八年级数学 利用轴对称解几何动点最值问题分类总结(将军饮马)

重难点05轴对称之“将军饮马”模型1.识别几何模型。

2.利用“将军饮马”模型解决问题如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【模型解析】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）类型一：两定一动之点点在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．类型二：两定两动之点点在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。

类型三：一定两动之点线在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。

此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）一．选择题（共5小题）1．（2021秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），点B（﹣5，6），在x轴上确定点C，使得△ABC的周长最小，则点C的坐标是（）A．（﹣4，0）B．（﹣3，0）C．（﹣2，0）D．（﹣2.5，0）【分析】作B点关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点C，连接BC，此时△ABC的周长最小，求出直线AB'的解析式y＝2x+4与x轴的交点即可．【解答】解：作B点关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点C，连接BC，∴BC＝B'C，∴BC+AC＝B'C+AC≥AB'，此时△ABC的周长最小，∵B（﹣5，6），∴B'（﹣5，﹣6），设直线AB'的解析式为y＝kx+b，将点A（﹣1，2），B'（﹣5，﹣6）代入，得，∴，∴y＝2x+4，令y＝0，则x＝﹣2，∴C（﹣2，0），故选：C．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，用待定系数法求函数解析式是解题的关键．2．（2022秋•江都区月考）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝3，S△ABC＝6，AD⊥BC于点D，EF是AB的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为（）A．3.5B．4C．4.5D．5【分析】由垂直平分线的性质知AP＝BP，则PB+PD＝AP+PD，从而PB+PD最小值为AD的长，利用面积即可求出AD的长．【解答】解：∵EF是AB的垂直平分线，∴AP＝BP，∴PB+PD＝AP+PD，即点P在AD上时，PB+PD最小值为AD的长，＝6，∵BC＝3，S△ABC∴×3×AD＝6，∴AD＝4，∴PB+PD最小值为4，故选：B．【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质等知识，将PB+PD最小值转化为AD的长是解题的关键．3．（2020秋•如皋市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PBC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】由题意可知作B点关于该垂直平分线的对称点B'，连接B'C，交垂直平分线于P点，此时PB+PC 最小，证明△BCB'是等腰直角三角形，即可求∠PBC．【解答】解：∵△PBC的面积等于△ABC的面积的，∴P点在AD的垂直平分线上，作B点关于该垂直平分线的对称点B'，连接B'C，交垂直平分线于P点，由对称性可知，B'P＝BP，∴BP+PC＝B'P+PC＝B'C，此时PB+PC最小，∵AD＝BB'，AD＝BC，∴BB'＝BC，∴△BCB'是等腰直角三角形，∴∠B'CB＝∠B'＝45°，∴∠B'BP＝45°，∴∠PBC＝45°，故选：B．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等腰直角三角形的性质是解题的关键．4．（2021秋•如皋市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，D为AB上一动点，DE∥AC，DE＝2，则AE+CE的最小值等于（）A．4B．2C．3D．+2【分析】过E作EF∥AB交CA的延长线于点F，作点A关于EF的对称点A'，连接A'E和A'F．依据轴对称的性质即可得到∠BAC＝∠AFE＝∠A'FE，AE＝A'E，再根据四边形ADEF是平行四边形，即可得出AF ＝DE＝2，A'F＝AF＝2．当点C，点E，点A'在同一直线上时，AE+CE的最小值等于A'C的长，利用勾股定理求得A'C的长即可．【解答】解：如图所示，过E作EF∥AB交CA的延长线于点F，作点A关于EF的对称点A'，连接A'E和A'F，∴∠BAC＝∠AFE＝∠A'FE，AE＝A'E，∴AE+CE＝A'E+CE，由题可得，△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∴∠A'FC＝45°×2＝90°，∵AF∥DE，EF∥AD，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF＝DE＝2，A'F＝AF＝2，当点C，点E，点A'在同一直线上时，AE+CE的最小值等于A'C的长，如图所示．此时，Rt△A'FC中，A'C＝＝＝，∴AE+CE的最小值为，故选：B．【点评】此题主要考查了最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．5．（2022秋•如东县期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（）A．B．C．a+b D．a【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小．【解答】解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AF＝CF＝a，BF＝b，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小，∵CA＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AM＝AC，∵BF⊥AC，∴FM＝BF＝b，∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b，故选：B．【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．二．填空题（共5小题）6．（2022秋•句容市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的角平分线，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是．【分析】作F关于AD的对称点F'，由角的对称性知，点F'在AB上，当CF'⊥AB时，EC+EF的最小值为CF'，再利用面积法求出CF'的长即可．【解答】解：作F关于AD的对称点F'，∵AD是∠BAC的平分线，∴点F'在AB上，∴EF＝EF'，∴当CF'⊥AB时，EC+EF的最小值为CF'，∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，＝，∴S△ABC∴12×8＝10×CF'，∴CF'＝，∴EC+EF的最小值为，故答案为：．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握将军饮马的基本模型是解题的关键．7．（2021秋•如皋市月考）如图，等边△ABC的边长为6，AD是高，F是边AB上一动点，E是AD上一动点，则BE+EF的最小值为．【分析】过C点作CF⊥AB交AB于F，交AD于E，连接BE，BE+EF的最小值为CF，求出CF即可．【解答】解：过C点作CF⊥AB交AB于F，交AD于E，连接BE，∵AD是等边三角形ABC的高，∴BE＝CE，∴BE+EF＝CE+EF≥CF，∴BE+EF的最小值为CF，∵BC＝6，AB＝6，∴BF＝3，∴CF＝＝＝3，∴BE+EF的最小值为3，故答案为：3．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等边三角形的性质，轴对称的性质，垂线段最短是解题的关键．8．（2022秋•镇江期中）如图，在△BCD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，射线CN平分∠BCD，AB∥CD，AB＝10，BD＝24，点F为BC的中点，点M为射线CN上一动点，则MF+MA的最小值为26．【分析】连接AD，交NC于点G，连接FD，交NC于点P，连接GF，根据题意可得△DFC为等边三角形，由等边三角形的三线合一可得GF＝GD，以此得出MF+MA的最小值为GF+AG＝GD+AG＝AD，由AB∥CD 可得△ABD为直角三角形，最后根据勾股定理求解即可．【解答】解：如图，连接AD，交NC于点G，连接FD，交NC于点P，连接GF，∵∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，∴∠BCD＝60°，CD＝CD，∵点F为BC的中点，∴FD＝BF＝CF＝BC＝CD，∴△DFC为等边三角形，∵射线CN平分∠BCD，∴CP垂直平分DP，∴GF＝GD，点D为点F关于CN的对称点，∴当M在点G时，此时MF+MA为GF+AG＝GD+AG＝AD取得最小值，∵AB∥CD，∴∠ABD＝90°，∵AB＝10，BD＝24，∴．故答案为：26．【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线，得出MF+MA的最小值为AD是解题关键．9．（2022秋•江宁区校级月考）如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC的中点，AD＝2，若P为AB上一个动点，则PC+PD的最小值为．【分析】作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，依据轴对称的性质，即可得到DB＝EB，DP＝EP，∠ABC＝∠ABE＝45°，根据PC+PD＝PC+PE，可得当C，P，E在同一直线上时，PC+PE的最小值等于CE 的长，根据全等三角形的对应边相等，即可得出PC+PD的最小值为2．【解答】解：如图所示，作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，则DB＝EB，DP＝EP，∠ABC＝∠ABE＝45°，∠CBE＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝BC＝2，∴BE＝2，∵PC+PD＝PC+PE，∴当C，P，E在同一直线上时，PC+PE的最小值等于CE的长，此时，PC+PD最小，∵AC＝BC＝4，D为BC的中点，∴CD＝DB＝BE，又∵∠ACD＝∠CBE＝90°，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴CE＝AD＝2，∴PC+PD的最小值为2．故答案为：2．【点评】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．10．（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝2，点E为射线AC上的动点，DE∥AB，且DE＝2．当AD+BD的值最小时，∠DBC的度数为45°．【分析】过点D作DF⊥AC于点F，可知点D在到AC的距离为1的直线上，作出该直线l，利用将军饮马模型，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点D′，此时AD′+BD′＝A′B，即点D 与点D′重合时，AD+BD的值最小．利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理分别求得∠ABA′和∠ABC的度数，则结论可求．【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，∵DE∥AB，∴∠DEF＝∠BAC＝30°，∵DF⊥AC，∴DF＝DE＝1，∴点D到直线AC的距离等于定值1．过点D作直线l∥AC，则点D在直线l上运动，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点D′，由将军饮马模型可知：此时AD′+BD′＝A′B，即点D与点D′重合时，AD+BD的值最小．由题意：AA′⊥l，AG＝GA′，∵l∥AC，DF⊥AC，∴四边形AFDG为矩形，∴AG＝DF＝1，∴AA′＝AG+A′G＝2，∵AB＝AC＝2，∴AB＝AA′，∴∠ABA′＝∠A′．∵∠BAC＝30°，∠FAG＝90°，∴∠BAA′＝120°，∴∠ABA′＝∠A′＝＝30°．∵∠BAC＝30°，AB＝AC＝2，∴∠ABC＝∠ACB＝＝75°，∴∠DBC＝∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝45°．故答案为：45°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，轴对称的性质，平行线的判定与性质，利用将军饮马模型构造辅助线解答是解题的关键．三．解答题（共8小题）11．（2022秋•苏州期中）（1）如图，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB 上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短．请在图中作出点P，保留作图痕迹，并求出PC+PD的最小值．（2）借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式+的最小值＝17．【分析】（1）作点C关于AB的对称点F，连接DF交AB于点P，连接PC，点P即为所求；根据勾股定理可得DF的长，从而解答即可；（2）先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，使AB＝15，AD＝5，BC＝BF＝3，DF就是代数式+的最小值，【解答】解：（1）作点C关于AB的对称点F，连接DF交AB于点P，连接PC，点P即为所求；作DE⊥BC交BC的延长线于E．在Rt△DEF中，∵DE＝AB＝200米，EF＝AD+BC＝80+70＝150米，∴DF＝＝＝250（米），∴PD+PC的最小值为250米；（2）：先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，作DE⊥BC交BC的延长线于E．使AB＝15，AD＝5，BC＝BF＝3，DF就是代数式+的最小值，∵DF＝＝＝17，∴代数式+的最小值为17．故答案为：17．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．12．（2022秋•秦淮区校级月考）（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）；（2）在直线l上找一点P，使得PA+PC的和最小．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）连接A1C，与直线l交于点P，连接AP，此时PA+PC的和最小．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，点P即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．13．（2022秋•江都区校级月考）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点P，使△PBC的周长最小．（3）在DE上找一点M，使|MC﹣MB|值最大．（4）△ABC的面积是．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）连接B1C，交直线DE于点P，连接BP，此时PB+PC最小，即可得△PBC的周长最小．（3）延长CB，交直线DE于点M，此时|MC﹣MB|值最大．（4）利用割补法求三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，点P即为所求．（3）如图，点M即为所求．（4）△ABC的面积为3×3﹣﹣﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．14．（2022秋•宜兴市月考）请在如图所示的正方形网格中完成下列问题：（1）如图，请在图中作出△ABC关于直线MN成轴对称的△A′B′C′；（2）求出△ABC的面积．（3）在直线MN上找一点P，使得PC+PB最小．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可，（2）利用割补法求三角形的面积即可．（3）连接B'C，交直线MN于点P，连接PB，此时PC+PB最小．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．（2）△ABC的面积为3×6﹣﹣﹣＝8．（3）如图，点P即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．15．（2022秋•江阴市期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在边BC上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称；（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积＝6；（3）在AE上找一点P，使得PC+PD的值最小．