2020年福建南平高三一模数学试卷(理科)

2020届福建省南平市高三上学期第一次综合质量检查数学（文）试题一、单选题1．设集合{}1A x x =≥，{}2B x x =≥-，则B A =R I ð（ ）A ．{}|21x x -<<B ．{}|21x x -≤<C ．{}|21x x -<≤D ．{}2|1x x -≤≤【答案】B【解析】先求集合A 的补集，再进行交集运算，即可得答案. 【详解】因为集合{}1A x x =≥，所以{|1}A x x =<R ð， 所以{}|21B A x x -=≤<R I ð. 故选：B. 【点睛】本题考查集合的基本运算，即补集和交集，考查基本运算能力，属于基础题. 2．若复数i1ia z -=+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．1C ．1-D ．2-【答案】B【解析】对得复数进行除法运算，再利用纯虚数的概念，求得a 的值. 【详解】 因为i (i)(1i)(1)(1)i1i (1i)(1i)2a a a a z -----+===++-， 所以101a a -=⇒=. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的运算及纯虚数的概念，考查基本运算求解能力，属于基础题. 3．已知1ln 2a =，1ln 2b =，12ec -=（其中e 为自然对数的底数），则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．b c a <<D ．c b a <<【解析】引入中间变量0和1，易得1,0,01a b c ><<<，即可得到答案. 【详解】因为10ln 211ln 2<<⇒>，则1a >； 因为1lnln102<=，则0b <； 因为1020e e 1-<<=，则01c <<； 所以b c a <<. 故选：C 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较式子的大小，考查数形结合思想的应用.4．已知平面向量a r 与b r满足)a =r ，4b =r ，且()2a b a -⊥r r r，则a b -=r r （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】对式子a b -r r进行平方，再将已知条件代入计算求解，即可得答案.【详解】因为)a =r ，所以24a =r， 因为()()22220a b b a a b a a a -⊥⇒-⋅=⋅⇒=r r r r r r r r r ，所以2222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r 441616=-+=，所以4a b -=r r.故选：C 【点睛】本题考查向量的模的计算、向量数量积、向量垂直关系，考查逻辑推理能力和运算求解能力.5．一个盒子中装有4个大小、形状完全相同的小球，其中1个白球，2个红球，1个黄球，若从中随机取出1个球，记下颜色后放回盒子，均匀搅拌后，再随机取出1个球，则两次取出小球颜色不同的概率是（ ） A ．58B ．18C ．56D ．16【解析】列出所有等可能结果，计算两次取出小球颜色不同事件所含的基本事件总数，再利用古典概型概率计算公式求解. 【详解】记白球为1，红球为2，3，黄球为4，则试验的基本事件总数有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16个基本事件，则两次取出小球颜色不同的基本事件有： (1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,4),(3,1),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)共10个基本事件，所以两次取出小球颜色不同的概率为58. 故选：A. 【点睛】本题考查古典概型概率计算，考查基本运算求解能力，求解时注意区分有放回和无放回的区别.6．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过点22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，椭圆E ，则椭圆E 的焦距为（ ）A ．1B ．2CD ．【答案】B【解析】将点,22P ⎛ ⎝⎭代入椭圆方程得2213124a b +=，结合离心率2c a =及222a b c =+，求得c 的值，即可得到答案.【详解】因为椭圆E 的离心率为2，所以2c a =，因为椭圆过点2P ⎛ ⎝⎭，所以2213124a b +=， 又222a b c =+，解得：1c =， 所以焦距为22c =. 故选：B.本题考查椭圆的离心率及焦距的概念，考查基本运算求解能力，求解时注意焦距是2c 而不是c .7．已知函数()2cos2f x x x =+，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象．下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ） A ．在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B ．在区间π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上值域为[]1,1- C ．函数()g x 是奇函数 D ．其图象关于直线π2x =对称 【答案】D【解析】先通过平移得到()2cos2g x x =，再一一对照选项进行验证，即可得到答案. 【详解】对A ，因为()2cos2g x x =，所以222,2k x k k x k k Z ππππππ≤≤+⇒≤≤+∈，所以()g x 的递减区间为[,],2k k k Z πππ+∈，π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是递减区间的子区间，故A 错误； 对B ，因为π6π23x ≤≤，所以3ππ234x ≤≤，利用单位圆三角函数线可得，函数的值域为1[1,]2-，故B 错误；对C ，因为()()g x g x -=，所以函数为偶函数，故C 错误； 对D ，当π2x =时，π()2cos 22g π==-，故D 正确； 故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的平移、三角函数的单调性、奇偶性、周期性，考查逻辑推理能力和数形结合思想的应用，求解时注意左右平移是针对自变量x 而言的.8．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”下图是解决此问题的一个程序框图，其中a 为松长、b 为竹长，则输出的n =（ ）A ．5B ．3C ．4D ．2【答案】C【解析】根据,a b 的输入值分别为6,2，1n =，执行程序中的循环结构，从而得到输出值n . 【详解】由题意得：,a b 的输入值分别为6,2，1,9,4n a b ===，272,,82n a b ===， 813,,164n a b ===，2434,,328n a b ===，此时，243328≤终止循环，输出4n =. 故选：C 【点睛】本题考查数学文化与程序框图的交会，考查阅读理解能力和有条理思考问题的能力，求解时注意根据判断框的条件，得到何时终止循环. 9．函数()2sin cos x xf x x x=+在[]π,π-上的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】先根据函数为奇函数，排除B,C 选项，再根据(,0)x π∈-函数值的正负，排除D 选项，从而得到正确答案. 【详解】 因为()2sin()()cos()()x x f x f x x x ---==--+-，所以函数为奇函数，故排除B,C 选项；当(,0)x π∈-时，2sin 0,cos 0x x x x <+>，所以()0f x <，故排除D ；故选：A 【点睛】本题考查利用函数解析式挖掘函数的性质，考查数形结合思想的应用，求解时要充分利用选项中的图象，提取有用的信息，并利用排除法得到正确选项. 10．给出下列四个命题： ①0x ∃∈*N ，使得0πsin12x =； ②0a ≤是210ax ax +-<恒成立的充分条件； ③函数()ln x f x x =在点1e,e ⎛⎫⎪⎝⎭处不存在切线； ④函数()29ln f x x x =-存在零点． 其中正确命题个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】对①，存在01x =成立；对②，求出使210ax ax +-<恒成立的a 的取值范围，再根据子集关系判断；对③，利用导数的几何意义可求出切线方程；对④，利用零点存在定理判断零点存在性. 【详解】对①，当01x =时，πsin12=显然成立，故①正确； 对②，当210ax ax +-<恒成立时，0a =或20,40,a a a <⎧⎨∆=+<⎩解得：40a -<?，因为0a ≤推不出40a -<?，所以0a ≤不是210ax ax +-<恒成立的充分条件，故②错误；对③，因为'221ln 1ln ()x x x x f x x x ⋅--==，所以'()0f e =，所以切线方程为1y e=，故③错误；对④，因为()2110,()90f f e e =-<=->，所以函数在(1,)e 存在零点，故④正确；故选：B 【点睛】本题考查命题真假的判断、简易逻辑知识的运用、导数的几何意义、零点存在定理，考查逻辑推理能力和运算求解能力.11．在ABC ∆中，120ABC ∠=︒，D 是线段AC 上的点，30DBC ∠=︒，若ABC ∆的面积为BD 的最大值是（ ） A． BCD【答案】B【解析】将ABC ∆的面积分成两个小三角形面积和，得到关于BD 的方程，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+，所以11sin 90sin 3022AB BD BD BC ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=o o，即124BD BC AB =+，因为1822AB BC AB BC ⋅⋅⋅=⇒⋅=，所以1224BD BCAB =≤=+2,4AB BC ==. 故选：B 【点睛】本题考查三角形面积公式、基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.12．已知定义在R 上的连续函数()f x 满足()()4f x f x =-，且()20f -=，()f x '为函数()f x 的导函数，当2x <时，有()()0f x f x +'>，则不等式()0x f x ⋅>的解集为（ ） A ．()0,6 B ．()2,0-C ．(),2-∞-D ．()(),20,6-∞-U【答案】D【解析】根据不等式构造函数()(),(2)xg x e f x x =<，再利用导数研究函数()g x 在(,2)-∞的单调性，再根据对称性得到()g x 的图象特征，将不等式()0x f x ⋅>化为：0,()0,x f x <⎧⎨<⎩或0,()0,x f x >⎧⎨>⎩即可得到答案. 【详解】()(),(2)x g x e f x x =<，()()()()()0x x x g x e f x e f x e f x f x ''⎡⎤=+=+>⎣⎦，()g x 在(,2)-∞单调递增，2(2)(2)0g e f -∴-=-=，∴当(,2)x ∈-∞-时，()0<g x ，当(2,2)x ∈-时，()0>g x ，又0x e >，当(,2)x ∈-∞-时，()0f x <，当(2,2)x ∈-时，()0f x >， 又()f x 满足()()4f x f x =-，()f x ∴图象关于直线2x =对称，∴当(2,6)x ∈-时，()0f x >，当(,2)(6,)x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x <，不等式()0x f x ⋅>等价于0,()0,x f x <⎧⎨<⎩或0,()0,x f x >⎧⎨>⎩ 解得：()(),20,6x ∈-∞-U . 故选：D 【点睛】本题考查抽象函数不等式的求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是根据题目所给的不等式构造函数，再利用导数研究所构造函数的性质，进而求解不等式.二、填空题13．已知cos 44πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2α=__________． 【答案】34-【解析】∵cos 44πα⎛⎫-=⎪⎝⎭∴sin )24αα+=，即1cos sin 2αα+= ∴221cos sin sin 24ααα++= ∴3sin 24α=-故答案为34-. 14．已知函数{}n a 是公差为2-等差数列，若21a +，51a +，61a +成等比数列，则8a =________；【答案】4-【解析】利用等比中项性质得25261)(1)(1)(a a a +=+⋅+，再利用等差数列的通项公式求得1a ，进而得到8a 的值. 【详解】因为21a +，51a +，61a +成等比数列，所以25261)(1)(1)(a a a +=+⋅+，所以1112][14(2)25(21]())1[a a a +⋅--+⋅-=+++⋅，解得：110a =，所以817107(2)4a a d =+=+⋅-=-. 故答案为：4- 【点睛】本题考查等比数列中项的性质、等差数列通项公式的应用，考查基本量法的运用.15．已知直三棱柱111ABC A B C -的高为BC =，120BAC ∠=︒，则该三棱柱外接球的表面积为________； 【答案】16π【解析】根据三棱柱的特征，先确定其外接球球心的位置，再列出关于外接球半径R 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】设上下底面的外心分别为12,O O ，则球心O 为12O O 的中点，则121O O AA =，因为底面外接圆半径为12sin BC r A ==外接球的半径222111342R r AA ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭所以外接球的表面积为：2416R ππ=. 