天津市实验中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

天津市实验中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．下列关系中正确的是（）A ．1Q 2∈B RC ．0+ÎND ．π∈Z2．下列各式中：①{}{}00,1,2∉；②{}{}0,1,22,1,0⊆；③{}0,1,2∅⊆；④{}0∅=；⑤{}(){}0,10,1=；⑥{}00=，正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．43．全集{*U x x =∈N ∣且}{}{}10,1,3,5,7,6,7,8,9x A B <==，则()U A B ⋃=ð（）A ．{}2B ．{}2,4C ．{}7D ．{}2,4,74．已知命题p ：1x ∃>，240x -<，则p ⌝是（）A ．1x ∃>，240x -≥B ．1x ∃≤，240x -<C ．1x ∀≤，240x -≥D ．1x ∀>，240x -≥5．若集合{}1,,A a b =，集合{}2,,B a a ab =，且A B =，则（）A ．1a =-，0b =B ．1a =，0b =C ．1a =±，0b =D ．不确定6．已知全集U =R ，{}31A x x =-<<，{}02B x x =≤<，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}30x x -<<B ．{}30x x -<≤C ．{}32x x -<<D ．{}01x x ≤<7．已知,a b ∈R ，则“1a >，1b <-”是“222a b +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知集合{}220|A x mx x m =-+=仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为（）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．∅二、填空题9．某校学生积极参加社团活动，高一某班共有40名学生，其中参加围棋社团的学生有23名，参加合唱社团的学生有25名（并非每个学生必须参加某个社团）.请问，在该班学生中，同时参加围棋社团和合唱社团的最多有名学生，最少有名学生.10．若集合{}N |12A x x =∈-<≤，{},,B x x ab a b A ==∈，则集合B 的非空真子集的个数为.11．已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为.12．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7=M ，对它的非空子集A ，可将A 中的每一个元素k 都乘以()1k -再求和（如{}2,3,5A =，可求得和为：()()()2352131516⋅-+⋅-+⋅-=-，则对M 的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是.三、解答题13．（1）已知集合{}20A x x =-≤≤或{|1B x x =<-或}4>x ，全集U =R .求A B 和()()U U A B ⋂痧.（2）已知集合(){},20A x y x y =-=，(){},350B x y x y =+-=，求A B ⋂并解释它的几何意义.14．已知集合{|3},{|2A x a x a B x x =≤≤+=<-或6}x >.（1）若A B =∅ ，求a 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求a 的取值范围.15．设{}222{40},2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中R x ∈，如果A B B = ，求实数a 的取值范围.16．“1a <”是“方程2210ax x ++=（0a ≠）有一个正根和一个负根”的条件；并证明.。

2022-2023年度第一学期高二年级期中质量调查（数学）试卷满分： 150分 时长：100分钟第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线的倾斜角为( )50x +-=A. B. 30︒-60︒C. D. 120︒150︒2.圆的圆心到直线( )22(1)1x y ++=y =A. 0B. 1C.3.已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则实数的值y 2=2px(p >0)M(1,m)(m >0)5m 是( )A. B. C. D. ‒42484.已知是椭圆的两个焦点，过的直线l 交椭圆于两点，若12(1,0),(1,0)F F -1F ,M N 的周长为8，则椭圆方程为( )∆MF 2N A. B. C. D. 22143x y +=22143y x +=2211615x y +=2211615y x +=5.已知双曲线上有一点M 到右焦点的距离为18，则点M 到左焦点的22=1259x y -1F 2F 距离是( )A. 8B. 28C. 12D. 8或286.若点在圆 的内部，则a 的取值范围是( )(2,1)a a +22+(1)=5x y -A. B. C. D. (1,1)-(0,1)1(1,)5-1(,1)5-7.是方程表示双曲线的( )9k >22+=194x y k k --A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件8.P 是椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若221169x y +=1F 2F ，则的大小为 ( )12||||12PF PF ⋅=12F PF ∠A. B. C. D. 60︒30︒120︒150︒9.若点，，直线l 过点且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的(2,3)A --(3,2)B --(1,1)P 取值范围是( )A. B.k ≤34或k ≥43k ≤‒43或k ≥‒34C. D. 34≤k ≤43‒43≤k ≤‒3410.已知圆截直线所得线段的长度是M 与22:20(0)M x y ay a +-=>0x y +=圆的位置关系是( )22:(1)(1)1N x y -+-=A. 内切 B. 相离 C. 外切 D. 相交11.以下四个命题表述错误的的是( )A. 圆上有且仅有3个点到直线222x y +=:10l x y -+=B. 曲线与曲线，恰有四条公切线，221:20C x y x ++=222:480C x y x y m +--+=则实数m 的取值范围为4m >C. 已知圆，P 为直线上一动点，过点P 向圆C 引一22:2C x y +=0x y ++=条切线PA ，其中A 为切点，则的最小值为2||PA D. 已知圆，点P 为直线上一动点，过点P 向圆C 引22:4C x y +=:280l x y +-=两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过点1(1,212.已知椭圆C ：的左焦点为F ，点A 是椭圆C 的上顶点，直线22221(0)x y a b a b+=>>l ：与椭圆C 相交于M ，N两点．若点A 到直线l 的距离是1，且2y x =，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )|MF |+|NF |≤6A. B. C. D.第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）13.以点为圆心，并且与y 轴相切的圆的方程是__________.(2,3)P -14.设m 是常数，若点是双曲线的一个焦点，则__________.(0,5)F 2219y x m -=m =15.已知直线过点，它在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，则此直线的方程为(2,3)__________.16.在平面直角坐标系Oxy 中，若双曲线经过点，则该双曲线的2221(0)y x b b-=>(3,4)渐近线方程是__________.17.直线l 过点且与圆相切，那么直线l 的方程为(4,0)-22(1)(2)9x y ++-=__________.18.设圆的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中点M 的轨迹方2242110x y x y +-+-=程是__________.19.已知F 为双曲线-的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上:C 22x a 22y b1(0,0)a b =>>的点且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为__________.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，2228x y -=1F ，过点作一直线与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，使得，则2F 2F 190F PQ ︒∠=的内切圆的半径为__________.1F PQ 三、解答题（本大题共4小题，共50.分。

