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2020-2021学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）设a.b∈R.则“（a-b）a2＜0”是“a＜b”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要2.（单选题.5分）抛物线y=4x2的焦点坐标为（）A.（0.1）B.（0.-1））C.（0. 116.0）D.（1163.（单选题.5分）已知向量a⃗ =（2.3）.向量b⃗⃗ =（-1.2）.若μa⃗ + b⃗⃗与a⃗−b⃗⃗垂直.则μ=（）A.-1B.1C. 19D. −124.（单选题.5分）正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长相等.E为SC的中点.则BE与SA所成角的余弦值为（）A. 13B. 12C. √33D. √325.（单选题.5分）如图所示.点F是抛物线y2=4x的焦点.点A.B分别在抛物线y2=4x及圆（x-1）2+y2=16的实线部分上运动.且AB总是平行于x轴.则△FAB的周长的取值范围是（）A.（2.6）B.（5.8）C.（8.12）D.（8.10）6.（单选题.5分）已知α.β是两个不重合的平面.在下列条件中.可判断平面α.β平行的是（）A.m.n是平面α内两条直线.且m || β.n || βB.m.n是两条异面直线.m⊂α.n⊂β.且m || β.n || αC.面α内不共线的三点到β的距离相等D.面α.β都垂直于平面γ7.（单选题.5分）在△ABC中.内角A.B.C所对的边分别为a.b.c.若c-a=2acosB.则3a+cb的最小值为（）A. √2B. √3C. 2√2D.38.（单选题.5分）直线y=- √3x与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)交于A、B两点.以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点.则椭圆C的离心率为（）A. √32B. √3 -1C. √3−12D.4-2 √39.（多选题.5分）已知双曲线的方程为：x29−y27=1 .则下列说法正确的是（）A.焦点为(±√2，0)B.渐近线方程为√7x±3y=0C.离心率e为43D.焦点到渐近线的距离为√14410.（多选题.5分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.则（）A. f(x)=cos(2x−π6)B. f(x)=sin(2x−π6)C. f(π3+x)=f(π3−x)D. f(π3+x)=−f(π3−x)11.（多选题.5分）如图.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中.P为A1D1的中点.Q为A1B1上任意一点.E、F为CD上两点.且EF的长为定值.则下面四个值中是定值的是（）A.点P到平面QEF的距离B.直线PQ与平面PEF所成的角C.三棱锥P-QEF的体积D.△QEF的面积12.（多选题.5分）如图.过点P（2.0）作两条直线x=2和l：x=my+2（m＞0）分别交抛物线y2=2x于A.B和C.D（其中A.C位于x轴上方）.直线AC.BD交于点Q．则下列说法正确的是（）A.C.D两点的纵坐标之积为-4B.点Q在定直线x=-2上C.|PC|最小值是2D.无论CD旋转到什么位置.始终有∠CQP=∠BQP13.（填空题.5分）若sin(75°+α)=√2.则cos（30°-2α）=___ ．314.（填空题.5分）数列{a n}中.a1=2.a n+1=2a n.n∈N*．若其前k项和为126.则k=___ ．15.（填空题.5分）体积为√3的三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上.PA⊥平面6.AB=1.则球O的表面积为___ ．ABC.PA=2.∠ABC= 2π316.（填空题.5分）已知双曲线C的焦点为F1（0.2）.F2（0.-2）.实轴长为2.则双曲线C的离心率是___ ；若点Q是双曲线C的渐近线上一点.且F1Q⊥F2Q.则△QF1F2的面积为___ ．17.（问答题.10分）在① sinA=2sinC. ② a+c=6. ③ ac=15.这三个条件中任选一个.补充在下面问题的横线中.若问题中的△ABC存在.求出△ABC的面积；若问题中的△ABC不存在.请说明理由．=bsinA .b=3．问题：是否存在△ABC.它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知asin A+C2S n−1=0(n∈N∗)．18.（问答题.12分）设数列{a n}的前项n和为S n.且满足a n−12（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ.使得数列{S n+（n+2n）λ}为等差数列？若存在.求出λ的值；若不存在.请说明理由．19.（问答题.12分）如图所示.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.DB=BC.DB⊥AC.点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1 || 面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置.使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．20.（问答题.12分）已知椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的离心率为 12 .点 (1，32) 在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）O 是坐标原点.过椭圆的右焦点F 的直线l 1交椭圆于P.Q 两点.求△OPQ 面积的最大值．21.（问答题.12分）在多面体ABCDPE 中.四边形ABCD 是直角梯形.AD || BC.AD⊥AB .平面PAD⊥平面ABCD.PE || CD.AB=BC=2.AD=4. PD =2√5 .∠PDA 的余弦值为 2√55. PE =12CD .F 为BE 中点.G 为PD 中点 （1）求证：FG || 平面ABCD（2）求平面BCE 与平面ADE 所成角（锐角）的余弦值22.（问答题.12分）已知抛物线C：y2=2px经过点M（2.2）.C在点M处的切线交x轴于点N.直线l1经过点N且垂直于x轴．（Ⅰ）求线段ON的长；（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线l2：x=my+b交C于点A和B.交l1于点E.若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列.试问：l2是否过定点？请说明理由．2020-2021学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）设a.b∈R.则“（a-b）a2＜0”是“a＜b”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【正确答案】：A【解析】：根据不等式的性质.结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】：解：若（a-b）a2＜0.则a≠0.∴a-b＜0.即a＜b成立.若a=0.b=1.满足a＜b.但（a-b）a2＜0不成立.即“（a-b）a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件.故选：A．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.根据不等式的关系是解决本题的关键．2.（单选题.5分）抛物线y=4x2的焦点坐标为（）A.（0.1）B.（0.-1））C.（0. 116.0）D.（116【正确答案】：C【解析】：根据题意.将抛物线的方程变形为标准方程.分析可得其焦点位置以及p的值.有抛物线焦点坐标公式计算可得答案．y.【解答】：解：根据题意.抛物线的方程为y=4x2.则其标准方程为x2= 14.其焦点在y轴正半轴上.且p= 18则其焦点坐标为（0. 116 ）； 故选：C ．【点评】：本题考查抛物线的标准方程.注意先将抛物线的方程变形为标准方程．3.（单选题.5分）已知向量 a ⃗ =（2.3）.向量 b ⃗⃗ =（-1.2）.若 μa ⃗ + b ⃗⃗ 与 a ⃗−b ⃗⃗ 垂直.则μ=（ ） A.-1 B.1 C. 19 D. −12【正确答案】：C【解析】：可先求出 μa ⃗+b ⃗⃗=(2μ−1，3μ+2) . a ⃗−b ⃗⃗=(3，1) .根据 μa ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗−b ⃗⃗ 垂直即可得出 (μa ⃗+b ⃗⃗)•(a ⃗−b ⃗⃗)=0 .进行数量积的坐标运算即可求出μ．【解答】：解： μa ⃗+b ⃗⃗=(2μ−1，3μ+2) . a ⃗−b ⃗⃗=(3，1) ； ∵ μa ⃗ + b ⃗⃗ 与 a ⃗−b⃗⃗ 垂直； ∴ (μa ⃗+b ⃗⃗)•(a ⃗−b ⃗⃗)=3(2μ−1)+3μ+2=0 ； 解得 μ=19 ． 故选：C ．【点评】：考查向量垂直的充要条件.向量加法、减法、数乘和数量积的坐标运算．4.（单选题.5分）正四棱锥S-ABCD 的侧棱长与底面边长相等.E 为SC 的中点.则BE 与SA 所成角的余弦值为（ ） A. 13B. 12C. √33D. √32【正确答案】：C【解析】：建立空间直角坐标系.利用cos ＜AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＞ = AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| .即可得出．【解答】：解：如图所示建立空间直角坐标系.不OA=1.则A （1.0.0）.S （0.0.1）.B （0.1.0）.C （0.-1.0）. E (−12，0，12) ．AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.0.1）. BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−12，−1，12) ． ∴cos ＜AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＞ = AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|= 12+0+12√2×√14+1+14= √33 ．∴BE 与SA 所成角的余弦值为 √33 ． 故选：C ．【点评】：本题考查了利用向量夹角公式求异面直线所成的角.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．5.（单选题.5分）如图所示.点F 是抛物线y 2=4x 的焦点.点A.B 分别在抛物线y 2=4x 及圆（x-1）2+y 2=16的实线部分上运动.且AB 总是平行于x 轴.则△FAB 的周长的取值范围是（ ）A.（2.6）B.（5.8）C.（8.12）D.（8.10） 【正确答案】：D【解析】：由抛物线定义可得|AF|=x A +1.从而△FAB 的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A +1+（x B -x A ）+4=5+x B .确定B 点横坐标的范围.即可得到结论．【解答】：解：抛物线的准线l：x=-1.焦点F（1.0）.由抛物线定义可得|AF|=x A+1.∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+1+（x B-x A）+4=5+x B.由抛物线y2=4x及圆（x-1）2+y2=16可得交点的横坐标为3.∴x B∈（3.5）.∴5+x B∈（8.10）.故选：D．【点评】：本题考查抛物线的定义.考查抛物线与圆的位置关系.确定B点横坐标的范围是关键．6.（单选题.5分）已知α.β是两个不重合的平面.在下列条件中.可判断平面α.β平行的是（）A.m.n是平面α内两条直线.且m || β.n || βB.m.n是两条异面直线.m⊂α.n⊂β.且m || β.n || αC.面α内不共线的三点到β的距离相等D.面α.β都垂直于平面γ【正确答案】：B【解析】：A中.没有m与n交于一点.不能判断α || β；B中.根据异面直线的定义和线面平行、面面平行的判断方法.能判断α || β；C中.举例说明α || β不一定成立；D中.α.β都垂直于平面γ时.两平面α、β的位置关系可能平行或相交．【解答】：解：对于A.m.n是平面α内两条直线.且m || β.n || β.没有m与n交于一点.不能判断α || β；对于B.m.n是两条异面直线.m⊂α.n⊂β.且m || β.n || α.能判断α || β；因为m || β.所以在β内存在直线m1 || m.又m⊂α.所以m1|| α；又m.n是两条异面直线.所以直线m1与n是两条相交直线；又n || α.所以α || β；对于C.因为α内不共线的三点到β的距离相等.此三点在两平面相交时也可以找出.所以不能判断α || β；对于D.因为α.β都垂直于平面γ时.两平面α、β的位置关系可能是平行或相交.所以不能判断α || β．故选：B．【点评】：本题考查了判断面面平行的应用问题.也考查了推理论证能力与空间想象能力.是基础题．7.（单选题.5分）在△ABC 中.内角A.B.C 所对的边分别为a.b.c.若c-a=2acosB.则 3a+cb的最小值为（ ） A. √2 B. √3 C. 2√2 D.3【正确答案】：C【解析】：利用正弦定理求出2A=B.再对结论进行化简.利用基本不等式求出即可．【解答】：解：c-a=2acosB.sinC-sinA=2sinAcosB.化简sinAcosB+cosAsinB-sinA=2sinAcosB.得sin （B-A ）=sin （A ）. 得2A=B.或者B=180°（舍弃）.由 3a+c b = 3sinA+sin3A 2sinAcosA = 6sinA−4sin 3A 2sinAcosA = 3−2sin 2A cosA = 1+2cos 2A cosA = 2cosA +1cosA. ①由A+B+C=3A+C=π.A∈（0. π3 ）.所以 ① ≥2 √2cosA •1cosA =2 √2 .当且仅当A= π4 .取等号. 故选：C ．【点评】：题考查三角形的解法.正弦定理以及余弦定理的应用.基本不等式的应用.考查计算能力．8.（单选题.5分）直线y=- √3x 与椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 交于A 、B 两点.以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点.则椭圆C 的离心率为（ ） A. √32B. √3 -1C.√3−12 D.4-2 √3 【正确答案】：B【解析】：以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点.也过左焦点.以这两个焦点A 、B 两点为顶点得一矩形.求出矩形宽与长.利用椭圆的定义.即可求得椭圆C 的离心率．【解答】：解：由题意.以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点.也过左焦点.以这两个焦点A 、B 两点为顶点得一矩形．直线y=- √3 x的倾斜角为120°.所以矩形宽为c.长为√3 c．由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a.即c+ √3 c=2a．∴ e=ca =21+√3=√3−1故选：B．【点评】：本题重点考查圆与椭圆的综合.考查椭圆的几何性质.解题的关键是判断以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．9.（多选题.5分）已知双曲线的方程为：x29−y27=1 .则下列说法正确的是（）A.焦点为(±√2，0)B.渐近线方程为√7x±3y=0C.离心率e为43D.焦点到渐近线的距离为√144【正确答案】：BC【解析】：利用双曲线方程求出渐近线方程.离心率.焦点坐标.结合点到直线的距离判断选项的正误即可．【解答】：解：双曲线的方程为：x 29−y27=1 .可知a=3.b= √7 .c=4.所以双曲线的焦点坐标（±4.0）.所以A不正确；渐近线方程：√7x±3y=0 .所以B正确；离心率为：e= 43.所以C正确；焦点到渐近线的距离为：4√7√9+7= √7 .所以D不正确；故选：BC．【点评】：本题考查双曲线的简单性质的应用.是基本知识的考查．10.（多选题.5分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.则（）A. f(x)=cos(2x−π6)B. f(x)=sin(2x−π6)C. f(π3+x)=f(π3−x)D. f(π3+x)=−f(π3−x)【正确答案】：AD【解析】：根据图象可知32T=5π6−π12.求出周期.进而得到ω的值.然后利用最高点求出φ的值.然后根据解析式确定选项．【解答】：解：由题意得3T4=5π6−π12=3π4.所以T=π.故ω=2.所以f（x）=sin（2x+φ）.将(π12，1)代入得sin(2×π12+φ)=1 .所以π6+φ=π2+kπ，k∈Z .结合|φ|＜π2.可知k=0时. φ=π3为所求.故f（x）= sin(2x+π3)=cos[π2−(2x+π3)] = cos(2x−π6)．又因为f（π3）=sinπ=0.故（π3，0）是f（x）的对称中心．故选：AD．【点评】：本题考查三角函数的据图求式问题.以及正余弦型三角函数图象与性质.属于中档题．11.（多选题.5分）如图.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中.P为A1D1的中点.Q为A1B1上任意一点.E、F为CD上两点.且EF的长为定值.