随机事件及其分布列复习学案

离散型随机变量及其分布列复习学案1、在掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个 的数字表示，数字随着试验结果的变化而变化。

象这种随着试验结果的变化而变化的变量称为 ，常用字母 、 、 、 …表示。

2、随机变量和函数都是一种映射，试验结果的范围相当于函数的 ，随机变量的范围相当于函数的3、离散型随机变量：4、离散型随机变量的分布列：一般地，假定随机变量X 有n 个不同的取值，它们分别是x 1,x 2, …,x n且P(X=x i )=p i ,（i=1,2, …,n ）i P 的性质：（1）0≥i P (i=1,2,…,n )；（2）1321=+⋯+++n P P P P5、离散型随机变量的分布列的性质：（1） （2） 6、求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤:7、两点分布8、超几何分布9、条件概率设A 、B 为两个事件，且P(A)>0，称P(B/A)= 为事件 发生条件下，事件 发生的 。

10、条件概率的性质（1） （2） 11、相互独立事件设A 、B 为两个事件，若P(AB)= 则称事件A,B 为相互独立事件。

则有：P(A B )= ,P(B A ) = ,P(B A )=12、独立重复实验13、二项分布一般地，在n 次独立重复实验中，用X 表示事件A 发生的 ，设每次试验中事件A 发生的概率为p,则P （X=k ）= 。

此时称随机变量X 服从 ，记作 ，并称p 为 。

14、均值与方差{},,2,1,)(,,,,21n i p x X P x x x X i i n ===且有的取值集合为一般地，随机变量 则称E(X)= 为随机变量X 的 ；称D(X)= 的 ，)(X D 为 。

(1)、若Y=aX+b 则E(Y)= ,D(Y)= .(2)、若X 服从两点分布，则E(X)= ,D(X)= . (3)、若X~B(n,p)，则E(X)= ,D(X)= . 15、正态分布(1)、我们称曲线为函数=)(,x σμϕ 的图像的曲线为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

高二年级数学（选修2-3）导学案
例4 某地数学考试的成绩X 服从正态分布，某密度函数曲线如右图所示，成绩X 位于区间(52,68]的概率为多少？
解 设成绩X ～N (μ，σ2)， 则正态分布的密度函数
()22
()21e
,2πx x μσμσϕσ
--⋅，＝由图可知，μ＝60，σ＝8.
∴P (52<X ≤68)＝P (60－8<x ≤60＋8)＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6. 跟踪演练4 已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图所示．
(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；
(2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数百分比． 解 设农民工年均收入ξ～N (μ，σ2)， 结合图象可知μ＝8 000，σ＝500.
(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式为
()22
()21
e 2πx P x μσσ
--
＝
22
(8000)25001
e
,5002π
x --
⨯=
x ∈(－∞，＋∞)．
(2)∵P (7 500＜ξ≤8 500)＝P (8 000－500＜ξ≤8 000＋500)＝0.682 6. ∴P (8 000＜ξ≤8 500)＝1
2
P (7 500＜ξ≤8 500)＝0.341 3.
即农民工年均收入在8 000～8 500之间的人数占总体的34.13%. 作业布置：
教学反思。

离散型随机变量及其分布列【教学目标】1、知识与技能（1）复习离散型随机变量的分布列，会求某些简单的离散型随机变量的分布列（2）通过实例，理解超几何分布和二项分布以及它们的特点，并能进行简单应用（3）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些具体问题（4）在对具体问题的分析中，认识分布列对刻画随机现象的重要性2、过程与方法在教学中要掌握思维过程，引导学生发现问题的方法，达到举一反三的目的；还要进行题后反思，形成良好的数学认知结构。

3、情感态度和价值观通过引导学生对解决问题的过程的参与，使学生进一步感受到生活与数学“零距离”，从而激发学生的学习热情，使学生获得良好的情感态度和价值观。

【教学重点】求离散型随机变量的分布列；对超几何分布、二项分布的理解【教学难点】求离散型随机变量的分布列；超几何分布、二项分布的应用【授课类型】复习课【教学过程】一、知识点回顾（1）离散型随机变量的分布列（2）几个特殊的分布列：两点分布、二项分布，超几何分布二、例题讲解例1、设离散型随机变量X的分布列为求2X＋1的分布列．例2、某袋中有7个黑球和3个红球1、任取4个球，取到红球的个数X的分布列2、每次取一个（取后不放回）取4次，取到红球个数X的分布列3、每次取一个（取后放回），取4次，则到红球的个数X的分布列4、每次取一个，取后不放回直到取到黑球的次数X的分布列三、课堂练习1、种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，则（1）全部成活的概率为；（2）全部死亡的概率为；（3）恰好3棵成活的概率为；（4）至少4棵成活的概率为。

2、（2010广东理6）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A．12B．35C．23D．34四、课后作业：1、某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示:（1）根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率;（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元,ξ表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元),若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求ξ的分布列和数学期望.2、（2011广东理17）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）。

随机事件的概率复习与小结【学习目标】1立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握本部分的基本知识、基本方法和基本技能.2、让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力．3、通过学生自己归纳总结本部分内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．【学习重点】将本部分的知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力，．【学习难点】把数学知识转化为自身素质. 增强用数学的意识．一、知识脉络二、基础知识1必然事件 .2不可能事件．3确定事件．4不确定事件（随机事件）5表示，叫做该事件的概率．6概率的理论计算有：①；② .三、知识应用例1、任意掷一枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6），“6”朝上的概率是多少？例2、两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆车(票价相同)，但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道车子开过来的顺序. 两人采取了不同的乘车方案:甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车。

如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题:⑴三辆车按出现的先后顺序工有哪几种不同的可能?⑵你认为甲、乙两人采用的方案，哪一种方案使自己．．乘上等车的可能性大? 为什么?例3、商场举办一次迎亚运抽大奖的活动，将五张亚运吉祥物的图片都平均分成上、下两段，制成十副同样大小的卡片，然后将上、下两段分别混合均匀，放入两只密闭的盒子里，由顾客从两个盒子中各随机抽取一张，若两张卡片刚好拼成一个吉祥物的图案，即可获得奖品。

（1）请用树形图或列表法求出顾客抽取一次获得奖品的概率。

（2）为增强活动的趣味性，商场在两个盒子中分别放入同样多的空白卡片若干张，小明对顾客抽取的结果中出现“至少一张空白卡片”的次数做了大量的统计，统计数据如下表：如果实验继续进行下去，根据上表数据出现“至少一张空白卡片”的频率将稳定在他的概率附近，试估计抽取一次出现，“至少一张空白卡片”的概率（精确到0.01）.（3）设商场在两个盒子中分别放入的空白卡片x张，根据（2），求出x的值。