故答案为：16π. 【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理的应用、柱体体积、球的表面积计算公式、三棱柱与其外接球的关系，考查空间想象能力和运算求解能力.16．已知点1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 为直线43x a =与双曲线C 的一个交点，若点A 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为________．【解析】求出点4,3a A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再由点A 在以12F F 为直径的圆上得12F A F A ⊥，接着利用向量数量积为0，从而得到关于,a c 的方程，进而得到离心率. 【详解】设4,3a A y ⎛⎫⎪⎝⎭，代入22221x y a b-=化简得2279y b =，由已知得12F A F A ⊥，则210F A A F ⋅=u u u r u u u u r.因为2144(,),(,),33a aF A c y F A c y =+=-u u u r u u u u r 所以2204444733339a c a c y a c a cb ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+-+⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭=⎭，又222+=a b c ，整理得：222229922a a c c e =⇒=⇒=，【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用及向量知识的应用.三、解答题17．国家大力提倡科技创新，某工厂为提升甲产品的市场竞争力，对生产技术进行创新改造，使甲产品的生产节能降耗．以下表格提供了节能降耗后甲产品的生产产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对照数据．（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （1221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-） （2）已知该厂技术改造前生产8吨甲产品的生产能耗为7吨，试根据（1）求出的线性回归方程，预测节能降耗后生产8吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨？【答案】（1）ˆ0.70.35.yx =-（2）1.75吨. 【解析】（1）直接利用最小二乘法求回归直线方程；（2）将8x =代入回归方程可预测相应的生产能耗，从而求得生产能耗比技术改造前降低的吨数. 【详解】 (1)4567 2.534 4.55.5, 3.544x y ++++++====,414 2.553647 4.580.5,i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑42222214567126,ii x==+++=∑4142221480.54 5.5 3.50.7,1264 5.54ˆi ii i i x y xybx x ==--⨯⨯∴===-⨯-∑∑ 3.50.7ˆˆ 5.50.35,ay bx =-=-⨯=- 则所求的方程为ˆ0.70.35.yx =- (2)把8x =代入回归方程可预测相应的生产能耗是0.780.35 5.25y =⨯-=吨，7 5.25 1.75-=吨， 所以，预测生产8吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低1.75吨.【点睛】本题考查回归直线方程的求解，考查数据处理能力和运算求解能力. 18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21,nn S a a n =⋅-∈∈R N．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）12n n a -=（2）11121n n T +=--【解析】（1）利用临差法得到12n n a a -=⋅，再根据11a S =求得1a =，从而求得数列通项公式；（2）由题意得1112121n n n b +=---，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）当1n =时，1121a S a ==-.当2n ≥时，112n n n n a S S a --=-=⋅()*,因为{}n a 是等比数列，所以121a a =-满足()*式，所以21a a -=，即1a =， 因此等比数列{}n a 的首项为1,公比为2,所以等比数列{}n a 的通项公式12n n a -=.（2）由（1）知21nn S =-，则11n nn n a b S S ++=,即()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以121111111113377152121n n n n T b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以11121n n T +=--.【点睛】本题考查数列的通项公式、裂项相消法求和，考查方程思想、转化与化归思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意先对通项进行改写，再决定选用什么方法求和.19．如图，在几何体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 为矩形，11AA CC P 且112AA CC =，E 为1AB 的中点．（1）求证：CE P 平面111A B C ；（2）若平面11ABB A ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AB BC CC ===，求三棱锥1E ACC -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】（1）取A 1B 1中点F ，连接EF ，FC 1， 证明CE ∥C 1F ，即可证明线面平行；（2）根据三棱锥的等积法得11111111222E ACC B ACC B ACC C ABC V V V V ----===，即可求得答案.【详解】(1)证明 如图，取A 1B 1中点F ，连接EF ，FC 1，∵E 为AB 1中点，∴EF//A 1A 且EF=12A 1A ， ∵AA 1∥CC 1且AA 1=2CC 1，∴EF//CC 1且EF =CC 1，即四边形EFC 1C 为平行四边形， ∴CE ∥C 1F .∵111CE A B C ⊄平面，1111C F A B C ⊂平面， ∴CE ∥平面A 1B 1C 1.(2) ∵平面AB B 1A 1⊥平面ABC ，交线为AB 又矩形AB B 1A 1中A A 1⊥AB ，∴AA 1⊥平面ABC ， ∵AA 1∥CC 1，∴CC 1⊥平面ABC ，∵BB 1∥CC 1，111BB C AC ⊄平面，111CC C AC ⊂平面， ∴BB 1∥11C A C 平面，∴11111111222E ACC B ACC B ACC C ABC V V V V ----===11122222323=⨯⨯⨯⨯⨯= 【点睛】本题考查线面平行判定定理、三棱锥体积的求解，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意等积法的应用.20．已知抛物线C ：24y x =准线为l ，焦点为F ，点A 是抛物线C 上位于第一象限的动点，直线AO （O 为坐标原点）交l 于B 点，直线BF 交抛物线C 于D 、E 两点，M 为线段DE 中点．（1）若5AF =，求直线BF 的方程；（2）试问直线AM 的斜率是否为定值，若是，求出该值；若不是，说明理由． 【答案】（1）210x y --=（2）是，定值0【解析】（1）由AF =5及抛物线定义得A 点横坐标为4，求出直线 OA 的方程，进而求得(1,1)B --，利用点斜式方程即可得到直线B F 的方程；（2）由已知直线OA 的斜率存在，设直线OA 的方程为y kx =，与准线1x =-联立 解得(1,)B k --；由M 为线段DE 中点，得M 坐标为284(1,)k k+，将直线OA 的方程与抛物线方程联立可得244(,)A k k，计算直线AM 的斜率即可得到答案. 【详解】（1）抛物线C ：24y x =的准线为1x =-，C 的焦点为(1,0)F ， 由5AF =及抛物线定义得A 点横坐标为4，由A 点位于第一象限内且在抛物线C ：24y x =上得A 点坐标为(4,4)， 于是OA k =1，则直线OA 的方程为y x =，与准线1x =-联立解得(1,1)B --， 因此BF k =12，所以直线B F 的方程为1122y x =-，即210x y --=. （2）由已知直线OA 的斜率存在，设直线OA 的方程为y kx =，与准线1x =-联立 解得(1,)B k --，于是2BF kk =，由已知0k >，故设直线BF 的方程为21x y k=+，与24y x =联立并消去x 得， 2840y y k--=，其中264160k ∆=+>.设1122(,),,D x y E x y （），则128y y k +=，则212162x x k +=+ ， 由于M 为线段DE 中点，于是M 点坐标为284(1,)k k+， 直线OA 的方程0y kx k =>（），与24y x =联立解得244(,)A k k， 所以直线AM 的斜率为0，综上可知直线AM 的斜率为定值0. 【点睛】本题考查直线方程的求解、直线与抛物线中的定值问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是通过坐标法思想，将点的坐标及斜率转化成用变量k 表示. 21．已知函数()ln af x x x=+，其中a R ∈． （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =，试证明：()e cos x xf x x+<．【答案】（1）()f x 在区间()0,a 上为减函数；()f x 在区间(),a +∞上为增函数．（2）证明见解析【解析】（1）对函数进行求导得2()x af x x-'=，再对a 分成0a ≤和0a >两种情况讨论，从而得到函数的单调性；（2）将不等式等价于ln 1e cos x x x x +<+，再对x 分成01x <≤和1x >两种情况讨论. 【详解】 （1）由 221()a x af x x x x-'=-=(0)x > 知： （i ）若0a ≤，2()0(0)x af x x x-'=>>，∴ ()f x 在区间()0,∞+上为增函数． （ii ）若0a >，∴当x ∈()0,a 时，有()0f x '<，∴ ()f x 在区间()0,a 上为减函数． 当x ∈(),a +∞时，有()0f x '>，∴ ()f x 在区间(),a +∞上为增函数． 综上：当0a ≤时，()f x 在区间()0,∞+上为增函数；当0a >时，()f x 在区间()0,a 上为减函数；()f x 在区间(),a +∞上为增函数．（2）若1a =，则1()ln (0)f x x x x=+>要证e cos ()x xf x x+<，只需证ln 1e cos x x x x +<+，即证：ln e cos 1x x x x <+-.（i ）当01x <≤时，ln 0x x ≤，而e cos 11cos11cos10x x +->+-=> ∴此时ln <e cos 1x x x x +-成立.（ii ）当1x >时，令()e cos ln 1x g x x x x =+--，()0,x ∈+∞， ∵ ()e sin ln 1x g x x x '=---， 设()()e sin ln 1x h x g x x x '==---，则 1()e cos xh x x x'=--Q 1x >，∴1()e cos e 110x h x x x'=-->-->∴当1x >时，()h x 单调递增，∴()(1)e sin110h x h >=-->，即()0g x '> ∴()g x 在()1,+∞单调递增，∴()(1)e cos110g x g >=+-> 即()e cos ln 10x g x x x x =+-->，即ln <e cos 1x x x x +-，∴e cos ()<x xf x x+综上：当0x >时，有e cos ()<x xf x x+成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题.22．在平面直角坐标系中xOy ，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l πcos 14θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为：()2cos sin ,cos sin ,x y αααα⎧=+⎨=-⎩（α为参数），A ，B 为直线l 上距离为2的两动点，点P 为曲线C 上的动点且不在直线l 上．（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程． （2）求PAB △面积的最大值．