湘教版数学八年级下册直角三角形.docx

一、直角三角形1、直角三角形的性质定理①“直角三角形的两个锐角互余”②“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”③“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”④“直角三角形两直角边a ，b的平方和，等于斜边c的平方。

”【勾股定理】互余：直角三角形中，两个锐角互余。

（两角之和等于90°）互补：两直线平行，同旁内角互补。

（两角之和等于180°）2、直角三角形的判定定理①“有两个角互余的三角形是直角三角形”②“如果三角形的三条边长a ，b ，c满足关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形”【勾股定理的逆定理】3、直角三角形全等的判定“斜边、直角边定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”【简称：斜边、直角边或“HL”】4、两个三角形全等的判定方法：【六种】①平移、旋转②AAS③ASA（两角及其夹边）④SSS （三边）⑤SAS（两边及其夹角）⑥HL（斜边、直角边）5、角平分线的性质①角平分线的性质定理：“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”②角平分线的性质定理的逆定理：“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”6、线段垂直平分线：垂直且平分一条直线的线段。

①线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

②线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上7、等腰三角形的性质：①等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。

②等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合。

（简称：三线合一）③等腰三角形的两底角相等（简称：等边对等角）8、完全平方式：(a+b)²=a²﹢2ab+b²【(a+b)²=（a+b）╳（a+b）=a╳a+2╳a╳b+b╳b = a²﹢2ab+b²】(a-b)²=a²-2ab+b²平方差公式：a²-b²=（a+b）╳（a-b）二、四边形多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形。

