320第11章 正交小波构造我们在上一章中集中讨论了离散小波变换中的多分辨率分析，证明了在空间0V 中存在正交归一基}),({Z k k t ∈-φ，由)(t φ作尺度伸缩及位移所产生的},),({,Z k j t k j ∈φ是j V 中的正交归一基。
)(t φ是尺度函数，在有的文献中又称其为“父小波”。
同时，我们假定j V 的正交补空间j W 中也存在正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ，它即是小波基，)(t ψ为小波函数，又称“母小波”。
本章，我们集中讨论如何构造出一个正交小波)(t ψ。
所谓“正交小波”，指的是由)(t ψ生成的}),({Z k k t ∈-ψ，或j W 空间中的正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ。
Daubechies 在正交小波的构造中作出了突出的贡献。
本章所讨论的正交小波的构造方法即是以她的理论为基础的。
11.1 正交小波概述现在举两个大家熟知的例子来说明什么是正交小波及对正交小波的要求, 一是Haar 小波，二是Shannon 小波。
1.Haar 小波我们在10.1节中已给出Haar 小波的定义及其波形，见图10.1.1(d)，Haar 小波的尺度函数)(t φ如图10.1.1(a)所示。
重写其定义，即⎪⎩⎪⎨⎧-=011)(t ψ 其它12/12/10<≤<≤t t (11.1.1)⎩⎨⎧=01)(t φ其它10<≤t (11.1.2) 显然, )(t ψ的整数位移互相之间没有重叠，所以)()(),(''k k k t k t -=--δψψ，即它们321是正交的。
同理，)()(),(',,'k k t t k j k j -=δψψ。
很容易推出)(t ψ和)(t φ的傅里叶变换是4/4/sin )(22/ωωωωj je-=ψ2/2/sin )(2/ωωωωj e -=Φ注意式中ω实际上应为Ω。
由于Haar 小波在时域是有限支撑的，因此它在时域有着极好的定位功能。
但是，由于时域的不连续引起频域的无限扩展，因此，它在频域的定位功能极差，或者说频域的分辨率极差。
上一章指出，Haar 小波对应的二尺度差分方程中的滤波器是：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21,21)(0n h ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=21,21)(1n h (11.1.5)它们是最简单的两系数滤波器。
2.Shannon 小波令t t t ππφsin )(=(11.1.6)则⎩⎨⎧=Φ01)(ω 其它πω≤ (11.1.7)由于⎰ΦΦ=--ωωωπφφd k t k t k k )()(21)(),(',0*,0')(21')('k k d e k k j -==⎰---δωπππω (11.1.8)所以{}Z k k t ∈-),(φ构成0V 中的正交归一基。
)(t φ称为Shannon 小波的尺度函数。
由于0,0)(V t k ∈φ，100-=⊕V W V ，由二尺度性质，1)2(V k t ∈-φ，因此⎩⎨⎧=Φ-01)(,1ωk其它πω2≤ (11.1.9)这样，对0)(W t ∈ψ，有322⎩⎨⎧=ψ01)(ω其它πωπ2≤< (11.1.10)于是可求出)2/3cos()2/2/sin ()(t t t t πππψ=(11.1.11)读者可很容易验证)()(),(''k k k t k t -=--δψψ(11.1.12)也即}),({Z k k t ∈-ψ构成0W 中的正交归一基。
其实，从频域可以看到，)(,ωk j ψ和)(,ωk j Φ图11.1.1 Shannon 小波及其尺度函数度频域波形323显然，Shannon 小波在频域是紧支撑的，因此，它在频域有着极好的定位功能。
但频域的不连续引起时域的无限扩展，也即时域为Sinc 函数。
这样，Shannon 小波在时域不是紧支撑的，有着极差的定位功能。
Haar 小波和Shannon 小波是正交小波中两个极端的例子。
自然，我们欲构造的正交小波应介于两者之间。
9.4节给出了能作为小波的函数)(t ψ的基本要求，即：)(t ψ应是带通的；由于⎰=0)(dt t ψ，因此它应是振荡的；)(Ωψ应满足(9.3.9)式的容许条件；)(Ωψ还应满足(9.4.4)式的稳定性条件；此外，)(t ψ、)(Ωψ最好都是紧支撑的。
由二尺度差分方程，)(ωΦ、)(ωψ均和)(0ωH 、)(1ωH 有着内在的联系。
重写(10.4.14)式和(10.4.15)式，有∏∏∞=∞=-==Φ110'0)2(2)2/()(j j j j H H ωωω (11.1.13))2()2/(2)2/(2)2/()(2'0'1201ωωωωωj j j j H H H H -∞=∞=∏∏==ψ (11.1.14) 这两个式子明确指出，正交小波及其尺度函数可由共扼正交滤波器组作无限次的递推来产生。
这一方面给我们指出了构造正交小波的途径，另一方面也指出，在(11.1.13)和(11.1.14)式的递推过程中还存在着一个收敛的问题，这就要求对小波函数还要提出更多的要求，如11.3节要讨论的消失矩和规则性等问题。