则下面四个值中是定值的是（）A.点P到平面QEF的距离B.直线PQ与平面PEF所成的角C.三棱锥P-QEF的体积D.△QEF的面积【正确答案】：ACD【解析】：由平面QEF也就是平面A1B1CD.可判断A；由线面角的定义可判断B；由棱锥的体积公式可判断C；由三角形的面积公式可判断D．【解答】：解：对于A.∵平面QEF也就是平面A1B1CD.既然P和平面QEF都是固定的.∴P到平面A1B1CD的距离是定值.∴点P到平面QEF的距离为定值.故A正确；对于B.∵Q是动点.E.F也是动点.推不出定值的结论.∴直线PQ与平面PEF所成的角不是定值.故B错误；对于C.∵EF定长.Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长.即底和高都是定值.∴△QEF的面积是定值.∵点P到平面QEF的距离.∴P到平面QEF的距离也是定值.∴三棱锥的高也是定值.∴三棱锥P-QEF的体积是定值.故C正确；对于D.∵EF定长.Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长.即底和高都是定值.∴△QEF的面积是定值.故D正确．故选：ACD．【点评】：本题考查的知识点是直线与平面所成的角.棱锥的体积及点到平面的距离.其中两线平行时.一条线的上的点到另一条直线的距离相等.线面平行时直线上到点到平面的距离相等.平面平行时一个平面上的点到另一个平面的距离相等是解答本题的关键．12.（多选题.5分）如图.过点P（2.0）作两条直线x=2和l：x=my+2（m＞0）分别交抛物线y2=2x于A.B和C.D（其中A.C位于x轴上方）.直线AC.BD交于点Q．则下列说法正确的是（）A.C.D两点的纵坐标之积为-4B.点Q在定直线x=-2上C.|PC|最小值是2D.无论CD旋转到什么位置.始终有∠CQP=∠BQP【正确答案】：AB【解析】：设点C（x1.y1）.D（x2.y2）.将直线l的方程x=my+2代入抛物线方程y2=2x.通过韦达定理.判断A；求出直线AC的方程.直线BD的方程.推出Q满足的方程.判断B；求出|PC|判断C；通过PA=PB.但QA≠QB.判断D．【解答】：解：设点C（x1.y1）.D（x2.y2）将直线l的方程x=my+2代入抛物线方程y2=2x得：y2-2my-4=0．则y1y2=-4．故A正确；由题得A（2.2）.B（2.-2）.直线AC的方程为y−2=2y1+2(x−2) .直线BD的方程为y+2=2y2−2(x−2) .消去y得x=2(y1y2−y1+y2)y1−y2+4.将y1y2=-4代入上式得x=-2.故点Q在直线x=-2上.故B正确；计算PA=2.OP=2.可知选项C错误；因为PA=PB.但QA≠QB.所以D错误．故选：AB．【点评】：本题考查抛物线的简单性质的应用.直线与抛物线的位置关系的应用.是中档题．13.（填空题.5分）若sin(75°+α)=√23.则cos（30°-2α）=___ ．【正确答案】：[1]- 59【解析】：由题意利用诱导公式求得cos（15°-α）的值.再利用二倍角的余弦公式求得cos （30°-2α）的值．【解答】：解：∵ sin(75°+α)=√23=cos（15°-α）.则cos（30°-2α）=2cos2（15°-α）-1=2× 29 -1=- 59.故答案为：- 59．【点评】：本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用.属于基础题．14.（填空题.5分）数列{a n}中.a1=2.a n+1=2a n.n∈N*．若其前k项和为126.则k=___ ．【正确答案】：[1]6【解析】：由已知可得数列{a n}是以2为首项.以2为公比的等比数列.然后结合等比数列的求和公式即可求解．【解答】：解：∵a1=2.a n+1=2a n.∴数列{a n}是以2为首项.以2为公比的等比数列.S k=2(1−2k)1−2=126.故k=6．故答案为：6．【点评】：本题主要考查了等比数列的定义及求和公式的简单应用.属于基础试题．15.（填空题.5分）体积为√36的三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上.PA⊥平面ABC.PA=2.∠ABC= 2π3.AB=1.则球O的表面积为___ ．【正确答案】：[1]8π【解析】：利用体积公式推出AB•BC=1.再利用余弦定理求出AC的最小值.再求出外接球半径R的最小值.代入求出即可．【解答】：解：由三棱锥P-ABC的体积为√36.且PA=2.得到V= 13PA• 12BA•BCsin 2π3= √36.∴AB•BC=1.设三角形ABC的外接圆的半径为r.则2r= ACsin2π3.则由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos 2π3=AB2+BC2+AB•BC≥3AB•BC=3.当且仅当AB=BC=1成立.故AC的最小值为√3 .所以2r≥ √3√32=2.r的最小值为1.球的半径R= √1+r2的最小值为R= √1+1 = √2．则球O的表面积的最小值是4πR2=8π．故答案为：8π．【点评】：本题考查三棱锥外接球的表面积的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意空间思维能力的培养．16.（填空题.5分）已知双曲线C 的焦点为F 1（0.2）.F 2（0.-2）.实轴长为2.则双曲线C 的离心率是___ ；若点Q 是双曲线C 的渐近线上一点.且F 1Q⊥F 2Q.则△QF 1F 2的面积为___ ． 【正确答案】：[1]2; [2]2 √3【解析】：由题意可得c.a 的值.进而求出双曲线的离心率.进而求出双曲线的方程.再求出渐近线的方程.设渐近线上的点的坐标Q.由F 1Q⊥F 2Q 可得 F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得Q 的纵坐标.进而求出△QF 1F 2的面积．【解答】：解：由题意可得c=2.2a=2即a=1.所以双曲线的离心率e= ca =2. 所以b 2=c 2-a 2=4-1=3.所以双曲线的方程为：y 2- x 23 =1. 所以渐近线的方程为：y= x√3 .设Q （- √3 y.y ）为一条渐近线的点.由F 1Q⊥F 2Q 可得 F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即（- √3 y.y-2）（- √3 y.y+2）=0.可得3y 2+y 2-4=0.所以|y|=1. 所以S QF 1F 2 = 12|F 1F 2|•| √3 y|= 12•4• √3 =2 √3 . 故答案分别为：2.2 √3 ．【点评】：本题考查双曲线的性质及直线的垂直与数量积的关系.和面积的求法.属于中档题． 17.（问答题.10分）在 ① sinA=2sinC . ② a+c=6. ③ ac=15.这三个条件中任选一个.补充在下面问题的横线中.若问题中的△ABC 存在.求出△ABC 的面积；若问题中的△ABC 不存在.请说明理由．问题：是否存在△ABC .它的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知 asin A+C 2=bsinA .b=3．【正确答案】：【解析】：由题设及正弦定理.三角函数恒等变换的应用化简已知等式.结合sinA≠0. cos B2≠0 .可得sin B2=12.可得B=60°.选择① ：利用正弦定理.余弦定理解得c.a的值.根据三角形的面积公式即可求解；选择② ：利用余弦定理可求得ac=9.结合a+c=6.可得a.c的值.根据三角形的面积公式即可求解；选择③ ：利用余弦定理可求得a+c=3 √6 .结合ac=15.无解.可得△ABC不存在．【解答】：解：由题设及正弦定理得sinAsin A+C2=sinBsinA .因为sinA≠0.所以sin A+C2=sinB .由A+B+C=180°.可得sin A+C2=cos B2.故cos B2=2sin B2cos B2．因为cos B2≠0 .故sin B2=12.因此B=60°.选择① ：sinA=2sinC.即a=2c.根据余弦定理有. cosB=a 2+c2−b22ac= 12.代入b=3.解得c=√3 .a=2 √3 .所以面积S= acsinB2 = 3√32.选择② ：cosB=a 2+c2−b22ac= (a+c)2−2ac−92ac= 12.代入a+c=6.解得ac=9.结合a+c=6.所以a=c=3.所以面积S= acsinB2=9√34.选择③ ：cosB=a 2+c2−b22ac= (a+c)2−2ac−92ac= 12.代入ac=15.解得a+c=3 √6 .结合ac=15.无解.所以△ABC不存在．【点评】：本题主要考查了正弦定理.三角函数恒等变换的应用.余弦定理.三角形的面积公式在解三角形中的综合应用.考查了计算能力和转化思想.属于中档题．18.（问答题.12分）设数列{a n}的前项n和为S n.且满足a n−12S n−1=0(n∈N∗)．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ.使得数列{S n+（n+2n）λ}为等差数列？若存在.求出λ的值；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用等差数列的定义和（1）的结论.进一步进行证明．S n−1=0(n∈N∗) .【解答】：解：（1）当n=1时.有a n−12S1−1=0 .整理得：a1−12解得：a1=2S n−1=0(n∈N∗) .又由a n−12S n+1−1=0(n∈N∗) .可得a n+1−12a n+1−a n=0 .两式相减得12即有a n+1=2a n．故数列{a n}是以2为首项.2为公比的等比数列．a n=2n．（2）由（1）知q≠1.=2(2n−1)．所以S n=a1(1−q n)1−q令b n=S n+(n+2n)λ=(λ+2)2n+λn−2 .为使{b n}为等差数列.则b n是关于n的一次函数.所以λ=-2.此时b n=-2n-2.当n=1时.b1=-2×1-2=-4．当n≥2时.b n-b n-1=-2n-2-[-2（n-1）-2]=-2.所以{S n+(n+2n)λ}是以-4为首项.-2为公差的等差数列．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用.数列的定义的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力.属于基础题型．19.（问答题.12分）如图所示.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.DB=BC.DB⊥AC.点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1 || 面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置.使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．【正确答案】：【解析】：（1）在平面A1BD内找到和B1D1平行的直线BD即可．利用线线平行来推线面平行．（2）先利用条件BB1⊥AC和BD⊥AC证得AC⊥面BB1D.再证明MD⊥AC即可．（3）因为棱BB1上最特殊的点是中点.所以先看中点．取DC的中点N.D1C1的中点N1.连接NN1交DC1于O.⇒BN⊥DC⇒面ABCD⊥面DCC1D1.⇒BN⊥面DCC1D1．而又可证得BN || OM.所以可得OM⊥平面CC1D1D⇒平面DMC1⊥平面CC1D1D．【解答】：解：（1）证明：由直四棱柱.得BB1 || DD1且BB1=DD1.所以BB1D1D是平行四边形. 所以B1D1 || BD．而BD⊂平面A1BD.B1D1⊄平面A1BD.所以B1D1 || 平面A1BD．（2）证明：因为BB1⊥面ABCD.AC⊂面ABCD.所以BB1⊥AC.又因为BD⊥AC.且BD∩BB1=B.所以AC⊥面BB1D.而MD⊂面BB1D.所以MD⊥AC．（3）当点M为棱BB1的中点时.平面DMC1⊥平面CC1D1D取DC的中点N.D1C1的中点N1.连接NN1交DC1于O.连接OM．因为N是DC中点.BD=BC.所以BN⊥DC；又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线.而面ABCD⊥面DCC1D1.所以BN⊥面DCC1D1．又可证得.O是NN1的中点.所以BM || ON且BM=ON.即BMON是平行四边形.所以BN || OM.所以OM⊥平面CC1D1D.因为OM⊂面DMC1.所以平面DMC1⊥平面CC1D1D．【点评】：本题考查平面和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时.其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直．20.（问答题.12分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12.点(1，32)在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）O是坐标原点.过椭圆的右焦点F的直线l1交椭圆于P.Q两点.求△OPQ面积的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）通过离心率以及椭圆经过的点.求出a.b然后求解椭圆方程．（2）设直线l1：x=my+1.代入方程化简得（3m2+4）y2+6my-9=0.利用韦达定理结合△OPQ 的面积为12|OF||y1−y2| .利用基本不等式转化求解最值即可．【解答】：解：（1）由e=ca =12得a=2c.所以b2=3c2.由点(1，32)在椭圆上得14c2+943c2=1解得c=1.b=√a2−c2=√3 .所求椭圆方程为 x 24+y 23=1 ．（2）F （0.1）.设直线l 1：x=my+1. 代入方程化简得（3m 2+4）y 2+6my-9=0. 由韦达定理得y 1+y 2= −6m 3m 2+4 .y 1y 2= −93m 2+4 .△OPQ 的面积为 12|OF ||y 1−y 2| .所以求ABC 的最大值即求|y 2-y 1|的最大值． （y 1-y 2）2=（y 1+y 2）2-4y 1y 2=36(4m 2+4)(3m 2+4)2. 令m 2+1=t≥1.上式可表示成 144t(3t+1)2=1449t+6+1t.y=9t+6+ 1t .t≥1时.函数是增函数.所以t=1时.y 取得最小值16.|y 2-y 1|的最大值的最大值为：3. △OPQ 的面积的最大值为 12|OF ||y 1−y 2| =3． S △OPQ =3．【点评】：本题考查椭圆方程的求法.直线与椭圆的位置关系的应用.考查转化思想以及计算能力.是中档题．21.（问答题.12分）在多面体ABCDPE 中.四边形ABCD 是直角梯形.AD || BC.AD⊥AB .平面PAD⊥平面ABCD.PE || CD.AB=BC=2.AD=4. PD =2√5 .∠PDA 的余弦值为 2√55. PE =12CD .F 为BE 中点.G 为PD 中点 （1）求证：FG || 平面ABCD（2）求平面BCE 与平面ADE 所成角（锐角）的余弦值【正确答案】：【解析】：（1）取EC 的中点H.连结FH.GH.证明FH || BC.FH || 平面ABCD.HG || CD.HG || 平面ABCD.然后证明平面FHG || 平面ABCD.推出FG || 平面ABCD ．（2）在△PAD 中.求出PA=2.说明PA⊥AD .以AD 所在直线为X 轴.BA 所在直线为Y 轴.AP 为z 轴.建立空间直角坐标系．求出平面BCE 的一个法向量.利用空间向量的数量积求解平面BCE 与平面ADE 所成角的余弦值即可．【解答】：（1）证明：取EC 的中点H.连结FH.GH. ∵F 为BE 中点.∴FH || BC .∵FH⊄平面ABCD.BC⊂平面ABCD.∴FH || 平面ABCD. ∵G 为PD 中点.EP || CD.∴HG || CD .∵HG⊄平面ABCD. ∴HG || 平面ABCD.∵FH∩HG=H . ∴平面FHG || 平面ABCD.∵FG⊂平面FHG∴FG || 平面ABCD ．（2）解：在△PAD 中.PA 2=PD 2+AD 2-2PD•AD•cos∠PDA= 20+16−2×2√5×4×2√55=4 .∴PA=2.∴PA 2+AD 2=PD 2.∴PA⊥AD 又∵平面PAD⊥平面ABCD 平面PAD∩平面ABCD=AD.∴PA⊥平面ABCD. 以AD 所在直线为X 轴.BA 所在直线为Y 轴.A 为原点 建立空间直角坐标系．A （0.0.0）.B （0.-2.0）.C （2.-2.0）. D （4.0.0）.P （0.0.2）.设 E (x ，y ，z) ∵PE =12CD ∴EP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴ (−x ，−y ，2−z)=12(2，2，0) .∴x=-1.y=-1.z=2.∴点E 的坐标为（-1.-1.2）.设平面ADE 的一个法向量： n 1⃗⃗⃗⃗⃗ =（（x.y.z ））. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4，0，0) AE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，−1，2) ∴ {4x 1=0−x 1−y 1+2z 1=0 令z 1=1 ∴y 1=2 . ∴ n 1⃗⃗⃗⃗⃗=(0，2，1) .设平面BCE 的一个法向量 n 2⃗⃗⃗⃗⃗=(x 2，y 2，z 2) ∴n 2⃗⃗⃗⃗⃗⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， n 2⃗⃗⃗⃗⃗⊥BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2，0，0) BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1，1，2) .∴ {2x 2=0−x 2+y 2+2z 2=0 令z 2=1 ∴y 2=−2 .∴ n 2⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−2，1) . 