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切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解南江石 2018年4月7日星期六圆的切线，与圆（圆弧）只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。
圆的割线，与圆（圆弧）有两个公共点的直线叫做圆的割线。
圆的弦，圆（圆弧）上两点的连接线段叫做圆（圆弧）的弦。
弦是割线的部分线段。
公共弦线：两圆相交，两交点的连线为公共弦线——共弦线，共割线。
公共切线：两圆相切，过两圆切点的公切线为公共切线——共切线。
几何原理 几何原理共弦线垂直于连心线共切线垂直于连心线共割线平分公切线 共切线平分公切线4切线长度相等—— 4切点共圆，圆心在两线交点3切线长度相等——3切点共圆，圆心在两线交点共割线上任意一点到圆的4个切线的长度相等，4切点共圆共切线上任意一点到圆的3个切线的长度相等，3切点共圆圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）的统一。
圆幂定理及相交弦定理、切割线定理和割线定理的实质是相似三角形。
点对圆的幂P 点对圆O 的幂定义为22R OP FB性质点P 对圆O 的幂的值，和点P 与圆O 的位置关系有下述关系： 点P 在圆O 内→P 对圆O 的幂为负数； 点P 在圆O 外→P 对圆O 的幂为正数； 点P 在圆O 上→P 对圆O 的幂为0。
切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
PBPTPT PA =PB PA PT ∙=2 222Am Pm PT -=割线定理（切割线定理的推论）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
PD PC PB PA ∙=∙2222Cn Pn Am Pm -=-相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。
PD PC PB PA ∙=∙2222A Pn Cn Pm m -=-垂径定理（相交弦定理推论）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。
初中切割线定理
切割线定理是初中数学中的一种几何定理，主要用于解决与三角形有关的问题。
它的表述如下：若一直线割一三角形之两边（或延长线）而交其他两边（或其延长线）于两点，则此直线截得的三角形面积等于被割去的两部分面积和的一半。
例如，在一个三角形ABC中，如果有一条直线DE从A点出发，经过BC边上的点D，然后到达AC边上的点E，那么根据切割线定理，我们就可以得出：三角形ADE的面积等于三角形ABD的面积加上三角形ACE的面积的一半。
这个定理在解题中非常有用，可以帮助我们快速计算出一些难以直接测量的面积，或者用来证明两个三角形的面积相等。
在学习和应用切割线定理时，我们需要理解其背后的逻辑，并熟练掌握相关的几何知识。
【初中数学】圆的相交弦定理、切割线定理和割线定理补充知识点一、相交弦定理1、相交弦在圆的内部相交的两条弦，称为相交弦.2、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等。
几何语言：弦AB和CD相交于⊙O内一点P，那么PA·PB=PC·PD. 3、相交弦定理的证明证明：连接AC、BD由圆周角定理推论得：∠C=∠B，∠A=∠D∴△ACP∽△DBP∴ PA：PD=PC：PB二、切割线定理1、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
几何语言：BC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点为A，则：PA²=PB·PC。
2、切割线定理的证明证明：如图，连接AB，AC∵ PA是圆O的切线，由弦切角定理可得∴∠PAC=∠B∵∠APB=∠CPA∴△APC∽△BPA∴ PA：BP=PC：PA三、割线定理1、割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
几何语言：从⊙O一点P引圆的两条割线AB、CD，则：PA·PB=PC·PD.2、割线定理证明证明：如图，连接AD、BC，由圆周角定理推论，得：∠D=∠B∵∠BPC=∠DPA∴△BPC∽△DPA∴ PB：PD=PC：PA∴ PA·PB=PC·PD四、例题例1、如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB⊥CD于点E，已知CE·ED=3,BE =1，求⊙O的直径。
解：作OH⊥AB于H，OG⊥CD于G，连接OA由相交弦定理得：CE·ED=AE·EB∴ 3=AE×1∴ AE=3∴ AB=AE+EB=3+1=4∴ AB=CD=4∴ AH=HB=2∴ HE=HB-EB=2-1=1∵ AB=CD，AB⊥CD∴ OH=OG∴四边形OGEH为正方形∴ OH=HE=1由勾股定理得，OA=,∴⊙O的直径为,例2、如题图,⊙O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,若PA=6，AE=9，PC=3, CE:ED=2:1 ，求BE的值。
第二十二讲园幂定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理．圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关．相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：1．用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况；2．从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ．思路点拨综合运用圆幂定理、勾股定理求PB长．注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段：(1)平行线分线段对应成比例；(2)相似三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出；(4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出．