下载文档原格式
弹性力学重点复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
一、选择题1. 下列材料中，（ D ）属于各向同性材料。
A. 竹材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。
2 关于弹性力学的正确认识是（A ）。
A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，与材料力学不同，不需要对问题作假设；C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。
3. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（ B ）。
A. 任务；B. 研究对象；C. 研究方法；D. 基本假设。
4. 所谓“完全弹性体”是指（ A ）。
A. 材料应力应变关系满足胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 应力应变关系满足线性弹性关系。
5. 所谓“应力状态”是指（ B ）。
A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。
6. 变形协调方程说明（ B ）。
A. 几何方程是根据运动学关系确定的，因此对于弹性体的变形描述是不正确的；B. 微分单元体的变形必须受到变形协调条件的约束；C. 变形协调方程是保证所有弹性体变形协调条件的必要和充分条件；D. 变形是由应变分量和转动分量共同组成的。
7. 下列关于弹性力学基本方程描述正确的是（ A ）。
A. 几何方程适用小变形条件；B. 物理方程与材料性质无关；C. 平衡微分方程是确定弹性体平衡的唯一条件；D. 变形协调方程是确定弹性体位移单值连续的唯一条件；8、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，最后需结合（ B ）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。
A ．几何方程B ．边界条件C ．数值方法D ．附加假定9、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程具有下列关系 （ B ）。
得分概念题（本大题25分）1. 试分别说明应变张量中e 11、e 12及ii e θ=的几何意义。
542. 已知一般平面位移波的表达式为()(),t f ct =⋅-u x x n d ，试讨论n 和d 的物理意义；纵波和横波中n 与d 之间有什么关系？3. 如图所示的具有自由界面的弹性半空间体，已知势函数分别为φ、ψ，试以势函数φ和ψ表达二维平面运动问题的应力边界条件。
提示：()2,3,3,2e e αβαβαβαγγββγγατλφδμφμψψ=∇+++4. 已知非均匀平面简谐波的位移表达式为()(),e e i t t A ω'⋅-''-⋅=k x k x u x d ，试指出其等振幅面和等位相面。
5. Rayleigh 面波有哪些特点？ 199二、证明题（本大题20分）1. 若应力张量场为ij ij p τδ=-，其中()123,,p p x x x =。
试证此时运动微分方程x 1得分为：p ρρ-∇+= f u4-182. 设一弹性体处于平面应力情形，其内的应力张量场为：()()()()()1112121212122212,,0,,0000ij x x x x x x x x τττττ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）试推导出此种情形的平衡方程（2）如果21122x φτ∂=∂，22221x φτ∂=∂，21212x x φτ∂=-∂∂；其中()12,x x φ是个标量函数。
试证明此应力分量恒满足体力为零的平衡方程4-19 三、计算题（本大题55分）1.（10分）设弹性体只在坐标面ox 1x 2平面内发生变形，即e 33=e 13=e 23=0。
在该平面内，现在测量得过点P 与ox 1成30°、90°、150°方向的正应变分别为a 、b 和c 。
试求该点处的e 11、e 22和e 12。
3-12.（10分）如图所示一完全淹没于水中的梯形截面坝体，设水的密度为ρ。
弹性力学2005 期末考试复习资料一、简答题1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。
应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。
平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。
应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。
反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。
应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。
2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明。