1．(2014·课标Ⅱ，5，易)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.451．A设“一天的空气质量为优良”为事件A，“连续两天为优良”为事件AB，则已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率为P(B|A)．由条件概率可知，P(B|A)＝P（AB）P（A）＝0.60.75＝45＝0.8，故选A.2．(2015·湖南，18，12分，中)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X .求X 的分布列和数学期望．2．解：(1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}， B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}， B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}， C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A －2与A －1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A －2＋A －1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2) ＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A －2＋A －1A 2)＝P (A 1A －2)＋P (A －1A 2)＝P (A 1)P (A －2)＋P (A －1)P (A 2)＝P (A 1)[1－P (A 2)]＋[1－P (A 1)]P (A 2) ＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×12＝12.故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15. 于是P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫151⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125，P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125. 故X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.3．(2014·山东，18，12分，中)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．3．解：记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)， 则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.(1)记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”． 由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性，得 P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)·P (B 1)＋P (A 0)P (B 3)＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6， 由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12×15＋15×16＝215， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12×35＋13×15＝1130， P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110. 可得随机变量ξ的分布列为所以数学期望Eξ＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.4．(2013·课标Ⅰ，19，12分，中)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立． (1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望． 4．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝416×116＋116×12＝364.(2)X可能的取值为400，500，800，并且P(X＝400)＝1－416－116＝1116，P(X＝500)＝116，P(X＝800)＝14.所以X的分布列为E(X)＝400×1116＋500×116＋800×14＝506.25.相互独立事件的概率是高考的常考考点，是解决复杂问题的基础，一般情况下，一些较为复杂的事件可以拆分为一些相对简单事件的和或积，这样就可以利用概率公式转化为互斥事件和独立事件的组合，通常以解答题出现，与数学期望等知识结合，难度中等．1(2015·北京，16，13分)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16；B组：12，13，15，16，17，14，a.假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)(1)甲的康复时间不少于14天→甲是A组的第5人或第6人或第7人→每人康复时间互斥→互斥事件概率加法公式 (2)甲康复时间比乙长→相互独立事件同时发生→列举每种情况→互斥事件加法求解【解析】 设事件A i 为“甲是A 组的第i 个人”，事件B j 为“乙是B 组的第j 个人”，i ，j ＝1，2， (7)由题意可知P (A i )＝P (B j )＝17，i ，j ＝1，2， (7)(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P (A 5∪A 6∪A 7)＝P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 7)＝37.(2)设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，C ＝A 4B 1∪A 5B 1∪A 6B 1∪A 7B 1∪A 5B 2∪A 6B 2∪A 7B 2∪A 7B 3∪A 6B 6∪A 7B 6. 因为P (C )＝P (A 4B 1)＋P (A 5B 1)＋P (A 6B 1)＋P (A 7B 1)＋P (A 5B 2)＋P (A 6B 2)＋P (A 7B 2)＋P (A 7B 3)＋P (A 6B 6)＋P (A 7B 6)＝10P (A 4B 1)＝10P (A 4)P (B 1)＝1049. (3)a ＝11或a ＝18.(2014·大纲全国，20，12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立． (1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．解：设A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2， B 表示事件：甲需使用设备， C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)D ＝A 1BC ＋A 2B ＋A 2B －C ， P (B )＝0.6，P (C )＝0.4， P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0，1，2，所以P (D )＝P (A 1BC ＋A 2B ＋A 2B －C )＝P (A 1BC )＋P (A 2B )＋P (A 2B －C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B －)P (C ) ＝0.31.(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，则有P (X ＝0)＝P (B －A 0C －)＝P (B －)P (A 0)P (C －)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4) ＝0.06，P (X ＝1)＝P (BA 0C －＋B －A 0C ＋B －A 1C －)＝P (B )P (A 0)P (C －)＋P (B －)P (A 0)P (C )＋P (B －)P (A 1)P (C －)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4) ＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2BC )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4) ＝1－0.06－0.25－0.25－0.06 ＝0.38， X 的分布列为数学期望E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.相互独立事件概率的求法(1)首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否相互独立、是否对立)，正确区分“互斥事件”与“对立事件”．当且仅当事件A 和事件B 相互独立时，才有P (AB )＝P (A )·P (B )．(2)A ，B 中至少有一个发生：A ∪B .①若A ，B 互斥：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，否则不成立．②若A ，B 相互独立(不互斥)，则概率的求法：方法一：P (A ∪B )＝P (AB )＋P (AB －)＋P (A －B )；方法二：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝1－P (A －)P (B －)．(3)某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高准确率．要注意“至多”“至少”等题型的转化．条件概率在高考中经常作为解答题的一小问，或以选择题、填空题出现，难度较小，一般以直接考查公式的应用为主，分值约为5分．2(2015·湖北荆门模拟，20，12分)某工厂生产了一批产品共有20件，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件．求： (1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．【解析】 设“第一次抽到次品”为事件A ，“第二次抽到次品”为事件B ，事件A 和事件B 相互独立．依题意得：(1)第一次抽到次品的概率为P (A )＝520＝14. (2)第一次和第二次都抽到次品的概率为P (AB )＝520×419＝119.(3)方法一：在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝119÷14＝419.方法二：第一次抽到次品后，还剩余产品19件，其中次品4件，故第二次抽到次品的概率为P (B )＝419.(2015·湖北荆州质检，13)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A ＝“至少一次出现反面”，事件B ＝“恰有一次出现正面”，则P (B |A )＝________． 【解析】 由题意知，P (AB )＝323＝38，P (A )＝1－123＝78，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝3878＝37. 【答案】 37,条件概率的求法(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）.注意：事件A 与事件B 有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清P (AB )的求法．(2)当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.1．(2016·湖北荆门一模，6)把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( ) A.12 B.14 C.16 D.181．A 由古典概型知P (A )＝12，P (AB )＝14，则由条件概率知P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1412＝12.2．(2016·河北石家庄质检，9)小明准备参加电工资格考试，先后进行理论考试和操作考试两个环节，每个环节各有两次考试机会，在理论考试环节，若第一次考试通过，则直接进入操作考试；若第一次未通过，则进行第二次考试，若第二次考试通过则进入操作考试环节，第二次未通过则直接被淘汰．在操作考试环节，若第一次考试通过，则直接获得证书；若第一次未通过，则进行第二次考试，若第二次考试通过则获得证书，第二次未通过则被淘汰．若小明每次理论考试通过的概率为34，每次操作考试通过的概率为23，并且每次考试相互独立，则小明本次电工考试中共参加3次考试的概率是( ) A.13 B.38 C.23 D.342．B 设小明本次电工考试中共参加3次考试为事件A ，小明本次电工考试中第一次理论考试没通过，第二次理论考试通过，第一次操作考试通过为事件B ，小明本次电工考试中第一次理论考试通过，第一次操作考试没通过为事件C ，则P (A )＝P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )，又P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×34×23＝18，P (C )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝14，所以P (A )＝18＋14＝38.3．(2015·河南郑州一模，10)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是( ) A.1127 B.1124 C.1627 D.9243．A 方法一：记事件A ：从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球，则根据古典概型和对立事件的概率和为1，可知：P (B )＝42＋4＝23，P (B －)＝1－23＝13；由条件概率公式知P (A |B )＝3＋18＋1＝49，P (A |B －)＝38＋1＝39.从而P (A )＝P (AB )＋P (AB －)＝P (A |B )·P (B )＋P (A |B －)·P (B －)＝1127，选A.方法二：根据题意，分两种情况讨论：①从1号箱中取出白球，其概率为26＝13，此时2号箱中有6个白球和3个红球，从2号箱中取出红球的概率为13，则这种情况下的概率为13×13＝19.②从1号箱中取出红球，其概率为23.此时2号箱中有5个白球和4个红球，从2号箱中取出红球的概率为49，则这种情况下的概率为23×49＝827.则从2号箱中取出红球的概率是19＋827＝1127.4．(2016·江苏扬州一模，4)在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．4．【解析】 方法一：不妨设甲先抽奖，设甲中奖记为事件A ，乙中奖记为事件B ，两人都中奖的概率为P ，则P ＝P (AB )＝23×12＝13.方法二：甲乙从三张奖券中抽两张的方法有A 23＝6种，两人都中奖的可能有2种，设两人都中奖的概率为P ，则P ＝26＝13. 【答案】 135．(2016·江苏盐城二模，10)如图所示的电路有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________．5．【解析】 灯泡甲亮满足的条件是a ，c 两个开关都开，b 开关必须断开，否则短路．设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则甲灯亮应为事件AB －C ，且A ，B ，C 之间彼此独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，由独立事件概率公式知P (AB －C )＝P (A )P (B －)P (C )＝12×12×12＝18.【答案】 186．(2016·湖南常德一模，18，12分)某旅游景点，为方便游客游玩，设置自行车骑游出租点，收费标准如下：租车时间不超过2小时收费10元，超过2小时的部分按每小时10元收取(不足一小时按一小时计算)．现甲、乙两人独立来该租车点租车骑游，各租车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为13，12；2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为12，13，且两人租车的时间都不超过4小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相等的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望． 6．解：(1)甲、乙所付费用可以为10元、20元、30元， 甲、乙两人所付费用都是10元的概率为P 1＝13×12＝16. 甲、乙两人所付费用都是20元的概率为P 2＝12×13＝16.甲、乙两人所付费用都是30元的概率为P 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13＝136.故甲、乙两人所付费用相等的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝1336. (2)随机变量ξ的取值可以为20，30，40，50，60. P (ξ＝20)＝12×13＝16. P (ξ＝30)＝13×13＋12×12＝1336.P (ξ＝40)＝12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－12×12＝1136.P (ξ＝50)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－12×13＝536. P (ξ＝60)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13＝136.故ξ的分布列为∴ξ的数学期望是Eξ＝20×16＋30×1336＋40×1136＋50×536＋60×136＝35. 7．(2016·山东德州一模，18，12分)某科技公司组织技术人员进行新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验A ，B ，C ，若A ，B ，C 实验成功的概率分别为45，34，23.(1)对A ，B ，C 实验各进行一次，求至少有一次实验成功的概率；(2)该项目要求实验A ，B 各做两次，实验C 做三次，如果A 实验两次都成功则进行实验B 并获奖励10 000元，两次B 实验都成功则进行实验C 并获奖励30 000元，三次实验C 只要有两次成功，则项目研发成功并获奖励60 000元(不重复得奖)．且每次实验相互独立，用X 表示技术人员所获奖励的数值，写出X 的分布列及数学期望．7．解：(1)设A ，B ，C 实验成功分别记为事件A ，B ，C 且相互独立，A ，B ，C 至少有一次实验成功为事件D .则P (D )＝1－P (A －B －C －)＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝1－15×14×13＝5960.(2)X 的取值为0，10 000，30 000，60 000.则P (X ＝0)＝15＋45×15＝925.P (X ＝10 000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34×14＝725.P (X ＝30 000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫342×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫233－C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝775.或P (X ＝30 000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫342×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×23×13＝775. P (X ＝60 000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫342×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝415.∴X 的分布列为∴X 的数学期望是 E (X )＝0×925＋10 000×725＋30 000×775＋60 000×415＝21 600(元)．1．(2015·湖北，4，易)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)1．C由正态分布密度曲线可得，μ1＜μ2，σ1＜σ2.结合正态曲线的概率的几何意义，对于A，∵μ1＜μ2，∴P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)；对于B，∵σ1＜σ2，∴P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)；对于C，D，结合图象可知，C正确．2．(2015·课标Ⅰ，4，中)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.3122．A记A i＝{投中i次}，其中i＝1，2，3，B表示该同学通过测试，故P(B)＝P(A2∪A3)＝P(A2)＋P(A3)＝C23×0.62×0.4＋C33×0.63＝0.648.3．(2015·湖南，7，中)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.A．2 386 B．2 718C．3 413 D．4 7723．C由于曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线，则阴影部分面积为S＝0.682 62＝0.341 3，∴落入阴影部分的点的个数为10 000×0.341 31＝3 413.故选C.4．(2016·四川，12，易)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________．4．【解析】 由题可知：在一次试验中成功的概率P ＝1－14＝34，而该试验是一个2次的独立重复试验，成功次数X 服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34，∴E (X )＝2×34＝32.【答案】 325．(2015·广东，13，中)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.5．【解析】 由E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )，得⎩⎨⎧np ＝30，np （1－p ）＝20，解得p ＝13.【答案】 136．(2012·课标全国，15，中)某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．6．【解析】 由题意知每个电子元件使用寿命超过1 000小时的概率均为12，元件1或元件2正常工作的概率为1－12×12＝34，所以该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为12×34＝38.【答案】 387．(2013·山东，19，12分，中)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率是23.假设每局比赛结果相互独立． (1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X 的分布列及数学期望．7．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立，故 P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827， P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427.所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率为827，以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意，各局比赛结果相互独立， 所以P (A 4)＝C 24⎝⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427. 由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3， 根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627， P (X ＝1)＝P (A 3)＝427， P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝19， 故乙队得分X 的分布列为数学期望E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.二项分布是一种重要的概率模型，在高考中经常出现，选择题、填空题、解答题都可能出现，解答题出现频率更高，一般会综合相互独立、互斥或对立事件等知识进行考查，难度中等．1(2014·辽宁，18，12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．【解析】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能的取值为0，1，2，3，相应的概率为P(X＝0)＝C03·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，所以X的分布列为因为X～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.(1)读图→计算小矩形面积，得相应概率→利用独立事件的概率公式求解(2)确定X的所有可能值→运用n次独立重复试验计算公式，得相应概率→列出分布列→利用二项分布求出期望和方差(2012·天津，16，13分)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望E (ξ)．解：依题意知，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4)， 则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i. (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4，由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.所以这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19. (3)ξ的所有可能的取值为0，2，4，由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781. 所以ξ的分布列为故E (ξ)＝0×827＋2×4081＋4×1781＝14881.n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次可看作是C k n 个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是k 个A 事件与n －k 个A －事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k (1－p )n －k .因此n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为C k n p k (1－p )n －k.判断某随机变量是否服从二项分布的方法(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同． (2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．正态分布及其应用在近几年新课标高考中时常出现，主要考查正态曲线的性质(特别是对称性)，常以选择题、填空题的形式出现，难度较小；有时也会与概率与统计结合，在解答题中考查．2(1)(2015·辽宁十校联考，7)设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2(2)(2015·山东，8)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74% 【解析】 (1)由正态分布N (μ，σ2)的性质知，x ＝μ为正态分布密度函数图象的对称轴，故μ1<μ2；又σ越小，图象越高瘦，故σ1<σ2.(2)由正态分布的概率公式知P (－3<ξ<3)＝68.26%，P (－6＜ξ＜6)＝95.44%，故P(3<ξ<6)＝12[] P（－6<ξ<6）－P（－3<ξ<3）＝12(95.44%－68.26%)＝13.59%.【答案】(1)A(2)B1.(2015·广东佛山一模，7)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)＝()A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 51．B由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P(X>4)＝1－P（2≤X≤4）2＝0.5－12×0.682 6＝0.158 7，故选B.2．(2016·江西八校联考，6)在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80，120)内的概率为0.8，则ξ在(0，80)内的概率为() A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.22．B由题意得，P(80<ξ<100)＝P(100<ξ<120)＝0.4，P(0<ξ<100)＝0.5，∴P(0<ξ<80)＝0.1.,利用正态曲线的对称性求概率的方法(1)解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断．(2)对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知：①对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；②P(X<x0)＝1－P(X≥x0)；③P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．(3)对于特殊区间求概率一定要掌握服从N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间的取值概率，将所求问题向P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)转化，然后利用特定值求出相应概率．同时，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质．1．(2016·贵州八校联考，3)设随机变量ξ～N(2，4)，若P(ξ>a＋2)＝P(ξ<2a－3)，则实数a的值为()A ．1 B.53 C ．5 D ．91．B 因为P (ξ>a ＋2)＝P (ξ<2a －3)，所以由正态分布的对称性知，（a ＋2）＋（2a －3）2＝2，解得a ＝53.2．(2015·河南郑州二模，9)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( ) A.49 B.29 C.429 D.2272．A 由独立重复试验的概率公式，知所求概率P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133－1＝49. 3．(2015·福建福州模拟，5)已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954 D ．0.9773．C ∵μ＝0，正态曲线关于μ＝0对称， ∴P (ξ＞2)＝P (ξ＜－2)＝0.023，∴P (－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954，故选C.4．(2015·豫北六校联考，10)设ξ是服从二项分布B (n ，p )的随机变量，又E (ξ)＝15，D (ξ)＝454，则n 与p 的值分别为( ) A ．60，34 B ．60，14 C ．50，34 D ．50，144．B 由ξ～B (n ，p )，得E (ξ)＝np ＝15，D (ξ)＝np (1－p )＝454，则p ＝14，n ＝60. 5．(2016·山西四校联考，14)设随机变量X ～N (3，σ2)，若P (X >m )＝0.3，则P (X >6－m )＝________.5．【解析】 因为P (X >m )＝0.3，X ～N (3，σ2)，所以m >3，P (X <6－m )＝P (X <3－(m －3))＝P (X >m )＝0.3，所以P (X >6－m )＝1－P (X <6－m )＝0.7.【答案】 0.76．(2016·河北唐山一模，18，12分)小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个．(1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个，记乙所得红包的总钱数为X (单位：元)，求X 的分布列和期望．6．解：(1)设“甲恰得1个红包”为事件A ，则P (A )＝C 12×13×23＝49. (2)X 的所有可能取值为0，5，10，15，20. P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (X ＝5)＝C 12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827，P (X ＝10)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝627＝29.P (X ＝15)＝C 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝427， P (X ＝20)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.所以X 的分布列为E (X )＝0×827＋5×827＋10×29＋15×427＋20×127＝203(元)．7．(2016·江西南昌一模，18，12分)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X 服从正态分布N (80，σ2)(满分为100分)，已知P (X <75)＝0.3，P (X ≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80，85)，[85，95)，[95，100]各有一位同学的概率；(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.7．解：(1)P(80≤X<85)＝P(75<X≤80)＝0.5－P(X≤75)＝0.2，P(85≤X<95)＝0.5－0.2－0.1＝0.2，所以所求概率P＝A33×0.2×0.2×0.1＝0.024.(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X<75)＝0.4，所以ξ服从二项分布B(3，0.4)，P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝C13×0.4×0.62＝0.432，P(ξ＝2)＝C23×0.42×0.6＝0.288，P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，所以随机变量ξ的分布列是E(ξ)＝3×0.4＝1.2(人)．1．(2013·广东，4，易)已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)＝()A.32B．2 C.52D．31．A由数学期望公式得E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.2．(2014·浙江，9，难)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n 个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1，2)个球放入甲盒中．(1)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1，2)；(2)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i(i＝1，2)．则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2) 2．A 随机变量ξ1，ξ2的分布列如下：所以E (ξ1)＝n m ＋n ＋2m m ＋n ＝2m ＋nm ＋n， E (ξ2)＝C 2n C 2m ＋n ＋2C 1m C 1n C 2m ＋n ＋3C 2mC 2m ＋n ＝3m ＋n m ＋n，所以E (ξ1)<E (ξ2)．因为p 1＝m m ＋n ＋n m ＋n ·12＝2m ＋n 2（m ＋n ），p 2＝C 2m C 2m ＋n ＋C 1m C 1n C 2m ＋n ·23＋C 2nC 2m ＋n ·13＝3m ＋n 3（m ＋n ），p 1－p 2＝n 6（m ＋n ）>0，所以p 1>p 2.思路点拨：列出随机变量ξ1，ξ2的分布列，计算期望值并比较大小；利用分步计数原理计算p 1，p 2并比较大小．3．(2014·浙江，12，易)随机变量ξ的取值为0，1，2，若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.3．【解析】 设ξ＝1时的概率为p ，则E (ξ)＝0×15＋1×p ＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－p －15＝1，解得p ＝35，故D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.【答案】 254．(2016·课标Ⅰ，19，12分，中)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需要更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？4．解：由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，EY＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.当n＝20时，EY＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.5．(2016·天津，16，13分，中)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．5．解：(1)由已知，得P(A)＝C13C14＋C23C210＝13.所以，事件A发生的概率为1 3.(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝C23＋C23＋C24C210＝415，P(X＝1)＝C13C13＋C13C14C210＝715，P(X＝2)＝C13C14C210＝415.所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望EX＝0×415＋1×715＋2×415＝1.6．(2016·山东，19，12分，中)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮。