2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。

上海市青浦区实验中学2019-2020学年八年级上学期期中考试数学试卷一、选择题（共18分，每题3分）1.下列方程是一元二次方程的是（）A.1x-=0x+1 B.2x-2x C.23x-2x+1=0 D.2ax+bx+c=0【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】A．该方程属于分式方程，故本选项错误；B．根号内含有未知数，是无理方程，故本选项错误；C．该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D．当a=0时，它不是一元二次方程，故本选项错误．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．2.二次三项式2x2-8x+5在实数范围内因式分解为（）A.4+64-6(x+)(x+)22 B.4+66(x-)(x-)22C.4+64-62(x+)(x-)22 D.4+64-62(x-)(x-)22【答案】D【解析】【分析】令二次三项式等于0，求出x的值，即可得到分解因式的结果．【详解】令2x 2-8x +5=0，解得：x 1=426，x 2=426，则2x 2-8x +5=46462()()22x x +---．故选D ．【点睛】本题考查了实数范围内分解因式-求根公式法．当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．注意当无法用十字相乘法的方法时用求根公式法可分解因式．3.对圆的周长公式2C r π=的说法正确的是（）A.π,r 是变量，2是常量B.C ,r 是变量，π,2是常量C.r 是变量，2,π,C 是常量D.C 是变量，2,π,r 是常量【答案】B 【解析】在变化过程中，某量若保持不变，则称之为常量；反之，则称之为变量.π是常数，约等于3.14，和2一样是不变的常数，所以它们是常量；C 和r 是变化的量，故是变量，故选B.4.在下列函数中，当x 增大时，y 的值减小的函数是（）A.y=2xB.y=5xC.3y=-xD.x y=-4【答案】D 【解析】【分析】根据一次函数的性质，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，反比例函数的增减性必须是在每个象限内或在双曲线的每一支上，否则，不能讨论它的增减性．【详解】A ．是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故本选项错误；B ．k =5＞0，所以y 随x 的增大而增大，故本选项错误；C ．是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故本选项错误．D ．是一次函数k =14-＜0，所以y 随x 的增大而减小，正确．故选D ．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的性质，反比例函数的增减性必须强调在每个象限内或在双曲线的每一支上，这也是同学们经常出错的地方．5.函数1y=k x 和2k y=x(k 1>0，且k 1k 2<0)的图像大致是（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】首先根据k 1＞0且k 1k 2＜0，可得k 2＜0，再根据正比例函数的性质可得y =k 1x 的图象在第一三象限，根据反比例函数的性质可得2k y x=的图象在第二四象限，进而可选出答案．【详解】∵k 1＞0且k 1k 2＜0，∴k 2＜0，∴y =k 1x 的图象在第一三象限，2k y x=的图象在第二四象限．故选C ．【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象与性质，关键是熟练掌握两个函数的性质．6.同学聚会，每两人都握手一次，共握手45次，设x 人参加聚会，列方程为（）A.x(x-1)=45 B.x(x-1)=452C.12x(x-1)=45 D.x(x+1)=45【答案】C 【解析】【分析】本题利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x 人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为12x （x ﹣1），列方程即可．【详解】由题意列方程得：12x （x ﹣1）=45．故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．找准相等关系是解答本题的关键．二、填空题（共36分，每题3分）7.如果x=12是一元二次方程x2+bx+2=0的一个根，则b的值为____________.【答案】9-2【解析】【分析】把方程的解x=12代入方程得到关于b的等式，可以求出字母系数b的值．【详解】把x=12代入方程有：112042b++=，解得：b=92-．故答案为：9 2-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．8.方程x2=8x的根是______．【答案】x1=0，x2=8【解析】【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：x2=8x，x2-8x=0，x（x-8）=0，x=0，x-8=0，x1=0，x2=8，故答案为：x1=0，x2=8．【点睛】考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．9.将方程x2-4x-3=0用配方法化成(x+a)2=b的形式，所得方程是____________________.【答案】(x-2)2=7【解析】【分析】根据配方法的步骤把常数项移到等号的右边，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，然后进行配方即可求出答案．【详解】x2﹣4x﹣3=0，x2﹣4x=3，x2﹣4x+4=3+4，（x﹣2）2=7．故答案为：（x﹣2）2=7．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解答本题的关键．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．10.方程x2-2x-3=0的根的判别式的值为________________.【答案】16【解析】【分析】先找出一元二次方程x2﹣2x﹣3=0中a、b、c的值，再代入判别式△=b2﹣4ac计算即可．【详解】∵a=1，b=﹣2，c=﹣3，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）=4+12=16．故答案为：16．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，牢记根的判别式为△=b2﹣4ac是解题的关键．11.函数y=x-2x-3的定义域是____________________.【答案】x≥2且x≠3【解析】【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是二次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．【详解】∵函数y=23xx--，∴x-2≥0且x-3≠0，解得：x≥2且x≠3，∴函数y=23xx--的定义域为x≥2且x≠3．故答案为：x≥2且x≠3．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．12.已知函数y=32x-1-2x，则f(1)=_________________.【答案】1【解析】【分析】把x =1代入函数解析式，计算即可．【详解】f （1）=3221--=3－2=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了函数值．掌握函数值的求法是解答本题的关键．13.已知直角三角形的一个锐角为36°，则另一个锐角的大小为________________.【答案】54°【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．【详解】90°﹣36°=54°．故答案为：54°．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题．14.已知，RtΔABC 中，∠C =90°，∠ABC =30°，BC =3，那么AC =________________．3【解析】【分析】设AC =x ．由30°角所对直角边等于斜边的一半，得到AB =2AC =2x ．由Rt △ABC 中，利用勾股定理，即可求出AC 的长．【详解】设AC =x ．∵∠C =90°，∠ABC =30°，∴AB =2AC =2x ．又∵BC 2222(2)3AB AC x x x -=-=3，∴x 3，∴AC 33．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，知道30度角所对的直角边等于斜边的一半是解答本题的关键．15.在实数范围内因式分解：2x2-x-2=__________________.【答案】117117 2()44x x+--【解析】【分析】当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．2x2-x-2不是完全平方式，所以只能用求根公式法分解因式．【详解】2x2-x-2=0的解是x1=1174，x2=﹣1174，所以2x2-x-2=1171172(44x x+---．【点睛】本题考查了实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．求根公式法分解因式：ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根．16.一次函数y=112x-+图像与坐标轴围成的三角形的面积是______________．【答案】1【解析】【分析】求得函数与坐标轴的交点，然后根据三角形的面积公式即可求得三角形的面积．【详解】一次函数的关系式是y=112x-+，当x=0时，y=1；当y=0时，x=2，它的图象与坐标轴围成的三角形面积是：12×1×2=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．求线段的长的问题一般是转化为求点的坐标的问题解决．17.某药品原来售价为20元，经过连续两次降价后的售价为12.8元，则平均每次的降价率为____________________.【答案】20%【解析】【分析】设平均每次降价率为x，可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣x）=12.8，把相应数值代入即可求解．【详解】设平均每次降价率为x，则第一次降价后的价格为20×（1﹣x），两次连续降价后售价后的价格为：20×（1﹣x）×（1﹣x），则列出的方程是20×（1﹣x）2=12.8，解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（舍去）．即平均每次的降价率为20%．故答案为：20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．18.若A、B两点关于y轴对称，点A在双曲线y=2x上，点B在直线y=-x上，则点B的坐标是___________________________.【答案】2，2）或（22）【解析】【分析】首先根据A、B两点关于y轴对称，设B的坐标是B（a，b），则A（﹣a，b）．根据点B在直线y=﹣x上，得到a，b之间的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出a、b的值，进而得到B的坐标．【详解】∵A、B两点关于y轴对称，∴设B点坐标是（a，b），则A（﹣a，b）．∵点B在直线y=﹣x上，∴﹣a=b，∴B坐标变为：（a，﹣a），A点坐标变为（﹣a，﹣a）．∵点A在双曲线y=2x上，∴a2=2，∴a=2．当a=2时，b=2；当a=2时，b2，∴B点2，2）或（2-2）．故答案为：2，2-）或（2，2）．【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，反比例函数图象上点的特征，以及正比例函数图象上点的特征，关键是要准确掌握各函数图象上的点的特征，才能正确解决问题．三、解答题(共46分，19-22题每题5分，23-24每题8分，25题10分)19.已知关于x的一元二次方程（m-1）x2-2x+3=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．【答案】m＜43且m≠1．【解析】【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（m﹣1）×3＞0，且m﹣1≠0，然后解不等式即可．【详解】根据题意得：△=22﹣4（m﹣1）×3＞0且m﹣1≠0，解得：m＜43且m≠1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．20.建一个面积为1152平方米的长方形仓库，仓库的一面靠墙，墙长100米，另三面用长度为120米的铁栅栏围起来，求仓库两条邻边的长度各是多少米？【答案】长为48米，宽为24米或长为96米，宽为12米【解析】【分析】设垂直于墙的一边是x米．根据面积为1152平方米的长方形列方程求解．【详解】设垂直于墙的一边是x米．根据题意，得：x（120﹣2x）=1152整理得：x2﹣60x+576=0．解得：x=48或x=12．当x=48时，120-2x=24；当x=12时，则120﹣2x=96．答：仓库两条邻边的长各是48米、24米或96米、12米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系列方程是解答本题的关键．21.已知正比例函数y=1x2和反比例函数的图像都经过A，点A的纵坐标是-3，求这个反比例函数的解析式.【答案】18 yx【解析】【分析】根据题意将y =－3代入正比例函数解析式，求出点A 的坐标，再将点A 代入反比例函数(0)ky k x=≠求出解析式即可．【详解】∵点A 在正比例函数y =12x 的图象上，∴－3=12x ，解得：x =－6，∴A （－6，－3）．又∵A 在反比例函数k y x=的图象上，∴63k -=-，解得：k =18，∴反比例函数的解析式为18y x =．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，注意交点同时满足两个函数的解析式．22.已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA.求证：FD⊥BC.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据已知利用HL 即可判定△BEC ≌△DEA ，利用全等三角形的对应角相等可得到∠B=∠D ，从而不难求得DF ⊥BC ．【详解】∵BE ⊥CD ，∴∠CEB=∠AED=90°，在Rt △BEC 和Rt △DEA 中，{BE DE BC DA==∴Rt △BEC ≌Rt △DEA （HL ），∴∠CBE=∠ADC ，∵∠CBE+∠C=90°，∴∠ADC+∠C=90°，∴DF ⊥BC.【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质的理解及运用，做题时要注意思考，认真寻找全等三角形全等的条件是解决本题的关键．23.小强骑车从家到学校要经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上小强骑车的距离s(千米)与骑车的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息回答下列问题：(1)小强去学校时下坡路长千米；(2)小强下坡的速度为千米/分钟；(3)若小强回家时按原路返回，且上坡的速度不变，下坡的速度也不变，那么回家骑车走这段路的时间是分钟.【答案】（1）2（2）0.5（3）14【解析】【分析】（1）根据题意和函数图象可以得到下坡路的长度；（2）根据函数图象中的数据可以求的小强下坡的速度；（3）根据题意可以求得小强上坡的速度，进而求得小强返回时需要的时间．【详解】（1）由题意和图象可得：小强去学校时下坡路为：3﹣1=2（千米）．故答案为：2；（2）小强下坡的速度为：2÷（10﹣6）=0.5千米/分钟．故答案为：0.5；（3）小强上坡时的速度为：1÷6=16千米/分钟，故小强回家骑车走这段路的时间是：2110.56=14（分钟）．故答案为：14．【点睛】本题考查了函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．24.如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x经过点A（m，6），点B坐标为（4，0）．（1）求点A的坐标；（2）若P为射线OA上的一点，当ΔPOB是直角三角形时，求P点的坐标．【答案】（1）（3，6）；（2）（4，8）或（0.8，1.6）．【解析】【分析】（1）根据直线y=2x经过点A（m，6），可得6=2m，易求m=3，即可得A点坐标；（2）考虑有两种情况：①当∠OBP=90°时，点P的横坐标与点B的横坐标相同，均为4，把x=4代入y=2x，易求y=8，从而可得P点坐标；当∠OPB=90°时，可先设P点坐标是（n，2n），根据勾股定理易得n2+（2n）2+（n﹣4）2+（2n）2=42，解方程即可得到结论．【详解】（1）∵直线y=2x经过点A（m，6），∴6=2m，解得：m=3，∴点A的坐标为（3，6）；（2）分两种情况讨论：①当∠OBP=90°时，点P的横坐标与点B的横坐标相同，均为4，将x=4代入y=2x，得y=8，∴点P的坐标为（4，8）；②当∠OPB=90°时，PO2+PB2=OB2，设P点坐标为（n，2n），n2+（2n）2+（n﹣4）2+（2n）2=42，解得：n1=0.8，n2=0（舍去），∴点P的坐标为（0.8，1.6）．综上所述：当△POB是直角三角形时，点P的坐标为（4，8）或（0.8，1.6）．【点睛】本题考查了一次函数综合题、勾股定理．解题的关键是根据题意画出图，要根据P点的不同位置进行分类讨论．25.如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C顺时针方向旋转60°，到△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．（3）探索：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)110°或125°或140°.【解析】【分析】（1）根据△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，得CO=CD，∠OCD=60°故△COD是等边三角形；（2）求得∠ADO=∠ADC-∠CDO=90°即可知△AOD是直角三角形；（3）分别求出∠ADO=α-60°，∠AOD=360°-60°-110°-α=190°-α，再根据等腰三角形的底角相同分3中情况讨论.【详解】解：（1）∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形；（2）∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴∠ADC=∠BOC=α=150°，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO=60°，∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=90°，∴△AOD是直角三角形；（3）∵△COD是等边三角形，∴∠CDO=∠COD=60°，∴∠ADO=α-60°，∠AOD=360°-60°-110°-α=190°-α，当∠AOD=∠ADO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α=α-60°，解得α=125°；当∠AOD=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即2（190°-α）+α-60°=180°，解得α=140°；当∠ADO=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α+2（α-60°）=180°，解得α=110°，综上所述，∠BOC的度数为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．【点睛】此题主要考察旋转的性质与应用.。