【分析】（1）利用轴对称的性质作出点B的对应点F，即可解决问题；（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积＝四边形ADTE的面积，利用分割法求解；（3）作点D关于直线AE的对称点D′，连接CD′交AE于点P，点P即为所求．【解答】解：（1）如图，△AEF即为所求；（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积＝四边形ADTE的面积＝2×4﹣×2×2＝6；（3）如图，点P即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，最短问题，四边形面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．16．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB边上一点，若AE ＝2，求EM+BM的最小值．【分析】要求EM+BM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，BM的值，从而找出其最小值求解．【解答】解：连接CE，与AD交于点M．则CE就是BM+ME的最小值．取BE中点F，连接DF．∵等边△ABC的边长为6，AE＝2，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，∴BF＝FE＝AE＝2，又∵AD是BC边上的中线，∴DF是△BCE的中位线，∴CE＝2DF，CE∥DF，又∵E为AF的中点，∴M为AD的中点，∴ME是△ADF的中位线，∴DF＝2ME，∴CE＝2DF＝4ME，∴CM＝CE．在直角△CDM中，CD＝BC＝3，DM＝AD，CM＝＝，CE＝×＝2，∵BM+ME＝CE，∴BM+ME的最小值为2．【点评】此题主要考查了轴对称﹣最短路线问题和等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，根据已知得出M点位置是解题关键．17．（2021秋•连云港期末）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论；【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若∠B＝∠FDE＝∠C，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理；【拓展应用】如图3，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，且AF＝2BD．以DF为腰向右作等腰△DEF，使得DE＝DF，∠EDF＝45°，连接CE．①试判断线段DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由；②如图4，已知AC＝2，点G是AC的中点，连接EA、EG，直接写出EA+EG的最小值．【分析】【问题情境】证明△ABD≌△BCE（AAS），即可求解；【变式探究】利用等量代换即可求解；【拓展应用】①用等量代换即可求解；②在CD上截取DM＝BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN，先证明△BDF≌△MED （SAS），得到EM＝CM，在求出∠ECM＝∠MEC＝22.5°，即可确定E点在射线CE上运动，当A、E、N 三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN，在Rt△ANC中求出AN即可．【解答】解：【问题情境】AD＝BE，理由如下：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠BAD＝∠CBE，∵AB＝BC，∴△ABD≌△BCE（AAS），∴AD＝BE；【变式探究】∠BED＝∠FDC，∠EDB＝∠DFC；∵∠B＝∠FDE＝∠C，∴∠EDB+∠BED＝∠EDB+∠FDC＝∠FDC+∠DFC＝180°﹣∠EDF，∴∠BED＝∠FDC，∠EDB＝∠DFC；【拓展应用】①∵AB＝BC，∴AF+BF＝BD+CD，∵AF＝2BD，∴2BD+BF＝BD+CD，∴BD+BF＝CD；②在CD上截取DM＝BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN，∵∠B＝45°，∠EDF＝45°，∴∠BFD＝∠EDM，∵DF＝DE，∴△BDF≌△MED（SAS），∴BD＝EM，EM＝BD，∠B＝∠DME＝45°，∵CD＝BD+BF，∴CM＝BD，∴EM＝CM，∴∠MCE＝∠MEC，∵∠EMD＝45°，∴∠ECM＝∠MEC＝22.5°，∴E点在射线CE上运动，∵G点与N的关于CE对称，∴EG＝EN，∴EA+EG＝EA+EN≥AN，∴当A、E、N三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN，∵∠B＝45°，AB＝BC，∴∠ACB＝67.5°，∴∠ACE＝45°，由对称性可知，∠ACE＝∠ECN，∴∠ACN＝90°，∵点G是AC的中点，AC＝2，∴CG＝1，∴CN＝1，在Rt△ANC中，AC＝，∴AE+EG的最小值为．【点评】本题是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．18．（2020秋•南京期中）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为；（2）代数应用：求代数式+（0≤x≤3）的最小值；（3）几何拓展：如图3，△ABC中，AC＝2，∠A＝30°，若在AB、AC上各取一点M、N使CM+MN的值最小，最小值是．【分析】（1）作点E关于直线BC的对称点E′，连接E′A，根据“将军饮马问题”得到PA+PE的最小值为E′A，根据勾股定理求出E′A，得到答案；（2）根据勾股定理构造图形，根据轴对称﹣﹣最短路线问题得到最小值就是求PC+PD的值，根据勾股定理计算即可；（3）作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．【解答】解：（1）如图2，作点E关于直线BC的对称点E′，连接E′A，则E′A与直线BC的交点即为P，且PA+PE的最小值为E′A，作E′F⊥AC交AC的延长线于F，由题意得，E′F＝1，AF＝3，∴PA+PE的最小值E′A＝＝，故答案为：；（2）构造图形如图4所示，BD＝3，AC＝1，AP＝x，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，AB＝3，则PC+PD＝+，代数式+（0≤x≤3）的最小值就是求PC+PD的值，作点C关于AB的对称点C'，过C'作C'E⊥DB交DB的延长线于E．则C'E＝AB＝3，DE＝3+1＝4，C'D＝＝＝5，∴所求代数式的最小值是5；（3）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A＝CA＝2，∠C′AB＝∠CAB＝30°，∴△C′AC为等边三角形，∴CM+MN的最小值为C′N＝，故答案为：．【点评】本题考查的是轴对称﹣﹣最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质，解这类问题的关键是将实际问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．一．选择题（共2小题）1．（2022秋•和平区校级期末）如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD＝8，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是（）A．5B．6C．7D．8【分析】连接CF交AD于点E，连接BE，此时BE+EF的值最小，求出CF即可．【解答】解：连接CF交AD于点E，连接BE，∵△ABC是等边三角形，AD是高，∴BE＝CE，∴BE+EF＝CE+EF≥CF，此时BE+EF的值最小，∵F是AB边上的中点，∴CF＝AD，∵AD＝8，∴CF＝8，故选：D．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键．2．（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，在锐角△ABC中，∠C＝40°；点P是边AB上的一个定点，点M、N 分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（）A．90°B．100°C．110°D．80°【分析】分别作P关于BC，AC的对称点E，D，连接DE，交AC于M，交BC于N，此时△MNP的周长最小，由条件求出∠DPE的度数，由轴对称的性质，等腰三角形的性质得到∠MPD+∠NPE＝∠D+∠E＝40°，从而求出∠MPN的度数．【解答】解：分别作P关于BC，AC的对称点E，D，连接DE，交AC于M，交BC于N，此时△MNP 的周长最小，∵∠PHM＝∠PGN＝90°，∠C＝40°，∴∠DPE＝360°﹣∠PHM﹣∠PGN﹣∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠D+∠E＝180°﹣∠DPE＝180°﹣140°＝40°，∵PM＝DM，NP＝NE，∴∠MPD＝∠D，∠NPE＝∠E，∴∠MPD+∠NPE＝∠D+∠E＝40°，∴∠MPN＝∠DPE﹣（∠MPD+∠NPE）＝140°﹣40°＝100°．故选：B．【点评】本题考查轴对称的性质，关键是分别作P关于BC，AC的对称点E，D，连接DE，交AC于M，交BC于N，找到周长最小的△PMN．二．填空题（共5小题）3．（2022秋•灵宝市期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7．MN为BC边上的垂直平分线，若点D在直线MN上，连接AD，BD，则△ABD周长的最小值为12．【分析】MN与AC的交点为D，AD+BD的值最小，即△ABD的周长最小值为AB+AC的长．【解答】解：MN与AC的交点为D，∵MN是BC边上的垂直平分线，∴AD＝CD，∴AD+BD＝AD+CD＝AC，此时AD+BD的值最小，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC最小，∵AB＝5，AC＝7，∴AB+AC＝12，∴△ABD的周长最小值为12，故答案为：12．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的的方法，线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2022秋•白云区校级期末）如图，等腰△ABC的底边长为8，面积是24，腰AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点N．点D为BC的中点，点E为线段MN上一动点，设△BDE的周长的最小值为a，则式子[2a3•a5+（3a4）2]÷a6值是1100．【分析】连接AD交MN于点E，连接BE，当A、E、D三点共线时，△BDE的周长最小，求出a＝10，再化简代数式求值运算即可．【解答】解：连接AD交MN于点E，连接BE，∵MN是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵△ABC是等腰三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝BD+DE+AE≥BD+AD，当A、E、D三点共线时，△BDE的周长最小，∵腰△ABC的底边长为8，面积是24，∴×8×AD＝24，∴AD＝6，∴BD+AD＝×8+6＝10，∴△BDE的周长最小值为10，∴a＝10，[2a3•a5+（3a4）2]÷a6＝（2a8+9a8）÷a6＝11a8÷a6＝11a2，当a＝10时，原式＝1100，故答案为：1100．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，准确的化简代数式并代入求值是解题的关键．5．（2022秋•明水县校级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD＝6，则EP+CP的最小值为6．【分析】连接BE交AD于点P，连接CP，EP+CP的最小值为BE的长，求BE的长即为所求．【解答】解：连接BE交AD于点P，连接CP，∵△ABC是等边三角形，AD垂直平分BC，∴BP＝CP，∴EP+CP＝BP+CP≥BE，∴EP+CP的最小值为BE的长，∵E为AC边的中点，∴BE⊥AC，∵AD＝6，∴BE＝6，故答案为：6．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键．6．（2022秋•岳阳县期末）如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为6．【分析】连接CE，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，证△ADB≌△CEB得CE＝AD＝6，即BF+EF 的最小值为6．【解答】解：连接CE，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF＝CF，∵等边△ABC中，BD＝CD，AE＝BE，∴AD⊥BC，CE⊥AB，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴CF＝BF，即BF+EF＝CF+EF＝CE，∵等边△ABC中，AE＝BE，∴CE⊥AB，∴BF+EF＝CE时最小，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE＝AD＝6，即BF+EF的最小值为6，故答案为：6．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．7．（2022秋•滨城区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝115°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD 上分别找一个点M，N使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝130°．【分析】要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″′＝65°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″），即可得出答案．【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB＝115°，∴∠AA′M+∠A″＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝65°，∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×65°＝130°故答案为：130°．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．三．解答题（共3小题）8．（2022秋•宜春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE＝3，（1）求BC的长；（2）若点P是直线DE上的动点，直接写出PA+PC的最小值为9．【分析】（1）根据垂直平分线的性质可证△ABE为等腰三角形，由角度可证△ACE为30°直角三角形，再由线段之间的关系即可求出BC的长；（2）根据将军饮马原理即可得出PA+PC的最小值为BC的长度．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴，∵AB边的垂直平分线交AB于点D，∴BE＝AE＝3，∴∠BAE＝∠B＝30°，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝120°﹣30°＝90°，在Rt△CAE中，∠C＝30°，∴CE＝2AE＝6，∴BC＝BE+CE＝3+6＝9；（2）如图，取点A关于直线DE的对称点，即点B，∵PA＝PB，∴PA+PC＝PB+PC，根据两点之间线段最短，则BC即为PA+PC的最小值，最小值为9．【点评】本题考查了图形的轴对称，相关知识点有：垂直平分线的性质、将军饮马等，轴对称性质的充分利用是解题关键．9．（2022秋•新华区校级期末）如图所示．（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）在x轴上确定一点P，使得PA+PC最小；（3）求出△ABC的面积．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）过x轴作点A的对称点A'，连接A'C，与x轴交于点P，此时点P即为所求．（3）利用割补法求三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，点P即为所求．＝3×3﹣﹣﹣＝．（3）S△ABC∴△ABC的面积为．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．10．（2022秋•金牛区校级期末）已知A（1，4），B（2，0），C（5，2）．（1）在如图所示的平面直角坐标系中描出点A，B，C，并画出△ABC；（2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；（3）点P在x轴上，并且使得AP+PC的值最小，请标出点P位置并写出最小值．【分析】（1）根据点的坐标确定点的位置，作图即可．（2）根据轴对称的性质作图即可．（3）作点A关于x轴的对称点A''，连接A''C，交x轴于点P，连接AP，此时AP+PC的值最小，利用勾股定理求出A''C的值即可得出答案．【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．（2）如图，△A'B'C'即为所求．（3）如图，点P即为所求．由勾股定理得A''C＝＝．∴AP+PC的最小值为．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．。

