2018年上海市高考数学·二模汇编 数列

宝山2018届高三二模数学卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1. 设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ⋂= .2. 设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 . 3. 某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，74.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是 (米）.4. 函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 .5. 已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 .6. 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛210221c c 的解为⎩⎨⎧==31y x ，则=+21c c . 7. 在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）8. 设无穷数列{}n a 的公比为q ，则2a ()n n a a a +⋅⋅⋅++=∞→54lim ，则=q .9. 若B A 、满足()()()525421===AB P B P A P ，，，则()()P AB P AB -= . 10. 设奇函数()f x 定义为R ，且当0x >时，2()1m f x x x=+-（这里m 为正常数）． 若()2f x m ≤-对一切0x ≤成立，则m 的取值范围是 .11. 如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，则24OP OP ⋅u u u r u u u r 的值为 .12. 将实数z y x 、、中的最小值记为{}z y x ,,m in ，在锐角︒=∆60POQ ，1=PQ ，点T 在POQ ∆的边上或内部运动，且=TO {}TQ TO TP ,,m in ，由T 所组成的图形为M .设M POQ 、∆的面积为M POQ S S 、∆，若()2:1-=∆M POQ M S S S ：，则=M S . 二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.13. “1sin 2x =”是“6x π=”的 （ ） )(A 充分不必要条件． )(B 必要不充分条件． )(C 充要条件． )(D 既不充分也不必要条件．14.在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于 （ ）)(A 160- )(B 160 )(C 150- )(D 15015.若函数()()f x x R ∈满足()1f x -+、()1f x +均为奇函数，则下列四个结论正确的是（ ）)(A ()f x -为奇函数 )(B ()f x -为偶函数 )(C ()3f x +为奇函数 )(D ()3f x +为偶函数16. 对于数列12,,,x x L 若使得0n m x ->对一切n N *∈成立的m 的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”。

2018届上海市高三数学二模分类汇编一、填空题1.集合1.设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ⋂= .【答案】{}2【来源】18届宝山二模1【难度】集合、基础题2.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=02x x x A ，{|}B x x Z =∈，则A B ⋂等于 ． 【答案】{}1或{}1=x x 【来源】18届奉贤二模1【难度】集合、基础题3. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠∅I ，则实数a 的范围是【答案】1a ≥【来源】18届虹口二模1【难度】集合、基础题4．已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是 ．【答案】2【来源】18届黄浦二模1【难度】集合、基础题5．已知集合},2,1{m A =，}4,2{=B ，若}4,3,2,1{=B A Y ，则实数=m _______．【答案】3【来源】18届长嘉二模1【难度】集合、基础题6. 设集合1|,2x M y y x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，()()()1|1112,121N y y x m x x m ⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 .【答案】(1,0)-【来源】18届普陀二模11【难度】集合、中档题7．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U .【答案】]3,1[-【来源】18届徐汇二模1【难度】集合、基础题8. 已知集合{|(1)(3)0}P x x x =+-<，{|||2}Q x x =>，则P Q =I【答案】(2,3)【来源】18届金山二模3【难度】集合、基础题9.已知集合{1,0,1,2,3}U =-，{1,0,2}A =-，则U C A =【答案】{1,3}【来源】18届崇明二模1【难度】集合、基础题2.命题、不等式1．不等式|1|1x ->的解集是 ．【答案】(,0)(2,)-∞+∞U【来源】18届黄浦二模2【难度】不等式、基础题2．已知函数2()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立，则代数式(1)(0)(1)f f f --的最小值是 ． 【答案】3【来源】18届黄浦二模2【难度】不等式、压轴题3．不等式|3|2x -<的解集为__________________． 【答案】{}15x x <<或()1,5【来源】18届青浦二模1【难度】不等式、基础题4．若为等比数列，0n a >，且2018a =，则2017201912a a +的最小值为 ． {}n a【答案】4【来源】18届杨浦二模10【难度】不等式、中档题5. 函数9y x x=+，(0,)x ∈+∞的最小值是 【答案】6【来源】18届金山二模4【难度】不等式、基础题3.函数1.给出下列函数：①1y x x=+；②x x y +=2；③2x y =；④23y x =；⑤x y tan =；⑥()sin arccos y x =；⑦(lg lg 2y x =-．从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是 ． 【答案】37【来源】18届奉贤二模9【难度】函数、中档题2.已知函数()()θ-=x x f 2sin 5，⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ，[]π5,0∈x ，若函数()()3-=x f x F 的所有零点依次记为n x x x x ,,,,321Λ，且n n x x x x x <<<<<-1321Λ，*N n ∈若π283222212321=++++++--n n n x x x x x x Λ，则=θ ． 【答案】9π【来源】18届奉贤二模12【难度】函数、压轴题3.已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---= 【答案】-2【来源】18届虹口二模5【难度】函数、基础题4.若函数()f x =是偶函数，则该函数的定义域是 ．【答案】[2,2]-【来源】18届黄浦二模3【难度】函数、基础题5.已知函数)1lg()(2ax x x f ++=的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_________．【答案】]1,1[-【来源】18届长嘉二模10【难度】函数、中档题6.若函数1()21f x x m =-+是奇函数，则实数m =________.【答案】12【来源】18届普陀二模2【难度】函数、基础题7.若函数()f x =()g x ，则函数()g x 的零点为________.【答案】x =【来源】18届普陀二模3【难度】函数、基础题8.已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x f x =-，函数 2()2g x x x m =-+. 如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x ≤，则实数m 的取值范围是 .【答案】5m ≥-【来源】18届青浦二模10【难度】函数、中档题9.若函数222(1)sin ()1x x f x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是 ． 【答案】114⎛⎫⎪⎝⎭， 【来源】18届徐汇二模11【难度】函数、中档题10.设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()log (1)f x x =+，则函数()f x 在[1,2]上的解析式是【答案】2()log (3)f x x =-【来源】18届崇明二模9【难度】函数、中档题4.指数函数、对数函数1.方程33log (325)log (41)0x x ⋅+-+=的解x = ．【答案】2【来源】18届黄浦二模6【难度】对数函数、基础题2.[]x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是 【答案】12x =或1x =- 【来源】18届虹口二模11【难度】指数函数、中档题3.若实数x 、y 满足112244+++=+y x y x ，则y x S 22+=的取值范围是____________．【答案】]4,2(【来源】18届长嘉二模12【难度】指数函数、压轴题4.函数()lg(32)x xf x =-的定义域为_____________．【答案】(0,)+∞【来源】18届徐汇二模3【难度】对数函数、基础题5.定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -= 【答案】2【来源】18届松江二模4【难度】指数函数、基础题6.若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围【答案】()[)0,12,+∞U【来源】18届松江二模10【难度】指数函数、中档题7.函数lg 1y x =-的零点是 ．【答案】10x =【来源】18届杨浦二模1【难度】对数函数、基础题8.函数lg y x =的反函数是【答案】1()10x f x -=【来源】18届金山二模2【难度】对数函数、基础题5. 三角函数1.已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为AB ∠∠，，C ∠所对的边．若222b c a +-=，则A ∠= ． 【答案】4π或045 【来源】18届奉贤二模5【难度】三角函数、基础题2.已知ABC ∆的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若2222sin a b c bc A =+-，则内角A 的大小是 ． 【答案】4π【来源】18届黄浦二模4【难度】三角函数、基础题3.若1sin 3α=，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________． 【答案】13【来源】18届青浦二模3【难度】三角函数、基础题4.在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222()tan b c a A bc +-=，则角A 的大小为________.【答案】6π 【来源】18届普陀二模5【难度】三角函数、基础题5..函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 . 【答案】4π 【来源】18届宝山二模4【难度】三角函数、基础题6.已知22s 1(,,0)cos 1a a in M a a a a θθθ-+=∈≠-+R ，则M 的取值范围是 ．【答案】⎣⎦ 【来源】18届青浦二模12【难度】三角函数、压轴题7. 函数3sin(2)3y x π=+的最小正周期T = 【答案】π【来源】18届金山二模1【难度】三角函数、基础题8.若53sin )cos(cos )sin(=---x y x x y x ，则y 2tan 的值为 【答案】2424.77-或 【来源】18届杨浦二模9【难度】三角函数、中档题9.在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，2a =，2sin sin A C =． 若B 为钝角，412cos -=C ，则ABC ∆的面积为 ．【来源】18届杨浦二模11【难度】三角函数、中档题10. 若2018100922sin (2cos )(3cos cos )(1cos cos )αββαβα--≥---+，则sin()2βα+= 【答案】-1或1【来源】18届金山二模12【难度】三角函数、压轴题题6. 数列1.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q =【答案】1或12- 【来源】18届虹口二模7【难度】数列、基础题2.已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n nn a a n k a +-=-=-L ，若1224,51,0k a a a ===，则k = ．【答案】50【来源】18届黄浦二模11【难度】数列、中档题3.设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠），若m 是等比数列{}n a （*N n ∈）的公比，且2462018()7f a a a a =L ，则22221232018()()()()f a f a f a f a ++++L 的值为_________. 【答案】1990-【来源】18届普陀二模9【难度】数列、中档题4.在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S = ．【答案】33【来源】18届青浦二模5【难度】数列、基础题7. 向量1.如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，则24OP OP ⋅u u u r u u u r 的值为 .【答案】-4【来源】18届宝山二模11【难度】向量、中档题2.已知向量a r 在向量b r 方向上的投影为2-，且3b =r ，则a b ⋅r r = ．(结果用数值表示)【答案】-6【来源】18届黄浦二模5【难度】向量、基础题3.在△ABC 中，M 是BC 的中点，︒=∠120A ，21-=⋅，则线段AM 长的最小值为____________． 【答案】21 【来源】18届长嘉二模114.已知曲线C y =：2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=u u u r ，则m 取值范围是 ．11、 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【来源】18届青浦二模11【难度】向量、中档题5.已知向量a r 、b r 的夹角为60°，||1a =r ，||2b =r ，若(2)()a b xa b +⊥-r r r r ，则实数x 的值为【答案】3【来源】18届松江二模7【难度】向量、基础题6.点1F ，2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右两焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足：2122MN MF MF =⋅u u u u r u u u u r u u u u r ，则122MF MF +u u u u r u u u u r 的最大值为__________.【答案】6【来源】18届普陀二模12【难度】向量、压轴题7.已知两个不同向量(1,)OA m =u u u r ，(1,2)OB m =-u u u r ，若OA AB ⊥u u u r u u u r ，则实数m =____________．【答案】1【来源】18届青浦二模48.已知非零向量OP uuu r 、OQ uuu r 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++u u u u r u u u r u u u r ，定义点集{|}||||FP FM FQ FM A F FP FQ ⋅⋅==u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r . 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤u u u u r u u u r 恒成立，则实数k 的最小值为 ． 【答案】34【来源】18届杨浦二模12【难度】向量、压轴题9.已知向量,a b r r的夹角为锐角，且满足||a =r、||b =r ，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>r r ，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅r r 的最小值为 . 【答案】815【来源】18届徐汇二模12【难度】向量、压轴题10. 在平面四边形ABCD 中，已知1AB =，4BC =，2CD =，3DA =，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为【答案】10【来源】18届崇明二模12【难度】向量、压轴题8. 解析几何1.设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 .【答案】24y x =【来源】18届宝山二模2【难度】解析几何、基础题2.抛物线2y x =的焦点坐标是 ． 【答案】（0，14） 【来源】18届奉贤二模3【难度】解析几何、基础题3.椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为 【答案】2mn 【来源】18届虹口二模10【难度】解析几何、中档题4.角的始边是x 轴正半轴，顶点是曲线2522=+y x 的中心，角的终边与曲线2522=+y x 的交点A 的横坐标是3-，角的终边与曲线2522=+y x 的交点是B ，则过B 点的曲线2522=+y x 的切线方程是 ．（用一般式表示）11、【答案】7241250x y ±+=【来源】18届奉贤二模11【难度】解析几何、压轴题5.直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a =【答案】2【来源】18届虹口二模2【难度】解析几何、基础题 ααα26.已知平面直角坐标系xOy 中动点),(y x P 到定点)0,1(的距离等于P 到定直线1-=x 的距离，则点P 的轨迹方程为______________．【答案】x y 42=【来源】18届长嘉二模4【难度】解析几何、基础题7. 抛物线212x y =的准线方程为_______.【答案】3y =-【来源】18届普陀二模1【难度】解析几何、基础题8.双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a = 【答案】2a =【来源】18届松江二模1【难度】解析几何、基础题9.已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 .【答案】2220x y x y +--=【来源】18届徐汇二模10【难度】解析几何、中档题10.已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a = . 【答案】1【来源】18届徐汇二模4【难度】解析几何、基础题11.若双曲线222161(0)3x y p p -=>的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p = ．【答案】4【来源】18届杨浦二模8【难度】解析几何、中档题12.平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=，如果这三条直线将平面化分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A =【答案】{2,1,0}--【来源】18届金山二模10【难度】解析几何、中档题13.已知双曲线22:198x y C -=，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得190F PQ ∠=︒，则1F PQ ∆的内切圆的半径r =【答案】2【来源】18届金山二模11【难度】解析几何、中档题14.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为 （结果保留π）【答案】12π【来源】18届崇明二模6【难度】解析几何、基础题15. 已知椭圆2221x y a+=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若 123F F FF =u u u r u u u u r ，则a =【来源】18届崇明二模8【难度】解析几何、中档题9. 复数1.设z 是复数，()a z 表示满足1n z =时的最小正整数n ，i 是虚数单位，则⎪⎭⎫⎝⎛-+i i a 11=______．【答案】4【来源】18届奉贤二模7【难度】复数、基础题2.已知α是实系数一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且||2α≤，则实数m 的取值范围是 ．【答案】3(4-【来源】18届黄浦二模8【难度】复数、中档题3.已知复数z 满足i 342+=z （i 为虚数单位），则=||z ____________． 【答案】5【来源】18届长嘉二模3【难度】复数、基础题4.若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 【答案】512i - 【来源】18届青浦二模2【难度】复数、基础题5.设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m =【答案】-1【来源】18届松江二模3【难度】复数、基础题6.若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是 ．【答案】2【来源】18届杨浦二模6【难度】复数、中档题7.i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为【答案】-2【来源】18届崇明二模3【难度】复数、基础题10. 立体几何1.已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 .【答案】4π【来源】18届宝山 二模5【难度】立体几何、基础题2.已知半径为2R 和R 的两个球，则大球和小球的体积比为 ．【答案】8或1:8【来源】18届奉贤 二模2【难度】立体几何、基础题3.长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=4.2【答案】2【来源】18届虹口 二模4【难度】立体几何、中档题4.如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于 【答案】3π 【来源】18届虹口 二模9【难度】立体几何、中档题5.将圆心角为32π，面积为π3的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___________．【答案】π322【来源】18届长嘉二模7【难度】立体几何、中档题6.三棱锥ABCP-及其三视图中的主视图和左视图如下图所示，则棱PB的长为________．【答案】24【来源】18届长嘉二模8【难度】立体几何、中档题7.如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________．【答案】4π【来源】18届青浦二模7【难度】立体几何、中档题8.若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．【答案】16π【来源】18届徐汇二模5【难度】立体几何、基础题9.若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .【答案】15π【来源】18届徐汇二模8【难度】立体几何、中档题10.若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为【答案】16π【来源】18届松江二模8【难度】立体几何、中档题11.若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形， 则该圆锥的体积是 ．【来源】18届杨浦二模7【难度】立体几何、中档题12.记球1O 和2O 的半径、体积分别为1r 、1V 和2r 、2V ，若12827V V =，则12r r = 【答案】23【来源】18届金山二模6【难度】立体几何、中档题11. 排列组合、概率统计、二项式定理1.某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，74.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是 (米）.【答案】1.72【来源】18届宝山二模3【难度】统计、基础题2.若B A 、满足()()()525421===AB P B P A P ，，，则()()P AB P AB -= . 【答案】310【来源】18届宝山二模9【难度】概率、中档题3.在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）【答案】1688【来源】18届宝山二模7【难度】排列组合、中档题4.从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为 【答案】12【来源】18届虹口二模6【难度】概率、中档题5.若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于【答案】20【来源】18届虹口二模8【难度】二项式、中档题6.已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是人．【答案】140【来源】18届黄浦二模9【难度】概率统计、中档题7.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是．(结果用数值表示) 10．【答案】5 16【来源】18届黄浦二模10 【难度】概率统计、中档题8.nxx⎪⎭⎫⎝⎛+1的展开式中的第3项为常数项，则正整数=n___________．【答案】4【来源】18届长嘉二模2【难度】二项式、基础题9.某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．则顾客抽奖中三等奖的概率为____________．9．【答案】167【难度】概率统计、中档题10.代数式2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ．（用数字作答） 【答案】3【来源】18届奉贤二模10【难度】二项式、中档题11.书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为_______（结果用数值表示）.【答案】24【来源】18届普陀二模4【难度】二项式、基础题12.若321()n x x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_________.5 【答案】5【来源】18届普陀二模6【难度】二项式、基础题13.某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为120和121，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）.【答案】221【难度】概率统计、中档题14.设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对 1234(,,,)x x x x 的组数为【答案】45【来源】18届松江二模11【难度】排列组合、压轴题15.设*n N ∈，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R1222[][][]555n n n na a a b =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b c -++的最小值为 【答案】25【来源】18届松江二模12【难度】二项式、压轴题16.在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是 .【答案】20【来源】18届徐汇二模2【难度】二项式、基础题17.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为______________．8、30【答案】30【来源】18届青浦二模8【难度】二项式、中档题18.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78、34、512，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A +的概率是 ． 【答案】151192【来源】18届青浦二模9【难度】概率统计、中档题19.将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--r ，向量()1,1b =r ，则向量a b ⊥r r 的概率．．是 . 【答案】16【来源】18届徐汇二模9【难度】概率统计、中档题20.若的二项展开式中项的系数是，则n = ．【答案】4【来源】18届杨浦二模3【难度】概率统计、基础题21.掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 ． ()13nx +2x 542【来源】18届杨浦二模4【难度】概率统计、基础题22.若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是 【答案】11322535C C C ⋅= 【来源】18届金山二模8【难度】概率统计、中档题23.(12)n x +的二项展开式中，含3x 项的系数等于含x 项的系数的8倍，则正整数n =【答案】5【来源】18届金山二模9【难度】二项式、中档题24.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 石（精确到小数点后一位数字）【答案】169.1【来源】18届崇明二模5【难度】统计、基础题25. 若二项式7(2)a x x+的展开式中一次项的系数是70-，则23lim()n n a a a a →∞+++⋅⋅⋅+=3【来源】18届崇明二模7【难度】二项式、基础题26.某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在 相邻车位的概率是 【答案】47【来源】18届崇明二模10【难度】概率、中档题12. 行列式、矩阵、程序框图1.若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组有唯一一组解，则实数m 的取值范围是【答案】0D ≠，即2m ≠±【来源】18届金山二模7【难度】矩阵、中档题2.三阶行列式130124765x-中元素5-的代数余子式为()x f ，则方程()0f x =的解为____． 【答案】2log 3x =【来源】18届奉贤二模6【难度】矩阵、中档题3.若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 【答案】 40【来源】18届松江二模2【难度】矩阵、基础题4.函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．【答案】π【来源】18届徐汇二模7【难度】矩阵、基础题5.若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210221c c 的解为⎩⎨⎧==31y x ，则=+21c c . 【答案】9【来源】18届宝山二模6【难度】矩阵、基础题6.已知函数2sin cos 2()1cos x x f x x -=，则函数()f x 的单调递增区间 是 ． 【答案】3[,],Z 88k k k ππππ-+∈【来源】18届黄浦二模7【难度】矩阵、基础题7.已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += 【答案】5【来源】18届崇明二模2【难度】矩阵、基础题8.若2log 1042x -=-，则x =【答案】4【来源】18届崇明二模4 【难度】行列式、基础题13. 数学归纳法、极限1.已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则limnn nS n a →∞=⋅【答案】12【来源】18届松江二模6 【难度】极限、基础题2.计算：=+∞→142limn nn ．【答案】12【来源】18届杨浦二模2 【难度】极限、基础题14. 参数方程、线性规划1.已知实数,x y 满足20102x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2u x y =+的最大值是 ．【答案】4 【来源】18届奉贤二模4 【难度】线性规划、中档题2.设变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥,043,04,1y x y x x 则目标函数y x z -=3的最大值为_________．【答案】4 【来源】18届长嘉二模6 【难度】线性规划、基础题3.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C的参数方程为cos 1sin 2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则直线l 与椭圆C 的公共点坐标为__________.【答案】(24-【来源】18届普陀二模8 【难度】参数方程、中档题4.设变量x 、y 满足条件0220x y x y y x y m-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数m 的取值范围是__________. 【答案】4(0,1][,)3+∞U 【来源】18届普陀二模10 【难度】参数方程、中档题5.若,x y 满足2,10,20,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为____________．【答案】12-【来源】18届青浦二模6 【难度】参数方程、中档题6.已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，． 则目标函数z x y =-的最小值为___________．【答案】-1【来源】18届徐汇二模6 【难度】线性规划、基础题7.若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为 ．【答案】3【来源】18届杨浦二模5 【难度】线性规划、基础题8.直线l 的参数方程为112x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为【答案】()2,1- 【来源】18届松江二模5 【难度】线性规划、基础题9.若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||14x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-，则常数k = 【答案】5k =【来源】18届松江二模9 【难度】线性规划、中档题10.已知,x y ∈R，且满足00y y y +≤-≥≥⎪⎩，若存在θ∈R 使得cos sin 10x y θθ++=成立，则点(,)P x y 构成的区域面积为【答案】6π【来源】18届崇明二模11 【难度】线性规划、中档题15.其它1.函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于 【答案】16【来源】18届虹口二模12 【难度】其它、压轴题 二、选择题1.命题、不等式)(C 充要条件． )(D 既不充分也不必要条件．【答案】 B 【来源】18届宝山二模13 【难度】命题与条件、基础题2.在给出的下列命题中，是ggg假命题的是 答( )．(A )设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈u u u r u u u r u u u r，则点A B C 、、必共线(B )若向量a b r r 和是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c r都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈r r r、，且表示方法是唯一的(C )已知平面向量OA OB OC u u u r u u u r u u u r、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>u u u r u u u r u u u r |=|，且0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ， 则ABC ∆是等边三角形(D )在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d r r r u r、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直【答案】D【来源】18届黄浦二模16 【难度】命题与条件、压轴题3.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。