2023-2024学年天津市东丽区百华实验中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共9小题，每题4分共36分）1．已知向量a →=(−1，2，3)，b →=(1，−2，x)，且a →∥b →，则x 等于（ ） A ．﹣6B ．﹣3C ．3D ．62．直线√3x +y ﹣3＝0的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．圆心为（1，﹣1）且过原点的圆的方程是（ ） A ．（x +1）2+（y ﹣1）2＝1 B ．（x +1）2+（y +1）2＝1 C ．（x ﹣1）2+（y +1）2＝2D ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝24．三点A （3，1），B （﹣2，k ），C （8，11）在一条直线上，k 的值为（ ） A ．﹣8B ．﹣9C ．﹣6D ．﹣75．直线l 1：ax +3y +1＝0，l 2：2x +（a +1）y +1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝（ ） A ．﹣3B ．2C ．﹣3或2D ．3或﹣26．“1＜m ＜7”是“方程x 27−m+y 2m−1=1表示的曲线为椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．圆C 1：x 2+y 2﹣2kx +2y ＝0与圆C 2：x 2+y 2+ky ﹣2＝0的公共弦所在直线恒过点（ ） A ．（12，﹣1）B ．（2，﹣1）C ．（﹣1，2）D ．（2，﹣2）8．已知三棱锥O ﹣ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →用a →，b →，c →表示MN →，则MN →等于（ ）A ．12（b →+c →−a →）B ．12（a →+b →+c →）C ．12（a →−b →+c →）D ．12（c →−a →−b →）9．已知点A （﹣1，﹣1），B （3，﹣2），直线l 过点P （1，2）且与线段AB 有公共点，则l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．[−2，32]B ．[−32，2]C ．(−∞，−32]∪[2，+∞)D ．(−∞，−2]∪[32，+∞)二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20.0分）10．直线l ：x ﹣2y +3＝0的斜率和在x 轴上的截距分别为 ， ． 11．已知直线l 1：（m +2）x ﹣y +2＝0与l 2：3x +my ﹣5＝0垂直，则m 的值为 ． 12．已知向量a →=(1，−2，1)，b →=(2，k ，1)，(a →+b →)⊥(a →−b →)，则k ＝ ．13．已知P （﹣2，3）在圆C ：x 2+y 2﹣2x +2y +m ＝0上，则实数m ＝ ，圆的半径r ＝ ． 14．已知F 1、F 2分别是椭圆C ：x 216+y 24=1的左，右焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为 ．三、解答题（本大题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（8分）已知点A （﹣2，1），B （2，3），C （﹣1，﹣3）； （1）求过点A 且与BC 平行的直线方程；（2）求过点B 且在x 轴和y 轴上截距相等的直线方程．16．（11分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，M 是P A 的中点，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，PD ⊥平面ABCD ，且CD ＝3，AD ＝PD ＝2，AB ＝1． （1）求证：P A ⊥CD ；（2）求直线P A 与平面CMB 所成角的正弦值； （3）求平面P AB 与平面CMB 夹角的大小．17．（12分）写出适合下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在x 轴上，焦距为2，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4； （2）两个焦点在坐标轴上，且经过A(√3，−2)和B(−2√3，1)两点； （3）经过点（1，2），焦点坐标分别为(0，√3)，(0，−√3)； （4）焦点在x 轴上，经过点（2，1），焦距为2√3．18．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点A （﹣1，0），B （1，2）． （1）求圆C 的标准方程；（2）过点P（0，2）的直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|=2√3，求直线l的方程．19．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥AD，P A ＝AB＝2，在棱PD上取点Q，使得PB∥平面ACQ．（Ⅰ）求证：P A⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值；（Ⅲ）求直线PB到平面ACQ的距离．20．（18分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20＝0，直线l“（m+2）x+（1﹣m）y﹣4m﹣5＝0（m∈R）（1）证明：不论m取什么实数时，直线l与圆C恒交于两点；（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程．2023-2024学年天津市东丽区百华实验中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共9小题，每题4分共36分）1．已知向量a →=(−1，2，3)，b →=(1，−2，x)，且a →∥b →，则x 等于（ ） A ．﹣6B ．﹣3C ．3D ．6解：∵a →=(−1，2，3)，b →=(1，−2，x)，且a →∥b →， ∴−11=2−2=3x，即x ＝﹣3． 故选：B ．2．直线√3x +y ﹣3＝0的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：设直线√3x +y ﹣3＝0的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）， 由题意可得tan θ=−√3，∴θ＝120°， 故选：C ．3．圆心为（1，﹣1）且过原点的圆的方程是（ ） A ．（x +1）2+（y ﹣1）2＝1 B ．（x +1）2+（y +1）2＝1 C ．（x ﹣1）2+（y +1）2＝2D ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2解：圆心为（1，﹣1）且过原点的圆的半径为√(1−0)2+(−1−0)2=√2， 故圆心为（1，﹣1）且过原点的圆的圆的方程为（x ﹣1）2+（y +1）2＝2， 故选：C ．4．三点A （3，1），B （﹣2，k ），C （8，11）在一条直线上，k 的值为（ ） A ．﹣8B ．﹣9C ．﹣6D ．﹣7解：∵三点A （3，1），B （﹣2，k ），C （8，11）在一条直线上， ∴k AB ＝k AC ， ∴k−1−2−3=11−18−3， 解得k ＝﹣9． 故选：B ．5．直线l 1：ax +3y +1＝0，l 2：2x +（a +1）y +1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝（ ） A ．﹣3B ．2C ．﹣3或2D ．3或﹣2解：由a （a +1）﹣6＝0，解得a ＝﹣3或2，经过验证：a ＝2时，两条直线重合，舍去． ∴a ＝﹣3． 故选：A ．6．“1＜m ＜7”是“方程x 27−m+y 2m−1=1表示的曲线为椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵方程x 27−m+y 2m−1=1表示的曲线为椭圆，∴{7−m ＞0m −1＞07−m ≠m −1，∴1＜m ＜7且m ≠4，∵{m |1＜m ＜7且m ≠4}⫋{m |1＜m ＜7}，∴1＜m ＜7是方程x 27−m +y 2m−1=1表示的曲线为椭圆的必要不充分条件，故选：B ．7．圆C 1：x 2+y 2﹣2kx +2y ＝0与圆C 2：x 2+y 2+ky ﹣2＝0的公共弦所在直线恒过点（ ） A ．（12，﹣1）B ．（2，﹣1）C ．（﹣1，2）D ．（2，﹣2）解：圆C 1：x 2+y 2﹣2kx +2y ＝0，①， 圆C 2：x 2+y 2+ky ﹣2＝0，②， ①﹣②得到公共弦所在的直线方程，即2kx +ky ﹣2y ﹣2＝0，整理得k （2x +y ）﹣（2y +2）＝0， 所以{2x +y =02y +2=0，解得{x =12y =−1，即恒过定点（12，−1）．故选：A ．8．已知三棱锥O ﹣ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →用a →，b →，c →表示MN →，则MN →等于（ ）A ．12（b →+c →−a →）B ．12（a →+b →+c →）C ．12（a →−b →+c →）D ．12（c →−a →−b →）解：∵点M 为AB 的中点，∴OM →=12（OA →+OB →）=12a →+12b →，∵点N 为OC 的中点，∴ON →=12OC →=12c →，∴MN →=ON →−OM →=12c →−12a →−12b →=12（c →−a →−b →）．故选：D ．9．已知点A （﹣1，﹣1），B （3，﹣2），直线l 过点P （1，2）且与线段AB 有公共点，则l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．[−2，32]B ．[−32，2]C ．(−∞，−32]∪[2，+∞)D ．(−∞，−2]∪[32，+∞)解：∵直线l 的倾斜角介于直线PB 与直线P A 的倾斜角之间， 当直线l 的倾斜角小于90°时，有k ≥k P A ， 当直线l 的倾斜角大于90°时，有k ≤k PB ， 而k P A =2−(−1)1−(−1)=32，k PB =2−(−2)1−3=−2，∴直线l 的斜率k 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[32，+∞）．故选：D ．二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20.0分）10．直线l ：x ﹣2y +3＝0的斜率和在x 轴上的截距分别为 12 ， ﹣3 ．解：x ﹣2y +3＝0⇔y =12x +32，则直线斜率为12，又令y ＝0，则12x +32=0，可得x ＝﹣3，故直线在x 轴上的截距分别为﹣3．故答案为：12；﹣3．11．已知直线l 1：（m +2）x ﹣y +2＝0与l 2：3x +my ﹣5＝0垂直，则m 的值为 ﹣3 ． 解：因为直线l 1：（m +2）x ﹣y +2＝0与l 2：3x +my ﹣5＝0垂直， 所以3（m +2）﹣m ＝0，解得m ＝﹣3． 故答案为：﹣3．12．已知向量a →=(1，−2，1)，b →=(2，k ，1)，(a →+b →)⊥(a →−b →)，则k ＝ ±1 ．解：因为(a →+b →)⊥(a →−b →)，则(a →+b →)⋅(a →−b →)=a →2−b →2=6−(k 2+5)=0，解得k ＝±1． 故答案为：±1．13．已知P （﹣2，3）在圆C ：x 2+y 2﹣2x +2y +m ＝0上，则实数m ＝ ﹣23 ，圆的半径r ＝ 5 ． 解：∵P （﹣2，3）在圆C ：x 2+y 2﹣2x +2y +m ＝0上， ∴（﹣2）2+32﹣2×（﹣2）+2×3+m ＝0，解得m ＝﹣23． ∴圆的一般方程为x 2+y 2﹣2x +2y ﹣23＝0， 半径r =√(−2)2+22−4×(−23)2=5．故答案为：﹣23；5．14．已知F 1、F 2分别是椭圆C ：x 216+y 24=1的左，右焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为 4 ．解：椭圆C ：x 216+y 24=1的a ＝4，b ＝2，c ＝2√3，则|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝8，|F 1F 2|＝4√3， ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2+|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， ∴m 2+n 2＝（4√3）2， ∴（m +n ）2﹣2mn ＝48， 解得mn ＝8，则△PF 1F 2的面积为12|PF 1|•|PF 2|=12×8＝4．故答案为：4．三、解答题（本大题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（8分）已知点A （﹣2，1），B （2，3），C （﹣1，﹣3）； （1）求过点A 且与BC 平行的直线方程；（2）求过点B 且在x 轴和y 轴上截距相等的直线方程． 解：（1）直线BC 的斜率：k BC =3−(−3)2−(−1)=2，故过点A 且与BC 平行的直线方程斜率k ＝k BC ＝2．且A （﹣2，1），故直线方程为：y ﹣1＝2（x +2），即2x ﹣y +5＝0； （2）过点B （2，3），且在x 轴和y 轴上截距相等的直线方程， 当截距为0时，直线过原点，直线方程为：y =32x ，即3x ﹣2y ＝0；当截距不为0时，由截距相等可设直线方程为：x a +ya =1，代入B （2，3），得2a +3a =1，a =5，故直线方程为x 5+y5=1即x +y ﹣5＝0．综上所述，所求直线方程为3x ﹣2y ＝0或x +y ﹣5＝0．16．（11分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，M 是P A 的中点，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，PD ⊥平面ABCD ，且CD ＝3，AD ＝PD ＝2，AB ＝1． （1）求证：P A ⊥CD ；（2）求直线P A 与平面CMB 所成角的正弦值； （3）求平面P AB 与平面CMB 夹角的大小．证明：（1）AD ⊥CD ，PD ⊥平面ABCD ， AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 则PD ⊥AD ，PD ⊥CD ，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，CD ＝3，AD ＝PD ＝2，AB ＝1，M 是P A 的中点，则D （0，0，0），A （2，0，0），C （0，3，0），P （0，0，2），M （1，0，1），B （2，1，0）， 故CD →=(0，−3，0)，PA →=(2，0，−2)， 则PA →⋅CD →=2×0+0×(−3)+(−2)×0=0， 所以PA →⊥CD →，即P A ⊥CD（2）解：C （0，3，0），B （2，1，0），P （0，0，2），M （1，0，1）， CB →=(2，−2，0)，BM →=(−1，−1，1)，PA →=(2，0，−2)，|PA →|=2√2， 设平面CMB 的法向量n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅CB →=0n →⋅BM →=0，即{2x −2y =0−x −y +z =0，令y ＝1，则x ＝1，z ＝2， ∴n →=(1，1，2)，|n →|=√1+1+4=√6， 设直线P A 与平面CMB 所成的角为θ，θ∈[0，π2]，则sinθ=|cos〈PA →，n →〉|=|PA →⋅n →||PA →||n →|=22√2×√6=√36， 所以P A 与平面CMB 所成角的正弦值为√36． （3）解：B （2，1，0），P （0，0，2），A （2，0，0）， AB →=(0，1，0)，BP →=(−2，−1，2)，设平面P AB 的法向量m →=(a ，b ，c)，则{m →⋅AB →=0m →⋅BP →=0，即{b =0−2a −b +2c =0， 不妨令a ＝1，则c ＝1，即m →=(1，0，1)，|m →|=√1+0+1=√2． 又平面CMB 的法向量n →=(1，1，2)，|n →|=√6， 设平面P AB 与平面CMB 夹角为α，则α为锐角，∴cosα=|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →|m →||n →||=3√2×√6=√32，∴α=π6，故平面P AB 与平面CMB 夹角为π6．17．（12分）写出适合下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在x 轴上，焦距为2，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4； （2）两个焦点在坐标轴上，且经过A(√3，−2)和B(−2√3，1)两点； （3）经过点（1，2），焦点坐标分别为(0，√3)，(0，−√3)； （4）焦点在x 轴上，经过点（2，1），焦距为2√3． 解：（1）设椭圆焦距为2c ，长轴长为2a ，短轴长为2b ， 由题意可知2a =4，2c =2，b 2=a 2−c 2=3⇒x 24+y 23=1；（2）不妨设椭圆方程为mx 2+ny 2＝1（m ，n ＞0，m ≠n ），将两点代入得{3m +4n =112m +n =1⇒{m =115n =15，即椭圆方程为x 215+y 25=1；（3）设椭圆焦距为2c，长轴长为2a，短轴长为2b，由题意可设x2b2+y2a2=1，则有{c2=a2−b2=31b2+4a2=1⇒{a2=6b2=3，故椭圆方程x23+y26=1；（4）设椭圆焦距为2c，长轴长为2a，短轴长为2b，则2c=2√3⇒c2=a2−b2=3，由题意可设x2a2+y2b2=1，则有{c2=a2−b2=34a2+1b2=1⇒{a2=6b2=3，故椭圆方程x26+y23=1．18．已知圆C的圆心在x轴上，且经过点A（﹣1，0），B（1，2）．（1）求圆C的标准方程；（2）过点P（0，2）的直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|=2√3，求直线l的方程．解：（1）设AB的中点为D，则D（0，1）由圆的性质得CD⊥AB，所以K CD×K AB＝﹣1，得K CD＝﹣1．所以线段AB的垂直平分线方程是y＝﹣x+1．设圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2＝r2，其中C（a，0），半径为r（r＞0）．由圆的性质，圆心C（a，0）在直线CD上，化简得a＝1．所以圆心C（1，0），r＝|CA|＝2．所以圆C的标准方程为（x﹣1）2+y2＝4；（2）由（1）设F为MN中点，则CF⊥l，得|FM|=|FN|=√3．圆心C到直线l的距离d=|CF|=√4−(√3)2=1当直线l的斜率不存在时，l的方程x＝0，此时|CF|＝1，符合题意；当直线l的斜率存在时，设l的方程y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0，由题意得d=|k×1+2|√k+1，解得k=−34；故直线l的方程为y=−34x+2，即3x+4y﹣8＝0；综上直线l的方程为x＝0或3x+4y﹣8＝0．19．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥AD，P A＝AB＝2，在棱PD上取点Q，使得PB∥平面ACQ．（Ⅰ）求证：P A⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值；（Ⅲ）求直线PB到平面ACQ的距离．（Ⅰ）证明：由于平面P AD⊥平面ABCD，且交线为AD，P A⊂平面P AD，P A⊥AD，所以P A⊥平面ABCD．（Ⅱ）解：设AC∩BD＝O，连接OQ，由于PB∥平面ACQ，PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACQ＝OQ，所以PB∥OQ，由于O是BD的中点，所以Q是PD的中点．由于P A⊥平面ABCD，所以P A⊥AD，P A⊥AB，故AB，AD，AP两两垂直，以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，C（2，2，0），Q（0，1，1），设平面ACQ的法向量为n→=(x，y，z)，第11页（共12页）第12页（共12页） 所以{n →⋅AQ →=y +z =0n →⋅AC →=2x +2y =0，故可设n →=(−1，1，−1)，平面ABCD 的法向量为m →=(0，0，1)，平面ACQ 与平面ABCD 夹角为θ，则cosθ=|m →⋅n →|m →|⋅|n →||=13=√33． （Ⅲ）解：由于PB ∥平面ACQ ，则PB 到平面ACQ 的距离，即B 到平面ACQ 的距离．BC →=AD →=(0，2，0)，B 到平面ACQ 的距离为|BC →⋅n →|n →||=23=2√33． 即直线PB 到平面ACQ 的距离为2√33． 20．（18分）已知圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y ﹣20＝0，直线l “（m +2）x +（1﹣m ）y ﹣4m ﹣5＝0（m ∈R ）（1）证明：不论m 取什么实数时，直线l 与圆C 恒交于两点；（2）求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度以及此时直线l 的方程．解：（1）证明：根据题意，直线l （m +2）x +（1﹣m ）y ﹣4m ﹣5＝0，变形可得：m （x ﹣y ﹣4）+（2x +y ﹣5）＝0，联立{x −y −4=02x +y −5=0，解可得x ＝3，y ＝﹣1， 即直线l 恒过定点（3，﹣1），设A 为（3，﹣1）又由32+（﹣1）2﹣2×3﹣4×1﹣20＜0，即点A （3，﹣1）在圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y ﹣20＝0内， 故不论m 取什么实数时，直线l 与圆C 恒交于两点，（2）圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y ﹣20＝0，圆心为（1，2），半径r ＝5，分析可得：当直线l 与AC 垂直时，直线l 被圆C 截得的线段的最短，k AC =2−(−1)1−3=−32，则k l =23，直线l 的方程为y +1=23（x ﹣3），即2x ﹣3y ﹣9＝0， 此时：|AC |=√4+9=√13，截得弦长为2×√r 2−|AC|2=4√3．。