【答案】（1）直线l 的直角坐标方程为10x y +-=,曲线C 的普通方程为22182x y +=（22【解析】（1）直线lcos()14πθ-=利用两角差的余弦公式展开，再利用公式cos ,sin x y ρθρθ==，将方程化成普通方程形式；对曲线C 的参数α进行消参，从而得到普通方程；（2）设点P (2cos 2sin ,cos sin )αααα+-，将点到直线的距离转化为三角函数的值域问题. 【详解】（1）直线lcos()14πθ-=化成cos sin 1ρθρθ+=，Q cos ,sin x y ρθρθ==，∴直线l 的直角坐标方程为10x y +-=，曲线C 的参数方程化成：cos sin ,(2cos sin xy ααααα⎧=+⎪⎨⎪=-⎩为参数）. 平方相加得2224x y +=，即22182x y +=（2）设点P (2cos 2sin ,cos sin )αααα+-，则P 到直线l 的距离为：d==，当sin()1αϕ+=-时，max d =设PAB ∆的面积为S，则max 12S AB =⨯⨯=【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程的互化、利用三角函数的值域求点到直线距离的最大值，考查转化与化归思想的运用，考查运算求解能力. 23．已知函数()2f x x t =+，若()1f x <的解集为()1,0-．（1）求t 并解不等式()2f x x >+；（2）已知：,a b R +∈，若()222f x a b x ≥+--对一切实数都成立，求证：21a b ≤． 【答案】（1）1t =，不等式解集为(,1)(1,)-∞-+∞U （2）证明见解析【解析】（1）根据不等式的解集，可得1t =，再利用分类讨论求解绝对值不等式； （2）由21222x x a b ++-≥+对一切实数x 恒成立，即min 2(2122)a b x x +≤++-将问题转化为证明23()13a ab a b ++≤≤成立. 【详解】（1）由()1f x <可得：121x t -<+<，即1122t tx +--<<， 解集为(1,0)-，所以1t =.当21x ≥-时，不等式()2f x x >+化成212x x +>+，解得：1x > 当21x <-时，不等式()2f x x >+化成212x x -->+，解得：1x <-综上所述，解集为(,1)(1,)-∞-+∞U …（2）由题意得21222x x a b ++-≥+对一切实数x 恒成立， 从而min 2(2122)a b x x +≤++-，2122(21)(22)3x x x x ++-≥+--=Q ， 2122x x ∴++-的最小值为3.∴23a b +≤，又,a b R +∈， ∴23()13a ab a b ++≤≤. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、不等式的证明，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。

2020年福建省南平市建阳第一初级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 给出下列函数：①；②；③.，使得的函数是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③参考答案：B2. 函数y＝xe x的最小值是()A. －1B. －eC. －D. 不存在参考答案：C【分析】先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定最值.【详解】y′＝e x＋xe x＝(1＋x)e x，令y′＝0，则x＝－1，因为x<－1时，y′<0，x>－1时，y′>0，所以x ＝－1时，y min＝－.选C.【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用得可疑最值点，如导函数不变号，则根据函数单调性确定最值点在对应区间端点取得；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.3. 如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=，AD：BC：AB=2:3:4，E、F分别是AB、CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥F C；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC．在翻折过程中，可能成立的结论是（）A．①③B．②③C．②④D．③④参考答案：B略4. 下列四种说法中，①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x＜0”；②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），则f（4）的值等于；④已知向量=（3，﹣4），=（2，1），则向量在向量方向上的投影是．说法错误的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】命题①是考查特称命题的否定，特称命题的否定是全称命题；命题②先由“p且q为真”推出p、q的真假，然后判断“p或q”的真假，反之再加以判断；命题③直接把点的坐标代入幂函数求出α，然后在幂函数解析式中取x=4求值；命题④向量在向量的方向上的投影为：，即可得出结论．【解答】解：①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x≤0”，故①不正确；②命题“p且q为真”，则命题p、q均为真，所以“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q不见得都真，所以不一定有“p且q为真”所以命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；③由幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），所以2α=，所以α=﹣，所以幂函数为f（x）=，所以f（4）=，所以命题③正确；④∵向量=（3，﹣4），=（2，1），∴?=3×2+（﹣4）×1=2，||=，∴向量在向量的方向上的投影为： =，故④不正确．故选：C．5. 球O与棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个面均相切，如图，用平平行于底面的平面截去长方体A2B2C2D2﹣A1B1C1D1，得到截面A2B2C2D2，且A2A=a，现随机向截面A2B2C2D2上撒一粒黄豆，则黄豆落在截面中的圆内的概率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】几何概型．【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离；概率与统计．【分析】求出截面中的圆的半径为=，面积为，截面A2B2C2D2的面积为a2，利用面积比可求概率．【解答】解：由题意，截面中的圆的半径为=，面积为，∵截面A2B2C2D2的面积为a2，∴黄豆落在截面中的圆内的概率为，故选B．【点评】本题考查正方体的内切圆，考查面积的计算，正确求出截面中的圆的半径是关键．6. 已知关于的方程的两个实数根满足，，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：A略7. “”是“”的（）.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B略8. i为虚数单位，则=( )A．﹣i B．﹣1 C．i D．1参考答案：A【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质化简为i，根据=i4×503+3=i3，求得结果．【解答】解：∵===i，则=i4×503+3=i3=﹣i，故选：A．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．9. 复数等于（A ） (B) ( C) ( D)参考答案： D，选D.10. 给出如下四个判断： ①；②；③设是实数，是的充要条件 ; ④命题“若则”的逆否命题 是若,则. 其中正确的判断个数是( )A ．１B ．２C ．３D ．４参考答案：A 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （几何证明选做题）如图，直线与相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，，则．参考答案：12. 已知点落在角的终边上，且，则的值为_____________；参考答案：13. 如图所示的程序框图输出的值是参考答案： 14414. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元．参考答案：1464【知识点】函数模型及其应用【试题解析】显然，面积大的房间用费用低的涂料，所以房间A 用涂料1，房间B 用涂料3， 房间C 用涂料2，即最低的涂料总费用是元。

2020届福建省南平市2017级高三上学期第一次模拟检测数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)（满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．全部答案答在答题卡上,答在本试卷上无效．4．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}230A x x x =-<,{}2log 0B x x =>,则A B =（ ）A. {}3|1x x <<B. {}|02x x <<C. {}|03x x <<D. {}1|0x x <<【答案】A【解析】 解不等式化简集合,A B ,再进行交集运算,即可得答案. 【详解】因为2{30}{|03}A x x x x x =-<=<<,{}2{log 0}1B x x x x =>=,所以{|13}A B x x ⋂=<<.故选：A2.在复平面内,复数()212i 1i -+对应的点在（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】对复数进行四则运算并化简成z a bi =+的形式,从而得到得复数对应点所在象限.【详解】因为复数()212i12i 1221i i i --==--+, 所以复数对应的点在第三象限.故选：C3.已知命题p ：x R ∀∈,sin cos 2x x +<．则p ⌝为（ ）A. 0x R ∃∈,00sin cos 2x x +>B. x R ∀∈,sin cos 2x x +≥C. x R ∀∈,sin cos 2x x +>D. 0x R ∃∈,00sin cos 2x x +≥ 【答案】D【解析】全称命题的否定为特称命题,任意改成存在,结论进行否定即可得到答案.【详解】因为p ：x R ∀∈,sin cos 2x x +<,所以p ⌝：0x R ∃∈,00sin cos 2x x +≥.故选：D4.下列函数中,既是奇函数又在()0,∞+单调递减的函数是（ ）A. 22x x y -=-B. tan y x x =C. sin y x x =-D. 12y x x =- 【答案】D【解析】根据函数为奇函数可排除B,再利用函数的单调性可排除A 、C,即选出正确答案.【详解】对A,函数22x x y -=-在()0,∞+单调递增,故A 不符合；对B,函数tan y x x =为偶函数,故B 不符合；对C,函数'1cos 0y x =-≥在()0,∞+恒成立,所以在()0,∞+单调递增,故C 不符合； 对D,函数既是奇函数又在()0,∞+单调递减,故D 符合；。

2020年福建省南平市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合2{|30}A x x x =-<，2{|log 0}B x x =>，则(A B = )A ．{|13}x x <<B ．{|02}x x <<C ．{|03}x x <<D ．{|01}x x <<2．（5分）在复平面内，复数212(1)ii -+对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知命题:p x R ∀∈，sin cos 2x x +<．则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，00sin cos 2x x +> B ．x R ∀∈，sin cos 2x x + C ．x R ∀∈，sin cos 2x x +>D ．0x R ∃∈，00sin cos 2x x +4．（5分）下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞单调递减的函数是( ) A ．22x x y -=-B ．tan y x x =C ．sin y x x =-D ．12y x x=- 5．（5分）已知函数2()sin 1xf x x x=+，则函数()y f x =的图象大致为( ) A ．B ．C ．D ．6．（5分）从区间[0，1]随机抽取2n 个数1x ，2x ，⋯，n x ，1y ，2y ，⋯，n y 构成n 个数对1(x ，1)y ，2(x ，2)(n y x ⋯，)n y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A ．5B ．6C ．7D ．88．（5分）已知非零向量a ，b 满足，(4)(4)a b a b +⊥-，22||a a b =，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 9．（5分）设抛物线2:4C x y =焦点为F ，直线2y kx =+与C 交于A ，B 两点，且||||25AF BF =，则k 的值为( )A ．2±B ．1-C ．1±D ．2-10．