六、点差法求轨迹方程(高中数学解题妙法)

2019年高考数学知识点：轨迹方程的求解2019年高考数学知识点：轨迹方程的求解是为您整理的最新考试资讯，请您详细阅读!符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹. 轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系;②设点设轨迹上的任一点P(x，y);③列式列出动点p所满足的关系式;④代换依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

一.求轨迹方程1.点B 是椭圆12222=+by a x 上的动点，)0,2(a A 为定点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程 2.2.设动点M ),(y x 到A )0,5(-的距离与它到B )0,5(的距离差等于5，则点M 的轨迹方程。

3.已知圆1O ：0241022=+++x y x ，圆2O ：091022=+-+x y x 。

动圆M 与圆1O ，圆2O 都外切，求动圆圆心的轨迹方程。

4.已知B ，C 是两个定点，4=BC ，且三角形ABC 的周长为10，则三角形的顶点A 的轨迹方程。

5.设点F )23,0(，动圆P 经过点F 且和直线23-=y 相切，则动圆圆心P 的轨迹方程。

6.在三角形ABC 中，已知4=BC ，当动点A 满足条件A B C sin 21sin sin =-，则动点A 的轨迹方程。

7. 过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

x ＋2y －5＝08. 已知定点A （2，0），点Q 是圆x 2＋y 2＝1的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程。

9.若M 是双曲线x2 – y2 = 1上的动点，A( 2 , 0 )，点P 是线段AM 的中点，求点P 的轨迹方程。

10.动点M 到定点F （2，0）的距离比它到定直线x+5=0的距离小3，求点M 的轨迹是方程11.动圆M 与圆A ：4)3(22=++y x 外切，与圆B ：64)3(22=+-y x 内切，求动圆圆心M 的轨迹方程。

12.动圆M 与圆A ：1)5(22=++y x 和圆B ：49)5(22=+-y x 都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程。

13.设点F )2,0(，动圆P 经过点F 且和直线2=y 相切，则动圆圆心P 的轨迹方程。

14.长为a 2的线段AB 的两端点A ，B 分别在相互垂直的两条直线上滑动，求线段ＡＢ的中点的轨迹方程。

轨迹问题的求法
一、直接法
当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程,称之直接法.
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
将直线与圆锥曲线的交点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法"。

四、几何法
几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.
五、参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程
例3.【2017年全国二卷文科】
六、交轨法
求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
七、代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法
.。

相关点法和点差法求轨迹方程除了直译法和定义法，相关点法和点差法也是求轨迹方程的一种重要方法。

一、相关点法相关点法所适用的题目特征：（1）题目中出现已知点A 在曲线C ：f(x,y)=0上 （2）已知点A 、B 满足一定的关系式 （3）求点B 的轨迹方程其中A 叫做主动点，B 叫做被动点。

我们的解题步骤一般为： （1）设00(,),(,)B x y A x y（2）根据A 、B 关系式，整理出()()0102,,x f x y y f x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ （3）根据题目中原有的曲线()00,0f x y =，替换掉x0和y0，整理出(),0g x y =即为所求例1 已知点A 为椭圆2212516x y +=上任一点，点B(2，1)，动点P 满足2AP PB =，求P 轨迹方程解析：显然符合相关点法的题目特征，这里A 是主动点，B 是定点，P 是被动点。

我们按照步骤进行操作。

设()()00,,,P x y A x y由2AP PB =得到()()00,22,1x x y y x y --=--从而有003432x x y y =-⎧⎨=-⎩由220012516x y +=得到()()22343212516x y --+=例2 已知M 、N 是椭圆22142x y +=上的两个动点，且直线OM 与直线ON 的斜率之积为12-，若点P 满足2OP OM ON =+，求点P 的轨迹方程 解析：显然符合相关点法的题目特征。

只不过这里有两个主动点M 和N ，那么方法依然是没有变的。

只不过在代换的时候，需要结合题目条件处理的更灵活。

设()()()1122,,,,,P x y M x y N x y由2OP OM ON =+得到()()()1122,,2,x y x y x y =+即121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩而2211142x y +=以及2222142x y +=，即2222112224,24x y x y +=+= 又由12OM ON k k =-得到121212y y x x =-，即121220y y x x +=寻找其中的关系，我们可以得到：()()()()()22221212222211221212222224242416020x y x x y y x y x y x x y y +=+++=+++++=++=因此轨迹方程为22220x y +=即2212010x y +=二、点差法点差法的适用题目特征更明显，只要题目是求弦中点轨迹的，一般都用点差法进行解决。

求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

一：用定义法求轨迹方程例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。

【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

二：用直译法求轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。

例2：一条线段两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且BM=a ，AM=b ，求AB 中点M 的轨迹方程？【变式】: 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2||||=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？三：用参数法求轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。