2023-2024学年度第一学期高三年级期中质量调查（数学）试卷满分：150分时长：120分钟第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共50.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{1,2,3}A =，{}2,4B =，则()U A B ⋃ð为A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}2.“2x >”是“24x >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数241xy x =+的图象大致为（）A. B.C. D.4.设a R ∈,若直线1:280l ax y +-=与直线2:(1)40l x a y +++=平行,则a 的值为A.1- B.1C.2-或1- D.1或2-5.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A.a b c<< B.a c b<< C.c<a<bD.b<c<a6.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中,B C 分别是上､下底面圆的圆心，且36AC AB ==，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（）A.803π B.703p C.20πD.563π7.设点3(2,)A -､(3,2)B --，若直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A.34k ≥或4k ≤- B.34k ≥或14k ≤-C.344k -≤≤D.344k -≤≤8.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象向左平移π6个单位长度后得到函数sin 232y x x =的图象，则φ的可能值为（）A.0B.π6 C.π3D.π129.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F ，2F ．若双曲线右支上存在点P ，使得1PF 与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q ，且114PF F Q =，则双曲线的渐近线方程为（）A.y x=± B.43y x =±C.34y x=± D.2y =±10.对(]12,1,3x x ∀∈，当12x x <时，123132e 0e ax x x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是（）A.()3,+∞ B.[)3,+∞ C.()9,+∞ D.[)9,+∞二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）11.已知(2)i z i +=(i 为虚数单位)，则||z =___________.12.已知向量()24,3a k =- ，()3,b k =- ，若a b ⊥ ，则实数k 的值为______．13.已知1tan 2α=，π4β=，则tan()βα+的值为________.14.圆心在直线10x y +-=上且与直线210x y --=相切于点(1,1)的圆的方程是________．15.以双曲线221412x y -=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．16.已知1F、2F分别为22221x ya b+=（0a b>>）椭圆的左、右焦点，过2F的直线与椭圆交于P、Q两点，若21QF QP PQ⋅=，223PF F Q=，则1F PQ∠=____，椭圆的离心率为___.17.如图，在ABC中，3,2,60︒==∠=AB AC BAC，D,E分别边AB,AC上的点,1AE=且12AD AE⋅=，则AD=______________，若P是线段DE上的一个动点，则BP CP⋅的最小值为_________________. 18.已知函数|1|e,0()43,0x xf xx xx+⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a=-有四个不同零点，从小到大依次为1234,,,x x x x，则实数a的取值范围为___________；1234x x x x+的取值范围为___________.三、解答题（本大题共4小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知()cos2cosb C ac B=-.（1）求角B的大小；（2）设2a=，3c=，求()sin2A B+的值.20.如图，在三棱柱111ABC A B C-中，1CC⊥平面ABC，AC BC⊥，2AC BC==，13CC=，点D，E分别在棱1AA和棱1CC上，且1AD=，2CE=，M为棱11A B的中点.（1）求证：11C M B D ⊥；（2）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.21.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD QA ∥，2PDA π∠=，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且22AD PD QA ===.（1）求证：QB ∥平面PDC ；（2）求平面CPB 与平面PBQ 所成角的大小；（3）已知点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB 所成角的余弦值为7315，求点A 到平面HBC 的距离.22.已知函数2()ln ,()1af x xg x bx x ==+-，(a ，b ∈R )（1）当a =﹣1，b =0时，求曲线y =f (x )﹣g (x )在x =1处的切线方程；（2）当b =0时，若对任意的x ∈[1，2]，f (x )+g (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当a =0，b >0时，若方程f (x )=g (x )有两个不同的实数解x 1，x 2(x 1<x 2)，求证：x 1+x 2>2.2023-2024学年度第一学期高三年级期中质量调查（数学）试卷满分：150分时长：120分钟第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共50.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{1,2,3}A =，{}2,4B =，则()U A B ⋃ð为A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}【答案】C 【解析】【分析】先根据全集U 求出集合A 的补集U A ð，再求U A ð与集合B 的并集()U A B ⋃ð．【详解】由题得，{}0,4,U A = ð{}{}{}()0,42,40,2,4.U A B ∴⋃=⋃=ð故选C.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题．2.“2x >”是“24x >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得不等式24x >的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由不等式24x >，可得2x >或<2x -，则“2x >”是“24x >”的充分不必要条件.故选：A.3.函数241xy x =+的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．4.设a R ∈,若直线1:280l ax y +-=与直线2:(1)40l x a y +++=平行,则a 的值为A.1- B.1 C.2-或1- D.1或2-【答案】B 【解析】【分析】由a （a+1）﹣2=0，解得a ．经过验证即可得出．【详解】由a （a+1）﹣2=0，解得a=﹣2或1．经过验证：a=﹣2时两条直线重合，舍去．∴a=1．故选B ．【点睛】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A.a b c <<B.a c b<< C.c<a<bD.b<c<a【答案】B 【解析】【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．6.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中,B C 分别是上､下底面圆的圆心，且36AC AB ==，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（）A.803π B.703p C.20πD.563π【答案】D 【解析】【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案.【详解】已知底面圆的半径2r =，由36AC AB ==，则2,4AB BC ==，故该陀螺的体积2215633V BC r AB r πππ=⋅+⋅⋅=.故选：D.7.设点3(2,)A -､(3,2)B --，若直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A.34k ≥或4k ≤- B.34k ≥或14k ≤-C.344k -≤≤D.344k -≤≤【答案】A 【解析】【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】如图所示：依题意，312134,21314PA PB k k ----==-==---，要想直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则34k ≥或4k ≤-，故选：A8.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象向左平移π6个单位长度后得到函数sin 22y x x =的图象，则φ的可能值为（）A.0 B.π6 C.π3D.π12【答案】A 【解析】【分析】根据辅助角公式，结合正弦型函数的图象变换性质进行判断即可.【详解】πsin 222sin 23y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象向左平移π6个单位长度后得到函数的图象解析式为：ππ2sin 66f x x ωωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以有()()22πZ ππ2πZ 63k k k k ωϕωϕ=⎧⎪⇒=∈⎨+=+∈⎪⎩，显然只有选项A 符合，故选：A9.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F ，2F ．若双曲线右支上存在点P ，使得1PF 与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q ，且114PF F Q =，则双曲线的渐近线方程为（）A.y x =±B.43y x =±C.34y x=±D.y =【答案】B 【解析】【分析】利用渐近线方程和直线1F P 解出Q 点坐标，再由114F P F Q =得P 点坐标，代入双曲线方程得到a 、b 、c 的齐次式可解.【详解】如图，因为1PF 与渐近线by x a=-垂直所以1PF 的斜率为a b，方程为()ay x c b =+解()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的Q 的坐标为2(,)a abc c -设P 点坐标为00(,)x y 则21(,)a ab F Q c c c=-+ ，100(,)F P x c y =+ 因为114F P F Q =，所以200(,)4(,)a ab x c y c c c +=-+，得点P 坐标为22344(,c a abc c -，代入22221x y a b -=得：22259c a =所以22221619b c a a =-=，即43b a =所以渐近线方程为43y x =±故选：B.10.对(]12,1,3x x ∀∈，当12x x <时，123132e 0e ax x x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是（）A.()3,+∞ B.[)3,+∞ C.()9,+∞ D.[)9,+∞【答案】D 【解析】【分析】先将不等式等价变形，再构造函数()3ln f x x a x =-，(]1,3x ∈，再结合函数的单调性、最值即可求解．【详解】由(]12,1,3x x ∀∈，当12x x <时，则123132e 0e a x x x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭等价于123132e e a x x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即等价于123132e ln ln e ax x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即等价于121233ln ln x x a x a x ->-，即等价于11223ln 3ln x a x x a x ->-，令()3ln f x x a x =-，(]1,3x ∈，即等价于对(]12,1,3x x ∀∈，当12x x <时，()()12f x f x >，即函数()f x 在(]1,3上单调递减，即对(]1,3x ∀∈，()30af x x=-≤'，即3≥a x ，由(]1,3x ∈，则(]33,9x ∈，所以9a ≥，所以实数a 的取值范围是[)9,+∞．故选：D ．【点睛】关键点点睛：将题目中的不等式条件等价转化为11223ln 3ln x a x x a x ->-，再构造函数()3ln f x x a x =-是解答本题的关键．二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）11.已知(2)i z i +=(i 为虚数单位)，则||z =___________.【答案】【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，再由复数的模的运算得答案.【详解】因为(2)i z i +=，所以()()()21+222+25i i i i z i i i -===+-，所以||5z ==，故答案为：5.12.已知向量()24,3a k =- ，()3,b k =- ，若a b ⊥ ，则实数k 的值为______．【答案】4【解析】【分析】根据平面向量垂直的坐标表示运算求解.【详解】因为a b ⊥ ，所以()32430a b k k ⋅=--+=r r ，解得4k =．故答案为：4.13.已知1tan 2α=，π4β=，则tan()βα+的值为________.【答案】3【解析】【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.【详解】因为1tan 2α=，π4β=，所以11tan tan 2tan()311tan tan 112αββααβ+++===--⨯.故答案为：3.14.圆心在直线10x y +-=上且与直线210x y --=相切于点(1,1)的圆的方程是________．【答案】22(1)(2)5x y ++-=【解析】【分析】根据给定条件，求出过切点的圆半径所在直线方程，进而求出圆心坐标即可作答.【详解】依题意，过切点(1,1)的圆的半径所在直线方程为11(1)2y x -=--，即230x y +-=，由10230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得12x y =-⎧⎨=⎩，因此所求圆的圆心为(1,2)-，半径r =，所以所求圆的方程为22(1)(2)5x y ++-=.故答案为：22(1)(2)5x y ++-=15.以双曲线221412x y -=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．