答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。
位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。
应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。
混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。
3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。
如何确定它们的正负号？答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：σx、σy、σz、τxy、τyz、、τzx。
正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。
4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例说明。
答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定：（1）假定物体是连续的。
（2）假定物体是完全弹性的。
（3）假定物体是均匀的。
（4）假定物体是各向同性的。
§1.1 指标记号及两个符号单位基向量：今后会遇到的应变张量ij e 、应力张量ij τ 等。
112233i i x x x x =++=x e e e e （2）有某个指标重复出现一次且仅一次 就表示对该指标在其取值范围内取一切值，并对所得到的对应项求和。
该求和指标也称为哑标。
另一指标i 不参与求和约定，称其为自由指标。
自由指标的个数决定了简写方程代表实际方程的个数，哑标的个数决定了该项所代表的实际求和项的项数。
二、两个符号1、Kronecker 符号ij δ1,0,ij i j i j δ=⎧=⎨≠⎩ 为：()100010001ij δ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ Kronecker 符号的特点：（1） ij ji δδ= (2) i j ij δ=e e (3) 1122333ii δδδδ=++= (4) j ij i a a δ=(5) kj ik ij A A δ=6) ik kj ij δδδ= 例4：向量i i a =a e 和i i b =b e ，有：()i i i a b ±=±a b e 注意：±可作为求和约定中“同一项”的分隔符 i i j j i j i j i j ij i i a b a b a b a b δ====a b e e e e 注意：点乘(包括叉乘符号)符号不能作为“同一项”的分隔符，所以此例中将向量b 的下标换成了j 。
2i j ij i i a a a a a δ===a a 2、排列符号（置换符号）：112311230ijk ijk e ijk ijk ⎧⎪=-⎨⎪⎩为的顺时针排列为的逆时针排列取值有重复时§1.2 坐标变换旧系：123ox x x ，单位基向量：i e 新系：123ox x x ，单位基向量：i e 坐标变换系数：()cos ,ij i j i j β==e e e e新旧坐标系下的单位基向量坐标变换规律：,i ij j i ji j ββ==e e e e 新旧坐标系下的空间点坐标变换规律：,i ij j i ji j x x x x ββ==1 23向量f ，在旧系下的分量i f ，新系下的分量为i f ，其坐标变换规律为： ,i ij j i ji j f x f f ββ==向量的解析定义：若有3个量，它们在123ox x x 和123ox x x 的分量分别为i f 和i f ，当两个坐标系之间的变换系数为ij β时，i f 与i f 之间按式,i ij j i ji j f x f f ββ==变换，则这3个量有序整体形成一个向量f ，此3个量为向量f 的分量。
1．什么是弹性体?当一个物体受到外力作用，在它的内部质点间发生位置的相对变化，从而使其形状改变，当外力作用取消后，物体的应力、应变状态立刻消失，并恢复原有的形状。
这类物体称为弹性体。
2．物体在什么条件下表现为弹性性质，在什么条件下表现为塑性性质?在外力作用较小，作用时间较短情况下，大多数物体包括岩石在内，表现为弹性体性质。
外力作用大，作用时间长的情况下，物体会表现为塑性体性质。
3．弹性动力学的基本假设有哪些?（1）介质是连续的（2）物体是线性弹性的（3）介质是均匀的（4）物体是各向同性的（5）物体的位移和应变都是微小的（6）物体无初应力4．什么是弹性动力学中的理想介质?理想介质：连续的、均匀的、各向同性的线性完全弹性介质。
3．什么是正应变、切应变、相对体变?写出它们的位移表达式。
答：正应变是弹性体沿坐标方向的相对伸缩量。
切应变表示弹性体扭转或体积元侧面角错动。
相对体变表示弹性体体积的相对变化。
4．什么是旋转角位移?写出它与(线)位移的关系式。
旋转角位移为体积元侧面积对角线的转动角度。
5．试解释应变张量和旋转张量中各分量的物理含义。