（5分）已知函数221tan ()2sin cos 1tan x f x x x x-=-+给出下列三个结论：①函数()f x 的最小正周期是π； ②函数()f x 在区间[,]88ππ-上是增函数；③函数()f x 的图象关于点(,0)8π-对称．其中正确结论的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．311．（5分）设数列{}n a 满足12(1)n n a a n +-=+，12a =，则数列{(1)}n n a -的前200项和是()A ．20100B ．20200C ．40200D ．4040012．（5分）在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1AA ，BC 的中点，点M 在棱11B C 上，11114B M BC =，若平面FEM 交11A B 于点N ，四棱锥11N BDD B -的五个顶点都在球O 的球面上，则球O 半径为( )A B C ．D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）函数()f x x lnx =的单调递减区间为 ．14．（5分）将5名志愿者分派到2个不同社区参加公益活动，要求每个社区至少安排2人参加活动，则不同的分派方案共有 种；（用数字作答）15．（5分）设{}n a 是公差不为零的等差数列，4a 是2a 与8a 的等比中项，3720a a +=，则n a = ；16．（5分）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，若双曲线上存在点P 满足2122PF PF a =-，则双曲线离心率的取值范围为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设222()tan a b c C +-=． （1）求C ；（2）若3sin 4sin A B =，且ABC ∆的面积为ABC ∆的周长．18．（12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SBD ⊥平面ABCD ，AB AD ==，2CB CD ==，120BCD ∠=︒．（1）求证：AC SB ⊥；（2）若M 为线段BD 上的一点，14DM BD =，SM =，SM BD ⊥，求平面ABS 与平面BCS 所成锐二面角的余弦值．19．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是离心率的两倍，直线:4430l x y -+==交C 于A ，B 两点，且AB 的中点横坐标为12-．（1）求椭圆C 的方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，O 为坐标原点，且满足223||||4OM ON +=，求证：OM ，ON 斜率的平方之积是定值．20．（12分）已知函数()()lnx a f x a R x+=∈，()1xg x e =-． （1）求()f x 的单调区间；（2）若()()g x f x 在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围．21．（12分）某购物商场分别推出支付宝和微信“扫码支付”购物活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用“扫码支付”．现统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如表所示：（1）根据散点图判断，在推广期内，扫码支付的人y 次关于活动推出天数x 的回归方程适合用x y c d =来表示，求出该回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次； （2）推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如表：商场规定：使用现金支付的顾客无优惠，使用会员卡支付的顾客享受8折优惠，扫码支付的顾客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的顾客，享受7折优惠的概率为16，享受8折优惠的概率为13，享受9折优惠的概率为12．现有一名顾客购买了a 元的商品，根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用是多少？参考数据：设i i v lgy =，711 1.527i i v v ==≈∑，7149.56i i i x v =≈∑，0.5210 3.31≈参考公式：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，⋯，(n u ，)n v ，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni i i nii u vnuv unu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． 请考生在第22、23二题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（10分）在平面直角坐标系中xOy ，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()14πθ-=，曲线C 的参数方程为：2(cos sin ),(cos sin ,x y ααααα=+⎧⎨=-⎩为参数），A ，B 为直线l 上距离为2的两动点，点P 为曲线C 上的动点且不在直线l 上．（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程． （2）求PAB ∆面积的最大值．23．已知函数()|2|f x x t =+，若()1f x <的解集为(1,0)-． （1）求t 并解不等式()2f x x >+；（2）已知：a ，b R +∈，若()2|22|f x a b x +--对一切实数都成立，求证：21a b ．。

南平市2019—2020学年高中毕业班第一次综合质量检测文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}1A x x =≥，{}2B x x =≥-，则B A =R I ð( )A. {}|21x x -<<B. {}|21x x -≤<C. {}|21x x -<≤D. {}2|1x x -≤≤2.若复数i1ia z -=+为纯虚数，则实数a 的值为( ) A. 2 B. 1C. 1-D. 2-3.已知1ln 2a =，1ln 2b =，12ec -=(其中e 为自然对数的底数)，则( ) A. c a b << B. a c b << C. b c a <<D. c b a <<4.已知平面向量a r 与b r满足)a =r ，4b =r ，且()2a b a -⊥r r r，则a b -=r r ( )A. 2B. 3C. 4D. 55.一个盒子中装有4个大小、形状完全相同的小球，其中1个白球，2个红球，1个黄球，若从中随机取出1个球，记下颜色后放回盒子，均匀搅拌后，再随机取出1个球，则两次取出小球颜色不同的概率是( ) A.58B.18C.56D.166.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过点22P ⎛ ⎝⎭，椭圆E 的离心率为2，则椭圆E 的焦距为( )A. 1B. 2C.D.7.已知函数()3sin 2cos2f x x x =+，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象．下列关于函数()g x 的说法正确的是( ) A. 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B. 在区间π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上值域为[]1,1- C. 函数()g x 是奇函数D. 其图象关于直线π2x =对称 8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”下图是解决此问题的一个程序框图，其中a 为松长、b 为竹长，则输出的n =( )A. 5B. 3C. 4D. 29.函数()2sin cos x xf x x x=+在[]π,π-上的图象大致为( ) A. B.C. D.10.给出下列四个命题： ①0x ∃∈*N ，使得0πsin12x =； ②0a ≤是210ax ax +-<恒成立的充分条件；③函数()ln x f x x =在点1e,e ⎛⎫⎪⎝⎭处不存在切线； ④函数()29ln f x x x =-存在零点． 其中正确命题个数是( ) A. 1B. 2C. 3D. 411.在ABC ∆中，120ABC ∠=︒，D 是线段AC 上点，30DBC ∠=︒，若ABC ∆的面积为则BD 的最大值是( ) A.B.C.D.12.已知定义在R 上的连续函数()f x 满足()()4f x f x =-，且()20f -=，()f x '为函数()f x 的导函数，当2x <时，有()()0f x f x +'>，则不等式()0x f x ⋅>的解集为( ) A. ()0,6 B. ()2,0-C. (),2-∞-D. ()(),20,6-∞-U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知cos 4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭sin 2α=__________． 14.已知函数{}n a 是公差为2-等差数列，若21a +，51a +，61a +成等比数列，则8a =________； 15.已知直三棱柱111ABC A B C -的高为BC =，120BAC ∠=︒，则该三棱柱外接球的表面积为________；16.已知点1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 为直线43x a =与双曲线C的一个交点，若点A 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.国家大力提倡科技创新，某工厂为提升甲产品的市场竞争力，对生产技术进行创新改造，使甲产品的生产节能降耗．以下表格提供了节能降耗后甲产品的生产产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对照数据．x (吨)45 67y (吨)2.534 4.5(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； (1221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-) (2)已知该厂技术改造前生产8吨甲产品的生产能耗为7吨，试根据(1)求出的线性回归方程，预测节能降耗后生产8吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨？18.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21,nn S a a n =⋅-∈∈R N．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.如图，在几何体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 为矩形，11AA CC P 且112AA CC =，E 为1AB 的中点．(1)求证：CE P 平面111A B C ；(2)若平面11ABB A ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AB BC CC ===，求三棱锥1E ACC -体积．20.已知抛物线C ：24y x =准线为l ，焦点为F ，点A 是抛物线C 上位于第一象限动点，直线AO (O 为坐标原点)交l 于B 点，直线BF 交抛物线C 于D 、E 两点，M 为线段DE 中点． (1)若5AF =，求直线BF方程；(2)试问直线AM 的斜率是否为定值，若是，求出该值；若不是，说明理由． 21.已知函数()ln af x x x=+，其中a R ∈． (1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)若1a =，试证明：()e cos x xf x x+<．请考生在第22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22.在平面直角坐标系中xOy ，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方πcos 14θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为：()2cos sin ,cos sin ,x y αααα⎧=+⎨=-⎩(α为参数)，A ，B 为直线l 上距离为2的两动点，点P 为曲线C 上的动点且不在直线l 上． (1)求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程． (2)求PAB △面积的最大值．23.已知函数()2f x x t =+，若()1f x <的解集为()1,0-．(1)求t 并解不等式()2f x x >+；(2)已知：,a b R +∈，若()222f x a b x ≥+--对一切实数都成立，求证：21a b ≤．。

