第一讲：凸函数与琴生不等式(带解答)

调和凸函数与琴生型不等式
吴善和
【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2004(027)004
【摘要】类比凸函数的概念给出调和凸函数的定义和若干判定调和凸函数的方法,其中微分判别法是一种实用而有效的判定方法.建立关于调和凸函数的琴生型不等式,其形式上类似于凸函数的Jensen不等式,它在不等式研究中也有着广泛的应用价值,并利用它建立若干新不等式以及推广一些已有的不等式.
【总页数】5页(P382-386)
【作者】吴善和
【作者单位】龙岩学院,数学系,福建,龙岩,364012
【正文语种】中文
【中图分类】O178.1
【相关文献】
1.对数凸函数与琴生型不等式 [J], 吴善和
2.调和s-凸函数及其Jensen型不等式 [J], 宋振云
3.调和凸函数的调和平均型Hadamard不等式 [J], 宋振云
4.GA-凸函数与琴生型不等式 [J], 吴善和
5.平方凸函数与琴生型不等式 [J], 吴善和
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自招竞赛 数学讲义琴生不等式和幂平均不等式不等式问题在高考中较为简单，但是在自招和竞赛中，是非常重要且富于变化的一类问题。

在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大华约中，不等式部分通常占10%-15%，其中还会涉及到一些考纲之外的特殊不等式。

本节介绍了琴生不等式以及它的一些简单推论诸如加权琴生和幂平均不等式，希望借助这些补充知识给同学们解决不等式问题提供一个思考的方向。

琴生不等式1. 凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数； 反之，若有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。

常见的下凸（凸）函数有x y a =，[0,)2π上的tan y x =，R +上的2y x =，3y x =等常见的上凸（凹）函数有[0,)2π上的sin y x =，cos y x =，R +上的ln y x =等2. 琴生(Jensen)不等式若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则1212()()()()n n x x x f x f x f x f n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤上式等号在12...n x x x ===时取到反之显然：若()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数，则上式不等号反向 琴生(Jensen)不等式证明（数学归纳）：1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设n k =时命题成立，即1212()()()()k k x x x f x f x f x f k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤那么当1n k =+时，设12111k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，1211111(1)(1)(1)()()()22k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+++-==11111()(1)()(1)()11[()()][]22ki k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k++=+++-+-≤+≤+∑所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，变形即得证。

凸函数与琴生不等式一．知识部分知识一、凸函数的概念①第一定义： 函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上满足：任意两点之间的弦都在这两点之间曲线 的弧的上方，则称函数)(x f y =在区间],[b a 上是凸的。

②第二定义（几何意义）：函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上任意两点),(),,(2211y x y x 连线的中点 )2)()(,2(2121x f x f x x ++一定在曲线弧的中间点))2(,2(2121x x f x x ++的上方，则称函数 )(x f y =在区间],[b a 上是凸的。

此定义说明函数在区间上的凸性与不等式)2(2)()(2121x x f x f x f +≥+的成立是等价的 推广1. 任意],[,,,21b a x x x n ∈ ，有)()()()(2121nx x x f n x f x f x f nn +++≥+++ 推广2（琴生不等式） 对任意一列1,,,,2121=+++∈+n n a a a R a a a ，函数)(x f 是],[b a 上的凸函数，有)()()()(22112211n n n n x f a x f a x f a x a x a x a f +++≤+++说明：此时凸函数)(x f y =也指函数)(x f y =在区间],[b a 上是下凸函数知识二、凹函数的概念①第一定义： 函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上满足：任意两点之间的弦都在这两点之间曲线的弧的下方，则称函数)(x f y =在区间],[b a 上是凹的。

②第二定义（几何意义）：函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上任意两点),(),,(2211y x y x 连线的中点 )2)()(,2(2121x f x f x x ++一定在曲线弧的中间点))2(,2(2121x x f x x ++的下方，则称函数 )(x f y =在区间],[b a 上是凹的。

§3.2.6如果任取曲线上两点，则两点构成的都在此曲线弧的上方，我们称这样的曲线对应的函数为凸函数，如图21便是凸函数的图像，严格定义的话，如果D 是一个实轴上的区间，或者更为一般的向量空间上的凸集，则函数:f D R →是凸函数，如果其满足：()()()()1()1f x y f x f x λλλλ+-≤+-，对所有(),,0,1x y D λ∈∈这里我们注意集合D 叫做凸集，如果对于任意,x y D ∈和()0,1λ∈，()1x y λλ+-也在D 中，其几何意义是D 是这些半空间的交点。