中考复习《轴对称》之“统帅饮马”问题背景中考复过程中，学生常常遇到《轴对称》这一内容。

在该内容中，有一个常见的问题是“统帅饮马”问题。

本文将围绕这一问题展开讨论，帮助学生更好地理解和应对这个问题。

问题描述在《轴对称》中，常常出现一类问题，即给定一个图形，要求找出轴对称的位置。

其中，有一个典型的问题是“统帅饮马”问题。

这个问题可以通过以下方式描述：给定一个以左上角为原点的直角坐标系，某将军（以下简称“统帅”）站在坐标系中的一个点上，他的坐标为(x, y)。

饮马问题是要求统帅选择一个对称轴，使得他的位置关于该对称轴对称。

也就是说，统帅可以通过移动到坐标系中的另一个位置，使得他与该位置的关系满足轴对称。

解决思路解决“统帅饮马”问题的思路如下：1. 分析统帅的坐标：首先，需要分析统帅的坐标，确定他的位置所在的象限。

根据象限的不同，可以确定对称轴的类型。

2. 确定对称轴的位置：根据统帅的坐标所在的象限，确定对称轴的位置。

对称轴可以是x轴、y轴或直线y = x。

根据对称轴的不同，需要做相应的计算和调整。

实例分析为了更好地理解和应用解决思路，下面以一个具体的实例进行分析。

假设统帅的坐标为(3, 2)，分析如下：1. 分析统帅的坐标：由于统帅的坐标位于第一象限，因此选择的对称轴应为y轴。

2. 确定对称轴的位置：根据统帅的坐标所在的象限，确定对称轴的位置。

在本例中，对称轴为y轴，即x = 0。

统帅可以通过将他的位置的横坐标取负数，实现对称位置。

因此，对称轴为y轴，统帅的对称位置为(-3, 2)。

总结通过以上的分析，我们可以看出解决“统帅饮马”问题的关键在于分析统帅的坐标和确定对称轴的位置。

根据不同的情况，可以选择适当的对称轴，从而得到对称位置。

在中考复中，需要学生通过理解和应用解决思路，灵活解决这类问题。

你可以通过类似的方法进行对其他具体问题的分析和处理。

希望本文能够帮助到你，在中考复习中更好地掌握《轴对称》中的“统帅饮马”问题。

利用轴对称的性质解决有关将军饮马问题之压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【类型一几何图形中的最小值问题】【类型二实际问题中的最短路径问题】【类型三一次函数中线段和最小值问题】【类型四一次函数中线段差最大值问题】【典型例题】【类型一几何图形中的最小值问题】1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F 分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是()A.6B.4C.3D.2【答案】B【分析】作A关于CD的对称点H，由CD是△ABC的角平分线，得到点H一定在BC上，过H作HF⊥AC于F，交CD于E，则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值=HF，过A作AG⊥BC于G，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．【详解】解：作A关于CD的对称点H，∵CD是△ABC的角平分线，∴点H一定在BC上，过H作HF⊥AC于F，交CD于E，则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值=HF，过A作AG⊥BC于G，∵△ABC的面积为12，BC长为6，∴AG=4，∵CD垂直平分AH，∴AC=CH，∴S△ACH=12AC⋅HF=12CH⋅AG，∴HF=AG=4，∴AE+EF的最小值是4，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明AE+EF的最小值为三角形某一边上的高线．【变式训练】1(2023春·山东济南·七年级统考期末)如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是10；AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF 周长的最小值为()A.7B.9C.10D.14【答案】A【分析】连接AP，根据线段垂直平分线性质得AP=BP，△PBF周长=BP+PF+BF=AP+PF+BF ≥AF+BF，再根据等腰三角形的性质和三角形的面积求出AF，BF，即可得出答案．【详解】解：如图所示．连接AP，∵DE是AB的垂直平分线，∴AP=BP，∴△PBF周长=BP+PF+BF=AP+PF+BF≥AF+BF．连接AF，∵AB=AC，点F是BC的中点，∴AF⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AF=10．∵BC=4，∴BF=2，AF=5，∴△PBF周长的最小值是AF+BF=5+2=7．故选：A．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据轴对称求线段和最小值等，判断△PBF周长的最小值是解题的关键．2(2023秋·河南许昌·八年级许昌市第一中学校联考期末)如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点C为线段EF上一动点，则△CDG周长的最小值为()A.4B.9C.11D.13【答案】C【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线，可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CG+GD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4AD=18，解得AD=9，∵△CDG的周长=CG+GD+CD，又CD是定值，∴当CG+GD最小时，△CDG的周长最小，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴CG+GD=GA+GD≥AD，∴当A、G、D三点共线时，CG+GD最小，最小值为AD的长，∴△CDG的周长最短=AD+CD=AD+12BC=9+12×4=11．故选：C．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，垂线段最短，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．3(2022春·七年级单元测试)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=4，点E在BC上，且BE =2，点P在∠ABC的平分线BD上运动，则PE+PC的长度最小值为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用最短路径直接将点对称，然后连线求两线段和的最小值即可．【详解】将E关于BD对称至点E ，连接CE ，∴EP=PE ，∴PE+PC=PE +PC，∴(PE+PC)min=CE ，∵∠ACB=90°，AC=BC，AB=4，且BE=2，∴E 是AB中点，∴CE =1AB=2．2∴PE+PCmin=2故选：B【点睛】此题考查最短路径，解题关键是将一个定点对称，当三点共线时线段之和最短．4(2023秋·甘肃·八年级统考期末)如图，∠AOB=15°，M是边OA上的一个定点，且OM=12cm，N，P分别是边OA、OB上的动点，则PM+PN的最小值是．【答案】6cm/6厘米【分析】作M关于OB的对称点Q，过Q作QN⊥OA于N，交OB于P，则此时PM+PN的值最小，连接OQ，得出∠QOB=∠AOB=15°，OQ=OM=12cm，PM=PQ，∠QNO=90°，根据含30度角的直角三角形性质求出QN即可．【详解】作M关于OB的对称点Q，过Q作QN⊥OA于N，交OB于P，则此时PM+PN的值最小，连接OQ，则∠QOB =∠AOB =15°，OQ =OM =12cm ，PM =PQ ，∠QNO =90°，∴∠QON =30°，∴QN =12OQ =6，∴PM +PN =PQ +PN =QN =6cm ，故答案为：6cm ．【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形的性质，轴对称-最短路径问题，垂线段最短的应用，确定点P 、N 的位置的解题的关键．5(2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末)如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，BC =7，作AD ⊥BC 于点D ，AD =12AB ，点E 为AC 边上的中点，点P 为BC 上一动点，则PA +PE 的最小值为．【答案】72【分析】作点A 关于BC 的对称点A ，延长AD 至A ，使AD =A D ，连接A E ，交BC 于P ，此时PA +PE 的值最小，就是A E 的长，证明A E =CD 即可．【详解】解：作点A 关于BC 的对称点A ，延长AD 至A ，使AD =A D ，连接A E ，交BC 于P ，此时PA +PE 的值最小，就是A E 的长，∵AB =AC ，BC =7，AD ⊥BC ，∴BD =CD =72，∵AD =12AB ，∴∠B =30°，∴∠BAD =∠CAD =60°，∵AD =A D ，∴△AA C 是等边三角形，∵点E 为AC 边上的中点，∴A E ⊥AC ，∴A E =CD =72，即PA +PE 的最小值为72，故答案为：72．【点睛】本题考查了轴对称，最短路径问题和直角三角形的性质，解题的关键是根据轴对称的性质作出对称点，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质与判定的灵活运用．6(2023春·广东深圳·七年级统考期末)如图，点C ，D 分别是角∠AOB 两边OA 、OB 上的定点，∠AOB =20°，OC =OD =4．点E ，F 分别是边OB ，OA 上的动点，则CE +EF +FD 的最小值是．【答案】4【分析】如图所示，作点D 关于OA 的对称点H ，作点C 关于OB 的对称点G ，连接OH ，FH ，OG ，EG ，HG ，由轴对称的性质可得∠AOH =∠AOB =∠BOG =20°，OH =OC =OG =4，HF =DF ，EG =CE ，证明△HOG 是等边三角形，HG =OC =4；推出当H 、F 、E 、G 四点共线时，GE +EF +HF 最小，即CE +EF +FD 最小，最小为HG 的长，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，作点D 关于OA 的对称点H ，作点C 关于OB 的对称点G ，连接OH ，FH ，OG ，EG ，HG ，由轴对称的性质可得∠AOH =∠AOB =∠BOG =20°，OH =OC =OG =4，HF =DF ，EG =CE ，∴∠HOG =60°，∴△HOG 是等边三角形，∴HG =OC =4；∵CE +EF +FD =GE +EF +HF ，∴当H 、F 、E 、G 四点共线时，GE +EF +HF 最小，即CE +EF +FD 最小，最小为HG 的长，∴CE +EF +FD 的最小值为4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线确定CE +EF +FD 有最小值的情形是解题的关键．7(2023春·广东佛山·八年级校考期中)如图，已知△ABC ≌△CDA ，将△ABC 沿AC 所在的直线折叠至△AB C 的位置，点B 的对应点为B ，连结BB ．(1)直接填空：B B 与AC 的位置关系是；(2)点P 、Q 分别是线段AC 、BC 上的两个动点(不与点A 、B 、C 重合)，已知△BB C 的面积为36，BC =8，求PB +PQ 的最小值；(3)试探索：△ABC 的内角满足什么条件时，△AB E 是直角三角形？【答案】(1)B B ⊥AC(2)9(3)当∠ACB =45°时，∠AEB =90°；当∠ABC =90°时，∠AB E =90°【分析】(1)根据轴对称的性质即可判断；(2)根据对称的性质，在B C 上取点M ，使得CQ =CM ，结合对称性质推出PB +PQ =PB +PM ，确定三点共线且垂直于B C 时，取得最小值，结合面积进行计算即可；(3)分∠AB E =90°和∠AEB =90°两种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答．【详解】(1)解：∵△ABC 沿AC 所在的直线折叠至△AB C 的位置，点B 的对应点为B ，∴B B ⊥AC ，故答案为：B B ⊥AC ；(2)解：如图所示，在B C 上取点M ，使得CQ =CM ，连接PM ，根据对称的性质，PQ =PM ，∴PB +PQ =PB +PM ，要求PB +PQ 的最小值，求PB +PM 的最小值即可，∴当B 、P 、M 三点共线，且BM ⊥B C 时，PB +PM 取得最小值，此时PB +PM =BM ，如图所示，由对称的性质，B C =BC =8，∵取得最小值时，BM ⊥B C ，∴S △BB C =12B C ∙BM ，即：36=12×8∙BM ，解得：BM =9，∴PB +PQ 的最小值为9；(3)解：①当∠ACB =45°时，∠AEB =90°；∵由翻折变换的性质可知，∠BCA =∠B CA ，∴∠BCB =90°，∵△ABC ≌△CDA ，∴∠BCA =∠DAC ，∴AD ∥BC ，∴∠AEB =∠BCB =90°；②由翻折的性质，当∠ABC =90°时，∠AB E =90°．【点睛】本题考查全等三角形的性质、翻折变换的性质、轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质等，熟知折叠是一种对称变换，属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题关键．8(2023春·广东深圳·七年级统考期末)【初步感知】(1)如图1，已知△ABC 为等边三角形，点D 为边BC 上一动点(点D 不与点B ，点C 重合)．以AD 为边向右侧作等边△ADE ，连接CE ．求证：△ABD ≌△ACE；【类比探究】(2)如图2，若点D 在边BC 的延长线上，随着动点D 的运动位置不同，猜想并证明：①AB 与CE 的位置关系为：；②线段EC 、AC 、CD 之间的数量关系为：．【拓展应用】(3)如图3，在等边△ABC 中，AB =3，点P 是边AC 上一定点且AP =1，若点D 为射线BC 上动点，以DP 为边向右侧作等边△DPE ，连接CE 、BE ．