设平面BCE 与平面ADE 所成角为θ∴ cosθ=−2×2+1×1√5√5=−35 .∴平面BCE 与平面ADE 所成角（锐角）的余弦值为 35 ．【点评】：本题考查二面角的平面角的余弦函数值的求法.直线与平面平行的判断定理的应用.考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力.是中档题．22.（问答题.12分）已知抛物线C ：y 2=2px 经过点M （2.2）.C 在点M 处的切线交x 轴于点N.直线l 1经过点N 且垂直于x 轴． （Ⅰ）求线段ON 的长；（Ⅱ）设不经过点M 和N 的动直线l 2：x=my+b 交C 于点A 和B.交l 1于点E.若直线MA 、ME 、MB 的斜率依次成等差数列.试问：l 2是否过定点？请说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）先求出p 的值.然后求出在第一象限的函数.结合函数的导数的几何意义求出N 的坐标即可求线段ON 的长；（Ⅱ）联立直线和抛物线方程进行削元.转化为关于y 的一元二次方程.根据根与系数之间的关系结合直线斜率的关系建立方程进行求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）由抛物线y 2=2px 经过点M （2.2）.得22=4p. 故p=1.c 的方程为y 2=2x …（2分） C 在第一象限的图象对应的函数解析式为y= √2x .则′=√2x. 故C 在点M 处的切线斜率为 12 .切线的方程为y-2= 12 （x-2）. 令y=0得x=-2.所以点N 的坐标为（-2.0）. 故线段ON 的长为2 …（5分） （Ⅱ）l 2恒过定点（2.0）.理由如下：由题意可知l 1的方程为x=-2.因为l 2与l 1相交.故m≠0 由l 2：x=my+b.令x=-2.得y=- b+2m.故E （-2.-b+2m） 设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）由 {x =my +b y 2=2x 消去x 得：y 2-2my-2b=0则y 1+y 2=2m.y 1y 2=-2b …（7分） 直线MA 的斜率为 y 1−2x 1−2 = y 1−2y 122−2= 2y1+2.同理直线MB 的斜率为 2y2+2. 直线ME 的斜率为2+b+2m4因为直线MA 、ME 、MB 的斜率依次成等差数列.所以2y 1+2 + 2y 2+2 =2× 2+b+2m 4=1+b+22m. 即 2(y 1+y 2+4)2(y1+y 2)+y 1y 2+4=1+ 4−y 1y 22(y 1+y 2)+y 1y 2+4 =1+ b+22m .…（10分）整理得： b+22m−b+2=b+22m. 因为l 2不经过点N.所以b≠-2 所以2m-b+2=2m.即b=2故l 2的方程为x=my+2.即l 2恒过定点（2.0）…（12分）【点评】：本题主要考查直线和抛物线的位置关系.利用直线和抛物线方程.转化为一元二次方程.结合韦达定理.利用设而不求的思想是解决本题的关键．。
2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A B C ABC '''-A ABC '-A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体2. 棱长为的正四面体的表面积为（ ）1B. C. D. 3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中1111ABCD A B C D -,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 点，则（）A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线HE GF HE 1BB C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面HE 1CC HE BF 4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）π3πA. C. 2π35. 已知正方体中，E 为中点，则异面直线与 所成角的余弦值1111ABCD A B C D -11B C 1BA CE 为（ ）6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台1111ABCD A B C D-1114,2,AB A B AA ===的体积为（）A. B. C. D. 11291409112314037. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则10=葛藤最少长（ ）A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺8. 如图所示，在正方体中，E ，F 分别为，AB 上的中点，且1111ABCD A B C D -1AA P 点是正方形内的动点，若平面，则P 点的轨迹长度为EF =11ABB A 1C P ∥1CD EF （）A. B. D. 3ππ二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的αβ是（）A. 若，，则B. 若，，，则αβ⊥l β⊥l α∥m β⊥l m ∥l α⊂αβ⊥C. 若，，，则 D. 若，，则αβ∥m α⊥l β⊂l m⊥m αβ= l α∥l m∥10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），1111ABCD A B C D -，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC2AB BC ==15A A =()14D H DH =于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B. 棱与水面所在平面平行11A D C. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF 的最小值为11. 半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A. 平面EABBF ⊥B. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为6πD. PN 与平面EBFN 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC 的直观图，则三角形 ABC 的面积是_______.13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．10π14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.R h 2πS Rh =如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形,C D AB ππ,63AOC BOD ∠∠==的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.COD πCOD AB四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，111ABC A B C -E F G H AB AC 11A B 的中点.11A C（1）求证：，，，四点共面；B C H G （2）求证：平面平面；//BCHG 1A EF 16.如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若，Q 为PB 的中点，求三棱锥的体积；2PA AM BM ===Q ABM -（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.17.我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．A BCD -AB ⊥,BCD BC CD⊥（1）证明：三棱锥为鳖臑；A BCD -（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为E AD ,P Q ,BC BE DPQ ACD ．l ①证明：直线平面；//PQ ACD ②判断与的位置关系，并证明你的结论．PQ l 18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD 为平行四边形，且SD ⊥ABCD ，.60BAD ∠=︒224AB BC SD ===（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说SA 明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，2π角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲π3率均为.如图，在直三棱柱中，点A 的曲率为，M 为的π2π3π3-⨯=111ABC A B C -2π31CC 中点，且.AB AC =（1）判断的形状，并说明理由；ABC V （2）若，求点到平面的距离；124AA AB ==B 1AB M （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有.利用此定理2D L M -+=试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A B C ABC '''-A ABC '-A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体【正确答案】B【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，A B C ABC '''-A BC 'A ABC '-剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．A 'BCCB ''A BCC B '''-故选：B2. 棱长为的正四面体的表面积为（ ）1B. C. D. 【正确答案】A【分析】利用三角形的面积公式可得出正四面体的表面积.【详解】棱长为的正四面体的表面积为.1221141sin 604122S =⨯⨯⨯=⨯⨯= 故选：A.3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中1111ABCD A B C D -,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 点，则（）A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线HE GF HE 1BB C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面HE 1CC HE BF 【正确答案】C【分析】由正四棱台的结构特征，侧棱的延长线交于同一点，的延长线必过此点，,HE GF 可判断选项中的线线位置关系.【详解】延长，1111,,,AA BB CC DD 由正四棱台的性质可得侧棱的延长线交于同一点，设该交点为.1111,,,AA BB CC DD P分别为棱的中点，,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 延长，则的延长线必过点，,HE GF ,HE GF P 则直线与直线相交于点；与直线相交于点；与直线相交于点HE GF P 1BB P 1CC P；与直线是异面直线.BF 故选：C.4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）π3πA. C. 2π3【正确答案】D【分析】先利用圆锥的侧面积公式求出母线长，进而求出高，再利用圆锥的体积公式求解．【详解】设圆锥的母线长为，高为，半径为， l h r 则且，故2ππS r ==底=π3πS r l ⨯⨯=侧1,3r l ==，h ∴===圆锥的体积为．∴21π13⨯⨯⨯=故选：D ．5. 已知正方体中，E 为中点，则异面直线与 所成角的余弦值1111ABCD A B C D -11B C 1BA CE 为（ ）【正确答案】D【分析】连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），1CD 1D E1D CE ∠然后在中用余弦定理即可解得.1D CE 【详解】连接，，如图：1CD 1D E因为为正方体可得，所以（或其补角）是异面直线1111ABCD A B C D -11//CDBA 1D CE ∠与 所成角，1BA CE 设正方体的棱长为，，a1CD===，1,CE D E ======在中，，1D CE 2221111cos 2CD CE DE D CE CD CE +-∠=⋅⋅==所以异面直线与 .1BA CE故选：D.6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台1111ABCD A B C D-1114,2,AB A B AA ===的体积为（）A. B. C. D. 1129140911231403【正确答案】A【分析】作出截面，过点作，结合等腰梯形的性质得到高，再计算体积即可.1A 1A E AC ⊥【详解】过作出截面如图所示，过点作，垂足为，11,AC A C 1A 1A E AC ⊥E 易知为正四棱台的高，1A E 1111ABCD A B C D - 因为，1124,ABA B ==所以由勾股定理得，11AC A C==又，11CC AA ==则在等腰梯形中，，11ACCA AE =所以，143A E ===所以所求体积为.11111114112((1643339ABCD A B C D V S S A E =⨯++⋅=⨯++⨯=故选.A7. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则10=葛藤最少长（ ）A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺【正确答案】C【分析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为（尺），高为尺，则葛2120藤的最少长度为矩形的对角线长，利用勾股定理可求得结果.【详解】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，矩形的高（即圆木长）为尺，矩形的底边长为（尺），207321⨯=（尺）.29=故选：C.8. 如图所示，在正方体中，E ，F 分别为，AB 上的中点，且1111ABCD A B C D -1AAP 点是正方形内的动点，若平面，则P 点的轨迹长度为EF =11ABB A 1C P ∥1CD EF （）A. B. D. 3ππ【正确答案】C【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形11A B H 1B B G 11,,,,GH C H C G EG HF 是平行四边形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，进而得出P 点11EGC D 1C G 1D E 1C H CF 的轨迹.【详解】如图所示，取的中点，的中点为，连接，11A B H 1B B G 11,,,,GH C H C G EG HF则∥，，且∥，，11A B EG 11A B EG =11A B 11C D 1111A B C D =可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥，EG 11C D 11EG C D =11EGC D 1C G 1D E 且平面，平面，可得∥平面，1C G ⊄1CD EF 1D E ⊄1CD EF 1C G 1CD EF 同理可得：∥平面，1C H 1CD EF 且，平面，可知平面∥平面，111C H C G C = 11,C H C G ⊂1C GH 1C GH 1CD EF 又因为P 点是正方形内的动点，平面，11ABB A 1C P ∥1CD EF 所以点在线段上，M GH由题意可知：，可得，1111,22GH A B EF A B ==GH EF ==所以P 故选：C.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的αβ是（）A. 若，，则B. 若，，，则αβ⊥l β⊥l α∥m β⊥l m ∥l α⊂αβ⊥C. 若，，，则 D. 若，，则αβ∥m α⊥l β⊂l m ⊥m αβ= l α∥l m∥【正确答案】BC【分析】根据空间中垂直关系的转化可判断ABC 的正误，根据线面平行定义可判断D 的正误.【详解】对于A ，若，，则或，故A 错误；αβ⊥l β⊥l α∥l α⊂对于B ，若，，则，而，故，故B 正确；m β⊥l m ∥l β⊥l α⊂αβ⊥对于C ，若，，则，而，故，故C 正确；αβ∥m α⊥m β⊥l β⊂l m ⊥对于D ，若，，则或异面，故D 错误，m αβ= l α∥l m ∥,l m 故选：BC10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），1111ABCD A B C D -，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC2AB BC ==15A A =()14D H DH =于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B. 棱与水面所在平面平行11A D C. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF的最小值为【正确答案】ABD【分析】由棱柱的概述判断A ；由线面平行判定定理判断B ；计算可判断C ；利用基EFGH S 本不等式可判断D.