第二章 随机变量及其分布章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别．“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．2．对独立重复试验要准确理解．(1)独立重复试验的条件：第一，每次试验是在同样条件下进行；第二，任何一次试验中某事件发生的概率相等；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．(2)独立重复试验概率公式的特点：关于P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k，它是n 次独立重复试验中某事件A 恰好发生k 次的概率．其中n 是重复试验次数，p 是一次试验中某事件A 发生的概率，k 是在n 次独立试验中事件A 恰好发生的次数，弄清公式中n ，p ，k 的意义，才能正确运用公式．3．(1)准确理解事件和随机变量取值的意义，对实际问题中事件之间的关系要清楚． (2)认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等．(3)常见事件的表示．已知两个事件A 、B ，则A ，B 中至少有一个发生为A ∪B ；都发生为A ·B ；都不发生为— A ·— B ；恰有一个发生为(— A ·B )∪(A ·—B )；至多有一个发生为(— A ·— B )∪(— A ·B )∪(A ·— B )．4．对于条件概率，一定要区分P (AB )与P (B |A )．5．(1)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E (ξ)的值可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值．它们都由ξ的分布列唯一确定．(2)D (ξ)表示随机变量ξ对E (ξ)的平均偏离程度．D (ξ) 越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散；反之D (ξ)越小，ξ的取值越集中．(3)D (a ξ＋b )＝a 2D (ξ)，在记忆和使用此结论时，请注意D (a ξ＋b )≠aD (ξ)＋b ，D (a ξ＋b )≠aD (ξ)．6．对于正态分布，要特别注意N (μ，σ2)由μ和σ唯一确定，解决正态分布问题要牢记其概率密度曲线的对称轴为x ＝μ.专题一 条件概率的求法条件概率是高考的一个热点，常以选择题或填空题的形式出现，也可能是大题中的一个部分，难度中等．[例1] 坛子里放着7个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．解：设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A ，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B ，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB .(1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n (Ω)＝A 27＝42， 根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 14×A 16＝24. 于是P (A )＝n （A ）n （Ω）＝2442＝47.(2)因为n (AB )＝A 24＝12， 所以P (AB )＝n （AB ）n （Ω）＝1242＝27.(3)法一 由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝27÷47＝12. 法二 因为n (AB )＝12，n (A )＝24，所以P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝1224＝12.归纳升华解决概率问题的步骤．第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验、条件概率，然后把所给问题归结为某一种．第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式．第三步，利用条件概率公式求解：(1)条件概率定义：P (B |A )＝P （AB ）P （A ）.(2)针对古典概型，缩减基本事件总数P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.[变式训练] 把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为是多少？解：“第一次抛出偶数点”记为事件A ，“第二次抛出偶数点”记为事件B ，则P (A )＝3×66×6＝12，P (AB )＝3×36×6＝14. 所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝14÷12＝12.专题二 互斥事件、独立事件的概率要正确区分互斥事件与相互独立事件，准确应用相关公式解题，互斥事件是不可能同时发生的事件，相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件没有影响．[例2] 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A ，B ，C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求P (ξ≤1)．解：(1)设“甲胜A ”为事件D ，“乙胜B ”为事件E ，“丙胜C ”为事件F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式，知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.红队至少两人获胜的事件有DEF ，DEF ，DEF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DEF )＋P (DEF )＋P (DEF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意，知ξ的可能取值为0，1，2，3.P(ξ＝0)＝P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(D E F)＋P(DEF)＋P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，所以P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.45.[变式训练] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求P(X＝1)．解：记A i表示事件“同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备”，i＝0，1，2，B表示事件“甲需使用设备”，C表示事件“丁需使用设备”，D表示事件“同一工作日至少3人需使用设备”．(1)D＝A1BC＋A2B＋A2BC，P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i)＝C i2×0.52，i＝0，1，2，所以P(D)＝P(A1BC＋A2B＋A2BC)＝P(A1BC)＋P(A2B)＋P(A2BC)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.(2)X＝1表示在同一工作日有一人需使用设备．P(X＝1)＝P(BA0C＋BA0C＋BA1C)＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25.专题三独立重复试验与二项分布二项分布是高考考查的重点，要准确理解、熟练运用其概率公式P n(k)＝C k n·p k(1－p)n －k，k＝0，1，2，…，n，高考以解答题为主，有时也用选择题、填空题形式考查．[例3] 现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． (1)求张同学所取的3道题至少有1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 为1和3的概率．解：(1)设事件A ＝“ 张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (— A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (— A )＝56.(2)P (X ＝1)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎫251·15＋C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·45＝28125； P (X ＝3)＝C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫25·45＝36125.归纳升华解决二项分布问题必须注意： (1)对于公式P n (k )＝C kn ·p k(1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n 必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n 次．[变式训练] 一位病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，服用这种新药的有甲、乙、丙3位病人，且各人之间互不影响，有下列结论：①3位病人都被治愈的概率为0.93； ②3人中的甲被治愈的概率为0.9；③3人中恰好有2人被治愈的概率是2×0.92×0.1； ④3人中恰好有2人未被治愈的概率是3×0.9×0.12. 其中正确结论的序号是________(把正确结论的序号都填上)．解析： ①中事件为3次独立重复试验恰有3次发生的概率，其概率为0.93，故①正确；由独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，知②正确；③中恰有2人被治愈的概率为P (X ＝2)＝C 23p 2(1－p )＝3×0.92×0.1，从而③错误；④中恰好有2人未被治愈相当于恰好1人被治愈，故概率为C 13×0.9×0.12＝3×0.9×0.12，从而④正确．答案：①②④专题四 离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的均值和方差在实际问题中具有重要意义，也是高考的热点内容．[例4] (2016·天津卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. 所以，事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望E (X )＝0×15＋1×15＋2×15＝1.归纳升华(1)求离散型随机变量的分布列有以下三个步骤：①明确随机变量X 取哪些值；②计算随机变量X 取每一个值时的概率；③将结果用表格形式列出．计算概率时要注意结合排列组合知识．(2)均值和方差的求解方法是：在分布列的基础上利用E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 求出均值，然后利用D (X )＝ i ＝1n[x i －E (X )]2p i 求出方差．[变式训练] 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：0.3，0.7，0.9，求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差．(2)在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：(1)由已知条件有P (X ＜300)＝0.3，P (300≤X ＜700)＝P (X ＜700)－P (X ＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P (700≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜700)＝0.9－0.7＝0.2. P (X ≥900)＝1－P (X ＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y 的分布列为于是，E (Y )＝0×0.3D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X ＜300)＝0.7， 又P (300≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X ＜900|X ≥300)＝P （300≤X ＜900）P （X ≥300）＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.专题五 正态分布及简单应用高考主要以选择题、填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质，抓住其对称轴是关键． [例5] 某市去年高考考生成绩服从正态分布N (500，502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．解：因为考生成绩X ～N (500，502)，所以μ＝500，σ＝50，所以P (550<X ≤600)＝12[P (500－2×50<X ≤500＋2×50)－P (500－50<X ≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 故考生成绩在550～600分的人数为25 000×0.135 9≈3 398(人)．归纳升华正态分布概率的求法1．注意3σ原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率．2．注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．[变式训练] 某镇农民年收入服从μ＝5 000元，σ＝200元的正态分布．则该镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比是________．解析：设X 表示此镇农民的平均收入，则X ～N (5 000，2002)． 由P (5 000－200＜X ≤5 000＋200)＝0.682 6. 得P (5 000＜X ≤5 200)＝0.682 62＝0.341 3.故此镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比为34.13%. 答案：34.13% 专题六 方程思想方程思想是解决概率问题中的重要思想，在求离散型随机变量的分布列，求两个或三个事件的概率时常会用到方程思想．即根据题设条件列出相关未知数的方程(或方程组)求得结果．[例6] 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29. (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率． 解：记A ，B ，C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件． 由题设条件有⎩⎪⎨⎪⎧P （A — B ）＝14，P （B — C ）＝112，P （AC ）＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）[1－P （B ）]＝14， ①P （B ）[1－P （C ）]＝112， ②P （A ）P （C ）＝29. ③由①③得P (B )＝1－98P (C )，代入②得27[P (C )]2－51P (C )＋22＝0. 解得P (C )＝23或P (C )＝119(舍去)．将P (C )＝23分别代入②③可得P (A )＝13，P (B )＝14.故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.(2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件．则P (D )＝1－P (— D )＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.归纳升华(1)在求离散型随机变量的分布列时，常利用分布列的性质：①p 1≥0，i ＝1，2，3，…，n ；②∑i ＝1np i ＝1，列出方程或不等式求出未知数．(2)在求两个或多个概率时，常根据不同类型的概率公式列出方程或方程组求出未知数． [变式训练] 若离散型随机变量ξ的分布列为：求常数a 解：由离散型随机变量的性质得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－a ＋3－8a ＝1，0≤9a 2－a ≤1，0≤3－8a ≤1，解得a ＝23(舍去)或a ＝13.所以，随机变量的分布列为：。