黄浦区2018年高考模拟考数学试卷(完卷时间：120分钟 满分：150分) 2018.4考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2．答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚，并在规定的区域贴上条形码； 3．本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1．已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是 ． 2．不等式|1|1x ->的解集是 ．3．若函数()f x 是偶函数，则该函数的定义域是 ．4．已知ABC ∆的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若2222sin a b c bc A =+-，则内角A 的大小是 ．5．已知向量a r 在向量b r 方向上的投影为2-，且3b =r，则a b ⋅r r = ．(结果用数值表示)6．方程33log (325)log (41)0x x⋅+-+=的解x = ．7．已知函数2sin cos 2()1cos x x f x x-=，则函数()f x 的单调递增区间是 ．8．已知α是实系数一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且||2α≤，则实数m 的取值范围是 ．9．已知某市A 社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是 人． 10．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是 ．(结果用数值表示) 11．已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n nna a n k a +-=-=-L ，若1224,51,0k a a a ===，则k = ．12．已知函数2()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立，则代数式(1)(0)(1)f f f --的最小值是 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．在空间中，“直线m ⊥平面α”是“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”的答( )．(A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )非充分非必要条件14． 二项式403x x 的展开式中，其中是有理项的项数共有 答( ). (A ) 4项 (B ) 7项 (C ) 5项 (D ) 6项15．实数x y 、满足线性约束条件3,0,0,10,x y x y x y +≤⎧⎪≥≥⎨⎪-+≥⎩则目标函数23w x y =+-的最大值是答( )．(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2- (D ) 316．在给出的下列命题中，是ggg假命题的是 答( )．(A )设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈u u u r u u u r u u u r，则点A B C 、、必共线(B )若向量a b r r 和是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c r都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈r r r、，且表示方法是唯一的(C )已知平面向量OA OB OCu u u r u u u r u u u r、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>u u u r u u u r u u u r |=|，且0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ， 则ABC ∆是等边三角形(D )在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d r r r u r、、、，使得其 中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分． 在四棱锥P ABCD-中，PA ABCD⊥平面，,,1,AB AD BC AD BC⊥=P2,45CD CDA=∠=．(1)画出四棱锥P ABCD-的主视图；(2)若PA BC=，求直线PB与平面PCD所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知10,(010)OA OB x x==<<米米，线段BA CD、线段与弧BC、弧AD的长度之和为30米，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x的函数解析式；(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知动点(,)M x y到点(2,0)F的距离为1d，动点(,)M x y到直线3x=的距离为2d，且126dd=.(1)求动点(,)M x y的轨迹C的方程；(2)过点F作直线:(2)(0)l y k x k=-≠交曲线C于P Q、两点，若OPQ∆的面积3OPQS∆(O是坐标系原点)，求直线l的方程.20.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数22, 10,()=1, 0 1.x x f x x x --≤<⎧⎨-≤≤⎩(1) 求函数()f x 的反函数1()fx -；(2)试问:函数()f x 的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若方程()|()240f x f x ax +---=的三个实数根123x x x 、、满足:123x x x <<，且32212()x x x x -=-，求实数a 的值．21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分． 定义：若数列{}n c 和{}n d满足*10,0,N nn n c d n +>>=∈且c ，则称数列{}n d 是数列{}n c 的“伴随数列”.已知数列{}n b 是数列{}n a 的伴随数列，试解答下列问题： (1)若*(N )nn b a n =∈，1b {}n a 的通项公式n a ；(2)若*11(N )n n n b b n a +=+∈，11b a 为常数，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列； (3)若*1N )n nb n +=∈，数列{}n a 是等比数列，求11a b 、的数值．黄浦区2018年高考模拟考数学试卷参考答案和评分标准2018.4说明：1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 一、填空题.1．2 2．(,0)(2,)-∞+∞U 3．[2,2]- 4．4π5．6- 6．27．3[,],Z 88k k k ππππ-+∈ 8．3(3]4- 9．140 10．51611．50 12．3.二、选择题．13．()A 14．()B 15．()D 16．()D三、解答题． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分． 解 (1)主视图如下：(2) 根据题意，可算得1,2AB AD ==. 又1PA BC ==，按如图所示建立空间直角坐标系， 可得，(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)A B C D P .于是，有(1,0,1),(1,1,0),(0,2,1)PB CD PD =-=-=-u u u r u u u r u u u r. 设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =r，则0,0,n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r即0,20.x y y z -+=⎧⎨-=⎩令2z =，可得1,1y x ==，故平面PCD 的一个法向量为(1,1,2)n =r.设直线PB 与平面PCD 所成角的大小为θ，则||sin 6||||n PB n PB θ⋅==r u u u r r u u u r .所以直线PB 与平面PCD所成角的大小为arcsin 6.18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解 (1)根据题意，可算得弧BC x θ=⋅(m )，弧10AD θ=(m ). 又30BA CD BC CD +++=弧弧，于是，10101030x x x θθ-+-+⋅+=，所以，210(010)10x x x θ+=<<+.(2) 依据题意，可知22111022OAD OBC y S S x θθ=-=⨯-扇扇化简，得2550yx x =-++25225()24x =--+. 于是，当52x =(满足条件010x <<)时，max 2254y =(2m ).答 所以当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米.19． （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解 (1)结合题意，可得12|3|d d x ==-.又12d d =3=，化简得 22162x y +=. 因此，所求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程是22162x y +=. (2) 联立方程组221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=.设点1122(,)(,)P x y Q x y 、，则2122212212,13126,130.k x x k k x x k ⎧+=⎪+⎪-⎪=⎨+⎪∆>⎪⎪⎩于是，弦||PQ == 点O 到直线l的距离d =.由OPQS ∆== 42210k k -+=，解得1k =±，且满足0∆>，即1k =±都符合题意. 因此，所求直线的方程为2020x y x y --=+-=或.20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 解 (1)22, 10,()=1, 0 1.x x f x x x --≤<⎧⎨-≤≤⎩Q∴当10x -≤<时，()2,0()2f x x f x =-<≤且.由2y x =-，得12x y =-，互换x y 与，可得11()(02)2f x x x -=-<≤. 当01x ≤≤时，2()1,()0f x x f x =-≤≤且-1.由21y x =-，得x =x y 与，可得1()10)f x x -=-≤≤.11, 0<2,2() 10.x x f x x -⎧-≤⎪∴=-≤≤(2) 答 函数图像上存在两点关于原点对称.设点00000(,)(01)(,)A x y x B x y <≤--、是函数图像上关于原点对称的点，则00()()0f x f x +-=，即200120x x -+=，解得001(1,)x x ==舍去，且满足01x <≤ .因此，函数图像上存在点1,2(12)A B -和关于原点对称.(3) 考察函数()y f x =与函数y =当12x -≤≤-时，有()f x ≥4240x ax ---=，解得 2+2x a =-，且由21+2a -≤-≤，得02a ≤≤.当12x -<≤时，有()f x <240ax -=，化简得 22(4)40a x ax ++=，解得24=0+4a x x a =-，或(当02a ≤≤时，24024aa -<-<+). 于是，123224,,024ax x x a a =-=-=++. 由32212()x x x x -=-，得22442=2(+)+442a a a a a -++，解得32a -±=.因为1a =<-，故a =02a <=<，满足条件.因此，所求实数a =21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分． 解 (1)根据题意，有*10,0,N n n n a b a n +>>=∈且.由*(N )nn b a n =∈，1b =111n a a b +====*N n ∈.所以n a =，*N n ∈． 证明 (2) Q *11(N )n n n b b n a +=+∈，*10,0,N n n n a b a n +>>=∈且，∴11n n b a ++==11n n b a ++=*N n ∈．∴22111n n n n b b a a ++⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，*N n ∈．∴数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是首项为211b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、公差为1的等差数列．解(3)Q *1N )n n b n +=∈，*10,0,N n n n a b a n +>>=∈且，*N n n a b n <+≤∈，得11n a +<.Q {}n a 是等比数列，且0n a >，设公比为(0)r r >，则1*1(N )n n a a r n -=∈.∴当1r >，即lim n n a →∞→+∞，与11n a +<≤矛盾．因此，1r >不成立.当01r <<，即lim 0n n a →∞→，与11n a +<01r <<不成立.∴1r =，即数列{}n a 是常数列，于是，1n a a =(11a <≤).*11(N )n n b n a +∴=∈. 100n b b >∴>Q ，，数列{}n b 也是等比数列，设公比为(0)q q >，有11n n b b q +=.2n a +∴=可化为222221111111(1)2(1)0(1n n b a q a b q a a a --+-=<≤，*N n ∈.Q 2222422111111111(1)0,20,(1)0,4(2)0b a a b a a a b a ->≠->∆=-≥，∴关于x 的一元二次方程22222111111(1)2(1)0b a x a b x a a --+-=有且仅有两个非负实数根.一方面，n q (*N n ∈)是方程22222111111(1)2(1)0b a x a b x a a --+-=的根；另一方面，若1(0)q q ≠>，则无穷多个互不相等的234,,,,,,nq q q q q L L 都是该二次方程的根.这与该二次方程有且仅有两个非负实数根矛盾！1q ∴=，即数列{}n b 也是常数列，于是，1n b b =，*N n ∈.∴由*1N )n nb n +=∈，得1a =把1a =1n a +=解得1b11a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ ．。

已知 A {x | y 2 x x 2 } ， B {x | x 1} ，则 A B 等于（ A. [0,1] U (2, )
B.
）
D.
[0,1) U (2, )源自C. [0,1][0, 2]
15. 已知 a12 b12 0 ， a2 2 b2 2 0 ，则“
上海市杨浦区 2018 届高三二模数学试卷
2018.04
一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 函数 y lg x 1 的零点是 2. 计算： lim
2n n 4n 1
3. 若 (1 3 x) n 的二项展开式中 x 2 项的系数是 54 ，则 n 4. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为
2
8. 若双曲线
x 2 16 y 2 2 1 ( p 0) 的左焦点在抛物线 y 2 2 px 的准线上，则 p 3 p
3 ，则 tan 2 y 的值为 5
9. 若 sin( x y )cos x cos( x y )sin x
10. 若 {an } 为等比数列， an 0 ，且 a2018

m , m) ，射线 OM 与 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？ 3
若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由．
21. 记函数 f ( x) 的定义域为 D. 如果存在实数 a 、 b 使得 f ( a x) f ( a x) b 对任意满 足 a x D 且 a x D 的 x 恒成立，则称 f ( x) 为 函数. （1）设函数 f ( x)
1 1 ，试判断 f ( x) 是否为 函数，并说明理由； x 1 ，其中常数 t 0 ，证明： g ( x) 是 函数； 2 t