请问：PE +BE 是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)①AB ∥CE ，②EC =AC +CD ；(3)有，5【分析】(1)根据等边三角形的性质得AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =60°从而证∠BAD =∠CAE ，从而即可证明△ABD ≌△ACE (SAS )；(2)证△ABD ≌△ACE (SAS )得∠B =∠ACE =60°，CE =BD ，∠BAC =∠ACE ，利用平行线的判定及线段的和差关系即可得证；(3)在CD 延长线上截取DM =PC ，连接EM ，证△EPC ≌△EDM (SAS )，得EC =EM ，∠CEM =∠PED =60°，再判定△CEM 是等边三角形得∠ECD =60°，从而有点E 在∠ACD 角平分线上运动，作点P 关于CE 对称点P ，连接BP 与CE 交于点C ，此时点E 与点C 重合，于是BE+PE ≥BC +PC =5，即可求解．【详解】(1)证明：∵△ABC 和△ADE 是等边三角形∴AB =AC ，AD =AE∠BAC =∠DAE =60°∵∠BAC =∠DAE∴∠BAC -∠DAC =∠DAE -∠DAC即∠BAD =∠CAE在△ABD 和△ACE 中，AB =AC∠BAD =∠CAEAD =AE∴△ABD ≌△ACE (SAS )(2)解：AB ∥CE ，EC =AC +CD ，∵△ABC 和△ADE 是等边三角形∴AB =AC ，AD =AE∠BAC =∠DAE =60°∵∠BAC =∠DAE∴∠BAC +∠DAC =∠DAE +∠DAC即∠BAD =∠CAE在△ABD 和△ACE 中，AB =AC∠BAD =∠CAEAD =AE∴△ABD ≌△ACE (SAS )∴∠B =∠ACE =60°，CE =BD∴∠BAC =∠ACE∴AB ∥CE∵CE =BD ，AC =BC∴CE =BD =BC +CD =AC +CD ，故答案为：AB ∥CE ，CE =AC +CD ；(3)有最小值，在CD 延长线上截取DM =PC ，连接EM∵△ABC 和△PDE是等边三角形∴EP =ED ，∠ACB =∠PED =60°，∵∠ACD +∠ACB =180°，∴∠ACD +∠PED =180°-60°+60°=180°，∵∠EPC +∠ACD +∠CDE +∠PED =360°，∴∠EPC +∠CDE =180°，∵∠CDE +∠EDM =180°，∴∠EPC =∠EDM ，在△EPC 和△EDM 中，EP =ED∠EPC =∠EDMPC =DM∴△EPC ≌△EDM (SAS)∴EC =EM ，∠CEM =∠PED =60°∴△CEM 是等边三角形∴∠ECD =60°，∴∠ACE =120°-60°=60°=∠ECD即点E 在∠ACD 角平分线上运动作点P 关于CE 对称点P连接BP 与CE 交于点C此时点E 与点C 重合，BE +PE ≥BC +PC =5∴最小值为5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、平行线的判定、角平分线的定义以及最短距离，熟练掌握全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质是解题的关键．【类型二实际问题中的最短路径问题】1(2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中)如图，A 、B 两个村子在笔直河岸的同侧，A 、B 两村到河岸的距离分别为AC =2km ，BD =5km ，CD =6km ，现在要在河岸CD 上建一水厂E 向A 、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．(1)在图中作出水厂E的位置(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．【答案】(1)见解析(2)85km【分析】(1)延长AC，取A C=AC，再连接A B，与CD交于点E即可；(2)作出以A B为斜边的直角△A BF，求出直角边，利用勾股定理求出结果．【详解】(1)解：如图所示：点E即为水厂的位置；(2)如图，作出以A B为斜边的直角△A BF，由(1)可知：AE=A E，由题意可得：AC=2km，BD=5km，CD=6km，∴A C=AC=2km，BF=5+2=7km，A F=CD=6km，∴水厂E到A、B两村的距离之和的最小值为A B=62+72=85km．【点睛】本题考查了应用与设计作图，勾股定理，主要利用轴对称的性质，找出点A关于CD的对称点是确定建水厂位置的关键．【变式训练】1(2023春·八年级课时练习)如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，a2=13，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．(只需作图，不需要证明)(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．【答案】(1)见解析；(2)50万元.【分析】(1)作点A关于直线CD的对称点A ，连接A B，交CD于M点，即M为所求；(2)连接A A交CD于H点，过点B作PB⊥AH，根据勾股定理求出BP，A B=5km即可得出答案．【详解】(1)解：如图，作点A关于直线CD的对称点A ，连接A B，交CD于M点，即M为所求.(2)解：如图，连接A A交CD于H点，过点B作PB⊥AH，由题意可知：AH=A H=1km，PH=3km，AB=13km，∴PA=PH-AH=2km，PA =PH+A H=4km∴在Rt△APB中，BP=AB2-PA2=13-22=3km，∴在Rt△A PB中，A B=A P2+PB2=42+32=5km，由对称性质可知：AM=A M，水管长AM+BM=A M+BM=A B=5km，完成这项工程乡政府投入的资金至少为30+5×3+5=50(万元)【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，题目比较典型，是一道比较好的题目，考查了学生的动手操作能力和计算能力．2(2021秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习)如图，小区A与公路l的距离AC=200米，小区B与公路l的距离BD=400米，已知CD=800米，(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长；(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的长度．【答案】(1)475米(2)1000米，8003米【分析】(1)根据勾股定理列出方程2002+x 2=4002+(800-x )2，解方程即可；(2)如图，作点A 关于直线l 的对称点A ，连接A B ，交直线l 于点P ．则AP =A P ，AP +BP =A P +BP ，PA +PB 的最小值为A B ．(1)解：如图1，此时AQ =BQ ．设CQ =x ，则DQ =800-x ，∴2002+x 2=4002+(800-x )2，解得x =475，即CQ 的长为475米；(2)解：如图2，作点A 关于直线l 的对称点A ，连接A B ，交直线l 于点P ．则AP =A P ，AP +BP =A P +BP ，PA +PB 的最小值为8002+400+200 2=1000米．∵AA ∥BD ，∴CP PD =A C BD =200400=12，∴CP CD =13，∴CP =13CD =13×800=8003(米)，即CP 的长度为8003米．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，作图-应用与设计作图，坐标与图形的性质，确定出Q 、P 的位置是本题的关键．3(2023春·全国·七年级专题练习)问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线l 同旁有两个定点A ，B ，在直线l 上是否存在点P ，使得PA +PB 的值最小？小明的解法如下：如图，作点A 关于直线l 的对称点A ，连接A B ，则A B 与直线l 的交点即为P ，且PA +PB 的最小值为A B ．问题提出：(1)如图，等腰Rt △ABC 的直角边长为4，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，求PB +PE 的最小值．问题解决：(2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池M，从蓄水池M处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为AC=3千米，BD=9千米，CD=9千米．若蓄水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠CD上选择蓄水池M的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用．【答案】(1)210(2)最少的铺设水管的费用是225000元【分析】(1)作点B关于AC的对称点B ，连接BE交AC于P，此时PB+PE的值最小，连接AB先根据勾股定理求出AB的长，再判断出∠BAB =90°，根据勾股定理即可得出结论；(2)根据轴对称的性质确定水厂位置，作A E⊥BD交BD的延长线于点E,根据矩形的性质分别求出DE、A E，根据勾股定理求出A B，得到PA+PB，结合题意计算即可．【详解】(1)解：如图，作点B关于AC的对称点B ，连接B E交AC于P，此时PB+PE的值最小，连接AB ．因为等腰Rt△ABC的直角边长为4，E是斜边AB的中点，所以AB =AB=AC2+BC2=42+42=42，AB=22，AE=12因为∠B AC=∠BAC=45°，所以∠B AB=90°，所以PB+PE=PB +PE=B E=B A2+AE2=422=210．2+22(2)如图，延长AC到点A ，使CA =AC，连接BA 交CD于点M，点M即为所选择的位置，过点A 作A E ⊥BD交BD的延长线于点E．在Rt△BA E中，BE=9+3=12千米，A E=9千米，所以A B=BE2+A E2=92+122=15(千米)，所以最短路线AM+BM=A B=15(千米)，最少的铺设水管的费用为15×15000=225000(元)．答：最少的铺设水管的费用是225000元．【点睛】本题考查的是三角形综合题，轴对称最短路径问题、勾股定理的应用，掌握轴对称的概念和性质、两点之间，线段最短的性质是解题的关键．【类型三一次函数中线段和最小值问题】1(2023春·山东德州·八年级校考阶段练习)如图，一次函数y=12x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第二象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．(可能用到的公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，①AB中点坐标为x1+x22,y1+y22；②AB=x1-x22+y1-y22(1)求线段AB的长；(2)过B、C两点的直线对应的函数表达式．(3)点D是BC中点，在直线AB上是否存在一点P，使得PC+PD有最小值？若存在，则求出此最小值；若不存在，则说明理由．【答案】(1)AB=25(2)y=-13x+2(3)存在，最小值是52【分析】(1)求出点A、B的坐标，再根据勾股定理求解即可；(2)先证明△ACF≌△BAO，得出点C坐标，再根据待定系数法求解即可；(3)作点C关于AB的对称点M，连接MD交直线AB于点P，则此时PC+PD有最小值，即为MD的长，根据中点坐标公式分别求出点D、M的坐标，再根据两点距离公式求解．【详解】(1)对于y=12x+2，令x=0，则y=2，令y=0，则12x+2=0，解得x=-4，∴A -4,0 ,B 0,2 ，∴AB =22+42=25；(2)作CF ⊥x 轴于点F ，如图，则∠CFA =∠AOB =90°，∵等腰Rt △ABC ，∠BAC =90°，∴AC =AB ，∠ACF =90°-∠CAF =∠BAO ，∴△ACF ≌△BAO ，∴CF =OA =4,AF =BO =2，∴C -6,4 ，设直线BC 的解析式为y =mx +n ，则-6m +n =4n =2 ，解得m =-13n =2 ，∴直线BC 的解析式为y =-13x +2；(3)∵D 是BC 中点，∴点D 的坐标是-3,3 ，作点C 关于AB 的对称点M ，连接MD 交直线AB 于点P ，则此时PC +PD 有最小值，且PC +PD =PD +PM =MD ，即PC +PD 的最小值是MD 的长，∵∠CAB =90°，∴C 、A 、M 三点共线，且A 是CM 中点，设M p ,q ，则-6+p 2=-4,4+q 2=0，解得p =-2,q =-4，∴M -2,-4 ，∴MD =-2+3 2+-4-3 2=52，故PC +PD 存在最小值，是52．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质、利用轴对称的性质求线段和的最小值以及两点间的距离公式等知识，具有一定的综合性，熟练掌握相关知识、明确求解的方法是解题关键．【变式训练】1(2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第四十一中学校考期中)一次函数y =kx +b 的图像经过两点A 4,0 ，B 0,8 ．点D m ,4 在这个函数图像上(1)求这个一次函数表达式；(2)求m 的值；(3)点C 为OA 的中点，点P 为OB 上一动点，求PC +PD 的最小值．【答案】(1)y =-2x +8(2)2(3)42【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)将D m ,4 代入一次函数解析式求解即可；(3)作C 与C '关于直径y 轴对称，连接C 'D 交y 轴于P ，则PC +PD 的最小值就是线C 'D 的长度，再求出最小值即可．【详解】(1)将A 4,0 ，B 0,8 代入y =kx +b 得，4k +b =08=b ，解得k =-2b =8∴y =-2x +8；(2)将D m ,4 代入y =-2x +8得，4=-2m +8解得m =2；(3)解：如图，由平面坐标系中的对称性可知，C 与C 关于直径y 轴对称，连接C D 交y 轴于P ，则PC +PD 的最小值就是线C D 的长度，∵A 4,0 ，B 0,8 ，∴C 2,0 ，D 2,4 ，∵C 与C 关于直径y 轴对称，∴C -2,0 ，∴C D =42+42=42，∴PC +PD 的最小值为42，故答案为：42．