2018年全国高考真题分类汇编----数列
一、填空题
1.（北京理4改）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理
论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二
个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为__________．
1.
2.（北京理9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 2．63n a n =-
3.（全国卷I 理4改）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a __________． 3.10-
4.（浙江10改）．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则13,a a 的大小关系是_____________，24,a a 的大小关系是_____________．
4.1
3
2
4
,a a a a ><
5.（江苏14）．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依
次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________．
5．27
二、解答题
6.（北京文15）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求12e e e n a a a +++. 6．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=，∴1235ln 2a d +=，
又1ln 2a =，∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（I ）知ln 2n a n =，∵ln 2ln 2e
e e =2n
n
a n n ==，
∴{e }n a
是以2为首项，2为公比的等比数列.∴2
12ln 2ln 2ln 2e e e e e e n
n a a
a
++
+=++
+
2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-.
7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n
n a b n
=
． （1）求123b b b ，
，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{}n a 的通项公式．
7．解：（1）由条件可得a n +1=2(1)
n n a n
+．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4．
将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4． （2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得121n n a a
n n
+=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．
（3）由（2）可得12n n a
n
-=，所以a n =n ·2n -1．
8.（全国卷II 理17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求n S ，并求n S 的最小值． 8. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为
29n a n =-.（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--，所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为−16.
9.（全国卷III 理17）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．
9.解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1
n n a q -=.由已知得42
4q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =.
故1(2)n n a -=-或1
2n n a -=.
（2）若1
(2)n n a -=-，则1(2)3
n n S --=.由63m S =得(2)188m
-=-，此方程没有正整数解.
若12n n a -=，则21n
n S =-.由63m S =得264m =，解得6m =.综上，6m =.
10.（天津文18）设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N *）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n （n ∈N *）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6． （1）求S n 和T n ；
（2）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值．
10.本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.（1）解：设等比数列{}n b 的公比为q ，由b 1=1，b 3=b 2+2，可得2
20q q --=.
因为0q >，可得2q =，故1
2n n b -=.所以122112
n
n n T -=
=--. 设等差数列{}n a 的公差为d .由435b a a =+，可得134a d +=.由5462b a a =+，可得131316,a d += 从而
11,1a d ==，故n a n =，所以(1)
2n n n S +=.
（2）解：由（I ），知131
12(222)2 2.n n n T T T n n ++++=+++-=--
由12()4n n n n S T T T a b ++++=+可得1
1(1)2222
n n n n n n ++++--=+，
整理得2
340,n n --= 解得1n =-（舍），或4n =.所以n 的值为4.
11.（浙江20）已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ．
（1）求q 的值；
（2）求数列{b n }的通项公式．
11.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。
（1）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+，所以34543428a a a a ++=+=，
解得48a =.由3520a a +=得18()20q q
+=，因为1q >，所以2q =.
（2）设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .由11,1,
, 2.
n
n n S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-. 由（1）可知1
2n n a -=，所以111(41)()2
n n n b b n -+-=-⋅，
故2
11(45)(),22
n n n b b n n ---=-⋅≥，11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-
23111
(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅++⋅+.设
22111
3711()(45)(),2
222
n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅≥
