概率论与数理统计-大数定律与中心极限定理、样本及其分布

解: 设Xk为第k次炮击炮弹命中的颗数(k=1,2,…,100),
在100次炮击中炮弹命中的总颗数
100
X = ∑ Xk k =1
相互独立地服从同一分布，
E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,…,100)
随机变量
∑ 1
100 × 1.5
100 k =1
(
X
k
−
2)
=
1 15
(
X
−
200)
2. 伯努利定理 事件发生的频率依概率收敛于事件的概率
3. 辛钦定理 （随机变量序列独立同分布且数学期望存在）
n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算术 平均值的数学期望。
给出了“频率稳定性”的严格数学解释. 提供了通过试验来确定事件概率的方法. 是数理统计中参数估计的重要理论依据之一.
§5.2 中心极限定理
望 E( Xk ) = µ (k = 1,2,"),则对于任意ε > 0,有
∑ lim
n→∞
P {|
1 n
n k =1
Xk
−
µ
|<
ε
}
=
1
说明
伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情
况。n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算
术平均值的数学期望。
三 小结
1、切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况 算术平均值依概率收敛于数学期望
= 1 − P { V − 100 ≤ 0.387 } (10 12 ) 20
∫ 0.387
≈ 1−
1
e − t 2 dt
−∞ 2π
= 1 −Φ (0.387) = 0.348
所以 P{V > 105} ≈ 0.348

Xn ⎯ ⎯→ X 2. 依概率收敛与依分布收敛的关系
依概率收敛 ⇒ 依分布收敛
L
3. 定义：中心极限定理 设随机变量 X ~ N(0,1)，{Xi }，i = 1, 2, … 相互独 立，且数学期望和方差都存在, 若标准化随机变量序列
∑
n
i =1
Xi −
∑ E(X
i =1
n
i
)
∑
n
i =1
D(X i)
所以结论成立。 由此有，若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有 ⎧ m1 − np X − np m2 − np ⎫ ⎪ ⎪ < ≤ P{m1 < X ≤ m2 }= P ⎨ ⎬ np(1 − p) np(1 − p) ⎪ ⎪ np(1 − p) ⎩ ⎭
⎧ Yn − np ⎫ ⎪ ⎪ ≤ x ⎬ = Φ( x ) lim P ⎨ n →∞ ⎪ np(1 − p ) ⎪ ⎩ ⎭
证明：对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示为 证明：对于任意正整数n Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn X1, X2,…, Xn 相互独立，Xi ~ B( 1, p )，且有 E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1-p) 所以随机变量序列{ Xi }, i =1,2,…满足独立同分布 中心极限定理条件。即有
切比雪夫不等式的应用 1）估计随机变量落在某个区间内的概率 (P125例5.5.2) 2）估计ε的值, 使 P(│X - E(X)│<ε) ≥ a (0<a<1) 3）证明大数定律。
二. 大数定律 定义： 依概率收敛 设{Xn}是一个随机变量序列，X 是一个随机变量 或常数，若对于任意的ε＞ 0，有 lim P{| X n − X |≥ ε } = 0

n
Yn x
lim P i1 n
n
x
x
证明略。
在实用上，n≥30
1
t2
e 2 dt
2
此定理表明，当n充分大时，Yn近似服从N 0,1.
n
即： X（i 近似）～N (n, n 2 ), i＝1
从而，P(a
n i 1
Xi
b)
(b n ) ( a n ).
n
n
答案：N (, 2 )
关键词： 总体 个体 样本 统计量
2 分布 t 分布 F 分布
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引言：数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析 和推断的科学。在概率论中已经知道，由于大 量的 随机试验中各种结果的出现必然呈现它的 规律 性，因而从理论上讲只要对随机现象进行 足够多次观察，各种结果的规律性一定能清楚 地呈现，但是实际上所允许的观察永远是有限 的，甚至是 少量的。 例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者 为次 品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是 破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只 能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本 的信 息来推断总体的信息，这是数理统计学研 究的问题之一。
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§1 总体和样本
总体：研究对象的全体。如一批灯泡。 个体：组成总体的每个元素。如某个灯泡。 抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。 随机样本：随机抽取的n个个体的集合(X1,X2,…,Xn), n为样本容量 简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,…,Xn)称
2. 用泊松分布近似计算
np 400 0.02 8 查表得
P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0.000335 0.002684 0.9969