【点睛】此题是一次函数函数综合题，主要考查了轴对称性，一次函数的性质，勾股定理，解本题的关键是找到使距离之和最小时的点P 位置．2(2023春·湖南长沙·八年级校联考期中)如图，直线l 1经过点A 4,0 ，与直线l 2：y =x 交于点B a ,43．(1)求a 的值和直线l 1的解析式；(2)直线l 1与y 轴交于点C ，求△BOC 的面积；(3)在y 轴上是否存在点P ，使得PB +PA 的值最小，若存在，请求出PB +PA 的最小值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)a =43，直线l 1的解析式为y =-12x +2(2)43(3)存在，PB +PA 的最小值为4173【分析】(1)由直线l 2：y =x 经过点B a ,43 即可求得a =43，然后利用待定系数法即可求得直线l 1的解析式；(2)由直线l 1的解析式求得点C 的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可；(3)作点B 关于y 轴的对称点B -43,43，连接AB ，交y 轴于点P ，则此时PB +PA 的值最小，PB +PA 的最小值为AB ，利用两点之间的距离公式求解即可得．【详解】(1)解：点B a ,43 代入y =x 得：a =43，设直线l 1的解析式为y =kx +b ，将点A 4,0 ，B 43,43 代入得：4k +b =043k +b =43，解得k =-12b =2 ，则直线l 1的解析式为y =-12x +2．(2)解：对于直线l 1：y =-12x +2，当x =0时，y =2，即C 0,2 ,OC =2，则△BOC 的面积=12×2×43=43．(3)解：存在，求解过程如下：如图，作点B 关于y 轴的对称点B -43,43，连接AB ，交y 轴于点P ，则此时PB +PA 的值最小，PB +PA 的最小值为AB ，∵A 4,0 ，∴AB =4+43 2+0-43 2=4173，∴PB +PA 的最小值为4173．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握待定系数法是解题的关键．3(2023春·重庆万州·九年级重庆市万州第一中学校联考期中)如图1，直线l 1:y =-14x +1与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，直线l 2与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，两直线相交于点P ，已知点C 的坐标为(-2,0)，点P 的横坐标为-45．(1)直接写出点A 、P 的坐标，并求出直线l 2的函数表达式；(2)如图2，过点A 作x 轴的垂线，交直线l 2于点M ，点Q 是线段AM 上的一动点，连接QD ，QC ，当△QDC 的周长最小时，求点Q 的坐标和周长的最小值．(3)在第(2)问的条件下，若点N 是直线AM 上的一个动点，以D ，Q ，N 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出此时点N 的坐标．【答案】(1)A (4,0)，P -45,65 ；y =x +2(2)点Q 的坐标为Q 4,65,周长的最小值22+426,(3)4,585 或4,145 或4,6+4265 或4,6-4265 【分析】(1)对于l 1:y =-14x +1，令y =0，求出x =4可得点A 的坐标，再把点P 的横坐标代入y =-14x +1，求出x 的值即可得到点P 的坐标，再运用待定系数法求出直线l 2的解析式即可；(2)先求出点D 的坐标，再运用勾股定理求出CD =22，过点D 作AM 的对称点D ，得D 8，2 ，连接D C ，交AM 于占M ，由两点之间，线段最短可知DQ +CQ 的最小值为D C 的长，从而可得△CDQ 周长的最小值，再运用待定系数法求出直线D C 的解析式，进一步可得出点Q 的坐标；(3)设N 4,t ，分别求出DN 、QN 、DQ 的长，再分DN =QN ，DN =DQ ，QN =DQ 三种情况讨论求解即可．【详解】(1)对于y =-14x +1，当y =0时，-14x +1=0，解得，x =4，∴A (4,0)，∵点P 的横坐标为-45，∴y =-14×-45 +1=65,∴P -45,65；设直线l 2的解析式为y =kx +b ,把C -2,0 ,P -45,65代入y =kx +b ,得，-2k +b =0-45k +b =65，解得：k =1b =2 ，∴直线l 2的解析式为y =x +2；(2)对于直线y =x +2，当x =0时，y =2,∴D (0,2),过点D 作点D 关于AM 的对称点D ，连接D C 交AM 于点D ，根据“两点之间，线段最短”可知，DQ +CQ 的最小值为D C 的长，∵D (0,2)，∴D 8,2又C -2，0∴CD =8-(-2) 2+2-0 2=426，CD =22+22=22∴△CDQ 的周长最小值为：CD +CD =22+426,设D C 的解析式为：y =mx +n ,把C -2，0 ，D 8,2 代入y =mx +n ,得，-2m +n =08m +n =2 ，解得，m =15n =25∴直线D C 的解析式为y =15x +25,当x =4时，y =15×4+25=65,∴Q 4,65；(3)设N (4,t )，∵Q 4,65，C -2，0，∵DN 2=(0-4)2+(2-t )2=(2-t )2+16,QN 2=t -65 2,DQ 2=(0-4)2+2-45 2=41625.当DN =QN 时，有DN 2=QN 2,∵(2-t )2+16=t -65 2，解得，t =585,∴N 4,585；当DN =DQ 时，有DN 2=DQ 2,∴(2-t )2+16=41625，解得，t 1=145，t 2=65(不符合题意，舍去)∴N 4,145当QN =DQ 时，有QN 2=DQ 2,∴t -65 2=41625，解得，t =6+4265，t 2=6-4265，∴N 4,6+4265 或N 4,6-4265，综上,点N 的坐标为:4,585 或4,145 或4,6+4265 或4,6-4265【点睛】本题考查一次函数综合题、三角形的面积、等腰三角形的性质和判定、最短问题等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用对称解决最值问题．【类型四一次函数中线段差最大值问题】1(2023秋·四川成都·八年级统考期末)如图所示，直线l 1:y =x -1与y 轴交于点A ，直线l 2:y =-2x -4与x 轴交于点B ，直线l 1与l 2交于点C ．(1)求点A ,C 的坐标；(2)点P 在直线l 1上运动，求出满足条件S △PBC =S △ABC 且异于点A 的点P 的坐标；(3)点D (2,0)为x 轴上一定点，当点Q 在直线l 1上运动时，请直接写出DQ -BQ 的最大值．【答案】(1)点A 的坐标为(0,-1)，点C 的坐标为(-1,-2)(2)(-2,-3)(3)10【分析】(1)根据直线与坐标轴交点的特点即可求解，联立两条直线的解析式，解二元一次方程组即可求解；(2)根据直线与坐标轴的交点，求出△ABC 的面积，设P (p ,p -1)，用含p 的式子表示△PBC 的面积，根据S △PBC =S △ABC 即可求解；(3)如图，作点B 关于直线l 1的对称点B ，连接B D 并延长交直线l 1于Q ，求DQ -BQ 的最大值转换为求B D ，根据勾股定理即可求解．【详解】(1)解：∵直线l 1:y =x -1与y 轴交于点A ，∴令x =0，则y =-1，∴点A 的坐标为(0,-1)，联立直线l 1:y =x -1与直线l 2:y =-2x -4得，y =x -1y =-2x -4 ，解得，x =-1y =-2 ，∴点C 的坐标为(-1,-2)．(2)解：如图，直线l1与x 轴交于点M ，直线l 1:y =x -1，令y =0，则x =1，∴点M 的坐标(1,0)，直线l 2:y =-2x -4，令y =0，则x =-2，∴点B 的坐标(-2,0)，且点C (-1,-2)，∴BM =3，∴S △ABC =S △MBC -S △ABM =12×3×2-12×3×1=32，∵S △PBC =S △ABC ，∵点P 在直线l 1上运动，且点P 只能在点C 的左下方，∴设P (p ,p -1)，∴S△PBC=S△MPB-S△CBM=12×3×p-1-12×3×2=32，∴p-1=3，∴p-1=±3，解得p=-2或p=4(舍去)，∴当P(-2,-3)时，S△PBC=S△ABC=32；∴满足条件S△PBC=S△ABC且异于点A的点P的坐标为(-2,-3)．(3)解：如图，作点B关于直线l1的对称点B ，连接B D并延长交直线l1于Q，∴BQ=B Q，BE=B E，设直线l1交x轴于E，由(2)知E1,0，∵OE=OA=1，∴∠OEA=45°，∴∠B EB=90°，∵点B的坐标(-2,0)，∴BE=B E=3，∴点B 的坐标(1,-3)，∴DQ-BQ的最大值为DQ-B Q=B D，∵点D(2,0)，∴B D=(2-1)2+32=10，∴DQ-BQ的最大值为10．【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，掌握一次函数图像的性质，几何图形的变换，解二元一次方程组的方法，勾股定理等知识是解题的关键．【变式训练】1如图①，平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A(-10，0)，与y轴交于点B，与直线y=-73x交于点C(a，7)．(1)求直线AB的表达式；(2)如图②，在(1)的条件下，过点E作直线l⊥x轴，交直线y=-73x于点F，交直线y=kx+b于点G，若点E的坐标是(-15，0)，求△CGF的面积；(3)点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM-PC的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；【答案】(1)y=x+10(2)240(3)存在，13【分析】(1)先求得点C 的坐标(-3.7)，再将C (-3，7)和A (-10，0)代入y =kx +b ，即可得到直线AB 的解析式；(2)先求得点G 、F 的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；(3)由三角形的三边关系可知当点P 、M 、C 在一条直线上时，PM -PC 的值最大，据此求解即可；(1)将点C (a ，7)代入y =-73x ，可得a =-3，∴点C 的坐标为(-3，7)，将C (-3，7)和A (-10，0)代入y =kx +b ，可得-3k +b =7-10k +b =0 ，解得k =1b =10 ，∴直线AB 的解析式为y =x +10；(2)∵点E 的坐标是(-15，0)．∴当x =-15时，y =-73×(-15)=35和y =-15+10=-5，∴点F 的坐标为(-15，35)，点G 的坐标为(-15，-5)，∴S ΔCGF =12GF ×(x c -x E )=12×40×12=240；(3)存在，证明：由三角形的三边关系可知当点P 、M 、C 在一条直线上时，PM -PC 的值最大，令x =0，则y =10，∴点B 的坐标(0，10)，∵点M 为y 轴上OB 的中点，∴点M 的坐标为(0，5)，设直线MC 的解析式为y =ax +5，将C (-3，7)代入得：7=-3a +5，解得：a =-23，∴直线MC 的解析式为y =-23x +5，当x =-15时，y =-23×(-15)+5=15，∴点P 的坐标为(-15，15)，∴PM -PC =CM =(-3-0)2+(7-5)2=13；【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，轴对称性质，全等三角形的判定与性质的综合应用，解题关键是掌握三角形面积在坐标系内的求法，并且能够熟练使用三角形全等解题．2在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”(唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题--“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点C ，连结AC ,BC ,B C ，∵点B，B 关于直线l对称，点C，C 在l上，∴CB=，C B=，∴AC+CB=AC+CB =．在△AC B 中，∵AB <AC +C B ，∴AC+CB<AC +C B ，即AC+CB最小．(1)请将证明过程补充完整．(直接填在横线上)(2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上是否存在一点P，使PB-PA的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点P的位置，再证明你的结论是正确的．(3)如图，平面直角坐标系中，M2,2的最大值,N4,-1,MN=13，P是坐标轴上的点，则PM-PN为，此时P点坐标为．(直接写答案)【答案】(1)CB ,C B ,AB(2)连结BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；证明见解析(3)5或13；6,0或0,5【分析】(1)根据点B，B 关于直线l对称，可得CB=CB ，C B=C B ，从而得到AC+CB=AC+CB = AB ．在△AC B 中，根据三角形的三边关系，即可；(2)连结BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求，根据三角形的三边关系，即可；(3)分两种情况讨论：当时点P在x轴上时，作点N关于x轴的对称点N ，连接MN ，延长MN 交x轴于点P，则点P即为所求；此时PM-PN的最大值为MN ；当点P在y轴上时，连接MN，延长NM交y轴于点P ，则点P 即为所求，此时PM-PN的最大值为MN=13，即可求解．【详解】(1)解：证明：如图4，在直线l上另取任一点C ，连结AC ,BC ,B C ，∵点B，B 关于直线l对称，点C，C 在l上，∴CB=CB ，C B=C B ，∴AC+CB=AC+CB =AB ．在△AC B 中，∵AB <AC +C B ，∴AC+CB<AC +C B ，即AC+CB最小．故答案为：CB ,C B ,AB。