【详解】由棱柱的定义知，选项A 正确；对于选项B ，由于，，所以，且不在水面所在平面11A D BC ∥BC FG ∥11A D FG ∥11A D 内，所以棱与水面所在平面平行，选项B 正确；11A D 对于选项C ，在图（1）中，，在图（2）中，4EFGH S FG EF BC AB =⋅=⋅=，选项C 错误；4EFGH S FG EF AB BC =⋅>⋅=对于选项D ，，所以．12212V BE BF BC =⨯⨯=⋅⋅⋅△4BE BF ⋅=，当且仅当时，等号成立，22228EF BE BF BE BF =+≥⋅=2BE BF ==所以EF 的最小值为，选项D正确．故选：ABD ．11. 半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A. 平面EABBF ⊥B. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为6πD. PN 与平面EBFN【正确答案】BD【分析】A 用反证法判断；B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C 先找到球心与半径，再计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．【详解】对于A ，假设A 对，即平面，于是，BF ⊥EAB BF AB ⊥，但六边形为正六边形，，矛盾，90ABF ∠=︒ABFPQH 120ABF ∠=︒所以A 错误；对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为，3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=所以B 对；对于C ，取正方形对角线交点，ACPM O即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为，其表面积为，所以C 错误；R =24π8πR =对于D ，因为在平面内射影为，PN EBFN NS 所以与平面所成角即为，PN EBFN PNS ∠其正弦值为，所以D 对．PS PN==故选：BD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC 的直观图，则三角形 ABC 的面积是_______.【正确答案】2【分析】画出原图形可得答案.【详解】由直观图画出原图，如图，可得是等腰三角形，且，ABC V 2,2BC OA ==所以三角形的面积.ABC 12222S =⨯⨯=故答案为:2.13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．10π【正确答案】29π【分析】先利用侧面积求出圆柱的高，再求出球的半径可得表面积.【详解】设圆柱的高为，其外接球的半径为，h R 由圆柱的底面半径为1，侧面积为，得，解得，10π2π10πh =5h =由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处，因此.R ==24π29πS R ==故29π14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.R h 2πS Rh =如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形,C D AB ππ,63AOC BOD ∠∠==的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.COD πCOD AB【正确答案】)61π+【分析】首先求出，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点作交DOC ∠C CE AB ⊥于点，过点作交于点，即可求出，将扇AB E D DF AB ⊥AB F ,,,,,CE OE AE OF BF DF 形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部DOC AB R 分再挖去两个圆锥，再根据所给公式分别求出表面积.【详解】因为，所以，设圆的半径为，ππ,63AOC BOD ∠∠==π2DOC ∠=R 又，解得（负值舍去），2COD 1ππ22S R =⨯⨯=扇形2R =过点作交于点，过点作交于点，C CE AB ⊥AB ED DF AB ⊥AB F 则，ππsin1,cos 66CE OC OE OC ====所以，同理可得，2AE R OE =-=-1DF OF ==将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中，上下截去两个球COD AB 2R =缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中上面球缺的高，上面圆锥的底面半径，高为，12h =-11r=1h ='下面球缺的高，下面圆锥的底面半径，21h =2r =21h ='则上面球冠的表面积，(112π2π228πs Rh ==⨯⨯-=-下面球冠的表面积，球的表面积，222π2π214πs Rh ==⨯⨯=24π16πS R ==球上面圆锥的侧面积，下面圆锥的侧面积111ππ122πS rl ==⨯⨯='，222ππ2S r l ==='所以几何体的表面积.())''121116π8π4π2π61πS S S S S S =--++=---++=+球故答案为.)61π+关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积要合理转化.四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，111ABC A B C -E F G H AB AC 11A B 的中点.11A C（1）求证：，，，四点共面；B C H G （2）求证：平面平面；//BCHG 1A EF 【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）证明出，得到四点共面；//GH BC （2）先得到，，证明出线面平行，面面平行.1//A E BG //GH EF 【小问1详解】∵，分别是，的中点，G H 11A B 11A C ∴是的中位线，∴，GH 111A B C △11//GH B C又在三棱柱中，，∴，111ABC A B C -11//B C BC //GH BC ∴，，，四点共面.B C H G 【小问2详解】∵在三棱柱中，，，111ABC A B C -11//A B AB 11A B AB =∴，，1//A G EB 1111122A G A B AB EB ===∴四边形是平行四边形，∴，1A EBG 1//A E BG ∵平面，平面，∴平面.1A E ⊂1A EF BG ⊂/1A EF //BG 1A EF 又，是，的中点，所以，又.E F AB AC //EF BC //GH BC 所以，//GH EF ∵平面，平面，∴平面.EF ⊂1A EF GH ⊂/1A EF //GH 1A EF 又，平面，BG GH G = ,BG GH ⊂BCHG 所以平面平面.//BCHG 1A EF 16. 如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若，Q 为PB 的中点，求三棱锥的体积；2PA AM BM ===Q ABM -（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.【正确答案】（1）23（2）证明见解析 （3）证明见解析【分析】（1）先得到，根据Q 为PB 的中点，故1433P AMB AMB V S PA -=⋅= ；1223Q ABM P AMB V V --==（2）由线线垂直，得到线面垂直，即BM ⊥平面PAM .，故BM ⊥AN ，又AN ⊥PM ，从而得到线面垂直；（3）由(1)知AN ⊥平面PBM ，故AN ⊥PB ，又AQ ⊥PB ，故PB ⊥平面ANQ ，得到答案.【小问1详解】因为AB 为⊙O 的直径，所以⊥，AM BM 又，故，2AM BM ==122AMB S AM BM =⋅= 又PA 垂直于⊙O 所在的平面，，2PA =故，11422333P AMB AMB V S PA -=⋅=⨯⨯= 因为Q 为PB 的中点，所以.11422233Q ABM P AMB V V --==⨯=【小问2详解】∵AB 为⊙O 的直径，∴AM ⊥BM .又PA ⊥平面ABM ，BM 平面ABM ，⊂∴PA ⊥BM .又∵，PA ，AM 平面PAM ，PA AM A = ⊂∴BM ⊥平面PAM .又AN 平面PAM ，∴BM ⊥AN .⊂又AN ⊥PM ，且，BM ，PM 平面PBM ，BM PM M = ⊂∴AN ⊥平面PBM .【小问3详解】由(1)知AN ⊥平面PBM ，PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB .又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ，AN ，AQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥平面ANQ .又NQ 平面ANQ ，⊂∴PB ⊥NQ .17. 我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．A BCD -AB ⊥,BCD BC CD ⊥（1）证明：三棱锥为鳖臑；A BCD -（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为E AD ,P Q ,BC BE DPQ ACD ．l ①证明：直线平面；//PQ ACD ②判断与的位置关系，并证明你的结论．PQ l 【正确答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②平行，证明见解析.【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可求解；（2）①利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；②利用①的结论及线面平行的性质定理即可求解.【小问1详解】∵，BC CD ⊥∴为直角三角形，BCD △∵平面，且平面，平面，平面，AB ⊥BCD BD ⊂BCD ⊂BC BCD CD ⊂BCD∴，，，AB BC ⊥AB BD ⊥AB CD ⊥∴和为直角三角形，ABC V ABD △∵，平面，平面，BC AB B ⋂=BC ⊂ABC AB ⊂ABC ∴平面，CD ⊥ABC 又∵平面，AC ⊂ABC ∴，CD AD ⊥∴为直角三角形，ACD ∴三棱锥为鳖曘.A BCD -【小问2详解】①连接，∵点分别为的中点，CE ,P Q ,BC BE ∴，//PQ CE 且平面，平面，PQ ⊄ACD CE ⊂ACD 所以直线平面，//PQ ACD ②平行，证明：平面，平面，平面平面=，//PQ ACD PQ ⊂DPQ DPQ ⋂ACD l 所以.//PQ l 18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD 为平行四边形，且SD ⊥ABCD ，.60BAD ∠=︒224AB BC SD ===（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说SA 明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.【正确答案】（1）即为要画的线，理由见解析；,ED EB （2（3【分析】（1）要使截面与平行，考虑构造线线平行，取的中点，取的对SA S C E ABCD 称中心,连接,证明即得截面；O OE //SA OE BDE （2）分别计算的三边，再利用三角形面积公式计算即得；BDE （3）利用等体积求出点到平面的距离，再由线面所成角的定义即可求得.C BDE 【小问1详解】如图，取的中点，连接,则即为要画的线.S C E ,,ED EB ,ED EB理由如下：连接与交于点，连接.BD AC O OE 因四边形ABCD 为平行四边形，则点为的中点，故,O AC //SA OE 又因平面,平面,故有平面；SA ⊄BDE OE ⊂BDE SA ∥BDE 【小问2详解】如图中，过点作于点，连接,E EF DC ⊥FBF 因平面,平面，则,SD ⊥ABCD CD ⊂ABCD SD CD ⊥故,平面,,//EF SD ⊥EF ABCD 112EF SD ==12DE SC ===因，则,12,60,22CFDC DCB BC ==∠== 2BF =因平面，则，故,BF ⊂ABCD EF FB ⊥BE ==又由余弦定理，，故得.22224224cos6012BD =+-⨯⨯=BD =又，O 为BD 中点，则，DE DB =OE BD ⊥于是截面的面积为；12BDE S =⨯= 【小问3详解】过点作平面，交平面于点,连接,C CH ⊥BDE BDE H EH则即直线与截面所成的角.CEH ∠S C BDE 由可得，,E BCD C BED V V --=1133BCD BED S EF S CH ⨯=⨯即得：，则BCD BED S EF CH S ⨯===sin CH CEH EC ∠===即直线SC 与平面BDE 思路点睛：本题主要考查运用线面平行的判定方法解决实际问题和线面所成角的求法，属于较难题.解题的思路在于充分利用平行四边形对角线性质、等腰三角形三线合一，三角形中位线性质等方法寻找线线平行；对于线面所成角问题，除了定义法作图求解外，对于不易找到点在平面的射影时，可考虑运用等体积转化求解.19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，2π角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲π3率均为.如图，在直三棱柱中，点A 的曲率为，M 为的π2π3π3-⨯=111ABC A B C -2π31CC 中点，且.AB AC =（1）判断的形状，并说明理由；ABC V （2）若，求点到平面的距离；124AA AB ==B 1AB M （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有.利用此定理2D L M -+=试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.【正确答案】（1）为等边三角形，理由见解析ABC V （2（3）证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，，即可根据曲率的定义求解，1AA AC ⊥1AA AB ⊥（2）利用等体积法，结合锥体体积公式即可求解，（3）根据则多面体的棱数，顶点数，以及内角之和，即可根据曲率的定义求解.【小问1详解】因为在直三棱柱中，111ABC A B C -平面，平面，1AA ⊥ABC ,AC AB ⊂ABC 所以，，1AA AC ⊥1AA AB ⊥所以点A 的曲率为，得，π2ππ2232BAC -⨯-∠=π3BAC ∠=因为，所以为等边三角形.AB AC =ABC V【小问2详解】取中点D ，连接、，BC AD AM 因为D 为的中点，所以，BC AD BC ⊥因为平面，平面，所以，1BB ⊥ABC AD ⊂ABC 1BB AD ⊥因为，平面，所以平面；1BB BC B = 1,AA AB ⊂11ABB A AD ⊥11BB C C 所以是三棱锥的高.AD 1A BB M -设点到平面的距离为，则有，即.B 1AB M h 11B AB M A BB M V V --=11AB M BB M S h S AD =⋅在中有，同理计算得，11Rt AA B△1AB ==1AM B M BM ===.AD =所以，，112AB M S =⨯=114242BB M S =⨯⨯=所以.h ==【小问3详解】证明：设多面体有M 个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号，1,2,,M ⋅⋅⋅设第号多边形有条边，i ()1i M ≤≤i L 则多面体共有条棱，122ML L L L ++⋅⋅⋅+=由题意，多面体共有个顶点，12222ML L L D M L M ++⋅⋅⋅+=-+=-+号多边形的内角之和为，i π2πi L -所以所有多边形的内角之和为，()12π2πM L L L M ++⋅⋅⋅+-所以多面体的总曲率为()122ππ2πM D L L L M ⎡⎤-++⋅⋅⋅+-⎣⎦.()12122π2π2π4π2M M L L L M L L L M ++⋅⋅⋅+⎛⎫⎡⎤=-+-++⋅⋅⋅+-= ⎪⎣⎦⎝⎭所以简单多面体的总曲率为.4π。