福建省南平市九牧中学2020年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知x∈[，]，则“x∈”是“sin(sinx)<cos(cosx)成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件参考答案：【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx＜﹣cosx，∴sin（sinx）＜sin（﹣cosx），即sin（sinx）＜cos（cosx）成立，（2）∵sin（sinx）＜cos（cosx）∴sin（sinx）＜sin（﹣cosx），sinx＜﹣cosxsinx+cosx＜，x∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx）＜cos（cosx）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断2. 在复平面内，复数对应的点在（）A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案：B略3. 直线与圆相交于两点，若弦的中点为，则直线的方程为( )A． B． C． D．参考答案：C4. 等腰三角形中，边中线上任意一点，则的值为（）A、B、C、5 D、参考答案：D在等腰三角形中，，所以，所以设边上的中线为，所以..,又，即，所以，所以，所以，选D.5. 函数y=的最大值是( )A．1B．3C．D．2﹣5参考答案：A考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：化简y=﹣=﹣，令（x+2）2=t，（t≥0）；从而可得故y=﹣=，从而确定最值．解答：解：y=﹣=﹣，令（x+2）2=t，（t≥0）；故y=﹣=，故易知当t=0时有最大值1，故选A．点评：本题考查了函数表达式的化简与最值的求法6. 执行程序框图，若，则输出的（）....参考答案：B7. 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是A．2 B．C．D．参考答案：C8. 如图，AB是圆O的一条直径，C、D是半圆弧的两个三等分点，则A. B. C. D.参考答案：D9. 设随机变量服从正态分布N (3，7)，若，则a =（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C由题意知对称轴为，故选C．10. 在等比数列{a n}中，，则=A．B．C．D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 有下列命题：①函数y=f (-x+2)与y=f (x-2)的图象关于轴对称；②若函数f（x）＝，则，都有；③若函数f（x）＝log a| x |在（0，＋∞）上单调递增，则f（－2）> f（a＋1）；④若函数(x∈)，则函数f(x)的最小值为.其中真命题的序号是.参考答案：②④12. 在中，若=°, ∠B=°，BC =，则AC =参考答案：略13. 已知不等式有实数解，则实数的取值范围是______________.参考答案：略14. 直线与函数的图像相切于点，且，为坐标原点，为图像的极值点，与轴交于点，过切点作轴的垂线，垂足为，则等于____________．参考答案：略15. 已知等差数列的公差，若，则_____.参考答案：略16. 在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为▲参考答案：417. 已知集合，，则．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

南平市2019－2020学年高中毕业班第一次综合质量检测理科数学(满分：150分 考试时间：120分钟)注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A ＝{x|x 2－3x<0}，B ＝{x|log 2x>0}，则A∩B ＝A.{x|1<x<3}B.{x|0<x<2}C.{x|0<x<3}D.{x|0<x<1} 2.在复平面内，复数2(1)12ii +-对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.已知命题p ：∀x ∈R ，sinx ＋cosx<2.则－p 为A.∃x 0∈R ，sinx 0＋cosx 0>2B.∀x ∈R ，sinx ＋cosx ≥2C.∀x ∈R ，sinx ＋cosx>2D.∃x 0∈R ，sinx 0＋cosx 0≥2 4.下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)单调递减的函数是 A.y ＝2x －2－x B.y ＝xtanx C.y ＝x －sinx D.y ＝1x－2x 5.已知函数2()sin 1xf x x x =⋅+，则函数y ＝f(x)的图像大致为6.从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，……，x n ，y 1，y 2，……，y n ，组成坐标平面上的n 个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…(x n ，y n )，其中到原点距离小于1的点有m 个，用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A.4n m B.2n m C.4m n D.2m n7.执行如图所示的程序框图，输出的结果是A.5B.6C.7D.88.已知非零向量a r ，b r 满足，(4a r ＋b r )⊥(4a r －b r )，2|a r |2＝a r ·b r ，则向量a r ，b r夹角为A.6π B.3π C.2πD.23π9.设抛物线C ：x 2＝4y 焦点为F ，直线y ＝kx ＋2与C 交于A ，B 两点，且|AF|·|BF|＝25，则k 的值为 A.±2 B.－1 C.±1 D.－210.已知函数221tan ()2sin cos 1tan xf x x x x-=-+，给出下列三个结论： ①函数f(x)的最小正周期是π； ②函数f(x)在区间[－8π，8π]上是增函数； ③函数f(x)的图像关于点(－8π，0)对称。

南平市2019—2020学年高中毕业班第一次综合质量检测文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}1A x x =≥，{}2B x x =≥-，则BA =R（ ）A. {}|21x x -<<B. {}|21x x -≤<C. {}|21x x -<≤D.{}2|1x x -≤≤2.若复数i1ia z -=+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 2 B. 1C. 1-D. 2-3.已知1ln 2a =，1ln 2b =，12ec -=（其中e 为自然对数的底数），则（ ） A. c a b << B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<4.已知平面向量a 与b 满足()3,1a =，4b =，且()2a b a -⊥，则a b -=（ ）A. 2B. 3C. 4D. 55.一个盒子中装有4个大小、形状完全相同的小球，其中1个白球，2个红球，1个黄球，若从中随机取出1个球，记下颜色后放回盒子，均匀搅拌后，再随机取出1个球，则两次取出小球颜色不同的概率是（ ） A.58B.18C.56D.166.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过点23,P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，椭圆E 的离心率为22，则椭圆E 的焦距为（ ） A. 1B. 2C.2 D. 227.已知函数()3sin 2cos2f x x x =+，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象．下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ）A. 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B. 在区间π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上值域为[]1,1- C. 函数()g x 是奇函数D. 其图象关于直线π2x =对称 8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”下图是解决此问题的一个程序框图，其中a 为松长、b 为竹长，则输出的n =（ ）A. 5B. 3C. 4D. 29.函数()2sin cos x xf x x x=+在[]π,π-上的图象大致为（ ） A. B.C. D.10.给出下列四个命题： ①0x ∃∈*N ，使得0πsin 12x =； ②0a ≤是210ax ax 恒成立的充分条件；③函数()ln x f x x =在点1e,e ⎛⎫⎪⎝⎭处不存在切线； ④函数()29ln f x x x =-存在零点． 其中正确命题个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 411.在ABC ∆中，120ABC ∠=︒，D 是线段AC 上点，30DBC ∠=︒，若ABC ∆的面积为23则BD 的最大值是（ ） A.2B.3 C. 5 D.612.已知定义在R 上的连续函数()f x 满足()()4f x f x =-，且()20f -=，()f x '为函数()f x 的导函数，当2x <时，有()()0f x f x +'>，则不等式()0x f x ⋅>的解集为（ ） A. ()0,6 B. ()2,0- C. (),2-∞-D. ()(),20,6-∞-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知2cos 44πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2α=__________． 14.已知函数{}n a 是公差为2-等差数列，若21a +，51a +，61a +成等比数列，则8a =________； 15.已知直三棱柱111ABC A B C -的高为33BC =，120BAC ∠=︒，则该三棱柱外接球的表面积为________；16.已知点1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 为直线43x a =与双曲线C 的一个交点，若点A 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.国家大力提倡科技创新，某工厂为提升甲产品的市场竞争力，对生产技术进行创新改造，使甲产品的生产节能降耗．以下表格提供了节能降耗后甲产品的生产产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对照数据．x （吨）4 5 67y （吨）2.5 3 4 4.5（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （1221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-） （2）已知该厂技术改造前生产8吨甲产品的生产能耗为7吨，试根据（1）求出的线性回归方程，预测节能降耗后生产8吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨？ 18.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21,nn S a a n =⋅-∈∈R N．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.如图，在几何体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 为矩形，11AA CC 且112AA CC =，E 为1AB 的中点．（1）求证：CE平面111A B C ；（2）若平面11ABB A ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AB BC CC ===，求三棱锥1E ACC -体积．20.已知抛物线C ：24y x =准线为l ，焦点为F ，点A 是抛物线C 上位于第一象限动点，直线AO （O 为坐标原点）交l 于B 点，直线BF 交抛物线C 于D 、E 两点，M 为线段DE 中点． （1）若5AF =，求直线BF方程；（2）试问直线AM 的斜率是否为定值，若是，求出该值；若不是，说明理由． 21.已知函数()ln af x x x=+，其中a R ∈． （1）试讨论函数()f x 单调性；（2）若1a =，试证明：()e cos x xf x x+<．请考生在第22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22.在平面直角坐标系中xOy ，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的π2cos 14ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为：()2cos sin ,cos sin ,x y αααα⎧=+⎨=-⎩（α为参数），A ，B 为直线l 上距离为2的两动点，点P 为曲线C 上的动点且不在直线l 上．（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程． （2）求PAB △面积的最大值．23.已知函数()2f x x t =+，若()1f x <的解集为()1,0-．（1）求t 并解不等式()2f x x >+；（2）已知：,a b R +∈，若()222f x a b x ≥+--对一切实数都成立，求证：21a b ≤．