【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) A ．3 B ．4 C ．415 D ．516思路点拨 连AC ，CE ，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件．注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．【例3】 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是∠O 的直径，PA 是过A 点的直线，∠PAC=∠B ．(1)求证：PA 是⊙O 的切线；(2)如果弦CD 交AB 于E ，CD 的延长线交PA 于F ，AC=8，CE ：ED=6：5，，AE ：BE=2：3，求AB 的长和∠ECB 的正切值．思路点拨 直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x 、k 处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x与k 的关系，建立x 或k 的方程．【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=DE，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁．需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中．【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF 切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF＝4．求：(1)cos∠F的值；(2)BE的长．思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从△BE F∽△EAF，Rt△AEB入手．注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手：(1)多视点观察图形．如本例从D点看可用切线长定理，从F点看可用切割线定理．(2)多元素分析图形．图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形．(3)将以上分析组合，寻找联系．学力训练1．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，交弦CD于点M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT的长为．2．如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ．3．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点F，若AB=CD=2，则CE= ．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为( )A．6．4 B．3．2 C ．3．6 D．85．如图，⊙O 的弦AB 平分半径OC ，交OC 于P 点，已知PA 、PB 的长分别为方程024122=+-x x 的两根，则此圆的直径为( )A ．28B ．26C ．24D ．226．如图，⊙O 的直径Ab 垂直于弦CD ，垂足为H ，点P 是AC 上一点(点P 不与A 、C 两点重合)，连结PC 、PD 、PA 、AD ，点E 在AP 的延长线上，PD 与AB 交于点F ，给出下列四个结论：①CH 2=AH ·BH ；②AD ＝AC ：③AD 2=DF ·DP ；④∠EPC=∠APD ，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D ．(1)若∠B=30°，问AB 与AP 是否相等?请说明理由； (2)求证：PD ·PO=PC ·PB ；(3)若BD ：DC=4：l ，且BC ＝10，求PC 的长．8．如图，已知PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，PD ⊥AB 于点D ，PD 、AO 的延长线相交于点E ，连CE 并延长交⊙O 于点F ，连AF ． (1)求证：△PBD ∽△PEC ； (2)若AB=12，tan ∠EAF=32，求⊙O 的半径的长．9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰哈好是关于x 的方程0)134(622=+++-m m x x⌒⌒⌒(其中m 为实数)的两根．(1)求证：BE=BD ；(2)若GE ·EF=36，求∠A 的度数．10．如图，△ABC 中，∠C=90°，O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D ，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．11．如图，已知A 、B 、C 、D 在同一个圆上，BC=CD ，AC 与BD 交于E ，若AC=8，CD=4，且线段BE 、ED 为正整数，则BD= ．12．如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH ⊥BC 于H ，若PA=1，PB+PC=a (a >2)，则PH=( )A ．a 2 B ．a 1 C ．2a D ．3a13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长为( )A ．21 B ．215 C ．23D ．1 14．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，延长BC 至D ，使CD=BC ，CE ⊥AD 于E ，BE 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P ，求证：PE=PC ．