双广义gamma函数和对数正态分布函数的关系

基于GAMLSS模型的水文系列非平稳性研究高洁【摘要】针对水文气象时间序列的非平稳性现象,为了定量分析非平稳序列的时变特征,基于GAMLSS模型原理,根据水文时间序列参数模型和半参数模型模拟方案,采用美国Little Sugar Creek研究案例的83年洪峰流量时间系列,分析了GAMLSS模型研究水文系列非平稳性的方法和流程.基于GAMLSS模拟,该流域内2006年10年一遇洪峰流量,相当于1999年20年重现期洪峰,接近于1989年100年一遇洪峰量级.GAMLSS模拟结果揭示了近年来由于气候变化、城市化进程等影响,极端事件出现频率.研究成果表明GAMLSS模型可定量有效的分析变化环境对水文频率设计值和工程设计的影响.【期刊名称】《水力发电》【年(卷),期】2019(045)007【总页数】6页(P1-6)【关键词】水文系列;非平稳;研究;GAMLSS【作者】高洁【作者单位】水电水利规划设计总院,北京100120【正文语种】中文【中图分类】P3331 研究背景水文系列的平稳性是工程设计中频率计算、抽样统计的基础。

在工程实践中尤其重视水文系列的三性检验，要求满足可靠性、一致性和代表性。

当气候变化、人类活动等多种因素影响系列的一致性时，通常进行还原计算，以保证采用平稳序列进行频率适线。

但是，随着人类活动加剧，众多江河水文情势发生显著变化，水文极端事件频发[1]；区域性的非平稳序列广泛存在，非一致性问题并非个案，流域水文律情的“一致性”背景已不复存在。

现有的基于平稳序列的工程水文分析计算方法将面临变化环境带来的设计频率失真风险[2]。

在普遍非平稳的环境中，需要采用针对非平稳序列的统计模型和计算流程[2]。

针对非平稳序列统计参数的时变特征，Strupczewski等[3- 5]通过对时变一阶矩、二阶矩采用极大似然法、加权最小二乘法进行参数估计；并基于AIC准则优选模型的原理和方法，以波兰河流洪峰流量系列为例，在Mann-Kendall趋势检验的基础上，分析序列平稳性及统计参数变化趋势。

gamma函数及相关其分布gamma函数的定义及重要性质\[\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt\]\[\Gamma(x+1) = x \Gamma(x)\]\[\Gamma(n) = (n-1)! \]\[\Gamma(0) = 1\]\[\Gamma({1\over 2}) = 2\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du = \sqrt\pi\]gamma函数的图像在matlib中，我们可以⽅便的⽤下⾯的代码画出gamma函数的图像。

x = -10:0.001:10;plot(x,gamma(x));axis([-10.1,10.1,-4,4]);随机变量\(Y=X^2\)的概率密度假设随机变量\(X\)具有概率密度\(f_X(x),-\infty<x<\infty\),求\(Y=X^2\)的概率密度。

\begin{align*}F_Y(y) &=P(Y\leq y)=P(X^2 \leq y) \\&=P(-\sqrt{y} \leq x \leq \sqrt{y}) \\ &=F_X(\sqrt{y})-F_X{(-\sqrt{y})} \end{align*}\[f_Y(y)=\left\{\begin{aligned}\frac{1}{2\sqrt{y}}[f_X(\sqrt{y})+f_X(\sqrt{-y}], y >0, \\0, y \leq 0 \\\end{aligned}\right.\]设\(X \sim N(0,1)\)，其概率密度为\(\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^2}{2}}, -\infty<x<\infty\),则\(Y=X^2\)的概率密度如下：\[f_Y(y)=\left\{\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}y^{-1/2}e^{-y/2}, y>0, \\0, y \leq 0 \\\end{aligned}\right.\]Gamma分布\(X \sim \Gamma(\alpha, \theta)\)\[f_X(x)=\left\{\begin{aligned}\frac{1}{\theta^\alpha\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-x/\theta}, x> 0, \alpha>0,\theta>0 \\0, x \leq 0, \alpha>0,\theta>0 \\\end{aligned}\right.\]当\(\alpha= 1 , \theta = \lambda 时，\Gamma(1,\lambda)\) 就是参数为\(\lambda\)的指数分布,记为\(exp (\lambda)\) ；当\(\alpha= n/2 , \theta = 2 时，\Gamma(n/2,1/2)\)就是数理统计中常⽤的\(\chi^2(n)\) 分布。

数理统计5：指数分布的参数估计，Gamma 分布，Gamma 分布与其他分布的联系今天的主⾓是指数分布，由此导出Γ分布，同样，读者应尝试⼀边阅读，⼀边独⽴推导出本⽂的结论。