【答案】2211612x y +=【解析】【详解】双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．答案：=1+22x y 161216.已知1F 、2F 分别为22221x y a b+=（0a b >>）椭圆的左、右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点，若21QF QP PQ ⋅= ，223PF F Q =，则1F PQ ∠=____，椭圆的离心率为___.【答案】①.90︒②.22【解析】【分析】由给定条件结合向量的线性运算计算得10PF QP ⋅=即可，在1Rt PFQ 、12Rt PF F 中借助勾股定理建立a ，c 的关系即可作答.【详解】依题意，22111()||PQ QF QP QP PF QP QP PF QP =⋅=+⋅=+⋅ ，于是得10PF QP ⋅=，即1PF QP ⊥ ，所以190F PQ ∠= ；令2||F Q t = ，因223PF F Q = ，则2||3PF t = ，由椭圆定义知，1||2QF a t =- ，1||23PF a t =- ，而||4QP t=在1Rt PFQ 中，22211||||||QP PF QF +=，即222(4)(23)(2)t a t a t +-=-，解得13t a =，显然12||||PF PF a == ，12Rt PF F 中，椭圆半焦距为c ，有122||c F F ==，所以椭圆的离心率为22c e a ==.故答案为：90︒；22.17.如图，在ABC 中，3,2,60︒==∠=AB AC BAC ，D ,E 分别边AB ,AC 上的点,1AE =且12AD AE ⋅= ，则AD = ______________，若P 是线段DE 上的一个动点，则BP CP ⋅ 的最小值为_________________.【答案】①.1②.116-【解析】【分析】由12⋅= AD AE 利用数量积公式可求||AD的值为1，设DP 的长为x ，则1PE x =-，2,1BD EC ==，利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则，可得⋅ BP CP 22x x =-，再利用配方法可得结果【详解】11cos 60122AD AE AD AE AD ⋅=⋅⋅=⨯⨯=，1AD ∴= ；又因为1AE =且60BAC ︒∠=，∴ADE ∆为正三角形，1DE AD AE ∴===，120BDP CEP ∠=∠= ，2,1BD EC ==，设DP 的长为x （01x ≤≤），则1PE x =-，，()()BP CP BD DP CE EP⋅=+⋅+ BD CE BD EP DP CE DP EP=⋅+⋅+⋅+⋅ ()()()1112121111222x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+--+⋅⋅-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111,241616x x x ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭14x =时取等号，BP CP∴⋅ 的最小值为116-.故答案为：1，116-.【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．18.已知函数|1|e ,0()43,0x x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同零点，从小到大依次为1234,,,x x x x ，则实数a 的取值范围为___________；1234x x x x +的取值范围为___________.【答案】①.(1,e]②.[4,5)【解析】【分析】根据函数性质画出()f x 的图象，将问题化为()f x 与y a =有四个交点，数形结合法求a 范围，再由12,x x 是22(1)ln 0x a +-=的两个根、34,x x 是2(3)40x a x -++=的两个根，结合根与系数关系求1234x x x x +的范围.【详解】由题设，当(,1)x ∈-∞-时，1e (1,)x y --=∈+∞，且单调递减；当(1,0]x ∈-时，1e (1,e]x y +=∈，且单调递增；当(0,2)x ∈，43(1,)y x x =+-∈+∞，且单调递减；当(2,)x ∈+∞，43(1,)y x x=+-∈+∞，且单调递增；综上，()f x的函数图象如下：所以()y f x a =-有四个不同零点，即()f x 与y a =有四个交点，由图知：1e a <≤，则12,x x 在|1|e x y +=上，34,x x 在43y x x=+-上，令12|1||1|e e x x a ++==，则12|1||1|ln x x a +=+=，即12,x x 是22(1)ln 0x a +-=的两个根，故2121ln x x a =-，而34,x x 是43x a x+-=，即2(3)40x a x -++=的两个根，故344x x =，所以123425ln [4,5)x x x a x =-∈+.故答案为：(1,e]，[4,5)【点睛】关键点点睛：将问题转化为()f x 与y a =有四个交点，数形结合求参数范围，进而把1234,,,x x x x 看作对应方程的根，应用根系关系及对数性质求范围.三、解答题（本大题共4小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知()cos 2cos b C a c B =-.（1）求角B 的大小；（2）设2a =，3c =，求()sin 2A B +的值.【答案】（1）3B π=（2）5314【解析】【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再运用正弦的和角公式求得1cos 2B =，根据角B 的范围可求得答案；（2）运用余弦定理求得b ，再运用正弦定理求得sin A ，利用同角三角函数间的关系，正弦的二倍角公式，以及正弦的和角公式可求得答案.【小问1详解】解：由正弦定理得()sin cos 2sin sin cos B C A C B =-，即cos sin 2sin cos sin cos C B A B C B =-.∴()2sin cos sin cos cos sin sin sin A B C B C B B C A =+=+=，又()0,A π∈，∴sin 0A ≠，则1cos 2B =，又()0,B π∈，故3B π=.【小问2详解】解：由2a =，3c =，可得2222cos 7b a c ac B =+-=，即b =，因为sin sin b a B A =，所以sin 7A =，又a c <，则0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 727=A ，所以212743sin 22sin cos 2777A A A ==⨯⨯=，21cos 22cos 17A A =-=，∴()4311353sin 2sin 2cos cos 2sin 727214A B A B A B +=+=⨯+⨯=.20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC ==，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，M 为棱11A B 的中点.（1）求证：11C M B D ⊥；（2）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，然后由向量的数量积为0，即可证明向量垂直；（2）根据题意，由空间向量的坐标运算，再结合线面角的计算公式，即可得到结果.【小问1详解】证明：根据题意，以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()10,0,3C ，()12,0,3A ，()10,2,3B ，()2,0,1D ，()0,0,2E ，()1,1,3M ，()11,1,0C M =，()12,2,2B D =-- ，则11121(2)0(2)0C M B D ⋅=⨯+⨯-+⨯-=，所以11C M B D ⊥，即11C M B D ⊥；【小问2详解】由（1）可得，()2,0,1ED =-，设平面1DB E 的法向量为(),,n x y z = 则1222020B D n x y z ED n x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，解得2z x y x =⎧⎨=-⎩，取1x =，则1,2y z =-=所以平面1DB E 的一个法向量为()1,1,2n =-，又因为()2,2,0AB =-，设AB 与平面1DB E 所成角为θ，所以3sin cos ,3AB n AB n AB nθ⋅===⋅ ，所以直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值为33.21.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD QA ∥，2PDA π∠=，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且22AD PD QA ===.（1）求证：QB ∥平面PDC ；（2）求平面CPB 与平面PBQ 所成角的大小；（3）已知点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB 所成角的余弦值为7315，求点A 到平面HBC 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）6π（3）65【解析】【分析】先证明直线PD ⊥平面ABCD .以点D 为原点，分别以,,DA DC DP的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系.（1）利用向量法证明//QB 平面PDC ；（2）利用向量法求平面CPB 与平面QPB 所成角；（3）设()0,0,H t ，因为异面直线AH 与PB 所成角的余弦值为7315，求出t 的值，代点到面的距离公式求点A 到平面HBC 的距离.【小问1详解】证明：（1）∵平面ADPQ ⊥平面ABCD ，平面ADPQ ⋂平面ABCD AD =，PD ⊂平面ADPQ ，PD AD ⊥，所以直线PD ⊥平面ABCD .以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴､y 轴､z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()0,2,0C ，()002P ,,，()2,2,0B ，()2,0,1Q ，()0,2,1QB ∴=-，由题可知()2,0,0DA = 为平面PDC 的一个法向量，所以0QB DA ⋅=.又因为QB ⊄平面PDC ，QB ∴∥平面PDC .【小问2详解】解：()2,2,2PB =- ，()0,2,2PC =- ，()2,0,1PQ =-，设平面PBC 的法向量(),,n x y z =r，则2220220n PB x y z n PC y z ⎧⋅=+-=⎨⋅=-=⎩，取1y =，得()0,1,1n =，设平面PBQ 的法向量()111,,m x y z =r，则11111222020m PB x y z m PQ x z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取11x =，得()1,1,2m = ，设平面CPB 与平面PBQ 所成角的大小为θ，则33cos 226m m nnθ⋅===⋅⋅，6πθ∴=，∴平面CPB 与平面PBQ 所成角的大小为6π.【小问3详解】点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB 所成角的余弦值为7315，设(),02DH t t =则()0,0,H t ，()2,0,0A ，()2,0,AH t =- ，()2,2,2PB =-，73cos<,15AH PBAH PBAH PB⋅∴==⋅>∣∣，解得32t=，∴线段DH的长为32.设平面HBC的法向量()2222,,m x y z=，则22222203202m CB xm HC y z⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取24z=，得()20,3,4m=，又()0,2,0AB=，所以226|5AB mdm⋅==∣.22.已知函数2()ln,()1af x xg x bxx==+-，(a，b∈R)（1）当a=﹣1，b=0时，求曲线y=f(x)﹣g(x)在x=1处的切线方程；（2）当b=0时，若对任意的x∈[1，2]，f(x)+g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a=0，b>0时，若方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解x1，x2(x1<x2)，求证：x1+x2>2.【答案】（1）30x y+-=（2）[,)2e+∞（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()()y f x g x=-的导函数，求出函数在1x=时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；（2）对[1x∀∈，2]，()()0f xg x+ 都成立，则对[1x∀∈，2]，22a x lnx x-+，恒成立，构造函数22()(12)h x x lnx x x=-+ ，求出()h x的最大值可得a的范围；（3）由()()f xg x=，得10lnx bx-+=，构造函数()1(0)F x lnx bx x=-+>，将问题转化为证明112()0()F x F xb->=，然后构造函数证明1122()()0()F x F x F xb->==即可．【详解】（1）当1a=-时，0b=时，211y lnxx=++，∴当1x=时，2y=，312yx x∴=-'，∴当1x=时，1y'=-，∴曲线()()y f x g x=-在1x=处的切线方程为30x y+-=；（2）当0b =时，对[1x ∀∈，2]，()()0f x g x +都成立，则对[1x ∀∈，2]，22a x lnx x -+ 恒成立，令22()(12)h x x lnx x x =-+ ，则()2h x xlnx x -'=+．令()0h x '=，则x =，∴当1x <<，()0h x '>，此时()h x 单调递增；2x <<时，()0h x '<，此时()h x 单调递减，∴()2max e h x h ==，2e a ∴ ，a ∴的取值范围为[,)2e +∞；（3）当0a =，0b >时，由()()f xg x =，得10lnx bx -+=，方程()()f x g x =有两个不同的实数解1x ，212()x x x <，令()1(0)F x lnx bx x =-+>，则12()()0F x F x ==，1()F x b x'=-，令()0F x '=，则1x b =，∴当10x b <<时，()0F x '>，此时()F x 单调递增；当1x b >时，()0F x '<，此时()F x 单调递减，∴1()(0max F x F b =>，01b ∴<<，又1()0b F ee =-<，F （1）10b =->，∴1111x e b <<<，∴121x b b ->，∴只要证明212x x b >-，就能得到1222x x b +>>，即只要证明112()0()F x F x b ->=，令221()()()()22(0)G x F x F x ln x lnx bx x b b b =--=--+-< ，则212()()02()b x b G x x x b -='<-，()G x ∴在1(0,)b 上单调递减，则1211()(()()0G x G F F b b b b >=--=，∴1112()()()0G x F x F x b =-->，∴1122()()0()F x F x F x b ->==，∴212x x b >-，∴1222x x b +>>，即122x x +>，证毕．【点睛】本题主要考查求曲线的切线方程，不等式恒成立问题和利用导数研究函数的单调性，考查函数思想和分类讨论思想，属难题．。