初中数学试卷马鸣风萧萧1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时 勾股定理要点感知 直角三角形的性质定理(勾股定理)：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于__________的平方.即a 2+b 2=c 2.预习练习 △ABC 中,∠C ＝90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边. (1)若a ＝5,b ＝12,则c ＝__________； (2)若c ＝41,a ＝40,则b ＝__________.知识点 勾股定理1.在△ABC 中，∠C=90°，如果AB=10，BC ∶AC=3∶4，那么BC=( )A.6B.8C.10D.以上都不对 2.一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的斜边长为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 3.已知一个三角形三个内角的比是1∶2∶1,则它的三条边的比是( )A.1∶2∶1B.1∶2∶1C.1∶2∶3D.1∶4∶14.如图,长方形OABC 的边OA 长为2,边AB 长为1,OA 在数轴上,以原点O 为圆心,对角线OB 的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是( )A.2.5B.22C.3D.55.如图，点D 在△ABC 的边AC 上，将△ABC 沿BD 翻折后，点A 恰好与点C 重合.若BC ＝5，CD ＝3，则BD 的长为( )A.1B.2C.3D.46.在△ABC 中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC 的长为__________.8.一个直角三角形的斜边长比直角长边大2，另一直角边长为6，则斜边长为__________.9.如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，AD=15，且AD⊥AC，求BD长.10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，CD⊥AB交AB于点D.求：(1)AC的长；(2)△ABC的面积；(3)CD的长.11.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB 的长度为( )A.5B.6C.7D.2512.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为( )A.3B.23C.33D.4313.将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角,如图,则三角板的最大边的长为( )A.3 cmB.6 cmC.32 cmD.62 cm14.如图，在直线l上依次摆放着三个正方形，已知中间斜放置的正方形的面积是6，则正放置的两个正方形的面积之和为( )A.6B.5C.6D.3615.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( )A.53B.52C.4D.516.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD=6，DE=5，则CD的长等于__________.17.已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为__________.18.如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD的长.19.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB 的长.20.如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE ⊥DF ，交AB 于点E ，交BC 于点F ，若AE=4，FC=3，求EF 长.参考答案要点感知 斜边c 预习练习 13 91.A2.C3.A4.D5.D6.267.88.109.∵AD ⊥AC ，AC=20，AD=15， ∴CD=222015 =25.∴BD=BC-CD=32-25=7.10.(1)∵∠ACB=90°，AB=10 cm ，BC=6 cm ，∴AC=8 cm ；(2)S △ABC =12BC ·AC=12×6×8=24(cm 2)；(3)∵S △ABC =12BC ·AC=12CD ·AB ，∴CD=·BC AC AB =245cm.11.A 12.D 13.D 14.A 15.C 16.8 17.5或718.设DC=x ，则BD=14-x.在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理可得： (14-x)2+AD 2=152，x 2+AD 2=132.两式相减得(14-x)2-x 2=56.解得x=5. 在Rt △ACD 中，由勾股定理得AD=12.∴∠ABD=∠CBD=30°. ∴AD=DB.又∵Rt △CBD 中，CD=5 cm ， ∴BD=10 cm.∴BC=22BD CD -=22105-=53(cm). ∴AB=2BC=103 cm.20.连接BD ，∵等腰直角三角形ABC 中，D 为AC 边上中点， ∴BD ⊥AC ，BD=CD=AD ，∠ABD=∠C=45°. ∵DE ⊥DF ， ∴∠FDC=∠EDB.在△EDB 与△FDC 中，,,ABD C FDC EDB BD CD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△EDB ≌△FDC. ∴BE=FC=3.∴AB=7，则BC=7. ∴BF=4.在Rt △EBF 中，EF 2=BE 2+BF 2=32+42， ∴EF=5.第2课时 勾股定理的实际应用要点感知 应用勾股定理解决实际问题时，应先根据题意画出几何图形，分析图形中各线段之间的数量关系，正确运用勾股定理求解.求边长时，一般有两种情况：一是直接运用勾股定理通过计算求解，二是借助勾股定理列方程求解.预习练习 (2014·东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行__________米.知识点1 直接利用勾股定理1.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )2.如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是( )A.3.8米B.3.9米C.4米D.4.4米3.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为( )A.5米B.3米C.(5+1)米D.3米4.假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，仅走了1千米，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( )A.20千米B.14千米C.11千米D.10千米5.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，该河流的宽度为__________m.知识点2 利用勾股定理列方程求解6.小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为( )A.2 mB.2.5 mC.2.25 mD.3 m7.在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，但不能爬上旗杆也不能把绳子解下来，可是他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为( )A.13 mB.12 mC.4 mD.10 m8.如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得∠EAC=30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为__________米.9.如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？10.为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为( )A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米11.如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=210 m，∠D=30°，要正好能使A、C、E成一直线，那么E、D两点的距离等于( )A.1053 mB.2103 mC.703 mD.105 m12.