由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：指数分布的参数估计指数分布是单参数分布族，总体X ∼E (λ)有时也记作Exp(λ)，此时的总体密度函数为f (x )=λe −λx I x >0.现寻找其充分统计量，样本联合密度函数为f (x )=λn exp−λn∑j =1xj I x 1>0⋯I x n >0=λn e −n λ¯xI x(1)>0,由因⼦分解定理，取g (¯x,λ)=λn e −n λ¯x,h (x )=I x (1)>0,可以得到¯X是λ的充分统计量。

但是指数分布的参数并⾮均值，⽽是均值的倒数，所以对¯X 也有E(¯X)=E(X )=1λ.注意，千万不要想当然地认为期望和⼀般的函数之间是可交换的，即⼀般来说E[f (X )]≠f [E(X )]，所以你不能认为¯X−1就是λ的⽆偏估计量。

每到此时，我就想举对数正态分布的例⼦：X ∼N (0,σ2)，求e X 的期望。

显然有E(e X )=∫∞−∞e x1√2πσ2exp −x 22σ2d x=∫∞−∞1√2πσ2exp −x 2−2σ2x 2σ2d x=eσ22∫∞−∞1√2πσ2exp −(x −σ2)22σ2d x=e σ22.最后⼀个等号处，积分是N (σ2,σ2)的密度函数全积分为1。

这说明E(e X )=eσ22≠1=e E(X ).同样，也能告诉我们股票的波动率越⼤，期望收益也越⼤。

但是，⽤¯X −1总是有⼀定道理的，⾄少在量级上保持了跟待估参数的⼀致性。

如果我们要进⾏⽆偏调整，则需要求出¯X 的具体密度。

16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用概率分布是统计学中一个重要的概念，用于描述随机变量在各个取值上的概率分布情况。

常见的概率分布有16种，它们分别是均匀分布、伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布、正态分布、指数分布、负二项分布、超几何分布、Gumbel分布、Weibull分布、伽马分布、Beta分布、对数正态分布、卡方分布和三角分布。

以下将逐一介绍这些概率分布的概率密度函数、意义及其应用。

1. 均匀分布（Uniform Distribution）：概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，意义是在一个区间内所有的取值具有相同的概率，应用有随机数生成、模拟实验等。

2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：概率密度函数为P(x)=p^x*(1-p)^(1-x)，意义是在两种可能结果中，成功或失败的概率分布，应用有二分类问题的建模。

3. 二项分布（Binomial Distribution）：概率密度函数为P(x)=C(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x)，意义是在n次独立重复试验中，成功次数为x的概率分布，应用有二分类问题中的n次重复试验。

4. 几何分布（Geometric Distribution）：概率密度函数为P(x)=p*(1-p)^(x-1)，意义是独立重复试验中，第x次成功所需的试验次数的概率分布，应用有描述一连串同样试验中第一次获得成功之前所需的试验次数。

5. 泊松分布（Poisson Distribution）：概率密度函数为P(x)=(e^(-λ)*λ^x)/x!，意义是在给定时间或空间内事件发生的次数的概率分布，应用有描述单位时间或单位空间内的事件计数问题。

6. 正态分布（Normal Distribution）：概率密度函数为P(x) = (1 / sqrt(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，意义是描述连续变量的概率分布，应用广泛，例如测量误差、人口身高等。

gamma函数的性质
伽玛函数（Gamma函数），也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。

该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。

与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分。

可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

函数性质编辑
1、通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质：Γ(x+1)=xΓ(x)
于是很容易证明，伽马函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，对于正整数n，具有如下性质：
2、与贝塔函数的关系：
3、在概率的研究中有一个重要的分布叫做伽玛分布：
其中。

4、
这个公式称为余元公式。

由此可以推出以下重要的概率公式：
5、对于，伽马函数是严格凹函数。

6、伽马函数是亚纯函数，在复平面上，除了零和负整数点以外，它全部解析，而伽马函数在处的留数为
历史背景
1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16.....可以用通项公式n²自然的表达，即便n 为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。

直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x²通过所有的整数点(n,n²),从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。

一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,...,我们可以计算2!,3!,是否可以计算2.5!呢?我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐
标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。

广义高斯分布广义伽马分布
广义高斯分布和广义伽马分布是概率统计学中常见的概率分布。

广义高斯分布是一种连续概率分布，它的形式为：
$$
f(x;mu,sigma,beta)=frac{beta}{2sigmaGamma(frac{1}{beta})}ex pleft(-left|frac{x-mu}{sigma}right|^betaright)
$$
其中，$mu$为位置参数，$sigma$为尺度参数，$beta$为形状参数，$Gamma$为伽马函数。

广义高斯分布可以看作是普通高斯分布的推广，因为当$beta=2$时，广义高斯分布即为普通高斯分布。

广义伽马分布是一种灵活的概率分布，它的形式为：
$$
f(x;a,b,p,q)=frac{a}{b^pGamma(frac{p}{q})}left(frac{x}{b}ri ght)^{ap-1}expleft[-left(frac{x}{b}right)^qright]
$$
其中，$a$为形状参数，$b$为尺度参数，$p$为位置参数，$q$为形状参数，$Gamma$为伽马函数。

