下载文档原格式
清水中学九年级数学人教版 第二十一章 二次根式 复习提纲一、知识结构二、知识点归纳(一)二次根式的概念：（1）二次根式：式子a (a ≥0)叫做二次根式．（2）最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．把满足这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(3)同类二次根式：化成最简二次根式后，如果被开方数相同。
，这几个二次根式就叫做同类二次根式．(4)分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
(5)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积为有理式，我们说这两个代数式互为有理化因式．（6）代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式。
（二）二次根式的性质．20)(0);,(0)0,(0),(0)0,0)____(0,0);a a a a a a a a a a b a b ≥=≥>⎧⎪===⎨⎪-<⎩=≥≥=≥>是一个非负数；（*）（三）二次根式的运算：（1）二次根式的加减：先将二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。
（20,0,0)a b a b =≥≥=≥>注意：做乘法时要灵活运用乘法分式；做除法时，有时要写为分数形式，然后分母有理化； 化简时要注意a 的正负性，尤其是隐含的正负性．三、典型习题（一）二次根式的概念1．（06泸州）要使二次根式1-x 有意义，字母x 的取值必须满足的条件是( ) (A)x≥1(B)x≤1(C)x>1(D)x<12．(06眉山) 若 2-x 有意义，则X 的取值范围（ ） A 、x > 2 B 、x ≥ 2 C、x < 2 D 、x ≤ 23．（05x 的取值范围是（ ） A 、2x ≠ B 、2x ≥ C 、2x > D 、2x ≤ 4．（05福州）如果代数式1-x x有意义，那么x 的取值范围是（ ） A 、0≥x B 、1≠x C 、0>x D 、10≠≥x x 且5．（05 Ａ、a<1 Ｂ、a ≤1 Ｃ、a ≥1 Ｄ、a>16．（04x 必须满足的条件是 A ．x ≥1 B ．x ＞－1 C ．x ≥－1 D ．x ＞1 7．（05荆门）如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 8．（02哈尔滨）如果式子x341-在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是 。
九年级数学第21章二次根式单元复习（2）
本章主要知识:
1) ）2=a（a≥0）．
a(a≥0)
{ -a(a＜0)
（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）
a≥0，b>0）（a≥0，b>0）
2.二次根式的应用
(1)二次根式的加减法：通常先把各个二次根式化成最简二次根式，在合并同类二次根式
(2)＝（a≥0，b
≥0），对于二次根式除法，通常是先化成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算，有时可以约分，有时可以利用公式，运算的结果都要化成最简二次根式。
基础题A组
1.计算或化简：
(2)√6/√
(4)在直角坐标系中，点P（1）到原点的距离是_________
基础题B组
)2
+1)
3、计算下列各题，并概括二次根式的运算的一般步骤：
√0.5)
÷√1/y)
4、计算：
5.
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这个等腰三角形的面积作业总复习题21
√√
()()5
3
5
6
14
.2
7
4
9
7
11
4
11
4
5
.1
+
÷
+
+
-
-
-
-
22
（1）求a的值.
设a、b为实数,且| 2 -a|+ b-2 =0。
人教版数学第21章二次根式知识点及对应练习【知识点】1.二次根式的定义：二次根式是指形如√a的数，其中a是非负实数。
2.平方根的性质：a) 对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a · √b。
b)对于任意非负实数a和b，有√(a/b)=√a/√b。
c)对于任意非负实数a和b，有√a+√b≠√(a+b)。
d)对于任意非负实数a和b，有√a-√b≠√(a-b)。
e)在二次根式的分母中，不能包含含有根号的项。
3.二次根式的运算：a)二次根式的加减运算：将同类项相加减，并化简。
b)二次根式的乘除运算：将二次根式的底数进行乘除运算，并化简。
c)二次根式的化简：将二次根式的底数分解质因数，并化简。
4.二次根式的画线运算：对于二次根式的运算式，可以使用欧拉公式或有理化等方法，将二次根式的运算式写成一般的数学运算表达式。
【练习题】1.计算下列二次根式的值：a)√9b)√(5+3)c)√(12+2√3-7√5)d)√(15-7√2+8√3-14√6)2.化简下列二次根式：a)√(3+2√2)b)√32-√18c)√(6-4√3+2√6)d)√(√(8-3√5))3.将下列二次根式化简，并且写成最简形式：a)√(6√2-3√18)b)√(5+2√3-√(8-2√5))c)√(10-4√6+√(24-10√6))d)√(6+√(8-4√3+3√(4-2√3)))4.计算下列二次根式的值：a)(√3+√2)²b)(√5-√3)·(√5+√3)c)(√2+√3)²-2√6d)(√5+√6)²+2√305.给出二次根式的运算结果：a)(√2+2)²b)(√(3-2√2)+√(3+2√2))²c)(√(8-4√3)-√(6-2√3))²d)(√(12-4√5)+√(3-2√5))²。
章复习第21章二次根式
一、二次根式
1、二次根式的概念
一般地，把形如______的式子叫做二次根式，“______”叫做二次根号，______叫做被开方数.
注：被开方数a可以是数，也可以是代数式（整式、分式），但a必须____________.
2、二次根式的意义与性质
⑴意义：二次根式实际上就是指非负数a的____________．
a≥是一个______数；②____________；③____________．
(0)
注：①2(0)
=≥可逆用平方根定义得出；②注意0
a a
a<时，a-．
二、二次根式的乘除
1、二次根式的乘法规定：__________________
即：____________________________________．
注：①此规定可推广到多个二次根式的情况；②此规定是积的算术平方根的性质____________的逆用；③公式中的a，b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是______数，因为负数____________.