2018年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科）一、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．已知函数f（x）=a x+a﹣x（a＞0，a≠1），且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是．2．已知集合A={x||x﹣2|＜a}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是．3．如果复数z满足|z|=1且z2=a+bi，其中a，b∈R，则a+b的最大值是．4．在直角坐标系xOy中，已知三点A（a，1），B（2，b），C（3，4），若向量，在向量方向上的投影相同，则3a﹣4b的值是．5．某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是元．6．已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=．7．△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边且ac+c2=b2﹣a2，若△ABC最大边长是且sinC=2sinA，则△ABC最小边的边长为．8．在极坐标系中，曲线ρ=sinθ+2与ρsinθ=2的公共点到极点的距离为．9．如图，A，B是直线l上的两点，且AB=2．两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段AB围成图形面积S的取值范围是．10．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．二、选择题本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．向量，均为单位向量，其夹角为θ，则命题“p：|﹣|＞1”是命题q：θ∈[，）的（）条件（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．非充分非必要条件12．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（）A．4πB．3πC．2πD．π13．已知数列{a n}中，a n+1=3S n，则下列关于{a n}的说法正确的是（）A．一定为等差数列B．一定为等比数列C．可能为等差数列，但不会为等比数列D．可能为等比数列，但不会为等差数列三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14．（理）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=1，点E在棱AB上移动．（1）探求AE等于何值时，直线D1E与平面AA1D1D成45°角；（2）点E移动为棱AB中点时，求点E到平面A1DC1的距离．15．某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）求证：存在x0∈（，），使得f（x0），g（x0），f（x0）•g（x0）能按照某种顺序成等差数列．17．若动点M到定点A（0，1）与定直线l：y=3的距离之和为4．（1）求点M的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）记（1）得到的轨迹为曲线C，问曲线C上关于点B（0，t）（t∈R）对称的不同点有几对？请说明理由．18．已知数列{a n}，S n为其前n项的和，满足S n=．（1）求数列{a n}的通项公式；=n（T n （2）设数列{}的前n项和为T n，数列{T n}的前n项和为R n，求证：当n≥2，n∈N*时R n﹣1﹣1）；（3）已知当n∈N*，且n≥6时有（1﹣）n＜（）m，其中m=1，2，…，n，求满足3n+4n+…+（n+2）n=（aan的所有n的值．n+3）2018年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．已知函数f（x）=a x+a﹣x（a＞0，a≠1），且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是12．【考点】指数函数的单调性与特殊点；函数的值．【专题】计算题．【分析】由f（1）=3可得到关于a的式子，由f（0）+f（1）+f（2）得到关于a的式子，寻找与已知表达式的联系即可求解．【解答】解：∵f（1）=a+a﹣1=3，f（0）=2，f（2）=a2+a﹣2=（a+a﹣1）2﹣2=7，∴f（1）+f（0）+f（2）=12．故答案为：12【点评】本题考查指数幂的运算和运算法则，属基本运算的考查．2．已知集合A={x||x﹣2|＜a}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是a≥3．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】数形结合；转化思想；不等式的解法及应用；集合．【分析】利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法分别解出A，B，再利用B⊆A即可得出．【解答】解：由|x﹣2|＜a，可得2﹣a＜x＜2+a（a＞0），∴A=（2﹣a，2+a）（a＞0）．由x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3．B=（﹣1，3）．∵B⊆A，则，解得a≥3．故答案为：a≥3．【点评】本题考查了不等式的解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．如果复数z满足|z|=1且z2=a+bi，其中a，b∈R，则a+b的最大值是．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】由|z|=1，得|z2|=1，结合z2=a+bi，得a2+b2=1，然后利用基本不等式求得a+b的最大值．【解答】解：∵|z|=1，∴|z2|=1，由z2=a+bi，得a2+b2=1，∴（a+b）2≤2（a2+b2）=2，故当时，a+b的最大值是．故答案为：．【点评】本题考查复数模的求法，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．4．在直角坐标系xOy中，已知三点A（a，1），B（2，b），C（3，4），若向量，在向量方向上的投影相同，则3a﹣4b的值是2．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】构造三个向量，起点是原点，那么三个向量的坐标和点的坐标相同，根据投影的概念，列出等式，用坐标表示，移项整理得到结果．【解答】解：向量，在向量方向上的投影相同，∴=•，∵A（a，1），B（2，b），C（3，4），∴3a+4=6+4b，∴3a﹣4b=2，故答案为：2．【点评】本题考查了向量的数量积运算、投影，考查了推理能力，属于基础题．5．某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是5000元．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】由已知求出获得一、二、三等奖的概率分别为，由此利用一、三、三等奖相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，能求出参加此次大赛获得奖金的期望．【解答】解：∵某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，∴获得一、二、三等奖的概率分别为a，2a，4a，且a+2a+4a=1，解得a=，∴获得一、二、三等奖的概率分别为，∵一、三、三等奖相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，∴参加此次大赛获得奖金的期望E（X）==5000元．故答案为：5000．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．6．已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=3．【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，由此能得到b的值．【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．∴|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2﹣c2）=4b2，∴b=3．故答案为3．【点评】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识．7．△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边且ac+c2=b2﹣a2，若△ABC最大边长是且sinC=2sinA，则△ABC最小边的边长为1．【考点】正弦定理．【专题】方程思想；综合法；解三角形．【分析】根据余弦定理求出cosB=﹣，故b=，由sinC=2sinA得c=2a，代入余弦定理计算a．【解答】解：∵ac+c2=b2﹣a2，∴cosB==﹣，∴B=，∴b=．∵sinC=2sinA，∴c=2a，∴三角形的最短边为a．由余弦定理得cosB=，解得a=1．故答案为1．【点评】本题考查了余弦定理，正弦定理，判断三角形的最长边和最短边是关键，属于中档题．8．在极坐标系中，曲线ρ=sinθ+2与ρsinθ=2的公共点到极点的距离为1+．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；规律型；转化思想；坐标系和参数方程．【分析】联立方程组消去sinθ求解即可．【解答】解：ρ=sinθ+2与ρsinθ=2消去sinθ，可得ρ（ρ﹣2）=2，由于ρ＞0，解得ρ=1+．故答案为：．【点评】本题考查极坐标方程的应用，利用ρ的几何意义是解题的关键．9．如图，A，B是直线l上的两点，且AB=2．两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段AB围成图形面积S的取值范围是．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】结合图形，可见当⊙O1与⊙O2外切于点C时，S最大，圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S就是矩形ABO2O1的面积减去两扇形面积，解答即可．【解答】解：如图，当⊙O1与⊙O2外切于点C时，S最大，此时，两圆半径为1，S等于矩形ABO2O1的面积减去两扇形面积，∴，随着圆半径的变化，C可以向直线l靠近，当C到直线l的距离d→0时，S→0，∴S∈．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，数形结合的思想，是中档题．10．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．【考点】函数的值；函数恒成立问题．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知得﹣4m2≤﹣﹣+1在x∈[，+∞）上恒成立，上由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：依据题意得﹣1﹣4m2（x2﹣1）≤（x﹣1）2﹣1+4（m2﹣1）在x∈[，+∞）上恒定成立，即﹣4m2≤﹣﹣+1在x∈[，+∞）上恒成立．当x=时，函数y=﹣﹣+1取得最小值﹣，∴﹣4m2≤﹣，即（3m2+1）（4m2﹣3）≥0，解得m≤﹣或m≥，故答案为：．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意函数性质和等价转化思想的合理运用．二、选择题本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．向量，均为单位向量，其夹角为θ，则命题“p：|﹣|＞1”是命题q：θ∈[，）的（）条件（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】平面向量及应用；简易逻辑．【分析】根据向量数量积的运算公式，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若|﹣|＞1，则平方得：2﹣2•+2=2﹣2•＞1，即•＜，则cosθ==•＜，∴θ∈（，π]，即p：θ∈（，π]，∵命题q：θ∈[，），∴p是q的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量数量积的应用求出向量夹角是解决本题的关键．12．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（）A．4πB．3πC．2πD．π【考点】直线与平面垂直的性质；球的体积和表面积．【专题】压轴题．【分析】先寻找球心，根据S，A，B，C是球O表面上的点，则OA=OB=OC=OS，根据直角三角形的性质可知O为SC的中点，则SC即为直径，根据球的面积公式求解即可．【解答】解：∵已知S，A，B，C是球O表面上的点∴OA=OB=OC=OS=1又SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，∴球O的直径为2R=SC=2，R=1，∴表面积为4πR2=4π．故选A．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及球的表面积等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．13．已知数列{a n}中，a n+1=3S n，则下列关于{a n}的说法正确的是（）A．一定为等差数列B．一定为等比数列C．可能为等差数列，但不会为等比数列D．可能为等比数列，但不会为等差数列【考点】等差关系的确定；等比关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由条件可得S n+1=4S n，对S1分类讨论，即可得出结论．【解答】解：∵a n+1=3S n，∴S n+1﹣S n=3S n，∴S n+1=4S n，若S1=0，则数列{a n}为等差数列；若S1≠0，则数列{S n}为首项为S1，公比为4的等比数列，∴S n=S1•4n﹣1，=3S1•4n﹣2（n≥2），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列．此时a n=S n﹣S n﹣1综上，数列{a n}可能为等差数列，但不会为等比数列．故选C．【点评】本题考查等差数列、等比数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确分类讨论是关键．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14．（理）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=1，点E在棱AB上移动．（1）探求AE等于何值时，直线D1E与平面AA1D1D成45°角；（2）点E移动为棱AB中点时，求点E到平面A1DC1的距离．【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】（1）解法一：先找到直线D1E与平面AA1D1D所成的平面角，放入直角三角形中，根据角的大小为45°，来求三角形中边之间的关系，即可求出AE长度．解法二：利用空间向量来解，先建立空间直角坐标系，求出坐标，以及平面AA1D1D的法向量的坐标，因为直线D1E与平面AA1D1D成45°角，所以与平面AA1D1D的法向量成45°角，再用向量的数量积公式即可求出坐标，进而判断E点位置．（2）利用空间向量的知识，点到平面的距离可用公式来求，其中为平面的法向量，为E点到平面上任意一点的向量．【解答】解：（1）解法一：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为点E在棱AB上移动，所以EA⊥平面AA1D1D，从而∠ED1A为直线D1E与平面AA1D1D所成的平面角，Rt△ED1A中，∠ED1A=45°．解法二：以D为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则点D1（0，0，1），平面AA1D1D的法向量为，设E（1，y，0），得，由，得，故（2）以D为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则点E（1，1，0），A1（1，0，1），C1（0，2，1），从而，，设平面DA1C1的法向量为，由令，所以点E到平面A1DC1的距离为=1．【点评】本题主要考查了向量法求直线与平面所成角，以及点到平面的距离．属于立体几何的常规题．15．某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（2）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，y=（4+）p﹣x﹣6（p+），将p=代入化简得：y=19﹣﹣x（0≤x≤a）；（Ⅱ）y=22﹣（+x+2）≤22﹣3=10，当且仅当=x+2，即x=2时，上式取等号；当a≥2时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；y=19﹣﹣x，y′=﹣，∴a＜2时，函数在[0，a]上单调递增，∴x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，该公司的利润最大．【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）求证：存在x0∈（，），使得f（x0），g（x0），f（x0）•g（x0）能按照某种顺序成等差数列．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数与方程的综合运用．【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由周期公式可得ω，ω＞0，再由对称中心可得φ值，可得f（x）解析式，由函数图象变换和诱导公式化简可得；（2）当x∈（，）时sinx＞cos2x＞sinx•cos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinx•cos2x在（，）内是否有解，由函数零点的存在性定理可得．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）的周期为π，ω＞0，∴，又曲线y=f（x）的一个对称中心为（，0），φ∈（0，π），∴sin（2×+φ）=0，可得，∴f（x）=cos2x，将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣）的图象，由诱导公式化简可得g（x）=sinx；（2）当x∈（，）时，，，∴sinx＞cos2x＞sinx•cos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinx•cos2x在（，）内是否有解．设G（x）=sinx+sinx•cos2x﹣2cos2x，x∈（，），∵，，且函数G（x）的图象连续不断，∴函数G（x）在（，）内存在零点x0，即存在x0∈（，），使得f（x0），g（x0），f（x0）•g（x0）能按照某种顺序成等差数列．【点评】本题考查三角函数图象变换，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinx•cos2x在（，）内是否有解是解决问题的关键，属中档题．17．若动点M到定点A（0，1）与定直线l：y=3的距离之和为4．（1）求点M的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）记（1）得到的轨迹为曲线C，问曲线C上关于点B（0，t）（t∈R）对称的不同点有几对？请说明理由．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设M（x，y），由题意，分类讨论，可得点M的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）当t≤0或t≥4显然不存在符合题意的对称点．当0＜t＜4时，注意到曲线C关于y轴对称，至少存在一对（关于y轴对称的）对称点，下面研究曲线C上关于B（0，t）对称但不关于y轴对称的对称点即可．【解答】解：（1）设M（x，y），由题意…①：当y≤3时，有，化简得：x2=4y②：当y＞3时，有，化简得：x2=﹣12（y﹣4）（二次函数）综上所述：点M的轨迹方程为（如图）…（2）当t≤0或t≥4显然不存在符合题意的对称点当0＜t＜4时，注意到曲线C关于y轴对称，至少存在一对（关于y轴对称的）对称点下面研究曲线C上关于B（0，t）对称但不关于y轴对称的对称点设P（x0，y0）是轨迹x2=4y（y≤3）上任意一点，则，它关于B（0，t）的对称点为Q（﹣x0，2t﹣y0），由于点Q在轨迹x2=﹣12（y﹣4）上，所以，联立方程组（*）得4y0=﹣12（2t﹣y0﹣4），化简得①当y0∈（0，3）时，t∈（2，3），此时方程组（*）有两解，即增加有两组对称点．②当y0=0时，t=2，此时方程组（*）只有一组解，即增加一组对称点．（注：对称点为P（0，0），Q（0，4））③当y0=3时，t=3，此时方程组（*）有两解为，没有增加新的对称点．综上所述：…【点评】本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度大．18．已知数列{a n}，S n为其前n项的和，满足S n=．（1）求数列{a n}的通项公式；=n（T n （2）设数列{}的前n项和为T n，数列{T n}的前n项和为R n，求证：当n≥2，n∈N*时R n﹣1﹣1）；（3）已知当n∈N*，且n≥6时有（1﹣）n＜（）m，其中m=1，2，…，n，求满足3n+4n+…+（n+2）an的所有n的值．n=（an+3）【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】分类讨论；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用递推关系即可得出；（2）法一：直接计算化简即可证明；法二：利用数学归纳法即可证明．（3）利用“累加求和”方法、不等式的性质、分类讨论即可得出．【解答】（1）解：当n≥2时，，又∵a1=S1=1，∴a n=n．（2）证明：＜法一＞：∵，∴，∴==．＜法二＞：数学归纳法①n=2时，，，=k（T k﹣1），②假设n=k（k≥2，k∈N*）时有R k﹣1当n=k+1时，=，∴n=k+1是原式成立=n（T n﹣1）．由①②可知当n≥2，n∈N*时R n﹣1（3）解：∵，m=1，2，…，n．⇒相加得，，∵，∴3n+4n+…+（n+2）n＜（n+3）n，∴n≥6时，∴3n+4n+…+（n+2）n=（n+3）n无解，又当n=1时；3＜4，n=2时，32+42=52；n=3时，33+43+53=63n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，不符合n=5时，35+45+55+65+75为奇数，而85为偶数，不符合．综上所述n=2或者n=3．【点评】本题考查了递推关系、学归纳法、“累加求和”方法、不等式的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2018届高三数学二模典题库一、填空题1.集合1.设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ⋂= . 【答案】{}2 【来源】18届宝山二模1 【难度】集合、基础题2.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=02x xxA ，{|}B x x Z =∈，则A B ⋂等于 ．【答案】{}1或{}1=x x 【来源】18届奉贤二模1 【难度】集合、基础题3. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠∅，则实数a 的范围是【答案】1a ≥ 【来源】18届虹口二模1 【难度】集合、基础题4．已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是 ．【答案】2 【来源】18届黄浦二模1 【难度】集合、基础题5．已知集合},2,1{m A =，}4,2{=B ，若}4,3,2,1{=B A ，则实数=m _______． 【答案】3【来源】18届长嘉二模1 【难度】集合、基础题6. 设集合1|,2xM y y x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，()()()1|1112,121N y y x m x x m ⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 .【答案】(1,0)- 【来源】18届普陀二模11 【难度】集合、中档题7．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 【答案】]3,1[- 【来源】18届徐汇二模1 【难度】集合、基础题8. 已知集合{|(1)(3)0}P x x x =+-<，{|||2}Q x x =>，则P Q =【答案】(2,3) 【来源】18届金山二模3 【难度】集合、基础题9.已知集合{1,0,1,2,3}U =-，{1,0,2}A =-，则U C A =【答案】{1,3} 【来源】18届崇明二模1 【难度】集合、基础题2.命题、不等式1．不等式|1|1x ->的解集是 ．【答案】(,0)(2,)-∞+∞【来源】18届黄浦二模2 【难度】不等式、基础题2．已知函数2()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立，则代数式(1)(0)(1)f f f --的最小值是 ．【答案】3【来源】18届黄浦二模2 【难度】不等式、压轴题3．不等式|3|2x -<的解集为__________________． 【答案】{}15x x <<或()1,5 【来源】18届青浦二模1 【难度】不等式、基础题4．若为等比数列，0n a >，且2018a =，则2017201912a a +的最小值为 ．{}n a【答案】4【来源】18届杨浦二模10 【难度】不等式、中档题5. 函数9y x x=+，(0,)x ∈+∞的最小值是 【答案】6 【来源】18届金山二模4 【难度】不等式、基础题3.函数1.给出下列函数：①1y x x=+；②x x y +=2；③2x y =；④23y x =；⑤x y tan =；⑥()sin arccos y x =；⑦(lg lg 2y x =-．从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是 ． 【答案】37【来源】18届奉贤二模9 【难度】函数、中档题2.已知函数()()θ-=x x f 2sin 5，⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ，[]π5,0∈x ，若函数()()3-=x f x F 的所有零点依次记为n x x x x ,,,,321 ，且n n x x x x x <<<<<-1321 ，*N n ∈若π283222212321=++++++--n n n x x x x x x ，则=θ ． 【答案】9π【来源】18届奉贤二模12 【难度】函数、压轴题3.已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=【答案】-2【来源】18届虹口二模5 【难度】函数、基础题4.若函数()f x =是偶函数，则该函数的定义域是 ． 【答案】[2,2]- 【来源】18届黄浦二模3 【难度】函数、基础题5.已知函数)1lg()(2ax x x f ++=的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_________．【答案】]1,1[-【来源】18届长嘉二模10 【难度】函数、中档题6.若函数1()21f x x m =-+是奇函数，则实数m =________.【答案】12【来源】18届普陀二模2 【难度】函数、基础题7.若函数()f x =()g x ，则函数()g x 的零点为________.【答案】x =【来源】18届普陀二模3 【难度】函数、基础题8.已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数 2()2g x x x m =-+. 如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f xg x ≤，则实数m 的取值范围是 .【答案】5m ≥- 【来源】18届青浦二模10 【难度】函数、中档题9.若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是 ．【答案】114⎛⎫⎪⎝⎭，【来源】18届徐汇二模11 【难度】函数、中档题10.设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()log (1)f x x =+，则函数()f x 在[1,2]上的解析式是 【答案】2()log (3)f x x =- 【来源】18届崇明二模9 【难度】函数、中档题4.指数函数、对数函数1.方程33log (325)log (41)0x x ⋅+-+=的解x = ． 【答案】2【来源】18届黄浦二模6 【难度】对数函数、基础题2.[]x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是【答案】12x =或1x =- 【来源】18届虹口二模11 【难度】指数函数、中档题3.若实数x 、y 满足112244+++=+y x yx，则y x S 22+=的取值范围是____________．【答案】]4,2(【来源】18届长嘉二模12 【难度】指数函数、压轴题4.函数()lg(32)x xf x =-的定义域为_____________． 【答案】(0,)+∞ 【来源】18届徐汇二模3 【难度】对数函数、基础题5.定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -=【答案】2【来源】18届松江二模4 【难度】指数函数、基础题6.若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围 【答案】()[)0,12,+∞【来源】18届松江二模10 【难度】指数函数、中档题7.函数lg 1y x =-的零点是 ． 【答案】10x = 【来源】18届杨浦二模1 【难度】对数函数、基础题8.函数lg y x =的反函数是【答案】1()10xf x -=【来源】18届金山二模2 【难度】对数函数、基础题5. 三角函数1.已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为AB ∠∠，，C ∠所对的边．若222b c a +-=，则A ∠= ．【答案】4π或045 【来源】18届奉贤二模5 【难度】三角函数、基础题2.已知ABC ∆的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若2222sin a b c bc A =+-，则内角A 的大小是 ． 【答案】4π【来源】18届黄浦二模4 【难度】三角函数、基础题3.若1sin 3α=，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________．【答案】13【来源】18届青浦二模3 【难度】三角函数、基础题4.在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222()tan b c a A bc +-=，则角A 的大小为________.【答案】6π 【来源】18届普陀二模5 【难度】三角函数、基础题5..函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 . 【答案】4π 【来源】18届宝山二模4 【难度】三角函数、基础题6.已知22s 1(,,0)cos 1a a in M a a a a θθθ-+=∈≠-+R ，则M 的取值范围是 ．【答案】⎣⎦【来源】18届青浦二模12 【难度】三角函数、压轴题7. 函数3sin(2)3y x π=+的最小正周期T =【答案】π【来源】18届金山二模1 【难度】三角函数、基础题8.若53sin )cos(cos )sin(=---x y x x y x ，则y 2tan 的值为 【答案】2424.77-或 【来源】18届杨浦二模9 【难度】三角函数、中档题9.在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，2a =，2sin sin A C =． 若B 为钝角，412cos -=C ，则ABC ∆的面积为 ．【来源】18届杨浦二模11 【难度】三角函数、中档题 10. 若2018100922sin(2cos )(3cos cos )(1cos cos )αββαβα--≥---+，则sin()2βα+=【答案】-1或1【来源】18届金山二模12 【难度】三角函数、压轴题题6. 数列1.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q = 【答案】1或12-【来源】18届虹口二模7 【难度】数列、基础题2.已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n nna a n k a +-=-=-，若1224,51,0k a a a ===，则k = ．【答案】50【来源】18届黄浦二模11 【难度】数列、中档题3.设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠），若m 是等比数列{}n a （*N n ∈）的公比，且2462018()7f a a a a =，则22221232018()()()()f a f a f a f a ++++的值为_________.【答案】1990-【来源】18届普陀二模9 【难度】数列、中档题4.在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S = ． 【答案】33【来源】18届青浦二模5 【难度】数列、基础题7. 向量1.如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，则24OP OP ⋅的值为 .【答案】-4 【来源】18届宝山二模11 【难度】向量、中档题2.已知向量a 在向量b 方向上的投影为2-，且3b =，则a b ⋅= ．(结果用数值表示) 【答案】-6 【来源】18届黄浦二模5 【难度】向量、基础题3.在△ABC 中，M 是BC 的中点，︒=∠120A ，21-=⋅AC AB ，则线段AM 长的最小值为____________． 【答案】21 【来源】18届长嘉二模114.已知曲线29C y x =--：，直线2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是 ．11、 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【来源】18届青浦二模11 【难度】向量、中档题5.已知向量a 、b 的夹角为60°，||1a =，||2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为 【答案】3【来源】18届松江二模7 【难度】向量、基础题6.点1F ，2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右两焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足：2122MNMF MF =⋅，则122MF MF +的最大值为__________.【答案】6【来源】18届普陀二模12 【难度】向量、压轴题7.已知两个不同向量(1,)OA m =，(1,2)OB m =-，若OA AB ⊥，则实数m =____________． 【答案】1【来源】18届青浦二模48.已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++，定义点集{|}||||FP FM FQ FMA F FP FQ ⋅⋅==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的最小值为 ． 【答案】34【来源】18届杨浦二模12 【难度】向量、压轴题9.已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足||a =、||b =，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为 . 【答案】815【来源】18届徐汇二模12 【难度】向量、压轴题10. 在平面四边形ABCD 中，已知1AB =，4BC =，2CD =，3DA =，则AC BD ⋅的值为 【答案】10【来源】18届崇明二模12 【难度】向量、压轴题8. 解析几何1.设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 . 【答案】24y x = 【来源】18届宝山二模2【难度】解析几何、基础题2.抛物线2y x =的焦点坐标是 ．【答案】（0，14） 【来源】18届奉贤二模3 【难度】解析几何、基础题3.椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为【答案】2mn【来源】18届虹口二模10 【难度】解析几何、中档题4.角的始边是x 轴正半轴，顶点是曲线2522=+y x 的中心，角的终边与曲线2522=+y x 的交点A 的横坐标是3-，角的终边与曲线2522=+y x 的交点是B ，则过B 点的曲线2522=+y x 的切线方程是 ．（用一般式表示）11、 【答案】7241250x y ±+= 【来源】18届奉贤二模11 【难度】解析几何、压轴题5.直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 【答案】2 【来源】18届虹口二模2 【难度】解析几何、基础题ααα26.已知平面直角坐标系xOy 中动点),(y x P 到定点)0,1(的距离等于P 到定直线1-=x 的距离，则点P 的轨迹方程为______________． 【答案】x y 42= 【来源】18届长嘉二模4 【难度】解析几何、基础题7. 抛物线212x y =的准线方程为_______. 【答案】3y =- 【来源】18届普陀二模1 【难度】解析几何、基础题8.双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a =【答案】2a = 【来源】18届松江二模1 【难度】解析几何、基础题9.已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 . 【答案】2220x y x y +--= 【来源】18届徐汇二模10 【难度】解析几何、中档题10.已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a = . 【答案】1【来源】18届徐汇二模4 【难度】解析几何、基础题11.若双曲线222161(0)3x y p p-=>的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p = ．【答案】4【来源】18届杨浦二模8 【难度】解析几何、中档题12.平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=，如果这三条直线将平面化分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A = 【答案】{2,1,0}-- 【来源】18届金山二模10 【难度】解析几何、中档题13.已知双曲线22:198x y C -=，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得190F PQ ∠=︒，则1F PQ ∆的内切圆的半径r = 【答案】2【来源】18届金山二模11 【难度】解析几何、中档题14.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为 （结果保留π） 【答案】12π【来源】18届崇明二模6 【难度】解析几何、基础题15. 已知椭圆2221x y a +=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若123F F FF =，则a =【来源】18届崇明二模8 【难度】解析几何、中档题9. 复数1.设z 是复数，()a z 表示满足1nz =时的最小正整数n ，i 是虚数单位，则⎪⎭⎫⎝⎛-+i i a 11=______． 【答案】4【来源】18届奉贤二模7 【难度】复数、基础题2.已知α是实系数一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且||2α≤，则实数m 的取值范围是 ．【答案】3(4- 【来源】18届黄浦二模8 【难度】复数、中档题3.已知复数z 满足i 342+=z （i 为虚数单位），则=||z ____________． 【答案】5【来源】18届长嘉二模3 【难度】复数、基础题4.若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 【答案】512i -【来源】18届青浦二模2 【难度】复数、基础题5.设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = 【答案】-1【来源】18届松江二模3 【难度】复数、基础题6.若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是 ． 【答案】2【来源】18届杨浦二模6 【难度】复数、中档题7.i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 【答案】-2【来源】18届崇明二模3 【难度】复数、基础题10. 立体几何1.已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 . 【答案】4π 【来源】18届宝山 二模5 【难度】立体几何、基础题2.已知半径为2R 和R 的两个球，则大球和小球的体积比为 ．【答案】8或1:8 【来源】18届奉贤 二模2 【难度】立体几何、基础题3.长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++= 4.2【答案】2【来源】18届虹口 二模4 【难度】立体几何、中档题4.如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于【答案】3π 【来源】18届虹口 二模9 【难度】立体几何、中档题5.将圆心角为32π，面积为π3的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___________．【答案】π322【来源】18届长嘉二模7【难度】立体几何、中档题6.三棱锥ABCP-及其三视图中的主视图和左视图如下图所示，则棱PB的长为________．【答案】24【来源】18届长嘉二模8【难度】立体几何、中档题7.如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________．【答案】4π【来源】18届青浦二模7【难度】立体几何、中档题8.若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．【答案】16π【来源】18届徐汇二模5【难度】立体几何、基础题9.若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .【答案】15π【来源】18届徐汇二模8【难度】立体几何、中档题10.若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为【答案】16π【来源】18届松江二模8 【难度】立体几何、中档题11.若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形， 则该圆锥的体积是 ．【来源】18届杨浦二模7 【难度】立体几何、中档题12.记球1O 和2O 的半径、体积分别为1r 、1V 和2r 、2V ，若12827V V =，则12r r = 【答案】23【来源】18届金山二模6 【难度】立体几何、中档题11. 排列组合、概率统计、二项式定理1.某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，74.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是 (米）.【答案】1.72 【来源】18届宝山二模3 【难度】统计、基础题2.若B A 、满足()()()525421===AB P B P A P ，，，则()()P AB P AB -= . 【答案】310【来源】18届宝山二模9 【难度】概率、中档题3.在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示） 【答案】1688 【来源】18届宝山二模7 【难度】排列组合、中档题4.从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为 【答案】12【来源】18届虹口二模6 【难度】概率、中档题5.若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于 【答案】20 【来源】18届虹口二模8 【难度】二项式、中档题6.已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是人．【答案】140【来源】18届黄浦二模9【难度】概率统计、中档题7.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是．(结果用数值表示) 10．【答案】5 16【来源】18届黄浦二模10 【难度】概率统计、中档题8.nxx⎪⎭⎫⎝⎛+1的展开式中的第3项为常数项，则正整数=n___________．【答案】4【来源】18届长嘉二模2【难度】二项式、基础题9.某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．则顾客抽奖中三等奖的概率为____________．9．【答案】167【难度】概率统计、中档题10.代数式2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ．（用数字作答） 【答案】3【来源】18届奉贤二模10 【难度】二项式、中档题11.书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为_______（结果用数值表示）. 【答案】24【来源】18届普陀二模4 【难度】二项式、基础题12.若321()nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_________.5 【答案】5【来源】18届普陀二模6 【难度】二项式、基础题13.某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为120和121，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）.【答案】221【难度】概率统计、中档题14.设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对1234(,,,)x x x x 的组数为【答案】45【来源】18届松江二模11 【难度】排列组合、压轴题15.设*n N ∈，n a 为(4)(1)n nx x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R1222[][][]555n n n na a ab =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b c -++的最小值为【答案】25【来源】18届松江二模12 【难度】二项式、压轴题16.在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是 .【答案】20【来源】18届徐汇二模2 【难度】二项式、基础题 17.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为______________．8、30【答案】30【来源】18届青浦二模8 【难度】二项式、中档题18.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78、34、512，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A +的概率是 ．【答案】151192【来源】18届青浦二模9 【难度】概率统计、中档题19.将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--，向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是 . 【答案】16【来源】18届徐汇二模9 【难度】概率统计、中档题20.若的二项展开式中项的系数是，则n = ． 【答案】4【来源】18届杨浦二模3 【难度】概率统计、基础题21.掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 ．()13nx +2x 542【来源】18届杨浦二模4 【难度】概率统计、基础题22.若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是【答案】11322535C C C ⋅=【来源】18届金山二模8 【难度】概率统计、中档题23.(12)nx +的二项展开式中，含3x 项的系数等于含x 项的系数的8倍， 则正整数n = 【答案】5【来源】18届金山二模9 【难度】二项式、中档题24.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 石（精确到小数点后一位数字） 【答案】169.1【来源】18届崇明二模5 【难度】统计、基础题25. 若二项式7(2)ax x+的展开式中一次项的系数是70-，则23lim()n n a a a a →∞+++⋅⋅⋅+=3【来源】18届崇明二模7 【难度】二项式、基础题26.某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在 相邻车位的概率是【答案】47【来源】18届崇明二模10 【难度】概率、中档题12. 行列式、矩阵、程序框图1.若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组有唯一一组解，则实数m的取值范围是 【答案】0D ≠，即2m ≠±【来源】18届金山二模7 【难度】矩阵、中档题2.三阶行列式13124765x -中元素5-的代数余子式为()x f ，则方程()0f x =的解为____． 【答案】2log 3x = 【来源】18届奉贤二模6 【难度】矩阵、中档题3.若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 【答案】 40【来源】18届松江二模2 【难度】矩阵、基础题4.函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．【答案】π【来源】18届徐汇二模7 【难度】矩阵、基础题5.若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210221c c 的解为⎩⎨⎧==31y x ，则=+21c c . 【答案】9【来源】18届宝山二模6 【难度】矩阵、基础题6.已知函数2sin cos 2()1cos x x f x x-=，则函数()f x 的单调递增区间是 ． 【答案】3[,],Z 88k k k ππππ-+∈【来源】18届黄浦二模7 【难度】矩阵、基础题7.已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=【答案】5【来源】18届崇明二模2【难度】矩阵、基础题8.若2log 1042x -=-，则x =【答案】4【来源】18届崇明二模4 【难度】行列式、基础题13. 数学归纳法、极限1.已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则limnn nS n a →∞=⋅【答案】12【来源】18届松江二模6 【难度】极限、基础题2.计算：=+∞→142limn nn ．【答案】12【来源】18届杨浦二模2 【难度】极限、基础题14. 参数方程、线性规划1.已知实数,x y 满足20102x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2u x y =+的最大值是 ．【答案】4 【来源】18届奉贤二模4 【难度】线性规划、中档题2.设变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥,043,04,1y x y x x 则目标函数y x z -=3的最大值为_________．【答案】4 【来源】18届长嘉二模6 【难度】线性规划、基础题3.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C的参数方程为cos 1sin 2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则直线l 与椭圆C 的公共点坐标为__________.【答案】(24-【来源】18届普陀二模8 【难度】参数方程、中档题4.设变量x 、y 满足条件0220x y x y y x y m-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数m 的取值范围是__________. 【答案】4(0,1][,)3+∞ 【来源】18届普陀二模10 【难度】参数方程、中档题5.若,x y 满足2,10,20,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为____________．【答案】12-【来源】18届青浦二模6 【难度】参数方程、中档题6.已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，． 则目标函数z x y =-的最小值为___________．【答案】-1【来源】18届徐汇二模6 【难度】线性规划、基础题7.若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为 ．【答案】3【来源】18届杨浦二模5 【难度】线性规划、基础题8.直线l 的参数方程为112x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为【答案】()2,1- 【来源】18届松江二模5 【难度】线性规划、基础题9.若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||14x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-，则常数k = 【答案】5k =【来源】18届松江二模9 【难度】线性规划、中档题10.已知,x y ∈R，且满足00y y y +≤-≥≥⎪⎩，若存在θ∈R 使得cos sin 10x y θθ++=成立，则点(,)P x y 构成的区域面积为【答案】6π【来源】18届崇明二模11 【难度】线性规划、中档题15.其它1.函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于 【答案】16【来源】18届虹口二模12 【难度】其它、压轴题 二、选择题1.命题、不等式)(C 充要条件． )(D 既不充分也不必要条件．【答案】 B 【来源】18届宝山二模13 【难度】命题与条件、基础题2.在给出的下列命题中，是假命题的是 答( )． (A )设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈， 则点A B C 、、必共线(B )若向量a b 和是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的(C )已知平面向量OA OB OC 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>|=|，且0OA OB OC ++=， 则ABC ∆是等边三角形(D )在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d 、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直【答案】D【来源】18届黄浦二模16 【难度】命题与条件、压轴题3.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。

