当前位置：文档之家 › 三角函数的图象与性质(教案)

三角函数的图象与性质(教案)

  • 格式：doc
  • 大小：850.50 KB
  • 文档页数：15

§1.4 三角函数的图象和性质教学目的：（一）1.理解并掌握作正弦函数和余弦函数图象的方法;2.理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法;3.理解并掌握用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式的方法. （二）1.理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义;2.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间;3.会求简单函数的奇偶性.（三）1.理解并掌握作正切函数和余切函数图像的方法;2.理解并掌握用正切函数和余切函数的图像解最简三角不等式的方法;3.掌握正切函数的性质和性质的简单应用;4.会解决一些实际问题.教学重点：1.用单位圆中的正弦线作正弦、正切函数的图象;2.正、余弦和正切函数的性质. 教学难点：1.用单位圆中的余弦线作余弦、正切函数的图象;2.正、余弦和正切函数性质的理解与应用.教学过程： 一、复习引入：1.弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角.2.正、余弦函数定义：设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点),(y x P ,P 与原点的距离r (02222>+=+=y x y x r )则 比值r y叫做α的正弦 记作r y =αsin 比值r x叫做α的余弦 记作r x =αcos 比值xy叫做α的正切 记作xy =αtan3.三角函数线:根据正弦,余弦,正切的定义,则有 MP =αsin ,OM =αcos ,AT =αtan这三条与单位圆有关的有向线段AT OM MP ,,分别叫做角α的正弦线,余弦线,正切线.当角α的终边落在x 轴上时,M 与P 重合,A 与T 重合,此时正弦线,正切线分别变成一个点;当角α的终边在y 轴上时,O 与M 重合,余弦线变成一个点,过A 的切线平行于y 轴,不能与角α的终边相交,所以正切线不存在,此时角α的正切值不存在. 二、讲解新课：(一)正弦函数、余弦函数的图象1.用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法):为了作三角函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量与函数值都为实数.在一般情况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的形状各不相同,从而影响初学者对曲线形状的正确认识. 正弦函数x y sin =的图象第一步,在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ,以1O 为圆心作单位圆,从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n (这里12=n )等份.把x 轴上从0到π2这一段分成n (这里12=n )等份.(预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应).第二步,在单位圆中画出对应于角0,6π,3π,2π,…,π2的正弦线正弦线(等价于“列表”).把角x 的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点”).第三步,连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数x y sin =,]2,0[π∈x 的图象.根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为π2,就得到x y sin =,R x ∈的图象.把角x ()x R ∈的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合,则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数x y sin =的图象.余弦函数x y cos =的图象用几何法作余弦函数的图象,可以用“反射法”将角x 的余弦线“竖立”.把坐标轴向下平移,过1O 作与x 轴的正半轴成4π角的直线,又过余弦线A O 1的终点A 作x 轴的垂线,它与前面所作的直线交于'A ,那么A O 1与'AA 长度相等且方向同时为正,我们就把余弦线A O 1“竖立”起来成为'AA ,用同样的方法,将其它的余弦线也都“竖立”起来,再将它们平移,使起点与x 轴上相应的点x 重合,则终点就是余弦函数图象上的点.也可以用“旋转法”把角的余弦线“竖立”(把角x 的余弦线M O 1按逆时针方向旋转2π到11M O 位置,则11M O 与M O 1长度相等,方向相同.)根据诱导公式)2sin(cos π+=x x ,还可以把正弦函数x y sin =的图象向左平移2π单位即得余弦函数x y cos =的图象.正弦函数x y sin =的图象和余弦函数x y cos =的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法): 正弦函数x y sin =,]2,0[π∈x 的图象中,五个关键点是:)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(ππππ- 余弦函数x y cos =,]2,0[π∈x 的图像中,五个关键点是:)1,2(),0,23(),1,(),0,2(),1,0(ππππ-只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时,常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握.(二)正弦函数、余弦函数的性质 1.定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R (或),(+∞-∞). 2.值域 (1)值域因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度, 所以1|cos |,1|sin |≤≤x x , 即1cos 1,1sin 1≤≤-≤≤-x x也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是]1,1[-.(2)最值正弦函数R x x y ∈=,sin ①当且仅当Z k k x ∈+=,22ππ时,取得最大值1②当且仅当Z k k x ∈+-=,22ππ时,取得最小值1-余弦函数R x x y ∈=,cos①当且仅当Z k k x ∈=,2π时,取得最大值1 ②当且仅当Z k k x ∈+=,2ππ时,取得最小值1- 3.周期性由)(,cos )2cos(,sin )2sin(Z k x k x x k x ∈=+=+ππ知: 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.定义：对于函数)(x f ,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有)()(x f T x f =+,那么函数)(x f 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期.由此可知,)0,(2,,4,2,,4,2≠∈--k Z k k πππππ 都是这两个函数的周期. 对于一个周期函数)(x f ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期.根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,)≠∈(0,2k Z k k π都是它的周期,最小正周期是π2. 4.奇偶性由x x x x cos )cos(,sin )sin(=--=-可知:x y sin =(R x ∈)为奇函数,其图象关于原点O 对称x y cos =(R x ∈)为偶函数,其图象关于y 轴对称5.对称性正弦函数sin ()y x x R =∈的对称中心是()(),0k k Z π∈, 对称轴是直线()2x k k Z ππ=+∈;余弦函数cos ()y x x R =∈的对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, 对称轴是直线()x k k Z π=∈(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴(中轴线)的交点). 6.单调性从]2,2[,sin ππ3-∈=x x y 的图象上可看出: 当]2,2[ππ-∈x 时,曲线逐渐上升,x sin 的值由1-增大到1 当]2,2[ππ3∈x 时,曲线逐渐下降,x sin 的值由1减小到1-结合上述周期性可知: 正弦函数在每一个闭区间)](22,22[Z k k k ∈++-ππππ上都是增函数,其值从1-增大到1;正弦函数在每一个闭区间)](22,22[Z k k k ∈+3+ππππ上都是减函数, 其值从1减小到1-.余弦函数在每一个闭区间)](2,2[Z k k k ∈-πππ上都是增函数,其值从1-增加到1;余弦函数在每一个闭区间)](2,2[Z k k k ∈+πππ上都是减函数,其值从1减小到1-.和的图象和性质(表中k Z ∈)(三)正切函数的图象和性质 1.正切函数x y tan =的图像 在区间)2,2(ππ-内作出函数x y tan =图像,根据正切函数的周期性,把上述图像向左、右扩展,得到正切函数R x xy ∈=t an ,且()z k k x ∈+≠ππ2的图像,称“正切曲线”. 2.