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数值分析--chapter3 多项式插值与样条插值

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数值分析第三章插值法

数值分析第三章插值法
19
插值误差举例
f ( 3) ( ) 抛物线插值：R2 ( x ) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 3!
x0=0.4, x1=0.5, x2=0.6, (0.4, 0.6)
f ( 3) ( ) 2 3 31.25
31.25 R2 (0.54) (0.54 0.4)(0.54 0.5)(0.54 0.6) 3! 0.00175 R1 (0.54) 0.048
ln 0.54 的精确值为：-0.616186···
可见，抛物线插值的精度比线性插值要高 Lagrange插值多项式简单方便，只要取定节点就可写 出基函数，进而得到插值多项式，易于计算机实现。
11
Lagrange插值
lk(x) 的表达式
由构造法可得
( x x0 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
( n1) ( t ) 在 (a, b) 内至少有一个零点，设 以此类推，可知 为 x ，即 ( n1) ( x ) 0 ，x (a, b)。
( n 1) 又 ( n1) ( t ) Rn ( t ) K ( x )[( t x0 )( t x1 ) ( t xn )]( n1)
17
Lagrange基函数性质
Lagrange 基函数的两个重要性质
当 f(x) 为一个次数 n 的多项式时，有 f ( n1) ( x ) 0 故
Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x) 0
即 n 次插值多项式对于次数 n 的多项式是精确的

三次样条插值与多项式拟合的关系

三次样条插值与多项式拟合的关系

三次样条插值与多项式拟合的关系《三次样条插值与多项式拟合的关系》一、简介在数学建模和数据分析中，插值和拟合是非常重要的方法。

三次样条插值和多项式拟合是其中常见且有效的技术。

它们之间有着密切的关系，对于理解它们的原理、特点和应用是很有帮助的。

二、三次样条插值的原理与方法三次样条插值是一种通过对给定的一组点进行插值，得到一个分段三次插值多项式的方法。

它的原理是将整个插值区间划分为多个小区间，每个小区间内都使用一个三次多项式来插值。

这样可以保证整个插值曲线在每个小区间内都是光滑的，并且两个相邻的插值多项式在连接点处有相同的函数值和导数值。

三次样条插值不仅可以实现较高的插值精度，还可以很好地避免龙格现象和振荡问题。

三、多项式拟合的原理与方法多项式拟合是一种通过多项式来逼近已知数据点的方法。

常见的拟合方法包括最小二乘法和最小二乘多项式拟合等。

多项式拟合的原理是使用一个n次多项式函数来逼近n个数据点，使得这个多项式函数在这n个数据点处的函数值与给定数据点的函数值尽可能接近，并且可以用于对其他数据点的预测。

