＝x−ax≥0恒成立，所以a≤x2，只需a≤(x2)min＝1；（2）因为−2≤a<0，由(Ⅰ)知，函数f(x)在[1, 2]上单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，则|f(x1)−f(x2)|≤m|1x1−1x2|，可化为f(x2)+m x2≤f(x1)+mx1，设ℎ(x)＝f(x)+mx =12x2−alnx+1+mx，则ℎ(x1)≥ℎ(x2)．所以ℎ(x)为[1, 2]上的减函数，即ℎ′(x)＝x−ax −mx2≤0在[1, 2]上恒成立，等价于m≥x3−ax在[1, 2]上恒成立，设g(x)＝x3−ax，所以m≥g(x)max，因−2≤a<0，所以g′(x)＝3x2−a>0，所以函数g(x)在[1, 2]上是增函数，所以g(x)max＝g(2)＝8−2a≤12（当且仅当a＝−2时等号成立）．所以m≥12．【考点】利用导数研究函数的单调性函数恒成立问题【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；(Ⅱ)问题可化为f(x2)+mx2≤f(x1)+mx1，设ℎ(x)＝f(x)+mx=12x2−alnx+1+mx，求出函数的导数，问题等价于m≥x3−ax在[1, 2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】（1）∵f(x)=12x2−alnx+1在[1, 2]上是增函数，∴f′(x)＝x−ax≥0恒成立，所以a≤x2，只需a≤(x2)min＝1；（2）因为−2≤a<0，由(Ⅰ)知，函数f(x)在[1, 2]上单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，则|f(x1)−f(x2)|≤m|1x1−1x2|，可化为f(x2)+m x2≤f(x1)+mx1，设ℎ(x)＝f(x)+mx =12x2−alnx+1+mx，则ℎ(x1)≥ℎ(x2)．所以ℎ(x)为[1, 2]上的减函数，即ℎ′(x)＝x−ax −mx2≤0在[1, 2]上恒成立，等价于m≥x3−ax在[1, 2]上恒成立，设g(x)＝x3−ax，所以m≥g(x)max，因−2≤a<0，所以g′(x)＝3x2−a>0，所以函数g(x)在[1, 2]上是增函数，所以g(x)max＝g(2)＝8−2a≤12（当且仅当a＝−2时等号成立）．所以m≥12．随着国内电商的不断发展，快递业也进入了高速发展时期，按照国务院的发展战略布局，以及国家邮政管理总局对快递业的宏观调控，SF快递收取快递费的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg （不足1kg，按1kg计算）需再收5元．某县SF分代办点将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：对近天，每天揽件数量统计如表：(1)计算该代办点未来5天内不少于2天揽件数在101∼300之间的概率；(2)①估计该代办点对每件包裹收取的快递费的平均值；②根据以往的经验，该代办点将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用．目前该代办点前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资110元．代办点正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后代办点每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？ 【答案】解：(1)样本中包裹件数在101∼300之间的天数为36， 频率f =3660=35，故可估计概率为35，显然未来5天中，包裹件数在101∼300之间的天数服从二项分布，即X ~B(5,35)， 故所求概率为1−P(X =0)−P(X =1)=1−C 50×(1−35)5−C 51×35×(1−35)4=28533125．(2)①样本中快递费用及包裹件数如下表：10×43+15×30+20×15+25×8+30×4100=15，故估计该代办点对每件快递收取的费用的平均值为15元． ②代办点不应将前台工作人员裁员1人，理由如下：根据题意及①，揽件数每增加1，代办点快递收入增加15（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，代办点每日揽件数情况如下：故代办点平均每日利润的期望值为260×15×13−3×110=970（元）； 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，代办点每日揽件数情况如下：则代办点平均每日利润的期望值为235×15×13−2×110=955（元）， 970>955，故代办点不应将前台工作人员裁员1人. 【考点】离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）样本中包裹件数在101∼300之间的天数为36，频率f =3660=35，可估计概率为35，显然未来5天中，包裹件数在101∼300之间的天数服从二项分布，即XB(5,35)，即可得出．（2）①样本中快递费用及包裹件数可得列表，可得样本中每件快递收取的费用的平均值．②代办点不应将前台工作人员裁员1人，理由如下：根据题意及（2）①，搅件数每增加1，代办点快递收入增加15（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，代办点每日揽件数情况如表，可得代办点平均每日利润的期望值．若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，代办点每日揽件数情况如表．即可得出． 【解答】解：(1)样本中包裹件数在101∼300之间的天数为36， 频率f =3660=35，故可估计概率为35，显然未来5天中，包裹件数在101∼300之间的天数服从二项分布，即X ~B(5,35)， 故所求概率为1−P(X =0)−P(X =1)=1−C 50×(1−35)5−C 51×35×(1−35)4=28533125．(2)①样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为10×43+15×30+20×15+25×8+30×4100=15，故估计该代办点对每件快递收取的费用的平均值为15元． ②代办点不应将前台工作人员裁员1人，理由如下：根据题意及①，揽件数每增加1，代办点快递收入增加15（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，代办点每日揽件数情况如下：−3×110=970（元）；故代办点平均每日利润的期望值为260×15×13若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，代办点每日揽件数情况如下：−2×110=955（元），则代办点平均每日利润的期望值为235×15×13970>955，故代办点不应将前台工作人员裁员1人.。