如果f -是凸函数，则f 叫做凹函数，如果f 既凸又凹，则f 是一条直线。

例如：()f x ax b =+，,a b 是常数。

定理：函数f 在(),a b 内二阶可导，f 是凸函数当且仅当()''0f x ≥ 一般地，定义在n 维实空间上的凸环上的二阶可导函数是凸的，如果它的海塞矩阵是半正定型的，对于()12,,n f x x x 。

若f 所有的二阶导数都存在，那么f 的海塞矩阵即()22221121222221222222120n n n n n ff f x x x x x f f f H f x x x x x f f f x x x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥=≥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦，这是对坐标的求模的一种说法，在f的每一点都有形式22121212(,,)(,,)n n k f x x x x x x x xx φ=+++ ，这里k n ≤，12(,,)n x x x φ 是线性的。

作为凸函数的应用，我们利用其性质来证明Holder 不等式。

Holder 不等式：如果()():0,,l n f R f x x+∞→=，其中1212,,,,,n n x x x y y y p q 都是正数，且111p q+=，则11111nnnpqp q i i i i i i i x y x x ===⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当两向量12(,)n x x x 和12(,)n y y y 共线。

第四章 琴生不等式一、函数的凹凸性：定义：设连续函数()f x 的定义域为 (a ，b )，如果对于 (a ，b )内任意两数x 1，x 2，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤①则称()f x 为 (a ，b )上的下凸函数．注：1．若把①式的不等号反向，则称这样的()f x 为区间 (a ，b )上的上凸函数．（或凹函数）2．下凸函数的几何意义：过()y f x =曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）．二、琴生不等式：若()f x 是区间 (a ，b ) 上的凸函数，则对任意的点x 1，x 2，…，x n ∈(a ，b )，有12121()[()()()]nn x x x f f x f x f x nn+++≤+++取“=”条件：x 1 = x 2 = … = x n 证明：注：更一般的情形：设()f x 是定义在区间 (a ，b ) 上的函数，如果对于(a ，b )上任意两点x 1，x 2，有 1212()()()pf x pf x f px qx +≥+（其中1p q R p q +∈+=，，），则称()f x 是(a ，b ) 上的下凸函数．其推广形式，即加权的琴生不等式：设12121n n q q q R q q q +∈+++=，，，，且，若()f x 是区间 (a ，b ) 上的下凸函数，则对任意的x 1，x 2，…，x n ∈(a ，b )有11221122()()()()n n n n f q x q x q x q f x q f x q f x +++≤+++．取“=”条件：12n x x x ===说明：以上各不等式反向，即得凹函数的琴生不等式． 例1 证明：(1) ()sin f x x =在[0)π，上是上凸函数(2) ()lg g x x =在(0)+∞，上是上凸函数 (3) ()tan )2h x x π=在[0，上是下凸函数证明：(1) 对12[0)x x π∀∈，，121212121212()()1(sin sin )sin cos sin ()222222f x f x x x x x x x x xx x f ++-++=+=≤=(2) 对12[0)x x ∀∈∞，，+1212lg lg lg 22x x x x++=≤ 即：1212()()()22g x g x x xg ++≤．(3) 当1202x x π≤<，时1212121212121212sin sin sin()2sin()tan tan cos cos cos cos cos()cos()x x x x x x x x x x x x x x x x +++=+==++-1212122sin()2tan cos()12x x x x x x ++≥=++ （∵sin tan 1cos 2ααα=+）即：1212()()()22h x h x x xh ++≥．例2 用琴生不等式证明均值不等式n n A G ≥，即：12nn i a a a a R n++++∈≥，则证：∵i a R +∈设()lg f x x =，则()f x 为(0)+∞，上的上凸函数 由琴生不等式：12121(lg lg lg )lg nna a a a a a n n ++++++≤即12na a a n+++≤例3 a b c+∈R ，，，且a + b + c = 39．证明：设()f x =()(0)f x ∞为，+上的凹函数．由琴生：1[()()()]()(1)333a b cf a f b f c f f ++++≤==∴ ()()()9f a f b f c ++≤．例4 ()f x 定义在 (a ，b ) 上，()f x 在 (a ，b ) 上恒大于0，且对12()x x a b ∈，，有21212()()[()]2x x f x f x f +≥． 求证：当12()n x x x a b ∈，，，时，有1212()()()[()]n nn x x x f x f x f x f n+++≥．证明：由题：对12()x x a b ∀∈，，，有21212()()[()]2x x f x f x f +≥，两边取常对： 则有1212lg ()lg ()2lg ()2x x f x f x f ++≥ 即1212lg ()lg ()lg ()22f x f x x xf ++≥于是：令()lg ()g x f x =，则()g x 为(a ，b ) 上的凸函数 由琴生不等式：对12()n x x x a b ∈，，，，有1212lg ()lg ()lg ()lg ()n nf x f x f x x x x f n n ++++++≥即1212()()()[()]n nn x x x f x f x f x f n+++≥．三个重要的不等式强化练习 （均值、柯西、排序不等式）1． 用柯西不等式证明：若(1)i a R i n +∈=，求证：21212111()()n na a a na a a ++++++≥． 证：由柯西222222212()][()()()]n na n a a a ++++++≥．2． 设1211i n a R i n a a a +∈=+++=，，且．求证：222221212111(1)()()()n n n a a a a a a n+++++++≥证明：由柯西：22221111111111()1[1()][][11]nnnn nnii ii i i i i i i i i ia a a a a a a ======+≥+=+=+∑∑∑∑∑∑ 222111[1](1)nnii i ia n a ===+≥+∑∑ ∴ 222111()(1)ni i i a n a n=+≥+∑． 3． 设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相等的正整数．证明：32122211112323na a a a n n++++≤++++． 证明：设b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的一个排序，且b 1 < b 2 < … < b n又由于221112n <<<，由排序不等式 1212222211111122nnb b b a a a n n +++≤+++ ① (反序和) (乱序和)另一方面，∵ 1212n b b b n ≥≥≥，，， ∴ 212211122nb b b n n +++≤+++② 由①②知：212211122na a a n n +++≤+++ 其中，a k = b k = k 时，取“=”号．4． 若a b c R +∈，，，求a b cb c c a a b+++++的最小值． 解：不妨设111a b c b c c a a b≥≥≥≥+++，则 由排序不等式，有a b c b c ab c c a a b b c c a a b++≥++++++++（同≥乱） a b c c a bb c c a a b b c c a a b ++≥++++++++（同≥乱） 两式相加，可得32a b c b c c a a b ++≥+++ 当且仅当a = b = c 时取“=”号．。