概率，随机变量及分布列相关问题知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1 如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )． A.14 B.13 C.12 D.23例2 一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)若袋中共有10个球，①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E(ξ)．(2)求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710.并指出袋中哪种颜色的球个数最少．例3 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X 表示取球终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X 的分布列；(3)求甲取到白球的概率．例4 A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B 1、B 2、B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：X ，Y (1)求X ，Y 的分布列；(2)求E (X )，E (Y )．演练方阵A 档（巩固专练）1．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )．A ．至少有一个红球与都是红球B ．至少有一个红球与都是白球C ．至少有一个红球与至少有一个白球D ．恰有一个红球与恰有二个红球2．一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为( )．A.23B.14C.13D.123．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )．A.16B.12C.13D.234．掷一颗骰子，观察掷出的点数，则掷得奇数点的概率为( )．A.13B.14C.12D.235．已知随机变量X 的分布列为：P(X ＝k)＝12k，k ＝1,2，…，则P(2<X ≤4)等于( )．A.316B.14C.116D.5166．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号 码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为( )．A ．25B ．10C ．7D ．67.个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次， 设一事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事 件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )． A ．A 与B 是互斥而非对立事件 B ．A 与B 是对立事件C ．B 与C 是互斥而非对立事件D ．B 与C 是对立事件8．某射手射击所得环数ξ已知ξ的期望E(ξ)＝A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.99.据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率； (2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投 诉2次的概率．10.某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)； (2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)；(3)设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．B 档（提升精练）1.一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某 人到达路口时看见的是红灯的概率是( )． A.15 B.25 C.35 D.45 2．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4 个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )． A.136 B.19 C.536 D.163.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )．4.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功 投资失败 192次 8次5．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为________．6.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．7.已知关于x 的一元二次方程x2－2(a －2)x －b2＋16＝0.(1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率．8.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学 (1)求这两名同学的植树总棵数y 的分布列；(2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．9.甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空，比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止，设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立，求：(1)打满3局比赛还未停止的概率；(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E(ξ)．10.在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A 处的命中率q1为0.25，在B 处的命中率为q2，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ(1)求q2的值；(2)求随机变量ξ的数学期望E(ξ)；(3)试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．C 档（跨越导练）1.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b ＞a 的概率 是( )． A.45 B.35 C.25 D.152．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )．A.12B.13C.14D ．1 3.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )． A.13 B.12 C.23 D.344．随机变量ξ该随机变量ξ的均值是________．5．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________(结果用最简分数表示)．6.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为( )．A.π3B.334πC.34D ．以上全错 7.一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．8.现有8名2012年伦敦奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． (1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．9.设有关于x 的一元二次方程x2＋2ax ＋b2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述 方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的 概率．10.从含有两件正品和一件次品的3件产品中每次任取一件． (1)每次取出后不放回，连续取两次； (2)每次取出后放回，连续取两次．试分别求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．成长足迹课后检测学习（课程）顾问签字： 负责人签字：教学主管签字： 主管签字时间：概率，随机变量及分布列例1：答案 C解析 S △ABE ＝12|AB |·|AD |，S 矩形ABCD ＝|AB ||AD |.故所求概率P ＝S △ABE S 矩形ABCD ＝12.例２：(1)解 ①记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．②随机变量ξ的取值为0,1,2,3，由于P (ξ＝0)＝C 35C 310＝112，P (ξ＝1)＝C 15C 25C 310＝512，P (ξ＝2)＝C 25C 15C 310＝512，P (ξ＝3)＝112，ξ的分布列是ξ的数学期望E (ξ)＝112×0＋12×1＋12×2＋12×3＝2.(2)证明 设袋中有n 个球，其中y 个黑球， 由题意得y ＝25n ，由2y ＜n,2y ≤n －1，所以y n －1≤12.记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ，则P (B )＝C12n 5C13n 5＋C22n5C 2n ＝25＋35·2n5n －1＝25＋35·y n －1≤25＋35×12＝710. 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n ，红球的个数少于n5.故袋中红球个数最少．例3：解 (1)设袋中白球共有x 个，根据已知条件C 2x C 27＝17，即x 2－x －6＝0，解得x ＝3，或x ＝－2(舍去)．(2)X 表示取球终止时所需要的次数，则X 的取值分别为：1,2，3,4,5. 因此，P (X ＝1)＝A 13A 17＝37，P (X ＝2)＝A 14A 13A 27＝27，P (X ＝3)＝A 24A 13A 37＝635，P (X ＝4)＝A 34A 13A 47＝335，P (X ＝5)＝A 44A 13A 57＝135.则随机变量X 的分布列为：(3)甲取到白球的概率为P ＝3A 17＋43A 37＋43A 57＝7＋35＋35＝35.例4 解 (1)X ，Y 的可能取值分别为3,2,1,0.P (X ＝3)＝23×25×25＝875，P (X ＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2875， P (X ＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25， P (X ＝0)＝13×35×35＝325；根据题意X ＋Y ＝3，所以P (Y ＝0)＝P (X ＝3)＝875，P (Y ＝1)＝P (X ＝2)＝2875， P (Y ＝2)＝P (X ＝1)＝25，P (Y ＝3)＝P (X ＝0)＝325. X 的分布列为Y 的分布列为(2)E (X )＝3×875＋2×2875＋1×5＋0×25＝15；因为X ＋Y ＝3，所以E (Y )＝3－E (X )＝2315.五、演练方阵A 档（巩固专练）1．答案 D解析 对于A 中的两个事件不互斥，对于B 中两个事件互斥且对立，对于C 中两个事件不互斥，对于D 中的两个互斥而不对立． 2．答案D解析：一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，而只有一次出现正面的事件包括(正，反)，(反，正)，故其概率为24＝12.3．答案 C解析：甲共有3种站法，故站在中间的概率为13.4.解析：掷一颗骰子共有6种情况，其中奇数点的情况有3种，故所求概率为：36＝12.5．答案A解析：P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316.6．答案C解析：X 的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3，1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9. 7.答案D解析 根据互斥事件与对立事件的意义作答，A ∩B ＝{出现点数1或3}，事件A ，B 不互斥更不对立；B ∩C ＝∅，B ∪C ＝Ω，故事件B ，C 是对立事件． 8．答案A9.解 法一 (1)设事件A 表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B 表示“一个月内被投诉的次数为1”，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.5＝0.9.(2)设事件A i 表示“第i 个月被投诉的次数为0”，事件B i 表示“第i 个月被投诉的次数为1”，事件C i 表示“第i 个月被投诉的次数为2”，事件D 表示“两个月内共被投诉2次”． ∴P (A i )＝0.4，P (B i )＝0.5，P (C i )＝0.1(i ＝1,2)，∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P (A 1C 2＋A 2C 1)， 一、二月份均被投诉1次的概率为P (B 1B 2)，∴P (D )＝P (A 1C 2＋A 2C 1)＋P (B 1B 2)＝P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (B 1B 2)， 由事件的独立性得P (D )＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.法二 (1)设事件A 表示“一个月内被投诉2次”，事件B 表示“一个月内被投诉的次数不超过1次”．∵P (A )＝0.1，∴P (B )＝1－P (A )＝1－0.1＝0.9. (2)同法一．10.解答(1)记“射手射击1次，击中目标”为事件A ，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率P 1＝P (AA A )＋P (A AA )＋P (AAA )＝35×35×25＋25×35×35＋35×35×35＝63125. (2)射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率P 2＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫352×25×35＝162625.(3)由题设，“ξ＝k ”的概率为P (ξ＝k )＝C 2k －1×⎝ ⎛⎭⎪⎫352×⎝ ⎛⎭⎪⎫25k －3×35＝C 2k －1×⎝ ⎛⎭⎪⎫25k －3×⎝ ⎛⎭⎪⎫353(k ∈N *且k ≥3)． 所以，ξ的分布列为：B 档（提升精练）1．答案 B解析 以时间的长短进行度量，故P ＝3075＝25.2．答案 D解析 若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人选择结果为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率值为16.3．答案 A解析 P (A)＝38，P (B)＝28，P (C)＝26，P (D)＝13，∴P (A)＞P (C)＝P (D)＞P (B)． 4.答案 4 760解析 设该公司一年后估计可获得的钱数为X 元，则随机变量X 的取值分别为50 000×12%＝6 000(元)，－50 000×50%＝－25 000(元)．由已知条件随机变量X 的概率分布列是因此E (X )＝6 000×2425＋(－25 000)×25＝4 7605．答案 13解析 如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P ＝|CD ||AB |＝13.6.解(1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120.故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A 、B 、C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.7.解答：(1)基本事件(a ，b )共有36个，方程有正根等价于a －2＞0,16－b 2＞0，Δ≥0，即a ＞2，－4＜b ＜4，(a －2)2＋b 2≥16.设“方程有两个正根”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)，共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19.(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4}， 其面积为S (Ω)＝16，设“方程无实根”为事件B ，则构成事件B 的区域为B ＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2＜16}，其面积为S (B )＝14×π×42＝4π，故所求的概率为P (B )＝4π16＝π48.解：(1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4×4＝16，这两名同学植树总棵数Y 的取值分别为 17,18,19,20,21，P (Y ＝17)＝216＝18P (Y ＝18)＝416＝14P (Y ＝19)＝416＝14 P (Y ＝20)＝416＝14 P (Y ＝21)＝216＝18则随机变量Y 的分布列是：(2)由(1)知E (Y )＝178＋4＋4＋4＋8＝19，设这名同学获得钱数为X 元，则X ＝10Y ， 则E (X )＝10E (Y )＝190.9.解：令A k ，B k ，C k 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜．(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为P (A 1C 2B 3)＋P (B 1C 2A 3)＝123＋123＝14.(2)ξ的所有可能值为2,3,4,5,6，且P (ξ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝122＋122＝12， P (ξ＝3)＝P (A 1C 2C 3)＋P (B 1C 2C 3)＝123＋123＝14，P (ξ＝4)＝P (A 1C 2B 3B 4)＋P (B 1C 2A 3A 4)＝12＋12＝18， P (ξ＝5)＝P (A 1C 2B 3A 4A 5)＋P (B 1C 2A 3B 4B 5)＝125＋125＝116， P (ξ＝6)＝P (A 1C 2B 3A 4C 5)＋P (B 1C 2A 3B 4C 5)＝125＋125＝116，故有分布列从而E (ξ)＝2×12＋3×14＋4×8＋5×16＋6×16＝16(局)．10.解：(1)设该同学在A 处投中为事件A ， 在B 处投中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，且P (A )＝0.25，P (A )＝0.75，P (B )＝q 2，P (B )＝1－q 2. 根据分布列知ξ＝0时，P (A B B )＝P (A )P (B )P (B ) ＝0.75(1－q 2)2＝0.03，所以1－q 2＝0.2，q 2＝0.8.(2)当ξ＝2时，P 1＝P (A B B ＋A B B )＝P (A B B )＋P (A B B ) ＝P (A )P (B )P (B )＋P (A )P (B )P (B ) ＝0.75q 2(1－q 2)×2＝1.5q 2(1－q 2)＝0.24.当ξ＝3时，P 2＝P (A B B )＝P (A )P (B )P (B )＝0.25(1－q 2)2＝0.01， 当ξ＝4时，P 3＝P (A BB )＝P (A )P (B )P (B )＝0.75q 22＝0.48， 当ξ＝5时，P 4＝P (A B B ＋AB )＝P (A B B )＋P (AB )＝P (A )P (B )P (B )＋P (A )P (B )＝0.25q 2(1－q 2)＋0.25q 2＝0.24， 所以随机变量ξ的分布列为随机变量ξE (ξ)＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.(3)该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为P (B BB ＋B B B ＋BB )＝P (B BB )＋P (B B B )＋P (BB )＝2(1－q 2)q 22＋q 22＝0.896；该同学选择(1)中方式投篮得分超过3分的概率为0.48＋0.24＝0.72. 由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大．C 档（跨越导练）1．答案D解析：基本事件的个数有5×3＝15(种)，其中满足b ＞a 的有3种，所以b ＞a 的概率为315＝15. 2．答案B解析 点坐标小于1的区间长度为1，故所求其概率为13.3.答案A解析:甲、乙两人都有3种选择，共有3×3＝9(种)情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况．∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P ＝39＝13.4．答案 8.2解析 由分布列可知E (ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2. 5．答案 28145解析 所取的2瓶中都是不过期的饮料的概率为P ＝C 227C 230＝117145，则至少有1瓶为已过保质期饮料的概率P ＝1－P ＝28145.6.答案 B解析 设正三角形边长为a ，则外接圆半径r ＝32a ×23＝33a ，∴所求概率P ＝34a 2π⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝334π. 7.答案12解析 如图，该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的长度为：1＋2＋3＝6，故所求概率为P ＝612＝12.8.解:(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共有C 13C 13C 12＝18个．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“A 1恰被选中”这一事件， 事件M 由C 13C 12＝6， 因而P (M )＝618＝13.(2)用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件，由于N 包含(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)3个结果，事件N 有3个基本事件组成，所以P (N )＝318＝16，由对立事件的概率公式得 P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.9.解:设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.10.解答:(1)用a 1，a 2和b 1表示两件正品和一件次品，则不放回地抽取两次，其一切可能的结果为：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第一次取出的产品，右边的字母表示第二次取出的产品，用A 表示“取出的两件产品中，恰好有一件次品”这一事件，则A 所含的结果为(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，即基本事件的总数n ＝6，事件A 包含的事件总数m ＝4.故P (A )＝46＝23.(2)若为有放回的抽取，其基本事件包含的结果共有(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)，用B 表示“恰有一件产品为次品”这一事件，则B 包含的结果为(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，即基本事件的总数n ＝9，事件B 包含的事件总数m ＝4.故P (B )＝49.。

25．1.1 随机事件学案
一、学习目标
1、知道确定事件和不确定事件的分类
2、会判断哪些事件是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件
二：学习重点：会在具体问题中判断事件的类型
三、学习过程：
自主预习，走向成功！
仔细阅读教科书P、解决以下问题：
问题1、（1）事件分成三类-----------------------------------：
（2）这三类事件的主要区别-----------------------
（3）必然事件：-------------------------------------------
不可能事件：--------------------------------------------；
随机事件：--------------------------------------------------
问题2、判断下列事件是什么事件
（1）导体通电时，发热；
（2）抛一石块，下落；
（3）在标准大气压下且温度低于00C时,冰融化;
（4）在常温下，铁熔化；
（5）掷一枚硬币，出现正面向上；
（6）姚明投篮一次，进球。

知识梳理：本节课你有哪些收获？
能力提升：
1、练习册第134 页的练习、补充练习（幻灯片显示）
2、指出下列事件中哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件。

