广义高斯分布

一、引言正态分布是由德国著名数学家高斯首先得到的，所以也常常称为高斯分布。

正态分布在数学、物理、化学及工程中都具有非常重要的地位，尤其在统计学中有着重大的影响力。

事实上，正态分布是应用最为广泛的一种分布，它存在于人们生产生活的各个方面。

例如，同一机器生产出的大量产品的质量分布；同一年龄段人类的身高、体重分布；某一地区年降水量的分布；科学实验中测量同一物体的误差分布，理想气体的速度分布等等。

现在人们知道，正态分布是由中心极限定理保证的。

实际应用中，还存在一些其他形式的分布，例如t分布、F分布等，其实，这些分布也是由正态分布直接导出的。

正态分布可以用来估计频数分布，制定参考值范围，质量控制等等。

然而，我们知道，作为保证正态分布的中心极限定理，是以大数法则为前提的，具体地说，事件的数目越多，中心极限定理越严格，才能保证趋向于正态分布。

理论上讲，事件的数目为无穷大时，中心极限定理才严格正确，分布才是正态分布。

实际生活中，事件的数目显然不是无穷大，因此正态分布实际上并不能准确无误地表示分布规律。

在本篇文章中提出以广义正态分布代替传统正态分布，可以很有效地解决这一矛盾。

二、广义正态分布及其运算法则传统正态分布的分布函数可表示为：p（x）=12√πσe（x-μ）2σ（1）从上式可以看出，正态分布的核心是自然指数e，是自然对数的底数，是一个无限不循环小数，其值约为2.71828……，它是一个超越数。

自然指数在整个数学史上都具有非常重要的地位。

自然指数是由一个重要极限给出的。

即当n趋于无限时lim n→x（1+1/n）n=e。

以自然指数为底数的对数叫做自然对数，一般用ln表示。

自然对数的含义是在单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。

所谓广义正态分布，就是在传统的正态分布基础上，增加上一个量q，该量称为非广延参数，已经被广泛应用于物理、化学、生物、工程、经济、计算机科学等各个领域中。

它的正确性已经得到了广泛承认。

高斯函数分布当我们进行抽样调查时，高斯函数有着广泛的应用。

我们知道，高斯函数是根据数学家高斯提出来的，因此被称为高斯分布，所谓高斯函数就是随机变量服从正态分布的[gPARAGRAPH3]分布函数，这里的正态分布是指对称正态分布。

高斯函数分布在调查统计中有着广泛的应用。

高斯分布又称为正态分布，它的特点是：总体均值和方差都随机变量都取值于其平均值之上或之下的中间位置上；均值与标准差有正有负。

根据总体的分布形态，高斯分布分为四个区域：正态分布区、临界高斯分布区、两侧高斯分布区和偏态分布区。

一般认为：正态分布具有明显的均匀性。

在一项大型抽样调查中，总共可以抽选出样本容量为N(1 ≤ N≤ 100)个。

若已知大小样本各自的均值及标准差，则样本的方差、标准差、变异系数等。

如果已知大小样本的样本容量，则需要将大样本分为N(1 ≤N≤100)个子样本；将小样本分为N(1≤N≤100)个子样本。

高斯分布还可以用于推断样本容量，下面通过例子说明高斯分布的应用。

例如，在学生成绩评价方面，学生成绩的分布是呈高斯分布的，高斯曲线表明了成绩分布的一般趋势。

同时，也表示了不同成绩的人在这一成绩水平上所占比例的大致情况。

例如，我国学生成绩整体分布呈现高斯分布，高考录取控制分数线呈“倒U”型，即某一高校在某地录取的人数，在全国各地考生总数中所占的比例。

这一“倒U”型特征在区域规划中的应用也非常广泛。

在某种意义上，人口密度也可以用高斯分布描述。

如果对某地的某人按照与邻居完全相同的方式安排到所有的社区中去，那么经过很长的一段时间后，这些邻居的人数必然也会形成高斯分布，而且其分布形态与原始数据的分布形态是高度相似的。

同时，高斯曲线可以用来表示社会经济活动的一般规律。

如上所述，由于家庭规模是人口密度的函数，所以，社会经济活动中人们的交往频率以及经济活动的效率等因素也都是服从正态分布的。

当然，高斯分布也有例外，如根据古典假设的一元函数，当极限取得好的条件下，服从高斯分布，如函数y=f(x)=x^2-4x+5.x-1.当此时x趋于无穷大时，函数近似服从高斯分布。