南平市2019—2020学年高中毕业班第一次综合质量检测文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}1A x x =≥，{}2B x x =≥-，则BA =R（ ）A. {}|21x x -<<B. {}|21x x -≤<C. {}|21x x -<≤D.{}2|1x x -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】先求集合A 的补集，再进行交集运算，即可得答案. 【详解】因为集合{}1A x x =≥，所以{|1}A x x =<R， 所以{}|21B A x x -=≤<R . 故选：B.【点睛】本题考查集合的基本运算，即补集和交集，考查基本运算能力，属于基础题. 2.若复数i1ia z -=+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 2B. 1C. 1-D. 2-【答案】B 【解析】 【分析】对得复数进行除法运算，再利用纯虚数的概念，求得a 的值. 【详解】因为i (i)(1i)(1)(1)i1i (1i)(1i)2a a a a z -----+===++-， 所以101a a -=⇒=. 故选：B.【点睛】本题考查复数的运算及纯虚数的概念，考查基本运算求解能力，属于基础题. 3.已知1ln 2a =，1ln 2b =，12ec -=（其中e 为自然对数的底数），则（ ） A. c a b << B. a c b << C. b c a << D. c b a <<【答案】C 【解析】 【分析】引入中间变量0和1，易得1,0,01a b c ><<<，即可得到答案. 【详解】因为10ln 211ln 2<<⇒>，则1a >； 因为1lnln102<=，则0b <； 因为1020e e 1-<<=，则01c <<； 所以b c a <<.故选：C【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较式子的大小，考查数形结合思想的应用. 4.已知平面向量a 与b 满足()3,1a =，4b =，且()2a b a -⊥，则a b -=（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】 【分析】对式子a b -进行平方，再将已知条件代入计算求解，即可得答案. 【详解】因()3,1a =，所以24a =，因为()()22220a b b a a b a a a -⊥⇒-⋅=⋅⇒=， 所以2222a b a a b b -=-⋅+441616=-+=， 所以4a b -=. 故选：C【点睛】本题考查向量的模的计算、向量数量积、向量垂直关系，考查逻辑推理能力和运算求解能力.5.一个盒子中装有4个大小、形状完全相同的小球，其中1个白球，2个红球，1个黄球，若从中随机取出1个球，记下颜色后放回盒子，均匀搅拌后，再随机取出1个球，则两次取出小球颜色不同的概率是（ ） A.58B.18C.56D.16【答案】A 【解析】 【分析】列出所有等可能结果，计算两次取出小球颜色不同事件所含的基本事件总数，再利用古典概型概率计算公式求解.【详解】记白球为1，红球为2，3，黄球为4，则试验的基本事件总数有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16个基本事件，则两次取出小球颜色不同的基本事件有：(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,4),(3,1),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)共10个基本事件，所以两次取出小球颜色不同的概率为58. 故选：A.【点睛】本题考查古典概型概率计算，考查基本运算求解能力，求解时注意区分有放回和无放回的区别.6.已知椭圆E：()222210x y a b a b +=>>过点22P ⎛ ⎝⎭，椭圆E的离心率为2，则椭圆E 的焦距为（ ） A. 1 B. 2C.D.【答案】B 【解析】 【分析】将点P ⎝⎭代入椭圆方程得2213124a b +=，结合离心率2c a =及222a b c =+，求得c 的值，即可得到答案.【详解】因为椭圆E ，所以2c a =，因为椭圆过点23,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2213124a b +=， 又222a b c =+，解得：1c =，所以焦距为22c =.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的离心率及焦距的概念，考查基本运算求解能力，求解时注意焦距是2c 而不是c .7.已知函数()3sin 2cos2f x x x =+，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象．下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ）A. 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B. 在区间π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上值域为[]1,1- C. 函数()g x 是奇函数 D. 其图象关于直线π2x =对称 【答案】D 【解析】 【分析】先通过平移得到()2cos2g x x =，再一一对照选项进行验证，即可得到答案. 【详解】对A ，因为()2cos2g x x =，所以222,2k x k k x k k Z ππππππ≤≤+⇒≤≤+∈，所以()g x 的递减区间为[,],2k k k Z πππ+∈，π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是递减区间的子区间，故A 错误； 对B ，因为π6π23x ≤≤，所以3ππ234x ≤≤，利用单位圆三角函数线可得，函数的值域为1[1,]2-，故B 错误；对C ，因为()()g x g x -=，所以函数为偶函数，故C 错误；对D ，当π2x =时，π()2cos 22g π==-，故D 正确； 故选：D.【点睛】本题考查函数图象的平移、三角函数的单调性、奇偶性、周期性，考查逻辑推理能力和数形结合思想的应用，求解时注意左右平移是针对自变量x 而言的.8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”下图是解决此问题的一个程序框图，其中a 为松长、b 为竹长，则输出的n =（ ）A. 5B. 3C. 4D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据,a b 的输入值分别为6,2，1n =，执行程序中的循环结构，从而得到输出值n . 【详解】由题意得：,a b 的输入值分别为6,2，1,9,4n a b ===，272,,82n a b ===， 813,,164n a b ===，2434,,328n a b ===，此时，243328≤终止循环，输出4n =. 故选：C【点睛】本题考查数学文化与程序框图的交会，考查阅读理解能力和有条理思考问题的能力，求解时注意根据判断框的条件，得到何时终止循环. 9.函数()2sin cos x xf x x x=+在[]π,π-上的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数为奇函数，排除B,C 选项，再根据(,0)x π∈-函数值的正负，排除D 选项，从而得到正确答案.【详解】因为()2sin()()cos()()x x f x f x x x ---==--+-，所以函数为奇函数，故排除B,C 选项；当(,0)x π∈-时，2sin 0,cos 0x x x x <+>，所以()0f x <，故排除D ；故选：A【点睛】本题考查利用函数解析式挖掘函数的性质，考查数形结合思想的应用，求解时要充分利用选项中的图象，提取有用的信息，并利用排除法得到正确选项. 10.给出下列四个命题： ①0x ∃∈*N ，使得0πsin 12x =； ②0a ≤是210ax ax 恒成立的充分条件；③函数()ln x f x x =在点1e,e ⎛⎫⎪⎝⎭处不存在切线； ④函数()29ln f x x x =-存在零点． 其中正确命题个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】 【分析】对①，存在01x =成立；对②，求出使210ax ax 恒成立的a 的取值范围，再根据子集关系判断；对③，利用导数的几何意义可求出切线方程；对④，利用零点存在定理判断零点存在性. 【详解】对①，当01x =时，πsin12=显然成立，故①正确； 对②，当210axax 恒成立时，0a =或20,40,a a a <⎧⎨∆=+<⎩解得：40a ， 因为0a ≤推不出40a ，所以0a ≤不是210ax ax 恒成立的充分条件，故②错误；对③，因为'221ln 1ln ()x x x x f x x x ⋅--==，所以'()0f e =，所以切线方程为1y e=，故③错误；对④，因为()2110,()90f f e e =-<=->，所以函数在(1,)e 存在零点，故④正确；故选：B【点睛】本题考查命题真假的判断、简易逻辑知识的运用、导数的几何意义、零点存在定理，考查逻辑推理能力和运算求解能力.11.在ABC ∆中，120ABC ∠=︒，D 是线段AC 上的点，30DBC ∠=︒，若ABC ∆的面积为则BD 的最大值是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】将ABC ∆的面积分成两个小三角形面积和，得到关于BD 的方程，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+，所以11sin 90sin 302322AB BD BD BC ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，即124BD BC AB =+，因为182AB BC AB BC ⋅⋅=⋅=， 所以24BD AB =≤=+2,4AB BC ==. 故选：B【点睛】本题考查三角形面积公式、基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.12.已知定义在R 上的连续函数()f x 满足()()4f x f x =-，且()20f -=，()f x '为函数()f x 的导函数，当2x <时，有()()0f x f x +'>，则不等式()0x f x ⋅>的解集为（ ） A. ()0,6 B. ()2,0- C. (),2-∞- D. ()(),20,6-∞-【答案】D【解析】 【分析】根据不等式构造函数()(),(2)xg x e f x x =<，再利用导数研究函数()g x 在(,2)-∞的单调性，再根据对称性得到()g x 的图象特征，将不等式()0x f x ⋅>化为：0,()0,x f x <⎧⎨<⎩或0,()0,x f x >⎧⎨>⎩即可得到答案.【详解】()(),(2)xg x e f x x =<，()()()()()0x x x g x e f x e f x e f x f x ''⎡⎤=+=+>⎣⎦，()g x 在(,2)-∞单调递增，2(2)(2)0g e f -∴-=-=，∴当(,2)x ∈-∞-时，()0<g x ，当(2,2)x ∈-时，()0>g x ，又0x e >，当(,2)x ∈-∞-时，()0f x <，当(2,2)x ∈-时，()0f x >， 又()f x 满足()()4f x f x =-，()f x ∴图象关于直线2x =对称，∴当(2,6)x ∈-时，()0f x >，当(,2)(6,)x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x <，不等式()0x f x ⋅>等价于0,()0,x f x <⎧⎨<⎩或0,()0,x f x >⎧⎨>⎩解得：()(),20,6x ∈-∞-.故选：D【点睛】本题考查抽象函数不等式的求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是根据题目所给的不等式构造函数，再利用导数研究所构造函数的性质，进而求解不等式.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知cos 44πα⎛⎫-=⎪⎝⎭sin 2α=__________． 【答案】34-【解析】∵cos 44πα⎛⎫-=⎪⎝⎭∴(cos sin )24αα+=，即1cos sin 2αα+= ∴221cos sin sin 24ααα++= ∴3sin 24α=-故答案为34-.14.已知函数{}n a 公差为2-等差数列，若21a +，51a +，61a +成等比数列，则8a =________；【答案】4- 【解析】 【分析】利用等比中项性质得25261)(1)(1)(a a a +=+⋅+，再利用等差数列的通项公式求得1a ，进而得到8a 的值.【详解】因为21a +，51a +，61a +成等比数列，所以25261)(1)(1)(a a a +=+⋅+，所以1112][14(2)25(21]())1[a a a +⋅--+⋅-=+++⋅，解得：110a =，所以817107(2)4a a d =+=+⋅-=-. 故答案为：4-【点睛】本题考查等比数列中项的性质、等差数列通项公式的应用，考查基本量法的运用. 15.已知直三棱柱111ABC A B C -的高为BC =，120BAC ∠=︒，则该三棱柱外接球的表面积为________； 【答案】16π 【解析】 【分析】根据三棱柱的特征，先确定其外接球球心的位置，再列出关于外接球半径R 的方程，解方程即可得到答案.【详解】设上下底面的外心分别为12,O O ，则球心O 为12O O 的中点，则121O O AA =，因为底面外接圆半径为12sin BC r A ==外接球的半径222111342R r AA ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭所以外接球的表面积为：2416R ππ=. 