四、三次样条插值与多项式拟合的关系在实际应用中，三次样条插值和多项式拟合有着密切的关系。

可以将三次样条插值看作是一种特殊的分段多项式拟合，只不过它要求在每个小区间上都使用三次多项式来进行拟合。

多项式拟合可以被认为是三次样条插值的一种特殊情况，当插值区间只有一个小区间时，三次样条插值就变成了普通的三次多项式拟合。

可以说三次样条插值和多项式拟合是在不同层次上对数据进行逼近的方法，它们之间有着内在的联系和相互影响。

五、个人观点和理解在实际工程和科学领域中，三次样条插值和多项式拟合都有着广泛的应用。

对于一些特定的数据集，三次样条插值可以提供更加精确和光滑的插值结果，而对于一些简单的数据集，多项式拟合可能会更加高效和简便。

了解它们之间的关系和特点，可以帮助我们在实际应用中选择合适的技术来处理数据，并且更好地理解其原理和局限性。

研究生数值分析 样条插值

研究生数值分析 样条插值

x
-0.46 -0.40 -0.36 -0.30 -0.26 -0.20 -0.16 -0.10 -0.06 -0.00
1 1 25x2
L10 (x)
0.15898 0.24145 0.20000 0.19999 0.23585 0.18878 0.30769 0.23535
0.37175 0.31650
f (x)
L1(x)
yi 1
x xi xi1 xi
yi
x xi1 xi xi1
这种分段低次插值称为分段线性插值。
在几何上就是用折线代替曲线，故分段线 性插值又称为折线插值。
类似地，为求f(x)的近似值，也可选取距点x
最近的3个节点 xi1, xi , xi1 进行二次插值，即取
f
(x)
L2 (x)
i 1
[ yk
k i1
i 1
(
j i 1
x xj xk x j
)]
jk
这种分段低次插值叫分段二次插值。
在几何上就是用分段抛物线代替曲线，故分 段二次插值又称为抛物线插值。
3、三次样条插值 对于给定的n+1个节点，求函数的近似值，可以
作 n次插值多项式，当n较大时，高次插值不仅计算 复杂，而且还可能出现高阶导数不一致收敛的现象;
若采用分段插值，虽计算简单，也具有一致收 敛性，但光滑性比较差.
有些实际问题，比如：船体放样，飞机的机翼 设计等要求二阶光滑度(有二阶的连续导数)。过去， 工程师制图时，往往用一根富有弹性的木条（称为 样条），把它用压铁固定在样点上，其他地方让它 自由弯曲，然后画一条曲线，称为样条曲线。
它实际上是由分段三次曲线连接而成，在连接 点处有二阶连续导数。我们对工程师描绘的样条曲 线，抽象成数学模型，得出的函数称为样条函数， 它实质上是分段多项式的光滑连接。

数值计算_样条插值方法

数值计算_样条插值方法

多项式插值方法—样条插值-5-4-3-2-1012345-0.500.511.52f (x)P 5(x)P 10(x)当插值节点过多→龙格现象插值多项式虽然满足插值条件，但是在节点之外，靠近插值区间端点处与实际函数偏离较大，出现了震荡现象如何解决龙格现象？☐根据数据特点选用三角函数或有理函数☐由于多项式的优良性能，更偏爱多项式☐使用分段函数数学模型，在较小的区间段上使用低次多项式插值要点与学习目标☐掌握样条插值的概念和数学模型☐了解样条插值函数系数的确定方法样条插值☐改善分段线性插值和二次插值的精度☐保持曲线的光滑性☐样条的概念三次样条插值函数对于给定的函数表 x)(x f yxx 1xny 1yn思考：根据该定义，关于四个节点的三次样条插值函数的数学模型是什么？需要多少个约束方程才能确定该样条？分段样条插值的数学模型231101112130123220212223122333031323323()=,[,]()()=,[,]()=,[,]S x a a x a x a x x x x S x S x a a x a x a x x x x S x a a x a x a x x x x ⎧+++∈⎪=+++∈⎨⎪+++∈⎩以四个节点为例，四个节点的样条插值函数思考：该函数能否由节点数据完全确定？231101112130123220212223122333031323323()=,[,]()()=,[,]()=,[,]S x a a x a x a x x x x S x S x a a x a x a x x x x S x a a x a x a x x x x ⎧+++∈⎪=+++∈⎨⎪+++∈⎩(0)(0)(1,2,...,1)'(0)'(0)(1,2, (1)''(0)''(0)(1,2, (1)()(0,1,...,)i i i i i ii i S x S x i n S x S x i n S x S x i n S x y i n -=+=-⎧⎪-=+=-⎪⎨-=+=-⎪⎪==⎩样条插值问题的边界条件归根到底，样条插值问题是线性方程组求解的问题。

数值分析——样条函数及三次样条插值

数值分析——样条函数及三次样条插值

S k ( x )是[ xk , xk + 1 ]上的(两点)三次样条插值多项式, 满足

Sk ( x j ) = y j
x → xk
k = 0,1,2, ⋯ , n − 1; j = k , k + 1
lim S k ( x ) = lim S k − 1 ( x ) + −
一、三次样条插值函数
定义1. 定义
a ≤ x0 , x1 ,⋯ , xn ≤ b为区间[ a , b ]的一个分割
如果函数S ( x )在区间[ a , b ]上满足条件 :
( 1) S ( x ), S ′( x ), S ′′( x )都在区间[ a , b ]上连续 ,即 S ( x ) ∈ C 2 [ a , b ]
f ( x j ) = y j , j = 0 ,1,⋯ , n 如果S ( x )是f ( x )的三次样条插值函数, 则其必满足
S ( x j ) = y j , j = 0 ,1,⋯ , n lim S ( x ) = S ( x j ) = y j , j = 1,⋯ , n − 1 x→ x xlim S ′( x ) = S ′( x j ) = m j , j = 1,⋯ , n − 1 →x lim S ′′( x ) = S ′′( x j ), j = 1 ,⋯ , n − 1
+ x → xk
Sk ( x j ) = y j
k
k = 0,1, ⋯ , n − 1; j = k , k + 1
− x → xk
k −1
k = 1 , 2 ,⋯ , n − 1 k = 1,2 ,⋯ , n − 1 ------(8) k = 1, 2 ,⋯ , n − 1

(完整word版)数值分析作业-三次样条插值..0001

(完整word版)数值分析作业-三次样条插值..0001

数值计算方法作业实验4.3三次样条差值函数实验目的：掌握三次样条插值函数的三弯矩方法实验函数：求和的近似值实验内容:(1) 编程实现求三次样条插值函数的算法，分别考虑不同的边界条件；(2) 计算各插值节点的弯矩值；(3) 在同一坐标系中绘制函数f(x)，插值多项式，三次样条插值多项式的曲线比较插值结果。

实验4.5三次样条差值函数的收敛性实验目的：多项式插值不一定是收敛的，即插值的节点多，效果不一定好。

对三次样条插值函数如何呢？理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的，通过本实验可以证明这一理论结果。

实验内容：按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。

实验要求：(1)随着节点个数的增加，比较被逼近函数和三样条插值函数的误差变化情况，分析所得结果并与拉格朗日插值多项式比较；(2)三次样条插值函数的思想最早产生于工业部门。

作为工业应用的例子，考虑如下例子：某汽车制造商根据三次样条插值函数设计车门曲线， 其中一 段数据X k 0 1 23 4 5678910y k 0.00.79 1.532.19 2.713.03 3.27 2.89 3.06 3.19 3.29y k0.80.2算法描述:拉格朗日插值：错误！未找到引用源。

n(x _ X ) 其中错误！未找到引用源。

是拉格朗日基函数，其表达式为：h(x)」j=0 (x i- X j )牛顿插值：N n (x) =f (X g ) f[X o ,X i ](X -xO) f[X o ,X i ,X 2〕(X - xO)(x - X i ) •…f[X g ,X i ...X n ] =(f[X i ,X 2,...X n ] - f [ X 。

，为，..人」)/(X . - X g )三样条插值:所谓三次样条插值多项式Sn(x)是一种分段函数，它在节点Xi(a<X0<X1……<Xn<b)分成的每个小区间［x i-i ,x i ］上是三次多项式，其在此区间 上的表达式如下：f[X °,X i ,X 2,...X n ](X -X °)(X -X i )...(X-Xn J )f [X i , X j ]f (X i ) - f (X j ) X i -X jf [X i , X j ,X k]=其中*.f[X j ,X k ] - f[K ,X j ]X k -X iS(x)二 M 3(X i -x) 6h i.Mi (x —Xy )3 . [ y i - y i4 h i (M i - My)6h i h i 6 h ih i M i 4 h i M iy i- 6)( 6*,皿"]因此，只要确定了 Mi 的值，就确定了整个表达式,Mi 的计算方法如下:i 4式中 Mi= S (X i ).则Mi 满足如下n-1个方程:7 M i 」■ 2M i …冷 M i i = di , i =1,2,...n —'1 常用的边界条件有如下几类：(1)给定区间两端点的斜率 m o ,m n ,即s(x 0) = y 0 =m 0,S(x n ) = y n = m n(2) 给定区间两端点的二阶导数 MO ,Mn,即S (XcH y 。