一、概述在统计学和概率论中，高斯分布（又称正态分布）是一个非常重要且常见的概率分布。

它具有许多重要的数学性质，被广泛应用于自然科学、社会科学和工程领域。

在研究高斯分布的基础上，人们发现了两个相关的高斯分布和的分布的关系，这一关系对于深入理解高斯分布具有重要意义。

二、高斯分布的概念和特点高斯分布又称正态分布，是以数学家卡尔·费迪南德·高斯命名的概率分布。

其概率密度函数具有钟型曲线，均值为μ，标准差为σ，具有独特的对称性和稳定性。

高斯分布在统计学中具有重要应用，能够描述自然界中许多现象的分布规律，如身高、体重、温度等。

三、两个相关的高斯分布1. 独立高斯分布当两个变量X和Y的分布都是高斯分布，并且它们之间是独立的时候，它们的和Z=X+Y也是高斯分布。

具体来说，如果X服从均值为μ1，方差为σ1^2的高斯分布，Y服从均值为μ2，方差为σ2^2的高斯分布，那么Z=X+Y就服从均值为μ1+μ2，方差为σ1^2+σ2^2的高斯分布。

这个结论在实际应用中具有重要意义，例如在信号处理中，当两个信号相加时，如果信号的分布都是高斯分布，那么和信号的分布也是高斯分布，这为信号处理提供了重要的理论基础。

2. 相关高斯分布当两个变量X和Y的分布都是高斯分布，并且它们之间存在一定的相关关系时，它们的和Z=X+Y的分布不再是简单的高斯分布。

具体来说，如果X和Y之间的相关系数为ρ，均值分别为μ1和μ2，方差分别为σ1^2和σ2^2，那么Z=X+Y就服从均值为μ1+μ2，方差为σ1^2+σ2^2+2ρσ1σ2的分布。

这个结论揭示了在实际应用中，如果两个变量之间存在相关关系，它们的和的分布会受到相关系数ρ的影响，这对于数据分析和风险控制具有重要意义。

四、高斯分布和的分布的关系两个相关的高斯分布和的分布的关系是高斯分布理论中的一个重要课题。

在实际应用中，我们经常会遇到需要对多个高斯分布进行求和的情况，因此了解和的分布的特性对于概率分布的计算和应用具有重要意义。

广义逆高斯分布一、广义逆高斯分布1、定义广义逆高斯分布（Generalized Inverse Gaussian Distribution，GIG）是一种指数族的分布。

它的参数主要有三个，分别为α、β和λ，分别表示分布的形状参数、平移参数和尺度参数。

其中α和λ均为正数，β可为正负数。

它在统计学和数学里都有较广泛的应用。

2、性质（1）它的概率密度函数为：$$f(x; \alpha, \lambda, \beta) = \frac{\alpha ^{\frac{1}{\beta}} x^{-(\frac{1}{\beta}+1)}exp （-\frac{1}{2x} (\alpha x^{- \beta} + \lambda^{\beta} x^{\beta}) \）}{2K_{\frac{1}{\beta}} ( \sqrt{\alpha\lambda})\gamma( \frac{1}{\beta})}$$（2）它的期望和方差分别有：$$E[X]=\frac{\lambda}{\alpha-\beta}、 Var[X]=\frac{\lambda^2 \beta (2 \alpha \beta - \alpha - \beta ^2)}{(\alpha-\beta)^2 (\alpha -2\beta)^2}$$ （3）它在特殊情况β=0时为威布尔分布，在β=1时为指数分布。

三、应用（1）广义逆高斯分布是表示金融市场中收益率序列的一种分布，是从金融市场中抽取收益率的概率密度函数，深入分析其参数的变动对市场的影响。

（2）在风险管理领域中，由于风险价值的随机性和收益率的变动，应用广义逆高斯分布可以很好地评估其交易的风险。

（3）广义逆高斯分布也可以用于统计分析中的拟合，由于其分布有三个形状参数，因此拟合数据时比较灵活。

（4）在生物学领域中，由于很多实验和观察结果是分布服从广义逆高斯分布，应用它可以更深入地探索生物机制。

⼴义⾼斯分布（GGD）和⾮对称⼴义⾼斯分布（AGGD）《No-Reference Image Quality Assessment in the Spatial Domain》，BRISQUE。

1. ⼴义⾼斯分布，generalized Gaussian distribution，GGD1.1 描述零均值的⼴义⾼斯分布如下：其中⽽Γ(·) 是gamma函数。