高二数学竞赛班二试讲义 第一讲 琴生不等式、幂平均不等式班级 姓名一、知识要点：1．琴生不等式凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数； 反之，若有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。

琴生(Jensen)不等式（1905年提出）：若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则1212()()()()n n x x x f x f x f x f n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤（想象n 边形的重心在图象的上方，n 个点重合时“n 边形”的重心在图象上） 琴生(Jensen)不等式证明：1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设n k =时命题成立，即1212()()()()k k x x x f x f x f x f k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤那么当1n k =+时，设12111k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，1211111(1)(1)(1)()()()22k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+++-==11111()(1)()(1)()11[()()][]22ki k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k++=+++-+-≤+≤+∑所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，得证 2．加权平均琴生(Jensen)不等式： 若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数， 且11,0n iii λλ==>∑，则11(()()n ni iiii i f x f x λλ==≤∑∑ 3．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 内具有二阶导数， （1）如果对任意x∈I,()0f x ''>，则曲线y=f(x)在I 内是下凸的； （2）如果对任意x∈I,()0f x ''<，则y=f(x)在I 内是上凸的。

函数的凸性及相关性质设f 是定义在区间I 上的函数，若对I 上任意两点12,x x 和任意实数(0,1)λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-则称f 为区间I 上的凸函数或下凸函数。

上述不等式表明弧在弦下，故曰下凸。

性质 1. f 为区间I 上的凸函数的充要条件是对于I 上任意三点123x x x <<，总有下述不等式成立。

313221213132()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---根据这一性质，若函数f 即是凸函数又是凹函数，则不等式变为等式，立即可得f 是一线性函数。

性质2. 开区间上的凸函数必是连续函数。

证明 记开区间为(,)a b ，任取0(,)x a b ∈，不妨设10x x x <<，根据性质1的第一个不等式得到[]001001()()()()x x f x f x f x f x x x --+≤-，又取02x x x <<，根据性质1的第二个不等式得到02022020()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤+--。

结合这两个不等式得[]00201002012020()()()()()()x x x x x x f x f x f x f x f x f x x x x x x x ----+≤≤+---两边同时令0x x +→，得00lim ()()x x f x f x +→=，即()f x 在0x 右连续。

同理可证()f x 在0x 左连续。

0x 是任意取的，所以()f x 在(,)a b 内连续。

【注】这一结论在闭区间上有可能不再成立，在开区间上也无法加强为一致连续。

性质3. （詹森不等式）设f 为区间I 上的凸函数，则对于任意i x I ∈，0i λ>，11ni i λ==∑有11()n ni i ii i i f x f x λλ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑性质4. 设f 为区间I 上的凸函数，则函数()(0)()f x f F x x-=单调递增。