2、二次根式的除法规定：__________________
即：______________________________.
注：①一般地，两个二次根式相除，如果被开方数不能恰好整除时，应将分母有理化.
分母有理化的依据是分式的基本性质和2(0)
=≥；②商的算术平方根的性质的限制条
a a
件“(00)
，”与积的算术平方根的性质的限制条件类似，但也有区别，因为分母不能为零，
a b
≥>
所以被除式a必须是非负数，除式b必须是正数，否则性质不成立.
3、最简二次根式
满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
①被开方数不含______；②被开方数中不含____________的因数或因式.
注：①判断最简二次根式，应紧紧抓住最简二次根式的定义；②如果被开方数是多项式时，应先因式分解，再来判断；③被开方数中每一个因式的指数都小于根指数2，即每个因式的指数都为1．
三、二次根式的化简
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分数或分式的形式，然后利用分母有理化进行化简；②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．
四、二次根式的加减
1、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．
注：①几个根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，而与根号前面的“系数”无关；②判断几个二次根式是否是同类二次根式，应先化成最简二次根式，再进行判断．
2、二次根式的加减
二次根式的加减，就是合并同类二次根式，二次根式加减运算的一般步骤：
①将每一个二次根式化为最简二次根式；
②找出其中的同类二次根式，合并同类二次根式．
注：合并同类二次根式的方法是，把根号外面的因式相加，根指数和被开方数不变，其理论依据是逆用乘法对加法的分配律． 如：.34
73)412(34132=-=- 五、重难专攻 综合方法
专攻1 二次根式的化简
在二次根式的运算中，二次根式的化简是必不可少的步骤．化二次根式为最简二次根式的方法：
(1)如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用00)a b =≥>，把它写成分数或分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．
(2)如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽的因数或因式开出来．
专攻2 二次根式的运算技巧
(1)巧移因式，避繁就简
【例1】计算：⋅-+
)3418)(4823( 解：原式=)3418)(4823(22⨯-+⨯)4818)(4818(-+=304818-=-=
(2)巧换元，干净利索
【例2】计算：
n n n n n n n n n (4
24242422222-++--++--+-+
+>2)． 【解】设42,4222--+=-+
+=n n y n n x ，则
原式=
(3)巧用因式分解，手到擒来
【例3】化简：6
22633++++
【解】原式=⋅==+++
+2
623)312(2)213(3
另外，还有配方、整体代入、拆项等方法，进行二次根式运算时，要灵活应用这些方法，以达到事半功倍的目的．
六、中考能力提升
重要例题分类解析
题例1 二次根式
【例1】
【解】3．
【点拨】考查二次根式运算，同时考查平方与开方的互逆关系．
【例2】 （上海中考）计算：
【例3】 （广东中考）化简：
【分析
【分析
【解
题蜘2二次根式的乘除
.171-
.3)
3(2=J .1777777
77-=-=- =-
7
77 =2)3(
题刨
±∝=R 、3
的加
R
【例4】 （重庆中考）计算^／8
=∞-/2
A ．6
B ．厢
C ．2
D ．厄
【解】D ．
简再计算，
【分析】
.33312,3212-=-∴=
【解】一万．
【点拨
中考最新动
析
置击1化简探讨题
【例1】 （镇江中考）若
为( )．
A ．o 万
B ．口 ~-b-
b a C -.
b a D --.
P 、
1．（襄樊中考）与怕是
A.~/8
B.√27
C. 2√S
21
2.-A
2.±B
2.C
4.D
rH r
*.(3Λ 中考．2009）下面计算正确的是( )．
3333.=+A
3327.=÷B
532.=⋅
C 24.±=D
的取值范围是( )．
3.-≥x A 3.->x B 3.-≤x C 3.-<x D )%(5L
hs Φ=⋅ 下列计算正确的是( )．
A ．√822=- 14931227.=-=-
B
1)52)(52(=+-⋅C 23226.=-
D
、-
填空
6．（上海中考）函数
≡⨯-=R hR x y 、2
7．（芜湖中考）式子
≡-=≡+hhL N TKRL r a 12
8．（曲靖中考）
9．（湘西
10．（温州
【分析
ab b a b a ab ∴><∴><,0,0,0,012 .b a -=
【解】C ．
【点拨】
渎探究题
【例
观察下列各式：
=+=+=+51
3,41
341
2,31
231
1
.,51
4
请你将发现
自然数n(n≥1)的等式
【分析】比较等式的左边及右边， ⋅++=++2
1)1(21n n n n 【解】
⋅++=++2
1)1(21n n n n 【点拨】
11.（内江中考）化简：
.45sin 2321
+- 12.（江西中考）已知：以0凡是整数， 数n 为( )．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 且、-F 放j 宋ji 毯
z .(/13
阳
+-=++-=++-=+3431,32321,212
11 ,20022001200220011
,,4.+-=+
.20032002200320021
+-=+ +++++++++2002200114313212
11
( ⋅+⨯+)20031()200320021
题
14．（内江中考）实数
上的位置如图
kk ,110-
=-+-22)2()1(P P
110-r
u k ML L *、)(15*≡≡-Φ-⋅⋅
先化
n JN x J x x x ∏≡⋅
-=Φ±---~22/,.,,2007,91:)96 学做题时把“
,,2007-=x 错抄成了“≡=
HTk x 1,,,2007的计算结果也是正确的，。