（1），某地一月一号刮西北风。

（2），当x是实数时，x²≥0.
（3），手电筒的电池没电，灯泡不亮。

（4），一个电影院某天的上座率超过50﹪。

学习反思。

第十七单元 随机变量及其分布教材复习课“随机变量及其分布”相关基础知识一课过1．条件概率 (1)定义设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．(2)性质①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 2．事件的相互独立性 (1)定义设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )·P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝P (A )P (B )． ②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． 3．独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．[小题速通]1．一位家长送孩子去幼儿园的路上要经过4个有红绿灯的路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min.则这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯的概率为( )A.13 B.227 C.427D.527解析：选C 设“这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A ，因为事件A 等于事件“这位家长送孩子在第一个路口和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为P (A )＝⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－13×13＝427.2．箱中装有标号分别为1,2,3,4,5,6的六个球(除标号外完全相同)，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，若两球的号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸球，恰好有3人获奖的概率是( )A.624625B.96625C.16625D.4625解析：选B 由题可得，一次摸球中获奖的概率为p ＝5＋1C 26＝25.所以4人中恰有3人获奖的概率为C 34⎝⎛⎭⎫253×35＝96625.3．设由0,1组成的三位编号中，若用A 表示“第二位数字为0的事件”，用B 表示“第一位数字为0的事件”，则P (A |B )＝________.解析：因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P (B )＝12，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A ，B 同时发生的概率P (AB )＝12×12＝14，所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝1412＝12. 答案：12[清易错]1．P (B |A )与P (A |B )易混淆为等同前者是在A 发生的条件下B 发生的概率，后者是在B 发生的条件下A 发生的概率． 2．易混“相互独立”和“事件互斥”两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．1．在我国的传统节日“端午节”这天，小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A ＝“取到的两个为同一种馅”，事件B ＝“取到的两个都是豆沙馅”，则P (B |A )＝( )A.34B.14C.110D.310解析：选A 由题意知，事件A 包含的基本事件有4个，事件B 在事件A 的基础上，所包含的基本事件有3个，则P (B |A )＝34.2．某知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立．则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．解析：依题意，该选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能．由相互独立事件概率计算公式得，所求概率P ＝(0.2＋0.8)×0.2×0.82＝0.128. 答案：0.1281．均值(1)一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则Y 也是随机变量，且E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . (3)①若X 服从两点分布，则E (X )＝p ； ②若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . 2．方差(1)设离散型随机变量X 的分布列为：则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1,2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度．而D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，并称其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(3)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． (4)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )． [小题速通]1．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝ )＝13， ＝1,2,3，则E (3X ＋5)＝( )A ．6B ．9C ．11D ．14解析：选C 由题意得P (X ＝1)＝P (X ＝2)＝P (X ＝3)＝13，所以E (X )＝(1＋2＋3)×13＝2，故E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝11.2．现有8件产品，其中5件一等品，3件二等品，从中随机选出3件产品，其中一等品的件数记为随机变量X ，则X 的数学期望E (X )＝________.解析：易知，任取一件产品，是一等品的概率p ＝58，是二等品的概率为1－p ＝38，因此，X 服从二项分布B ～X ⎝⎛⎭⎫3，58， 所以X 的数学期望E (X )＝3×58＝158.答案：1583.从装有6个白球和4个红球的口袋中任取一个球，用X 表示“取到的白球个数”，即则D (X )＝____________.解析：由题可得P (X ＝1)＝35，P (X ＝0)＝25，即X 服从两点分布，所以D (X )＝35×25＝625.答案：625[清易错]1．理解均值E (X )易失误，均值E (X )是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 值的取值平均状态．2．注意E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )易错．1．已知随机变量ξ和η，其中η＝10ξ＋2，且E (η)＝20，若ξ的分布列如下表，则m 的值为( )ξ 1 2 3 4 Pm14 n112A.3160B.3760C.2760D.18解析：选A 因为E (η)＝10E (ξ)＋2，所以E (ξ)＝95，故⎩⎨⎧m ＋2×14＋3n ＋4×112＝95，m ＋14＋n ＋112＝1，解得m ＝3160.2．已知ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，并且η＝2ξ＋3，则方差D (η)＝( )A.329 B.89 C.439D.599解析：选A 由题意知，D (ξ)＝4×13×⎝⎛⎭⎫1－13＝89， ∵η＝2ξ＋3，∴D (η)＝4·D (ξ)＝4×89＝329.1．超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝ )＝C k M C n －k N －MC n N，＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，称随机变量X 服从超几何分布.2．二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝ )＝C k n p (1－p )n －( ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．3．正态分布 (1)正态曲线的特点①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； ④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(2)正态分布的三个常用数据 ①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682_7； ②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)≈0.954_5； ③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)≈0.997_3. [小题速通]1．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )A ．C 1012⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582B ．C 912⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582C ．C 911⎝⎛⎭⎫5810⎝⎛⎭⎫382D ．C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582解析：选D 由题意得，取到红球的概率P ＝38，停止时共取了12次球，其中前11次取到9次红球，2次白球，第12次取到的为红球，所以P (X ＝12)＝C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582×38＝C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582.2．某校高考数学成绩ξ近似地服从正态分布N (100,52)，且P (ξ<110)＝0.96，则P (90<ξ<100)的值为( )A ．0.49B ．0.48C ．0.47D ．0.46解析：选D 由题意可知，正态曲线的对称轴为x ＝100，因为P (ξ<110)＝0.96，所以P (90<ξ<100)＝P (100<ξ<110)＝0.96－0.5＝0.46.3．若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是( )A.125729 B.80243 C.665729D.100243解析：选C 一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－13＝1－49＝59，设X 为3次试验中成功的次数，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫3，59，故所求概率P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 03×⎝⎛⎭⎫590×⎝⎛⎭⎫493＝665729.4．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．解析：η的所有可能值为0,1,2.P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴η的分布列为答案：一、选择题1．设随机变量ξ～N (2,1)，若P (ξ>3)＝m ，则P (1<ξ<3)等于( ) A.12－2m B ．1－m C ．1－2mD.12－m 解析：选C 因为随机变量ξ～N (2,1)，所以随机变量ξ服从正态分布，且正态曲线的对称轴为x ＝2，因为P (ξ>3)＝m ，所以P (ξ<1)＝m ，因此P (1<ξ<3)＝1－2P (ξ>3)＝1－2m .2．已知离散型随机变量X 的概率分布列为则随机变量X A.23 B.43 C.53D.76解析：选C ∵a ＝1－⎝⎛⎭⎫16＋13＋16＝13，∴E (X )＝0×16＋1×13＋2×16＋3×13＝53. 3．随机变量ξ的概率分布规律为P (ξ＝ )＝ck (k ＋1)， ＝1,2,3,4，其中c 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<52的值为( )A.23 B.34 C.45D.56解析：选D 由题可得，c 1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝c ×45＝1，解得c ＝54.所以P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝54×⎝⎛⎭⎫12＋16＝56. 4．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他在第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率为( )A.310B.29C.78D.79解析：选D 设事件A 为“第一次取到的是螺口灯泡”，事件B 为“第二次取到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730，故所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝730310＝79.5．(2018·邢台摸底)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( )A.1220B.2755C.27220D.2125解析：选C 由题意知取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.6．下列各组的两个事件相互独立的是( )①运动员甲射击一次，“射中10环”与“射中8环”；②甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中8环”；③盒子中放有5个红球、5个白球，从盒子中陆续取出两个球，事件A 为“第一次取出白球”，取出的球放回盒中，事件B 为“第二次取出的是白球”；④盒子中放有5个红球、5个白球，从盒子中陆续取出两个球，事件A 为“第一次取出白球”，取出的球不放回盒中，事件B 为“第二次取出的是白球”．A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④解析：选B ①甲射击一次，“射中10环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，是互斥事件；②甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中8环”的概率没有影响，故二者是相互独立事件；③在有放回的取球中，事件A 与B 是否发生相互之间没有任何影响，故二者是相互独立事件；④在不放回的取球中，事件A 发生后，事件B 的概率发生了改变，故二者不是相互独立事件．二、填空题7．随机掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为m ，已知向量AB ―→＝(m,1)，BC ―→＝(2－m ，－4)，设X ＝AB ―→·AC ―→，则X 的数学期望E (X )＝________.解析：∵AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝(2，－3)，∴X ＝AB ―→·AC ―→＝2m －3，而m ＝1,2,3,4,5,6. 列出X 的分布列(如表所示)，∴E (X )＝16(－1＋1＋3＋5＋7＋9)＝4.答案：48．已知随机变量ξ的分布列为：若E (ξ)＝13，则x ＋y ＝________，D (ξ)＝________.解析：由题意，得x ＋y ＝12.又E (ξ)＝－x ＋16＋2y ＝13，解得x ＝518， y ＝29，所以D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫－1－132×518＋⎝⎛⎭⎫0－132×13＋⎝⎛⎭⎫1－132×16＋⎝⎛⎭⎫2－132×29＝119.答案：12 1199．设随机变量η服从正态分布N (1，σ2)，若P (η <－1)＝0.2，则函数f (x )＝13x 3＋x 2＋η2x没有极值点的概率是______．解析：f ′(x )＝x 2＋2x ＋η2，因为函数f (x )＝13x 3＋x 2＋η2x 没有极值点，所以f ′(x )＝x 2＋2x ＋η2≥0恒成立， 所以Δ＝4－4η2≤0，则η≤－1或η≥1，因为P (η≤－1)＝0.2，且随机变量η服从正态分布N (1，σ2)， 所以P (η≤－1或η≥1)＝P (η≤－1)＋P (η≥1) ＝0.2＋0.5＝0.7. 答案：0.7 三、解答题10．如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p ；(2)求电流能在M 与N 之间通过的概率．解：记A i 表示事件“电流能通过T i ”，i ＝1,2,3,4， A 表示事件“T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流”， B 表示事件“电流能在M 与N 之间通过”．(1)A ＝A 1—A 2—A 3—，A 1，A 2，A 3相互独立，P (A )＝P (A 1—A 2—A 3—)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝(1－p )3， 又P (A )＝1－P (A )＝1－0.999＝0.001， 故(1－p )3＝0.001，解得p ＝0.9.(2)B ＝A 4∪(A 4A 1A 3)∪(A 4—A 1—A 2A 3)，P (B )＝P (A 4)＋P (A 4A 1A 3)＋P (A 4—A 1—A 2A 3)＝P (A 4)＋P (A 4)P (A 1)P (A 3)＋P (A 4)P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.989 1.11．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为：3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P (A )； (2)求η的分布列及数学期望E (η)．解：(1)由事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”， 可知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”， 因为P (A )＝(1－0.4)3＝0.216， 所以P (A )＝1－P (A )＝1－0.216＝0.784.(2)由题意知，η的可能取值为200元，250元，300元， 则P (η＝200)＝P (ξ＝1)＝0.4，P (η＝250)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4， P (η＝300)＝P (ξ＝4)＋P (ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2， 所以η的分布列为故数学期望E (η)＝200×)．12．(2017·北京高考)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；(2)从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．(只需写出结论)解：(1)由图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率P ＝1550＝0.3.(2)由图知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C. 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝C 22C 24＝16，P (ξ＝1)＝C 12C 12C 24＝23，P (ξ＝2)＝C 22C 24＝16.所以ξ的分布列为故ξ的数学期望E (ξ)＝0×16＋1×23＋2×16＝1.(3)在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差． 高考研究课(一) n 次独立重复试验与二项分布 [全国卷5年命题分析][典例] (1)从1,2,3,4,52个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.12(2)如图，四边形EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________. [解析] (1)法一：事件A 包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)，共4个，即n (A )＝4，事件AB 发生的结果只有(2,4)一种情形，即n (AB )＝1. 故由古典概型概率P (B |A )＝n (AB )n (A )＝14. 法二：P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410， P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110410＝14.(2)由题意可得，事件A 发生的概率 P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2π.事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”， 则P (AB )＝S △EOH S 圆O ＝12×12π×12＝12π. 故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12π2π＝14.[答案] (1)B (2)14条件概率的2种求法(1)利用定义分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P (AB )P (A )，这是求条件概率的通法． (2)借助古典概型概率公式先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ). [方法技巧] [即时演练]1．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )A.1127B.1124C.827D.924解析：选C 设从1号箱取到红球为事件A ，从2号箱取到红球为事件B . 由题意，P (A )＝42＋4＝23，P (B |A )＝3＋18＋1＝49， ∴P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝23×49＝827，∴两次都取到红球的概率为827. 2．在如图所示的简单电路中，开关T 1，T 2开或关的概率都是12，且相互独立，设事件A ：灯泡L 1亮；事件B ：灯泡L 2亮，则P (B |A )＝________.解析：由题意，得P (A )＝1－12×12＝34，P (AB )＝⎝⎛⎭⎫1－12×12＝14，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝13. 答案：13[典例] 甲、乙、丙三人同时到某用人单位应聘，他们能被聘用的概率分别为25，34，13，且各自能否被聘用相互独立，求：(1)三人都被聘用的概率； (2)有两人被聘用的概率；(3)三人中有几人被聘用的事件最易发生．[解]设甲、乙、丙能被聘用的事件分别为A，B，C，则P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13.(1)设三人都被聘用的概率为P1，由于事件A，B，C相互独立，故P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝25×34×13＝110.(2)三人中有两人被聘用，可分为以下三种情况：①甲未被聘用，乙、丙被聘用，概率为P(A BC)＝P(A)P(B)P(C)＝35×34×13＝320.②乙未被聘用，甲、丙被聘用，概率为P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝25×14×13＝130.③丙未被聘用，甲、乙被聘用，概率为P(AB C)＝P(A)P(B)P(C)＝25×34×23＝15.上述三个事件是两两互斥的，所以有两人被聘用的概率为P2＝320＋130＋15＝2360.(3)三人都未被聘用的概率为P3＝P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝35×14×23＝110，三人中有且只有一人被聘用的概率为P4＝1－(P1＋P2＋P3)＝1－110＋2360＋110＝512.又512>2360>110，所以三人中只有一人被聘用的概率最大，即此事件最易发生．[方法技巧]相互独立事件概率的求法(1)首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否相互独立、是否对立)，正确区分“互斥事件”与“对立事件”．当且仅当事件A和事件B相互独立时，才有P(AB)＝P(A)·P(B)．(2)A，B中至少有一个发生：A∪B.①若A，B互斥：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，否则不成立．②若A，B相互独立(不互斥)，则概率的求法：方法一：P(A∪B)＝P(AB)＋P(A B)＋P(A B)；方法二：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝1－P(A)P(B)．(3)某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高准确率．要注意“至多”“至少”等题型的转化．[即时演练](2017·天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝1124， P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＋12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数， 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋ ＝1)＝P (Y ＝0， ＝1)＋P (Y ＝1， ＝0) ＝P (Y ＝0)P ( ＝1)＋P (Y ＝1)P ( ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.[典例] 图．如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列．[解] (1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P (A 2)＝0.003×50＝0.15，P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X 可能的取值为0,1,2,3，相应的概率为 P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064， P (X ＝1)＝C 13·0.6·(1－0.6)2＝0.288， P (X ＝2)＝C 23·0.62·(1－0.6)＝0.432， P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216， 所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P0.0640.2880.4320.216[方法技巧]某随机变量是否服从二项分布的特点(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同． (2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生． [即时演练]某气象站天气预报的准确率为80 ，求(结果保留到小数点后第2位)： (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．解：令X 表示5次预报中预报准确的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫5，45， 故概率P (X ＝ )＝C k 5⎝⎛⎭⎫45⎝⎛⎭⎫1－455－ ( ＝0,1,2,3,4,5)．(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P (X ＝2)＝C 25×⎝⎛⎭⎫452×⎝⎛⎭⎫1－453＝10×1625×1125≈0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝1－C 05×⎝⎛⎭⎫450×⎝⎛⎭⎫1－455－C 15×45×⎝⎛⎭⎫1－454＝1－0.000 32－0.006 4≈0.99. (3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为C 14×45×⎝⎛⎭⎫1－453×45≈0.02.1．(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.312解析：选A3次投篮投中2次的概率为P(＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(＝2)＋P(＝3)＝C23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.2．(2014·全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.8 B．0.75C．0.6 D．0.45解析：选A根据条件概率公式P(B|A)＝P(AB)P(A)，可得所求概率为0.60.75＝0.8.3．(2014·全国大纲卷)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．解：记A i表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0,1,2，B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)D＝A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C，P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i)＝C i2×0.52，i＝0,1,2，所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为P(X＝0)＝P(B·A0·C)＝P (B )P (A 0)P (C ) ＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4) ＝0.06，P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C ＋B ·A 0·C ＋B ·A 1·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 1)P (C )＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4) ＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2·B ·C )＝P (A 2)P (B )P (C ) ＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4) ＝1－0.06－0.25－0.25－0.06 ＝0.38，数学期望E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4) ＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06 ＝2.4．(2013·全国卷Ⅰ)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50 ，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝416×116＋116×12＝364. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且P (X ＝400)＝1－416－116＝1116， P (X ＝500)＝116， P (X ＝800)＝14.所以X 的分布列为E (X )＝400×1116＋500×116＋800×14＝506.25.一、选择题1．甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为23，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为15.则甲获第一名且丙获第二名的概率为( )A.1112 B.16 C.130D.215解析：选D 设“甲胜乙”、“甲胜丙”、“乙胜丙”分别为事件A ，B ，C ，事件“甲获第一名且丙获第二名”为A ∩B ∩C ，所以P (甲获第一名且丙获第二名)＝P (A ∩B ∩C )＝P (A )P (B )·P (C )＝23×14×45＝215.2．把一枚硬币任意掷两次，事件A ＝“第一次出现正面”，事件B ＝“第二次出现正面”，则P (B |A )＝( )A.14B.13C.12D.23解析：选C 由题可得，所有的基本事件数是4个，事件A 包含2个基本事件，所以P (A )＝12，事件AB 包含1个基本事件，所以P (AB )＝14，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12.3．若ξ～B (n ，p )且E (ξ)＝6，D (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值为( ) A ．3·2－2B ．2－4C ．3·2－10D ．2－8解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ np ＝6，np (1－p )＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝12，p ＝0.5.所以P (ξ＝1)＝C 112(0.5)1(1－0.5)11＝3×2－10.4．袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次．若抽到各球的机会均等，事件A 表示“三次抽到的号码之和为6”，事件B 表示“三次抽到的号码都是2”，则P (B |A )＝( )A.17 B.27 C.16D.727解析：选A 因为P (A )＝A 33＋133＝727，P (AB )＝133＝127，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝17.5．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (3，p )，若P (ξ≥1)＝59，则P (η≥2)的值为( )A.2027B.827C.727D.127解析：选C 由题知随机变量符合二项分布，且它们的概率相同，P (ξ＝0)＝C 02(1－p )2＝1－59，解得p ＝13，则P (η≥2)＝C 33p 3＋C 23p 2(1－p )1＝127＋627＝727. 6．甲、乙两人练习射击， 命中目标的概率分别为12和13， 甲、乙两人各射击一次，有下列说法： ①目标恰好被命中一次的概率为12＋13；②目标恰好被命中两次的概率为12×13；③目标被命中的概率为12×23＋12×13；④目标被命中的概率为1－12×23，以上说法正确的是( )A ．②③B ．①②③C ．②④D ．①③解析：选C 对于说法①，目标恰好被命中一次的概率为12×23＋12×13＝12，所以①错误，结合选项可知，排除B 、D ；对于说法③，目标被命中的概率为12×23＋12×13＋12×13，所以③错误，排除A.故选C.二、填空题7.如图，△ABC 和△DEF 是同一圆的内接正三角形，且BC ∥EF .将一颗豆子随机地扔到该圆内，用M 表示事件“豆子落在△ABC 内”，N表示事件“豆子落在△DEF 内”，则P (N |M )＝________.解析：如图，作三条辅助线，根据已知条件得这些小三角形都全等，△ABC 包含9个小三角形，满足事件MN 的小三角形有6个，故P (N |M )＝69＝23.答案：238.如图，A, B, C 表示3种开关，设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9,0.8,0.7，如果系统中至少有1个开关能正常工作，则该系统就能正常工作， 那么该系统正常工作的概率是________．解析：由题意知，系统不能正常工作的概率是(1－0.9)×(1－0.8)×(1－0.7)＝0.006， 所以系统能正常工作的概率是1－0.006＝0.994. 答案：0.9949．已知甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7,0.6，且每次试跳成功与否之间没有影响．(1)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率是________； (2)若甲、乙各试跳两次，则甲比乙的成功次数多一次的概率是________．解析：(1)记“甲在第i 次试跳成功”为事件A i ，“乙在第i 次试跳成功”为事件B i ，“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C .法一：P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 1B 1) ＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1) ＝0.7×0.4＋0.3×0.6＋0.7×0.6＝0.88.法二：由对立事件的概率计算公式得P (C )＝1－P (A 1 B 1)＝1－P (A 1)P (B 1)＝1－0.3×0.4＝0.88.(2)设“甲在两次试跳中成功i 次”为事件M i ，“乙在两次试跳中成功i 次”为事件N i ，所以所求概率P ＝P (M 1N 0)＋P (M 2N 1)＝P (M 1)P (N 0)＋P (M 2)P (N 1)＝C 12×0.7×0.3×0.42＋0.72×C 12×0.6×0.4＝0.302 4.答案：(1)0.88 (2)0.302 4 三、解答题10．小王在某社交 络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个． (1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个． 记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列． 解：(1)设“甲恰得1个红包”为事件A ， 则P (A )＝C 12×13×23＝49. (2)X 的所有可能取值为0,5,10,15,20. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫233＝827， P (X ＝5)＝C 12×13×⎝⎛⎭⎫232＝827， P (X ＝10)＝⎝⎛⎭⎫132×23＋⎝⎛⎭⎫232×13＝627， P (X ＝15)＝C 12×⎝⎛⎭⎫132×23＝427， P (X ＝20)＝⎝⎛⎭⎫133＝127. 所以X 的分布列为11．为备战2018名选手入围最终单打比赛名单．现甲、乙、丙三人进行队内单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为35，丙胜甲的概率为34，乙胜丙的概率为p ，且各场比赛结果互不影响．若甲获第一名且乙获第三名的概率为110.(1)求p 的值；(2)设在该次对抗比赛中，丙得分为X ，求X 的分布列和数学期望． 解：(1)由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为110.即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙的概率为110，∴35×14×(1－p )＝110，∴p ＝13. (2)依题意，丙得分X 的所有取值为0,3,6. ∵丙胜甲的概率为34，丙胜乙的概率为23，∴P(X＝0)＝14×13＝112，P(X＝3)＝34×13＋14×23＝512，P(X＝6)＝34×23＝12，∴X的分布列为∴E(X)＝0×112＋3×512＋6×12＝174.12．从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到频率分布直方图如下所示：(1)根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；(2)以上述样本的频率作为概率，从该校高三学生中有放回地抽取3名，记抽取的学生本次数学考试的成绩不低于110分的人数为ξ，求ξ的分布列．解：(1)由频率分布直方图，可得该校高三学生本次数学考试的平均分大约为0.005 0×20×40＋0.007 5×20×60＋0.007 5×20×80＋0.015 0×20×100＋0.012 5×20×120＋0.002 5×20×140＝92(分)．(2)样本中成绩不低于110分的频率为0.012 5×20＋0.002 5×20＝0.3，所以从该校高三学生中随机抽取一名，分数不低于110分的概率为0.3.由题意知ξ的可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝C03×(0.3)0×(0.7)3＝0.343，P(ξ＝1)＝C13×(0.3)1×(0.7)2＝0.441，P(ξ＝2)＝C23×(0.3)2×(0.7)1＝0.189，P(ξ＝3)＝C33×(0.3)3×(0.7)0＝0.027.所以ξ的分布列为某省高考改革新方案，不分文理 ，高考成绩实行“3＋3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个 目中自主选择其中3个 目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个 目中至少选考一 的学生”记作学生群体S ，从学生群体S 中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的 目数及人数统计如下表：(1)率；(2)从所调查的50名学生中任选2名，记X 表示这2名学生选考物理、化学、生物的 目数量之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望；(3)将频率视为概率，现从学生群体S 中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两 目的学生数记作Y ，求事件“Y ≥2”的概率．解：(1)记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物 目数量相等”为事件A ，则P (A )＝C 25＋C 225＋C 220C 250＝2049， 所以他们选考物理、化学、生物 目数量不相等的概率为 1－P (A )＝2949.(2)由题意可知X 的可能取值分别为0,1,2. 由(1)知，P (X ＝0)＝2049， 又P (X ＝1)＝C 15C 125＋C 120C 125C 250＝2549， P (X ＝2)＝C 15C 120C 250＝449，从而X 的分布列为E (X )＝0×2049＋1×2549＋2×449＝3349.(3)所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两 目的学生有25名，相应的频率为p ＝2550＝12， 由题意知，Y ～B ⎝⎛⎭⎫4，12，。