正切函数和余切函数的性质 (1)定义域:()z k k x ∈+≠2ππ(2)值域:R (3)周期:()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠∈=--=++=+z k k x R x x x x x x x ,2,tan cos sin cos sin tan πππππ且⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠∈=∴z k k x R x x y ,2,tan ππ且的周期为π=T (最小正周期) (4)奇偶性:正切函数是奇函数由诱导公式x x tan )tan(-=-,我们可以证明正切函数是奇函数,正切函数的图像关于原点对成.(5)对称性:对称中心是,02k π⎛⎫⎪⎝⎭()k Z ∈,特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类:一类是图象与x 轴的交点,另一类是渐近线与x 轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处. (6)单调性:由图像可知,正切函数再区间Z k k k ∈++-),2,2(ππππ内都是单调增函数.三、讲解范例： (一)图象问题例1 画出cos ()y x x R =∈与sin ()y x x R =-∈两函数的图象,观察两曲线的平移关系. 解: 略例2 作下列函数的简图:(1)x y sin 1+=,]2,0[π∈x (2)|sin |x y = (3）||sin x y = 解: 略例3 用五点法作函数]2,0[),3cos(2ππ∈+=x x y 的简图,并求其与直线2=y 交点个数. 解: 略例4 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的x 的集合: (1)21sin ≥x (2))250(21cos π<<≤x x解: 略例5 求下列函数的定义域: (1)1sin 2+=x y (2)x x y cos 162-+-= (3)x x y cos sin -=解: 略补充例题：(1)函数x x f sin )(=图象的对称轴是 ____;对称中心是 _____. (2)函数)3sin()(π+=x x f 图象的对称轴是_____ ;对称中心是 __.(3)函数1)3sin(2)(++=πx x f 图象的对称轴是_____ ;对称中心是 __.(4)函数)cos(x y +=π与x y cos =的图象关于________对称.(填一种情况即可)(5)方程10sin xx =的根的个数为( )A. 7B. 8C. 9D. 10(6)用五点法作函数x y 2sin 2=的图象时,首先应描出的五个点横坐标可是( )A.ππππ2,23,,2,0 B.ππππ,4,2,4,03C.ππππ4,3,2,,0D.ππππ32,2,3,6,0(二)定义域、值域问题 例1 求下列函数的定义域:(1)xy sin 11+= (2)x y cos 21-=(3))3sin 2lg(-=x y求下列函数的值域:(1)]43,3[,1sin sin 2ππ∈+-=x x x y (2)]32,6[),6sin(2πππ∈+=x x y(3)3cos 3cos +-=x x y解: 略例2 求使下列函数取得最大值的自变量x (x R ∈)的集合,并说出最大值是什么;若[,)32x ππ∈-呢？ (1)1cos +=x y ; (2)x y 2sin =解: 略例3 已知函数b x a x f +-=)32sin(2)(π的定义域为]2,0[π,值域为[5,1]-. 求b a ,的值. 解: 略例4 求函数])2,0[(2385cos sin 2π∈-++=x a x a x y 的最大值. 解: 略例5 (1)已知x x x x y cos sin cos sin 2-+=(],0[π∈x ),求y 的最大值和最小值.(2)求x x x x x x x x x f 432234cos cos sin 2cos sin cos sin 2sin )(++++=的最大值和最小值. (注:)4sin(2cos sin π-=-x x x ,x x x 2sin 21cos sin =) 解: 略(三)周期性、奇偶性问题 例1 判断下列函数的奇偶性:(1)xx xx x f cos sin 1cos sin 1)(++-+=(2)x x x x f 2cos cos sin )(44+-=(x x x 22sin cos 2cos -=)(3))sin 1lg(sin )(2x x x f ++= (4)()sin cos f x x x =+ 解: 略例2 (1)已知),(13sin )(为常数b a x b ax x f =+=,且7)5(=f ,求)5(-f .(2)若()f x 为奇函数,且当0>x 时,x x x x f 2cos sin )(+=, 求当0<x 时,()f x 的解析式.(3)若函数()sin()f x x α=+是偶函数,求α的值. 解: 略例3 求下列三角函数的周期,并探究其结.(1)x y cos 3= (2)x y 2sin = (3))621sin(2π-=x y (4))35sin(2ππ-=x y 解: 略点评: 一般地,函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω及函数R x x y ∈+=),cos(ϕω(其中A 、ω、ϕ为常数,且0≠A ,0>ω)的周期ωπ2=T .例4 (1)求函数x x x x y 2cos 32cos 2sin 42sin 222++=的周期.(2)求函数)6(3sin 4x y -=π的周期.解: 略例5 求下列函数的最小正周期:(1)|sin |x y = (2)|1cos 2|+=x y (3)|cos ||sin |x x y += 解: 略例6 (1)已知)(x f 是周期为5的周期函数,且2007)1(=f ,求)11(f . (2)已知奇函数)(x f 是R 上的函数,且2)1(=f ,)()3(x f x f =+,求)8(f . 解: 略例7 )(x f 是定义在R 上的偶函数,其图象关于1=x 对称,对任意的]21,0[,21∈x x ,都有)()()(2121x f x f x x f =+. (1)设2)1(=f ,求)41(),21(f f ; (2)证明:)(x f 是周期函数. 解: 略例8 (1)若函数)(x f y =(R x ∈)的图象关于直线a x =与b x =(a b >)都对称,求证:)(x f 是周期函数,且)(2a b -是它的一个周期;(2)若函数)(x f y =(R x ∈)满足)()()(a x f a x f x f ++-=(常数+∈R a ),求证:)(x f 是周期函数,且a 6是它的一个周期.解: 略(四)单调性问题例1 求下列函数(x R ∈)的单调区间:(1)x y cos -= (2))32cos(π+=x y (3))62cos(π+-=x y(4))3sin(π-=x y (5)x y 2sin -= (6))421sin(π+-=x y 解: 略例2 求下列的单调递增区间:(1)sin 21()2xy = (2)12log cos y x =解: 略例3 不通过求值,比较下列各式的大小:(1))18sin(π-,)10sin(π-(2))523cos(π-,)417cos(π-(3) 194sin ,160cos (4)1sin ,2sin ,3sin解: 略例4 求函数)321sin(π+=x y ,]2,2[ππ-∈x 的单调增区间. 解: 略例5 已知x xx f sin 1sin 1log )(21+-=.(1)求)(x f 的定义域和值域; (2)判断它的奇偶性、周期性; (3)判断)(x f 的单调性. 解: 略(1)},2|{Z k k x x ∈+≠ππ,R x f ∈)( (2)奇函数,周期函数π2=T(2)增区间:Z k k k ∈+-],2,2[ππππ;减区间:Z k k k ∈++],32,2[ππππ(五)正切函数的图象和性质 例1 讨论函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的性质.(定义域,值域,周期性,奇偶性,单调性) 解: 略例2 (1)用描点法作函数)2,23(),42tan(πππ-∈+=x x y 的图像. (2)作出函数|tan |x y =的图像,并根据图像求其单调区间. (3)作出函数()π2,0,tan 1tan 2∈+=x xx y 且23,2ππ≠x 的简图. 解: 略例3 不通过求值,比较下列各组数的大小.(1) 135tan ,138tan(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π,⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan π (3)1tan ,2tan ,3tan ,4tan解: 略例4 解不等式3tan ≥x .解: 略例5 求下列函数的定义域(1)1tan cot -=x xy (2))tan 1lg(x y -= (3)2tan x y =解: 略例6 求函数),2(1tan tan 2Z k k x R x x x y ∈+=∈++=ππ且的值域.解: 略ππ例7 证明：如果βαππβαcot tan ),2(,<∈且,那么必有πβα23<+. 证明: 略例8 (1)求函数⎪⎭⎫⎝⎛-=46tan 3x y π的定义域、值域,并指出其周期性、奇偶性、单调性. (2)求函数x y 2tan =的定义域、值域和周期,并作出它在区间],[ππ-内的图像.解: 略例9 试讨论函数x y a tan log =的单调性. 解: 略例10 若),,0(cos 2R m n x n m y ∈>-=ωω的最大值是32,最小值是12-, 求函数x n m y )24tan(+=的最小正周期. 解: 略例11 已知函数)2||,0,0)(tan(πϕωϕω<>>+=A x A y 的图象与x 轴相交的两个相邻点的坐标为)0,6(π和)0,65(π,且经过点)3,0(-,求其解析式.解: 略例12 已知函数)3sin()(πω+=x a x f 和)0)(3tan()(>-=ωπωx b x g 的最小正周期之和为3,()(),()()122244f g f πππππ=+=且,求)(x f 和)(x g 的解析式. 解: 略。