广义伽马分布可以看作是伽马分布的推广，因为当$p=q=1$时，广义伽马分布即为伽马分布。

广义高斯分布和广义伽马分布在概率统计学中有着广泛的应用，尤其是在金融和经济领域中，经常用于建模和预测股票价格、汇率和
商品价格等金融和经济变量。

R语⾔函数总结（2）统计学上分布有很多，在R中基本都有描述。

因能⼒有限，我们就挑选⼏个常⽤的、⽐较重要的简单介绍⼀下每种分布的定义，公式，以及在Ｒ中的展⽰。

统计分布每⼀种分布有四个函数：d――density（密度函数），p――分布函数，q――分位数函数，r――随机数函数。

⽐如，正态分布的这四个函数为dnorm，pnorm，qnorm，rnorm。

下⾯我们列出各分布后缀，前⾯加前缀d、p、q或r就构成函数名：norm：正态，t：t分布，f：F分布，chisq：卡⽅（包括⾮中⼼） unif：均匀，exp：指数，weibull：威布尔，gamma：伽玛，beta：贝塔 lnorm：对数正态，logis：逻辑分布，cauchy：柯西， binom：⼆项分布，geom：⼏何分布，hyper：超⼏何，nbinom：负⼆项，pois：泊松 signrank：符号秩，wilcox：秩和，tukey：学⽣化极差下⾯先列举各种分布：rnorm(n, mean=0, sd=1) ⾼斯（正态）分布rexp(n, rate=1) 指数分布rgamma(n, shape, scale=1) γ分布　rpois(n, lambda) Poisson分布rweibull(n, shape, scale=1) Weibull分布　rcauchy(n, location=0, scale=1) Cauchy分布　rbeta(n, shape1, shape2) β分布　rt(n, df) t分布　rf(n, df1, df2) F分布　rchisq(n, df) χ 2 分布rbinom(n, size, prob)⼆项分布rgeom(n, prob)⼏何分布rhyper(nn, m, n, k) 超⼏何分布rlogis(n, location=0, scale=1) logistic分布rlnorm(n, meanlog=0, sdlog=1)对数正态rnbinom(n, size, prob)负⼆项分布runif(n, min=0, max=1)均匀分布rwilcox(nn, m, n), rsignrank(nn, n) Wilcoxon分布注意了，上⾯的分布都有⼀个规律，就是所有的函数前⾯都有r开始，所以呢，如果想获得概率密度，就⽤ｄ替换ｒ如果想获取累计概率密度，就⽤ｐ替换ｒ如果想获取分位数，就⽤ｑ替换ｒ⼆项分布：即重复n次独⽴的。

双广义gamma函数和对数正态分布函数的关系双广义gamma函数和对数正态分布函数是数学中比较重要的两个函数，它们有着密切的关系。

在深入探究它们之间的关系之前，先介绍一下这两个函数的基本概念。

双广义gamma函数是一种特殊的gamma函数，其形式为：$$\Gamma(x,a,b)=\int_0^{\infty}t^{x-1}(a+bt)^{-x}dt$$其中，x是一个实数，a、b是正实数。

双广义gamma函数在许多数学分支中都有广泛的应用，其中包括复分析、概率论、数论等。

而对数正态分布函数则是一种经典的概率分布函数，它的形式为：$$f(x)=\frac{1}{x\sqrt{2\pi}\sigma}exp\left(-\frac{(lnx-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$其中，x是一个正实数，μ、σ是它的均值和标准差。

对数正态分布函数在统计学中也有着广泛的应用，特别是在金融领域和生物学领域。

它们看上去似乎毫不相关，但实际上存在着深刻的联系。

在双广义gamma函数的应用中，对数正态分布函数是其中一个基础。

具体来说，对一组样本值$x_1,x_2,...,x_n$，我们可以基于它们来计算出对数正态分布函数的参数μ和σ，进而得到对数正态分布函数的概率密度函数。

而双广义gamma函数则可以用来计算这个概率密度函数的积分，进一步得到对数正态分布函数的累积分布函数。

更进一步地说，我们可以将双广义gamma函数和对数正态分布函数的关系表示为：$$\frac{1}{b^x}\Gamma(x,a,b)=\int_0^{\infty}\frac{t^{x-1}}{(a+e^t)^x}dt$$这个等式展现了双广义gamma函数和对数正态分布函数之间的联系，它是双广义gamma函数的另一种表述形式。

这个等式可以用于分析、计算对数正态分布函数及其相关量，使得对数正态分布函数的应用得到了进一步的拓宽。

总之，双广义gamma函数和对数正态分布函数之间的联系是数学中一种重要的关系，通过它们我们可以更加深入地理解这两个函数在各自领域的应用，进一步推动相关理论和实践的发展。