保密★启用前深圳市普通高中2019级调研考试数学2020.9本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，粘贴好条形码．如果是选择性考试科目，还须将已确定（意向）选考的科目的标识用2B 铅笔涂黑．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，交回答题卡，保留好试卷．一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{04}=≤<A x x ，集合{11}=−<<B x x ，则⋂=A B （ ） A ．{14}−<<x x B ．{01}≤<x x C ．{10}−<<x x D ．{14}≤<x x 2．函数2()log (3)=−f x x 的定义域为（ ）A ．(,3]−∞B ．(,3)−∞C ．[3,)+∞D ．(3,)+∞3．在ABC 中，若60∠=︒A ，45∠=︒B ，=BC ，则=AC （ ）A ．B ．CD ．24．某高中有三个年级，其中高一学生900人，高二学生860人，现采用分层抽样的方法调查学生的视力情况，在抽取的样本中有高二学生43人、高三学生39人，则该高中的学生总人数应为（ ） A ．2600 B ．2580 C ．2540 D ．25005．甲、乙两名同学都参加了7场篮球比赛，他们的各场比赛得分的情况用如下茎叶图表示，则A ．甲得分的均值高于乙得分的均值B ．甲得分的均值低于乙得分的均值C ．甲得分的方差高于乙得分的方差D ．甲得分的方差低于乙得分的方差 6．已知0.430,43,0.4,log 3===a b c ，则（ ）A ．<<b c aB ．<<b a cC ．<<c a bD ．<<c b a 7．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A ．3πB ．6πC ．7πD ．8π8．在ABC 中，2=AB ，3=AC ，4=BC ，若12=BD DC ，则⋅=AD BC （ ） A ．16− B ．16 C ．56− D ．56二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．已知直线:10++=l mx y ，()1,0A ，()3,1B ，则下列结论正确的是（ ）A ．直线l 恒过定点()0,1B ．当0=m 时，直线l 的斜率不存在C ．当1=m 时，直线l 的倾斜角为34πD ．当2=m 时，直线l 与直线AB 垂直10．已知函数()sin 2=+f x x x ，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 C ．()f x 的图象关于直线512π=−x 对称 D ．()f x 的单调递增区间是5,()1212ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z 111．emoji （中文名：绘文字，别称：“小黄脸”）最早源于日本，是指在无线通信中所使用的视觉情感符号，可用来代表多种表情．如今emoji 表情已经风靡全球，大有“无emoji ，不聊天”的趋势．题图1的“微笑脸”是交流沟通中最常使用的表情符号之一．我们可以用一些适当的函数图象或者是方程的曲线来绘制其近似图象，如题图2．其中，可用曲线221+=x y 勾勒脸庞，用曲线12=+y ，12=y 近似两只眼睛．下列四个函数中，可用其图象来近似描绘嘴巴形状的有（ ）A ．2111344⎛⎫=−−≤≤ ⎪⎝⎭y x x B ．111644+⎛⎫=−−≤≤ ⎪⎝⎭y xC ．411cos 2344π⎛⎫⎛⎫=−−≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭yx x D ．211cos 2344π⎛⎫⎛⎫=−+−≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x12．如图，已知四棱锥−P ABCD 所有棱长均为4，点M 是侧棱PC 上的一个动点（不与点,P C 重合），若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（ ）A ．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形B ．截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4πC ．当1=PM 时，截面的面积为D ．当2=PM 时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ，则123=V V 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量(1,),(1,2)==−a m b ，若⊥a b ，则=m _____．14．已知某设备的使用年限x （年）与维护费用y （万元）之间有如下数据，且x 与y 之间具有线性相关关系，由下表的统计数据，利用最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.70.35=+yx ，则数据=t _____．15．已知函数()f x 是奇函数，且满足()(3)=−f x f x ，若当30,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()=f x (2020)=f _____．16．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2=+y k x ，曲线2C 的方程为22(1)4++=x y ，若1C 与2C 有且仅有三个公共点，则实数k 的值为_____．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知1tan 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求tan α的值；（2）求2cos 22sin cos2πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭−的值．18．（12分）某地为了解居民家庭的月均用电量，通过抽样获得了100户居民家庭在近一年内的月均用电量（单位：度）数据，将这些数据分成9组：[50,100),[100,150),[150,200),[200,250)，[250,300),[300,350)，[350,400),[400,450),[450,500)，并绘制成如下的频率分布直方图．（1）求a 的值；（2）请估计这100户居民家庭月均用电量的中位数；（3）若从样本中月均用电量在[400,500)的居民家庭中随机抽取2户家庭参与调研座谈，求恰有1户居民家庭的月均用电量在[400,500)的概率． 19．（12分）如图，在三棱柱111−ABC A B C 中，1⊥AA 底面111A B C ，1=AC AA ，90︒∠=BAC ，D 是BC 中点，求证：（1）1//A B 平面1AC D ；（2）平面11⊥A B C 平面1AC D ． 20．（12分） 已知函数()sin()(0,0,0)ωϕωϕπ=+>><<f x A x A 的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式：（2）将函数()=yf x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移2π个单位长度，得到函数()=y g x 的图象，求()g x 在,32ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的值域． 21．（12分）已知圆22:4+=O x y ，点P 在直线3=−y 上运动．（1）若点P 的横坐标为1−，且过点P 的直线l 被圆O截得的弦长为l 的方程； （2）若直线PA ，PB 与圆O 相切，且A ，B 为切点，证明：直线AB 恒过定点，并求出定点坐标． 22．（12分）已知定义在R 上的函数2()23=−+f x x mx 在(0,)+∞上是增函数．()g x 为偶函数，且当(,0]∈−∞x 时，1()2+=x mg x ．（1）求()g x 在(0,)+∞上的解析式； （2）若函数()f x 与()g x 的值域相同，求实数m 的值；（3）令(),0,()(),0,<⎧=⎨>⎩f x x F x g x x 讨论关于x 的方程()3=+F x m 的实数根的个数．深圳市普通高中2019级调硏考试数学参考答案一、单项选择题：二、多项选择题： 三、填空题 13．12 14．3 15．1− 16．43−． 四、解答题：17．【解答】（1）解法一：∵tan tan44tan tan 441tan tan44ππαππααππα⎛⎫+− ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+−= ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦++⋅ ⎪⎝⎭，且1tan 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴1113tan 12113α−==−+⋅． 5分解法二：∵tan 1tan 41tan πααα+⎛⎫+= ⎪−⎝⎭且1tan 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴tan 111tan 3αα+=−，解得1tan 2α=−． 5分（2）222222cos 2sin 22sin cos 2tan 22sin cos22sin cos 2sin cos 2tan 1παααααααααααα⎛⎫+ ⎪−−−⎝⎭====−−−−−． 10分 18．【解答】（1）易知500.0008500.0016500.003050500.0050500.0030⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+a 500.0012500.0008500.00041⨯+⨯+⨯=，解得0.0042=a ． 3分（2）设这100户居民家庭月均用电量的中位数为0x ，∵500.0008500.0016500.0030500.00420.48⨯+⨯+⨯+⨯=， 4分 ∴()02500.00500.50.48−⨯=−x ， 6分解得0254=x ，即这100户居民家庭月均用电量的中位数为254． 7分（3）由频率分布直方图可知，样本中的月均用电量在[400,450)的居民家庭户数为4，月均用电量在[400,450)的居民家庭户数为2， 8分不妨记“从样本中的月均用电量在[400,450)的居民家庭中随杋抽取2户家庭参与调研座谈，恰有1户家庭的月均用电量在[400,450)”为事件A ，且记月均用电量在[400,450)的居民家庭分别为1a ，2a ，3a ，4a 月均用电量在[450,500)的居民家庭分别为1b ，2b 9分从样本中的月均用电量在[400,500)的居民家庭中随机抽取2户家庭参与调研座谈，则有()12,a a ，()()()131411,,,,,a a a a a b ，()()()122324,,,,,a b a a a a ，()()()212234,,,,,a b a b a a ，()()3132,,,a b a b ()()()414212,,,,,a b a b b b 共15个基本事件， 10分其中恰有1户居民家庭的月均用电量在[450,500)的基本事件有，()()()()11122122,,,,,,,a b a b a b a b ，()()()()31324142,,,,,,,a b a b a b a b 共8个基本事件， 11分∴由古典概型的计算公式可知，事件A 的概率为8()15=P A ． 12分 19．【解答】（1）解法一：如图，记线段1AC 与线段1AC 相交于点O ，连接OD ，∵侧面11AAC C 为平行四边形，∴O 为线段1AC 的中点， 1分∵D 为线段BC 的中点，则OD 为1A BC 的一条中位线， ∴1//OD A B ， 3分又∵⊂OD 平面1AC D ，1⊄A B 平面1AC D ， ∴1//A B 平面1AC D ． 5分解法二：如图，取11B C 的中点1O ，连接1O B ，11O A ，1O D ，∵D 为线段BC 的中点，且四边形11BB C C 为平行四边形，∴111O DCC AA ，∴四边形11O DAA 为平行四边形， ∴11//AD O A ，又∵⊂AD 平面1AC D ，11⊄O A 平面1AC D ， ∴11//O A 平面1AC D ； 2分 又∵11BDO C ，∴四边形11BDC O 为平行四边形， ∴11//O B C D ，又∵1⊂C D 平面1AC D ，1⊂/O B 平面1AC D ， ∴1//O B 平面1AC D ； 4分而1111⋂=O B O A O ，1O B ，1⊂O A 平面11O A B ， ∴平面11//O A B 平面1AC D ，又∵1⊂A B 平面11O A B ，∴1//A B 平面1AC D ． 5分（2）∵在三棱柱111−ABC A B C 中，1⊥AA 平面111A B C ，11⊂A B 平面111A B C ， ∴111⊥A B AA ， 6分 又∵90︒∠=BAC，∴1111⊥A B AC ，又∵1111⋂=AA AC A ，1AA ，11⊂AC 平面11AAC C ， ∴11⊥A B 平面11AAC C ， 8分 ∵1⊂AC 平面11AAC C ， ∴111⊥AC A B ， 9分又∵侧面11AAC C 为平行四边形，1=AC AA ， ∴四边形11AAC C 为菱形， ∴11⊥AC AC 10分又∵1111⋂=A B AC A ，11A B ，1⊂AC 平面11A B C ， ∴1⊥AC 平面11A B C ， 11分 又∵1⊂AC 平面1AC D ，∴平面11⊥A B C 平面1AC D ． 12分 20．【解答】（1）由题设图象可知2=A ， 1分∵周期11521212πππ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭T，2||2πω==T 又0ω>，∴2ω=， 3分 ∴()f x 过点11,212π⎛⎫⎪⎝⎭， ∴112sin 2212πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即11sin 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 4分 ∴11262ππϕπ+=+k ，即42,3πϕπ=−∈k k Z ． ∵0ϕπ<<，∴23πϕ=， 5分 故函数()f x 的解析式为2()2sin 23π⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x ． 6分 （2）由题意可知()2sin 6π⎛⎫=+⎪⎝⎭g x x ， 9分 ∵,32ππ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦x ， ∴2,663πππ⎡⎤+∈−⎢⎥⎣⎦x ， ∴1sin ,162π⎛⎫⎡⎤+∈− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x ，故2sin [1,2]6π⎛⎫+∈− ⎪⎝⎭x ， ∴()g x 在,32ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的值域为[1,2]−． 12分 21．【解答】（1）∵点P 在3=−y 上，且横坐标为1−，∴(1,3)−−P ，又∵l 被圆截得的弦长为∴圆心O 到直线l 的距离1=d ， 1分①当直线l 斜率不存在，即1=−x 时，满足题意； 2分 ②当直线l 斜率存在时，设:(1)3=+−l y k x ，则1==d ，解得43=k ，4分∴4:(1)33=+−l y x ，即l 的方程为4350−−=x y ； 综上所述，直线l 的方程为1=−x 或4350−−=x y 5分（2）解法一：设(,3)−P t ，则OP 的中点坐标为3,22⎛⎫− ⎪⎝⎭t ， ∴以OP，7分∴以OP 为直径的圆的方程为()222319224⎛⎫⎛⎫−++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t x y t 整理得2230LL−++=x tx y y ①，9分又∵,A B 为切点，圆O 的方程224LL +=x y ②，由①-②可得直线AB 的方程为340−−=tx y ，11分故直线AB 恒过定点40,3⎛⎫− ⎪⎝⎭．12分解法二：设(,3)−P t ，()11,A x y ，()22,B x y ．则22114+=x y ，6分易知直线OA 的斜率存在，其斜率为()1110≠y x x ，当10≠y 时，由⊥PA OA ， 由此可知直线PA 的斜率为11−x y ，7分∴直线PA 的方程可表示为()1111−=−−x y y x x y ， 整理得，直线PA 的方程为114+=x x y y ， 当10=y 时，直线PA 的方程也满足上述方程， ∴综上所述，直线PA 的方程为114+=x x y y ． 8分又∵直线PA 过点P ，∴11340−−=tx y ①9分同理可得，直线PB 的方程为224+=x x y y ， 易得，22340−−=tx y ②， 10分由①②可知：直线AB 的方程为340−−=tx y ， 11分 易知直线AB 恒过定点40,3⎛⎫−⎪⎝⎭． 12分 （注：若第二问设出P 点坐标后，直接写出直线AB 的方程，则该问最多给4分，总分不得超过9分） 22．【解答】（1）∵()g x 为偶函数， ∴当0>x 时，则0−<x ， ∴1()()22−−+=−==x m x mg x g x ． 2分（2）∵函数2()23=−+f x x mx 在(0,)∞+上单调递增， ∴0≤m ，且()f x 的值域为)23,⎡−+∞⎣m ． 3分 当(,0]∈−∞x 时，()2−≥mg x ，∵()g x 是偶函数， ∴()g x 的值域为)2,−⎡+∞⎣m． 4分由题232−−=mm ．令2()32−=−−mh m m ，易知()h m 在(,0]−∞上单调递增，且(1)0−=h ；∴1=−m ． 5分（3）解法一：①当0=m 时，33+=m ，23,0,()2,0⎧+<=⎨>⎩x x x F x x此时()3=F x 仅有一个实数根2log 3=x ． 6分②当1=−m 时，32+=m ，2123,0,()2,0+⎧++<=⎨>⎩x x x x F x x此时()2=F x 仅有一个实数根1=−x ． 7分 ③当10−<<m 时，则2233,233,122−<+<<−<<<m m m ，而()2(3)3(1)0+−−=+<m m m m ，∴2233−<+<−mm m ，∵函数()F x 在(,]−∞m 上单调递减，在[,0)m 上单调递增，在(0,)+∞上单调递增， 故此时，方程()3=+F x m 仅有一个实数根0x ，且023−=+x mm ，02log (3)=++x m m ． 9分④当1<−m 时，则32+<m ，232−<m ，22−>m ，而()2(3)3(1)0+−−=+>m mm m ，∴2332−−<+<mm m ，∵函数()F x 在(,]−∞m 上单调递减，在[,0)m 上单调递增，在(0,)+∞上单调递增， 故此时，方程()3=+F x m 有两个实数根，其根满足方程2233−+=+x mx m ，解之，得=±x m 11分综上所述，当1<−m 时，方程()3=+F x m 有两个实数根；当10−≤≤m 时，方程()3=+F x m 仅一个实数根． 12分 （3）解法二：①当1<−m 时，（i ）当0<x 时，2()320=+⇔−−=F x m x mx m ．()240∆=+>m m ，方程220−−=x mx m 有两个负的实数根=x m（ii ）当0>x 时，令()23−=−−mH m m ，易知()H m 单调递减，且(1)0−=H ．故此时()(1)0>−=H m H ，即23−>+mm ．∴()23−>>+mg x m ．