故答案为：16π.【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理的应用、柱体体积、球的表面积计算公式、三棱柱与其外接球的关系，考查空间想象能力和运算求解能力.16.已知点1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 为直线43x a =与双曲线C 的一个交点，若点A 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为________．【解析】 【分析】求出点4,3a A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再由点A 在以12F F 为直径的圆上得12F A F A ⊥，接着利用向量数量积为0，从而得到关于,a c 的方程，进而得到离心率.【详解】设4,3a A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入22221x y a b-=化简得2279y b =，由已知得12F A F A ⊥，则210F A A F ⋅=. 因为2144(,),(,),33a aF A c y F A c y =+=- 所以2204444733339a c a c y a c a c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭=⎭，又222+=a b c，整理得：222229922a a c c e =⇒=⇒=，【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用及向量知识的应用.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.国家大力提倡科技创新，某工厂为提升甲产品的市场竞争力，对生产技术进行创新改造，使甲产品的生产节能降耗．以下表格提供了节能降耗后甲产品的生产产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对照数据．（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （1221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-） （2）已知该厂技术改造前生产8吨甲产品的生产能耗为7吨，试根据（1）求出的线性回归方程，预测节能降耗后生产8吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨？【答案】（1）ˆ0.70.35.yx =-（2）1.75吨. 【解析】 【分析】（1）直接利用最小二乘法求回归直线方程；（2）将8x =代入回归方程可预测相应的生产能耗，从而求得生产能耗比技术改造前降低的吨数. 【详解】(1)4567 2.534 4.55.5, 3.544x y ++++++====,414 2.553647 4.580.5,i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑42222214567126,i i x==+++=∑4142221480.54 5.5 3.50.7,1264 5.54ˆi ii ii x y xybxx ==--⨯⨯∴===-⨯-∑∑ 3.50.7ˆˆ 5.50.35,ay bx =-=-⨯=- 则所求的方程为ˆ0.70.35.yx =-(2)把8x =代入回归方程可预测相应的生产能耗是0.780.35 5.25y =⨯-=吨，7 5.25 1.75-=吨， 所以，预测生产8吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低1.75吨.【点睛】本题考查回归直线方程的求解，考查数据处理能力和运算求解能力. 18.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21,nn S a a n =⋅-∈∈R N．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）12n n a （2）11121n n T +=--【解析】 【分析】（1）利用临差法得到12n n a a -=⋅，再根据11a S =求得1a =，从而求得数列通项公式；（2）由题意得1112121n n n b +=---，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）当1n =时，1121a S a ==-.当2n ≥时，112n n n n a S S a --=-=⋅()*,因为{}n a 是等比数列，所以121a a =-满足()*式，所以21a a -=，即1a =， 因此等比数列{}n a 的首项为1,公比为2, 所以等比数列{}n a 的通项公式12n na .（2）由（1）知21nn S =-，则11n nn n a b S S ++=,即()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以121111111113377152121n n n n T b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以11121n n T +=--.【点睛】本题考查数列的通项公式、裂项相消法求和，考查方程思想、转化与化归思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意先对通项进行改写，再决定选用什么方法求和. 19.如图，在几何体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 为矩形，11AA CC 且112AA CC =，E 为1AB 的中点．（1）求证：CE平面111A B C ；（2）若平面11ABB A ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AB BC CC ===，求三棱锥1E ACC -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】 【分析】（1）取A 1B 1中点F ，连接EF ，FC 1， 证明CE ∥C 1F ，即可证明线面平行；（2）根据三棱锥的等积法得11111111222E ACC B ACC B ACC C ABC V V V V ----===，即可求得答案.【详解】(1)证明 如图，取A 1B 1中点F ，连接EF ，FC 1，∵E 为AB 1中点，∴EF//A 1A 且EF=12A 1A ，∵AA 1∥CC 1且AA 1=2CC 1，∴EF//CC 1且EF =CC 1，即四边形EFC 1C 为平行四边形， ∴CE ∥C 1F .∵111CE A B C ⊄平面，1111C F A B C ⊂平面， ∴CE ∥平面A 1B 1C 1.(2) ∵平面AB B 1A 1⊥平面ABC ，交线为AB 又矩形AB B 1A 1中A A 1⊥AB ，∴AA 1⊥平面ABC ， ∵AA 1∥CC 1，∴CC 1⊥平面ABC ，∵BB 1∥CC 1，111BB C AC ⊄平面，111CC C AC ⊂平面， ∴BB 1∥11C A C 平面，∴11111111222E ACC B ACC B ACC C ABC V V V V ----===11122222323=⨯⨯⨯⨯⨯= 【点睛】本题考查线面平行判定定理、三棱锥体积的求解，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意等积法的应用.20.已知抛物线C ：24y x =准线为l ，焦点为F ，点A 是抛物线C 上位于第一象限的动点，直线AO （O 为坐标原点）交l 于B 点，直线BF 交抛物线C 于D 、E 两点，M 为线段DE 中点． （1）若5AF =，求直线BF 的方程；（2）试问直线AM 的斜率是否为定值，若是，求出该值；若不是，说明理由．【答案】（1）210x y --=（2）是，定值0 【解析】【分析】（1）由AF =5及抛物线定义得A 点横坐标为4，求出直线 OA 的方程，进而求得(1,1)B --，利用点斜式方程即可得到直线B F 的方程；（2）由已知直线OA 的斜率存在，设直线OA 的方程为y kx =，与准线1x =-联立 解得(1,)B k --；由M 为线段DE 中点，得M 坐标为284(1,)k k+，将直线OA 的方程与抛物线方程联立可得244(,)A k k，计算直线AM 的斜率即可得到答案. 【详解】（1）抛物线C ：24y x =的准线为1x =-，C 的焦点为(1,0)F ， 由5AF =及抛物线定义得A 点横坐标为4，由A 点位于第一象限内且在抛物线C ：24y x =上得A 点坐标为(4,4)， 于是OA k =1，则直线OA 的方程为y x =，与准线1x =-联立解得(1,1)B --， 因此BF k =12，所以直线B F 的方程为1122y x =-，即210x y --=. （2）由已知直线OA 的斜率存在，设直线OA 的方程为y kx =，与准线1x =-联立 解得(1,)B k --，于是2BF kk =， 由已知0k >，故设直线BF 的方程为21x y k =+，与24y x =联立并消去x 得， 2840y y k--=，其中264160k ∆=+>. 设1122(,),,D x y E x y （），则128y y k+=，则212162x x k +=+ ， 由于M 为线段DE 中点，于是M 点坐标为284(1,)k k+， 直线OA 的方程0y kx k =>（），与24y x =联立解得244(,)A k k， 所以直线AM 的斜率为0，综上可知直线AM 的斜率为定值0.【点睛】本题考查直线方程的求解、直线与抛物线中的定值问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是通过坐标法思想，将点的坐标及斜率转化成用变量k 表示.21.已知函数()ln af x x x=+，其中a R ∈．（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =，试证明：()e cos x xf x x+<．【答案】（1）()f x 在区间()0,a 上为减函数；()f x 在区间(),a +∞上为增函数．（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导得2()x af x x-'=，再对a 分成0a ≤和0a >两种情况讨论，从而得到函数的单调性；（2）将不等式等价于ln 1e cos x x x x +<+，再对x 分成01x <≤和1x >两种情况讨论. 【详解】（1）由 221()a x af x x x x-'=-=(0)x > 知： （i ）若0a ≤，2()0(0)x af x x x -'=>>，∴ ()f x 在区间()0,∞+上为增函数． （ii ）若0a >，∴当x ∈()0,a 时，有()0f x '<，∴ ()f x 在区间()0,a 上为减函数． 当x ∈(),a +∞时，有()0f x '>，∴ ()f x 在区间(),a +∞上为增函数． 综上：当0a ≤时，()f x 在区间()0,∞+上为增函数；当0a >时，()f x 在区间()0,a 上为减函数；()f x 在区间(),a +∞上为增函数． （2）若1a =，则1()ln (0)f x x x x=+> 要证e cos ()xxf x x+<，只需证ln 1e cos x x x x +<+， 即证：ln e cos 1x x x x <+-.（i ）当01x <≤时，ln 0x x ≤，而e cos 11cos11cos10x x +->+-=> ∴此时ln <e cos 1x x x x +-成立.（ii ）当1x >时，令()e cos ln 1x g x x x x =+--，()0,x ∈+∞， ∵ ()e sin ln 1x g x x x '=---，设()()e sin ln 1x h x g x x x '==---，则 1()e cos xh x x x'=--1x >，∴1()e cos e 110x h x x x'=-->-->∴当1x >时，()h x 单调递增，∴()(1)e sin110h x h >=-->，即()0g x '> ∴()g x 在()1,+∞单调递增，∴()(1)e cos110g x g >=+-> 即()e cos ln 10x g x x x x =+-->，即ln <e cos 1x x x x +-，∴e cos ()<x xf x x+ 综上：当0x >时，有e cos ()<x xf x x+成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题.请考生在第22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22.在平面直角坐标系中xOy ，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的πcos 14θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为：()2cos sin ,cos sin ,x y αααα⎧=+⎨=-⎩（α为参数），A ，B 为直线l 上距离为2的两动点，点P 为曲线C 上的动点且不在直线l 上．（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程．（2）求PAB △面积的最大值．