第四节事件的独立性、条件概率与全概率公式【课程标准】1.了解两个事件相互独立的含义.2.了解条件概率与独立性的关系,会利用乘法公式计算概率.3.会利用全概率公式计算概率.【考情分析】考点考法:高考命题常以现实生活为载体,考查相互独立事件、条件概率、全概率;条件概率、全概率是高考热点,常以选择题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.相互独立事件(1)概念:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=__P(A)P(B)__成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.(2)性质:若事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也都相互独立.2.条件概率(1)概念:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=(B)()为在事件A 发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.(2)两个公式:①利用古典概型:P(B|A)=(B)();②概率的乘法公式:P(AB)=__P(A)P(B|A)__.【微点拨】P(B|A)与P(A|B)是两个不同的概率,前者是在A发生的条件下B发生的概率,后者是在B发生的条件下A发生的概率.3.全概率公式一般地,设A1,A2,…,A n是一组__两两互斥__的事件,A1∪A2∪…∪A n=Ω,且P(A i)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=.我们称此公式为全概率公式.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A.对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立B.若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B)C.抛掷2枚质地均匀的硬币,设“第一枚正面朝上”为事件A,“第二枚正面朝上”为事件B,则A,B相互独立D.若事件A1与A2是对立事件,则对任意的事件B⊆Ω,都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)【解析】选BCD.因为当两个事件A,B相互独立时公式P(AB)=P(A)P(B)成立,所以选项A错误;因为事件A,B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B),P(B|A)=(B)()=P(B),所以选项B正确;因为抛掷2枚质地均匀的硬币,第一枚正面朝上,与第二枚正面的朝向无关,所以选项C正确;因为事件A1与A2是对立事件,所以B=A1B+A2B,所以P(B)=P(A1B)+P(A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),所以选项D正确.2.(必修第二册P253习题4改条件)甲、乙两人独立地破解同一个谜题,破解出此谜题的概率分别为12,23,则此谜题没被破解出的概率为()A.16B.13C.56D.1【解析】选A.设“甲独立地破解出此谜题”为事件A,“乙独立地破解出此谜题”为事件B,则P(A)=12,P(B)=23,故P()=12,P()=13,所以P()=12×13=16,即此谜题没被破解出的概率为16.3.(条件概率公式使用错误)已知3件次品和2件正品混在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,则在第一次取出次品的条件下,第二次取出的也是次品的概率是()A.310B.35C.12D.14【解析】选C.设事件A表示第一次取出次品,事件B表示第二次取出次品,P(A)=35,P(AB)=35×24=310,则在第一次取出次品的条件下,第二次取出的也是次品的概率是P(B|A)=(B)()=31035=12.4.(2022·天津高考)52张扑克牌,没有大小王,无放回地抽取两次,则两次都抽到A 的概率为________;已知第一次抽到的是A,则第二次抽取A的概率为________.【解析】由题意,设第一次抽到A为事件B,第二次抽到A为事件C,则P(BC)=452×351=1221,P(B)=452=113,所以P(C|B)=(B)()=1221113=117.答案:1221117【巧记结论·速算】如果事件A1,A2,…,A n相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…A n)=P(A1)P(A2)…P(A n).【即时练】从应届高中生中选拔飞行员,已知这批学生体型合格的概率为13,视力合格的概率为16,其他几项标准合格的概率为15,从中任选一名学生,则该生各项均合格的概率为(假设各项标准互不影响)()A.49B.190C.45D.59【解析】选B.各项均合格的概率为13×16×15=190.【核心考点·分类突破】考点一事件的相互独立性角度1事件独立性的判断[例1](2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则()A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立【解析】选B.设甲、乙、丙、丁事件发生的概率分别为P(A),P(B),P(C),P(D).则P(A)=P(B)=16,P(C)=56×6=536,P(D)=66×6=16,对于A选项,P(AC)=0;对于B选项,P(AD)=16×6=136;对于C选项,P(BC)=16×6=136;对于D选项,P(CD)=0.若两事件X,Y相互独立,则P(XY)=P(X)P(Y),因此B选项正确.【解题技法】两个事件相互独立的判断方法(1)定义法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)充要条件法:事件A,B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B).【对点训练】某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动,号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动”的主力军,开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习,设事件A=“甲、乙两人所选课程恰有一门相同”,事件B=“甲、乙两人所选课程完全不同”,事件C=“甲、乙两人均未选择陆地冰壶课程”,则()A.A与B为对立事件B.A与C互斥C.A与C相互独立D.B与C相互独立【解析】选C.依题意,甲、乙两人所选课程有如下情形:①有一门相同;②两门都相同;③两门都不相同.故A与B互斥不对立,A与C不互斥,所以P(A)=C41C31C21C42C42=23,P(B)=C42C42C42=16,P(C)=C32C32C42C42=14,且P(AC)=C31C21C42C42=16,P(BC)=0,所以P(AC)=P(A)P(C),P(BC)≠P(B)P(C),即A与C相互独立,B与C不相互独立.角度2独立性事件的概率[例2](2023·临沂模拟)“11分制”乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,若甲先发球,两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为________;若乙先发球,两人又打了4个球后该局比赛结束,则甲获胜的概率为________.【解析】记两人又打了X个球后该局比赛结束,设双方10∶10平后的第k个球甲得分为事件A k(k=1,2,3…),则P(X=2)=P(A1A2)+P(12)=P(A1)P(A2)+P(1)P(2)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.由乙先发球,且甲获胜的概率P=P(A12A3A4)+P(1A2A3A4)=P(A1)P(2)P(A3)P(A4)+P(1)P(A2)P(A3)P(A4)=0.4×0.5×0.4×0.5+0.6×0.5×0.4×0.5= 0.1.答案:0.50.1【解题技法】求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积.(2)当正面计算较复杂或难以入手时,可从其对立事件入手计算.【对点训练】(2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.【解析】(1)甲连胜四场的概率为116.(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场的概率为116;乙连胜四场的概率为116;丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为1-116-116-18=34.(3)丙最终获胜有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18.比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为116,18,18.因此丙最终获胜的概率为18+116+18+18=716.【加练备选】某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成,元件1和元件2同时正常工作,或元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件正常工作的概率均为34且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件正常工作的概率为()A.764B.1532C.2732D.5764【解析】选D.讨论元件3正常与不正常:第一类,元件3正常,上部分正常或不正常都不影响该部件正常工作,则正常工作的概率为34×1=34;第二类,元件3不正常,上部分必须正常,则正常工作的概率为14×(34×34)=964,故该部件正常工作的概率为34+964=5764.考点二条件概率[例3](1)七巧板是中国民间流传的智力玩具.它是由如图所示的七块板组成:五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形.可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等多种图案.现从七巧板中取出两块,已知取出的是三角形,则两块板恰好是全等三角形的概率为()A .35B .25C .27D .15【解析】选D .设事件A 为“从七巧板中取出两块,取出的是三角形”,事件B 为“两块板恰好是全等三角形”,则P (AB )=2C 72=221,P (A )=C 52C 72=1021,所以P (B |A )=(B )()=2211021=15.(2)(2022·新高考Ⅰ卷改编)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100人(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:项目不够良好良好病例组4060对照组1090从该地的人群中任选一人,A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B 表示事件“选到的人患有该疾病”.(|)(|)与(|)(|)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.①证明:R =(|)(|)·(|)(|);②利用该调查数据,给出P (A |B ),P (A |)的估计值,并利用①的结果给出R 的估计值.【解析】①因为R =(|)(|)·(|)(|)=(B )()·()(B )·(B )()·()(B ),所以R =(B )()·()(B )·(B )()·()(B ).所以R =(|)(|)·(|)(|).②由已知P (A |B )=40100=25,P (A |)=10100=110,又P (|B )=60100=35,P (|)=90100=910,所以R =(|)(|)·(|)(|)=25×91035×110=6.所以指标R 的估计值为6.【解题技法】求条件概率的常用方法(1)定义法:P (B |A )=(B )().(2)样本点法:P (B |A )=(B )().【对点训练】1.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪,在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为()A .0.8B .0.4C .0.2D .0.1【解析】选A .根据题意,在该地的中学生中随机调查一位同学,设选出的同学爱好滑冰为事件A,选出的同学爱好滑雪为事件B,由于该地中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪,则P(B)=0.5,同时爱好两个项目的占该地中学生总人数的50%+60%-70%=40%,则P(AB)=0.4,则P(A|B)=(B)()=0.40.5=0.8.2.根据历年的气象数据可知,某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25,刮四级以上大风的概率为0.4,既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下,刮四级以上大风的概率为()A.0.8B.0.625C.0.5D.0.1【解析】选A.设“发生中度雾霾”为事件A,“刮四级以上大风”为事件B,所以P(A)=0.25,P(B)=0.4,P(AB)=0.2,则在发生中度雾霾的情况下,刮四级以上大风的概率为P(B|A)=(B)()=0.20.25=0.8.考点三全概率公式的应用[例4](1)一份新高考数学试卷中有8道单选题,小胡对其中5道题有思路,3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是0.9,没有思路的题只能猜一个答案,猜对答案的概率为0.25,则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为() A.79160B.35C.2132D.58【解析】选C.设事件A表示“小胡做对”,事件B表示“小胡选到有思路的题”,则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|) =58×0.9+38×0.25=2132.(2)在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时,被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07;当发送信号1时,被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的,则接收的信号为1的概率为()A.0.48B.0.49C.0.52D.0.51【解析】选D.设事件A=“发送的信号为0”,事件B=“接收的信号为1”,则P(A)=P()=0.5,P(B|A)=0.07,P(B|)=0.95,因此P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.5×(0.07+0.95)=0.51.【解题技法】利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准,将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A i(i=1,2,…,n).(2)求P(A i)和所求事件B在各个互斥事件A i发生条件下的概率P(B|A i).(3)代入全概率公式计算.【对点训练】某商店收进甲厂生产的产品30箱,乙厂生产的同种产品20箱,甲厂每箱装100个,废品率为0.06,乙厂每箱装120个,废品率为0.05.(1)任取一箱,求从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率.【解析】记事件A为取到的是甲厂的产品,事件B为取到的是乙厂的产品,事件C 为取到的是废品.(1)P(A)=3050=35,P(B)=2050=25,P(C|A)=0.06,P(C|B)=0.05,由全概率公式,得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=7125.(2)P(A)=30×10030×100+20×120=59,P(B)=20×12030×100+20×120=49,P(C|A)=0.06,P(C|B)=0.05,由全概率公式,得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=118.。