2018年一模汇编——数列专题一、知识梳理【知识点1】等差、等比数列的相关公式的应用通项n a前n 项和n S等差()11n a a n d =+- 1n a dn a d =+-()12n n n a a S +=；2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 等比()110n n a a q q -=≠⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(111q q q a q na S n n【例1】设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，若{}n a 和{n S }都是等差数列，且公差相等，则=+d a 1 ． 【答案】43. 【解析】由于等差数列的前n 项和是n S 是关于n 一元二次表达式，且等差数列都是关于n 的一元一次表达式，那么n S 也是关于n 的一元一次表达式，所以n S 必然是个完全平方式。

根据以上分析，我们可以得到等式()111100241022d a a a d d d d ⎧⎧-==⎪⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎨=⎩⎪⎪==⎪⎪⎩⎩或舍，所以134a d +=. 【点评】对于等差、等比数列来说，只需要求出首项1a 与公差d 或者公比q 就可以直接根据公式求出通项n a 和前n 项和n S .【例2】公差为d ，各项均为正整数的等差数列{}n a 中，若11,65n a a ==，则n d +的最小值等于 ． 【答案】17.【解析】()()111165n a a n d n d =+-=+-=，所以()164n d -=，由基本不等式22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可知，()2112n d n d -+⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，即182n d -+≥，所以17n d +≥. 【点评】等差数列、等比数列的“基本元”是首项、公差或公比，当觉得不知如何用性质求解时，可以把问题转化成“基本元”解决..【知识点2】等差、等比数列的证明定义法等差、等比中项通项与求和的性质等差1n n a a --为定值 112n n n a a a +-+=n a 为一元一次 n S 为没有常数的一元二次 等比 1nn a a -为定值 211n n na a a +-⋅= n a 为指数函数类似形式【例1】数列}{n a 满足：)(22,111N n a a a a n nn ∈+==+. （1）求证：数列}1{na 是等差数列； （2）求}{n a 的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）12+=n a n . 【解析】注意是到证明数列}1{n a 是等差数列，则要证明n n a a 111-+是常数.而nn n a a a 2211+=+，所以21111=-+n n a a .即数列}1{n a 是等差数列.又111=a ，则21)1(2111+=-+=n n a n ，所以12+=n a n . 【点评】对于数列的证明题，尤其是证明一个新的数列为等差或者等比，一般采用定义法，偶尔采用等差中项或者等比中项.【知识点3】等差、等比数列的基本性质以及两者间的类比推理等差数列等比数列性质一：),,,(N q p n m q p n m ∈+=+ q p n m a a a a +=+ q p n m a a a a ⋅=⋅ 性质二：每n 项捆绑（等差为前n 项和，等比为前n 项积）n S 、2n n S S -、32n n S S -成等差n T 、2n n T T 、32nnT T 成等比 性质三：等差（比）前n 项和n S （积n T ）的最值1100()00n n n n a a a a ++≥≤⎧⎧⎨⎨≥≤⎩⎩ )11(1111⎩⎨⎧>≤⎩⎨⎧<≥++n n n n a a a a【例1】设等差数列{}n a 满足：22223535317cos cos sin sin cos2sin()a a a a a a a --=+，42k a π≠，k Z ∈且公差(1,0)d ∈-，若当且仅当8n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ）A. 错误！未找到引用源。

上海市静安区2018届高三二模数学试卷2018.05一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,3,5,7,9}A =，{0,1,2,3,4,5}B =，则图中阴影部 分集合用列举法表示的结果是2. 若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z =3. 函数lg 2y x =+（）的定义域为 4. 在从4个字母a 、b 、c 、d 中任意选出2个不同字母的试验中，其中含有字母d 事件的概率是5. 下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则h =6. 如上右图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB uuu r 的坐标为(4,3,2)，则1BD uuu r的坐标为7. 方程3cos2x =-的解集为 8. 已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上 一点(,4)M a -(0)a >到焦点F 的距离为5，则该抛物线的 标准方程为9. 秦九韶是我国南宋时期数学家，他在所着的《数书九章》 中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算 法，右边的流程图是秦九韶算法的一个实例. 若输入n 、x 的值分别为4、2，则输出q 的值为（在算法语言中用“*”表示乘法运算符号，例如5210*=） 10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S （n ∈*N ），且63198S S =-，42158a a =--，则3a 的值为11. 在直角三角形ABC 中，2A π∠=，3AB =，4AC =，E 为三角形ABC 内一点，且22AE =，若AE AB AC λμ=+uu u r uu u r uuu r ，则34λμ+的最大值等于12. 已知集合2{(,)|()20}A x y x y x y =+++-≤，222{(,)|(2)(1)}2aB x y x a y a a =-+--≤-，若A B ≠∅I ，则实数a 取值范围为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 能反映一组数据的离散程度的是（ ）A. 众数B. 平均数C. 中位数D. 方差 14. 若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根α，β，且||3αβ-=，那么实数m的值是（ ）A. 52B. 1C. 1-D. 52- 15. 函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的部分 图像如图所示，则()3f π的值为（ ）A.22 B. 3 C. 6 D. 0 16. 已知函数3()10f x x x =++，实数1x 、2x 、3x 满足120x x +<，230x x +<，310x x +<，则123()()()f x f x f x ++的值（ ）A. 一定大于30B. 一定小于30C. 等于30D. 大于30、小于30都有可能 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 某峡谷中一种昆虫的密度是时间t 的连续函数（即函数图像不间断）. 昆虫密度C 是指每平方米的昆虫数量，已知函数21000(cos(4)2)990,816()2,081624t t C t m t t ππ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪≤<<≤⎩或， 这里的t 是从午夜开始的小时数，m 是实常数，(8)m C =.（1）求m 的值；（2）求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻.18. 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，两焦点分别为1F 和2F ，椭圆Γ上一点到1F 和2F 的距离之和为12. 圆22:24210()k A x y kx y k ++--=∈R 的圆心为k A . （1）求△12k A F F 的面积；（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆. 问：是否存在实数k 使得圆k A 包围椭圆Γ？请说明理由.19. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，2AC =，1BD =，2OP =.（1）求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值. 20. 已知数列{}n a 中，1a a =1(,)2a R a ∈≠-，1112(1)n n a a n n n -=+++，2n ≥，*n ∈N . 又数列{}n b 满足：11n n b a n =++，*n ∈N . （1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若数列{}n a 是单调递增数列，求实数a 的取值范围；（3）若数列{}n b 的各项皆为正数，12log n n c b =，设n T 是数列{}n c 的前n 和，问：是否存在整数a ，使得数列{}n T 是单调递减数列？若存在，求出整数a ；若不存在，请说明理由.21. 设函数()|27|1f x x ax =-++（a 为实数）. （1）若1a =-，解不等式()0f x ≥；（2）若当01xx>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围； （3）设21()1x g x a x +=--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围.参考答案一. 填空题1. {0,2,4}2. 23. [1,)-+∞4. 125. 46. (4,3,2)--7. 5{|,}12x x k k ππ=±∈Z 8. 24x y =-9. 50 10. 9411. 1 12. 19[14+- 二. 选择题13. D 14. A 15. C 16. B 三. 解答题17. 解（1）2(8)=1000(cos0+2)9908010m C =-=； ……4分 （2）当cos((8))12t π⋅-=-时，C 达到最小值，得(8)(2+1),2t k k Z ππ⋅-=∈，……8分又[8,16]t ∈，解得10t =或14.所以在10：00或者14：00时，昆虫密度达到最小值10. ……14分18. 解：（1）设椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，……1分由已知有212,2a a b ==， ……2分 所以椭圆方程为：221369x y +=， …… 3分圆心(,2)k A k - ……5分所以，△12k A F F 的面积121211222k K A F F A S F F y =⋅=⨯= ……6分 （2）当0k ≥时，将椭圆椭圆顶点（6，0）代入圆方程得：22601202115120k k ++--=+>，可知椭圆顶点（6，0）在圆外；……10分当0k <时，22(6)01202115120k k -+---=->，可知椭圆顶点（-6，0）在圆外； 所以，不论k 取何值，圆k A 都不可能包围椭圆Γ．……14分19. 解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点， 直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系． ……1分则(1,0,0)A ,1(0,,0)2B ,(0,0,2)P ,(1,0,0)C -,1(,0,1)2M -．所以(1,0,2)AP =-u u u r ，11(,,1)22BM =--u u u u r ，52AP BM ⋅=u u u r u u u u r ，||AP =u u u r，||BM =u u u u r ． ……3分则30cos ,||||56AP BM AP BM AP BM ⋅<>===⨯u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r ． 故异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为306……6分 （2）1(1,,0)2AB =-u u u r ，11(,,1)22BM =--u u u u r ．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r ，得10211022x y x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =r． ……9分又平面PAC 的一个法向量为1(0,,0)2OB =u u u r ， ……10分 所以n r 2OB ⋅=u u u r ，||29n =r ，1||2OB =u u u r ．则4cos ,2929||||29n OB n OB n OB ⋅<>===r u u u rr u u u r r u u ur . 故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为42929. ……14分20. 解：（1）1111111111221(1)111n n n a a a n n n n n n n n n --+=+++=++-++++++ 112122()n n a a n n--=+=+ ……2分 即12n n b b -= ……3分又111122b a a =+=+，由12a ≠-，则10b ≠所以{}n b 是以112b a =+为首项，2为公比的等比数列． ……4分（2）11()22n n b a -=+⋅，所以111221n n a a n -⎛⎫=+⋅- ⎪+⎝⎭ ……6分若{}n a 是单调递增数列，则对于*n N ∈，10n n a a +->恒成立 ……7分1111=2212n a n n -⎛⎫+⋅+- ⎪++⎝⎭111=22(1)(2)n a n n -⎛⎫+⋅+ ⎪++⎝⎭ ……8分由111202(1)(2)n a n n -⎛⎫+⋅+> ⎪++⎝⎭，得11122(1)(2)n a n n -+>-++对于*n N ∈恒成立， ∵112(1)(2)n n n --++递增，且1102(1)(2)n n n --<++，11lim[]02(1)(2)n n n n -→∞-=++， 所以102a +≥，又12a ≠-，则12a >-． ……10分 （3）因为数列{}nb 的各项皆为正数，所以102a +>，则12a >-．112211log [()2]1log ()22n n c a n a -=+=-+-+， ……13分若数列{}n T 是单调递减数列，则21T T >，即2221112log ()1log (),log ()1222a a a -+->-++<-，即1122a +<，所以102a -<<．不存在整数a ，使得数列{}n T 是单调递减数列． ……16分21. 解：（1）由()0f x ≥得271x x -≥-， ……1分 解不等式得8|63x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 ……4分 （利用图像求解也可） （2）由01xx>-解得01x <<．由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥， 当01x <<时，该不等式即为(2)70a x -+≥； ……5分 当=2a 时，符合题设条件； ……6分 下面讨论2a ≠的情形，当2a >时，符合题设要求； ……7分 当2a <时，72x a ≤-，由题意得712a≥-，解得25a >≥-； 综上讨论，得实数a 的取值范围为{}|5a a ≥- ……10分 （3）由21()=21(1)1x g x x a x a x +=-++--， ……12分代入()()f x g x ≤得|27|2|1|1x x a ---+≤，令()|27|2|1|1h x x x =---+，则6,17()410,1274,2x h x x x x ⎧⎪≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 74()()(1)62h h x h -=≤≤=，∴min ()4h x =- ……15分若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，则min (),4h x a a ≤≥-即． ……18分。

2018年上海市徐汇区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则∁U A=．2．（4分）在的二项展开式中，常数项是．3．（4分）函数f（x）=lg（3x﹣2x）的定义域为．4．（4分）已知抛物线x2=ay的准线方程是，则a=．5．（4分）若一个球的体积为，则该球的表面积为．6．（4分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为．7．（5分）函数f（x）=的最小正周期是．8．（5分）若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于．9．（5分）将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m，记第二颗骰子出现的点数是n，向量，向量，则向量的概率是．10．（5分）已知直线l1：mx﹣y=0，l2：x+my﹣m﹣2=0．当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是．11．（5分）若函数的最大值和最小值分别为M、m，则函数g（x）=（M+m）x+sin[（M+m）x﹣1]图象的一个对称中心是．12．（5分）已知向量的夹角为锐角，且满足|、|，若对任意的（x，y）∈，都有|x+y|≤1成立，则的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）在四边形ABCD中，=，且•=0，则四边形ABCD（）A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形14．（5分）若无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，公比为，且，（n∈N*），则复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限15．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）如图，圆C分别与x轴正半轴，y轴正半轴相切于点A，B，过劣弧上一点T作圆C的切线，分别交x轴正半轴，y轴正半轴于点M，N，若点Q （2，1）是切线上一点，则△MON周长的最小值为（）A．10B．8C．D．12三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=4，，点M 为AB的中点，点N为BC的中点．（1）求长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积；（2）求异面直线A1M与B1N所成角的大小（用反三角函数表示）．18．（14分）如图：某快递小哥从A地出发，沿小路AB→BC以平均时速20公里/小时，送快件到C处，已知BD=10（公里），∠DCB=45°，∠CDB=30°，△ABD 是等腰三角形，∠ABD=120°．（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD→DC追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C处？19．（14分）已知函数f（x）=x2﹣3tx+1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，（1）当t=2时，求函数y=f（x）的反函数；（2）如果函数y=f（x）在其定义域内有反函数，求实数t的取值范围．20．（16分）如图，A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上与A，B均不重合的相异两点，设直线AM，BN，AN的斜率分别是k1，k2，k3．（1）求k2•k3的值；（2）若直线MN过点，求证：；（3）设直线MN与x轴的交点为（t，0）（t为常数且t≠0），试探究直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．21．（18分）已知数列{a n}的前n项和A n满足，且a1=1，数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*），b3=2，其前9项和为36．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）当n为奇数时，将a n放在b n的前面一项的位置上；当n为偶数时，将b n 放在a n前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，…，求该数列的前n项和S n；（3）设c n=，对于任意给定的正整数k（k≥2），是否存在正整数l，m（k ＜l＜m），使得c k，c l，c m成等差数列？若存在，求出l，m（用k表示）；若不存在，请说明理由．2018年上海市徐汇区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则∁U A=[﹣1，3] ．【考点】1D：并集及其运算．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】由题意求出集合A，然后直接写出它的补集即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，所以∁U A={x|﹣1≤x≤3}，即∁U A=[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．【点评】本题考查集合的基本运算，补集的求法，考查计算能力．2．（4分）在的二项展开式中，常数项是20．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；5P：二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由．由6﹣2r=0，得r=3．∴常数项是．故答案为：20．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．3．（4分）函数f（x）=lg（3x﹣2x）的定义域为（0，+∞）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】35：转化思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：函数f（x）=lg（3x﹣2x），∴3x﹣2x＞0，∴3x＞2x，∴＞1，∴f（x）的定义域为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，是基础题．4．（4分）已知抛物线x2=ay的准线方程是，则a=1．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，由抛物线的标准方程求出其准线方程，结合题意可得﹣=﹣，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为：x2=ay，则其准线方程为y=﹣，又由抛物线x2=ay的准线方程是，则有﹣=﹣，解可得a=1；故答案为：1【点评】本题考查抛物线的标准方程以及准线方程的求法，5．（4分）若一个球的体积为，则该球的表面积为16π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由球的体积，由球的体积公式能求出这个球的半径，再由球的表面积的计算公式能求出结果．【解答】解：一个球的体积V=π×r3=，设这个球的半径r=2，则4πr2=16π，故答案为：16π．【点评】本题考查球的体积和表面积的应用，解题时要认真审题，仔细解答．6．（4分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域，化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过点A（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）函数f（x）=的最小正周期是π．【考点】H1：三角函数的周期性．【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据行列式的运算化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．【解答】解：函数f（x）==（sinx+cosx）2+1=2+sin2x，故它的最小正周期为=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查行列式的运算，正弦函数的周期性，属于基础题．8．（5分）若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于15π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5Q：立体几何．【分析】首先根据圆锥的体积求出圆锥的高度，然后求出母线长度，根据侧面积公式解答．【解答】解：由已知得到圆锥的体积12π=，解得h=4，所以圆锥的母线长度为=5，所以圆锥的侧面积为=15π；故答案为：15π．【点评】本题考查了圆锥的体积和侧面积公式的运用；属于基础题．9．（5分）将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m，记第二颗骰子出现的点数是n，向量，向量，则向量的概率是．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】易得总的基本事件有36种，由向量垂直可得m﹣n=0，共6种，由概率公式可得．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次出现的点数情况共6×6=36种，由，向量，由于向量，所以m﹣2+2﹣n=0，即m﹣n=0，上述满足m﹣n=0的有（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）共6种，故所求概率为P==故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率公式和向量垂直的条件，属基础题．10．（5分）已知直线l1：mx﹣y=0，l2：x+my﹣m﹣2=0．当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是（x﹣1）2+（y﹣）2=．【考点】J2：圆的一般方程．【专题】35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】联立两条直线方程，消去m，即得到l1和l2的交点P的方程，判断对m ∈R，l1与l2的交点P在一个定圆上．【解答】解：如图所示：l1：mx﹣y=0，过定点O（0，0），k=m；l2：x+my﹣m﹣2=0，m（y﹣1）+x﹣2=0，过定点A（2，1），k=﹣，∵k•k=﹣1，∴直线与直线互相垂直，故有PO⊥PA，∴直线与直线的交点P必在以O（0，0），A（2，1）为一条直径端点的圆上，且圆心为AO线段的中点C（1，），半径r=OA==，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=．【点评】本题通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力及直线系的理解，曲线轨迹方程的求法，考查计算能力，转化思想的应用．11．（5分）若函数的最大值和最小值分别为M、m，则函数g（x）=（M+m）x+sin[（M+m）x﹣1]图象的一个对称中心是．【考点】H2：正弦函数的图象．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；57：三角函数的图像与性质．【分析】对函数f（x）进行化简，结合奇偶性考虑最值，可求出M+m，从而可得函数g（x）的对称中心；【解答】解：函数==2+令h（x）=由h（﹣x）==g（x），∴h（x）是奇函数，∴h（x）的最大值h（x）mxx，最小值h（x）min即h（x）mxx+h（x）min=0那么：函数f（x）的最大值M=2+h（x）mxx，最小值为m=2+h（x）min∴：M+m=2+h（x）mxx+2+h（x）min=4可得：函数g（x）=（M+m）x+sin[（M+m）x﹣1]=4x+sin（4x﹣1）．令4x﹣1=kπ，k∈Z．可得x=，当k=0时，可得x=，此时g（）=1，故得一个对称中心为．故答案为：．【点评】本题考查了函数的最值问题和奇偶性的应用．将函数化简，转化为奇函数的最值之和是关键．12．（5分）已知向量的夹角为锐角，且满足|、|，若对任意的（x，y）∈，都有|x+y|≤1成立，则的最小值为．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5A：平面向量及应用．【分析】设单位向量的夹角为锐角θ，由||=1，xy＞0，得（2x+ycosθ）2+（ysinθ）2=，由|x+y|≤1，得[（2x+ycosθ）2+（ysinθ）2][（）2]≥（x+y）2=1，令t=cosθ，得≥，求不等式解集可得结果．【解答】解：设单位向量的夹角为锐角θ，由||=1，xy＞0，得=1，∴，∴（2x+ycosθ）2+（ysinθ）2=，由|x+y|≤1，利用柯西不等式得：[（2x+ycosθ）2+（ysinθ）2][（）2]≥（x+y）2=1，令t=cosθ，得≥，化简，得64t2﹣60t+11≤0，解得，∴=，∴的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量数量积与不等式的角法与应用问题，考查柯西不等式等基础知识，考查函数与方程思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）在四边形ABCD中，=，且•=0，则四边形ABCD（）A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形【考点】91：向量的概念与向量的模；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】11：计算题．【分析】由，可得四边形ABCD的对边AB∥CD且AB=CD，四边形ABCD 为平行四边形=0，可得平行四边形的对角线AC⊥BD，从而可得四边形ABCD为菱形【解答】解：∵=即一组对边平行且相等，•=0即对角线互相垂直；∴该四边形ABCD为菱形．故选：B．【点评】利用向量的知识进行判断是解决本题的关键，本题主要考查了由向量相等及向量垂直的知识进行判断四边形的知识14．（5分）若无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，公比为，且，（n∈N*），则复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】15：综合题；38：对应思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列；5N：数系的扩充和复数．【分析】由无穷递缩等比数列所有项和公式求得a，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z的坐标得答案．【解答】解：由题意，，即a=2．∴=，∴复数在复平面上对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查无穷递缩等比数列所有项和公式的应用，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．15．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据三角函数的诱导公式以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若C=90°，则A+B=90°，则B=90°﹣A，cosB+sinB=cos（90°﹣A）+sin（90°﹣A）=sinA+cosA，即必要性成立．若A=B=30°，满足cosA+sinA=cosB+sinB，但C=90°不成立，即充分性不成立，故“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的诱导公式是解决本题的关键．16．（5分）如图，圆C分别与x轴正半轴，y轴正半轴相切于点A，B，过劣弧上一点T作圆C的切线，分别交x轴正半轴，y轴正半轴于点M，N，若点Q （2，1）是切线上一点，则△MON周长的最小值为（）A．10B．8C．D．12【考点】J7：圆的切线方程．【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆．【分析】可设切线方程为+=1（a＞0，b＞0），代入点（2，1），求得周长关于a的式子：t=a+b+（t＞2），运用平方和二次方程的判别式大于等于0，解不等式可得周长的最小值．【解答】解：可设切线方程为+=1（a＞0，b＞0），由切线经过点（2，1），可得：+=1，可得b=，a＞2，则周长为t=a+b+（t＞2），即为（t﹣a﹣b）2=a2+b2，化为t2﹣2（a+b）t+2ab=0，即有t2﹣2（a+）t+2a（）=0，即（2﹣2t）a2+（2t+t2）a﹣2t2=0，△=（2t+t2）2+8t2（2﹣2t）≥0，化为t2﹣12t+20≥0，解得t≥10或t≤2（舍去），可得a=，b=时，△MON的周长取得最小值10．故选：A．【点评】本题考查直线方程的运用，考查最值的求法，注意运用转化思想和二次方程的判别式大于等于0，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=4，，点M 为AB的中点，点N为BC的中点．（1）求长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积；（2）求异面直线A1M与B1N所成角的大小（用反三角函数表示）．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）连AC、AC1，推导出C1C⊥BC，C1C⊥CD，从而C1C⊥平面ABCD，进而C1C⊥AC．由此能求出CC1．从而能求出长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1M与B1N 所成的角．【解答】解：（1）连AC、AC1．∵△ABC 是直角三角形，∴AC==2．∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴C1C⊥BC，C1C⊥CD，又DC∩BC=C，C1C⊥平面ABCD，∴C1C⊥AC．又在Rt△ACC1中，AC1=，AC=2，∴CC1=1，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6分∴长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积V=S矩形ABCD×CC1=AB×AD×CC1=2×4×1=8．（2）如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（4，0，1），M（4，1，0），B1（4，2，1），N（2，2，0），∴=（0，1，﹣1），=（﹣2，0，﹣1），10分则向量与所成角θ满足cosθ==．异面直线A1M与B1N 所成的角等于arccos．14分【点评】本题考查长方体的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查几何体的体积、空间角等基础知识，考查运算求解能力，考查统计与概率思想、函数与方程思想，是基础题．18．（14分）如图：某快递小哥从A地出发，沿小路AB→BC以平均时速20公里/小时，送快件到C处，已知BD=10（公里），∠DCB=45°，∠CDB=30°，△ABD 是等腰三角形，∠ABD=120°．（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD→DC追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C处？【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】（1）首先利用正弦定理求出结果．（2）直接利用正弦定理和余弦定理求出结果．【解答】解：（1）已知：AB=10 （公里），在△BCD中，由，得BC=5（公里）．于是，由于：＞50，快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处．（2）在△ABD中，）=300，得AD=10（公里），在△BCD中，∠CBD=105°，由：，得CD=5（1+）（公里），由：≈45.98＜51.21（分钟）知，汽车能先到达C 处．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用．19．（14分）已知函数f（x）=x2﹣3tx+1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，（1）当t=2时，求函数y=f（x）的反函数；（2）如果函数y=f（x）在其定义域内有反函数，求实数t的取值范围．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据反函数的定义即可求出，（2）分类讨论，即可求出t的范围．【解答】解：（1）当t=2，f（x）=x2﹣6x+1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，∴y=；（2）若，即t≤0，则y=f（x）在定义域上单调递增，所以具有反函数；若，即t≥10，则y=f（x）在定义域上单调递减，所以具有反函数；当3，即2≤t≤8时，由于区间[0，3]关于对称轴的对称区间是[3t﹣3，3t]，于是当或，即t∈[2，4）或t∈（6，8]时，函数在定义域上满足1﹣1对应关系，具有反函数．综上，t∈（﹣∞，0]∪[2，4）∪（6，8]∪[10，+∞）．【点评】本题考查了反函数的定义和函数解析函式的求法，考查了分类讨论的能力，属于中档题．20．（16分）如图，A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上与A，B均不重合的相异两点，设直线AM，BN，AN的斜率分别是k1，k2，k3．（1）求k2•k3的值；（2）若直线MN过点，求证：；（3）设直线MN与x轴的交点为（t，0）（t为常数且t≠0），试探究直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】31：数形结合；34：方程思想；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设N（x0，y0），由于A，B，由点N在椭圆C 上，可得+=1，于是=﹣2，利用斜率计算公式可得：k2•k3=•=，即可得出．（2）设直线MN的方程为：x=my+，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆方程联立得（m2+2）y2+my﹣=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．（3）由于直线MN 与x 轴的交点为（t，0），于是MN：x=my+t，与椭圆方程联立得（m2+2）y2+2mty+t2﹣2=0，直线AM：y=（x+），直线BN：y=（x﹣），两式相除，可知：=•=•=，把根与系数的关系代入化简即可得出．【解答】（1）解：设N（x0，y0），由于A，B，∵点N在椭圆C 上，∴+=1，于是=﹣2，∴k2•k3=•==﹣．（2）证明：设直线MN的方程为：x=my+，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（m2+2）y2+my﹣=0，于是y1+y2=﹣，y1y2=﹣，∴k1•k3=•====﹣．（3）解：由于直线MN 与x 轴的交点为（t，0），于是MN：x=my+t，联立直线MN：，可得：得（m2+2）y2+2mty+t2﹣2=0，于是：y1+y2=﹣，y1y2=．∵直线AM：y=（x+），直线BN：y=（x﹣），两式相除，可知：=•=•====•=．于是xt=2，所以x=，即直线与直线BN的交点Q落在定直线x=上．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（18分）已知数列{a n}的前n项和A n满足，且a1=1，数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*），b3=2，其前9项和为36．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）当n为奇数时，将a n放在b n的前面一项的位置上；当n为偶数时，将b n 放在a n前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，…，求该数列的前n项和S n；（3）设c n=，对于任意给定的正整数k（k≥2），是否存在正整数l，m（k ＜l＜m），使得c k，c l，c m成等差数列？若存在，求出l，m（用k表示）；若不存在，请说明理由．【考点】8E：数列的求和．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据定义求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论和分类讨论思想求出结果．（3）利用分类讨论思想和整除问题求出数列为等差数列．【解答】解：（1）因为，于是数列{}是首项为1，公差为的等差数列，所以，则：，当n≥2时，a n=A n﹣A n﹣1=n，又因为a1=1，所以a n=n，﹣2b n+1+b n=0，又因为b n+2于是数列{b n}是等差数列，设{b n}的前n 项和为B n，由于B9=9b5=36，则：b5=4，由于：b3=2，则：2d=b5﹣b3=2，解得：d=1．所以：b n=2+（n﹣3）=n﹣1；（2）当n为奇数时，将a n放在b n的前面一项的位置上；当n为偶数时，将b n放在a n前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，…，则：数列{a n}的前n项和．当n=2k时，=．当n=4k﹣3时，=k（2k﹣1）+（2k﹣3）（k﹣1）=4k2﹣6k+3．当n=4k﹣1时，S n=S4k﹣1=A2k﹣1+B2k=（2k﹣1）k+（2k﹣1）k=4k2﹣2k；进一步整理得：S n=．（3）由（1）可知：，若对于任意给定的正整数k（k≥2）存在正整数l，m（k＜l＜m），使得c k，c l，c m成等差数列．则：2c l=c m+c k，即：，解得：m==，即：．则对于任意的正整数k（k≥2）4k﹣2l﹣1能整除（2k﹣1）2，且4k﹣2l﹣1＞0．由于当k≥2时，2k﹣1中存在多个质数．所以：4k﹣2l﹣1只能取1和2k﹣1或（2k﹣1）2．若4k﹣2l﹣1=1时，则l=2k﹣1，m=4k2﹣5k+2．于是，m﹣l=4k2﹣7k+3=（4k﹣3）（k﹣1）＞0，符合k＜l＜m．若4k﹣2l﹣1=2k﹣1时，k=l出现矛盾，则舍去．若4k﹣2l﹣1=（2k﹣1）2，则：m+k=2，于是m≤0，出现矛盾，故舍去．综上所述：当k≥2时，存在正整数l=2k﹣1，m=4k2﹣5k+2，满足k＜l＜m，使得c k，c l，c m成等差数列．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分类讨论思想的应用．。