形状参数γ控制分布的“形状”，⽽σ² 控制⽅差。

例如另γ = 2 就会得到零均值的⾼斯分布：⾸先记则因此就得到了⼀个⽐函数：1.2 参数估计⽅法对于零均值⼴义⾼斯分布，计算估计值：然后就有在知道了ρ(γ) 的估计值之后，就很容易通过枚举的⽅式来估计γ。

1.3 代码参考BRISQUE中给出的源代码：function [gamparam sigma] = estimateggdparam(vec)gam = 0.2:0.001:10;r_gam = (gamma(1./gam).*gamma(3./gam))./((gamma(2./gam)).^2);sigma_sq = mean((vec).^2);sigma = sqrt(sigma_sq);E = mean(abs(vec));rho = sigma_sq/E^2;[min_difference, array_position] = min(abs(rho - r_gam));gamparam = gam(array_position);2. ⾮对称⼴义⾼斯分布，asymmetric generalized Gaussian distribution，AGGD2.1 描述零均值的⾮对称⼴义⾼斯分布如下：其中形状参数α控制分布的“形状”，⽽σl2和σr2是缩放参数，它们控制模式两边的扩散程度。

当σl2 = σr2的时候，AGGD退化成GGD。

参考论⽂《MULTISCALE SKEWED HEAVY TAILED MODEL FOR TEXTURE ANALYSIS》的做法：记则因此所以记就有类似地然后计算⽐值：其中2.2 参数估计⽅法⾸先估计σl2和σr2：所以⽽ r 的⼀个⽆偏估计是所以就可以求得然后就和上⽂的GGD的⽅法⼀样，枚举求出最优的α就可以了。

广义高斯分布的参数估计及其应用广义高斯分布（Generalized Gaussian Distribution, GGD）是一种概率分布模型，它是高斯分布在正态分布性质和稀疏性之间的一种平衡点。

在图像处理、信号处理和统计建模等领域中，广义高斯分布被广泛应用于图像压缩、噪声建模和边缘检测等任务中。

广义高斯分布的参数估计是指通过样本数据来估计该分布的参数值。

常用的估计方法包括最大似然估计和最小二乘估计等。

最大似然估计是基于给定数据样本，寻找能够最大化样本观测概率的分布参数。

最小二乘估计则是通过最小化观测值与估计值之间的平方误差来估计参数值。

以最大似然估计为例，假设我们有一组样本数据{x1, x2, ..., xn}，我们要估计广义高斯分布的参数。

广义高斯分布的概率密度函数（PDF）为：f(x;μ,σ,p) = (p / (2σΓ(1 / p))) * exp(-(，x - μ， /σ)^p)其中，μ是分布的均值，σ是标准差，p是形状参数，Γ(•)是伽玛函数。