教材复习课“概率、分布列”相关基础知识一课过[小题速通]1．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A ．对立事件B ．互斥但不对立事件C ．不可能事件D ．以上都不对 解析：选B 由于每人分得一张牌，故“甲分得红牌”意味着“乙分得红牌”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件，故选B.2．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是( ) A.56B.23C.12D.13解析：选A 乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为12＋13＝56. 3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5 和3 ，则抽验一件是正品(甲级品)的概率为( )A ．0.92B ．0.95C ．0.97D ．0.08解析：选A 记事件A ：“生产的产品为甲级品”，B ：“生产的产品为乙级品”，C ：“生产的产品为丙级品”，则P (B )＝0.05，P (C )＝0.03，且事件A ，B ，C 两两互斥，P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1，所以P (A )＝0.92.[清易错]易忽视互斥事件与对立事件的关系而致误互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ∪B 与C 是互斥事件，也是对立事件B ．B ∪C 与D 是互斥事件，也是对立事件C ．A ∪C 与B ∪D 是互斥事件，但不是对立事件D ．A 与B ∪C ∪D 是互斥事件，也是对立事件解析：选D 由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ∪B ∪C ∪D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn 图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．1．特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．(2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．2．古典概型概率公式：P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数. [小题速通]1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有9种，其中，甲、乙参加同一小组的情况有3种．故甲、乙参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13.2．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出2张卡片上数字之和为偶数的概率为( )A.35B.25C.34D.23解析：选B 从这5张卡片中随机抽取2张的所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中取出2张卡片上数字之和为偶数的基本事件为(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4个，所以从这5张卡片中随机抽取2张，取出2张卡片上数字之和为偶数的概率为410＝25. 3．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为( )A.35B.59C.25D.110解析：选B 由题可得，满足要求的所有基本事件数为6×9＝54，第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的基本事件数为6×5＝30.所以由古典概型可知，P ＝3054＝59. [清易错]1．在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视他们是否是等可能的．2．概率的一般加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝∅，即A ，B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0.1．一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2个，这6个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球中至少有1个是红球的概率是( )A.13B.25C.815D.35解析：选D 由题意知，摸出2个球的事件数共15个，至少有1个是红球的对立事件为两个均不是红球，事件个数为6个，设两个均不是红球为事件A ，则P (A )＝615＝25，所以其对立事件2个球中至少有1个是红球的概率P ＝1－25＝35. 2．从一副混合后的扑克牌(除去大、小王52张)中，随机抽取1张．事件A 为“抽到红桃 ”，事件B 为“抽到黑桃”，则P (A ∪B )＝________(结果用最简分数表示)．解析：∵P (A )＝152，P (B )＝1352， ∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝152＋1352＝1452＝726. 答案：726几何概型[过双基] 1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．特点：(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能的．3．公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积). [小题速通]1．在区间⎣⎡⎦⎤－56，136上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 13(x ＋1)≤1”不发生的概率为( )A.89B.23C.13D.19解析：选D 因为－1≤log 13(x ＋1)≤1，所以－23≤x ≤2，所以所求事件的概率为1－2－⎝⎛⎭⎫－23136－⎝⎛⎭⎫－56＝19. 2．已知点P ，Q 为圆C ：x 2＋y 2＝25上的任意两点，且|PQ |＜6，若PQ 中点组成的区域为M ，在圆C 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )A.35B.925C.1625D.25解析：选B PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示，那么在C内部任取一点落在M 内的概率为25π－16π25π＝925.3．(2018·西宁复习检测)已知球O 内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为________．解析：由题意知球的半径为1，其体积为V 球＝4π3，正方体的体积为V 正方体＝23＝8， 则这一点不在球内的概率P ＝1－4π38＝1－π6. 答案：1－π64．数轴上有四个间隔为1的点依次为A ，B ，C ，D ，在线段AD 上随机取一点E ，则E 点到B ，C 两点的距离之和小于2的概率为________．解析：如图，数轴上AD ＝3，而到B ，C 两点的距离之和小于2的点E 在线段MN 内，且MN ＝52－12＝2，所以E 点到B ，C 两点的距离之和小于2的概率P ＝MN AD ＝23.答案：23一、选择题1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有1个白球，都是红球B ．至少有1个白球，至多有1个红球C ．恰有1个白球，恰有2个白球D ．至多有1个白球，都是红球解析：选C 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球共有三种可能：两个白球、两个红球、一个白球和一个红球，三者互斥，“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件，“至少有1个白球”和“至多有1个红球”不互斥，“恰有1个白球”和“恰有2个白球”互斥不对立，故选C.2．一批产品次品率为4 ，正品中一等品率为75 .现从这批产品中任取一件，恰好取到一等品的概率为( )A ．0.75B ．0.71C ．0.72D ．0.3解析：选C 由题意可知，正品率为96 ，因为正品中一等品率为75 ，所以一等品率为96 ×75 ＝72 ，所以任取一件产品，恰好是一等品的概率为0.72.3．如图，在一不规则区域内，有一边长为1 m 的正方形，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375，以此试验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为( )A.83m 2 B ．2 m 2 C.163m 2 D ．3 m 2解析：选A 由几何概型的概率计算公式及题意可近似得到S 正方形S 不规则图形＝3751 000，所以该不规则图形的面积大约为1 000375＝83(m 2)． 4．抛掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为6的概率等于( )A.118B.19C.16D.536解析：选B 由题意抛掷两颗质地均匀的骰子，向上的点数所有可能情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，…，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种情况，其中点数之积为6的情况为(1,6)，(2,3)，(3,2)，(6,1)，共4种情况，故所求概率为P ＝436＝19. 5．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.827B.127C.2627D.1527解析：选B 依题意，小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心且棱长为1的小正方体内，这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为33＝27，故根据几何概型得安全飞行的概率为P ＝127. 6．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．1解析：选C 标记5件产品中的次品为1,2，合格品为3,4,5.从这5件产品中任取2件，不同的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，即基本事件的总数为10.“从这5件产品中任取2件，恰有一件次品”的取法有：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，共6种取法，所以恰有一件次品的概率P ＝610＝0.6. 7．将一枚骰子连续抛掷两次，若先后出现的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为( )A.13B.12C.1936D.25解析：选C 将一枚骰子连续抛掷两次共有36种结果．方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根，则Δ＝b 2－4c ≥0，即b ≥2c ，其包含的结果有：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(5,6)，(6,6)，共19种，由古典概型的概率计算公式可得P ＝1936. 8．设实数x ，y 满足x 2＋(y －1)2≤1，则x －y ＋2≤0的概率为( )A.14B.π4C.π－24πD.4π－24π解析：选C 如图，x 2＋(y －1)2≤1表示圆心为(0,1)，半径为1的圆面，面积为π；同时，x －y ＋2≤0表示圆面内在x －y ＋2＝0左上方的点构成的平面区域，连接CB ，则CA ⊥CB ，阴影部分的面积为π4－12×1×1＝π4－12，由几何概型的概率公式得P ＝π－24π. 二、填空题9．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．解析：如图，可设AB 与AB ′的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是23. 答案：2310．在圆x 2＋y 2＝4所围成的区域内随机取一个点P (x ，y )，则|x |＋|y |≤2的概率为________．解析：不等式|x |＋|y |≤2表示的平面区域如图中的阴影部分所示，则|x |＋|y |≤2的概率为P ＝(22)2π×22＝2π. 答案：2π11．在一个不透明的空袋子里，放入仅颜色不同的2个红球和1个白球，从中随机摸出1个球后不放回，再从中随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率为________．解析：画树状图为：红红白 红白红 白红红共有6种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为2，则随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率为13. 答案：1312．高一年级某班有63名学生，现要选一名学生标兵，每名学生被选中是等可能的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的1011，则这个班的男生人数为________．解析：根据题意，设该班的男生人数为x ，则女生人数为63－x ，因为每名学生被选中是等可能的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是63－x 63，“选出的标兵是男生”的概率是x 63，故63－x 63＝1011×x 63，解得x ＝33，故这个班的男生人数为33. 答案：33三、解答题13．如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由题意知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，用频率估计相应的概率约为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，由调查结果得：(3)A1，A2分别表示甲选择L1，L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1，L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B2)>P(B1)，∴乙应选择L2.14．在某高校自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两考试成绩数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”目的成绩为B的考生有10人．(1)求该考场考生中“阅读与表达”目中成绩为A的人数；(2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”目的平均分；(3)已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两成绩均为A.在至少一成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两成绩均为A的概率．解：(1)因为“数学与逻辑”目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10 0.25＝40(人)，所以该考场考生中“阅读与表达”目中成绩等级为A的人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3.(2)由图知，“数学与逻辑”目的成绩为D的频率为1－0.2－0.375－0.25－0.075＝0.1，故该考场考生“数学与逻辑” 目的平均分为1×0.2＋2×0.1＋3×0.375＋4×0.25＋5×0.075＝2.9.(3)因为两 考试中，共有6个得分等级为A ，又恰有两人的两 成绩等级均为A ，所以还有2人只有一个 目得分为A ，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两 成绩都是A 的同学，则在至少一 成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，有6个基本事件．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两 成绩等级均为A 的为事件B ，所以事件B 中包含的基本事件有1个，则P (B )＝16.高考研究课(一) 古典概型命题2类型——简单问题、交汇问题[全国卷5年命题分析][典例] (1)条线段能构成一个三角形的概率为( )A.110B.310C.12D.710(2)(2017·山东高考)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．①若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；②若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率．[解] (1)由题意，从这五条线段中任取三条，有10种不同的取法，其中所取三条线段能构成一个三角形的取法有：(3,5,7)，(3,7,9)，(5,7,9)，共有3种不同的取法，所以所取三条线段能构成一个三角形的概率为310. 答案：B(2)①由题意知，从6个国家中任选2个国家，其所有可能的结果组成的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3个．则所求事件的概率为P ＝315＝15.②从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其所有可能的结果组成的基本事件有： {A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，共9个．包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有：{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个， 则所求事件的概率为P ＝29.[方法技巧]计算古典概型的概率可分三步： (1)算出基本事件的总个数n ；(2)求出事件A 所包含的基本事件个数m ；(3)代入公式求出概率P .解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树状图法． [即时演练]1．袋中装有大小、形状完全相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．解析：从袋中一次摸出两个球，总的事件个数为6.摸出两个相同颜色球只有两个黄球，所以2只球颜色相同的概率为16，所以这2只球颜色不同的概率为1－16＝56.答案：562．一所学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩(百分制)的茎叶图如图所示.(1)根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；(2)这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为s 21，s 22，试比较s 21与s 22的大小(只需直接写出结果)；(3)若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．(注：成绩大于等于75分为优良)．解：(1)设这10名同学中男、女生的平均成绩分别为x 1，x 2.则x 1＝64＋76＋77＋784＝73.75，x 2＝56＋79＋76＋70＋88＋876＝76，故该班男、女生国学素养测试的平均成绩分别为73.75,76.(2)s 21<s 22.(3)设“两名同学的成绩均为优良”为事件A ， 男生按成绩由低到高依次编号为a 1，a 2，a 3，a 4， 女生按成绩由低到高依次编号为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6， 则从10名学生中随机选取一男一女两名同学的取法有： (a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 1，b 5)，(a 1，b 6)， (a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，(a 2，b 5)，(a 2，b 6)， (a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3)，(a 3，b 4)，(a 3，b 5)，(a 3，b 6)， (a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(a 4，b 3)，(a 4，b 4)，(a 4，b 5)，(a 4，b 6)， 共24种．其中两名同学均为优良的取法有：(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，(a 2，b 5)，(a 2，b 6)，(a 3，b 3)，(a 3，b 4)，(a 3，b 5)，(a 3，b 6)，(a 4，b 3)，(a 4，b 4)，(a 4，b 5)，(a 4，b 6)，共12种，所以P (A )＝1224＝12，即两名同学成绩均为优良的概率为12.1．(2018·威海调研)从集合{}2，3，4，5中随机抽取一个数a ，从集合{}1，3，5中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为( )A.16 B.13 C.14D.12解析：选A 由题意可知m ＝(a ，b )有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况．因为m ⊥n ，即m ·n ＝0，所以a ×1＋b ×(－1)＝0，即a ＝b ， 满足条件的有(3,3)，(5,5)，共2种情况， 故所求的概率为16.角度二：古典概型与直线、圆相结合2．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率为________．解析：∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6＝36种结果， 满足条件的事件是以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上， 则(x ，y )为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共有3种结果，∴根据古典概型的概率公式得以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率P ＝336＝112. 答案：112角度三：古典概型与函数相结合3．已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解：(1)由题意知，总的基本事件的个数是3×5＝15.∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba ≤1，即2b ≤a 时． 若a ＝1，则b ＝－1； 若a ＝2，则b ＝－1,1； 若a ＝3，则b ＝－1,1.∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5，∴所求事件的概率P ＝515＝13.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(a ，b )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0，a >0，b >0，即△OAB 部分；构成所求事件的区域为△OAC 部分．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，a －2b ＝0.得交点坐标C ⎝⎛⎭⎫163，83， ∴由几何概型概率公式得所求事件的概率 P ＝12×8×8312×8×8＝13.角度四：古典概型与统计相结合4．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80，90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率． 解：(1)因为(0.004＋a ＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a ＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3； 受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B 1，B 2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B 1，B 2}，故所求的概率为110. [方法技巧]解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．1．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A.110B.15C.310D.25解析：选D 记两次取得卡片上的数字依次为a ，b ，则一共有25个不同的数组(a ，b )，其中满足a ＞b 的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率P ＝1025＝25.2．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130解析：选C ∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115. 3．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.120解析：选C 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.4．(2014·全国卷Ⅱ)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．解析：甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P ＝39＝13.答案：135．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100. 所以Y 的所有可能值为900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.一、选择题1．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45 B.35 C.25D.15解析：选C 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P ＝410＝25.2．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为( ) A.112 B.16 C.14D.13解析：选C 骰子的点数为1,2,3,4,5,6，先后抛掷两颗质地均匀的骰子，设基本事件为(x ，y )，共有6×6＝36个，记两次点数之积为奇数的事件为A ，有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9个，所以两次朝上的点数之积为奇数的概率为P (A )＝936＝14.3．高中数学联赛期间，某宾馆随机安排五名男生入住3个标间(每个标间至多住2人)，则A ，B 入住同一标间的概率为( )A.110B.15C.310D.25解析：选B 记A ，B 入住同一标间的概率为P ，某宾馆随机安排五名男生入住3个标间(每个标间至多住2人)共有C 25C 23A 22A 33＝90种不同的方法，A ，B 入住同一标间有C 23A 33＝18种不同的方法，∴P ＝1890＝15.4．(2018·泉州质检)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a ＞b ，b ＜c 时，称该三位自然数为“凹数”(如213,312等)，若a ，b ，c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )A.16B.524C.13D.724解析：选C 由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个．所以共有4×6＝24个．当b ＝1时，有214,213,312,314,412,413，共6个“凹数”；当b ＝2时，有324,423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率P ＝6＋224＝13. 5．高考后，4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，则甲、乙两所大学都有考生参观的概率为( )A.18 B.38 C.58D.78解析：选D 高考后，4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，基本事件总数n ＝24＝16，甲、乙两所大学都有考生参观的对立事件是4位考生都参观甲大学或4位考生都参观乙大学，所以甲、乙两所大学都有考生参观的概率P ＝1－116－116＝78.6．a ，b ，c ，d ，e 是从集合{1,2,3,4,5}中任取的5个元素(不允许重复)，则abc ＋de 为奇数的概率为( )A.12B.415C.25D.35解析：选C 由题意可得a ，b ，c ，d ，e 是1,2,3,4,5这5个数，将这5个数分组可得(123,45)，(124,35)，(125,34)，(134,25)，(135,24)，(145,23)，(234,15)，(235,14)，(245,13)，(345,12)，共分10组，其中能使abc ＋de 为奇数的有(124,35)，(135,24)，(234,15)，(245,13)，共有4组，所以abc ＋de 为奇数的概率P ＝410＝25. 7．抛掷质地均匀的甲、乙两颗骰子，设出现的点数分别为a ，b ，则a2<|b －a 2|<6－a 成立的概率为( )A.1336B.518C.736D.536解析：选C 由题意知(a ，b )的所有可能情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，设“a2<|b －a 2|<6－a 成立”为事件A ，则事件A 包括(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,6)，共7种，故P (A )＝736. 8．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A.79B.13C.59D.23解析：选D 对函数f (x )求导可得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2， 要满足题意需x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个不等实根， 即Δ＝4(a 2－b 2)>0，即a >b .又(a ，b )的取法共有9种，其中满足a >b 的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P ＝69＝23.二、填空题9．若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是________．解析：由任何三点不共线，则共有C 38＝56个三角形，8个等分点可得4条直径，可构成直角三角形有4×6＝24个，所以构成直角三角形的概率P ＝2456＝37.答案：3710．从－1,0,1,3,4这五个数中任选一个数记为a ，则使曲线y ＝7－3ax 的图象在第一、三象限，且满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3>9，x －a <0无解的概率为________．解析：曲线y ＝7－3ax 的图象在第一、三象限，且满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3>9，x －a <0无解，即7－3a >0且a ≤3，所以a <73，所以a 可取－1,0,1，由古典概型的概率公式，得P ＝35.答案：3511．从x 2m －y 2n ＝1(其中m ，n ∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为________．。