2018年上海市青浦区⾼三⼆模数学卷（含答案）主视图左视图俯视图（第7题图）青浦区2018届⾼三年级第⼆次学业质量调研测试数学试卷2018.04（满分150分，答题时间120分钟）⼀、填空题（本⼤题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考⽣应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．不等式|3|2x -<的解集为__________________．2．若复数z 满⾜2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 3．若1sin 3α=，则cos 2πα?-=_______________．4．已知两个不同向量(1,)OA m =u u u r ，(1,2)OB m =-u u u r，若OA AB ⊥u u u r u u u r ，则实数m =____________．5．在等⽐数列{}n a 中，公⽐2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S = ．6．若,x y 满⾜2,10,20,x x y x y ≤??-+≥??+-≥?则2z x y =-的最⼩值为____________．7．如图所⽰，⼀个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正⽅形，俯视图是⼀个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________． 8．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为______________． 9．⾼三某位同学参加物理、化学、政治科⽬的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科⽬考试中达A +的概率分别为78、34、512，这三门科⽬考试成绩的结果互不影响，则这位考⽣⾄少得2个A +的概率是． 10．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数2()2g x x x m =-+. 如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x ≤，则实数m 的取值范围是 .11．已知曲线29C y x =--：2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=u u u r u u u r r ，则m 取值范围是． 12．已知22s 1(,,0)cos 1a a in M a a a a θθθ-+=∈≠-+R ，则M 的取值范围是．⼆、选择题（本⼤题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有⼀个正确选项．考⽣应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的⼩⽅格涂⿊．13．设,αβ是两个不同的平⾯，b 是直线且b β?≠．则“b α⊥”是“αβ⊥”的（）．（A ）充分⽽不必要条件（B ）必要⽽不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分⼜不必要条件14．若已知极限sin lim0n n n→∞=，则3sin lim sin 2n n nn n →∞--的值为（）．（A ）3-（B ）32-（C ）1-（D ）12- 15．已知函数()f x 是R 上的偶函数，对于任意x ∈R 都有(6)()(3)f x f x f +=+成⽴，当[]12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-．给出以下三个命题：①直线6x =-是函数()f x 图像的⼀条对称轴；②函数()f x 在区间[]9,6--上为增函数；③函数()f x 在区间[]9,9-上有五个零点．问：以上命题中正确的个数有（）．（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个16．如图所⽰，将⼀圆的⼋个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正⽅形.去掉两个正⽅形内部的⼋条线段后可以形成⼀正⼋⾓星.设正⼋⾓星的中⼼为，并且12,OA e OB e ==u u u r u r u u u r u u r．若将点到正⼋⾓星16个顶点的向量都写成 12e e λµλµ+∈R u r u u r，、的形式，则λµ+的取值范围为（）．（A ）22,2??-??（B ）22,12??-+??（C ）12,12??--+??（D ）12,2??--??三、解答题（本⼤题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1⼩题满分6分，第2⼩题满分8分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，22PA AB ==，E ，F 分别为PB ，PD 的中点．（1）求正四棱锥P ABCD -的全⾯积；O O e 2e 1BAO（第16题图）（2）若平⾯AEF 与棱PC 交于点M ，求平⾯AEMF 与平⾯ABCD 所成锐⼆⾯⾓的⼤⼩（⽤反三⾓函数值表⽰）．18．（本题满分14分，第1⼩题满分6分，第2⼩题满分8分）已知向量(cos ,1)2x m =-u r ，2,cos )22x x n =r ，设函数()1f x m n =?+u r r ．（1）若[0,]2x π∈，11()10f x =，求x 的值；（2）在△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别是c b a ,,且满⾜2cos 2,b A c ≤求()f B 的取值范围．19．（本题满分14分，第1⼩题满分6分，第2⼩题满分8分）已知椭圆2222C 1(0)x y a b a b+=>>：的⼀个顶点坐标为(2,0)A ，且长轴长是短轴长的两倍．（1）求椭圆C 的⽅程；（2）过点(1,0)D 且斜率存在的直线交椭圆于G H 、，G 关于x 轴的对称点为G '，求证：直线G H '恒过定点()4,0．20.(本题满分16分）本题共3⼩题，第（1）⼩题4分，第（2）⼩题6分，第（3）⼩题6分.设函数()2()5f x ax a x=-+∈R ．（1）求函数的零点；（2）当3a =时，求证：()f x 在区间(),1-∞-上单调递减；（3）若对任意的正实数a ，总存在[]01,2x ∈，使得0()f x m ≥，求实数m 的取值范围．21.(本题满分18分）本题共3⼩题，第（1）⼩题4分，第（2）⼩题6分，第（3）⼩题8分.给定数列{}n a ，若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的⼀项，则称该数列是“封闭数列”. （1）已知数列{}n a 的通项公式为3nn a =，试判断{}n a 是否为封闭数列，并说明理由；（2）已知数列{}n a 满⾜122++=+n n n a a a 且212=-a a ，设n S 是该数列{}n a 的前n 项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”{}n a ，使得对任意n ∈*N 都有0≠n S ，且12111111818n S S S <+++<L ，若存在，求数列{}n a 的⾸项1a 的所有取值；若不存在，说明理由；（3）证明等差数列{}n a 成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数1m ≥-，使1a md =．青浦区2017学年⾼三年级第⼆次学业质量调研测试数学参考答案及评分标准 2018.04⼀.填空题（本⼤题满分54分）本⼤题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考⽣应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．{}15x x <<或(1,5)； 2．52i 2-； 3．13；4．1； 5．33；6．12-； 7．π4；8．30；9.151192；10. 5m ≥-； 11．1[,1]2-； 12.4433M ≤≤. ⼆.选择题（本⼤题满分20分）本⼤题共有4题，每题有且只有⼀个正确答案，考⽣应在答题纸的相应编号上，将代表答案的⼩⽅格涂⿊，选对得5分，否则⼀律得零分. 13. A ；14. D ； 15． B ；16. C .三、解答题（本⼤题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1⼩题满分6分，第2⼩题满分8分）解：（1）因为正四棱锥P ABCD -，取AB 中点G ，连接PG，PA AB ==QPG ∴=，21=482S S S +=+??=+侧全底（2）连接AC ，连接BD ，记AC BD O =I ，因为OA ，OB ，OP 两两互相垂直，如图建⽴空间直⾓坐标系O xyz -．因为PB AB ==，所以Rt Rt POB AOB ?△△．所以2OA OP ==．所以(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,0,0)C -，(0,2,0)D -，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(0,1,1)F -．所以(2,1,1)AE =-u u u r ，(2,1,1)AF =--u u u r．设平⾯AEMF 的法向量为(,,)n x y z =r ，所以0,0,n AE n AF ??==??r u u u rr u u u r即20,20.x y z x y z -++=??--+=?所以0y =．令1x =，2z =，所以(1,0,2)n =r．因为平⾯平⾯ABCD 的⼀个法向量为(0,0,1)m =u r设m u r 与n r 的夹⾓为?，cos 5m n m n===-?u r ru rr arccos 5??= 所以平⾯AEM F 与平⾯ABCD所成锐⼆⾯⾓的⼤⼩是． 18．（本题满分14分，第1⼩题满分6分，第2⼩题满分8分）解：（1）21cos ()cos cos 1122222x x x xf x x +=-+=-+111cos sin()2262x x x π=-+=-+ ∵113() sin(); [0,]10652f x x x ππ=∴-=∈Q ⼜∴33arcsin arcsin 6565x x ππ-=?=+ （2）由A C A B a c A b sin 3sin 2cos sin 232cos 2-≤-≤得2sin cos 2sin()B A A B A ?≤+2sin cos 2[sin cos cos sin )B A A B A B A ?≤+2sin cos cos (0,]6A B A B B π≥≥∈∴111sin()(,0],()sin()()(0,]62622B f B B f B ππ-∈-=-+?∈即 19．（本题满分14分，第1⼩题满分6分，第2⼩题满分8分）解：（1）因为椭圆2222C 1(0)x y a b a b+=>>：的⼀个顶点坐标为(2,0)A ，即2a =⼜长轴长是短轴长的两倍，即241a b b =?=，所以椭圆⽅程2214x y +=；（2）解⼀：设直线GH 的⽅程为(1)y k x =- ,点1122,,x y x y G （）,H() 则11,x y '-G (）联⽴⽅程组222222 (1)(14)844044y k x y k x k x k x y =-?+-+-=?+=?消去可得由韦达定理可得22121222844,,1414k k x x x x k k-+==++ 直线211121(),y y y y x x x x ++=--，G H ：211212211121214()4(4)=y y y x x y y y x y y x x x x x +--++==-+---当时，222212122121844[528][5()28]1414=k k k k x x x x k k x x x x -?-?-+--++=--2222214088[8]1414==0k k k k k x x ---++-所以直线则H 'G 过定点（4,0）20.(本题满分16分）本题共3⼩题，第（1）⼩题4分，第（2）⼩题6分，第（3）⼩题6分. 解：（1）①当0a =时，函数的零点为25x =-；②当2508a a ≥-≠且时，函数的零点是52x a ±=③当258a <-时，函数⽆零点；（2）当3a =时，2()3+5f x x x =-，令2()3+5g x x x=- 任取12,(,1)x x ∈-∞-，且12x x <，则()211212121212()2322()()3535x x x x g x g x x x x x x x -+??-=-+--+=因为12x x <，12,(,1)x x ∈-∞-，所以210x x ->，121x x >，从⽽()211212()230x x x x x x -+>即1212()()0()()g x g x g x g x ->?>故()g x 在区间(),1-∞-上的单调递减当(),1x ∈-∞-时，()()6,g x ∈+∞22()3+5=3+5()f x x x g x x x∴=--= 即当3a =时，()f x 在区间(),1-∞-上单调递减；（3）对任意的正实数a ，存在[]01,2x ∈使得0()f x m ≥，即0max ()f x m ≥，当()0,x ∈+∞时，255,022()+525,ax x x af x ax x ax x x-+<即()f x在区间50,2a ??上单调递减，在区间?+∞上单调递增；所以{}{}0max ()max (1),(2)max 7,62f x f f a a ==--，⼜由于0a >，{}8max 7,623a a --≥，所以83m ≤．21.(本题满分18分）本题共3⼩题，第（1）⼩题4分，第（2）⼩题6分，第（3）⼩题8分. 解：（1）{}n a 不是封闭数列．因为取1,2n n ==，则123912a a +=+=，233123<<即123,m a a m +≠∈*N 从⽽{}12n a a a +?，所以{}n a 不是封闭数列；（2）因为122++=+n n n a a a ，所以{}n a 是等差数列，⼜212=-a a ，所以()121-+=n a a n ，若{}n a 是“封闭数列”，所以对任意,s t ∈*N ，必存在p ∈*N ，使得()()()111212121a s a t a p +-++-=+-，即()121a p s t =--+，故1a 是偶数，⼜对任意n ∈*N 都有0≠n S ，且12111111818n S S S <+++811a <<，故1a 可取的值为2,4,6 经检验得：41=a 或61=a ；（3）证明：（必要性）任取等差数列的两项,()s t a a s t ≠，若存在k a ，使s t k a a a +=，则1112(2)(1)(1)a s t d a k d a k s t d ++-=+-?=--+，故存在1m k s t =--+∈Z ，使1a md =下⾯证明1m ≥- ①当0d =时，显然成⽴②当0d ≠时，若1m <-时则取2p m =-≥，对不同的两项1,p a a ，存在q a ，使1p q a a a +=，即2(1)(1)0md m d md q d qd +--=+-?=，这与0,0q d >≠⽭盾，故存在整数1m ≥-，使1a md =（充分性）若存在整数1m ≥-，使1a md =，则任取等差数列的两项,()s t a a s t ≠，于是111+(1)(1)(1)(1)s t a a a s d a t d a s d md t d =+-++-=+-++-11(2)s m t a s m t d a ++-=+++-=，由于3,1s t m +≥≥-，1s t m ∴++-为正整数，即{}1s m t n a a ++-∈证毕．。

黄浦区2018年高考模拟考数学试卷(理科) 2018年4月11日考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟. 一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．若复数z 满足109z z-=，则z 的值为___________. 2．函数()lg(42)f x x =-的定义域为___________. 3．若直线l 过点(1,3)A -，且与直线230x y --=垂直，则直线l 的方 程为___________.4．等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++=___________.5．执行右边的程序框图，则输出的a 值是___________. 6．设a 为常数，函数2()43f x x x =-+，若()f x a +在[0,)+∞上是增函[来源:学.科.网Z.X.X.K] 数，则a 的取值范围是___________.7．在极坐标系中，直线:cos 1l ρθ=被圆:4cos C ρθ=所截得的线段长 为___________.8．已知点(2,3)P -是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是___________.9．在平行四边形ABCD 中，若2,1,60AB AD BAD ==∠=，则AB BD ⋅=___________.10．已知,,A B C 是球面上三点，且4,90AB AC cm BAC ==∠= ，若球心O到平面ABC的距离为__________3cm . 11．在ABC ∆中，120,5,7A AB BC ∠=== ，则sin sin BC的值为___________. 12．已知23230123(3)(3)(3)n x x x x a a x a x a x ++++=+-+-+- (3)n n a x ++-()n N *∈且012n n A a a a a =++++ ，则lim4nnn A →∞=___________. 13．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品. 用户先对产品进行随机抽检以决定是否接受. 抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检一件产品(抽检后不放回)，只要检验到次品就停止继续抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则接受这箱产品，按上述规则，该用户抽检次数的数学期望是___________. 14．已知1()4f x x=-，若存在区间1[,](,)3a b ⊆+∞，使得{}(),[,][,]y y f x x a b ma mb =⊆=，则实数m 的取值范围是___________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知4cos 25θ=，且sin 0θ<，则tan θ的值为A ．2425-B. 247±C. 247- D. 24716．函数21()1(2)2f x x x =+<-的反函数是A ．3)y x ≤< B. 3)y x =>C ．3)y x =≤< D. 3)y x => 17．下列命题：①“102a <≤”是“存在n N *∈，使得1()2n a =成立”的充分条件；②“0a >”是“存在n N *∈，使得1()2n a <成立”的必要条件；③“12a >”是“不等式1()2n a <对一切n N *∈恒成立”的充要条件. 其中所以真命题的序号是A ．③ B. ②③ C. ①② D.①③18．如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ 的取值范围是A ．[1,1)- B. {}1,0- C. (,1][0,1)-∞- D.[1,0](1,)-+∞ABCDA 1B 1ED 1C 1三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题卷相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，1AD . （1）求该四棱柱的侧面积与体积；（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知复数12sin ,(sin )z x i z x x i λ=+=-(,,x R i λ∈为虚数单位) （1）若122z z i =，且(0,)x π∈，求x 与λ的值；（2）设复数12,z z 在复平面上对应的向量分别为12,OZ OZ ，若12OZ OZ ⊥ ，且()f x λ=，求()f x 的最小正周期和单调递减区间.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某医药研究所开发一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间x （小时）之间满足211(01)2(1)41x x axx x ay a x --⎧<<⎪⎪+=⎨⋅⎪>⎪⎩+， 其对应曲线（如图所示）过点16(2,)5.[来源:学科网]（1）试求药量峰值（y 的最大值）与达峰时间（y 取最大值时对应的x 值）；（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效， 那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时 间？（精确到0.01小时） [来源:学#科#网]22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，经过点F 的动直线l 交抛物线C 于点11(,)A x y ，22(,)B x y 且124y y =-.（1）求抛物线C 的方程；（2）若2()OE OA OB =+(O 为坐标原点)，且点E 在抛物线C 上，求直线l 倾斜角；（3）若点M 是抛物线C 的准线上的一点，直线,,MF MA MB 的斜率分别为012,,k k k .求证：当0k 为定值时，12k k +也为定值.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 具有性质：①1a 为整数；②对于任意的正整数n ，当n a 为偶数时，12n n a a +=；当n a 为奇数时，112n n a a +-=. （1）若1a 为偶数，且123,,a a a 成等差数列，求1a 的值；（2）设123m a =+(3m >且m ∈N)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：123m n S +≤+；（3）若1a 为正整数，求证：当211log n a >+(n ∈N)时，都有0n a =.一、填空题1. 3i ±2. [)1,2-3. 21y x =-+4. 125. 1216. [)2,+∞7.8. 2213y x -= 9. 3-10. 64π 11. 35 12. 4313. 271014. []3,4二、选择题15. C 16. D 17. B 18. A三、解答题【题目19】【解析】⑴根据题意可得：在1Rt AA D ∆中，高13AA ==∴(222323)232S =⨯+⨯+⨯⨯=22312V =⨯⨯=⑵过E 作EF AD ⊥，垂足为F ，连结BF ，则EF ⊥平面ABCD ，[来源:学#科#网]∵BE ⊂平面ABCD ，∴EF BF ⊥∴在Rt BEF ∆中，EBF ∠就是BE 与平面ABCD 所成的角 ∵1,EF AD AA AD ⊥⊥，∴1EF AA ∥，[来源:学。