轴对称之将军饮马模型重难点题型归纳（五大类型）【题型01 ：“2定点1动点”作图问题】【题型02 ：“2定点1动点”求周长最小值问题】【题型03 ：“2定点1动点”求线段最小值问题】【题型04 ：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】【题型05 ：“1定点2动点”-角度问题】【题型01 ：“2定点1动点”作图问题】【典例1】如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ）A．B．C．D．【变式1-1】如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ）A．B．C．D．【变式1-2】已知：如图，点A和点B在直线l同一侧．求作：直线l上一点P，使PA+PB 的值最小．【题型02：“2定点1动点”求周长最小值问题】【典例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，面积是30，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为（ ）A．13B．12C．10D．61【变式2-1】如图所示，在边长4为的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是（ ）A．4B．5C．6D．7【变式2-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为（ ）A．10B．9C．8D．6【变式2-3】如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（ ）A．13B．14C．15D．13.5【变式2-4】如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为12，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则△PBD 的周长的最小值是（ ）A．6B．7C．10D．12【题型03 “2定点1动点”求线段最小值问题】【典例3】（2022春•河源期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F 是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（ ）A．5B．3C．D．【变式3-1】（2023春•东港市期中）如图，等腰△ABC的面积为9，底边BC的长为3，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F，点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则DM+CM的最小值为（ ）A．12B．9C．6D．3【变式3-2】（2022春•埇桥区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（ ）A．4B．4.8C．5D．6【题型04：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】【典例4】（郧西县月考）如图，已知∠AOB的大小为30°，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝1，点E、F分别是OA、OB上的动点，则△PEF周长的最小值等于（ ）A．B．C．2D．1【变式4-1】（2023春•惠安县期末）如图，已知∠AOB＝30°，点P是∠AOB内部的一点，且OP＝4，点M、N分别是射线OA和射线OB上的一动点，则△PMN的周长的最小值是（ ）A．2B．4C．6D．8【变式4-2】（2022秋•应城市期末）如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（ ）A．60°B．70°C．80°D．100°【典例5】（2023春•和平区期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F 分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（ ）A．105°B．115°C．120°D．130°【变式5-1】（2023•明水县模拟）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（ ）A．2B．4C．6D．8【变式5-2】（2023春•市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）A．2.4B．4.8C．4D．5【题型05 ：“1定点2动点”-角度问题】【典例6】（2021秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN 的度数为（ ）A．80°B．90°C．100°D．130°【变式6-1】（2022秋•仁怀市期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD ＝140°，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）A．60°B．90°C．100°D．120°【变式6-2】（2022春•驻马店期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（ ）A．a B．2a﹣180°C．180°﹣a D．a﹣90°。