在长、宽、高分别为12 cm、4 cm、3 cm的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒的最大长度为( )A.5 cmB.12 cmC.13 cmD.153 cm13.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为__________mm.14.如图,一辆小汽车在一条东西走向的城市公路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路边的车速检测仪的正前方30 m处,过了2 s后,测得小汽车与车速检测仪的距离为50 m,问这辆小汽车是否超速了？（中华人民共和国交通管理条例规定：小汽车在城市公路上行驶时的速度不得超过70 km/h）15.为了丰富居民的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB=25 km，CA=15 km，DB=10 km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？16.两条公路OM、ON相交成30度角，在公路OM上，距O点80米的A处有一所小学，当拖拉机沿公路ON方向行驶时，路两旁50米以内会受到噪音的影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么拖拉机沿ON方向行驶时，是否会给小学带来噪声影响？若受影响，计算影响的时间.参考答案预习练习 101.A2.B3.C4.D5.4806.A7.B8.60039.设BD=x米，则AD=(10+x)米，CD=(30-x)米，根据题意得(30-x)2-(x+10)2=202.解得x=5.即树的高度是10+5=15（米）.10.A 11.A 12.C 13.15014.小汽车超速了.理由：在Rt△ABC中,AC=30 m,AB=50 m,根据勾股定理得：BC=22AB AC=40 m.小汽车的速度是40÷2=20(m/s)=72(km/h).而规定速度为70 km/h,72>70，∴小汽车超速了.15.设AE=x km，则BE=(25-x)km.在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152.同理可得：DE2=(25-x)2+102.若CE=DE，则x2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：图书室E应该建在距A点10 km处，才能使它到两所学校的距离相等.16.过点A作AD⊥ON于点D，即点A到ON的最短距离为AD，已知在Rt△OAD中，∠O=30°，OA=80，可得AD=40＜50，故学校会受到拖拉机的影响；在D点两侧分别取两点E、F，使得AE=AF=50，在Rt△ADE中，AE=50，AD=40，可得DE=30，又易证Rt△ADE≌Rt△ADF，即DE=DF=30，即EF=60.又拖拉机的速度为18千米/时，故拖拉机经过EF段所用的时间t=0.0618×3 600=12（s）.答：拖拉机会给小学带来噪声影响，影响时间为12秒.第3课时勾股定理的逆定理要点感知直角三角形的判定定理(勾股定理的逆定理)：如果一个三角形的三边长a、b、c 有下面的关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是__________三角形.预习练习1-1三角形的三边长满足（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角1-2以下列数组为三角形的边长：①5,12,13；②10,12,13；③7,24,25；④6,8,10,其中能构成直角三角形的有( )A.4组B.3组C.2组D.1组知识点勾股定理的逆定理1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A.4，5，6B.1.5，2，2.5C.2，3，4D.1，2，32.已知三角形的三边长之比为1∶1∶2，则此三角形一定是( )A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3.已知两条线段的长分别为2 cm、3 cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是( )A.1 cmB.5 cmC.5 cmD.1 cm与5cm4.如图，正方形小方格边长为1，则网格中的△ABC是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对c +|a-8|+(b-15)2=0，则△ABC的形状是( )5.若a、b、c表示△ABC的三边，且满足17A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形6.在Rt△ABC中，若AC=2，BC=7，AB=3，则下列结论中正确的是( )A.∠C=90°B.∠B=90°C.△ABC是锐角三角形D.△ABC是钝角三角形7.在△ABC中，a=2，b=6，c=22，则最大边上的中线长为( )A.2B.3C.2D.以上都不对8.三角形三边长分别为4、8、43,则该三角形最小角与最大角依次是( )A.30°,60°B.30°,90°C.60°,90°D.45°,90°9.若在△ABC中，AB=5 cm，BC=6 cm，BC边上的中线AD=4 cm，则∠ADC的度数是__________度.10.如图,一根电线杆高8 m.为了安全起见,在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6 m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.2 m(不计捆缚部分),则电线杆与地面__________(填“垂11.如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，AC=23，∠C=30°，求∠B的大小.12.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )A.CD、EF、GHB.AB、EF、GHC.AB、CF、EFD.GH、AB、CD13.已知一个三角形的三边长分别为n+1，n+2，n+3，则当n=__________时，这个三角形是直角三角形.14.如图所示,是一个零件的形状,按规定这个零件中的AD与CD必须互相垂直,工人师傅通过测量得到A到C的距离是10 cm,AD=8 cm,CD=6 cm.问这个零件是否合格？15.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,BC=3,AB=4,AD=12,CD=13.求四边形ABCD的面积.16.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.17.如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5.(1)判断△DEC的形状，并说明理由；(2)求∠ADB的度数.参考答案要点感知直角预习练习1-1 C1-2 B1.B2.D3.D4.A5.B6.A7.A8.B9.90 10.不垂直11.∵△ABC中，AB=2，BC=4，AC=23，∴AB2+AC2=4+12=16=BC2.∴∠A=90°.∴∠B+∠C=90°.又∵∠C=30°，∴∠B=60°.12.B 13.214.合格.连接AC.∵AD2+CD2=82+62=102=AC2,根据勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形,且∠ADC=90°, ∴零件合格.15.连接AC.∵∠ABC=90°,在Rt△ABC中，BC=3,AB=4,∴AC=22BC AB+=2234+=5.在△ACD中,∵AC2+AD2=52+122=132=CD2,∴△ACD是直角三角形.∴S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=12×3×4+12×5×12=36.16.证明：∵CD是AB边上的高，∴△ADC和△BCD都是直角三角形.∴AC2＝AD2+CD2，BC2＝BD2+CD2.∴AC2+BC2=AD2+CD2+BD2+CD2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=(AD+BD)2＝AB2.∴△ABC是直角三角形.17.(1)根据旋转的性质，得AD=EC=4，BD=BE=3，AB=BC，∠DBE=∠ABC=60°，∠ADB=∠BEC.∴△ABC和△DBE均为等边三角形.∴DE=BD=3.∵CD=5，∴DE2+EC2=32+42=52=CD2.故△DEC为直角三角形.(2)∵△DEC为直角三角形，∴∠DEC=90°.又∵△BDE为等边三角形，∴∠BED=60°.故∠BEC=90°+60°=150°，即∠ADB=150°.。

