浙大高等代数

浙 江 大 学

二〇〇〇年攻读硕士研究生入学考试试题

考试科目：高等代数

一、（20分）()f x 是数域P 上的不可约多项式

（1）()[]g x P x ∈，且与()f x 有一个公共复根，证明()|()f x g x ； （2）若c 及1

c

都是()f x 的根，b 是()f x 的任一根，证明1

b

也是()f x 的根.

二、（10分）计算行列式2100001

21000

0001210

1

2

n D =

.

三、（20分）

（1） A 是正定阵，

C

是实对称矩阵，证明：存在可逆矩阵P 使得

1

1

,P

AP P C P

--同时为对角形；

（2） A 是正定阵，B 是实矩阵，而A B 是实对称的，证明：A B 正定的充

要条件是B 的特征值全大于0. 四、（20分）设n 维线性空间V 的线性变换A 有n 个互异的特征值，线性变换B 与

A 可交换的充要条件是

B 是2

1

,,,,n E A A A

- 的线性组合，其中E 为恒等变换.

五、（10分）证明：n 阶幂零指数为1n -的矩阵都相似.

（若10n A -=，20n A -≠而称A 的幂零指数为1n -）

六、（20分）设,A B 是n 维欧氏空间V 的线性变换。对任意,V αβ∈，都有

((),)(,())

A B αβαβ=。证明：A 的核等于B 的值域的正交补.

浙 江 大 学

二〇〇二年攻读硕士研究生入学考试试题

考试科目：高等代数

一、（12分）设两个多项式()f x 和()g x 不全为零。求证：对于任意的正整数n ，有

((),())((),())n

n

n

f x

g x f x g x =。

二、（12分）设1

2,(0,1,2,)k k

k n n

S k x

x x

=

+

++

= ；2(,1,2,,)ij i j a S i j n +-== 。

计算行列式：

11121212221

2

n n n n nn

a a a a a a a a a

三、（12分）设,A B 是n 级矩阵，且A B AB +=。求证：AB BA =。

四、（12分）设A 是m n ⨯级阵，A 的秩为m ，B 是()n n m ⨯-级矩阵，B 的秩为n m -，且AB η=。这里n 维列向量η是齐次线性方程组0A X =的解，求证：存在唯一的n m -维列向量ξ，使得B ξη=。

五、（11分）求1123212(,,),(,)V L V L αααββ==的和与交的基与维数。其中

12

3

(1,2,1,2)

(3,1,1,1)(1,0,1,1)

ααα=--⎧⎪

=⎨⎪=--⎩，11(2,5,6,5)(1,2,7,3)ββ=--⎧⎨=--⎩ 六、（20分）用正交线性替换化下面的实二次型为标准型，并写出所用的正交线性替换。

123

41

2

13

1423

2

4(,,,)222222f x x x x x x x x x x x x x x x x

=+--++ 七、（8分）设,A B 是n 级复矩阵，且AB BA =。求证：存在一个n 级可逆矩阵P ，使得1P AP

-与1P BP -都是上三角矩阵。

八、（7分）设,A B 是n 级复矩阵，其中A 是幂零矩阵（即存在正整数m ，使得0m

A =）

而且AB BA =，求证：A B B +=。

九、（6分）设σ是n 维线性空间V 的线性变换，σ在V 的某组基下的矩阵是A ，用K er σ表

示σ的核，()V σ表示σ的值域。求证：秩(2

A )=秩(A )的充要条件是()V V Ker σσ=⊕

浙江大学2003年研究生高等代数试题

1．（20分）令12,,,s ααα 是n R 中s 个线性无关的向量。证明：存在含n 个未知量的齐次线性方程组，使得12{,,,}s ααα 是它的一个基础解系。 2．（20分）设有分块矩阵A B C

D ⎛⎫

⎪⎝⎭

，其中,A D 都可逆，试证：

（1）

1

det()det A B A B D C D

C

D

-=-；

（2）1111111()()A BD C A A B C A B D C A --------=--。

3．（20分）设V 是数域P 上n 维线性空间，1234

,,,V αααα∈，1234(,,,)W L αααα=，又有12,W

ββ∈且12,ββ线性无关。求证：可用12,ββ替换

1234,,,αααα中的两个向量12,i i αα，使得剩下的两个向量34,i i αα与12,ββ仍然生成

子空间W ，也即1234(,,,)i i W L ββαα=。

4．（20分）设A 为n 阶复矩阵，若存在正整数n 使得0n A =，则称A 为幂零矩阵。求证：

（1）A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为零；

（2）设A 不可逆，也不是幂零矩阵，那么存在n 阶可逆矩阵P ，使得

1

00B P

A P C -⎛⎫

=

⎪⎝⎭

，其中是B 幂零矩阵，C 是可逆矩阵。

5．（20分）已知实对称矩阵4

222

4222

4A ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝

⎭

，求正交矩阵P 使得T P AP 成为对角矩阵。

6．（20分）设V 是n 维欧氏空间，内积记为(,)αβ，又设T 是V 的一个正交变换，记12{|},{|}V V T V T V αααααα=∈==-∈。 证明：（1）12,V V 都是V 的子空间；（2）12V V V =⊕。

7．（10分）设()f x 是一个整系数多项式。证明：若存在一个偶数a 及一个奇数b ，使得()f a 与()f b 都是奇数，则()f x 没有整数根。

8．（10分）1V ，2V 是n 维欧氏空间V 的子空间，且1V 的维数小于2V 的维数，证明：2V 中必有一个非零向量正交于1V 中的一切向量。

9．（10分）设()ij n n A a ⨯=是可逆的对称实矩阵。证明：二次型的矩阵