2020－2021学年天津实验中学高二年级上学期10月份月考物理试卷一．选择题（共5小题）1.学习物理要正确理解物理规律和公式的内涵．你认为下列理解正确的是（）A.根据库仑定律公式F＝k可知，两个电荷的距离趋于零时，库仑力为无穷大B.根据电荷守恒定律可知，一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和不变C.由匀强电场电势差与电场强度的关系U＝Ed可知，匀强电场中任意两点间的电势差与这两点间的距离成正比D.根据电容器的电容的定义式C＝可知，电容器的电容与它所带电荷量成正比2.相距为L的点电荷A、B带电荷量分别为+4q和﹣q，如图所示，今引入第三个点电荷C，使三个点电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是（）A.﹣q，在A左侧距A为L处B.﹣2q，在A左侧距A为处C.+4q，在B右侧距B为L处D.+2q，在B右侧距B为处3.如图所示，在球壳内部球心放置带电荷量为+Q的点电荷，球壳内有A点，壳壁中有B点，壳外有C点，则下列说法正确的是（）A．A、B两点场强均为零，C点场强不为零B．A、C两点场强不为零，B点场强为零C．A点场强不为零，B、C两点场强为零2D ．A 点场强为零，B 、C 两点场强不为零4.一平行板电容器充电后与电源断开，负极板接地。