最大似然估计的目标是找到能够最大化样本数据的似然函数。

对于广义高斯分布的最大似然估计，我们需要最大化样本数据的联合概率密度函数。

联合概率密度函数为各个样本数据的概率密度函数的乘积。

由于最大化乘积函数比最大化和函数更为复杂，通常将乘积函数转化为对数函数来进行最大化。

因此，最大似然估计可以通过最大化对数似然函数来实现。

对于广义高斯分布，对数似然函数为：ln L(μ,σ,p;X) = ∑(ln(f(xi;μ,σ,p))其中，ln(•)是自然对数函数，X表示样本数据集合。

在现实应用中，通常使用数值优化算法（如梯度下降算法）来最大化对数似然函数，从而获得最优的参数估计值。

1.图像压缩：广义高斯分布被用于建模图像的局部统计特性，对图像进行分块建模，从而实现图像的压缩。

2.噪声建模：广义高斯分布被用于建模图像或信号中的噪声，从而为去噪、图像增强等任务提供基础。

高斯分布的特征函数高斯分布是一种常见的概率分布，它描述了许多自然现象和随机变量的分布情况。

高斯分布的概率密度函数在数学上可以由其特征函数定义。

特征函数是一个在复平面上定义的函数，用于描述一个随机变量的概率分布。

对于高斯分布而言，其特征函数可以通过其概率密度函数导出。

高斯分布的概率密度函数可以写成以下形式：f(x) = (1 / σ√2π) * exp(-((x-μ)^2 / 2σ^2))其中，μ是均值，σ是标准差。

接下来，我们将使用特征函数的定义推导出高斯分布的特征函数。

首先，特征函数定义如下：φ(t) = ∫[f(x) * exp(-itx)] dx其中，φ(t)是特征函数，f(x)是概率密度函数，i是虚数单位。

对于高斯分布，我们将其概率密度函数带入特征函数的定义中：φ(t) = ∫[(1 / σ√2π) * exp(-((x-μ)^2 / 2σ^2)) * exp(-itx)] dx我们可以将指数部分展开：φ(t) = ∫[(1 / σ√2π) * exp(-((x^2 - 2μx + μ^2) / 2σ^2) -itx)] dx然后可以将指数部分变形：φ(t) = (1 / σ√2π) * ∫[exp(-((x^2 - 2μx + μ^2) / 2σ^2) -itx)] dx接下来，我们进行一些代数运算和合并项的操作，将指数部分变为平方的形式：φ(t) = (1 / σ√2π) * ∫[exp(-((x^2 - 2μx + μ^2 - 2σ^2itx) / 2σ^2))] dx进一步合并指数部分的平方项：φ(t)= (1 / σ√2π) * exp((μ^2 - σ^2t^2) / (2σ^2)) * ∫[exp(-((x - μ + σ^2it) / σ)^2)] dx通过变量替换，令u = (x - μ + σ^2it) / σ，可以将上式简化为：φ(t) = (1 / σ√2π) * exp((μ^2 - σ^2t^2) / (2σ^2)) * ∫[exp(-u^2)] du这里的∫[exp(-u^2)] du称为高斯积分，它的计算结果是√π。

⼴义线性模型（GLM,GeneralizedLinearModel）
引⾔：通过⾼斯模型得到最⼩⼆乘法(线性回归)，即：
通过伯努利模型得到逻辑回归，即：
这些模型都可以通过⼴义线性模型得到。

⼴义线性模型是把⾃变量的线性预测函数当作因变量的估计值。

在机器学习中，有很多模型都是基于⼴义线性模型的，⽐如传统的线性回归模型，最⼤熵模型，Logistic回归，softmax回归，等等。

今天主要来学习如何来针对某类型的分布建⽴相应的⼴义线性模型。

1. ⼴义线性模型
⼴义线性模型：⼴义线性模型是基于指数分布族(Exponential Family)，⽽指数分布族的原型如下：
其中，η是⾃然参数(Natural Parameter)，T(y)为充分统计量(Sufficient Statistic)，通常T(y)=y。

实际上，许多分布(如，⾼斯分布、指数分布、泊松分布、伽马分布灯)都属于指数分布族。

所以，线性回归、逻辑回归等都是⼴义线性模型的特例，实际上，性分布中，y服从⾼斯分布那么⼴义线性模型为线性回归，y服从伯努利分布为逻辑回归。

在使⽤⼴义线性模型构建其他模型之前，⾸先有三个假设：
(1) y|x; θ~ExpFamily；
(2) 给定x，⽬标是输出期望E[T(y)|x]，得到h(x)= E[T(y)|x]；
(3) η与x的关系是线性的，即：
1. 常见概率模型由⼴义线性模型的推导
(1) ⾼斯模型
⾼斯分布可以表⽰为：
⾼斯模型的⾃然参数与均值成线性分布，所以
(2) 伯努利模型
伯努利模型可以表⽰为：
其中，b(y)=1。

从⽽得到逻辑回归模型。

带⼊a(η)可以得到：。

广义高斯分布广义伽马分布
广义高斯分布和广义伽马分布是概率统计学中常见的概率分布。

广义高斯分布是一种连续概率分布，它的形式为：
$$
f(x;mu,sigma,beta)=frac{beta}{2sigmaGamma(frac{1}{beta})}ex pleft(-left|frac{x-mu}{sigma}right|^betaright)
$$
其中，$mu$为位置参数，$sigma$为尺度参数，$beta$为形状参数，$Gamma$为伽马函数。

广义高斯分布可以看作是普通高斯分布的推广，因为当$beta=2$时，广义高斯分布即为普通高斯分布。

广义伽马分布是一种灵活的概率分布，它的形式为：
$$
f(x;a,b,p,q)=frac{a}{b^pGamma(frac{p}{q})}left(frac{x}{b}ri ght)^{ap-1}expleft[-left(frac{x}{b}right)^qright]
$$
其中，$a$为形状参数，$b$为尺度参数，$p$为位置参数，$q$为形状参数，$Gamma$为伽马函数。

广义伽马分布可以看作是伽马分布的推广，因为当$p=q=1$时，广义伽马分布即为伽马分布。

广义高斯分布和广义伽马分布在概率统计学中有着广泛的应用，尤其是在金融和经济领域中，经常用于建模和预测股票价格、汇率和
商品价格等金融和经济变量。

高斯分布Moment Generating Function高斯分布（Gaussian distribution）是统计学中常见的一种概率分布，也被称为正态分布（normal distribution）。