为说明这些问题，我们在下一节首先讨论如何由(11.1.13)和(11.1.14)式递推求解)(ωΦ和)(ωψ的问题，并说明其中可能存在的问题。
11.2 由)(0n h 递推求解)(t φ的方法。
(10.4.4)式给出了由)(),(10n h n h 递推求解)(t φ和)(t ψ的方法。
即∑∞-∞=-=n n t n h t )2()(2)(0φφ (11.2.1a)∑∞-∞=-=n n t n h t )2()(2)(1φψ(11.2.1b)此即二尺度差分方程，对应的频域关系由(11.1.13)和(11.1.14)式给出。
324假定)(t φ和)(t ψ事先是未知的，当然(11.2.1)式无法利用，这时可用(11.1.13)式或(11.1.14)式递推求解)(t φ和)(t ψ。
若令∏-==120)(0)()(J j J jz H z H(11.2.2a)并用它来近似)(ωΦ，那么(11.2.2a)式对应的时域关系是)(**)(*)()()1(0)1(0)0(0)(0n h n h n h n h J J -=(11.2.2b)式中)()(0)0(0n h n h =,)()1(0n h 是由 )()0(0n h 每两点插入一个点所得到的新序列。
同理，)()2(0n h 是将)()0(0n h 每两点插入3122=-个零所得的新序列。
假定)()(0)0(0n h n h =的长度为N ，则 )()1(0n h 的长度为12-N ，)(*)()1(0)0(0n h n h 的长度为23-N ，)()2(0n h 的长度为13+N ， ,其余可类推。
由此可以看出，(11.2.2)式卷积的结果将使 )()(0n h J 的长度急剧增加。
例如，若令{}1,3,3,182)(0=n h ，则{}{}1,0,3,0,3,0,1*1,3,3,1)82()(2)1(0=n h{}1,3,6,10,12,12,10,6,3,1)82(2={}{}1,0,0,0,3,0,0,0,3,0,0,0,1*1,3,6,10,12,12,10,6,3,1)82()(2)2(0=n h325如此，当J 趋近于无穷时，)()(0ωJ H 逼近)(ωΦ，)()(0n h J “逼近”连续函数)(t φ，但这一“逼近”，需要将接近于无限长的)()(0n h J 压缩回到有限的区间内。
由于)(0n h 的长度为N ，我们假定)(t φ的“长度”也为N ，只不过此处范围1~0-N 代表的是连续时间t 的序号。
也即，)(t φ的时间持续区间是1~0-N ，在这一范围内应包含)()(0n h J 的所有点，压缩比等于)()(0n h J 的长度/N 。
MATLAB 中的wavefun.m 文件可以实现上述的递推算法。
对(11.2.1a)式，若令∑∞-∞=+-=n i i n t x n h t x )2()(2)(01(11.2.3)并令⎩⎨⎧=01)(0t x其它10<≤t(11.2.4)则当∞→i 时，)(t x i 逼近尺度函数)(t φ。
若给定{}1,3,3,182)(0=n h ，则利用(11.2.3)式递推的结果如图11.2.1所示。
由该图可以看出，)(1t x ,)(2t x 都是阶梯状的分段连续曲线，当8=i 时，)(8t x 已是一光滑的连续曲线。
这说明，按给定的)(0n h ，(11.1.13)式求出的)(ωΦ是收敛的。
假定将)(0n h 改为{}1,3,3,142)(0--=n h ，则由(11.2.3)和(11.2.4)式递推的结果示于图11.2.2[10,21] 。
这时的)(8t x 产生了较强的振荡，它不会收敛于一个连续的、平滑的且是低通的尺度函数)(t φ。
总之，二尺度差分方程及其频域关系给出了由滤波器组递推求解正交尺度函数和正交小波的方法。
但是，这种递推并不保证总是收敛的，它涉及到离散情况下的正则性条件等问题。
对此，我们将在下一节给以讨论。
326图11.2.1 令{}1,3,3,182)(0=n h 和0()x t 递推的结果图11.2.2 令{}1,3,3,142)(0--=n h 和0()x t 递推的结果11.3 消失矩、规则性及支撑范围1．消失矩(Vanishing moments)令⎰∞∞-=dt t t m k k )(ψ(11.3.1)为小波函数)(t ψ的k 阶矩。
由傅里叶变换的性质，我们很容易得到)()(=-ψ-=ωωωkk kk d d j m (11.3.2)如果)(ωψ在0=ω处有p 阶重零点，即327)()(0ωωωψ=ψp ,0)(00≠ψ=ωω(11.3.3)则⎰∞∞-==0)(dt t t m kk ψ ，1,,1,0-=p k(11.3.4)我们说小波函数)(t ψ具有p 阶消失矩。
显然，若0=k ，这即是容许条件。
假定信号)(t x 为一个1-p 阶的多项式，即∑-==1)(p k k k t t x α(11.3.5)再假定)(t ψ有p 阶消失矩，由(11.3.4)式，显然0)(),(=t t x ψ也即，)(t x 的小波变换恒为零。
若)(t x 可展成一高阶的多项式(如用台劳级数)，如N 阶，p N >。
那么其中阶次小于p 的多项式部分(对应低频)在小波变换中的贡献恒为零，反映在小波变换中的只是阶次大于P 的多项式部分，它们对应高频端，这就有利于突出信号中的高频成分及信号中的突变点。
