竞赛专题凸函数和琴生不等式

琴生不等式
琴生不等式是以丹麦数学家约翰·琴生（JohanJensen）命名的一个重要不等式。

琴生不等式也译为詹森不等式，它的本质是对凸函数性质的应用。

琴生不等式在证明不等式中发挥着巨大的作用，应用琴生不等式往往比借助任何一般性的理论都要容易得多。

函数凸凹性在高中阶段是没有做具体要求的，实际上这是高等数学研究的函数重要性质之一，但它的身影在练习题目和高考试题中却经常出现。

这也充分说明了高考命题源于课本，又高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能。

当然函数凹凸性的应用非常广泛，今天我们就从函数凸凹性的另一个终极定理——琴生不等式在高考题中的应用进行简单的研究。

一·琴生不等式
1·琴生不等式：
2·加权形式：
二·琴生不等式的应用1·证明代数不等式：
2·证明三角不等式：
3·证明数列不等式：。

自招竞赛 数学讲义琴生不等式和幂平均不等式不等式问题在高考中较为简单，但是在自招和竞赛中，是非常重要且富于变化的一类问题。

在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大华约中，不等式部分通常占10%-15%，其中还会涉及到一些考纲之外的特殊不等式。

本节介绍了琴生不等式以及它的一些简单推论诸如加权琴生和幂平均不等式，希望借助这些补充知识给同学们解决不等式问题提供一个思考的方向。

琴生不等式1. 凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数； 反之，若有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。

常见的下凸（凸）函数有x y a =，[0,)2π上的tan y x =，R +上的2y x =，3y x =等常见的上凸（凹）函数有[0,)2π上的sin y x =，cos y x =，R +上的ln y x =等2. 琴生(Jensen)不等式若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则1212()()()()n n x x x f x f x f x f n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤上式等号在12...n x x x ===时取到反之显然：若()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数，则上式不等号反向 琴生(Jensen)不等式证明（数学归纳）：1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设n k =时命题成立，即1212()()()()k k x x x f x f x f x f k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤那么当1n k =+时，设12111k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，1211111(1)(1)(1)()()()22k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+++-==11111()(1)()(1)()11[()()][]22ki k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k++=+++-+-≤+≤+∑所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，变形即得证。

凸函数与琴生不等式一．知识部分知识一、凸函数的概念①第一定义： 函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上满足：任意两点之间的弦都在这两点之间曲线 的弧的上方，则称函数)(x f y =在区间],[b a 上是凸的。

②第二定义（几何意义）：函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上任意两点),(),,(2211y x y x 连线的中点 )2)()(,2(2121x f x f x x ++一定在曲线弧的中间点))2(,2(2121x x f x x ++的上方，则称函数 )(x f y =在区间],[b a 上是凸的。

此定义说明函数在区间上的凸性与不等式)2(2)()(2121x x f x f x f +≥+的成立是等价的 推广1. 任意],[,,,21b a x x x n ∈ ，有)()()()(2121nx x x f n x f x f x f nn +++≥+++ 推广2（琴生不等式） 对任意一列1,,,,2121=+++∈+n n a a a R a a a ，函数)(x f 是],[b a 上的凸函数，有)()()()(22112211n n n n x f a x f a x f a x a x a x a f +++≤+++说明：此时凸函数)(x f y =也指函数)(x f y =在区间],[b a 上是下凸函数知识二、凹函数的概念①第一定义： 函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上满足：任意两点之间的弦都在这两点之间曲线的弧的下方，则称函数)(x f y =在区间],[b a 上是凹的。

②第二定义（几何意义）：函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上任意两点),(),,(2211y x y x 连线的中点 )2)()(,2(2121x f x f x x ++一定在曲线弧的中间点))2(,2(2121x x f x x ++的下方，则称函数 )(x f y =在区间],[b a 上是凹的。

上凸下凸的极致——琴生不等式
函数凸凹性在高中阶段是没有做具体要求的，实际上这是高等数学研究的函数重要性质之一，但它的身影在练习题目和高考试题中却经常出现。

这也充分说明了高考命题源于课本，又高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能。

当然函数凹凸性的应用非常广泛，今天我们就从函数凸凹性的另一个终极定理——琴生不等式在高考题中的应用进行简单的研究。

通过以上例题，我们会惊奇地发现利用琴生不等式可以帮助我们解决很多不等式问题，当然熟练琴生不等式的整体结构，准确选择适合题意的函数，明确其凸凹性，是运用好琴生不等式的关键。