即方程()3=+F x m 在当0>x 时无实数根．故当1<−m 时，方程()3=+F x m 有两个实数根． 7分 ②当10−<<m 时，当0<x 时，()240∆=+<m m ，方程220−−=x mx m 无实数根．当0>x 时，由①可知，此时23−<+mm ．方程()323−=+⇔=+x m F x m m ．解得2log (3)=++x m m ． 故当10−<<m 时，方程()3=+F x m 仅有一个实数根． 9分③当0=m 时，33+=m ，23,0,()2,0⎧+<=⎨>⎩x x x F x x此时()3=F x 仅有一个实数根2log 3=x ． 10分④当1=−m 时，32+=m ，2123,0,()2,0.+⎧++<=⎨>⎩x x x x F x x此时()2=F x 仅有一个实数根1=−x ． 11分综上所述，当1<−m 时，方程()3=+F x m 有两个实数根；当10−≤≤m 时，方程()3=+F x m 仅一个实数根． 12分试卷第1页，总15页2020-2021年阳江一中高三大练习一、单选题1．已知全集为实数集R ，集合{}36A x x =-<<，{}29140B x x x =-+<，则=)(B C A U （）A ．()2,6B ．()2,7C ．(]3,2-D ．()3,2-2．设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 可能的解析式是（）A.()21sin 21x xf x x +=⋅- B.()21cos 21x xf x x +=⋅-C.()21sin 21x xf x x +=-⋅- D.()21cos 21x xf x x +=-⋅-4．若2log a b c ===，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．a c b>>B ．a b c>>C ．c a b>>D ．b a c>>5．已知x，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若3Z x y =-，则Z 最小值是()A ．3-B ．9-C ．3D ．5-6．若角α的终边过点8,6cos ()60P m -- ，且4cos 5α=-则实数m 的值为（）试卷第2页，总15页A ．12-B．C ．12D ．327．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为512-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为()A．(3π-B．1)π-C．1)πD．2)π8．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（）A ．228(0,][,939 B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99D ．(0,1]二、多选题9．下列命题错误的是（）．A ．(0,)x ∃∈+∞，1123xx⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．(0,1)x ∃∈，1123log log x x>C ．(0,)x ∀∈+∞，121log 2xx⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，131log 2xx⎛⎫< ⎪⎝⎭10．某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中任选3门进行学习.现有甲、乙、丙三人，若同学甲必选物理，则下列结论正确的是（）试卷第3页，总15页A ．甲的不同的选法种数为10B ．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件C ．乙同学在选物理的条件下选化学的概率是15D ．乙、丙两名同学都选物理的概率是1411．声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sin y A t ω=,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()1sin sin 22f x x x =+,则下列结论正确的是（）A ．2π是()f x 的一个周期B ．()f x 在[]0,2π上有3个零点C ．()f x的最大值为4D ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数12．如图，已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ≤）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，3OCB π∠=，||2OA =，2213AD =.则下列说法正确的有（）.A ．()f x 的最小正周期为12B ．6πϕ=-试卷第4页，总15页C ．()f x 的最大值为163D ．()f x 在区间(14,17)上单调递增三、填空题13．已知cos ,(0,)5523ππαα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则sin(2)53απ-=______.14．如图，一栋建筑物AB高（30-10）m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面M 点（B、M、D 三点共线）测得对楼顶A、塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得对塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为______m．15．4()(1)a x x ++的展开式中，若x 的奇数次幂的项的系数之和为32，则a =________．16．已知[)0,2θ∈π，若关于k()33sin cos k θθ≤-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为______.四、解答题17．已知函数2()cos (sin cos )sin f x x a x x x =-+，满足()(0)3f f π-=，（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在11,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．试卷第5页，总15页18．已知ABC ∆中内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 4cos b C c B A +=-，2a =.（1）求角A 的大小；（2）求2b c +的取值范围.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，∥BA CD ，2CD BA =，CD AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，APD △为等腰直角三角形，PA PD ==（1）证明：BPD △为直角三角形．（2）若四棱锥P ABCD -的体积为1，求BPD △的面积．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>左、右焦点分别为1F ，2F，且满足离心率2e =，12F F =O 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设点()2,1A ，求AMN ∆面积的最大值.21．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为(]490,495，(]495,500，……(]510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．22．已知函数()2ln 2f x x x ax x =-+，a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在()0,∞+内单调递减，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，证明：1212x x a+>．2020-2021年阳江一中高三大练习参考答案一、单选题题号123456789101112答案CCBABCAAACADABCACD7．【解析】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，则12αβ=，又2αβπ+=，解得(3απ=-8．【答案】A 【解析】函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，可得5cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，∴周期2T πω=，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，∴553526626x ωπππωππω-<-<-，∴35526262T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，21ω∴≤，解得01ω<≤，又522635226k k πωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-，当k =0时，解2839ω≤≤，当k =-1时，01ω<≤，可得209ω<≤，ω∴∈228(0,[,]939.二、多选题10．【解析】A 项：由于甲必选物理，故只需从剩下5门课中选两门即可，即2510C =种选法，故A 正确；B 项：甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故B 错误；C 项：由于乙同学选了物理，乙同学选化学的概率是142525C C =，故C 错误；D 项：因为乙、丙两名同学各自选物理的概率253612C C =，所以乙、丙两名同学都选物理的概率是111224⨯=，D 正确，故选：AD.11.【解析】因为：()1sin sin 22f x x x =+①sin y x =的周期是2π,1sin 22y x =的周期是22ππ=,所以()1sin sin 22f x x x =+的周期是2π,故A 正确.②当()1sin sin 202f x x x =+=,[]0,2x π∈时,sin sin cos 0x x x +=sin (1cos )0x x +=，sin 0x =或1cos 0x +=解得0x =或32x π=或2x π=,所以()f x 在[]0,2π上有3个零点,故B 正确.③()1sin sin 22f x x x =+，()sin sin cos f x x x x =+()'22cos cos sin f x x x x =+-22cos cos 1x x =+-令()'0f x =,求得1cos 2x =或cos 1x =-,因为()f x 在（21,1-）单调递增,在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,所以1cos 2x =时取得最大值,则sin 2x =()max 12224f x =+⨯=,故C 正确.④由③得()'22cos cos 1f x x x =+-,要求增区间则()'0f x >,即cos 1x <-（不成立）,或1cos 12x <≤,所以0223k x k +≤<+πππ，所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数是错误的,故D 错误.故选：ABC12．【解析】由题意可得：||||OB OC =，∴sin |2A πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，(2,0)A ，(2B πω+，0)，(0,sin )C A ϕ．(12D πω∴+，sin 2A ϕ， 221||3AD =，∴22228(1)243A sin πϕω-+=，把|sin |A πϕω=+代入上式可得：2()2240ππωω-⨯-=，0>ω．解得6πω=，6πω∴=，可得周期212T ωπ==．sin()03πϕ∴+=，||2πϕ ，解得3πϕ=-．可知：B 不对．∴sin()|263A π-=+，0A >，解得163A =．∴函数16()sin()363f x x ππ=-，可知C 正确．(14,17)x ∈时，()(263x πππ-∈，52π，可得：函数()f x 在(14,17)x ∈单调递增．综上可得：ACD 正确．13．【答案】2425-14．【答案】6015．【答案】316．【答案】0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π16.()33sin cos k θθ≤-，可得33sin cos k k θθ≥，构造函数()6g x kx x =-，当2k <-且当0x ≥，()610g x kx '=-<，此时，函数()y g x =在[)0,+∞上为减函数，由于33sin cos k k θθ≥()()sin cos g g θθ≥，所以，cos sin 0θθ≥≥，所以，0tan 1θ≤≤，[)0,2θπ∈ ，0,4πθ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦.综上可得θ的取值范围为0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π.四、解答题17．【解析】（1）因为()(0)3f f π-=，所以2cos()[sin()cos(sin ()13333a ππππ----+-=-，解得a =，所以2()cos cos )sin f x x x x x =-+22cos cos sin x x x x=-+2cos 2x x =-2sin(2)6x π=-，所以()f x 的最小正周期为22ππ=…………5分（2）由11,424x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦，得112212x ππ≤≤，所以32364x πππ≤-≤，所以2sin(2)126x π≤-≤2sin(2)26x π≤-≤，所以()f x 在11,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2…………10分18．【解析】（1）在ABC 中，根据正弦定理，由cos cos 4cos b C c B A +=-，2a =得，sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=-，即()sin sin 2sin cos A B C A A =+=-，所以2cos 1A -=，即1cos 2A =-，又因为()0,πA ∈，所以23A π=；…………6分（2）由（1），根据正弦定理可得：sin sin sin 2b c a B C A ====∴223b c B C B B ππ⎛⎫+=+=+-- ⎪⎝⎭31sin 4cos 22B B B B ⎛⎫=+-=⎪⎪⎭，因为π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()4cos 2,4B ∈，即2b c +的取值范围是()2,4.…………12分19．【解析】（1）,BA CD CD AD ⊥ ，BA AD ∴⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，BA ∴⊥平面PAD ，PD ⊂ 平面PAD ，BA PD ∴⊥，在等腰直角三角形APD 中PD PA ⊥，PA BA A ⋂=，PD ∴⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，PD PB ∴⊥，PDB ∴ 为直角三角形.…………5分（2）如图，过点P 作PO AD ⊥.平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ∴⊥平面ABCD ，故四棱锥P ABCD -以PO 为高.在等腰直角三角形APD 中，PA PD ==112PO AD ∴==，()13,2ABCD S AB CD AD AB =+⋅= 四边形11131,33P ABCD ABCD V PO S AB AB -∴=⋅⋅=⨯⨯==四边形由（1）可知BA ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，则BA PA ⊥，PB ∴==，11222Rt PBD S PD PB ∴=⋅=⨯ .…………12分20．【解析】（1）由题意可知，c =，根据32c e a ==，得4a =，2b =，椭圆C 的方程为221164x y +=.…………4分（2）设直线l 的方程为()0y kx k =≠，由221164y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得1x =，2x =，MN =12x =-=.点A 到直线l 的距离d =，所以12AMNS =△==，当0k >时，4AMN S <△；当k 0<时，AMN S =△≤=当且仅当12k =-时，等号成立，所以AMN S 的最大值为…………12分21．【解析】（1）根据频率分布直方图可知：重量超过505克的频率为：()0.050.0150.3+⨯=，所以重量超过505克的产品数量为0.34012⨯=（件）…………3分（2）Y 可取的值为0,1,2，()228240630130C P Y C ===，()111228240561130C C P Y C ===，()212240112130C P Y C ===，所以Y 的分布列为：Y12P631305613011130………8分（3）利用样本估计总体，该流水线上重量超过505克的概率为120.340=，令ξ为任取5件产品中重量超过505克的产品数量，则()~50.3，ξB 所以所求概率为()()()2325=20.30.7=0.3087ξ=P C .…………12分22．【解析】（I）()ln 24f x x ax +'=-．∴()f x 在()0,∞+内单调递减，∴()ln 240f x x ax =+-≤在()0,∞+内恒成立，即ln 24x a x x≥+在()0,∞+内恒成立．令()ln 2x g x x x =+，则()21ln xg x x --'=，∴当10e x <<时，()0g x '>，即()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭内为增函数；当1x e >时，()0g x '<，即()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内为减函数．∴()g x 的最大值为1g e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴e ,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭…………6分（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，则()ln 240f x x ax =+-='在()0,∞+内有两根1x ，2x ，由（I），知e04a <<．由1122ln 240ln 240x ax x ax +-=⎧⎨+-=⎩，两式相减，得()1212ln ln 4x x a x x -=-．不妨设120x x <<，∴要证明1212x x a+>，只需证明()()121212142ln ln x x a x x a x x +<--．即证明()1212122ln ln x x x x x x ->-+，亦即证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+．令函数．∴22(1)'()0(1)x h x x x --=≤+，即函数()h x 在(]0,1内单调递减．∴()0,1x ∈时，有()()10h x h >=，∴2(1)ln 1x x x ->+．即不等式12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+成立．综上，得1212x x a+>．…………12分。