概率论与数理统计 期末复习（四）大数定律与中心极限定理一、大数定律1. 辛钦大数定律（表达形式1，2）对于......,21k X X X 是相互独立且满足同一分布的随机变量序列，且()(),...2,1,==k X E k μ，作该序列前n 个变量的平均值0,1>∀∑=εnk k X n 1： 111lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=+∞→εμn k kn X n P （利用切比雪夫不等式证明）. 或者称∑==n k k X n X 11依概率P 收敛于μ.即μ−→−=∑=Pn k k X n X 11.2. 伯努利大数定律（解释频率的稳定性）设A f 是n 次独立重复试验中事件A 发生的频数，p 是每次试验中事件A 发生的概率，对于0>∀ε，有：1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-→∞εp n f P A n ； 或01lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∞→p n f P A n . 伯努利大数定律的意义：对于0>∀ε，只要独立重复试验的次数n 足够大，那么ε≥-p n f A 就是一个小概率事件.这一事件几乎不发生，那么ε<-p nfA 就是必然要发生了.⇔在试验次数足够大时，对于0>∀ε，频率nf A和概率p 的偏差小于ε就是一个必然事件. 故试验次数很大时，可以用频率来代替该事件的概率.（可能考到，留意！．．．．．．．．） 二、中心极限定理1. 独立同分布的中心极限定理：n X X X ...,21相互独立；n X X X ...,21服从同一分布；}()1,01N n n X Y nk k n −−−→−-=⇒∑=近似地σμ()()()n k X D X E k k ,...,2,1,2===σμ；∞→n .定理1的结论：()()1,011,011N nX n N n n X Y n k k nk k n −−−→−-⇔−−−→−-=∑∑==近似地近似地σμσμ1()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−→−⇔−−−→−-⇔n N X N nX 2,1,01σμσμ近似地近似地 2. 只独立，而不同分布的中心极限定理：（李雅普诺夫定理）n X X X ...,21相互独立；()()()n k X D X E k k k k ,...,2,10,2=>==σμ；}⇒()1,011211N B X B X Z nn k nk kk nn k nk kk n −−→−-=-=∑∑∑∑====近似μμ()∑===nk kn n k B 122,...,2,1σ；∞→n . 3. 满足同二项分布的中心极限定理（定理一的特例，重点）（棣莫夫—拉普拉斯定理）()p n b X n ,~，()()10，近似地N p np npX n −−−→−--1；∞→n .【例1-1】对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生没有家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别是0.05，0.8，0.15. 若学校共有400名学生，设各个学生来参加会议的家长人数相互独立，且服从同一分布. （1）求参加会议的家长人数X 超过450的概率；（2）求有一名家长来参加会议的学生人数不超过340的概率.【例1-2】一保险公司有10000个投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为280美元，标准差为800美元，求索赔总金额超过2700000美元的概率.【例2】一公寓有200户住户，每户拥有汽车辆数X 的分布律为0.95.【例3-1】一复杂系统由100个相互独立起作用的元件组成，在整个运行过程中每个部件损坏的概率都是0.10，为了使整个系统起作用，至少有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率.【例3-2】一工人修理一台机器需两个阶段，第一阶段所需时间（小时）服从均值为0.2的指数分布；第二阶段所需时间服从均值为0.3的指数分布. 且与第一阶段相互独立. 求他在8小时内完成工作的概率.【练习】1. 一食品店有三种蛋糕出售，由于出售哪种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量. 它取1元，1.2元，1.5元各个值的概率分别为0.3，0.2，0.5.若售出300只蛋糕. （1）求收入至少为400元的概率；（2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率.2.随机选取两组学生，每组80人，分别在两个实验室内测量某种化合物的pH 值. 各人测量的结果是相互独立的随机变量，且服从同一分布，数学期望为5，方差为0.3，以Y X ,分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均. （1）求{}.1.59.4<<X P （2）求{}.1.01.0<-<-Y X P3. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m ，现从这批木柱里面随机抽取100根，求其中至少有30根短于3m 的概率.4.某保险公司在一年人身保险业务中规定：被保险人每年需交保费160元，一年内发生重大人身事故可获2万赔偿金. 该市一年发生重大事故的概率为0.005. 现有5000人参保，问保险公司一年从此项业务中所得收益在20万到40万的概率是多少.5. 假设一批种子的良种率为31，在其中任选600粒，求着600粒种子中，良种所占比例值与31之差的绝对值不超过0.02的概率.6. 甲乙两个电影院在竞争1000名观众，假设每位观众的选择设随机的，且彼此相互独立，问甲电影院至少设置多少个座位才能使得观众因无座位而离开的概率小于1%.7. 试用大数定律说明频率和概率的关系.。