《轴对称》之“将军饮马”问题“将军饮马”的起源:早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．而从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【图示】【分析】我们把俯视图视角的问题抽象化，数学化，将河流看作一条直线l，军营看作一个点，转化为一个路程之和的最短问题．即如下图：直线同侧有两点A，B，在直线上选取一点C，使得AC＋BC最短．在思考这个问题之前，我们先来回忆下初一上学期中，涉及线段最短的两个重要结论：1、两点之间，线段最短．2、垂线段最短．请各位同学务必记住，初中阶段的几何最值问题，最后几乎都可以转化为通过这两个结论来求得．如果“将军饮马”问题不能很快回答，那么我们先看这个问题，假如军营A，B在河的两岸，那么这个点C在哪呢？很简单，连接AB，与直线l的交点即为点C．理由，两点之间，线段最短．(当然也可以用三角形一边小于两边之和)那么回到原先的问题，即军营A，B在河的同侧，该如何思考就不难了．根据线段对称性，只需作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B，与直线l的交点即为点C．【解答】如图【变式1】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】【分析】我们同样把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营看作一个点，而把草地边和河边看作两条直线，当然在图示中，这两条直线相交，形成了一个角．问题即转化为，如下图：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．若点C位置确定，要求AB＋BC最短，同学们肯定已经知道，作点A 关于OM的对称点A’，连接A’C即可，但现在点C的位置不确定，而若点B位置确定，要求AC＋BC最短，则作点A关于ON的对称点A’’，连接A’’B即可．想到这，分别作点A关于OM，ON的对称点，问题不就迎刃而解了吗？【解答】如图，作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．【变式2】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后把马牵回马厩，步行回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】【分析】首先，将问题转化为如下图：在∠MON的内部有点A和点B，在OM 上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．从马厩步行回军营，则必然“两点之间，线段最短”，问题转化为求AC＋CD＋DB的最小值，方法与变式2类似，过点A作OM的对称点，过点B作ON的对称点即可．【解答】如图，作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．【总结&反思】我们已经知道，类似的“将军饮马”问题，最关键的就是要作对称，但怎么做，可能大家并不是十分明确，我们再来好好体会一下：首先，明确定点，定线，动点．军营，马厩，这些不动的点，即为定点．河边，草地边，这些不动的线，即为定线．河边的饮马点，草地边的吃草点等，这些不确定的点，即为动点．1．必然是作定点关于定线的对称点！2．作的次数需要看动点个数！有几个动点在哪些定线上，那么相应的定点就要做关于这些定线的对称点．原题，只要在一条定线(河边)上找一个动点(饮马点)，那只需作定点(军营A)关于定线(河边)的一个对称点．变式1，要在两条定线(河边)(草地边)找两个动点(饮马点)(吃草点)，则需要作作定点(军营)关于定线(河边) (草地边)的两个对称点，即两次．变式2，要在两条定线(河边)(草地边)找两个动点(饮马点)(吃草点)，则需要作作定点(军营)关于定线(河边)的对称点与定点(马厩) 关于定线(草地边)的对称点，也是2个，即2次．3．作完对称点如何连接也需看作对称次数！1. 原题，把对称点直接连接另一个定点(军营B)，则连线与定线(河边)上的交点，即为动点(饮马点)．2. 变式1，把两个对称点连接，与定线(河边)(草地边)上的交点即为动点(饮马点)(吃草点)，分别与定点(军营A)相连．3. 变式2，把两个对称点连接，与定线(河边)(草地边)上的交点即为动点(饮马点)(吃草点)，分别与定点(军营)(马厩)相连．如果用口诀来总结，那就是：定点定线作对称，次数就看动点数．一次对称直连定，两次对称先相连．【练习】如图，黑、白两球分别位于长方形台球桌面OMCN上的A、B两点的位置．（1）怎样撞击白球，使白球A碰撞球桌边OM后，反弹击中黑球？（2）怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球桌边OM、ON后，反弹击中黑球？。

《轴对称》之“将军饮马”问题“将军饮马”的起源:早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．而从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【图示】【分析】我们把俯视图视角的问题抽象化，数学化，将河流看作一条直线l，军营看作一个点，转化为一个路程之和的最短问题．即如下图：直线同侧有两点A，B，在直线上选取一点C，使得AC＋BC最短．在思考这个问题之前，我们先来回忆下初一上学期中，涉及线段最短的两个重要结论：1、两点之间，线段最短．2、垂线段最短．请各位同学务必记住，初中阶段的几何最值问题，最后几乎都可以转化为通过这两个结论来求得．如果“将军饮马”问题不能很快回答，那么我们先看这个问题，假如军营A，B在河的两岸，那么这个点C在哪呢？很简单，连接AB，与直线l的交点即为点C．理由，两点之间，线段最短．(当然也可以用三角形一边小于两边之和)那么回到原先的问题，即军营A，B在河的同侧，该如何思考就不难了．根据线段对称性，只需作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B，与直线l的交点即为点C．【解答】如图【变式1】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】【分析】我们同样把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营看作一个点，而把草地边和河边看作两条直线，当然在图示中，这两条直线相交，形成了一个角．问题即转化为，如下图：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．若点C位置确定，要求AB＋BC最短，同学们肯定已经知道，作点A 关于OM的对称点A’，连接A’C即可，但现在点C的位置不确定，而若点B位置确定，要求AC＋BC最短，则作点A关于ON的对称点A’’，连接A’’B即可．想到这，分别作点A关于OM，ON的对称点，问题不就迎刃而解了吗？【解答】如图，作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．【变式2】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后把马牵回马厩，步行回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】【分析】首先，将问题转化为如下图：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．从马厩步行回军营，则必然“两点之间，线段最短”，问题转化为求AC＋CD＋DB的最小值，方法与变式2类似，过点A作OM的对称点，过点B作ON的对称点即可．【解答】如图，作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．【总结&反思】我们已经知道，类似的“将军饮马”问题，最关键的就是要作对称，但怎么做，可能大家并不是十分明确，我们再来好好体会一下：首先，明确定点，定线，动点．军营，马厩，这些不动的点，即为定点．河边，草地边，这些不动的线，即为定线．河边的饮马点，草地边的吃草点等，这些不确定的点，即为动点．1．必然是作定点关于定线的对称点！2．作的次数需要看动点个数！有几个动点在哪些定线上，那么相应的定点就要做关于这些定线的对称点．原题，只要在一条定线(河边)上找一个动点(饮马点)，那只需作定点(军营A)关于定线(河边)的一个对称点．变式1，要在两条定线(河边)(草地边)找两个动点(饮马点)(吃草点)，则需要作作定点(军营)关于定线(河边) (草地边)的两个对称点，即两次．变式2，要在两条定线(河边)(草地边)找两个动点(饮马点)(吃草点)，则需要作作定点(军营)关于定线(河边)的对称点与定点(马厩) 关于定线(草地边)的对称点，也是2个，即2次．3．作完对称点如何连接也需看作对称次数！1. 原题，把对称点直接连接另一个定点(军营B)，则连线与定线(河边)上的交点，即为动点(饮马点)．2. 变式1，把两个对称点连接，与定线(河边)(草地边)上的交点即为动点(饮马点)(吃草点)，分别与定点(军营A)相连．3. 变式2，把两个对称点连接，与定线(河边)(草地边)上的交点即为动点(饮马点)(吃草点)，分别与定点(军营)(马厩)相连．如果用口诀来总结，那就是：定点定线作对称，次数就看动点数．一次对称直连定，两次对称先相连．【练习】如图，黑、白两球分别位于长方形台球桌面OMCN上的A、B两点的位置．（1）怎样撞击白球，使白球A碰撞球桌边OM后，反弹击中黑球？（2）怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球桌边OM、ON后，反弹击中黑球？。

将军饮马题型总结将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。

所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。

而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。

比如题目经常会出现线段a+b 这样的条件或者问题。

一旦出现可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。

将军饮马最常见的三大模型1. 如图，在直线异侧两个点A 和B ，在直线上求一点P 。

使得PA+PB 最短（题眼）。

一般做法：作点A （B ）关于直线的对称点，连接A ’B ，A ’B 与直线交点即为所求点。

A’B即为最短距离理由：A ’为A 的对称点，所以无论P 在直线任何位置都能得到AP=A ’P 。

所以PA+PB=PA ’+PB 。

这样问题就化成了求A ’到B 的最短距离，直接相连就可以了。

2. 如图，在∠OAB 内有一点P ，在OA 和OB 各找一个点M 、N ，使得△PMN 周长最短（题眼）。

一般做法：作点P 关于OA 和OB 的对称点P1、P2。

连接P1P2。

P1P2与OA 、OB 的交点即为所求点。

P1P2即为最短周长。

理由：对称过后，PM=P1M ，PN=P2N 。

所以PM+PN+MN=P1M+P2N+MN 。

所以问题就化成了求P1到P2的最短距离，直接相连就可以了。

B3.如图，在∠OAB内有两点P、Q，在OAPMNQ周长最短（题眼）。

一般做法：题目中PQ距离固定。

所以只是求PM+MN+QN的最短距离。

最终P’Q’+PQ即为所求最短周长。

M、N即为所求的点。

理由：作完对称后，由于P’M=PM，Q’N=QN，所以PM+MN+QN=P’M+MN+Q’N。

所以就化成了求P’到Q’的最短距离，所以相连即可。

常见问题1.怎么对称，作谁的对称？2.对称完以后和谁连接？3.所求点怎么确定？首先明白几个概念，动点、定点、对称点。

动点一般就是题目中的所求点，即那个不定的点。

定点即为题目中固定的点。

对称的点，作图所得的点，需要连线的点。

1.两点之间，线段最短．2.点到直线的距离，垂线段最短．3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边．4.A B 、分别为同一圆心O 半径不等的两个圆上的一点，R r AB R r -≤≤+ 当且仅当A B O 、、三点共线时能取等号．古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A 出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题．下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题． 根据公理：连接两点的所有线中，线段最短．若A B 、在河流的异侧，直接连接AB ，AB 与l 的交点即为所求． 若A B 、在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解．“将军饮马”系列最值问题知识回顾知识讲解海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想轴对称及其性质：把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如等腰ABC ∆是轴对称图形．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．如下图，ABC ∆与'''A B C ∆关于直线l 对称，l 叫做对称轴．A 和'A ，B 和'B ，C 和'C 是对称点．轴对称的两个图形有如下性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形； ②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．线段垂直平分线：垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等； 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件。