合集下载

三角函数的图象与性质总课时教案

三角函数的图象与性质总课时教案

三角函数的图象与性质总课时教案第一章：引言1.1 三角函数的概念引导学生回顾初中阶段学习的三角函数知识，如正弦、余弦和正切函数。

解释三角函数在数学和物理学中的重要性。

1.2 三角函数的定义介绍角度的弧度制。

讲解正弦、余弦和正切函数的定义。

1.3 三角函数的图像利用计算器或软件绘制正弦、余弦和正切函数的图像。

引导学生观察图像的周期性、对称性和奇偶性。

第二章：正弦函数的性质2.1 正弦函数的周期性讲解正弦函数的周期性及其公式。

引导学生通过图像理解周期性。

2.2 正弦函数的振幅解释振幅的概念及其对正弦函数图像的影响。

引导学生通过图像理解振幅的作用。

2.3 正弦函数的相位讲解相位的概念及其对正弦函数图像的影响。

引导学生通过图像理解相位的作用。

第三章：余弦函数的性质3.1 余弦函数的周期性讲解余弦函数的周期性及其公式。

引导学生通过图像理解周期性。

3.2 余弦函数的振幅解释振幅的概念及其对余弦函数图像的影响。

引导学生通过图像理解振幅的作用。

3.3 余弦函数的相位讲解相位的概念及其对余弦函数图像的影响。

引导学生通过图像理解相位的作用。

第四章：正切函数的性质4.1 正切函数的周期性讲解正切函数的周期性及其公式。

引导学生通过图像理解周期性。

4.2 正切函数的振幅解释振幅的概念及其对正切函数图像的影响。

引导学生通过图像理解振幅的作用。

4.3 正切函数的相位讲解相位的概念及其对正切函数图像的影响。

引导学生通过图像理解相位的作用。

第五章：三角函数的图象与性质的综合应用5.1 正弦函数的综合应用通过实际问题引导学生运用正弦函数解决实际问题。

引导学生运用正弦函数的性质解决几何问题。

5.2 余弦函数的综合应用通过实际问题引导学生运用余弦函数解决实际问题。

引导学生运用余弦函数的性质解决几何问题。

5.3 正切函数的综合应用通过实际问题引导学生运用正切函数解决实际问题。

引导学生运用正切函数的性质解决几何问题。

第六章：三角函数的性质总结6.1 三角函数的性质对比总结正弦、余弦和正切函数的周期性、振幅、相位等性质。

连云港市灌云县四队中学高中数学教案：三角函数的图象与性质1 (苏教版必修4)