数值分析三次样条插值


若取等距节点 hi = h, i = 1,…, n –1
i

h h
h

1 2
i
1 i

1 2
di

6 2h
yi 1
2 yi h

yi 1


3 h3
( yi1
2 yi

yi1 )
i 1, 2,, n
例1. 对于给定的节点及函数值
k 0123 xk 1 2 4 5 f (xk ) 1 3 4 2 求满足自然边界条件S(x0 ) S(xn ) 0的三次样条 插值函数S(x),并求f (3)的近似值
Mi1
( x xi )2 2hi 1

yi1 hi 1
yi

hi 1 6
( M i 1

Mi )
于是
Si( xi )

hi 3
Mi

yi
yi1 hi

hi 6
M i 1
Si1( xi )
hi 1 3
Mi

yi1 hi 1
yi

hi 1 6
M i 1
解： 由M关系式
k

hk
hk hk 1
k

hk 1 hk hk 1
1 k
1

2 3
1

1 3
2

1 3
2

2 3
di

6

yi1 hi1
yi

yi
yi hi
1

hi hi1 6 f [ xi1, xi , xi1]

第三章 多项式插值方法

因为 A 的前 n 1 列所组成的行列式为(称为 Vandermonde 行列式)
1 V x0 , .xn 1 , xn 1 1
x0 x1 xn
2 x0

m x0
x12
2 xn
x1m
m xn

x j xi 0
j i
(3.3)
10
根据(3.3)，线性方程组(3.2)的系数矩阵的秩数为 n 1 . 所以，(1)当 m n 时, (3.2)的解是不唯一的，即插值问题(3.1) 的解不唯一。 (2)当 m n 时,矩阵 A 的行数大于列数.按照(3.3)式,线 性方程组(3.2)是无解的，除非右端全为零. (3)取 m n 是最为适宜的.
(3.2)
线性方程组的系数矩阵为
1 1 A 1
x0 x1 xn
x x
2 0 2 1


2 xn
x x m xn
m 0 m 1
9
上述矩阵是一个 n 1 m 1 矩阵.当 m n 时， A 的列数大 于行数.不难证明，点 x 0 , x1 , , x n 互异时矩阵 A 的秩数为 n 1 .
1
下面仅以近似计算函数值为例来说明 :
设已知某个函数关系 y f x 的列表函数值
x y x0 y0 x1 y1 xn yn
而 x x i i 0,1, n ，问应该如何估值 y f x ？
2
g(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
3
y= f(x)
g(x) f(x)
(3.1 )
8

数值分析实验报告-插值、三次样条

实验报告：牛顿差值多项式&三次样条问题：在区间[-1,1]上分别取n=10、20用两组等距节点对龙格函数21()25f x x作多项式插值及三次样条插值，对每个n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。

实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和三次样条方法，加深对多项式插值的理解。

应用所编程序解决实际算例。

实验要求：1． 认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用； 2． 编写相关程序并进行实验； 3． 调试程序，得到最终结果； 4． 分析解释实验结果； 5． 按照要求完成实验报告。

实验原理：详见《数值分析 第5版》第二章相关内容。

实验内容：（1）牛顿插值多项式1.1 当n=10时：在Matlab 下编写代码完成计算和画图。

结果如下：代码：clear allclcx1=-1:0.2:1;y1=1./(1+25.*x1.^2);n=length(x1);f=y1(:);for j=2:nfor i=n:-1:jf(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms F x p;F(1)=1;p(1)=y1(1);for i=2:nF(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1));p(i)=f(i)*F(i);endsyms PP=sum(p);P10=vpa(expand(P),5);x0=-1:0.001:1;y0=subs(P,x,x0);y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0);plot(x0,y0,x0,y2)grid onxlabel('x')ylabel('y')P10即我们所求的牛顿插值多项式，其结果为：P10（x）=-220.94*x^10+494.91*x^8-9.5065e-14*x^7-381.43*x^6-8.504e-14*x^5+123.36* x^4+2.0202e-14*x^3-16.855*x^2-6.6594e-16*x+1.0并且这里也能得到该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.1）。