15．已知：如图，ABCD 为正方形，以D 点为圆心，AD 为半径的圆弧与以BC 为直径的⊙O 相交于P 、C 两点，连结AC 、AP 、CP ，并延长CP 、AP 分别交AB 、BC 、⊙O 于E 、H 、F 三点，连结OF ．(1)求证：△AEP ∽△CEA ；(2)判断线段AB 与OF 的位置关系，并证明你的结论； (3)求BHHC16．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是AB 与PC 的交点，若PE=2，CD=1，求DE 的长．17．如图，⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程0)2(22=+-+k x k x (k 是整数)的最大整数根，P 是⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 和割线PBC ，其中A 为切点，点B 、C 是直线PBC 与⊙O 的交点，若PA 、PB 、PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求PA+PB+PC 的值．参考答案。
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段学习目标1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上;这点和切点之间的线段的长度;“切线长”是切线上一条线段的长;具有数量的特征;而“切线”是一条直线;它不可以度量长度..2.切线长定理对于切线长定理;应明确1若已知圆的两条切线相交;则切线长相等；2若已知两条切线平行;则圆上两个切点的连线为直径；3经过圆外一点引圆的两条切线;连结两个切点可得到一个等腰三角形；4经过圆外一点引圆的两条切线;切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；5圆外一点与圆心的连线;平分过这点向圆引的两条切线所夹的角..3.弦切角：顶点在圆上;一边和圆相交;另一边和圆相切的角..直线AB切⊙O于P;PC、PD为弦;图中几个弦切角呢四个4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角..5.弄清和圆有关的角：圆周角;圆心角;弦切角;圆内角;圆外角..6.遇到圆的切线;可联想“角”弦切角;“线”切线的性质定理及切线长定理..7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中;AB、CD为弦;交于P.PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD;证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中;AB为直径;CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.用相交弦定理.切割线定理⊙O中;PT切⊙O于T;割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB;证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线;交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T;用两次切割线定理圆幂定理⊙O中;割线PB交⊙O于A;CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M;延长OP'交⊙O于N;用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线;交⊙O于两点;则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||R为圆半径;因为叫做点对于⊙O的幂;所以将上述定理统称为圆幂定理..。
九年级数学相交弦定理和切割线定理知识精讲一. 本周教学内容：相交弦定理和切割线定理二. 重点、难点：1. 相交弦定理的使用特征。
2. 切割线定理的使用特征。
[例1] 如图，AC=BD ，CE 、DF 切⊙O 于E 、F 两点，连EF ，求证：CM=MD 。
证明：作DN ∥EC ，交MF 于N ，那么∠1=∠2，∠C=∠4 由弦切角定理得：∠3=∠1 ∴ ∠2=∠3 ∴ DN=DF由切割线定理，CB CA CE ⋅=2DA DB DF ⋅=2∵ AC=DB ∴ CB=DA ∴ 22DF CE = CE=DF∴ CE=DN 又 ∵ ∠5=∠6 ∴ DNM CEM ∆≅∆〔AAS 〕 ∴ CM=MD[例2] PT 切⊙O 于T ，PBA 为割线，交OC 于D ，CT 为直径，假设OC=BD=4cm ，AD=3cm ，求PB 长。
解：设即3由切割线定理，BP AP PT ⋅=2 由勾股定理，222TD PT PD +=∴ 22TD BP AP PD +⋅= ∴ )7(6)4(22++=+y y y∴ cm y 20=[例3]假设BC=9，解：连AB ，∴ ∠1=∴EF CE =由相交弦定理得26⨯=ab ② 由①、②解得：4=b ，3=a 由切割线定理得：1441692=⨯=⋅=CF CB AC ∴ AC=12[例4] P 为弦AB 上一点，C 在圆O 上，OP ⊥PC ，求证：〔1〕PB PA PC ⋅=2〔2〕假设证明：〔1〕延长CP 解：〔2〕易知PM 由相交弦定理，MN CM MB AM ⋅=⋅，即27)63(3)3(=+⨯=+y x ① 由垂径定理，CP=PD ，故在CPO Rt ∆中有2046222=-=PC ∴ 由〔1〕结论，20)3(=+y x ② 由①—②得：37+=x y 代②得，0203162=-+x x ∴ 0601632=-+x x ，36128±-=x 〔舍负〕∴ AP 长为36128+-[例5] 如图，AB 切⊙O 于B ，OB 交割线ACD 于E ，AC=CE=3，OE=25，求AB 长。
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段1.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