第1章直角三角形1.1 直角三角形的性质和判定（Ι）第1课时直角三角形的性质和判定要点感知1直角三角形的性质：(1)直角三角形的两个锐角__________.(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________.预习练习1-1在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( ) A.120° B.90° C.60° D.30°1-2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，点D为AB的中点，则CD=__________cm.要点感知2直角三角形的判定：有两个角__________的三角形是直角三角形.预习练习2-1在△ABC中，∠A=70°，∠B=20°，那么这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定知识点1 直角三角形的两个锐角互余1.若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是( )A.24°B.34°C.44°D.46°2.如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2等于( )A.60°B.75°C.90°D.105°3.如图，在△ABC中，CE、BF是两条高，若∠A=65°，∠BCE=35°，则∠ABF的度数是__________，∠FBC的度数是__________.4.过△ABC的顶点C作边AB的垂线，如果这垂线将∠ACB分为40°和20°的两个角，那么∠A、∠B中较小的角的度数是__________.知识点2 有两个角互余的三角形是直角三角形5.若一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形6.下列条件：(1)∠A=25°，∠B=65°；(2)3∠A=2∠B=∠C；(3)∠A=5∠B；(4)2∠A=3∠B=4∠C中，其中能确定△ABC是直角三角形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个知识点3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半7.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=20°，则∠BDC=( )A.30°B.40°C.45°D.60°8.如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形为__________三角形.9.如图，Rt△ABC中，DC是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB.若∠BCF=35°，求∠ACD的度数.10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有( )A.0个B.1个C.2个D.3个11.如图，AB∥DF，AC⊥BC于点C，BC与DF交于点E，若∠A=20°，则∠CEF等于( )A.110°B.100°C.80°D.70°12.如果一个三角形的一个内角等于其他两个内角的差，那么这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=6，则CP的长为( )A.3B.3.5C.4D.4.514.如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是__________.15.如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=8，求DE的长.16.如图,在△ACD与△ABC中,∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中点.(1)试说明DE=BE；(2)图中有哪些等腰三角形,请写出来.(不需要证明)17.如图，AD∥BC，∠DAB和∠ABC的平分线相交于CD边上的一点E，F为AB边的中点.求证：EF=12 AB.18.如图，已知M是Rt△ABC斜边AB的中点，CD=BM，DM与CB的延长线交于点E.求证：∠E=12∠A.参考答案要点感知1互余一半预习练习1-1 D1-2 5要点感知2互余预习练习2-1 B1.B2.C3.25°30°4.50°5.B6.A7.B8.直角9.∵EF∥AB，∴∠BCF=∠B.∵∠BCF=35°，∴∠B=35°.∵△ABC为直角三角形，∴∠CAB=90°-35°=55°.∵DC是斜边AB上的中线，∴AD=BD=CD，∴∠ACD=∠A=55°.10.C 11.A 12.B 13.A 14.1315.∵∠B=∠C，∴AB=AC.又D是BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°.又E是AC的中点，∴DE=12 AC.∵AB=AC，AB=8，∴DE=12AB=12×8=4.16.(1)∵∠ABC=∠ADC=90°,E为AC的中点,∴DE=12AC,BE=12AC.∴DE=BE.(2)图中的等腰三角形有△CDE、△DAE、△AEB、△BEC、△DEB.17.证明：∵AE、BE分别平分∠DAB和∠ABC，∴∠DAB=2∠EAB，∠ABC=2∠ABE.∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°.∴2∠EAB+2∠ABE=180°.∴∠EAB+∠ABE=90°.∴∠AEB=90°.∴△AEB是直角三角形.∵F为AB边的中点，∴EF=12 AB.18.证明：∵CM是△ABC的中线，CD=BM，∴CD=CM=BM=AM.∴△CDM是等腰三角形，∠MCB=∠MBC，∠CDM=∠CMD.∵∠CDM=∠A+∠AMD，∠CMD=∠MCB+∠E=∠BME+∠E+∠E，即∠A+∠AMD=∠BME+∠E+∠E，∴∠A=2∠E,1 2∠A.即∠E=。