两板间有一个正试探电荷固定在P 点，如图所示，以C 表示电容器的电容、E 表示两极板间的电场强度、φ表示P 点的电势，E p 表示正电荷在P 点的电势能，若正极板保持不动，将负极板缓慢向右平移一小段距离x 0的过程中，各物理量与负极板移动距离x 的关系图象正确的是图中的（）A．B ．C．D．5.如图所示，无穷大的匀强电场（图中未画出）与矩形ABCD 在同一平面内，AB =2cm 、BC =1cm 。

取C 点的电势为0，一电子在A 点的电势能为3eV ，该电子以2eV 的初动能从C 点沿某一方向发射出来，刚好可以到达B 点，且在B 点的动能为5eV ，则下列说法正确的是（）A ．ϕA =3VB ．U CB =3VC.电场强度的大小为300V/mD.电子以相同的初动能从C 点沿其他方向发射，有可能运动到D 点二．多选题（共5小题）6.平行板电容器两极板间距较大或者两极板面积较小时，两极板之间电场线如图所示（下极板带正电）．虚线MN是穿过两极板正中央的一条直线．关于此电场，下列说法中正确的是（）A．平行金属板间的电场为匀强电场B．a点处的电场强度大于b点处的电场强度C.若将一负电荷从a点移到b点，其电势能减小D.若将一正电荷从电场中的c点由静止释放，它必将沿着电场线运动d点7.如图所示，两个带等量异种电荷的点电荷连线垂直于纸面（图中未画出），纸面内O点是这两点电荷连线的中点，A、B、C为纸面内一条直线上的三个点，该直线与以O点为圆心的一个圆相交于A、B两点。