“点差法”在解析几何题中的应用江苏省木渎高级中学 （215101） 潘振嵘在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 1 求弦中点的轨迹方程例1已知椭圆2212xy +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.解 设弦的两个端点分别为()()1122,,,P x y Q x y ，PQ 的中点为(),M x y . 则221112x y +=，（1）222212x y +=，（2） ()()12-得：()2222121202x x y y -+-=，()1212121202x x y y y y x x +-∴++=-.又121212122,2,2y y x x x y y y x x -+=+==-，40x y ∴+=.弦中点轨迹在已知椭圆内，∴所求弦中点的轨迹方程为40x y +=（在已知椭圆内）.例2直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线()2:1f y x =+的相交弦是AB，则弦AB 的中点轨迹方程是 .解 设()()1122,,A x y B x y 、，AB 中点(),M x y ，则122x x x +=.()():150l a x y --+=，l ∴过定点()1,5N -，51A B M N y k k x +∴==-.又()2111y x =+，（1）()2221y x =+，（2）()()12-得：()()()()2212121212112y y x x x x x x -=+-+=-++，1212122AB y y k x x x x -∴==++-.于是5221y x x +=+-，即227y x =-.弦中点轨迹在已知抛物线内，∴所求弦中点的轨迹方程为227y x =-（在已知抛物线内）. 求直线的斜率例5已知椭圆221259xy+=上不同的三点()()11229,,4,,,5A x y B C x y ⎛⎫⎪⎝⎭与焦点()4,0F 的距离成等差数列.（1）求证：128x x +=；（2）若线段A C 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线B T 的斜率k .（1）证 略.（2）解128x x += ，∴设线段A C的中点为()04,D y .又A C 、在椭圆上，∴22111259x y +=，（1）22221259x y +=，（2） ()()12-得：22221212259x x y y --=-，()()121212120998362525225x x y y x x y y y y +-∴=-=-⋅=--+.∴直线D T的斜率02536DT y k =，∴直线D T 的方程为()0025436y y y x -=-.令0y =，得6425x =，即64,025T ⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线B T 的斜率9055644425k -==-.1、已知A B C ∆的三个顶点都在抛物线232y x =上，其中()2,8A ，且A B C ∆的重心G 是抛物线的焦点，求直线B C 的方程.解 由已知抛物线方程得()8,0G .设B C 的中点为()00,M x y ，则A G M 、、三点共线，且2AG GM =，G ∴分AM 所成比为2，于是002281282012x y +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩+，解得00114x y =⎧⎨=-⎩，()11,4M ∴-.设()()1122,,,B x y C x y ，则128y y +=-. 又21132y x =，（1）22232y x =，（2）()()12-得：()22121232y y x x -=-，121212323248BC y y k x x y y -∴====--+-.B C∴所在直线方程为()4411y x +=--，即4400x y +-=.2 确定参数的范围3 证明定值问题例7已知AB 是椭圆()222210x y a b ab+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB的中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线O P 的斜率之积是定值. 证明 设()()1122,,,A x y B x y 且12x x ≠，则2211221x y ab+=，（1）2222221x y ab+=，（2） ()()12-得：2222121222x x y y ab--=-，()()2121221212bx x y y x x a y y +-∴=--+，()()2121221212ABbx x y y k x x a y y +-∴==--+. 又1212O P y y k x x +=+，221A B O Pb k k a∴=-⋅，22AB OP b k k a∴⋅=-（定值）.关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。

2019高考数学必备知识点：轨迹方程的求解符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系——建立适当的坐标系;②设点——设轨迹上的任一点P(x，y);③列式——列出动点p所满足的关系式;④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。

1．已知AB 是圆2522=+y x 的动弦，若6=AB ，则线段AB 的中点的轨迹方程为 ．2．已知5=PQ ，P 到平面内一直线l 的距离为2且Q 到直线l 的距离为4，则满足条件的直线l 有 条．3．ABC ∆的三边长分别为||,||,||BC a BA c A C b ===，且a b c >>成等差数列，(1,0),(1,0)A C -，则顶点B 的轨迹方程为 ．4．已知圆O 的方程是0222=-+y x ，圆O '的方程是010822=+-+x y x ，由动点P 向圆O 和圆O '所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为 ．5．()24，P 是圆C ：036282422=---+y x y x 内的一个定点，圆上的动点A 、B 满足ο90=∠APB ，则弦AB 的中点Q 的轨迹方程为 ．轨迹方程热身练习知识梳理求轨迹是解析几何一个很重要的题型，方法较多，难度较大。

在此两讲中，我们将学习最为常见的几种求轨迹的方法（直接法、转移代入法、几何定义法、综合法、点差法、消参法、交轨法等）.1、直接法直接法，又称“直译法”，是求轨迹最基本的方法，圆锥曲线的标准方程都是通过直接法得到的.解题步骤就是“建设现代化镇”（1）建系，目前大部分题目都已经建好坐标系了，一般可以省略；x y；（2）设点，直接设动点坐标为(,)（3）写式，运用一定平面几何知识，写出题目中动点满足的几何关系式；（4）代入，将动点坐标、已知数据全部代入关系式；（5）化简，化简式子，注意等价性；（6）证明，证明轨迹的完备性和纯粹性，由于前几步的等价性，所以现已省略此步.2、转移代入法转移代入法，也称“相关点法”.当动点是随着相关的点有规律的运动而运动时，可用此法.解题步骤：第一，需找到动点和相关点之间的坐标关系，进行表示和反表示，就是坐标转移；第二，需找到相关点在运动时满足的那个关键式，代入关键式；第三，化简即可，注意范围。