数值分析(样条插值)总结


3/35
三次样条插值函数满足的连续条件:
(1) S(xj–)= S(xj+) ( j = 1,· · · ,n-1) 连续
(2) S' (xj–)= S'(xj+) ( j = 1,· · · ,n-1)导数连续
(3) S'' (xj–)= S'' (xj+) ( j = 1,· · · ,n-1)二阶导数连续
xn yn
设 f(x) 在各插值节点 xj 处的一阶导数为 mj
取 xj+1 – xj = h，( j = 0,1,2,· · · ,n-1)。当 x∈[xj, xj+ 1]时,
分段三次Hermite插值
x xj h h h h x j 1 x 2 x xj 2 ( x x j )( ) m j ( x x j 1 )( ) m j 1 h h )( x j 1 x ) y j (1 2
S ( x j 0) j ( x j ) y j j 1 ( x j ) y j 1 j ( x j )m j j 1 ( x j )m j 1
18:23
6 6 4 2 S ( x j 0) 2 y j 2 y j 1 m j m j 1 h h h h
18:23
16/35
程序片段2:
Matlab Code : 三次样条插值 % Evaluate spline s = u - x(k); v = y(k) + s.*(d(k) + s.*(c(k) + s.*b(k))); % ------------------------------------------------------function d = splineslopes(h,delta) % SPLINESLOPES Slopes for cubic spline interpolation. % splineslopes(h,delta) computes d(k) = S'(x(k)). % Uses not-a-knot end conditions. % Diagonals of tridiagonal system n = length(h)+1; a = zeros(size(h)); b = a; c = a; r = a; a(1:n-2) = h(2:n-1); a(n-1) = h(n-2)+h(n-1); b(1) = h(2); b(2:n-1) = 2*(h(2:n-1)+h(1:n-2));b(n) = h(n-2); c(1) = h(1)+h(2);c(2:n-1) = h(1:n-2);
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第二个问题，设给定一个函数f ，f 的表达式非常复杂，计算f 的值很不经济。在这种情况下，就要寻找另一个函数p ，它既易 于求值且又是对f 的一个合理的逼近。—— 连续函数的逼近问 题
第三个问题，假定表中给出的数值带有误差。比如当这些值来自 于物理实验时，就可能出现这种情况。现在要寻找一个公式，使 得它可以近似地表示这些数据。—— 离散函数的逼近问题
− −
x0 x0y1ຫໍສະໝຸດ (8)用L1(x)近似代替f (x)称为线性插值，公式(8)称为线性插值多项 式或一次插值多项式。
§3.2 拉格朗日(Lagrange)插值−−拉格朗日插值多项式
当n = 2时，拉格朗日插值多项式(7)为
L2(x) = l0(x)y0 + l1(x)y1 + l2(x)y2 即
L2(x )
=
(x (x0
− −
x1)(x − x2) x1)(x0 − x2)
基函数法：由线性空间的基出发，构造满足插值条件的多项式方 法。
用基函数法求插值多项式分两步：
(1)定义n + 1个线性无关的特殊代数多项式（插值基函数）， 用ϕ0(x), · · · , ϕn(x)表示;
(2)利用插值条件，确定插值基函数的线性组合表示的n次插值多
项式
p(x) = a0ϕ0(x) + a1ϕ1(x) + · · · + anϕn(x)
第3章 多项式插值与样条插值
同济大学数学系计算数学教研室
本章和第4章论述的主题: 函数表达的问题
第一个问题，假定已有一个函数的数值表(表3.1).
表 1: x x1 x2 · · · xn y y1 y2 · · · yn 要问：是否能找到一个简单而便于计算的公式，利用它可以精确 地重新算得这些给定点。—— 插值问题
= yn
(2)
其系数行列式是范德蒙德（Vandermode)行列式：