连云港市灌云县四队中学高中数学教案：三角函数的图象与性质1 (苏教版必修4)

四队中学教案纸 （ 学科： 高一数学 ）备课时间教学课题 教时 计划3教学课时 1教学 目标 1.会用五点法画正弦、余弦函数的图象； 2.记住正弦、余弦函数的特征；3.弄清正弦、余弦函数的图象之间的关系。

重点难点正弦函数、余弦函数的图象借助于正弦线画正弦函数图象教学过程一、自学质疑1，弧长公式为2，单位圆中，圆心角为3π所对的弧长是 ，2π所对的弧长是二、互动探究1．利用单位圆中正弦线作正弦函数图象一、作法：（几何作法）（1）在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从⊙1O 与x 轴的交点A 起，把⊙1O 分成12等份，过⊙1O 上各点作x 轴的垂线，可得对应于0,,,,,2632ππππ 等角的正弦线；（2）把x 轴上0~2π这一段分成12等份，把角x 的正弦线向右平行移动，使正弦线的起点与x 轴上的点x 重合； （3）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象。

二、利用周期性，你能画出整个函数图象吗？试一试。

2．余弦函数的图象由于cos sin()2y x x π==+，所以余弦函数cos y x =，x R ∈与函数sin()2y x π=+,x R ∈是同一个函数；这样，余弦函数的图象可由：正弦曲线向左平移2π个单位得到，即：三、精讲点拨 利用五点法画sin y x =-，[0,2]x π∈的图象x 02ππ 32π 2π sinx -sinx利用五点法画cos 2y x =，[0,2]x π∈的图象．x2ππ32π 2π 2xCos2x课外作业 利用五点法画 y=cos 2x －1 [0,2]x π∈ 的图象教学反思y x=x R∈πcos y x=x R ∈2π-32π-2π。

