2008届广州市高三数学调研测试试题(文科)
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秘密★启用前2008年广州市高三教学质量抽测试题数 学（文科）2008．1本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答选择题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考试科目填写在答题卡上，并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合{}2,4,6M =的真子集的个数为A ．6B ．7C ．8D ．9 2．不等式2320x x -+<的解集是A ．{}21x x x <->-或B ．{}12x x x <>或 C ．{}21x x -<<- D ．{}12x x << 3．函数cos y x =的一个单调递增区间为A ．,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．()0,π C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ 4．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =A ．342n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭B ．243n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C ．1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭D ．1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭5．抛物线24y x =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 的横坐标x =A ．1B ．2C ．3D ．4 6．设复数z 满足i 2i z =-，则z =A ．12i --B ．12i -+C ．12i -D ．12i + 7．已知向量()1,1=a ，()2,n =b ，若+=a b a b ，则n = A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 8．如图1所示，是关于闰年的流程，则以下年份是 闰年的为 A ．1996年 B ．1998年 C ．2010年 D ．2100年9．已知α，β是平面，m ，n 是直线，给出下 列命题①若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥． ②若α⊂m ，α⊂n ，mβ，n β，则αβ．③如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交． ④若m αβ=，n ∥m ，且βα⊄⊄n n ,，则n ∥α且n ∥β．其中正确命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．1 10．函数()22log 1log 1x f x x -=+，若()()1221f x f x +=（其中1x 、2x 均大于２），则()12f x x 的最小值为 A ．35 B ．23 C ．45D 55-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．11．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了95人，则该校的女生人数应是 人．12．已知双曲线2214x y m-=的离心率为2，则实数m = ．13．如图2所示，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ，则()5f = ，()5f '= ．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点()1,0到直线()cos sin 2ρθθ+=的距离为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3所示，AB 与CD 是O的直径，AB ⊥CD ，P 是AB 延长线上一点，连PC 交O 于点E ，连DE 交AB 于点F ，若42==BP AB ，则=PF ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率； （2）求甲射击一次，至少命中7环的概率. 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，1cos 4B =． （1）求b 的值；（2）求sin C 的值．18．（本小题满分14分）如图4所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．（1）求证：PA 平面EFG ；（2）求三棱锥P EFG -的体积．图4ABC DEFGP 图2 OxyP8y x =-+5ADPCOEB F 图319．（本小题满分14分）已知曲线Γ上任意一点P 到两个定点()13,0F -和()23,0F 的距离之和为4．（1）求曲线Γ的方程；（2）设过()0,2-的直线l 与曲线Γ交于C 、D 两点，且0OC OD ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程． 20．（本小题满分14分）设函数3221()231,0 1.3f x x ax a x a =-+-+<< （1）求函数)(x f 的极大值；（2）若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设14(1)2(n an n n b λλ-=+-⋅为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n b b >+1成立．2008年广州市高三教学质量抽测数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．题号 1 2 34 5 67 8 9 10答案 B D D C B A D A C B10．方法1：由()()1221f x f x +=，得()()22212122log 21log 11log 1log 21x x x x --+=++，即22214log log 1x x =-．于是()212212221214log log log log 5log 1x x x x x x =+=+≥-，所以()()()()21212212212log 1221log 1log 13x x f x x x x x x -==-≥++．方法2：由()()1221f x f x +=，得()()22212122log 21log 11log 1log 21x x x x --+=++，即22214log log 1x x =-．于是()221212122122212121log log 44log log log log log 1log 1x x x x x x x x x -+=+=+=--， 则()()()2212122212log 125log 13x x t t f x x x x t --+==++（其中21log 1t x =>），再利用导数的方法求解．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共5小题，每小题5分，满分20分．11．760 12．12 13．3；－1 14215．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查互斥事件等基础知识，考查运算求解能力） 解：记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A ，“甲射击一次，命中7环”为事件B ，由于在一次射击中，A 与B 不可能同时发生，故A 与B 是互斥事件， （1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为A B +，由互斥事件的概率加法公式，()()()0.120.10.22P A B P A P B +=+=+=． 答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22．…………………………………6分 （2）方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件C ，“甲射击一次，命中9环（含9环）以上”为事件D ，则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为A C D ++， ∴()()()()0.120.220.560.9P A C D P A P C P D ++=++=++=．答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．…………………………………12分 方法2：∵“甲射击一次，至少命中7环”为事件A ， ∴)(1)(A P A P -==1－0.1＝0.9．