2018年上海市普陀区高考数学二模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）抛物线x2＝12y的准线方程为2．（4分）若函数f（x）＝是奇函数，则实数m＝3．（4分）若函数f（x）＝的反函数为g（x），则函数g（x）的零点为4．（4分）书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为（结果用数值表示）5．（4分）在锐角三角形△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（b2+c2﹣a2）tan A ＝bc，则角A的大小为6．（4分）若（x3﹣）n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为7．（5分）某单位有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（每辆车最多只获一次赔偿），设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为（结果用最简分数表示）8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），则直线l与椭圆C的公共点坐标为9．（5分）设函数f（x）＝log m x（m＞0且m≠1），若m是等比数列{a n}（n∈N*）的公比，且f（a2a4a6..a2018）＝7，则f（）+f（）+f（）+…f（）的值为10．（5分）设变量x、y满足条件，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数m的取值范围是11．（5分）设M＝{y|y＝（）x，x∈R}，N＝{y|y＝（+1）（x﹣1）+（|m|﹣1）（x﹣2），1≤x≤2}，若N⊆M，则实数m的取值范围是12．（5分）点F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点N为椭圆C的上顶点，若动点M满足：||2＝2，则||的最大值为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知i为虚数单位，若复数（a+i）2i为正实数，则实数a的值为（）A．2B．1C．0D．﹣114．（5分）如图所示的几何体，其表面积为（5+）π，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等，上部圆锥的母线长为，则该几何体的主视图的面积为（）A．4B．6C．8D．1015．（5分）设S n是无穷等差数列{a n}前n项和（n∈N*），则“S n存在”是“该数列公差d＝0”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分也非必要16．（5分）已知k∈N*，x，y，z∈R+，若k（xy+yz+zx）＞5（x2+y2+z2），则对此不等式描述正确的是（）A．若k＝5，则至少存在一个以x、y、z为边长的等边三角形B．若k＝6，则对任意满足不等式的x、y、z，都存在以x、y、z为边长的三角形C．若k＝7，则对任意满足不等式的x、y、z，都存在以x、y、z为边长的三角形D．若k＝8，则对满足不等式的x、y、z，不存在以x、y、z为边长的直角三角形三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图所示的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱AA1＝2，点E 在棱CC1上，且＝（λ＞0）．（1）当时，求三棱锥D1＝EBC的体积；（2）当异面直线BE与D1C所成角的大小为arccos时，求λ的值．18．（14分）已知函数f（x）＝sin x cos x+sin2x，x∈R．（1）若函数f（x）在区间[a，]上递增，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象关于点Q（x1，y1）对称，且x1∈[﹣]，求点Q的坐标．19．（14分）某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为5，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy．（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？20．（16分）定义在R上的函数f（x）满足：对任意的实数x，存在非零常数t，都有f（x+t）＝﹣tf（x）成立．（1）若函数f（x）＝kx+3，求实数k和t的值；（2）当t＝2时，若x∈[0，2]，f（x）＝x（2﹣x），求函数f（x）在闭区间[﹣2，6]上的值域；（3）设函数f（x）的值域为[﹣a，a]，证明：函数f（x）为周期函数．21．（18分）若数列{a n}同时满足条件：①存在互异的p，q∈N*使得a p＝a q＝c（c为常数）；②当n≠p且n≠q时，对任意n∈N*都有a n＞c，则称数列{a n}为双底数列．（1）判断以下数列{a n}是否为双底数列（只需写出结论不必证明）：①a n＝n；②a n＝sin；③a n＝|（n﹣3）（n﹣5）|；（2）设a n＝，若数列{a n}是双底数列，求实数m的值以及数列{a n}的前n项和S n；（3）设a n＝（kn+3）（）n，是否存在整数k，使得数列{a n}为双底数列？若存在，求出所有的k的值，若不存在，请说明理由．2018年上海市普陀区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）抛物线x2＝12y的准线方程为y＝﹣3【解答】解：抛物线x2＝12y的准线方程为：y＝﹣3．故答案为：y＝﹣3．2．（4分）若函数f（x）＝是奇函数，则实数m＝【解答】解：f（x）是奇函数；∴f（﹣x）＝﹣f（x）；即；∴﹣x﹣2m+1＝﹣x+2m﹣1；∴﹣2m+1＝2m﹣1；∴．故答案为：．3．（4分）若函数f（x）＝的反函数为g（x），则函数g（x）的零点为【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，则f（0）＝，若函数f（x）＝的反函数为g（x），则g（）＝0，则函数g（x）的零点为；故答案为：．4．（4分）书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为24（结果用数值表示）【解答】解：根据题意，在中间位置摆放中册《白话史记》，将上、下册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》全排列，安排在两边的4个位置，有A44＝24种排法；故答案为：24．5．（4分）在锐角三角形△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（b2+c2﹣a2）tan A＝bc，则角A的大小为【解答】解：∵（b2+c2﹣a2）tan A＝bc，∴由余弦定理可得：2bc cos A•tan A＝bc，可得：sin A＝，∵A为锐角，∴A＝．故答案为：．6．（4分）若（x3﹣）n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为5【解答】解：（x3﹣）n的展开式的通项为＝．取3n﹣5r＝0，得n＝，∴当r＝3时，n为最小正整数5．故答案为：5．7．（5分）某单位有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（每辆车最多只获一次赔偿），设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为（结果用最简分数表示）【解答】解：某单位有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（每辆车最多只获一次赔偿），设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为p＝1﹣＝．故答案为：．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），则直线l与椭圆C的公共点坐标为【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：x＝2y﹣．椭圆C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：x2+4y2＝1，则：，解得：，故公共点的坐标为：，故答案为：．9．（5分）设函数f（x）＝log m x（m＞0且m≠1），若m是等比数列{a n}（n∈N*）的公比，且f（a2a4a6..a2018）＝7，则f（）+f（）+f（）+…f（）的值为﹣1990【解答】解：函数f（x）＝log m x（m＞0且m≠1），若m是等比数列{a n}（n∈N*）的公比，且f（a2a4a6..a2018）＝7，则f（）+f（）+f（）+…f（）＝log m（）+log m（）+log m（）+…+log m（）＝2log m（a1a3...a2017）+2log m（a2a4 (2018)＝2log m+2×7＝2（7﹣1009）+14＝﹣1990．故答案为：﹣1990．10．（5分）设变量x、y满足条件，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数m的取值范围是（0，1]∪[，+∞）【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；显然当0＜m≤1时，不等式组表示的区域为三角形；当直线x+y＝m经过可行域的B时，可行域是三角形OAB，由可得：B（，）．则m＝x+y＝，∴满足条件的点P（x，y）表示的平面区域为一个三角形，m的取值范围是：（0，1]∪[，+∞）．故答案为：（0，1]∪[，+∞）．11．（5分）设M＝{y|y＝（）x，x∈R}，N＝{y|y＝（+1）（x﹣1）+（|m|﹣1）（x﹣2），1≤x≤2}，若N⊆M，则实数m的取值范围是（﹣1，0）【解答】解：∵M＝{y|y＝（）x，x∈R}＝{y|y＞0}，N＝{y|y＝（+1）（x﹣1）+（|m|﹣1）（x﹣2），1≤x≤2}，N⊆M，∴，解得﹣1＜m＜0，∴实数m的取值范围为（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．12．（5分）点F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点N为椭圆C的上顶点，若动点M满足：||2＝2，则||的最大值为6+【解答】解：由题意可知：F1（﹣1，0），F2（1，0），N（0，1），设M（x0，y0），由||2＝2，则x02+（y0﹣1）2＝2x02﹣2+2y02，整理得：x02+（y0+1）2＝4，设，|＝（2cosα﹣1，2sinα﹣1），＝（2cosα+1，2sinα﹣1），则＝（6cosα+1，6sinα﹣3），则||＝＝＝≤＝6+，∴||的最大值为6+，故答案为：6+．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知i为虚数单位，若复数（a+i）2i为正实数，则实数a的值为（）A．2B．1C．0D．﹣1【解答】解：∵（a+i）2i＝（a2﹣1+2ai）i＝﹣2a+（a2﹣1）i为正实数，∴，解得a＝﹣1．故选：D．14．（5分）如图所示的几何体，其表面积为（5+）π，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等，上部圆锥的母线长为，则该几何体的主视图的面积为（）A．4B．6C．8D．10【解答】解：由题意设圆锥的底面半径为R，则：几何体，其表面积为（5+）π，上部圆锥的母线长为，可得：＝（5+）π，解得：R＝1．则该几何体的主视图的面积为：2×2+＝6．故选：B．15．（5分）设S n是无穷等差数列{a n}前n项和（n∈N*），则“S n存在”是“该数列公差d＝0”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分也非必要【解答】解：等差数列的前n项和公式为S n＝na1+d＝n2+（a1+）n，若S n存在，则＝0且a1+＝0，即d＝0，a1＝0，则充分性成立，若d＝0，a 1≠0，则S n＝na1，则S n不存在，即“S n存在”是“该数列公差d＝0”的充分不必要条件，故选：A．16．（5分）已知k∈N*，x，y，z∈R+，若k（xy+yz+zx）＞5（x2+y2+z2），则对此不等式描述正确的是（）A．若k＝5，则至少存在一个以x、y、z为边长的等边三角形B．若k＝6，则对任意满足不等式的x、y、z，都存在以x、y、z为边长的三角形C．若k＝7，则对任意满足不等式的x、y、z，都存在以x、y、z为边长的三角形D．若k＝8，则对满足不等式的x、y、z，不存在以x、y、z为边长的直角三角形【解答】解：对于A，由不等式：x，y，z∈R，x2+y2+z2≥xy+yz+zx，排除A；对于C，对x＝1，y＝2，z＝3，得：7（2+3+6）＞5（12+22+32），不等式成立，但是不能构成三角形，排除C；对于D，k＝8时，取x＝3，y＝4，z＝5，8（12+15+20）＝376＞5（32+42+52）＝250，不等式成立，且存在以3，4，5为边长的直角三角形，排除D．故选：B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图所示的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱AA1＝2，点E 在棱CC1上，且＝（λ＞0）．（1）当时，求三棱锥D1＝EBC的体积；（2）当异面直线BE与D1C所成角的大小为arccos时，求λ的值．【解答】解：（1）∵AA1＝2，＝，∴当时，CE＝1．∴三棱锥D1﹣EBC的体积V＝；（2）以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（0，1，0），D1（0，0，2），B（1，1，0），C1＝（0，1，2），则，＝（﹣1，0，0）+（0，0，2λ）＝（﹣1，0，2λ），∵异面直线BE与D1C所成角的大小为arccos，∴|cos＜，＞|＝||＝||＝．解得：λ＝（λ＞0）．18．（14分）已知函数f（x）＝sin x cos x+sin2x，x∈R．（1）若函数f（x）在区间[a，]上递增，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象关于点Q（x1，y1）对称，且x1∈[﹣]，求点Q的坐标．【解答】解：函数f（x）＝sin x cos x+sin2x＝sin2x﹣cos2x+＝sin（2x﹣）令，得上是单调递增；∵函数f（x）在区间[a，]上递增，∴即实数a的取值范围是[，）；（2）函数f（x）的图象关于点Q（x1，y1）对称，且x1∈[﹣]，则2x﹣∈[，]Q在函数图象上，且是一个零点．可得2x﹣＝0，即x＝∴点Q的坐标为（，）．19．（14分）某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为5，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy．（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？【解答】解：（1）∵线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，∴线路AB的轨迹为以MN为焦点的双曲线的一部分，设双曲线方程为＝1，则，∴a＝5，b＝5．∴线路AB的方程是：﹣＝1（x≤﹣5，y≥0），同理可得线路CD的方程为：﹣＝1（x≥0，y≤﹣5）．故而B（﹣5，0），∵线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，∴线路BC的方程为：x2+y2＝25（﹣5≤x≤0，﹣5≤y≤0）．（2）Q（0，5），设G（x，y），则x2﹣y2＝25，∴GQ2＝x2+（y﹣5）2＝2y2﹣10y+75＝2（y﹣）2﹣25，∴当y＝时，GQ最小，代入双曲线方程可得x＝﹣，∴G（﹣，）．20．（16分）定义在R上的函数f（x）满足：对任意的实数x，存在非零常数t，都有f（x+t）＝﹣tf（x）成立．（1）若函数f（x）＝kx+3，求实数k和t的值；（2）当t＝2时，若x∈[0，2]，f（x）＝x（2﹣x），求函数f（x）在闭区间[﹣2，6]上的值域；（3）设函数f（x）的值域为[﹣a，a]，证明：函数f（x）为周期函数．【解答】解：（1）对任意的实数x，存在非零常数t，都有f（x+t）＝﹣tf（x）成立，可得k（x+t）+3＝﹣t（kx+3），即有kt+k＝0，kt+3t+3＝0，解得k＝0，t＝﹣1；（2）f（x+2）＝﹣2f（x），若x∈[0，2]，f（x）＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+1，作出函数f（x）在闭区间[﹣2，6]上的图象，由图象可知f（3）＝﹣2最小，f（5）＝4最大，可得值域[﹣2，4]；（3）证明：定义在R上的函数f（x）满足对任意的实数x，存在非零常数t，都有f（x+t）＝﹣tf（x）成立，当t＝﹣1时，f（x﹣1）＝f（x），即f（x+1）＝f（x），f（x）为最小正周期是1的函数，且满足函数f（x）的值域为[﹣a，a]；当t＝1时，f（x+1）＝﹣f（x），可得f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），f（x）为最小正周期是2的函数，且满足函数f（x）的值域为[﹣a，a]；当t≠1且t≠﹣1时，由f（x+t）＝﹣tf（x），可得f（x）的值域不满足数f（x）的值域为[﹣a，a]，当函数f（x）的值域为[﹣a，a]，函数f（x）为周期函数．21．（18分）若数列{a n}同时满足条件：①存在互异的p，q∈N*使得a p＝a q＝c（c为常数）；②当n≠p且n≠q时，对任意n∈N*都有a n＞c，则称数列{a n}为双底数列．（1）判断以下数列{a n}是否为双底数列（只需写出结论不必证明）：①a n＝n；②a n＝sin；③a n＝|（n﹣3）（n﹣5）|；（2）设a n＝，若数列{a n}是双底数列，求实数m的值以及数列{a n}的前n项和S n；（3）设a n＝（kn+3）（）n，是否存在整数k，使得数列{a n}为双底数列？若存在，求出所有的k的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在①中，a n＝n是双底数列；在②中，a n＝sin不是双底数列；在③中，a n＝|（n﹣3）（n﹣5）|是双底数列．（2）∵a n＝，数列{a n}是双底数列，∴a50＝a51，即101﹣100＝251﹣5+m＝2+m，解得m＝﹣1，当1≤n≤50时，a n＝101﹣2n，{a n}是首项为a1＝99，公差d＝2的等差数列，∴S n＝99n+＝100n﹣n2；当n≥51时，，S n＝2n﹣49﹣n+2548．（3）a n＝（kn+3）（）n，假设存在整数k，使得数列{a n}为双底数列，根据题意，k＜0，由a n＝a n+1，得（kn+3）•（）n＝[k（n+1）+3]•（）n+1，整理，得n＝9﹣，∵k∈Z，∴k＝﹣1或k＝﹣3．。