三角函数的图象与性质教案

三角函数的图象与性质教案

三角函数的图象与性质教案一、教学目标1. 理解三角函数的定义和基本性质。

2. 学会绘制和分析三角函数的图象。

3. 掌握三角函数的周期性、奇偶性、单调性等性质。

4. 能够应用三角函数的性质解决问题。

二、教学内容1. 三角函数的定义和基本性质。

2. 三角函数的图象绘制方法。

3. 三角函数的周期性性质。

4. 三角函数的奇偶性性质。

5. 三角函数的单调性性质。

三、教学重点与难点1. 三角函数的定义和基本性质的理解。

2. 三角函数图象的绘制和分析。

3. 三角函数周期性、奇偶性、单调性的理解和应用。

四、教学方法1. 采用多媒体教学，展示三角函数的图象和性质。

2. 利用数学软件或图形计算器进行图象绘制和分析。

3. 引导学生通过观察、分析和归纳三角函数的性质。

4. 利用例题和练习题巩固所学知识。

五、教学安排1. 第一课时：三角函数的定义和基本性质。

2. 第二课时：三角函数的图象绘制方法。

3. 第三课时：三角函数的周期性性质。

4. 第四课时：三角函数的奇偶性性质。

5. 第五课时：三角函数的单调性性质。

六、教学目标1. 理解正弦函数、余弦函数的周期性。

2. 学会应用周期性解决实际问题。

3. 掌握正弦函数、余弦函数的相位变换。

七、教学内容1. 正弦函数、余弦函数的周期性。

2. 周期性在实际问题中的应用。

3. 正弦函数、余弦函数的相位变换。

八、教学重点与难点1. 周期性的理解和应用。

2. 相位变换的理解和应用。

九、教学方法1. 通过实例讲解周期性在实际问题中的应用。

2. 利用数学软件或图形计算器进行相位变换的演示。

3. 引导学生通过观察、分析和归纳正弦函数、余弦函数的周期性和相位变换。

十、教学安排1. 第六课时：正弦函数、余弦函数的周期性。

2. 第七课时：周期性在实际问题中的应用。

3. 第八课时：正弦函数、余弦函数的相位变换。

十一、教学目标1. 理解正切函数的图象和性质。

2. 学会应用正切函数解决实际问题。

3. 掌握正切函数的周期性和奇偶性。

“三角函数的图象与性质”教学设计、反思与点评

“三角函数的图象与性质”教学设计、反思与点评

一、内容和内容解析1.内容（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，包括正弦函数、余弦函数、正切函数图象的画法.（2）正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性、奇偶性、单调性和最大（小）值.2.内容解析内容的本质：三角函数的图象与性质的本质是周期现象的直观表示与代数表示，也是函数图象与性质研究的延续.蕴涵的思想和方法：三角函数是刻画周期现象的重要模型，函数的图象是周期现象的直观体现，函数的性质是周期变化规律的代数表现，所以模型思想、数形结合思想是学习三角函数的图象与性质中的重要思想方法.同时，由局部的正弦曲线得到完整的正弦曲线、由正弦曲线得到余弦曲线的过程中也蕴涵了换元转换的思想方法.知识的上、下位关系：三角函数是特殊的函数，是研究度量几何的基础，作为函数的下位知识，基本遵从函数的图象与性质的研究路径：现实背景—函数概念—图象—性质—应用.由于三角函数自身的特殊性，要充分借助单位圆及圆周运动的特性去研究三角函数的图象与性质.因此，研究正弦函数的图象与性质是根据定义借助单位圆直接画出函数的图象，再利用图象直观研究函数的性质；而研究正切函数的图象与性质是以定义为岀发点，先研究函数的部分性质，再结合定义和这些性质研究函数的图象，然后借助观察图象进一步获得函数的其他性质.育人价值：用三角函数来刻画圆周运动时角度与点的“位置”间的对应关系，这种思想方法帮助人们在观察客观事物的运动变化时，能建立起不同要素之间的联系，并用这种联系去研究、发现事物的运动变化规律，对提升人们的认识水平有重要意义和价值.因此，学习三角函数的图象与性质很有必要.一方面，帮助学生进一步熟悉函数的图象与性质的研究路径；另一方面，引导学生感受周而复始运动现象的变化规律及相应性质，培养学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模等素养.教学重点：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象及主要性质，包括周期性、奇偶性、单调性、最大（小）值；研究函数图象与性质的一般思路和方法.“三角函数的图象与性质”教学设计、反思与点评陈智猛摘要：本节课教学的核心是画出正弦函数图象上的任意点T()x0，sin x0，经历观察角α与sinα的变化、教师示范、计算机演示、学生用“手工细线缠绕”法实践操作四个步骤．诱导公式是反映圆周运动中运动变化规律的代数式，它在简化函数图象的研究过程、由正弦曲线得到余弦曲线等方面都发挥着作用，使得数与形的联系得到充分体现．关键词：正弦函数；图象与性质；诱导公式；教学设计收稿日期：2020-12-29作者简介：陈智猛（1963—），男，中学高级教师，主要从事高中数学教育教学研究.··11二、目标和目标解析1.目标（1）能画出三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性、单调性、最大（小）值.（2）建立三角函数定义（单位圆）与三角函数图象的联系，明确三角函数图象与性质的研究方法. 2.单元目标解析（1）研究正弦函数、余弦函数的图象与性质是先画函数图象后研究函数的性质.画正弦函数的图象有别于以往研究的函数图象，关键是画出图象上任意一点T()x0，sin x0；画余弦函数的图象主要是根据正弦函数、余弦函数的密切联系，利用图象变换得到余弦函数的图象.“五点（作图）法”是在精度要求不高、需反映曲线“波浪起伏”特点时画简图使用.（2）画正切函数的图象前要先研究正切函数的部分性质.根据函数性质知道，只需画出函数y=tan x，x∈éëöø0，π2的图象.画函数图象的关键是画出图象上的任意一点T()x0，tan x0.（3）函数的性质与图象相辅相成，不是一成不变的.本节课的学习既经历由函数图象到函数性质的研究过程，也经历由函数性质到函数图象再到函数性质的研究过程，全方位理解三角函数的图象与性质.（4）画余弦函数的图象也可以用描点的方法.本节课利用图象变换由正弦曲线得到余弦曲线，其目的是要体现正弦函数与余弦函数的密切关联，也给出得到函数图象的新方法.三、教学问题诊断分析学生之前有绘制函数图象的经验，但是利用定义、几何意义绘制函数图象是第一次，在思维习惯上存在障碍.