答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．…………………………………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查正弦定理、余弦定理、解三角形等基础知识，考查运算求解能力） 解：（1）由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，………………………………………2分得222123223104b =+-⨯⨯⨯=，…………………………………………………4分 ∴10b =6分（2）方法1：由余弦定理，得222cos 2a b c C ab+-=，………………………………8分1082210==⨯⨯，………………………10分 ∵C 是ABC ∆的内角， ∴236sin 1cos C C =-=．………………………………………………………12分 方法2：∵1cos 4B =，且B 是ABC ∆的内角， ∴215sin 1cos B B =-=．………………………………………………………8分根据正弦定理，sin sin b cB C=，……………………………………………………10分 得153sin 364sin 10c BC b⨯===． ……………………………………………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间中线面关系，考查数形结合的数学思想和方法，以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力）（1）证法1：如图，取AD 的中点H ，连接,GH FH ，∵,E F 分别为,PC PD 的中点，∴EF CD ． ∵,G H 分别为,BC AD 的中点，∴GH CD ．∴EFGH ．∴,,,E F H G 四点共面．………………………………………………………………2分 ∵,F H 分别为,DP DA 的中点，∴PAFH ．……………………………………4分∵PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ， ∴PA平面EFG ．……………………………………………………………………6分证法2：∵,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点， ∴EF CD ，EG PB ．……………………………………………………………2分 ∵CD AB ，∴EFAB ．∵PBAB B =，EF EG E =，∴平面EFG 平面PAB ． …………………5分∵PA ⊂平面PAB ，∴PA 平面EFG ． …………………………………………6分（2）解：∵PD ⊥平面ABCD ，GC ⊂平面ABCD ，∴GC PD ⊥． ∵ABCD 为正方形，∴GC CD ⊥．∵PD CD D =，∴GC ⊥平面PCD ．……………………………………………8分∵112PF PD ==，112EF CD ==，∴1122PEF S EF PF ∆=⨯=．……………10分 ∵112GC BC ==，∴111113326P EFG G PEF PEF V V S GC --∆==⋅=⨯⨯=．…………………………………14分HABCDEFGP19．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆方程的定义等基础知识，考查分类与整合、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力） 解：（1）根据椭圆的定义，可知动点M 的轨迹为椭圆，………………………………1分 其中2a =，3c =221b a c =-=．………………………………………2分所以动点M 的轨迹方程为2214x y +=．………………………………………………4分（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．………………………………………5分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，设11(,)C x y ，22(,)D x y ， ∵0OC OD ⋅=，∴12120x x y y +=．……………………………………………7分 ∵112y kx =-，222y kx =-，∴21212122()4y y k x x k x x =⋅-++．∴ 21212(1)2()40k x x k x x +-++=．………… ① …………………………9分由方程组221,4 2.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()221416120k x kx +-+=．…………………………………………………11分则1221614k x x k +=+，1221214x x k⋅=+， 代入①，得()222121612401414k k k k k+⋅-⋅+=++． 即24k =，解得，2k =或2k =-．………………………………………………13分 所以，直线l 的方程是22y x =-或22y x =--．………………………………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数与导数的概念、不等式及其性质等基础知识，考查分类讨论、化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、逻辑推理能力、运算求解能力和创新意识）解：（1）∵2234)(a ax x x f -+-='，且01a <<，…………………………………1分当0)(>'x f 时，得a x a 3<<；当0)(<'x f 时，得a x a x 3><或； ∴)(x f 的单调递增区间为(,3)a a ；)(x f 的单调递减区间为),(a -∞和),3(+∞a ．…………………………………3分故当3x a =时，)(x f 有极大值，其极大值为()31f a =． …………………4分 （2）∵()()2222432f x x ax a x a a '=-+-=--+， 当103a <<时，12a a ->， ∴()f x '在区间[]1,1a a -+内是单调递减．…………………………………………6分 ∴[]()[]()2max min 861,21f x f a a a f x f a a ''''==-+-==-（）1-（）1+．∵()a f x a '-≤≤，∴2861,21.a a a a a ⎧-+-≤⎨-≥-⎩此时，a ∈∅．…………………………………………………………………………9分 当113a ≤<时，[]()2max 2f x f a a ''==（）． ∵()a f x a '-≤≤，∴22,21,861.a a a a a a a ⎧≤⎪-≥-⎨⎪-+-≥-⎩即01,1,37177171616a a a ⎧⎪≤≤⎪⎪≥⎨⎪⎪≤≤⎪⎩ ……11分此时，17173a +≤≤．……………………………………………………………13分 综上可知，实数a 的取值范围为1717,316⎡+⎢⎣⎦．…………………………………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、不等式及其性质等基础知识，考查分类讨论、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力）解：（1）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ）， …………………2分即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=．∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+．……………………………………………………………………………4分（2）∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅，要使n n b b >+1恒成立，∴()()112114412120nn n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立，∴()11343120n n n λ-+⋅-⋅->恒成立，∴()1112n n λ---<恒成立．……………………………………………………………6分（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，…………………………………………7分当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，∴1λ<．………………………………………………………………………………9分 （ⅱ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，………………………………………10分当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，∴2λ>-．……………………………………………………………………………12分 即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +>．…………………14分。