2018年上海市青浦区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）不等式|x﹣3|＜2的解集为．2．（4分）若复数z满足2﹣3=1+5i（i是虚数单位），则z=．3．（4分）若，则=．4．（4分）已知两个不同向量，，若，则实数m=．5．（4分）在等比数列{a n}中，公比q=2，前n项和为S n，若S5=1，则S10=．6．（4分）若x，y满足．则z=2x﹣y的最小值为．7．（5分）如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为．8．（5分）展开式中x2的系数为．9．（5分）高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A+的概率分别为、、，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A+的概率是．10．（5分）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g（x）=x2﹣2x+m．如果对于任意的x1∈[﹣2，2]，总存在x2∈[﹣2，2]，使得f（x1）≤g（x2），则实数m的取值范围是．11．（5分）已知曲线C：y=﹣，直线l：y=2，若对于点A（0，m），存在C上的点P和l上的点Q，使得=，则m取值范围是．12．（5分）已知，则M的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）设α，β是两个不同的平面，b是直线且b⊊β．则“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（5分）若已知极限，则的值为（）A．﹣3B．C．﹣1D．15．（5分）已知函数f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有．给出以下三个命题：①直线x=﹣6是函数f（x）图象的一条对称轴；②函数f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为增函数；③函数f（x）在区间[﹣9，9]上有五个零点．问：以上命题中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个16．（5分）如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星．设正八角星的中心为O，并且．若将点O到正八角星16个顶点的向量都写成的形式，则λ+μ的取值范围为（）A．B．C．D．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，，E，F分别为PB，PD 的中点．（1）求正四棱锥P﹣ABCD的全面积；（2）若平面AEF与棱PC交于点M，求平面AEMF与平面ABCD所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）．18．（14分）已知向量，，设函数．（1）若，，求x的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足，求f（B）的取值范围．19．（14分）已知椭圆的一个顶点坐标为A（2，0），且长轴长是短轴长的两倍．（1）求椭圆C的方程；（2）过点D（1，0）且斜率存在的直线交椭圆于G、H，G关于x轴的对称点为G'，求证：直线G'H恒过定点（4，0）．20．（16分）设函数．（1）求函数的零点；（2）当a=3时，求证：f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减；（3）若对任意的正实数a，总存在x0∈[1，2]，使得f（x0）≥m，求实数m的取值范围．21．（18分）给定数列{a n}，若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．（1）已知数列{a n}的通项公式为，试判断{a n}是否为封闭数列，并说明理由；（2）已知数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1且a2﹣a1=2，设S n是该数列{a n}的前n项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*都有S n≠0，且，若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由；（3）证明等差数列{a n}成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数m≥﹣1，使a1=md．2018年上海市青浦区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）不等式|x﹣3|＜2的解集为（1，5）．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】由题意利用绝对值不等式的基本性质，求得不等式|x﹣3|＜2的解集．【解答】解：不等式|x﹣3|＜2，即﹣2＜x﹣3＜2，求得1＜x＜5，故答案为：（1，5）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的基本性质，属于基础题．2．（4分）若复数z满足2﹣3=1+5i（i是虚数单位），则z=2﹣．【考点】A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】由已知求得，再由共轭复数的概念求得z．【解答】解：由2﹣3=1+5i，得，∴，则z=2﹣．故答案为：2﹣．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（4分）若，则=．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由题意利用利用诱导公式化简要求的式子，可的结果．【解答】解：若，则=cos（﹣α）=sinα=，【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．4．（4分）已知两个不同向量，，若，则实数m=1．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；34：方程思想；5A：平面向量及应用．【分析】根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得若，则有=1×（m﹣1）+2m=3m﹣1=0，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，则=﹣=（m﹣2，2﹣m）若，则有=1×（m﹣2）+m（2﹣m）=（m﹣2）（1﹣m）=0，解可得m=1或2；又由m=2时，=，则m=1；故答案为：1．【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式．5．（4分）在等比数列{a n}中，公比q=2，前n项和为S n，若S5=1，则S10=33．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】运用求和公式，解方程可得首项，计算可得所求和．【解答】解：在等比数列{a n}中，公比q=2，前n项和为S n，若S5=1，则S5==1，可得a1=，S10===33．【点评】本题考查等比数列的求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6．（4分）若x，y满足．则z=2x﹣y的最小值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域，联立，解得A（，），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】利用已知条件，直接求解几何体的体积即可．【解答】解：一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为：=．故答案为：．【点评】本题考查几何体的三视图与直观图的对应关系，圆柱的体积的求法，考查计算能力．8．（5分）展开式中x2的系数为30．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】分析展开式中x2的项的两种可能的来由，结合二项式定理求系数．【解答】解：当（1+）选择1时，（1+x）6展开式选择x2的项为；当（1+）选择时，（1+x）6展开式选择为C，所以（1+）（1+x）6展开式=30；故答案为：30．【点评】本题考查了二项式定理的运用；关键是明确展开式得到x2的两种情况．9．（5分）高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A+的概率分别为、、，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A+的概率是．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A+的事件分别为A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=，这位考生至少得2个A+的概率：P=P （AB）+P（A C）+P（）+P（ABC）．【解答】解：设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A+的事件分别为A，B，C，∵这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A+的概率分别为、、，∴P（A）=，P（B）=，P（C）=，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A+的概率：P=P（AB）+P（A C）+P（）+P（ABC）=+++=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．（5分）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g（x）=x2﹣2x+m．如果对于任意的x1∈[﹣2，2]，总存在x2∈[﹣2，2]，使得f（x1）≤g（x2），则实数m的取值范围是m≥﹣5．【考点】2I：存在量词和特称命题．【专题】35：转化思想；49：综合法；5L：简易逻辑．【分析】求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴f（0）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1∈（0，3]，则当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣3，3]，若对于∀x1∈[﹣2，2]，∀x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）≥f（x1），则等价为g（x）max≥3，∵g（x）=x2﹣2x+m=（x﹣1）2+m﹣1，x∈[﹣2，2]，∴g（x）max=g（﹣2）=8+m，则满足8+m≥3 解得m≥﹣5故答案为：m≥﹣5．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．11．（5分）已知曲线C：y=﹣，直线l：y=2，若对于点A（0，m），存在C上的点P和l上的点Q，使得=，则m取值范围是[﹣，1] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5B：直线与圆．【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过=，说明A是PQ的中点，结合y的范围，求出m的范围即可．【解答】解：曲线C：y=﹣，是以原点为圆心，3为半径的圆，并且y P∈[﹣3，0]，对于点A（0，m），存在C上的点P和l上的Q使得=，说明A是PQ的中点，Q的纵坐标y=2，∴m=∈[﹣，1]．故答案为：[﹣]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．12．（5分）已知，则M的取值范围是[，] ．【考点】34：函数的值域．【专题】15：综合题；33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】化M=为aMcosθ﹣asinθ﹣（M﹣1）（a2+1）=0，可得直线aMx﹣ay﹣（M﹣1）（a2+1）=0与圆x2+y2=1有公共点，即，得到≤，转化为关于M的不等式求解．【解答】解：化M=为aMcosθ﹣asinθ﹣（M﹣1）（a2+1）=0，可得直线aMx﹣ay﹣（M﹣1）（a2+1）=0与圆x2+y2=1有公共点，∴，得到≤（当且仅当|a|=1时，等号成立）．故3M2﹣8M+3≤0．解得：≤M≤．∴M的取值范围是[，]．【点评】本题考查了函数的几何意义的应用及基本不等式的应用，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）设α，β是两个不同的平面，b是直线且b⊊β．则“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】36：整体思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】根据线面垂直和面面垂直的定义和性质进行判断即可．【解答】解：由线面垂直的定义得若⊊β．则b⊥α时，α⊥β成立，即充分性成立，反之若α⊥β，则b⊥α不一定成立，即必要性不成立，故“b⊥α”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直和面面垂直的性质和定义是解决本题的关键．14．（5分）若已知极限，则的值为（）A．﹣3B．C．﹣1D．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法．【分析】根据，对分子分母同除以n，再求极限即可．【解答】解：∵；∴=．故选：D．【点评】考查极限的概念及求法，以及极限的运算．15．（5分）已知函数f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有．给出以下三个命题：①直线x=﹣6是函数f（x）图象的一条对称轴；②函数f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为增函数；③函数f（x）在区间[﹣9，9]上有五个零点．问：以上命题中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】11：计算题；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，利用特殊值法分析可得f（﹣3+6）=f（﹣3）+f （3），结合函数的奇偶性可得f（3）=0，进而可得f （x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6；据此分析三个命题，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，对于任意x∈R，都有f （x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=﹣3，则f（﹣3+6）=f（﹣3）+f （3），又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）=0，则有f （x+6）=f （x），所以f （x）的周期为6；据此分析三个命题：对于①，函数为偶函数，则函数的一条对称轴为y轴，又由函数的周期为6，则直线x=﹣6是函数f（x）图象的一条对称轴，①正确；对于②，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有，则函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y=f（x）在[﹣3，0]上为减函数，而f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数；②错误；对于③，f（3）=0，f（x）的周期为6，所以f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0，函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点；③错误；三个命题中只有①是正确的；故选：B．【点评】本题考查抽象函数的性质以及应用，关键是求出f（3）的值，分析函数的周期与对称性．16．（5分）如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星．设正八角星的中心为O，并且．若将点O到正八角星16个顶点的向量都写成的形式，则λ+μ的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据平面向量加法的平行四边形法则求出λ+μ的最大值和最小值即可．【解答】解：以O为原点，以OA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：设圆O的半径为1，则OM=1，过M作MN∥OB，交x轴于N，则△OMN为等腰直角三角形，∴ON=OM=，∴=+，此时λ+μ=1+．同理可得：=﹣，此时λ+μ=﹣1﹣．∴λ+μ的最大值为1+，最小值为﹣1﹣．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，，E，F分别为PB，PD 的中点．（1）求正四棱锥P﹣ABCD的全面积；（2）若平面AEF与棱PC交于点M，求平面AEMF与平面ABCD所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5Q：立体几何．【分析】（1）取AB的中点G，连接PG，由已知可得PG=，由全面积等于底面积+侧面积求解；（2）连接AC，BD，记AC∩BD=O，由OA，OB，OP两两互相垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz，由已知求得OA=OP=2，再求出所用点的坐标，然后分别求出平面AEMF与平面ABCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面AEMF与平面ABCD所成锐二面角的大小．【解答】解：（1）∵取AB的中点G，连接PG，∵PA=AB=，∴PG=，∴；（2）连接AC，BD，记AC∩BD=O，∵OA，OB，OP两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz，∵PB=AB=2，∴Rt△POB≌Rt△AOB，∴OA=OP=2，∴A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），D（0，﹣2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（0，﹣1，1），∴，．设平面AEMF的一个法向量为，由，取x=1，得，∵平面ABCD的一个法向量为，∴cos＜＞=，∴平面AEMF与平面ABCD所成锐二面角的大小为arccos．【点评】本题考查多面体的全面积的求法，考查利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．18．（14分）已知向量，，设函数．（1）若，，求x的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足，求f（B）的取值范围．【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；GL：三角函数中的恒等变换应用．【专题】11：计算题．【分析】（1）利用两个向量的数量积公式以及三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（x﹣）+1，由f（x）=，求得sin（x﹣）=，可得x ﹣=arcsin，求得x结果．（2）在△ABC中，由条件2bcosA≤2c﹣ a 可得2sinAcosB≥sinA，故cosB ≥，B∈（0，]，由此求得f（B）的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=+1=sin cos﹣cos2+1=﹣+1=sin（x﹣）+．∵f（x）=，∴sin（x﹣）=．又∵x∈[0，]，∴x﹣=arcsin即x=+arcsin．（2）在△ABC中，由2bcosA≤2c﹣a，可得2sinBcosA≤2sinC﹣sinA，∴2sinBcosA≤2sin（A+B）﹣sinA，∴2sinBcosA≤2（sinAcosB+cosAsinB）﹣sinA，2sinAcosB≥sinA，∴cosB≥，∴B∈（0，]．∴sin（B﹣）∈（﹣，0]，即f（B）=sin（B﹣）+，∴f（B）∈（0，]．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积公式的应用，两角和差的正弦、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．19．（14分）已知椭圆的一个顶点坐标为A（2，0），且长轴长是短轴长的两倍．（1）求椭圆C的方程；（2）过点D（1，0）且斜率存在的直线交椭圆于G、H，G关于x轴的对称点为G'，求证：直线G'H恒过定点（4，0）．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】38：对应思想；4P：设而不求法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据椭圆长短轴得出a，b的值即可；（2）设直线GH的斜率为k，求出G′H的方程，把（4，0）代入方程验证即可．【解答】解：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，且A（2，0）为椭圆的顶点，∴a=2，又长轴长是短轴长的两倍，∴b=1．∴椭圆的方程为：+y2=1．（2）证明：设GH的直线方程为y=k（x﹣1），G（x1，y1），H（x2，y2），则G′（x1，﹣y1），联立方程组，消元得：（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，∴x1+x2=，x1x2=，直线G′H的方程为：y+y1=（x﹣x1），∴当x=4时，y=﹣y1+（4﹣x1）====0，∴直线G'H恒过定点（4，0）．【点评】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．20．（16分）设函数．（1）求函数的零点；（2）当a=3时，求证：f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减；（3）若对任意的正实数a，总存在x0∈[1，2]，使得f（x0）≥m，求实数m的取值范围．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）讨论a=0，a≥﹣且a≠0，a＜﹣，解方程可得零点；（2）可令g（x）=﹣3x+5，运用单调性的定义，证得g（x）在x＜﹣1递减，可得g（x）＞6，即可得到证明；（3）由题意可得f（x0）max≥m，由绝对值的含义，化简f（x），得到在x＞0的单调性，即有f（x）max=max{f（1），f（2）}，运用绝对值不等式的性质，可得f（x）的最大值，即可得到m的范围．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=|+5|的零点为x=﹣；当a≥﹣且a≠0，f（x）的零点为x=；当a＜﹣，f（x）无零点；（2）证明：当a=3时，f（x）=|﹣3x+5|，可令g（x）=﹣3x+5，任取x1＜x2＜﹣1，g（x1）﹣g（x2）=﹣3x1+5﹣+3x2﹣5=，由x1＜x2＜﹣1，可得x2﹣x1＞0，x1x2＞0，进而＞0，即g（x1）﹣g（x2）＞0，可得g（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，可得x＜﹣1时，g（x）＞g（﹣1）=6，则f（x）=|﹣3x+5|=g（x），即f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减；（3）对任意的正实数a，总存在x0∈[1，2]，使得f（x0）≥m，即f（x0）max≥m，当x＞0时，f（x）=，则f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，可得f（x）max=max{f（1），f（2）}=max{|7﹣a|，|6﹣2a|}，由于a＞0，设t=max{|7﹣a|，|6﹣2a|}，可得|7﹣a|≤t，|6﹣2a|≤2t，可得|14﹣2t|+|6﹣2a|≤3t，即有|14﹣2t|+|6﹣2a|≥|14﹣2t﹣6+2t|=8，可得t≥，则m≤．【点评】本题考查含绝对值函数的零点和单调性，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论思想方法，以及绝对值不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于难题．21．（18分）给定数列{a n}，若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．（1）已知数列{a n}的通项公式为，试判断{a n}是否为封闭数列，并说明理由；（2）已知数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1且a2﹣a1=2，设S n是该数列{a n}的前n项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*都有S n≠0，且，若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由；（3）证明等差数列{a n}成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数m≥﹣1，使a1=md．【考点】8K：数列与不等式的综合．【专题】34：方程思想；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）数列{a n}不为封闭数列．由n=1，2时，a1+a2=3+9=12，可得a1+a2≠3m，m∈N*，可得a1+a2∉{a n}，即可得出结论．（2）数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1且a2﹣a1=2，可得数列{a n}为等差数列，公差为2．a n=a1+2（n﹣1）．又{a n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p ∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m﹣1）=a1+2（p﹣1），得a1=2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶数，又由已知，，故＜，可得a1．（3）要证明充分必要条件的问题，本题需要从两个方面来证明，一是证明充分性，二是证明必要性，证明时注意所取得数列的项来验证时，项要具有一般性．【解答】解：（1）数列{a n}不为封闭数列．∵n=1，2时，a1+a2=3+9=12，32＜12＜33，可得a1+a2≠3m，m∈N*，∴a1+a2∉{a n}，因此{a n}不是封闭数列．（2）数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1且a2﹣a1=2，∴数列{a n}为等差数列，公差为2．∴a n=a1+2（n﹣1）．又{a n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m﹣1）=a1+2（p﹣1），得a1=2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶数，又由已知，，故＜，可得：＜S1＜8，可得a1=4或a1=6或a1=2，经过验证可得：a1=4或a1=6．（3）证明：（必要性）若存在整数m≥﹣1，使a1=md，则任取等差数列的两项a s，a t（s≠t），于是a s+a t=a1+（s﹣1）d+md+（t﹣1）d=a1+（s+m+t﹣2）d=a s+m+t﹣1，由于s+t≥3，m≥﹣1，∴s+t+m﹣1∈N*为正整数，∈{a n}，∴{a n}是封闭数列．∴a s+m+t﹣1（充分性）任取等差数列的两项a s，a t（s≠t），若存在a k使a s+a t=a k，则2a1+（s+t﹣2）d=a1+（k﹣1）d⇒a1=（k﹣s﹣t+1）d，故存在m=k﹣s﹣t+1∈Z，使a1=md，下面证明m≥﹣1．当d=0时，显然成立．对d≠0，若m＜﹣1，则取p=﹣m≥2，对不同的两项a1和a p，存在a q使a1+a p=a q，即2md+（﹣m﹣1）d=md+（q﹣1）d⇒qd=0，这与q＞0，d≠0矛盾，故存在整数m≥﹣1，使a1=md．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、数列递推关系、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2018年上海市浦东新区高考数学二模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）＝2．（4分）不等式＜0的解集为．3．（4分）已知{a n}是等比数列，它的前n项和为S n，且a3＝4，a4＝﹣8，则S5＝4．（4分）已知f﹣1（x）是函数f（x）＝log2（x+1）的反函数，则f﹣1（2）＝5．（4分）（）9二项展开式中的常数项为6．（4分）椭圆（θ为参数）的右焦点坐标为7．（5分）满足约束条件的目标函数f＝3x+2y的最大值为8．（5分）函数f（x）＝cos2x+，x∈R的单调递增区间为9．（5分）已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为米10．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0）、（1，0，1）、（0，1，1）、（1，1，0），则该四面体的体积为．11．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果对于任意x∈[1，2]，f（ax+1）≤f（x﹣3）恒成立，则实数a的取值范围是．12．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣5x+7，若对于任意的正整数n，在区间[1，n]上存在m+1个实数a0、a1、a2、…a m，使得f（a0）＞f（a1）+f（a2）+…+f（a m）成立，则m 的最大值为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知方程x2﹣px+1＝0的两虚根为x1、x2，若|x1﹣x2|＝1，则实数p的值为（）A．B．C．，D．，14．（5分）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）|z1+z2|≤|z1|+|z2|；（2）|z1•z2|＝|z1|•|z2|；（3）（z1•z2）•z3＝z1•（z2•z3），相应的在向量运算中，下列式子：（1）||≤||+||；（2）||＝||•||；（3）（）＝），正确的个数是（）A．0B．1C．2D．315．（5分）唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙．”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）设P、Q是R上的两个非空子集，如果存在一个从P到Q的函数y＝f（x）满足：（1）Q＝{f（x）|x∈P}；（2）对任意x1，x2∈P，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合构成“P→Q恒等态射”，以下集合可以构成“P→Q恒等态射”的是（）A．R→Z B．Z→Q C．[1，2]→（0，1）D．（1，2）→R三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）已知圆锥AO的底面半径为2，母线长为2，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是AB的中点，且．（1）求圆锥的全面积；（2）求直线CD与平面AOB所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（14分）在△ABC中，边a、b、c分别为角A、B、C所对应的边．（1）若＝0，求角C的大小；（2）若sin A＝，C＝，c＝，求△ABC的面积．19．（14分）已知双曲线C：x2﹣y2＝1．（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C的渐近线相切的圆的方程；（2）若经过点P（0，﹣1）的直线与双曲线C的右支交于不同两点M、N，求线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围．20．（16分）已知函数y＝f（x）定义域为R，对于任意x∈R恒有f（2x）＝﹣2f（x）．（1）若f（1）＝﹣3，求f（16）的值；（2）若x∈（1，2]时，f（x）＝x2﹣2x+2，求函数y＝f（x），x∈（1，8]的解析式及值域；（3）若x∈（1，2]时，f（x）＝﹣|x﹣|，求y＝f（x）在区间（1，2n]，n∈N*上的最大值与最小值．21．（18分）已知数列{a n}中a1＝1，前n项和为S n，若对任意的n∈N*，均有S n＝a n+k﹣k （k是常数，且k∈N*）成立，则称数列{a n}为“H（k）数列”．（1）若数列{a n}为“H（1）数列”，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若数列{a n}为“H（2）数列”，且a2为整数，试问：是否存在数列{a n}，使得﹣a n﹣1a n+1|≤40对一切n≥2，n∈N*恒成立？如果存在，求出这样数列{a n}的a2的所有可能值，如果不存在，请说明理由；（3）若数列{a n}为“H（k）数列”，且a1＝a2＝…＝a k＝1，证明：a n+2k≥（1）n﹣k．2018年上海市浦东新区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）＝2【解答】解：．故答案为：2．2．（4分）不等式＜0的解集为（0，1）．【解答】解：由不等式＜0可得x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，故答案为：（0，1）．3．（4分）已知{a n}是等比数列，它的前n项和为S n，且a3＝4，a4＝﹣8，则S5＝11【解答】解：∵a3＝4，a4＝﹣8，∴公比q＝＝＝﹣2，则a2＝﹣2，a1＝1，a5＝16，则S5＝1﹣2+4﹣8+16＝11，故答案为：11．4．（4分）已知f﹣1（x）是函数f（x）＝log2（x+1）的反函数，则f﹣1（2）＝3【解答】解：∵f﹣1（x）是函数f（x）＝log2（x+1）的反函数，令f（x）＝log2（x+1）＝2，解得：x＝3，故f﹣1（2）＝3，故答案为：35．（4分）（）9二项展开式中的常数项为84【解答】解：（）9的展开式的通项为＝．取，得r＝3．∴（）9二项展开式中的常数项为．故答案为：84．6．（4分）椭圆（θ为参数）的右焦点坐标为（1，0）【解答】解：根据题意，椭圆（θ为参数）的普通方程为+＝1，其中a＝2，b＝，则c＝1；故椭圆的右焦点坐标为（1，0）；故答案为：（1，0）7．（5分）满足约束条件的目标函数f＝3x+2y的最大值为【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，）．化目标函数f＝3x+2y为y＝﹣x+，由图可知，当直线y＝﹣x+过A时，直线在y轴上的截距最大，f有最大值为．故答案为：．8．（5分）函数f（x）＝cos2x+，x∈R的单调递增区间为[，]，k∈Z．【解答】解：函数f（x）＝cos2x+＝cos2x+sin2x+＝sin（2x+），令2x+，k∈Z．可得：≤x≤，∴单调递增区间为[，]，k∈Z．故答案为：[，]，k∈Z．9．（5分）已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为4米【解答】解：由题意，设y＝ax2，代入（4，﹣2），∴a＝﹣，∴﹣3＝﹣x2，解得x＝2∴水面的宽为4，故答案为：410．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0）、（1，0，1）、（0，1，1）、（1，1，0），则该四面体的体积为．【解答】解：如图所示，满足条件的四面体为正方体的内接正四面体O﹣ABC．∴该四面体的体积V＝＝．故答案为：．11．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果对于任意x∈[1，2]，f（ax+1）≤f（x﹣3）恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，0]．【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果对于任意x∈[1，2]，f（ax+1）≤f（x﹣3）恒成立，可得|ax+1|≤|x﹣3|在x∈[1，2]恒成立，即有|ax+1|≤3﹣x，即x﹣3≤ax+1≤3﹣x，可得x﹣4≤ax≤2﹣x，即1﹣≤a≤﹣1在x∈[1，2]恒成立，由y＝1﹣在x∈[1，2]递增，可得y的最大值为1﹣2＝﹣1；y＝﹣1在x∈[1，2]递减，可得y的最小值为1﹣1＝0，则﹣1≤a≤0，故答案为：[﹣1，0]．12．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣5x+7，若对于任意的正整数n，在区间[1，n]上存在m+1个实数a0、a1、a2、…a m，使得f（a0）＞f（a1）+f（a2）+…+f（a m）成立，则m的最大值为6【解答】解：∵n为正整数，∴n+≥，∴f（x）在区间[1，]上最大值为f（）＝，最小值为f（）＝，∵＝×6+，∴m的最大值为6．故最大值为6．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知方程x2﹣px+1＝0的两虚根为x1、x2，若|x1﹣x2|＝1，则实数p的值为（）A．B．C．，D．，【解答】解：方程x2﹣px+1＝0的两虚根为x1、x2，∴△＝p2﹣4＜0，解得﹣2＜p＜2，∴方程x2﹣px+1＝0的两虚根为x1、x2，即x1＝，x2＝，∴|x1﹣x2|＝＝1，解得p＝±．故选：A．14．（5分）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）|z1+z2|≤|z1|+|z2|；（2）|z1•z2|＝|z1|•|z2|；（3）（z1•z2）•z3＝z1•（z2•z3），相应的在向量运算中，下列式子：（1）||≤||+||；（2）||＝||•||；（3）（）＝），正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：根据在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）|z1+z2|≤|z1|+|z2|；（2）|z1•z2|＝|z1|•|z2|；（3）（z1•z2）•z3＝z1•（z2•z3），相应的在向量运算中，下列式子：（1）||≤||+||，正确；（2）而||＝||•||cos＜＞，因此不正确；（3）由于与不一定共线，因此（）＝）不正确．因此正确的个数是1．故选：B．15．（5分）唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙．”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵不到蓬莱→不成仙，∴成仙→到蓬莱，故选：A．16．（5分）设P、Q是R上的两个非空子集，如果存在一个从P到Q的函数y＝f（x）满足：（1）Q＝{f（x）|x∈P}；（2）对任意x1，x2∈P，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合构成“P→Q恒等态射”，以下集合可以构成“P→Q恒等态射”的是（）A．R→Z B．Z→Q C．[1，2]→（0，1）D．（1，2）→R【解答】解：根据题意，函数f（x）的定义域为P，单调递增，值域为Q，由此判断，对于A，定义域为R，值域为整数集，且为递增函数，找不出这样的函数；对于B，定义域为Z，值域为Q，且为递增函数，找不出这样的函数；对于C，定义域为[1，2]，值域为（0，1），且为递增函数，找不出这样的函数；对于D，可取f（x）＝tan（πx﹣），且f（x）在（1，2）递增，可得值域为R，满足题意．故选：D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）已知圆锥AO的底面半径为2，母线长为2，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是AB的中点，且．（1）求圆锥的全面积；（2）求直线CD与平面AOB所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】解：（1）∵圆锥AO的底面半径为r＝2，母线长为l＝2，∴圆锥的全面积S＝πrl+πr2＝+π×22＝（4+4）π．（2）∵圆锥AO的底面半径为2，母线长为2，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是AB的中点，且．∴以O为圆心，OC为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，OA＝＝6，C（2，0，0），A（0，0，6），B（0，2，0），D（0，1，3），＝（2，﹣1，﹣3），平面ABO的法向量＝（1，0，0），设直线CD与平面AOB所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴θ＝arcsin．∴直线CD与平面AOB所成角为arcsin．18．（14分）在△ABC中，边a、b、c分别为角A、B、C所对应的边．（1）若＝0，求角C的大小；（2）若sin A＝，C＝，c＝，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由题意，2c sin C＝（2a﹣b）sin A•（1+），即2c sin C＝（2a﹣b）sin A+（2b﹣a）sin B由正弦定理得2c2＝（2a﹣b）a+（2b﹣a）b．∴c2＝a2+b2﹣ab．∴cos C＝．∵0＜C＜π．∴C＝（2）由sin A＝，C＝，c＝，根据正弦定理：，可得：a＝由a＜c即A＜C，∴cos A＝那么：sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+sin C cos A＝故得△ABC的面积S＝ac sin B＝．19．（14分）已知双曲线C：x2﹣y2＝1．（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C的渐近线相切的圆的方程；（2）若经过点P（0，﹣1）的直线与双曲线C的右支交于不同两点M、N，求线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围．【解答】解：（1）双曲线的右焦点为F2（，0），渐近线方程为：x±y＝0．∴F2到渐近线的距离为＝1，∴圆的方程为（x﹣）2+y2＝1．（2）设经过点P的直线方程为y＝kx﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去y得：（1﹣k2）x2+2kx﹣2＝0，∴，解得1＜k＜．∴MN的中点为（，），∴线段MN的中垂线方程为：y+＝﹣（x+），令x＝0得截距t＝＝＞2．即线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围是（2，+∞）．20．（16分）已知函数y＝f（x）定义域为R，对于任意x∈R恒有f（2x）＝﹣2f（x）．（1）若f（1）＝﹣3，求f（16）的值；（2）若x∈（1，2]时，f（x）＝x2﹣2x+2，求函数y＝f（x），x∈（1，8]的解析式及值域；（3）若x∈（1，2]时，f（x）＝﹣|x﹣|，求y＝f（x）在区间（1，2n]，n∈N*上的最大值与最小值．【解答】解：1）f（1）＝﹣3，f（2x）＝﹣2f（x）．那么f（2）＝﹣2f（1）＝﹣3×（﹣2）∴f（4）＝f（22）＝﹣2f（2）＝﹣3×（﹣2）2∴f（23）＝﹣3×（﹣2）3∴f（16）＝f（24）＝﹣3×（﹣2）4＝﹣48（2）由f（2x）＝﹣2f（x）．可得f（x）＝﹣2f（）当x∈（1，2]时，f（x）＝x2﹣2x+2，那么：x∈（2，4]时，f（x）＝﹣2f（）＝﹣2[）]＝那么：x∈（4，8]时，f（x）＝﹣2f（）＝﹣2[]＝故得x∈（1，8]的解析式为f（x）＝根据二次函数的性质，可得值域为[﹣4，﹣2）∪（1，2]∪（4，8]．（3）（2）由f（2x）＝﹣2f（x）．可得f（x）＝﹣2f（）当x∈（1，2]时，f（x）＝﹣||，得当x∈（2，22]时，f（x）＝﹣2f（）＝|x﹣3|；当x∈（2n﹣1，2n]时，∈（1，2]，f（x）＝﹣2f（）＝（﹣2）n﹣1f（）＝（﹣1）n|x﹣3•2n﹣2|；当x∈（2n﹣1，2n]时，n为奇数时，f（x）＝|x﹣3•2n﹣2|∈[，0]当x∈（2n﹣1，2n]时，n为偶数时，f（x）＝﹣|x﹣3•2n﹣2|∈[0，]综上：n＝1时，f（x）在（1，2]上最大值为0，最小值为n≥2，n为偶数时，f（x）在（1，2n]上最大值为，最小值为n≥3，n为奇数时，f（x）在（1，2n]上最小值为﹣，最大值为．21．（18分）已知数列{a n}中a1＝1，前n项和为S n，若对任意的n∈N*，均有S n＝a n+k﹣k （k是常数，且k∈N*）成立，则称数列{a n}为“H（k）数列”．（1）若数列{a n}为“H（1）数列”，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若数列{a n}为“H（2）数列”，且a2为整数，试问：是否存在数列{a n}，使得﹣a n﹣1a n+1|≤40对一切n≥2，n∈N*恒成立？如果存在，求出这样数列{a n}的a2的所有可能值，如果不存在，请说明理由；（3）若数列{a n}为“H（k）数列”，且a1＝a2＝…＝a k＝1，证明：a n+2k≥（1）n﹣k．【解答】（1）解：数列{a n}为“H（1）数列”，则S n＝a n+1﹣1，可得：S n+1＝a n+2﹣1，两式相减得：a n+2＝2a n+1，又n＝1时，a1＝a2﹣1，∴a2＝2＝2a1．故a n+1＝2a n，对任意的n∈N*恒成立，故数列{a n}为等比数列，其通项公式为a n＝2n﹣1，n∈N*．∴S n＝2n﹣1．（2）解：S n＝a n+2﹣2，S n+1＝a n+3﹣2，相减可得：a n+1＝a n+3﹣a n+2，a n+1+a n+2＝a n+3，n≥2时，a n+2＝a n+1+a n（n≥2），∴n≥3时，﹣a n a n+2＝﹣a n（a n+1+a n）＝a n+1（a n+1﹣a n）﹣＝a n+1a n﹣1﹣．则|﹣a n a n+2|＝﹣a n﹣1a n+1|，则﹣a n﹣1a n+1|＝（n≥3），∵a4＝a3+a2．∴﹣a n﹣1a n+1|＝|﹣a2a3﹣|，∵S1＝a3﹣2，a1＝1，可得：a3＝3，∴≤40，且≤40．解得：a2＝0，±1，±2，±3，±4，5，﹣6．（3）证明：a n+k＝S n+k，a n﹣1+k＝S n﹣1+k（n≥2），可得：a n+k＝a n+k﹣1+a n，a k+1＝S1+k＞0，由归纳知，a k+2＞0，……，a n＞0，a1＝a2＝……＝a k＝1，a k+1＝k+1，由归纳知，a n≤a n+1．则a n+k＝a n+k﹣1+a n≤a n+k﹣1+a n+k﹣1＝2a n+k﹣1，n≥2，a n+k≤2a n+k﹣1，n≥2，∴a n+k a n+k+1≥a n+k+2≥……≥a n+2k﹣1（n∈N*），于是：a n+2k＝a n+2k﹣1+a n+k≥（1+）a n+2k﹣1（n∈N*），于是：a n+2k≥a2k．a2k＝S k+k＝2k，∴a n+2k≥•2k＞（2k＞）．∴a n+2k≥（1）n﹣k．。