对准确绘制岀函数的图象和正弦函数的图象及正切函数图象上任意一点的理解存在困难；在选定一个点的横坐标x0，如何从几何角度找到sin x0和tan x0的操作上难度较大.要在圆周运动中体会随着角x0的变化sin x0和tan x0的变化及意义.由于一个角的正切值是这个角的终边与单位圆交点的坐标的比值，难以直接利用正切值的几何意义对正切函数进行几何作图，在理解正切函数图象与函数定义的内在联系上有一定的难度.要注意从几何角度进行变形，化“动”为“定”.教学难点：画出正弦函数、正切函数的图象.四、教学支持条件分析（1）学生初步掌握了研究函数的路径，已利用三角函数定义和单位圆模型得到同角三角函数基本关系式与诱导公式.教学中要回顾函数的图象与性质的研究路径，并在圆周运动和三角函数定义的基础上发现三角函数的独特性，为准确绘制函数图象提供依据.（2）本节课需要投影仪、多媒体、几何画板软件、自制教具等支持条件.在图象平移、画出正弦函数图象上任意一点T()x0，tan x0时用计算机操作演示，准确、直观，让学生有更多的时间去观察、思考，体会画图方法的本质与思想内涵.同时，让学生使用自制教具经历用“手工细线缠绕”法准确绘制图象上任意一点T()x0，tan x0的过程.学生动手操作，亲身体验，提升认识，积累活动经验.五、课时教学设计1.课时教学内容第1课时：正弦函数、余弦函数的图象.（1）通过正弦函数定义得到正弦函数的图象，会用五点（作图）法作出简图.（2）通过图象变换得到余弦函数的图象.2.课时教学目标（1）了解三角函数周而复始的特性，简化函数图象与性质的研究过程.（2）能利用正弦函数定义确定正弦函数值sin x0，能画出正弦函数图象上任意一点T()x0，sin x0，能画出正弦函数的图象.（3）能利用图象变换画出余弦函数的图象.（4）了解运用五点（作图）法绘制函数y=sin x，x∈[]0，2π和y=cos x，x∈[]-π，π的简图.3.教学重点与难点教学重点：画出正弦函数、余弦函数的图象.教学难点：画出正弦函数的图象上的任意一点T()x0，sin x0，利用图象变换画出余弦函数的图象.··124.教学过程设计（1）回顾单元，凸显主题.引导语：我们学习了三角函数的定义，类比已经学过的基本初等函数，接下来我们要学习什么内容？师生活动：教师引导学生回忆幂函数、指数函数和对数函数的学习过程，明确研究函数图象与性质的路径：现实背景—函数概念—图象—性质—运用.学生类比并结合已经学过的三角函数的定义，明确本节课的学习主线：从定义出发，得到函数图象.【设计意图】作为函数的下位概念，通过类比已经学过的函数回忆研究函数的一般路径，明确本节课的重点内容是研究正弦函数y =sin x ，x ∈R 的图象，也为后续由图象研究函数的性质做准备.（2）周而复始，简化过程.问题1：从图象直观上看，点B 每旋转一周就回到原来的位置，体现了三角函数周而复始的特性.从函数角度来看，自变量每增加或减少2π个单位长度，函数值将重复出现.你能用公式表示这一特性吗？这个特性对我们研究正弦函数的图象有什么帮助？师生活动：学生观察点B 在单位圆上的旋转变化，体会三角函数值周而复始的变化情况；并运用诱导公式sin ()α±2π=sin α表示这一特性；简化函数y =sin x ，x ∈R 的图象的研究过程，从研究函数y =sin x ，x ∈[]0，2π的图象开始.【设计意图】让学生回忆三角函数的定义，既体现三角函数定义的重要性，又为画点原理的认知提供铺垫.突出三角函数周而复始的特性，目的是让学生明确对于具有周而复始特性（周期性）的函数的研究，可以从研究函数在一个周期内的图象与性质开始，简化研究过程.（3）利用定义，画任意点.问题2：我们知道，图象的基本要素是点，利用正弦函数的定义，在[]0，2π上任取一值x 0，能否确定函数值sin x 0，画出点T ()x 0，sin x 0？师生活动：学生回忆正弦函数的定义，在单位圆中，观察随着角α的变化函数值sin α的变化情况，教师提醒学生函数值sin α就是角α的终边与单位圆的交点B 的纵坐标.在x 轴上任取一值x 0，使x 0∈[]0，2π，在单位圆中，作出大小为x 0的角（始边在x 轴的正半轴）的终边，其终边与单位圆交点的纵坐标就是sin x 0.教师示范：在x 轴上任取一值x 0，使x 0∈[]0，2π，用“手工细线缠绕”的方法找到弧长为x 0的弧所对的圆心角x 0，确定函数值sin x 0，画出T ()x 0，sin x 0.学生动手操作：在[]0，2π上任取一值x 0，用“手工细线缠绕”的方法找到弧长为x 0的弧所对的圆心角x 0，确定函数值sin x 0，画出T ()x 0，sin x 0，通过实践体会画任意点T ()x 0，sin x 0的原理.【设计意图】从图象到点、从点到点坐标的确定，利用定义实现画出正弦函数图象上任意一点，从而得到函数的图象，体现点与图象的辩证统一.也说明了正弦函数的定义在函数图象的构造和认识过程中不可替代的作用.合作交流、实践操作是画点原理物化的重要方法，通过亲手操作、具身体验，熟悉并理解画点方法，为接下来的取特殊值、画特殊点提供支持.画出任意点T ()x 0，sin x 0，经历教师示范、学生实践操作，让学生在体验的过程中思考和理解，从而突破教学难点.（4）定若干点，描点作图.问题3：我们已掌握了画点原理，现在在[]0，2π上取若干值进行描点，画出函数y =sin x ，x ∈[]0，2π的图象，你打算描出哪些点？师生活动：取值0，π2，π，32π，2π，描出五个点.追问：仅描出五个点，能体现函数y =sin x ，x ∈[]0，2π的图象的形状吗？要让正弦函数的图象更精确，我们该如何做？师生活动：取更多的点，显然在éëùû0，π2上还要取其他值，不妨取特殊的π6和π3，其他区间也类似取特殊值，相当于把区间[]0，2π十二等分，对应的角所在的终边与单位圆的交点也把整个圆周十二等分，描画出13个点.学生实践活动：根据画点T ()x 0，sin x 0的方法，得到自变量取这些值时对应的函数图象上的13个点.利用信息技术取足够多的值，画出足够多的点，形成函数y =sin x ，x ∈[]0，2π的图象.【设计意图】取图象上足够多的特殊点有助于直观把握正弦函数图象的形状，并为利用五点法作简图提供基础.同时，让学生形成两点意识：确定函数图象的形状时往往要抓住图象上的关键点；足够多的特殊点能更好地反映函数图象的形状，体现十二等分[]0，2π画图象的必要性.明确信息技术代替人进行重··13复工作是在掌握画点原理的基础上进行辅助操作；让学生明白所画的点越多图象越精确.（5）补全整图，五点简图.