上学期高二数学11月月考试题01一．选择题(本大题有12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．命题p ：∀x ∈R , 210x x -+>的否定是 （ ）A ． 210x R x x ∀∈-+≤，B ． 210x R x x ∀∈-+<，C ．210x R x x ∃∈-+≤，D ． 210x R x x ∃∈-+<， 2、为了检查一批手榴弹的杀伤半径,抽取了其中20颗做试验,得到这20颗手榴弹的杀伤半径，并列表如下：在这个问题中，这20颗手榴弹的杀伤半径的众数和中位数分别是( ）A ) 9.5 9。
4B ） 10 9.5 C) 10 。
10 D 。
）10 9 3．如图，在等腰直角三角形ABC 中，则AM ＜AC 的概率为（ ） A ．22B ．3/4C ．2/3D ．1/24。
下列说法中正确的有（ ）①平均数不受少数几个极端值的影响，中位数受样本中的每一 个数据影响;②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大③用样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确。
④向一个圆面内随机地投一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,则该随机试验的数学模型是古典概型。
A. ①②B. ③C. ③④D. ④5．“46k <<”是“方程22164x y k k +=--表示椭圆”的( ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6、直线y ＝3x ＋1与双曲线x 2－29y ＝1的公共点个数是( ）A ．0B ．1C ．2D ．47 ．右面的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ,要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）A ．c x >B ．x c >C ．c b >D ．b c >8．ABCD 为长方形,AB=2，BC=1,O 为AB 的中点,在长方形ABCD 内随机取一点,取到的点到O 的距离大于1的概率为（ ) (A ）4π (B ）14π- （C)8π(D ）18π-9．已知椭圆22142x y +=的焦点为F 1、F 2，点M 在椭圆上且MF 1⊥x 轴，则点F 1到直线F 2 M 的距离为（ ） A ．2 B ．22 C ．23D ．310．如图,点A 是⊙O 内一个定点，点B 是⊙O 上一个动点，⊙O 的半径为r （r 为定值），点P 是线段AB 的垂直平分线与OB 的交点,则点P的轨迹是( ) (A)圆 （B)直线 (C ）双曲线 (D ）椭圆11．在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之 间的概率为 （ )。
广东省深圳市高级中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集U =R ，{}220A x x x =-<，{}10B x x =-≥，则A B =（ ）．A ．{}1x x ≥B ．{}1x x ≤C ．{}01x x <≤D ．{}12x x ≤<2．已知角α的终边过点()sin1,cos1P ，则α是第（ ）象限角． A ．一 B ．二C ．三D ．四3．“6x π=”是“1sin 2x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知12sin cos 25αα=-，π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则cos sin αα-=（ ）．A ．15-B ．15C ．75-D ．755．已知函数()f x 是定义在[)2,∞+的单调递增函数，若()()222544f a a f a a -+<++，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．[)2,6C ．[)10,2,62⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦D ．()0,66．素数也叫质数，部分素数可写成“21n -”的形式（n 是素数），法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“21n -”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数．2018年底发现的第51个梅森素数是8258993321P =-，它是目前最大的梅森素数．已知第8个梅森素数为3121P =-，第9个梅森素数为6121Q =-，则lg QP约等于（参考：在Q ，P 很大的条件下11Q Q P P +≈+；lg 20.3≈）（ ）． A ．7B ．8C ．9D ．107．已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最大值为A ．12B ．1C ．2D ．48．对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x ---是函数() f x 的一对“隐对称点”．若函数22,0 ()2,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象存在“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[2-B ．(,2-∞-C ．(,2-∞+D ．(0,2+二、多选题9．下列选项中，与11sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭的值相等的是（ ） A ．2sin15sin 75︒︒ B ．cos18cos42sin18sin 42︒︒-︒︒ C ．22cos 151︒-D ．2tan 22.51tan 22.5︒-︒10．关于函数()sin 2cos 2f x x x =-，下列命题中为真命题的是（ ）． A ．函数()y f x =的最小正周期为π B ．直线π4x =是()y f x =的一条对称轴 C ．点π,08⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =的图象的一个对称中心D ．()y f x =11．下列说法正确的是（ ）A ．若,0x y >，满足2x y +=，则22x y +的最大值为4；B ．若12x <，则函数1221y x x =+-的最小值为3 C ．若,0x y >，满足3x y xy ++=，则x y +的最小值为2 D ．函数2214sin cos y x x=+的最小值为9 12．已知函数()22cos 22f x x =-，下列命题中的真命题有（ ）A ．R β∃∈，()f x β+为奇函数B ．30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()()2f x f x α=+对x R ∈恒成立 C ．1x ∀，2x R ∈，若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为4π D ．1x ∀，2x R ∈，若()()120f x f x ==，则()12x x k k Z π-=∈三、填空题13．函数lg(2)y x =-的定义域是______．14．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是__________． 15．()ππtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调区间是__________．16．已知函数()4,44,4x x f x x x -≥⎧=⎨-+<⎩．若存在正实数k ，使得方程()kf x x =有三个互不相等的实根1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围是__________．四、解答题 17．已知2sin cos 33sin 2cos 8θθθθ-=+．（1）求tan θ的值； （2）求222sin cos sin cos θθθθ-的值．18．已知函数()()121x f x m m =+∈+R 是奇函数． （1）求实数m 的值；（2）判断()f x 的单调性（不用证明）；（3）求不等式()()220f x x f -+-<的解集．19．已知tan )ααβ=-=且0.2πβα<<<（1）求sin α和cos α； （2）求β的值.20．已知某观光海域AB 段的长度为3百公里，一超级快艇在AB 段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q （单位：万元）与速度v （单位：百公里／小时）（0≤v ≤3）的以下数据：为描述该超级快艇每小时航行费用Q 与速度v 的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q ＝av 3＋bv 2＋cv ，Q ＝0．5v ＋a ，Q ＝klogav ＋b ．（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB 段的航行费用最少？并求出最少航行费用． 2160的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点N ，M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y ．（1）设PN x =，将y 表示成x 的函数关系式；（2）设POB θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式；并求出y 的最大值． 22．已知定义在区间()0,∞+上的函数()45f x x x=+-． （1）求函数()f x 的零点；（2）若方程()()0f x m m =>有四个不等实根1x ，2x ，3x ，4x ，证明123416x x x x ⋅⋅⋅=； （3）在区间[]1,4上是否存在实数(),a b a b <，使得函数()f x 在区间[],a b 上单调，且()f x 的值域为[],ma mb ，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案：1．C【解析】化简集合A,B ，根据交集运算求解.【详解】因为{}()2200,2A x x x =-<=，{}10(,1]B x x =-≥=-∞，所以A B ={}01x x <≤ 故选：C 2．A【解析】分析()sin1,cos1P 横纵坐标的符号即可求解. 【详解】因为角α的终边过点()sin1,cos1P ， 且sin10,cos10>>， 所以α是第一象限角. 故选：A 3．A 【分析】若6x π=，则1sin 2x =成立，逆命题不成立，可得出结论. 【详解】当6x π=时，1sin 2x =， 所以“6x π=”是“1sin 2x =”的充分条件， 当1sin 2x =时，26x k ππ=+或526x k ππ=+，Z k ∈， 所以“6x π=”是“1sin 2x =”的不必要条件， 即“6x π=”是“1sin 2x =”的充分不必要条件， 故选：A. 4．D【解析】求出()2cos sin 4925αα-=，根据π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭判断cos sin 0αα->，从而可得答案.【详解】因为π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以cos 0,sin 0αα><，则cos sin 0αα->，又因为12sin cos 25αα=-， 所以()2cos sin 121249sin cos 122525αααα⎛⎫=-⨯-= ⎪=-⎭-⎝，所以cos sin αα-=75， 故选：D. 5．C【解析】根据函数的定义域以及单调性可得22222542422544a a a a a a a a ⎧-+≥⎪++≥⎨⎪-+<++⎩，解不等式组即可．【详解】因为函数()f x 是定义在[)2,∞+的单调递增函数，且()()222544f a a f a a -+<++，所以2222122542242254406a a a a a a a R a a a a a ⎧≤≥⎪⎧-+≥⎪⎪++≥⇒∈⎨⎨⎪⎪-+<++<<⎩⎪⎩或，解得102a <≤或26a ≤<． 故选：C ． 6．C【解析】由Q P的值约等于613031222≈，令302k =，化指数式为对数式求解即可．【详解】因为3121P =-， 6121Q =-，P ，Q 两数远远大于1， 所以Q P 的值约等于613122，设613122k =，则302k =，即30lg 2lg k =，因此有30lg 2lg k =，因为lg 20.3≈， 以lg 9k ≈，即lg QP约等于9． 故选：C ． 7．C【分析】由0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得,4484x ππππωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，利用842πππω+≤可得结果.【详解】当0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,4484x ππππωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，正弦函数在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，所以可得842πππω+≤，解得2ω≤，即ω的最大值为2，故选C ．【点睛】本题主要考查正弦函数单调性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 8．B【分析】由隐对称点的定义可知函数()f x 图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程222(0)mx x x x +=-+>的零点问题，再结合基本不等式得出实数m 的取值范围．【详解】解：由隐对称点的定义可知函数()f x 图象上存在关于原点对称的点 设()g x 的图象与函数22y x x =+，0x <的图象关于原点对称 令0x >，则0x -<，22()()2()2f x x x x x ∴-=-+-=-2()2g x x x ∴=-+故原题义等价于方程222(0)mx x x x +=-+>有零点，解得22m x x=--+又因为2222xx --+≤-=-x(,2m ∞∴∈--．故选：B ． 9．ABD【解析】求出11sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A ；利用两角和的余弦求值判断B ；利用二倍角的余弦求值判断C ；利用两角和的正切求值判断D.【详解】111sin sin 2sin 6662ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于A ，12sin15sin 752sin15cos15sin 302︒︒=︒︒=︒=； 对于B ，()cos18cos 42sin18sin 42cos 1842︒︒-︒︒=︒+︒1cos602=︒=；对于C ，22cos 151cos30︒-=︒=对于D ，因为22tan 22.5tan 4511tan 22.5︒︒==-︒，可得2tan 22.511tan 22.52︒=-︒.∴与11sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值相等的是ABD.故选：ABD. 10．ACD【分析】化简()24f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据正弦函数的周期公式判断A ；根据正弦函数的对称性判断BC ，根据三角函数的有界性判断D ．