zz yy xx e e e ,,分别表示弹性体沿x 、y 、z 方向的相对伸长量； zx yz xy e e e ,,分别表示平行于坐标面xoy 、yoz 和xoz 的侧面积的角错动量。
z y x ωωω、、分别表示与坐标面yoz 、xoz 和xoy 平行的侧面积对角线围绕x 、y 和z 轴的旋转角。
11．设弹性体内的位移场为j y x i y x s ρρρ)()(2211αδδα+++=，其中2121,,,δδαα都是与1相比很小的数，试求应变张量、转动角位移矢量及体积膨胀率(相对体变)。
解：j y x i y x s ρρρ)()(2211αδδα+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂==∂∂+∂∂=+=∂∂+∂∂==∂∂==∂∂==∂∂=00 2121z u x w e y w z v e x v y u e zw e y v e x u e zx yz xy zz yy xx δδαα 应变张量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=0 0 0 0 021211δδδδαε 体积膨胀率21ααθ+=∂∂+∂∂+∂∂=++=zwy v x u e e e zz yy xx 12．已知弹性体内的位移场为j x x k i y y k s ρρρ)()(00---=，其中00,,y x k 为已知常数，试求应变张量和旋转张量，并阐述此结果反映什么物理现象。
解：j x x k i y y k s ρρρ)()(00---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==∂∂==∂∂==∂∂=00 000 z u x w e y w z v e x v y u e zw e y v e x u e zx yz xy zz yy xx 应变张量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0 0 00 0 00 00ε体积膨胀率0=∂∂+∂∂+∂∂=++=zw y v x u e e e zz yy xx θ 反映了该弹性体没有发生体积及形状的变化，只是绕z 轴旋转了一个角度。
6．什么是应力、正应力、切应力、应力张量?答：作用于单位截面积上的内力，称为应力。
应力作用方向与作用截面垂直，称为正应力；应力作用方向在作用截面上，称为切应力。
三个相互正交的坐标面上应力矢量共同构成了应力张量。
记为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz yz xz zy yy xy zx yx xx T στττστττσ 。
14. 已知弹性体内一点P 处的应力张量由矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=402050207T 给出。
试求过点P 外法线方向为u=2i-2j+k 的面元上的应力矢量n p 。
解： 外法线单位矢量为k j i kj i n ρρρρρρρ31323212222222+-=+++-=由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n m l P P P zz yz xz zy yy xy zx yx xx nz ny nx στττστττσ得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡31 3232 402050207nz ny nx P P P 得 4312320327=⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯=nx P则：j i P n ρρρ3104-= 9244910016=+=n P ρ 8. 杨氏模量、泊松比、剪切模量、体变模量各表示了什么物理含义?答：（1）杨氏模量E ，是正应力与正应变的比例系数；（2）切变模量μ，是切应力与切应变的比例系数；（3）拉梅系数λ，μ，反映正应力与正应变的比例系数的另一种形式；（4）压缩模量或体变模量K ，表示单元体在胀缩应变状态下，相对体变与周围压力间的比例系数；（5）泊松比ν，表示物体横向应变与纵向应变的比例系数，故也称横向形变系数。
19. 已知一各向同性线性弹性体的弹性模量为：杨氏模量E=210Gpa ，泊松比为0.28；其中一点处的应变分量为0,8,2,3,==-==-==xy zz zx yz yy xx e e a e a e a e a e ，其中a=410-，试求拉梅常数μλ,，并写出该点上的应力张量。
解：GPa E 176183755632.08.58)56.01)(28.01(28.0210)21)(1(==-+⨯=-+=υυυλ体应变a e e e zz yy xx 2-=++=θ 则由应力应变关系1．已知一弹性介质内MPa 510==μλ，位移场为→→→→++=k w j v i u S ,其中⎪⎩⎪⎨⎧-===xy z w xz v xy u 222试求点P(0,2,-4)处的应变张量、转动向量、体应变以及该点处的应力分量。