问题4：可以得到完整的正弦函数y=sin x，x∈R 的图象吗？师生活动：引导学生通过直观想象得到函数y= sin x，x∈R的图象，再从逻辑推理的角度说明其正确性.通过PPT动画实现y=sin x，x∈R的图象上任意一点的平移，启发学生通过所有点的平移思考整个图象的平移，说明函数y=sin x，x∈[]2π，4π的图象与函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象的形状完全一致，用公式sin()2kπ+x=sin x可以说明.将函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象不断平移（每次移动2π个单位长度），得到函数y=sin x，x∈R的图象.追问1：正弦函数y=sin x，x∈R的图象是一条曲线，我们称为正弦曲线，该曲线有何特点？师生活动：观察图象，发现图象的形状是“波浪起伏”的连续光滑曲线，有波峰和波谷.追问2：我们要画正弦曲线，在精度要求不高时，有什么简便画法？师生活动：以画函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象为例，找到波峰和波谷及图象与x轴的交点等五个关键点()0，0，æèöøπ2，1，()π，0，æèöø3π2，-1，()2π，0，基本上可以呈现出“波浪起伏”的特点，这种作图法称为“五点（作图）法”.【设计意图】利用三角函数周而复始的特性和诱导公式，分别从几何与代数两个角度理解函数y=sin x，x∈R 的图象的形状是“波浪起伏”的连续光滑曲线.从图象上的点的平移到图象的平移，借助诱导公式说明函数y=sin x，x∈[]2π，4π的图象与函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象形状完全一致.同时，表明函数图象可以通过平移变换得到，为后面画出余弦函数的图象提供铺垫.从精确图象到五点简图，体现认识事物的过程与特点——全局与局部、抓主要矛盾.正弦函数图象的形状是“波浪起伏”的连续光滑曲线，抓住五个关键点足以体现.这也是在精确度要求不高时，可以用五点（作图）法画出正弦函数简图的依据.（6）图象变换，余弦曲线.问题5：下面我们要研究余弦函数y=cos x，x∈R 的图象.由三角函数的定义知，正弦函数与余弦函数是一对密切关联的函数，我们可以借助这种关联画出余弦函数的图象吗？师生活动：教师引导学生从定义出发理解，用诱导公式体现出正弦函数与余弦函数的密切关联；引导学生思考这种关联从几何角度理解呈现出什么现象.从图形变换（几何角度）角度，通过平移得到余弦函数的图象.根据诱导公式cos x=sinæèöøπ2+x，知函数y= cos x，x∈R的图象即为函数y=sinæèöøπ2+x，x∈R的图象，只需将函数y=sin x，x∈R的图象向左平移π2个单位长度，即可以得到函数y=sinæèöøπ2+x，x∈R的图象，即函数y=cos x，x∈R的图象.余弦函数的图象叫做余弦曲线，余弦曲线通过平移可以与正弦曲线完全重合，其曲线的形状也是“波浪起伏”的连续光滑曲线.可以用五点（作图）法画出余弦函数的简图.例如，画函数y=cos x，x∈[]-π，π的简图时，找到的五个关键点是()-π，-1，æèöø-π2，0，()0，1，æèöøπ2，0，()π，-1.【设计意图】让学生体会诱导公式是图象变换的代数依据.通过图象变换得到余弦曲线，更好地体现余弦函数与正弦函数的密切关联.（7）巧借诱导，简化作图.问题6：如何画出函数y=cos x，x∈[]0，2π的简图？师生活动：回顾图象构造和认识过程，发现函数y= -cos x，x∈[]0，2π的图象与函数y=cos x，x∈[]0，2π的图象关于x轴对称，曲线形状也是“波浪起伏”的连续光滑曲线，同样可以找到五个关键点用“五点（作图）法”画简图.先用“五点（作图）法”画出函数y=cos x，x∈[]0，2π的简图，再作其关于x轴对称的图象.引导学生关注诱导公式，由-cos x=cos()π+x知，画出函数y=-cos x，x∈R的图象即画出函数y= cos()π+x，x∈R的图象，只需将函数y=cos x，x∈R 的图象向左平移π个单位长度即可.追问1：利用诱导公式-cos x=cos()π-x，是否可以由函数y=cos x，x∈R的图象画出函数y=-cos x，x∈R 的图象？追问2：利用诱导公式实现图象变换来作图，类比上述问题，你能提出新的问题吗？【设计意图】诱导公式是三角函数的图象和性质的代数表现，诱导公式cos x=sinæèöøπ2-x，sin x=sin()π-x，··14sin x=-sin()2π-x，sin x=-sin()π+x等都能在正弦曲线和余弦曲线的作图过程中发挥作用.例如，sin x= -sin()2π-x，若画函数y=sin x，x∈[]π，2π的图象，即画函数y=-sin()2π-x，x∈[]π，2π的图象，只需作出函数y=sin x，x∈[]0，π的图象关于点()π，0中心对称后的图象即可.学生不一定能建立所有诱导公式与图象变换之间的联系，更不易准确通过诱导公式描述图象变换.教师引导学生多从诱导公式的角度出发认识正弦函数和余弦函数的图象，并形成意识，有助于培养学生的数学抽象和直观想象素养.（8）回顾所学，小结提升.问题7：我们怎样得到正弦函数的图象？经历怎样的过程？怎样得到余弦函数的图象？利用了什么公式？下节课，我们将学习三角函数的什么内容？师生活动：引导学生从基本技能和基本活动经验角度总结本节课的学习收获，引导学生将本节课的内容嵌入整个三角函数的知识体系中.【设计意图】通过课堂小结让学生明确本节课内容的重点与难点，明确本节课在知识、方法、能力等方面的目标，体现合作交流、主动学习.回到主题单元教学，让学生明确下节课内容的重点——函数的性质，确定研究性质的两条路径，即通过图象直观得到性质和将定义结合单位圆来推导性质.六、教学反思教材是最重要、最准确的教学资源，理解教材的意图，根据学生的情况恰当设计是教学成功的基础.新教材中正弦函数和余弦函数的图象内容不同以往，没有采用三角函数线，而是紧扣函数研究路径和单位圆，利用正弦函数的定义认识正弦函数的图象. 1.思效本节课以学生为中心，明确教材意图，把握教学重点，通过有效活动突破教学难点，培养学生的数学思想和数学能力.（1）从学生认知出发，巩固基础知识.学习效果是教学最关注的问题，从学生认知出发，准确把握本节课的重点，分解教学难点，通过高效教学活动巩固基础知识.知识回顾时，将正弦函数的定义放在突出位置，特别是对自变量α和函数值sinα（终边与单位圆交点的纵坐标）的意义理解，突出教学重点.