尽管琴生不等式不是高中必须掌握的内容，但是我们多次在模拟题和真题，以及竞赛试题中看到它的身影，所以了解以及熟练运用琴生不等式们应该是不无裨益的。

高二数学竞赛班二试讲义 第一讲 琴生不等式、幂平均不等式一、知识要点：1．琴生不等式凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 任意两点12,x x ，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数； 反之，若有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。

琴生(Jensen)不等式（1905年提出）：若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则 1212()()()()n n x x x f x f x f x f n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤（想象n 边形的重心在图象的上方，n 个点重合时“n 边形”的重心在图象上） 琴生(Jensen)不等式证明：1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设n k =时命题成立，即1212()()()()k k x x x f x f x f x f k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤那么当1n k =+时，设12111k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，1211111(1)(1)(1)()()()22k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+++-==11111()(1)()(1)()11[()()][]22ki k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k++=+++-+-≤+≤+∑所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，得证 2．加权平均琴生(Jensen)不等式： 若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数， 且11,0n iii λλ==>∑，则11(()()n ni iiii i f x f x λλ==≤∑∑ 3．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 具有二阶导数， （1）如果对任意x ∈I,()0f x ''>，则曲线y=f(x)在I 是下凸的； （2）如果对任意x ∈I,()0f x ''<，则y=f(x)在I 是上凸的。

凸函数和琴生不等式的最大值为中，上是凸函数，那么在在区间若函数成都模拟试题C B A ABC x y sin sin sin ),0(sin )02..(1++∆=πA21 B 23 C 223 D 23分析：时，取等号当且仅当上是凸函数在分析：最小值的，试求：为定值是一组实数，且若n n n n n n n a a a nk a a a nk n a a a a a a n x x f a a a k k a a a a a a ===≥+++∴=+++≥+++∴+∞-∞=+++=+++ 2122222122221222212222212121)()(1),()()(,,.2时，取等号；时，即当且仅当上是凹函数，则：在3sin sin sin 233sin sin sin 2360sin )3sin()sin sin (sin 31),0(sin ππ=====≤++=︒=++≤++=C B A C B A C B A C B A C B A x y )11()11)(11(21nx x x +++= nn x x x x x x x x x x x x x x x n n n n nn nn n 111)1(1)]11()11)(11[(212121121121=+++≤+=+≥+++∴ 又n nnn n n n n n n n nn n n i x x x x x x n n n x x x x x x n n i x )11()11()11(])11()11()11[(1)1()11()11()11(1,2),,2,1(,0.321212121+++≥+++++++≥++++++=+++≥=> 证：求证：，，已知);)(1)]1()1)(1[((1221112211nn nnn n a b a b a b a b a b a b +≥+++利用结论：'sin 'sin 'sin sin sin sin )sin sin (sin 'sin 'sin 'sin sin sin sin 'sin sin 'sin sin 'sin sin ;'''30.42γβαγβαγβαγβαγβααγγββαγβαγβα=∴=⇒⎪⎭⎪⎬⎫====∠=∠=∠=∠=∠=∠︒∠∠∠∆PA PC PC PB PB PA PCB PBA PAC PCA PBC PAB PCA PBC PAB ABC P 依正弦定理有：、、，且、、证：设；于中至少有一个小于或等、、内任一点，求证为若︒<︒≥︒≤∴≤∴≤∴30150,3021sin ,)21(sin sin sin 3γγβαααγβαγβα中必有一个满足、时，否则中必有一个角满足、、在补充练习：;)1()1()1)(1(1),1(.122111n n n ni i i nn x x x x x x x n i R x +≥+++=≤≤∈∑=+，求证：若 ;2:1,0,0.23322xy y x y x y x ≥+=+>>，求证已知 ;23cos cos cos .3≤++∆C B A ABC C B A 的三个内角，求证：为、、n n nn n n nn n n n x x x n x x x nx x x )1()11()11()11()1()11()11)(11(1)]11()11)(11[(2121121+≥+++++++≥+++∴+≥+++∴ 666)21()6'''(sin )6'sin 'sin 'sin sin sin sin (=+++++≤+++++≤γβαγβαγβαγβα。