专题13.10最短路径（将军饮马）问题（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【模型一：两定交点型】如图1，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB 最小；图1【模型二：两定一动型】如图2，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB 最小（同侧转化为异侧）；图2【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。

使△PAB的周长最小。

图3【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。

使四边形PAQB的周长最小。

图4【模型五：一定两动（垂线段最短）型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。

图5【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON 上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。

图6【考点1】两定一动型；【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；【考点3】一定两动（垂线段最短）型；【考点4】两定两动型；【考点5】一定两动（等线段）转化型；.第二部分【题型展示与方法点拨】【考点1】两定一动型；【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC ∆中，3,4AB AC ==，EF 垂直平分BC ，交AC 于点D ，则ABP 周长的最小值是（）A ．12B ．6C ．7D ．8【答案】C 【分析】本题主要考查了，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P 的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，根据题意知点B 关于直线EF 的对称点为点C ，故当点P 与点D 重合时，AP BP +的值最小，即可得到ABP 周长最小．解：∵EF 垂直平分BC ，∴点B ，C 关于EF 对称．∴当点P 和点D 重合时，AP BP +的值最小．此时AP BP AC +=，∵3,4AB AC ==，ABP ∴ 周长的最小值是347AP BP AB AB AC ++=+=+=，故选：C ．【变式】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在ABC V 中，1216AB AC ==，，20BC =．将ABC V 沿射线BM 折叠，使点A 与BC 边上的点D 重合，E 为射线BM 上的一个动点，则CDE 周长的最小值．【答案】24【详解】设BM 与AC 的交点为点F ，连接AE ，DF 先根据折叠的性质可得12BD AB ==，DF AF =，DE AE =，BDF BAF ∠=∠，再根据两点之间线段最短可得当点E 与点F 重合时，CDE 周长最小，进而求解即可．解：如图，设BM 与AC 的交点为点F ，连接AE ，DF ，由折叠的性质得：12BD AB ==，DF AF =，DE AE =，BDF BAF ∠=∠，20128CD BC BD ∴=-=-=，CDE ∴ 周长8CD DE CE AE CE =++=++，要使CDE 周长最小，只需AE CE +最小，由两点之间线段最短可知，当点E 与点F 重合时，最小值为AC ，∴CDE 周长为：681624AC +=+=．故答案为：24．【点拨】本题考查了折叠的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；【例2】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，45MON ∠=︒，P 为MON ∠内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，当PAB 的周长取最小值时，APB ∠的度数为（）A ．45︒B ．90︒C ．100︒D ．135︒【答案】B 【分析】本题主要考查了最短路线问题、四边形的内角和定理、轴对称的性质等知识点，掌握两点之间线段最短的知识画出图形是解题的关键．如图：作P 点关于OM ON 、的对称点A B ''、，连接A B ''，此时PAB 的周长最小为A B ''，求出A B ''即可．解：如图：作P 点关于OM ON 、的对称点A B ''、，然后连接A B ''，∵点A '与点P 关于直线OM 对称，点B '与点P 关于ON 对称，∴A P OM B P ON A A AP B B BP ''''⊥⊥==，，，，∴A APA B BPB ''''∠=∠∠=∠，，∵A P OM B P ON ''⊥⊥，，∴180MON A PB ''∠+∠=︒，∴18045135A PB ''∠=︒-︒=︒，在A B P ''△中，由三角形的内角和定理可知：18013545A B ''∠+∠=︒-︒=︒，∴45A PA BPB ''∠+∠=︒，∴1354590APB ∠=︒-︒=︒．故选：B ．【变式】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，45AOB ∠=︒，点M N 、分别在射线OA OB 、上，5MN =，15OMN S = ，点P 是直线MN 上的一个动点，点P 关于OA 的对称点为1P ，点P 关于OB 的对称点为2P ，连接1OP 、2OP 、12PP ，当点P 在直线MN 上运动时，则12OPP 面积的最小值是．【考点3】一定两动型（垂线段最短）；【例3】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在ABC V 中，3AB =，4BC =，5AC =，AB BC ⊥，点P 、Q 分别是边BC 、AC 上的动点，则AP PQ +的最小值等于（）A ．4B ．245C ．5D ．275【答案】B 【分析】作A 过于BC 的对称点A '，过点A '作A Q AC '⊥，交AC 于点Q ，交BC 于点P ，根据对称可得：AP PQ A P PQ A Q ''+=+≥，得到当,,A P Q '三点共线时，AP PQ +最小，再根据垂线段最短，得到A Q AC '⊥时，A Q '最小，进行求解即可．解：作A 过于BC 的对称点A '，过点A '作A Q AC '⊥，交AC 于点Q ，交BC 于点P ，【变式】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，5AB =，AD 是ABC V 的角平分线，若P Q 、分别是AD 和AC 边上的动点，则PC PQ +的最小值是．AD 是BAC ∠的平分线，1QAD Q AD∴∠=∠在AQD 与1AQ D 中【考点4】两定两动型；【例4】如图，已知24AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，1OP =，C 在OA 上，D 在OB 上，E 在OP 上．当CP CD DE ++取最小值时，此时PCD ∠的度数为（）A ．36︒B ．48︒C ．60︒D ．72︒【答案】D 【分析】作点P 关于OA 的对称点P'，作点E 关于OB 的对称点'E ，连接'OP 、'PP 、'OE 、'EE 、''P E ，则由轴对称知识可知=''CP CD DE CP CD DE ++++，所以依据垂线段最短知：当''P C D E 、、、在一条直线上，且'''P E OE ⊥时，CP CD DE ++取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以'P C PC =，'E D ED =，'1OP OP ==，=''CP CD DE CP CD DE ++++，'P OE ∠''P C D E 、、、在一条直线上，且''P E ''=9048=42OP E ∠︒-︒︒，'='''=7842CP P OP P OP E ∠∠-∠︒-︒=【答案】44βα-=︒【分析】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．OQM OQM NQP '∴∠=∠=∠，OPQ ∠∴1(180)2PQN AOB α∠=︒-=∠+∠44βα∴-=︒，故答案为：44βα-=︒．【考点5】一定两动（等线段）转化型；【例5】（20-21八年级上·湖北鄂州·期中）如图，AD 为等腰△ABC 的高，其中∠ACB =50°，AC =BC ，E ，F 分别为线段AD ，AC 上的动点，且AE =CF ，当BF ＋CE 取最小值时，∠AFB 的度数为（）A ．75°B ．90°C ．95°D ．105°【答案】C 【分析】先构造△CFH 全等于△AEC ，得到△BCH 是等腰直角三角形且FH=CE ，当FH+BF 最小时，即是BF+CE 最小时，此时求出∠AFB 的度数即可．解：如图，作CH ⊥BC ，且CH=BC ，连接HB ，交AC 于F ，此时△BCH 是等腰直角三角形且FH+BF 最小，∵AC=BC ，∴CH=AC ，∵∠HCB=90°，AD ⊥BC ，∴AD//CH ，∵∠ACB=50°，∴∠ACH=∠CAE=40°，∴△CFH ≌△AEC ，∴FH=CE ，∴FH+BF=CE+BF 最小，此时∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°．故选：C ．【点拨】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，有一定难度．【变式】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在ABC V 中，80CAB ∠=︒，2AB =，3AC =，点E 是边AB 的中点，CAB ∠的角平分线交BC 于点D ．作直线AD ，在直线AD 上有一点P ，连结PC 、PE ，则PC PE -的最大值是．∵CAB ∠的角平分线交∴FAP ∠∠=∵AP AP =，∴APF APE ≌∴PF PE =，第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2020·湖北·中考真题）如图，D 是等边三角形ABC 外一点．若8,6BD CD ==，连接AD ，则AD 的最大值与最小值的差为．【答案】12【分析】以CD 为边向外作等边三角形CDE ，连接BE ，可证得△ECB ≌△DCA 从而得到BE=AD ，再根据三角形的三边关系即可得出结论．解：如图1，以CD 为边向外作等边三角形CDE ，连接BE ，∵CE=CD ，CB=CA ，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA ，∴△ECB ≌△DCA （SAS ），∴BE=AD ，∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6<BE<8+6，∴2<BE<14，∴2<AD<14．∴则AD 的最大值与最小值的差为12．故答案为：12【点拨】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD 转化为BE 从而求解，是一道较好的中考题．【例2】（2020·新疆·中考真题）如图，在ABC V 中，90,60,4A B AB ∠=∠=︒=︒，若D 是BC 边上的动点，则2AD DC +的最小值为．在Rt DFC △中，30DCF ∠=︒，12DF DC ∴=，122()2AD DC AD DC +=+2()AD DF =+，∴当A ，D ，F 在同一直线上，即此时，60B ADB ∠=∠=︒，2、拓展延伸【例1】（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，AC 、BD 在AB 的同侧，点M 为线段AB 中点，2AC =，8BD =，8AB =，若120CMD ∠=︒，则CD 的最大值为（）A ．18B ．16C ．14D ．12【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．如图，作点A 关于CM 的对称点A '，点B 关于DM 的对称点B '，证明'' A MB 为等边三角形，即可解决问题．解：如图，作点A 关于CM 的对称点A '，点B 关于DM 的对称点B '，∵120CMD ∠=︒，∴60∠+∠=︒AMC DMB ，∴60''∠+∠=︒CMA DMB ，∴60''∠=︒A MB ，∵MA MB MA MB ''===，∴'' A MB 为等边三角形∵14CD CA A B B D CA AM BD ''''<++=++=，∴CD 的最大值为14，故选：C ．【例2】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角ABC V 中，302A BC ∠=︒=，，ABC V 的面积是6，D 、E 、F 分别是三边上的动点，则DEF 周长的最小值是（）A ．3B ．4C ．6D ．7∴AM AE AN ==，MF =∵BAC BAD DAC ∠=∠+∠∴MAN MAB BAD ∠=∠+∠∴(2MAN BAE EAC ∠=∠+∠。