明确自变量x既是图象上一点的横坐标，也是单位圆中弧长为x的弧所对的圆心角，关键是如何通过x，利用正弦函数的定义确定函数值sin x，突破教学难点.同样，通过定义明确正弦函数和余弦函数是一对密切关联的函数，可以利用诱导公式和图象平移得到余弦函数的图象，这样就将本节课的教学重点和教学难点牢牢集中在利用定义得到函数图象这条教学主线上.（2）把握教材逻辑，培养基本思想.认识数学问题，我们较熟悉的路径是从几何直观到逻辑推理.这在教材中有多处体现：①类比已有研究方法，得到先画出图象后研究性质；②体现周而复始的特性，对单位圆上点的运动变化进行几何观察，再用sin()x±2π=sin x进行代数表示；③由函数y= sin x，x∈[]0，2π的图象到函数y=sin x，x∈R的图象，先让学生直观想象，再利用诱导公式说明. 2.思得本节课采用多种教学方法，重视问题链的设置，通过具体实践活动，提升学生的画图技能，形成研究函数图象的活动经验.（1）重视实践活动，提升基本技能.活动即学习，合作交流、实践操作能够有效提升学生的基本技能.画点技能的形成一般要经历了解、体会、理解、掌握等过程.教学过程中需要设置不同的实践活动：PPT动画了解、教师实践展示、合作动手操作、多次综合运用.这四个环节让原理清晰化，让技能熟练化，让学生大胆尝试，并有时间去具体实践.（2）设置问题情境，形成基本活动经验.问题是数学的心脏，也是教学最基本的起点.问题明确化、思维清晰化.针对学生思维发生点和思维障碍点设问，让学生懂得思考什么.例如，在x轴上任取值x0∈[]0，2π，能否从几何角度表示出函数值sin x0学生聚焦如何从几何角度表示sin x0，自然联想到定义和单位圆.问题层次化、思维深度化.有层次的问题链，帮助学生从几何直观、代数推理等多个方面认识数学问题.例如，描点画出函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象，你打算描出哪些点？这些点有何特殊性？这些点够吗？为了图象形状的准确，还需要增加点吗？增加哪些点？为什么？学生通过问题链，构建了点与函数图象之间的联系，为五点（作图）法打下了基础.··153.思改以“思”促“改”，教学改进、提升自我永远在路上.（1）信息技术与手持技术融入教学，生动形象，交互反馈，结构紧凑，高容、高效，带动教学方式的改变.本节课的教学离不开信息技术的支持，画点原理的形成、正弦函数图象的构造与认识、图象的平移变换等都离不开PPT动画、视频动画的直观呈现.数学实验和动手实践相结合，学生借助相应工具参与作图原理的发现与探究，有助于提升学生几何作图的认知深度，培养他们的创新能力.（2）“诱导公式能简化作图过程”这一内容的教学，虽然经历了简化研究区间、平移得到余弦函数的图象，以及函数y=-cos x，x∈[]0，2π的图象的研究等过程，但是还应该设计出有层次、有目标、有深度的问题，引导学生去分析和思考诱导公式这个代数关系式与几何图形的联系.总之，以学生为本，重视教材，挖掘教材意图，教学精准、高效.数学知识通过教材设计呈现，数学思维通过教材逻辑体现，数学活动通过教材意图设置.七、点评数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）指出，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.具体到一节课的教学，我们要怎么做呢？《标准》的基本理念中强调要凸显数学的内在逻辑和思想方法；要创设教学情境，启发思考，把握本质；要培育学生的科学精神和创新意识，关注核心素养的形成和发展.因此，理解数学、教学、学生，再加上技术，就是我们思考“三角函数的图象与性质”这节课的基点.本节课是“三角函数的图象与性质”这个单元的第一课时，在单元教学的视角下，本节课承上启下，既延续以往研究函数的图象与性质的方法路径，又有新的创新，丰富了函数的图象与性质的研究方法，沟通了函数的图象与性质的内在关联，使“数”与“形”的融合再次得到体现.1.理解数学，尊重教材正弦函数和余弦函数的图象这节课，初看很不起眼，因为我们已经经历了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数的图象研究，无非描出几个特殊点（描点法作图），然后用光滑的曲线连接即可.本节课还是这样吗？这就需要我们去理解三角函数的独特性.首先，根据单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，公式sin()x±2π=sin x，cos()x±2π= cos x表示自变量每增加（减少）2π，正弦函数值和余弦函数值将重复出现（从几何特点到代数关系），利用这个特性，将正弦函数的图象研究范围由R简化到[]0，2π.这是在前面的学习中没有经历过的.其次，利用单位圆定义三角函数赋予三角函数几何属性.因此，三角函数的图象的研究有别于以往的函数图象的研究，指数函数、对数函数和幂函数的图象的描点都是代数运算的结果，而三角函数的图象的描点是几何描点，即利用三角函数的定义借助单位圆作出函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象上的任意一点T()x0，sin x0.准确描绘出图象上的“任意一点”，这还是前面的学习所没有经历的.再次，观察发现，正弦函数和余弦函数的图象是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线，通过抓住关键点把握图象的形状，这也是前面的学习中所没有经历的.最后，函数y=cos x，x∈R的图象是根据诱导公式cos x=sinæèöøx+π2，通过将正弦函数y=sin x，x∈R的图象向左平移π2个单位长度得到的.这在前面的学习中较少经历.历数种种，在理解数学和教材编写意图的基础上，我们才有可能恰当地设计问题，启发、引导学生思考并解决问题.2.理解教学，突破难点对于画出函数的图象，学生的学习基础（画指数函数、对数函数和幂函数的图象）是描点法.那么，画正弦函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象的教学起点在哪里？借助单位圆，直接要求利用三角函数的定义作出正弦函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象上的任意一点T()x0，sin x0是否比较突兀？学生是否会全无头绪？该难点如何突破？这些问题都是展开教学时需要思考的.首先，在单位圆上的任意一点在圆周上旋转一周回到原来的位置的运动变化过程中，要有意识地引导··16。