天津市武清区天和城实验中学2019-2019学年度高二第一学期第二次形成性检测 数学试卷一．选择题（每小题5分，共40分）1.不等式2320x x -+<的解集是 （ ）A ．(,1)-∞B (2,)+∞C ．(1,2)D ． (,1)(2,)-∞⋃+∞2．不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么 ( )A. 0,0a <∆<B. 0,0a <∆≤C. 0,0a >∆≥D. 0,0a >∆>3．已知12x <<，则1(12)2y x x =-取最大值时的x 值是 （ ）A 、12B 、13C 、14D 、234．等差数列{an }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那么这个数列的通项公式是( )A ．a n ＝2(n 2＋n ＋1)B ．a n ＝3·2nC ．a n ＝3n ＋1D ．a n ＝2·3n6．设12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，过12,F F 作x 轴的垂线交椭圆四点构成一个正方形，则椭圆的离心率e 为（ ）A. B. C. 2 D.7．若椭圆22219x y m += (0＜m ＜3)的长轴比短轴长2，则m = （ ）A. 32 B. 85 C. 1 D. 28．已知直线l 交椭圆22142x y +=于,A B 两点，且线段AB 的中点为()1,1--，则l 的斜率为（ ）A. 2-B. 12- C. 2 D. 12二．填空题（每小题5分，共30分）9．已知0,0+4400x y x y >>-=且，则lg lg y x y =+的最大值是10．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．11．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________．12．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于MF 2，则椭圆的离心率为______．13.当2x >时，求函数y=2482x x x -+-的最小值___________ 14．若不等式0252>-+x ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x ，求不等式01522>-+-a x ax 的解集___________三．解答题（13+13+13+13+14+14=80分）15．已知函数2()6f x x ax =++(1)当5a =时，解不等式()0f x <(2)若不等式()0f x >的解集为R,，求实数a 的取值范围16.已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足4S n ＝(a n ＋1)2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n . 17.已知椭圆M 的与椭圆22:195x y N +=有相同的焦点，且椭圆M 过点()0,2. （1）求M 的长轴长；（2）设直线2y x =+与M 交于,A B 两点（A 在B 的右侧），O 为原点，求OA OB ⋅. 18.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，数列{b n }满足：b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求数列{b n }的通项公式b n ；(3)若c n ＝a n ·b n n，求数列{c n }的前n 项和T n . 19．已知椭圆2222by a x +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点),0(b A -和)0,(a B 的直线与原点的距离为23．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点)0,1(-E ，若直线)0(2≠+=k kx y 与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?20已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a 2n ＋1＝S n ＋1＋S n .(1)求{a n }的通项公式；(2)设n an n a b 212⋅=-，求数列{b n }的前n 项和T n .。

黑龙江省伊春市伊美区第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题含答案伊美区二中2019—2020学年度第一学期第二阶段（期中）考试高二数学(理）试题(考试时间120分钟,满分150分）一选择题(60分，每题5分）1、在复平面内，复数z＝＋i3所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2、如果命题“p q∧”是假命题，“p⌝”是真命题，那么( ）A．命题p一定是真命题B．命题q一定是真命题C．命题q一定是假命题D．命题q可以是真命题也可以是假命题3 、“240x>”的（）x x->”是“4A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要4、已知点A(1，2），B（2,1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．x＋y－3＝0 B．x－y＋1＝0 C．x－y＝0 D．x＋y ＝05、命题“∀x∈R，｜x|＋x2≥0”的否定是(）A．∀x∈R,｜x｜＋x2＜0 B．∀x∈R,｜x｜＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0｜＋x＜0 D．∃x0∈R,|x0｜＋x≥06、焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4,则椭圆的方程为（）A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 7、已知抛物线x2＝4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2,则点M的纵坐标是(）A．0 B．C．1 D．28、已知双曲线－y2＝1(a〉0）的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x9、若直线:40-+=被圆222l x y-+-=截得的弦长为4，则(1)(3)C x y r:圆C的半径为( )A．2B．2 C．6D．610、设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点,P是双曲线上的一点，且3|PF1｜＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(）A．4B．8C．24 D．4811.已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M（1，1)为中点的弦所在直线的方程是()A．x＋2y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x －y＋3＝012。

2024-2025学年高二地理上学期期中模拟卷01（含解析）（考试时间：90分钟试卷满分：100分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：第1章~第3章第二节（人教版（2019）选择性必修1）5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

6．难度系数：0.65第Ⅰ卷一、选择题：本题共25小题，每小题2分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

星轨是拍摄设备在长时间曝光的图片中，由恒星产生的持续移动的轨道。

某中学地理兴趣小组对星轨图产生了浓厚的兴趣，下图为该地理兴趣小组所用设备（天文望远镜）调试角度图及观测北极星附近星空照片合成的星轨图。

读图，完成下面小题。

1．右图中星轨的运动方向为（）①逆时针方向②顺时针方向③自西向东④自东向西A．①②B．①④C．②④D．②③2．观测者于某日夜晚持续观测某恒星4小时，该恒星（）A．自西向东移动60°B．自东向西移动60°C．自西向东移动40 D．在天空保持不动【答案】1．B2．B【解析】1．据题意可知，星轨图为长时间曝光拍摄得到的，与地球自转方向相反，地球自转方向为自西向东，而星轨为自东向西运动，④正确，③错误；观测的是北极星附近的星空，天文望远镜朝北拍摄，所以星轨运动方向为逆时针方向，①正确，②错误。

综上，①④正确，故选B。

2．以恒星为参照物，相对于地球的自转运动，恒星视运动方向与地球自转方向相反，该恒星东升西落，ACD 错误；地球自转的角速度为每小时15°，持续观察4小时，故恒星自东向西移动60°，B正确。

故选B。

天津市武清区天和城实验中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．()12b c a +- C ．()12a b c-+ 5．直线5π2cos 606x y ++=的倾斜角为（A ．π6B ．π36．已知()2,1,3a =- ，(b =- 量的一组基底，则实数λ的值为（A ．0B ．5二、填空题三、双空题四、解答题16．已知点A (-2，1)，B (2，3)，C (-1，-3).(1)求过点A 且与BC 平行的直线方程；(2)求过点B 且与BC 垂直的直线方程；(3)若BC 中点为D ，求过点A 与D 的直线方程；17．设直线l 的方程为())1R (20a x y a a +++-=∈.(1)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；(2)若直线l 交x 轴正半轴于点A ，交y 轴负半轴于点B ，AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.18．在长方体ABCD -A ₁B ₁C ₁D ₁中，E ，F 分别是棱BC ，CC ₁上的点，CF =AB =2CE ，AB ∶AD ：AA 1=1∶2∶4.(1)求异面直线EF ，A ₁D 所成角的余弦值；(2)证明：AF ⊥平面A ₁ED ；(3)求平面AED 和平面EDF 的夹角的正弦值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面//ABCD AD AB AB DC ⊥，，，2AD DC AP ===，1AB =,点E 为棱PC 的中点．(1)证明：BE DC ⊥；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值．(1)证明：若2DM MP =，直线(2)是否存在点M ，使NM 与平面不存在，说明理由.。