2弦切角定理及其推论圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，停止旋转，得∠BAE问：这时∠BAE还是圆周角吗？为什么？像∠BAE这样的角叫做弦切角，请你仿照圆周角的定义，给出弦切角的定义：_____________________________________________________________________________________________问题：以下各图中的角哪个是弦切角？思考：弦切角相对于圆心的位置，分为哪几类？请在右上方画出图。
问题:已知如图，AB是⊙O的一条切线，A为切点，AC是⊙O的一条弦，则∠ADC与∠BAC有什么关系?请给出证明。
（提示：类比圆周角定理的证明方法）弦切角定理：________________________________________________________问题：若两个弦切角所夹的弧相等，，那么这两个弦切角相等吗？为什么？弦切角定理的推论：___________________________________________________例如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证：EF∥BC.一、选择题（共17小题）1、如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE=19°，则∠AFB的度数为何？（）A、97°B、104°C、116°D、142°2、如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A=70°，∠B=60°，则的度数为何（）A、50°B、60°C、100°D、120°3、如图，CD是⊙O的切线，T为切点，A是上的一点，若∠TAB=100°，则∠BTD的度数为（）A、20°B、40°C、60°D、80°4、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=BC．AT是⊙O的切线，∠BAT=55°，则∠D等于（）A、110°B、115°C、120°D、125°5、如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B=60°，则∠CAD等于（）A、30°B、60°C、90°D、120°6、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的切线，点A为切点，∠ACB=60°，则∠DAB的度数是（）A、30°B、45°C、60°D、120°7、已知：如图，E是相交两圆⊙M和⊙N的一个交点，且ME⊥NE，AB为外公切线，切点分别为A，B连接AE，BE，则∠AEB的度数为（）8、如图，直线AB切⊙O于点A，割线BDC交⊙O于点D、C．若∠C=30°，∠B=20°，则∠ADC=（）A、70°B、50°C、30°D、20°9、如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．A、40B、50C、70D、8010、如图，P为半⊙O直径BA延长线上一点，PC切半⊙O于C，且PA：PC=2：3，则sin∠ACP的值为_______11、如图AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，切点为B，点C在⊙O上，若∠CBE=40°，则∠A的度数为( ）A、30°B、40°C、50°D、60°12、如图，△ABC内接于⊙O，BD切⊙O于点B，AB=AC，若∠CBD=40°，则∠ABC等于（）A、40°B、50°C、60°D、70°13、如图，AB、CD是⊙O的两条平行弦，BE∥AC交CD于E，过A点的切线交DC延长线于P，若AC=则PC•CE的值是（）A、18B、6C、D、14、如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（）A、1个B、2个C、3个D、4个则∠ACB等于（）A、70°B、55°C、70°或110°D、55°或125°16、如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE=25°，则∠D的度数是（）A、50°B、55°C、60°D、65°17、如图，在⊙O中，AB是弦，AC是⊙O切线，过B点作BD⊥AC于D，BD交⊙O于E点，若AE平分∠BAD，则∠ABD的度数是（）A、30°B、45°C、50°D、60°二、填空题（共13小题）18、如图，已知AD为⊙O的切线，⊙O的直径是AB=2，弦AC=1，则∠CAD=_________度．19、已知⊙O 中，的度数为70°，过点A的直线AC与⊙O相切，则弦切角∠BAC的度数为_________．20、如图，AB切⊙O于C，AO交⊙O于D，AO的延长线交⊙O于E，若∠A=α，则∠ECB=_________（用含α的式子表示）．21、如图，△ABC内接于圆⊙O，CT切⊙O于C，∠ABC=100°，∠BCT=40°，则∠AOB=___度．22、如图，割线PAB过圆心O，PD切⊙O于D，C 是上一点，∠PDA=20°，则∠C的度数是______度．23、如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，则∠ABO ﹣∠ABP=___．24、如图，四边形ABED内接于⊙O，E是AD延长线上的一点，若∠AOC=122°，则∠B=_________度，25、如图，已知AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，∠BAC=60°，则∠ADB的度数为_________度．26、如图，AB为⊙O直径，CE切⊙O于点C，CD⊥AB，D为垂足，AB=12cm，∠B=30°，则∠ECB=_________度；CD=_________cm．27、如图，已知AB是圆O的弦，AC是圆O的切线，∠BAC的平分线交圆O于D，连BD并延长交AC于点C，若∠DAC=40°，则∠B=_________度，∠ADC=_________度．28、如图，PA切⊙O于A点，C是弧AB上任意一点，∠PAB=58°，则∠C的度数是_________度．29、如图，EF切△ABC的外接圆于C，∠BAC=80°，那么∠BCE=_________度．