上海市静安区达标名校2018年高考二月数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 和2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为（ ） A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取最大值时n 的值为( ) A ．2020B ．20l9C ．2018D ．20173．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．4．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122B ．112C ．102D ．925．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ） A ．33y x =±B ．3y x =C ．22y x =±D ．2y x =±6．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．53C ．54D ．327．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为-45，则实数a 的值为（ ） A ．23B ．2C ．14D ．139．已知()5x a +展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则2x 项系数为（ ） A ．10B ．32C ．40D ．8010．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线xy e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N11．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若32a =，12b =，则输出的n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A ．b c a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，m}，B={2，4}，若A∪B={1，2，3，4}，则实数m=．2．（4分）（x+）n的展开式中的第3项为常数项，则正整数n=．3．（4分）已知复数z满足z2=4+3i（i为虚数单位），则|z|=．4．（4分）已知平面直角坐标系xOy中动点P（x，y）到定点（1，0）的距离等于P到定直线x=﹣1的距离，则点P的轨迹方程为．5．（4分）已知数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是其前n项和，则=．6．（4分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最大值为．7．（5分）将圆心角为，面积为3π的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为．8．（5分）三棱锥P﹣ABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱PB的长为．9．（5分）某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖，则顾客抽奖中三等奖的概率为．10．（5分）已知函数f（x）=lg（+ax）的定义域为R，则实数a的取值范围是．11．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，∠A=120°，•=﹣，则线段AM 长的最小值为．12．（5分）若实数x、y满足4x+4y=2x+1+2y+1，则S=2x+2y的取值范围是．二、选择题（每题5分）13．（5分）“x=2”是“x≥1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件14．（5分）参数方程（t为参数，且0≤t≤3）所表示的曲线是（）A．直线B．圆弧C．线段D．双曲线的一支15．（5分）点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f（x）的图象的形状大致是图中的（）A．B．C．D．16．（5分）在计算机语言中，有一种函数y=INT（x）叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示y等于不超过x的最大整数，如INT（0.9）=0，INT（3.14）=3，已知a n=INT（×10n），b1=a1，b n=a n﹣10a n﹣1（n∈N*，且n≥2），则b2018等于（）A．2B．5C．7D．8三、解答题17．（14分）已知函数f（x）=2sin2x+sin（2x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（A）=2，求sinC的值．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=2，AD=1，PA=BC=4，PA⊥平面ABCD．（1）求异面直线BD与PC所成角的大小；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．19．（14分）某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益，先准备制定一个奖励方案：奖金y（单位：万元）随收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%．（1）若建立函数y=f（x）模型制定奖励方案，试用数学语言表示该团队对奖励函数f（x）模型的基本要求，并分析y=+2是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该团队采用模型函数f（x）=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．20．（16分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆Γ上．（1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，过点P的直线l与椭圆Γ交于两个不同的点C，D（点C在点D的上方），试求△COD面积的最大值；（3）若直线m经过点M（1，0），且与椭圆Γ交于两个不同的点A，B，是否存在直线l0：x=x0（其中x0＞2），使得A，B到直线l0的距离d A，d B满足=恒成立？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．21．（18分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足4S n=（a n+1）2，若数列{b n}满足b1=2，b2=4，且等式b n2=b nb n+1对任意n≥2成立．﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}与{b n}的项相间排列构成新数列a1，b1，a2，b2，…，a n，b n，…，设该新数列为{c n}，求数列{c n}的通项公式和前2n项的和T2n；（3）对于（2）中的数列{c n}前n项和T n，若T n≥λ•c n对任意n∈N*都成立，求实数λ的取值范围．2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，m}，B={2，4}，若A∪B={1，2，3，4}，则实数m=3．【考点】1D：并集及其运算．【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】根据并集的定义与性质，直接写出m的值．【解答】解：集合A={1，2，m}，B={2，4}，若A∪B={1，2，3，4}，则实数m=3．故答案为：3．【点评】本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．2．（4分）（x+）n的展开式中的第3项为常数项，则正整数n=4．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；5P：二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，结合已知可得r=2时，x的指数为0，则答案可求．【解答】解：=．∵展开式中的第3项为常数项，∴n﹣4=0，得n=4．故答案为：4．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．3．（4分）已知复数z满足z2=4+3i（i为虚数单位），则|z|=．【考点】A8：复数的模．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接把等式两边求模，然后开方即可求得|z|．【解答】解：由z2=3+4i，得|z2|=|z|2==5，∴|z|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．4．（4分）已知平面直角坐标系xOy中动点P（x，y）到定点（1，0）的距离等于P到定直线x=﹣1的距离，则点P的轨迹方程为y2=4x．【考点】J3：轨迹方程．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件通过抛物线的定义，写出动点P的轨迹方程．【解答】解：∵动点P（x，y）到定点（1，0）的距离等于P到定直线x=﹣1的距离，满足抛物线的定义，∴p=2，所以y2=4x所以动点P的轨迹方程为：y2=4x．故答案为：y2=4x．【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查了抛物线的定义的应用，是基本知识的考查．5．（4分）已知数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是其前n项和，则=．【考点】8J：数列的极限．【专题】34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列的定义求出数列的通项公式和前n项和公式，利用极限的定义进行求解即可．【解答】解：等差数列的通项公式a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，前n项和公式S n=n+×2=n+n2﹣n=n2，则===，故答案为：．【点评】本题主要考查数列极限的求解，结合等差数列的通项公式和前n项和公式是解决本题的关键．6．（4分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最大值为4．【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】作出满足不等式组的可行域，由z=3x﹣y可得y=3x﹣z可得﹣z为该直线在y轴上的截距，截距越小，z越大，结合图形可求z的最大值．【解答】解：作出满足不等式组的可行域，如图所示的阴影部分由z=3x﹣y可得y=3x﹣z可得﹣z为该直线在y轴上的截距，截距越小，z越大，作直线L：3x﹣y=0，可知把直线平移到A（2，2）时，Z最大，故z max=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7．（5分）将圆心角为，面积为3π的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意画出图形，由已知求出扇形的半径，进一步得到圆锥的母线长，底面半径及高，则答案可求．【解答】解：如图，设扇形的半径为R，则，即R=3．∴圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r，由，解得r=1．则圆锥的高为．∴圆锥的体积为V=．故答案为：．【点评】本题考查圆锥体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，明确圆锥剪展前后量的关系是关键，是中档题．8．（5分）三棱锥P﹣ABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱PB的长为4．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5Q：立体几何．【分析】由主视图知CP⊥平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CP长及△ABC中边AC的高，利用勾股定理即可求出棱BP的长．【解答】解：由主视图知CP⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=2；由左视图知CP=4，BE=2，在Rt△BCE中，BC==4，在Rt△BCP中，BP==4．故答案为：4【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力．9．（5分）某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖，则顾客抽奖中三等奖的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】基本事件总数n=4×4=16，利用列举法求出顾客抽奖中三等奖包含的基本事件有7种，由此能求出顾客抽奖中三等奖的概率．【解答】解：规定每位顾客从装有0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖，基本事件总数n=4×4=16，顾客抽奖中三等奖包含的基本事件有：（0，3），（3，0），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，2），共7种，∴顾客抽奖中三等奖的概率为p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．（5分）已知函数f（x）=lg（+ax）的定义域为R，则实数a的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】35：转化思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的真数大于0，得出+ax＞0恒成立，再求此不等式恒成立时a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=lg（+ax）的定义域为R，∴+ax＞0恒成立，∴＞﹣ax恒成立，即（1﹣a2）x2+1＞0恒成立；∴1﹣a2≥0，解得﹣1≤a≤1；∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了不等式恒成立问题，是基础题．11．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，∠A=120°，•=﹣，则线段AM 长的最小值为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据题意表示出向量，利用基本不等式求出的最小值，即可得出线段AM的最小值．【解答】解：△ABC中，点M是BC中点，∴=（+）；再由∠A=120°，•=﹣，可得||•||•cos120°=﹣，∴||•||=1；又=（+2•+）=[++2×（﹣）]≥（2||•||﹣1）=，∴||≥，即线段AM的最小值是．故答案为：．【点评】本题主要考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题．12．（5分）若实数x、y满足4x+4y=2x+1+2y+1，则S=2x+2y的取值范围是（2，4] ．【考点】4E：指数函数综合题；7F：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题．【分析】根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于s的不等关系式，进而可求出s的取值范围．【解答】解：∵4x+4y=（2x+2y）2﹣2••2x2y=s2﹣2•2x2y，2x+1+2y+1=2（2x+2y）=2s，故原式变形为s2﹣2•2x2y=2s，即2•2x2y=s2﹣2s，∵0＜2•2x2y≤2•（）2，即0＜s2﹣2s≤，当且仅当2x=2y，即x=y时取等号；解得2＜s≤4，故答案为（2，4]．【点评】利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握．二、选择题（每题5分）13．（5分）“x=2”是“x≥1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当x=2时，满足x≥1，当x=3时，满足x≥1但x=2不成立，即“x=2”是“x≥1”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．14．（5分）参数方程（t为参数，且0≤t≤3）所表示的曲线是（）A．直线B．圆弧C．线段D．双曲线的一支【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．【分析】根据题意，由参数方程中t的范围分析可得x、y的范围，结合参数方程消去参数可得x﹣3y=10，结合x、y的范围分析可得答案．【解答】解：根据题意，参数方程，若0≤t≤3，则有：4≤x≤31，﹣2≤y≤7，又由参数方程，则y+2=（x﹣4），即x﹣3y=10，又由4≤x≤31，﹣2≤y≤7，则参数方程表示的是线段；故选：C．【点评】本题考查参数方程与普通方程的转化，注意t的取值范围．15．（5分）点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f（x）的图象的形状大致是图中的（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】31：数形结合．【分析】随着点P的位置的不同，讨论三种情形即在AB上，在BC上，以及在CM上分别建立面积的函数，分段画出图象即可．【解答】解：根据题意得f（x）=，分段函数图象分段画即可，故选：A．【点评】本题主要考查了分段函数的图象，分段函数问题，应切实理解分段函数的含义，把握分段解决的策略．16．（5分）在计算机语言中，有一种函数y=INT（x）叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示y等于不超过x的最大整数，如INT（0.9）=0，INT（3.14）=3，已知a n=INT（×10n），b1=a1，b n=a n﹣10a n﹣1（n∈N*，且n≥2），则b2018等于（）A．2B．5C．7D．8【考点】8H：数列递推式．【专题】49：综合法；4F：归纳法；51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列．【分析】a n=INT（×10n），b1=a1，b n=a n﹣10a n﹣1（n∈N*，且n≥2），可得：a1=2=b1，a2=28，b2=28﹣10×2=8，……，可得：b n+6=b n．利用周期性即可得出．【解答】解：∵a n=INT（×10n），b1=a1，b n=a n﹣10a n﹣1（n∈N*，且n≥2），∴a1=2=b1，a2=28，b2=28﹣10×2=8，同理可得：b3=5，b4=7，b5=1，b6=4，b7=2，b8=8，……，可得：b n=b n．+6则b2018=b336×6+2=b2=8．故选：D．【点评】本题考查了数列递推关系、取整函数、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．（14分）已知函数f（x）=2sin2x+sin（2x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（A）=2，求sinC的值．【考点】H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】（1）利用倍角公式及两角和的正弦化简变形，再由周期公式求得周期，结合正弦函数的值域求得原函数值域；（2）由已知求得sinB，再由f（A）=2求得A，结合sinC=sin（A+B），展开两角和的正弦求解．【解答】解：（1）∵f（x）=2sin2x+sin（2x+）=1﹣cos2x+sin2xcos+cos2xsin==．∴T=，∵﹣1，∴函数值域为[0，2]；（2）∵A，B，C为△ABC的三个内角，∴由cosB=，得sinB=，又f（A）=2，即，则，∴2A=，得A=．∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查函数的周期及其最值的求法，训练了两角和的正弦的应用，是中档题．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=2，AD=1，PA=BC=4，PA⊥平面ABCD．（1）求异面直线BD与PC所成角的大小；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BD与PC所成角的大小．（2）求出平面APC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=2，AD=1，PA=BC=4，PA⊥平面ABCD．∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，B（2，0，0），D（0，1，0），P（0，0，4），C（2，4，0），=（﹣2，1，0），=（2，4，﹣4），∵=﹣4+4+0=0，∴BD⊥PC，∴异面直线BD与PC所成角的大小为．（2）=（0，0，4），=（2，4，0），=（0，﹣1，4），=（2，3，0），设平面APC的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，﹣1，0），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（﹣6，4，1），设二面角A﹣PC﹣D的平面角为θ，cosθ===．∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．19．（14分）某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益，先准备制定一个奖励方案：奖金y（单位：万元）随收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%．（1）若建立函数y=f（x）模型制定奖励方案，试用数学语言表示该团队对奖励函数f（x）模型的基本要求，并分析y=+2是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该团队采用模型函数f（x）=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据条件得出f（x）的三个条件，并判断y=+2是否满足3个条件；（2）根据（1）的三个条件列不等式即可确定a的范围，从而可求满足条件的最小的正整数a的值．【解答】解：（1）f（x）满足的基本要求是：①f（x）是定义域[10，1000]上的增函数，②f（x）的最大值不超过9，③f（x）≤在[10，1000]上恒成立．若f（x）=+2，则当x=10时，f（10）=+2＞2，而=2，故不满足条件③，∴y=+2不符合团队要求的奖励函数模型．（2）f（x）==10﹣（10≤x≤1000）．∵f（x）是增函数，∴3a+20＞0，即a＞﹣．∴f（x）的最大值为f（1000）=10﹣≤9，解得：a≥．令≤在10，1000]上恒成立，即x2﹣48x+15a≥0在10，1000]上恒成立，∴242﹣48×24+15a≥0，解得a≥．综上，a≥．又a为正整数，∴符合条件的最小正整数a的值为328．【点评】本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，同时，确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言﹣﹣数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结果，关键是理解题意，将变量的实际意义符号化．20．（16分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆Γ上．（1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，过点P的直线l与椭圆Γ交于两个不同的点C，D（点C在点D的上方），试求△COD面积的最大值；（3）若直线m经过点M（1，0），且与椭圆Γ交于两个不同的点A，B，是否存在直线l0：x=x0（其中x0＞2），使得A，B到直线l0的距离d A，d B满足=恒成立？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】16：压轴题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据椭圆的焦距求出c，由P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆Γ上可得a=2，即可求出b2，可得椭圆方程，（2）设过点P（0，2）的直线方程为y=mx+2，代入椭圆方程，运用韦达定理，弦长公式和点到直线的距离，表示出三角形的面积，再根据函数的性质即可求出最值．（3）设直线l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，运用韦达定理，假设存在这样的直线l0，运用点到直线的距离公式和两点的距离公式，可得=，化简整理代入，即可判断．【解答】解：（1）椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，∴2c=2，即c=，∵P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆Γ上，∴（﹣2，0）在椭圆Γ上，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=1，∴+y2=1；（2）设过点P（0，2）的直线方程为y=mx+2，联立方程组可得，消y可得（1+4m2）x2+16mx+12=0，△=4m2﹣3＞0，设C（x C，y C），D（x D，y D），∴x C+x D=﹣，x C x D=，∴|CD|=•=•，∴点O到直线CD的距离d=，∴S=|CD|•d=4×，△COD设1+4m2=t，则t＞4，=4=4=4，∴S△COD当t=8时，取得最大值，即为1，（3）设直线l的方程为y=k（x﹣1），联立方程组，整理得：（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2），即有x1+x2=，x1x2=，存在直线l0：x=x0（其中x0＞2），使得A，B到l0的距离d A，d B满足：=恒成立，∴=，即为2x1x2+2x0﹣（1+x0）（x1+x2）=0，即有+2x0﹣（1+x0）•=0，即为8k2﹣8+2x0（1+4k2）﹣8k2（1+x0）=0，∴2x0=8，解得x0=4＞2．故存在这样的x0的值：x0=4．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意椭圆性质、根的判别式、韦达定理的合理运用，属于中档题．21．（18分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足4S n=（a n+1）2，若数列{b n}满足b1=2，b2=4，且等式b n2=b nb n+1对任意n≥2成立．﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}与{b n}的项相间排列构成新数列a1，b1，a2，b2，…，a n，b n，…，设该新数列为{c n}，求数列{c n}的通项公式和前2n项的和T2n；（3）对于（2）中的数列{c n}前n项和T n，若T n≥λ•c n对任意n∈N*都成立，求实数λ的取值范围．【考点】8E：数列的求和．【专题】32：分类讨论；34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由4S n=（a n+1）2，n=1时，4a1=，解得a1．n≥2时，4a n=4（S n﹣S n﹣1），化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，根据数列{a n}的各项均为正数，可得a n﹣a n﹣1=2，利用等差数列的通项公式可得a n．（2）数列{b n}满足b1=2，b2=4，且等式b n2=b n﹣1b n+1对任意n≥2成立．利用等比数列的通项公式可得b n．进而得出c n，T2n．（3）T n≥λ•c n，即n2+2n+1﹣2≥λc n，对n分类讨论即可得出．【解答】解：（1）由4S n=（a n+1）2，n=1时，4a1=，解得a1=1．n≥2时，4a n=4（S n﹣S n﹣1）=（a n+1）2﹣，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n+a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1=2，∴数列{a n}为等差数列，首项为1，公差为2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）数列{b n}满足b1=2，b2=4，且等式b n2=b n﹣1b n+1对任意n≥2成立．∴数列{b n}是等比数列，首项为2，公比为=2．∴b n=2n．∴c n=，k∈N*．∴T2n=+=n2+2n+1﹣2．（3）T n≥λ•c n，即n2+2n+1﹣2≥λc n，n=2k时，λ≤的最小值，f（k）==+2，k≥2时单调递减，∴f（k）≤+2=．k=1时，f（1）==．∴λ≤．n=2k﹣1时，λ≤的最小值，同理可得：λ≤1．综上可得：实数λ的取值范围是λ≤1．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。