解：由题可知在P(0,2,-4)点则应变张量为8 4 -24 0 02 0 8ij e -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭或⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=4 0 100 21 2 8ij e 由转动向量体应变()8080xx yy zz e e e θ=++=++-=由应力应变关系有20. 将ij ij z y x p δτ),,(-=代入用下标记号表示的运动微分方程i i j ji u F ..,ρρτ=+中，化为矢量方程，并用梯度算子表示。
解：由ij ij z y x p δτ),,(-=可知⎪⎭⎪⎬⎫-=-=-= p p p zz yy xx σσσ ⎪⎭⎪⎬⎫===000xy yzzx τττ代入运动微分方程⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂222222t w F z y x t v F z y x t u F z y x z zz yz xz y zy yy xy x zx yx xx ρρσττρρτστρρττσ得：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂=+∂∂-∂∂=+∂∂-∂∂=+∂∂-222222t w F x p t v F x p t u F x p z y x ρρρρρρ将各式分别乘以单位向量→→→k j i 、、，相加，得：22tSF p ∂∂=+∇-→→ρρ第三章复习思考题3．写出纵波和横波速度的表达式，分析它们之间的大小关系。
由于210<<υ，因此1>γ，即S P v v >，可见纵波速度大于横波速度。
4．什么叫泊松体?泊松体的拉梅常数、纵横波速度、泊松比各有什么特点? 答：41=υ，或者μλ=，具有这种性质的物体称为泊松体。
对泊松体而言，73.1=γ。
14．已知某弹性介质中的P 波速度为3600m ／s ，S 波速度1950m ／s ，求该介质的泊松比。
解：13241950360021)1(22==--=+==υυμμλγS P v v 15．已知弹性介质中杨氏模量为E ，泊松比为ν，求介质的P 波速度和S 波速度。
解：)21)(1()1(22υυρυρμλρμλ-+-=+=+=E v P 6．简述地震波在弹性介质中传播的基本规律。
答：惠更斯（Huygens ）原理：任意时刻波前面上的每一点都可以看作是一个新的波源（子波源），由它产生二次扰动，形成新的波前，而以后的波前位置可以认为是该时刻子波前的包络线。
由波前面各点所形成的新扰动（二次扰动）在观测点上相互干涉叠加，其叠加结果是在该点观测到的总扰动。
斯奈尔（Snell ）定律：反射波满足反射定律，而透射波满足折射定律（地震学中称透射定律），地震波也遵循这个规律，统称为斯奈尔定律。
在界面上，入射波、反射波和透射波的iiv p θsin = 值相等，称p 为射线参数。
7．写出周期、频率、波长、波数、速度各量之间的关系式。
10．简述非均匀波的主要特点。
答：非均匀波的振幅在空间是变化的，随着空间坐标在变化。
不均匀平面波其等相位面与等振幅面互相垂直。
16．已知介质1的P 波速度为s m v /20001=，介质2的P 波速度为123v v =，有一平面简谐P 波以入射角ο30=θ自介质1入射到两介质的分界面上，已知入射波的振幅为i A ，频率为30Hz ，反射P 波和透射P 波的振幅分别为r A 和t A ，试写出这三个波的波函数表达式。
解：临界角33sin 21==v v i ，入射角ο30=θ小于临界角。
反射角等于入射角，根据透射定律21sin sin v v ='θθ，透射角ο60='θ。
平面简谐波函数)cos sin (),,,(vz x t j Ae t z y x f θθω--=，x 轴向右，z 轴向下入射波：)400034000(60),,,(z x t j i eA t z y x f --=π反射波：)400034000(60),,,(z x t j r e A t z y x f +-=π 透射波：)340004000(60),,,(z x t j t eA t z y x f --=π17．已知一简谐P 波的波函数为)08.006.0360(z x t j Ae -+=ϕ，试求以下问题： (1)设x 轴向右，z 轴向下，请用一经过原点的射线画出此波的传播方向，并标明角度。
(2)这个波的圆频率和圆波数各是多少?在x 方向和z 方向上的视波数各是多少? 圆频率Hz 360=ω在x 方向和z 方向上的视波数 08.0 06.0=-=z x k k 圆波数1.036003602====vk ωλπ或者)/1(1.022m k k k z x=+= (3)这个波的真实传播速度、在x 方向和z 方向上的视速度各是多少? 解：)36008.036006.0(360)08.006.0360(z x t j z x t j AeAe-+-+==ϕ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-v vααcos 36008.0sin 36006.0 求解得波的真实传播速度：s m v /3600= 在x 方向和z 方向上的视速度s m C x /6000-=、s m C z /4500 = 11．球面波、柱面波与平面波的本质区别在哪里?试解释球面扩散因子和柱面波扩散因子的物理含义。