30、已知：如图，在⊙O中，AB是直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=130°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为_________．3.与圆有关的比例线段 定理 图形 已知 结论 证法相交弦 定理⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于P. PA·PB＝PC·PD . 连结AC 、BD ，证：△APC∽△DPB .相交弦定理的推论⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB 于P.PC 2＝PA·PB . 用相交弦定理.切割线 定理⊙O 中，PT 切⊙O 于T ，割线PB 交⊙O 于APT 2＝PA·PB 连结TA 、TB ，证：△PTB∽△PAT切割线 定理推论PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、CPA·PB＝PC·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理圆幂定理⊙O 中，割线PB 交⊙O 于A ，CD 为弦 P'C·P'D＝r 2－OP'2PA·PB＝OP 2－r 2r 为⊙O 的半径延长P'O 交⊙O 于M ，延长OP'交⊙O 于N ，用相交弦定理证；过P 作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P 向⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数||（R 为圆半径），因为叫做点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
初三数学相交弦定理和切割线定理一. 本周教学内容：相交弦定理和切割线定理二. 重点、难点：1.[例yBP=，则y关于x的函数关系式为。
解：由相交弦定理得xy2236-=，即xy27=，其中93≤≤x.OABPCD[例证明：作DN∥EC，交MF于N，则∠1=∠2，∠C=∠4由弦切角定理得：∠3=∠1 ∴∠2=∠3 ∴DN=DF由切割线定理，CBCACE⋅=2DADBDF⋅=2∵AC=DB ∴CB=DA ∴22DFCE=CE=DF∴CE=DN 又∵∠5=∠6 ∴DNMCEM∆≅∆（AAS）∴CM=MD[例3] 已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。
解：设TD=x ，BP=y ，由相交弦定理得：TD CD DB AD ⋅=⋅ 即x x )8(43-=⨯ 61=x ，22=x （舍）由切割线定理，BP AP PT ⋅=2 由勾股定理，222TD PT PD += ∴ 22TD BP AP PD +⋅= ∴ )7(6)4(22++=+y y y ∴ y =[例4] F ，若BC=9，解：连AB ，∴ ∠1=∴EF CE =由切割线定理得：1441692=⨯=⋅=CF CB AC ∴ AC=12[例5] P 为弦AB 上一点，C 在圆O 上，OP ⊥PC ，求证：（1）PB PA PC ⋅=2（2）若证明：（1）延长CP解：（2）易知321==OC PM ，设x AP =，y MB = 由相交弦定理，MN CM MB AM ⋅=⋅，即27)63(3)3(=+⨯=+y x ① 由垂径定理，CP=PD ，故在CPO Rt ∆中有2046222=-=PC ∴ 由（1）结论，20)3(=+y x ② 由①—②得：37+=x y 代②得，0203162=-+x x ∴ 0601632=-+x x ，36128±-=x （舍负）∴ AP 长为36128+-[例6] 如图，AB 切⊙O 于B ，OB 交割线ACD 于E ，AC=CE=3，OE=25，求AB 长。
初三数学弦切角、相交弦定理、割线定理、切割线定理首师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：弦切角、相交弦定理、割线定理、切割线定理（一）弦切角：1. 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
满足三个条件：（1）顶点在圆上；（2）一边和圆相交；（3）一边和圆相切。
判断下列图形中的∠BAC是不是弦切角：图A中，缺少“顶点在圆上”的条件；图B中，缺少“一边和圆相交”的条件；圆C中，缺少“一边和圆相切”的条件；圆D中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件。
所以，图中的∠BAC都不是弦切角。
2. 分类（以圆心的位置分）：（1）圆心在角的外部；（2）圆心在角的一边上；（3）圆心在角的内部。
3. 弦切角的度理定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
推论1：弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
推论2：在同圆或等圆中，如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
（二）相交弦定理圆的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。
如图1（1），在⊙O中，AB、CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD。
（三）割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
如图1（3），有PA·PB＝PC·PD。
（四）切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
如图1（4），有PA2＝PC·PD。
当点P从圆内运动到圆上、圆外时（从图1（1）到图1（3）），总有PA·PB＝PC·PD，图1（2）中，点B、D与点P重合，PB＝PD＝0，PA·PB＝PC·PD同样成立。
当割线PBA绕着点P旋转到切线PA的位置时，点B与A重合，结论不变，仍有PA·PB ＝PC·PD，此时PA＝PB，所以PA2＝PC·PD。