它在自然界和社会现象中广泛出现，并且在实际生活中有着重要的应用。

高斯分布的研究对于理解数据集的分布、参数估计以及推断假设非常重要。

在统计学中，矩（moment）是描述概率分布的基本工具之一。

矩生成函数（moment generating function）是一种用来描述随机变量的矩的函数，在应用中经常被用来推导随机变量的矩，特别是求解方差和协方差等重要统计量。

在高斯分布的场景下，矩生成函数被称为高斯分布的矩生成函数。

高斯分布高斯分布是一种连续的概率分布，其特点是形成一个钟形曲线。

高斯分布的概率密度函数（probability density function，PDF）可以通过以下公式表示：[ f(x) = e^{-} ]其中，μ是均值，σ是标准差。

高斯分布的均值决定了曲线的位置，而标准差则决定了曲线的形状。

均值为μ的高斯分布将其峰值定位在μ处，标准差越大，曲线越平缓。

高斯分布在自然界和社会现象中的广泛存在具有重要的实际应用价值。

例如，在金融领域，股票价格的变化通常被假设为高斯分布，基于高斯分布的统计方法可以帮助投资者进行风险评估和投资决策。

矩生成函数矩生成函数是随机变量的矩的生成函数，对于随机变量X，其矩生成函数被定义为：[ M_X(t) = E(e^{tx}) = _{-}{}e{tx}f(x)dx ]其中，E(⋅)表示期望值运算符，f(x)是随机变量X的概率密度函数。

通过矩生成函数，我们可以推导出随机变量的矩，特别是可以求解高斯分布的方差和协方差等重要统计量。

对于高斯分布，其矩生成函数可以通过以下公式计算：[ M_X(t) = e^{t+ t^2 ^2} ]注意到，高斯分布的矩生成函数具有非常简洁的形式，这使得求解高斯分布的矩成为相对简单的任务。

SAR图像统计模型综述李永晨;刘浏【摘要】This paper reviews probability distribution models in the study of statistical modeling of Synthetic Aperture Radar (SAR)imagery. Accordingto the origin of each model, all models can be divided into two categories:the statistical models of prior assumptions and the empirical distribution models. The Method of Logarithmic Cumulants(MoLC)which is a new method for parameter estimation is introduced;furthermore, the estimated expressions of logarithmic cumulants of statistical models are computed based on the MoLC. Theevaluation criterions of modeling precision are developed and then implemented in the experi-ment of modeling real SAR images. Finally, the suitable terrain of SAR imagery for each statistical model is concluded from experimental results.%综述了合成孔径雷达（SAR）图像统计建模研究中的概率分布模型，按照模型起源将所有模型分为了先验假设统计模型和经验分布模型两大类。

高斯分布特征函数摘要：1.高斯分布概述2.高斯分布的特征函数定义3.高斯分布特征函数的性质4.高斯分布特征函数的应用正文：一、高斯分布概述高斯分布，又称正态分布，是一种常见的概率分布。

它具有一个对称的钟形曲线，其分布的均值（μ）和标准差（σ）决定了分布的形状。

高斯分布的概率密度函数具有一个唯一的峰值，这意味着在分布的均值附近，数据点出现的概率最高。

二、高斯分布的特征函数定义高斯分布的特征函数（Characteristic Function，简称CF）是描述高斯分布概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）的傅里叶变换。

对于一个随机变量X 服从高斯分布，其特征函数可以表示为：Φ(t) = P(X ≤t) = Φ(-t) = 1 -Φ(t)其中，Φ(t) 表示X 小于等于t 的概率。

三、高斯分布特征函数的性质1.奇偶性：高斯分布的特征函数是奇函数，即Φ(-t) = 1 - Φ(t)。

2.递增性：在负无穷到正无穷的区间内，特征函数Φ(t) 是递增的。

3.极限：当t 趋于负无穷时，Φ(t) 趋于0；当t 趋于正无穷时，Φ(t) 趋于1。

四、高斯分布特征函数的应用高斯分布特征函数在概率论和统计学中有广泛的应用，例如：1.求解高斯分布的累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）：Φ(t) = F(t) - F(-t)，其中F(t) 表示X 小于等于t 的累积概率。

2.求解高斯分布的概率密度函数：f(x) = Φ"(x) * √(2πσ^2)，其中Φ"(x) 表示特征函数的导数。

3.求解高斯分布的矩生成函数（Moment Generating Function，简称MGF）：M(t) = E[e^tX] = Φ(-t) + μt + 1/2 * σ^2 * t^2 + o(t^3)，其中E[·] 表示期望。