§2.2 多项式插值−−插值多项式的存在唯一性
1 x0 x02 · · · x0n
1 x1 x12 · · · x1n
n i−1
V (x0, x1, · · · , xn) =
1 ...
x2 ...
x...22
··· ...
x...2n
其中Ak 为待定系数。
由条件lk (xk ) = 1 可定Ak ，于是
lk=(xj)=n0=xx(k−x−k(xx−xjj−x0x)0()x(kx−−xx11))······((xxk−−xxkk−−11))((xx−k −xkx+k1+)1·)···(··x(−xkx−n)xn)
(6)
j =k
§3.2 拉格朗日(Lagrange)插值−−拉格朗日插值多项式
(4)
的系数a0, · · · , an.
§3.1 拉格朗日(Lagrange)插值−−拉格朗日(Lagrange)插 值基函数
定义3.1
若存在一个次数为n的多项式lk (x) ，在n个节 点(i = 0, 1, · · · , k − 1, k + 1, · · · , n)上lk (x) 的值为0，在节点xk 上 其值为1, 即lk (x) 满足条件
记所要求的多项式为Ln (x )：
Ln (x )
=
n j =0
yj lj (x)
=
n j =0
yj
n i =0
x − xi xj − xi
(7)
i =j
当n = 1时，拉格朗日插值多项式(7)为
L1(x) = l0(x)y0 + l1(x)y1 即
L1(x )
=
x x0
− x1 − x1
y0
+
x x1
§2.1 多项式插值−−多项式插值问题的定义
定义2.1
设函数y = f (x)在区间[a, b]上有定义，且已知它在n + 1个互异的
点a x0 < x1 < · · · < xn b的函数值y0, y1, · · · , yn,若存在一个 次数不超过n次的多项式p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn(其中ai 为实 数) 满足条件
p(xi ) = yi (i = 0, 1, 2, · · · , n)
(1)
则称p(x)为函数f (x)的n次插值多项式。
§2.1 多项式插值−−多项式插值问题的定义
几个常用术语: 插值法——按条件(1)求函数f (x)的近似表达式p(x)的方法 插值条件——条件(1) 插值节点——xi (i = 0, 1, 2, · · · , n) 插值区间——包含插值节点的区间[a, b]
数ai (i = 0, 1, 2, · · · , n)为未知元的n + 1阶线性方程组：
a0 + a1x0 + a2x02 + · · · + anx0n a0 + a1x1 + a2x12 + · · · + anx1n
= y0 = y1
··· a0 + a1xn
+ a2xn2 + · · · + anxnn
§2.1 多项式插值−−多项式插值问题的定义
多项式插值的几何意义：
7
6
5
y=p(x)
4
3 y=f(x)
2
1
0
−1
−2
−2
0
2
4
6
8
10
12
Figure 1: 多项式插值的几何意义
§2.2 多项式插值−−插值多项式的存在唯一性
定理2.1 n次插值多项式存在且唯一。
证:设n次多项式p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn是函 数y = f (x)在[a, b]上的n + 1个互异的节点xi (i = 0, 1, 2, · · · , n)上 的插值多项式，则求p(x )的问题就可归结为求它的系
=
(xi − xj )
i=1 j=0
1 xn xn2 · · · xnn (3)
因为xi 互不相同，所以式(3)不为零，根据解线性方程组的克莱 姆(Cramer)法则，方程组的解ai 存在且唯一，从而p(x)被唯一确 定，这就证得了n次代数插值问题的解是存在且唯一的。
§2.3 多项式插值−−基函数法
lk (xi ) =
1, i = k, 0, i = k.
(5)
则称lk (x)为节点xi (i = 0, 1, · · · , n)上的拉格朗日插值基函 数。k 为某固定的整数。
§3.1 拉格朗日(Lagrange)插值−−拉格朗日(Lagrange)插 值基函数
很容易找到lk (x)：
lk (x) = Ak (x − x0)(x − x1) · · · (x − xk−1)(x − xk+1) · · · (x − xn)