第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布11.3随机变量及其分布【高考目标定位】一、离散型随机变量及其分布列1．考纲点击（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；（2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。

2．热点提示（1）高考中对本节考查的重点是分布列的概念及其求法以及期望和方差的有关内容；（2）多以选择、填空的形式考查分布列的特点、服从超几何分布的随机变量的概率。

二、二项分布及其应用1．考纲点击（1）了解条件概率和两个事件相互独立的概念；（2）理解n次独立重复试验的模型及二项分布；（3）能解决一些简单的实际问题。

2．热点提示（1）在选择、填空中考查条件概率、相互独立事件及n次独立重复试验的概率；（2）在解答题中考查这些概率，或者综合考查分布列、均值与方差等。

三、离散型随机变量的均值与方差1．考纲点击（1）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念；（2）能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。

2．热点提示（1）以选择、填空题的形式考查离散型随机变量均值与方差的概念和计算；（2）以实际问题为背景，考查均值与方差的应用。

四、正态分布1．考纲点击利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。

2．热点提示以选择、填空题的形式考查正态分布曲线的特点及概率。

【考纲知识梳理】一、离散型随机变量及其分布列 1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X ，Y ，,ξη，……表示。

所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。

2．离散型随机变量的分布列及性质（1）一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,,,,i n x x x x X 取每一个值(1,2,,)i x i n =的概率()i i P X x p ==，则表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式(),1,2,,i i P X x p i n ===表示X 的分布列。

P( A) 这是通用的求条件概率的方法．
(2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n A ， 再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数，即 n AB ， 得 P B | A＝ n( AB) .
n( A)
1.从分别写有 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片中无放回随机抽取 2 张，则抽到的 2 张卡片上的
(3)在一次试验中，对立事件 A 和 A 不会同时发生，但一定有一个发生，因此有 P( A)= 1－P(A)．
2．相互独立事件同时发生的概率
若 A，B 为相互独立事件，则 P AB＝P(A)P(B)．
3.独立重复试验 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概
解题技巧
2．间接法 当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解． 对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解． 3．注意点 注意辨别独立重复试验的基本特征： ①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况； ②在每次试验中，事件发生的概率相同．
1.围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为 1 ，从中取出 2
.故选
C.
（二）核心知识整合
考点 2：互斥事件，对立事件及独立事件 1.互斥事件与对立事件 (1)对立事件是互斥事件，互斥事件未必是对立事件． (2)如果事件 A，B 互斥，那么事件 A B 发生(即 A，B 中有一个发生)的概率，等于事件 A，
B 分别发生的概率的和，即 P(A B)＝P A＋PB .这个公式称为互斥事件的概率加法公式．
其中恰有 1 件一等品的取法有 (1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5) ，

6.1随机事件教学目标：1、从学生已有的生活经验出发，体验自然现象和人类社会现象中许多事件的发生是不确定的。

2、经历猜测、实验、收集与分析试验结果等过程，体验事件发生的可能性。

3、经历试验、观察、分析的活动过程。

体验必然事件、不可能事件以及不确定事件的含义。

4、能在具体的情景中，区分必然事件、不可能事件以及不确定事件。

教学重点：1. 从学生已有的生活经验出发，体验自然现象和人类社会现象中许多事件的发生是不确定的。

2. 经历试验、观察、分析的活动过程。

体验必然事件、不可能事件以及不确定事件的含义。

教学难点：1.经历猜测、实验、收集与分析试验结果等过程，体验事件发生的可能性。

2.能在具体的情景中，区分必然事件、不可能事件以及不确定事件。

一、情境引入：在日常生活中，我们会遇到各种各样的事件，有些事件发生的可能性很大，有些事件一定会发生，有些事件一定不会发生。

例如：（1）太阳每天从东方升起__________发生；（2）掷一枚普通的正方体骰子出现的点数大于8_____________发生。

（填一定会或一定不会）二、新授课：思考并交流1．明天在泰山极顶会看到日出吗？2. 下周一本地会下雨吗？3.明年的今天，你的体重是多少？4.超市明天的营业额比今天多吗？5.射击运动员下次能击中靶心吗?这些问题事先都没有确定无误的答案. 想一想，这是为什么？与同学交流.再例如：在日常生活中，经常可以见到各种体育比赛、各种电视大奖赛、各种抽奖活动等. 这些活动的结果，事先谁都不能准确地预知，其发生的可能性与个人的愿望无关. 正因为如此，才使得这些活动悬念丛生，跌宕起伏，魅力无穷.思考：你还能举出生活中事先无法准确预料结果的事件吗？上面列举的事件，可能发生也可能不发生，事先无法确定，像这种可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件（random event），也叫做不确定事件.现实生活中也的确存在着一些可以准确预知将会发生或不会发生的事件.“太阳从东方升起，从西方落下”、“过了初一是初二”等都是必然会发生的事件，称为必然事件. 而“在一个标准大气压下，温度为-10℃时冰雪会融化”、“两位同班同学的学生证号码完全相同”等都是不可能发生的事件，称为不可能事件.思考：你还能举出几个现实中的必然事件和不可能事件吗？必然事件和不可能事件，结果都是确定的，统称确定事件（definite event）.例1 将标有数字1，2，3，4，5的五个乒乓球放进一个不透明的袋子中，从中任意摸出一个球，叫做一次试验，读出这个球上所标的数字. 分别指出下列事件是随机事件、必然事件，还是不可能事件，并说明理由.（1）球上所标的数字不大于5；（2）球上所标的数字大于5；（3）球上所标的数字是3；（4）球上所标的数字是偶数；（5）同时摸出两个球，球上所标的数字之和等于6.（分析：要对一个事件作出判断，其关键是看它在每次试验中是一定会发生、一定不会发生、还是可能发生也可能不发生，然后根据各类事件的概念作出判断）三、当堂检测1. 下面的事件各属于随机事件、必然事件、不可能事件中的哪一类？（1）明年8月5日广东沿海没有台风；（事件）（2）抛掷一枚硬币，硬币落定时正面朝上；（事件）（3）投出铅球后，经过一段时间铅球落到地面上；（事件）（4）从一副扑克牌中任意抽出两张，都是“红桃A”；（事件）（5）买一张电影票，排号和座号都是奇数. （事件）2. 选择题：下列的事件中，不可能事件是（ ）. （A ）金鱼离开水不久便死亡（B ）从一个只放有6个红球的袋子中，摸出一个是黑球 （C ）一辆行驶中的公共汽车，下一站恰有3人上车 （D ）弟弟的个子比哥哥高3.下列所给事情中为必然事件的是（ ） （A ）太阳从西边升起。

随机现象一、等可能事件概率计算此类问题常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力.例１（2004年天津高考题）从４名男生和２名女生中任选３人参加演讲比赛.（１）求所选３人中恰有１名女生的概率；（２）求所选３人中至少有１名女生的概率.解：（１）所选３人中恰有１名女生的基本事件数为个，而从６人中选３人的基本事件总数为个，故由等可能事件概率的计算公式得所选３人中恰有１名女生的概率为．（２）所选３人中至少有１名女生的基本事件数为个，而从６人中选３人的基本事件总数为个，故所选３人中至少有１名女生的概率为.二、相互独立事件同时发生概率计算此类问题常结合电路的串联与并联等问题考查相互独立事件同时发生的概率的计算方法和运用概率知识解决实际问题的能力.例2（2001年新课程卷高考题）如图，用Ａ，Ｂ，Ｃ三类不同的元件连接成两个系统，，当元件都正常工作时，系统正常工作；当元件Ａ正常工作且元件Ｂ，Ｃ至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，分别求系统，正常工作的概率，．解：分别记元件正常工作为事件，且．事件是相互独立，故系统正常工作的概率为．故系统正常工作的概率为．三、独立重复试验概率计算此类问题常结合实际应用问题考查n次重复试验中某事件恰好发生k次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用.例3（2002年新课程卷高考题）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（互相独立）.（1）求至少3人同时上网的概率；（2）求至少几人同时上网的概率小于0.3.解：（1）至少3人同时上网的概率等于3人同时上网，4人同时上网，5人同时上网，6人同时上网的概率的和，即．（2）至少4人同时上网的概率为；至少5人同时上网的概率为；故至少５人同时上网的概率小于0.3.四、随机变量概率分布与期望计算解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后按照相互独立事件同时发生概率的乘法公式去计算这些可能取值的概率值即可得到分布列，最后根据分布列和期望、方差公式去获解.以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际问题的能力.例４（2004年河南高考题）一接待中心有四部热线电话，已知某一时刻电话占线的概率均为0.5，电话占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有部电话占线，试求随机变量的概率分布和它的期望.解：；；；；．于是得到随机变量的概率分布列为：所以．。