【详解】()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以最小正22T ππ==，故A 为真命题；当4x π=时，14f π⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭4x π=不是()y f x =的一条对称轴，故B 为假命题；当8x π=时，08f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故点π,08⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =的图象的一个对称中心，故C 为真命题；()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=-=-≤ ⎪⎝⎭()y f x =D 为真命题；故选：ACD ．【点睛】方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查三角函数的周期性、对称性以及三角函数的有界性，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 11．CD【解析】A ，22x y +没有最大值，故A 错误；B ，函数12111121y x x =-++-=--…，故B 错误； C ，x y +的最小值为2，故C 正确；D ，22149sin cos y x x=+≥，当且仅当222sin cos x x =时等号成立，故D 正确.【详解】A ，若x ，0y >，2x y +=，则22224x y +⨯=…，当且仅当1x y ==时等号成立，没有最大值，故A 错误；B ，若12x <，即210x -<，则函数12111121y x x =-++-=--…，当且仅当0x =等号成立，故B 错误；C ，若x ，0y >，2()3(),4x y xy x y +=-+≤所以2()4()120x y x y +++-≥，所以(6)(2)0x y x y +++-≥，所以2x y +≥，（当且仅当1x y ==时取等），所以x y +的最小值为2. 故C 正确；D ，222222222222141444(sin cos )()559sin cos cos x sin x x sin x y x x x x sin x cos x sin x cos x x cos x=+=++=+++=…，当且仅当222sin cos x x =时等号成立，故D 正确； 故选：CD【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．BC【分析】先化简函数()22cos 22cos 41f x x x =-=-；作出函数()cos41f x x =-的图象，再逐项判断，；由函数()f x β+的图象是()f x 的图象向左或向右平移β个单位，它不会是奇函数的，故A 错误； 由()()2f x f x α=+，得()co s 41c o s 481x x α-=+-，82k απ=，4k πα=，Z k ∈；又30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，取4πα=或2π时成立B 正确； 由()()1212cos 4cos 42f x f x x x -=-=时，得 12x x -的最小值为22244T ππ==⨯，所以C 正确；当()()120f x f x ==时， ()12242k x x kT k k Z ππ-==⋅=∈，所以D 错误. 【详解】由题意()22cos 22cos 41f x x x =-=-；∵()cos41f x x =-的图象如图所示；函数()f x β+的图象是()f x 的图象向左或向右平移β个单位， 它不会是奇函数的，故A 错误； 若 ()()2f x f x α=+， ∴()cos 41cos 481x x α-=+-， ∴82k απ=， ∴4k πα=，Z k ∈； 又30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，∴取4πα=或2π时， ∴()()2f x f x α=+对x R ∈恒成立，故B 正确； ()()1212cos 4cos 42f x f x x x -=-=时，12x x -的最小值为22244T ππ==⨯，故C 正确； 当()()120f x f x ==时， ()12242k x x kT k k Z ππ-==⋅=∈ 故D 错误； 故选:BC.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 13．(,2)-∞【详解】由题设有20x ->，解得2x <，故函数的定义域为(),2∞-，填(),2∞-．14．πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，先放缩变换，再平移变换，从而可得答案．【详解】将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 可得函数1sin 2y x =的图象；再将1sin 2y x =的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是1sin sin 2326x y x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故答案为：πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．15．512,233k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z【解析】根据正切函数的单调性求解即可.【详解】()ππtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,∴令ππ,2232Z k x k k ππππ-<+<+∈，解得1,35232k x k k Z -+<<+∈,所以函数的单调递增区间为512,233k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z .故答案为：512,233k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z16．(8,6+【解析】分离参数可得()k xf x =，做出()y xf x =的函数图象，根据二次函数的对称性求出12x x +的值，并求出3x 的范围即可得出答案．【详解】由()0kf x x -=可看到()224,44,40x x x k xf x x x x x ⎧-==⎨-+<≠⎩且…，令()224,44,40x x x g x x x x x ⎧-=⎨-+<≠⎩且…，作出()y g x =的函数图象如图所示：()0kf x x-=有三个不相等的实数根1x ，2x ，3x ， ∴直线y k =与()y g x =的图象有三个交点，设三个交点的横坐标从小到大分别为1x ，2x ，3x ， 由二次函数的对称性可知124x x +=，令244x x -=可得2x =+2x =-)，342x ∴<<+12386x x x ∴<++<+即123x x x ++的取值范围是(8,6+，故答案为：(8,6+．【点睛】结论点睛：函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.17．（1）2；（2）43.【解析】（1）原式分子分母同时除以cos θ可得关于tan θ的方程，解方程即可得答案； （2）原式分子分母同时除以2cos θ，可得关于tan θ的代数式，再将tan θ的值代入即可. 【详解】（1）因为2sin cos 33sin 2cos 8θθθθ-=+所以2tan 13tan 23tan 28θθθ-=⇒=+．（2）222sin cos sin cos θθθθ-22tan 224tan 1413θθ⨯===--． 18．（1）12m =-；（2）()f x 在(),-∞+∞上为减函数；（3）()(),12,-∞-+∞.【解析】（1）由()1002f m =+=，可得12m =-，再验证()11212x f x =-+是奇函数即可； （2）由21x +为增函数，可得121x +为减函数，进而可得结论． （3）由奇偶性可得()()22f x x f -<，再由单调性可得22x x ->，进而可得答案.【详解】（1）因为()()121x f x m m =+∈+R 是奇函数， 且()121x f x m =++的定义域为(),-∞+∞， 所以()1002f m =+=，可得12m =-． 此时()11212x f x =-+，()1121212212x x x f x --=-=-++()211121211221x x x f x =-=-++=--+， 所以()11212xf x =-+是奇函数， 12m =-符合题意．∴12m =-．（2）由2x 为增函数，所以21x +为增函数，且211x +>， 所以121x +为减函数，可得()11212xf x =-+在(),-∞+∞上为减函数． （3）由()()220f x x f -+-<，可得()()22f x x f -<--， 即()()22f x x f -<，因为()11212xf x =-+在(),-∞+∞上为减函数， 所以22x x ->，即220x x -->，所以1x <-或2x >， 故解集为()(),12,-∞-+∞．【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由()()+0f x f x -= 恒成立求解，（2）偶函数由()()0f x f x --= 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由()00f = 求解，偶函数一般由()()110f f --=求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.19．(1) sin α=,1cos 7α= (2) 3πβ=【解析】（1）由02πα<<，则s i n 0α>，cos 0α>，根据tan α=sin αα=，结合平方关系可求解.(2)先求出cos()αβ-，然后由()βααβ=--，求出cos β的值，可得答案. 【详解】(1)由02πα<<，则sin 0α>，cos 0α>由tan α=sin cos αα= 即sin αα= 由2221sin cos 49cos ααα=+=，则1cos 7α=，所以sin αα==（2）sin()αβ-0.2πβα<<<所以02παβ<-<，所以13cos(),14αβ-=()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=--=-+-⎡⎤⎣⎦11317142=⨯= 又02βπ<<，所以3πβ=【点睛】关键点睛：本题考查已知三角函数值求三角函数值和求角，解答本题的关键是弄清楚角的范围，在利用平方关系求正弦和余弦时的符号，利用角的变换关系()βααβ=--得到()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=--=-+-⎡⎤⎣⎦，从而求出cos β的值，属于中档题.20．（1）选择函数模型32Q av bv cv =++，函数解析式为320.10.20.8(03)Q v v v v =-+≤≤；（2）以1百公里/小时航行时可使AB 段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元.【分析】（1）对题中所给的三个函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式，得出结果； （2）根据题意，列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果. 【详解】（1）若选择函数模型0.5v Q a =+，则该函数在[0,3]v ∈上为单调减函数， 这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型．若选择函数模型log a Q k v b =+，须0v >，这与试验数据在0v =时有意义矛盾， 所以不选择该函数模型．从而只能选择函数模型32Q av bv cv =++，由试验数据得，0.7,842 1.6,2793 3.3,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，即0.7,420.8,93 1.1,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得0.1,0.2,0.8,a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 故所求函数解析式为：320.10.20.8(03)Q v v v v =-+≤≤． （2）设超级快艇在AB 段的航行费用为y （万元）， 则所需时间为3v（小时），其中03v <≤，结合（1）知，()3230.10.20.8y v v v v=-+ ()20.317v ⎡⎤=-+⎣⎦所以当1v =时，min 2.1y =．答：当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB 段的航行费用最少，且最少航行费用为2．1万元．【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有函数模型的正确选择，等量关系式的建立，配方法求二次式的最值，属于简单题目. 21．（1）2302y x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭；（2）π2)63y πθθ⎛⎫+<< ⎪⎝⎭，max y =【分析】（1）将MN 用x 加以表示，再利用矩形的面积公式可求得y 表示成x 的函数关系式；（2）将PN 、MN 利用θ加以表示，并利用三角恒等变换思想化简函数解析式，由π0θ3<<求出26πθ+的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得y 的最大值.【详解】（1）因为QM PN x ==，由tan3QMOM π==OM ∴=，由勾股定理可得ON所以MN ON OM =-=所以2302y MN PN x x ⎛⎫=⋅=<< ⎪⎝⎭； （2）当POB θ∠=时，QM PN θ==，则sin tan3QM OM θπ==，又ON θ，所以sin MN ON OM θθ=--，所以)21cos 233sin cos sin 222y MN PN θθθθθ-=⋅==-3sin 2220263ππθθθθ⎛⎫⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 03πθ<<Q ，则52666πππθ<+<，故当262ππθ+=时，即当6πθ=时，函数26y πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭max y =【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.22．（1）1x =或4x =；（2）证明见解析；（3）存在，1919,,325216⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.【解析】（1）令()0f x =，求x 的值；（2）如有画出函数()y f x =的图象，()f x m =有四个根，则01m <<，设()45g x x x=+-，由()g x m =或()g x m =-，化简后，分别求两根之积；（3）由函数图象可得分[][],1,2a b ⊆时，()()f a f b m a b==，变形后求m 的取值范围，或[][],2,4a b ⊆时，()f a mb =，()f b ma =可得5a b +=，由()f a m b=求m 的取值范围.【详解】解：（1）令()0f x =，解得1x =或4x =． （2）如图，要使()f x m =有四个根，则01m <<， 令()45g x x x=+-，当()g x m =，则()2540x m x -++=，∴144x x ⋅=，当()g x m =-，则()2540x m x --+=，∴234x x ⋅=，∴123416x x x x ⋅⋅⋅=．（3）当[][],1,2a b ⊆时，()45f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()45f a a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()45f b b b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由()()f a f b m a b==得，4455b ab ab a ab a b --=--， 即()540ab a b -+=，∴454ab a =-，由(]1,2b ∈，解得443a ≤<， 由[)1,2a ∈，423a ≤<， ∵b a >，∴85a <，∴4835a ≤<，由()245451a f a a m aa a a--===-+-，可得19216m ≤<． ②当[][],2,4a b ⊆，()45f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由()f a mb =，()f b ma =可得5a b +=，再由()f a mb =，得254a a m ab --=，把5b a =-代入得2415m a a =--，∵24a ≤<，24b <≤且b a >，∴522a ≤<，∴19,325m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 综上，m 的范围是1919,,325216⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭．【点睛】关键点点睛：本题主要考查对勾函数的图象和性质应用，体现了数形结合和转化的数学思想，属于难题，本题的第三问的关键是分类讨论，得到a 与b 的关系，然后再代入()f a m a =或()f a m b=求取值范围.。