【答案】（1）直线l 的直角坐标方程为10x y +-=,曲线C 的普通方程为22182x y +=（2【解析】 【分析】（1）直线l 的极坐标方程cos()14πθ-=利用两角差的余弦公式展开，再利用公式cos ,sin x y ρθρθ==，将方程化成普通方程形式；对曲线C 的参数α进行消参，从而得到普通方程；（2）设点P (2cos 2sin ,cos sin )αααα+-，将点到直线的距离转化为三角函数的值域问题. 【详解】（1）直线lcos()14πθ-=化成cos sin 1ρθρθ+=，cos ,sin x y ρθρθ==，∴直线l 的直角坐标方程为10x y +-=， 曲线C 的参数方程化成：cos sin ,(2cos sin xy ααααα⎧=+⎪⎨⎪=-⎩为参数）. 平方相加得2224x y +=，即22182x y+= （2）设点P (2cos 2sin ,cos sin )αααα+-，则P 到直线l 的距离为：d==，当sin()1αϕ+=-时，max 2d =设PAB ∆的面积为S，则max 12S AB =⨯⨯=【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程的互化、利用三角函数的值域求点到直线距离的最大值，考查转化与化归思想的运用，考查运算求解能力. 23.已知函数()2f x x t =+，若()1f x <的解集为()1,0-．（1）求t 并解不等式()2f x x >+；（2）已知：,a b R +∈，若()222f x a b x ≥+--对一切实数都成立，求证：21a b ≤．【答案】（1）1t =，不等式解集为(,1)(1,)-∞-+∞（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集，可得1t =，再利用分类讨论求解绝对值不等式；（2）由21222x x a b ++-≥+对一切实数x 恒成立，即min 2(2122)a b x x +≤++- 将问题转化为证明23()13a ab a b ++≤≤成立. 【详解】（1）由()1f x <可得：121x t -<+<，即1122t tx +--<<， 解集为(1,0)-，所以1t =.当21x ≥-时，不等式()2f x x >+化成212x x +>+，解得：1x > 当21x <-时，不等式()2f x x >+化成212x x -->+，解得：1x <-综上所述，解集为(,1)(1,)-∞-+∞…（2）由题意得21222x x a b ++-≥+对一切实数x 恒成立， 从而min 2(2122)a b x x +≤++-，2122(21)(22)3x x x x ++-≥+--=，2122x x ∴++-的最小值为3.∴23a b +≤，又,a b R +∈，∴23()13a ab a b ++≤≤. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、不等式的证明，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。

2020届福建省南平市高三上学期第一次综合质量检查数学（理）试题一、单选题1．设集合{}230A x x x =-<，{}2log 0B x x =>，则A B =（ ）A ．{}3|1x x <<B ．{}|02x x <<C ．{}|03x x <<D ．{}1|0x x <<2．在复平面内，复数()212i1i -+对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知命题p ：x R ∀∈，sin cos 2x x +<．则p ⌝为（ ） A ．0x R ∃∈，00sin cos 2x x +> B ．x R ∀∈，sin cos 2x x +≥ C ．x R ∀∈，sin cos 2x x +>D ．0x R ∃∈，00sin cos 2x x +≥4．下列函数中，既是奇函数又在()0,∞+单调递减的函数是（ ） A ．22x x y -=- B ．tan y x x = C ．sin y x x =- D ．12y x x=- 5．已知函数()2sin 1xf x x x =⋅+，则函数()y f x =的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．6．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ，2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，组成坐标平面上的n 个点()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中到原点距离小于1的点有m 个，用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ） A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn7．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．88．已知非零向量a ，b 满足，()()44a b a b +⊥-，22a a b =⋅，则向量a ，b 的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π39．设抛物线C ：24x y =焦点为F ，直线2y kx =+与C 交于A ，B 两点，且25AF BF ⋅=，则k 的值为（ ）A ．2±B ．1-C ．±1D ．2-10．已知函数()221tan 2sin cos 1tan xf x x x x-=-+给出下列三个结论： ①函数()f x 的最小正周期是π； ②函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；③函数()f x 的图像关于点π,08⎛⎫-⎪⎝⎭对称. 其中正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．311．设数列{}n a 满足()121n n a a n +-=+，12a =，则数列(){}1nna -⋅的前200项和是（ ） A ．20100B ．20200C ．40200D ．4040012．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1AA ，BC 的中点，点M 在棱11B C 上，11114B M BC =，若平面FEM 交11A B 于点N ，四棱锥11N BDD B -的五个顶点都在球O 的球面上，则球O 半径为（ ）A ．3B ．2C ．D二、填空题13．函数()ln f x x x =的单调减区间是______．14．将5名志愿者分派到2个不同社区参加公益活动，要求每个社区至少安排2人参加活动，则不同的分派方案共有________种；（用数字作答）15．设{}n a 是公差不为零的等差数列，4a 是2a 与8a 的等比中项，3720a a +=，则n a =________；16．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，若双曲线上存在点P 满足2122PF PF a⋅=-，则双曲线离心率的取值范围为________． 三、解答题17．锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设()222tan ab c C +-=．（1）求C ；（2）若3sin 4sin A B =，且ABC 的面积为ABC 的周长．18．如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SBD ⊥平面ABCD ，AB AD ==2CB CD ==，120BCD ∠=︒．（1）求证：AC SB ⊥；（2）若M 为线段BD 上的一点，14BD BD =，SM =，SM BD ⊥，求平面ABS 与平面BCS 所成锐二面角的余弦值．19．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长是离心率的两倍，直线l ：4430x y -+=交C 于A ，B 两点，且AB 的中点横坐标为12-． （1）求椭圆C 的方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，O 为坐标原点，且满足2234OMON +=，求证：OM ，ON 斜率的平方之积是定值．20．已知函数()()ln x af x a R x+=∈，()e 1x g x =-． （1）求()f x 的单调区间；（2）若()()g x f x ≥在()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围．21．某购物商场分别推出支付宝和微信“扫码支付”购物活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用“扫码支付”．现统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表所示：（1）根据散点图判断，在推广期内，扫码支付的人y 次关于活动推出天数x 的回归方程适合用x y c d =⋅来表示，求出该回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（2）推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表：商场规定：使用现金支付的顾客无优惠，使用会员卡支付的顾客享受8折优惠，扫码支付的顾客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的顾客，享受7折优惠的概率为16，享受8折优惠的概率为13，享受9折优惠的概率为12．现有一名顾客购买了a 元的商品，根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用是多少？参考数据：设lg i i v y =，711 1.527i i v v ==≈∑，7149.56i i i x v =⋅≈∑，0.5210 3.31≈参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+⋅的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni i i ni i u v nuvu nuβ==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．22．在平面直角坐标系中xOy ，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l πcos 14θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为：()2cos sin ,cos sin ,x y αααα⎧=+⎨=-⎩（α为参数），A ，B 为直线l 上距离为2的两动点，点P 为曲线C 上的动点且不在直线l 上．（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程． （2）求PAB △面积的最大值．23．已知函数()2f x x t =+，若()1f x <的解集为()1,0-．（1）求t 并解不等式()2f x x >+；（2）已知：,a b R +∈，若()222f x a b x ≥+--对一切实数都成立，求证：21a b ≤．2020届福建省南平市高三上学期第一次综合质量检查数学（理）试题一、单选题 【答案】A【解析】解不等式化简集合,A B ，再进行交集运算，即可得答案. 【详解】因为2{30}{|03}A x x x x x =-<=<<，{}2{log 0}1B x x x x =>=， 所以{|13}A B x x ⋂=<<. 故选：A 【点睛】本题考查一元二次不等式、对数不等式的求解、集合交运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 2．【答案】C【解析】对复数进行四则运算并化简成z a bi =+的形式，从而得到得复数对应点所在象限. 【详解】 因为复数()212i12i 1221i ii --==--+， 所以复数对应的点在第三象限. 故选：C 【点睛】本题考查复数的四则运算、复数的几何意义，考查对概念的理解与应用，属于基础题. 3． 【答案】D【解析】全称命题的否定为特称命题，任意改成存在，结论进行否定即可得到答案. 【详解】因为p ：x R ∀∈，sin cos 2x x +<， 所以p ⌝：0x R ∃∈，00sin cos 2x x +≥. 故选：D。

1 南平市2019-2020学年高中毕业班第一次综合质量检测理科数学试题答案及评分参考说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．（1）A （2）C （3）D （4）D （5）C （6）C（7）B （8） B （9）A （10）B （11）B （12）A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．（13）1(0,)e（14） 20 （15）2n （16）)+∞三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）解：（1）由已知及余弦定理可得：sin 2cos 2sin cos C ab C ab C C ⋅==，···················2分∴sin 2C = ∵ABC △为锐角三角形，∴3C π=···················5分 （2）由正弦定理，可得34a b =，·················6分∵1sin =24ABC S ab C ab ==△，∴12ab =， ·················8分 解得4,3a b ==，·················9分 由余弦定理得2222cos 1691213c a b ab C =+-=+-=，c ∴=ABC △的周长为7+.·················12分。