北师大版高中数学必修二第一章《平行关系》单元测试题

单元提分卷（5）平行关系1、下列四面体中，直线EF 与MN 可能平行的是( )A. B.C. D.2、一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有下列结论: ①AB EF ⊥;②AB 与CM 所成的角为60︒; ③EF 与MN 是异面直线; ④//MN CD . 其中正确的是( )A.①②B.③④C.②③D.①③3、若直线//l 平面α,直线a α⊂,则l 与α的位置关系是( ) A. //l αB. l 与α异面C. l 与α相交D. l 与α没有公共点4、平面α与ABC ∆的两边,AB AC 分别交于点,,D E 且::,AD DB AE EC =如图,则BC 与α的位置关系是( )A.异面B.相交C.平行或相交D.平行5、已知,m n 是不同的直线, ,αβ是不重合的平面,则下列命题正确的是( ) A.若,,m n αβαβ⊂⊂,则m n B.若,,,m n m n ααββ⊂⊂,则αβC.若,,a b a b αβ⊂⊂,则αβD. ,m n 是两异面直线,若,m m αβ,且,n n αβ,则αβ6、如图，在下列四个正方体中，,A B 为正方体的两个顶点，,,M N Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）A. B.C. D.7、已知直线,a b ,平面α，则以下三个命题： ①若//,,a b b α⊂则//a α； ②若//,//a b a α，则//b α；③若//,//a b αα，则//a b ; 其中真命题的个数是（ ） A.0 B.1 C.2D.3 8、已知,m n 为异面直线，m ⊥平面,n α⊥平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则（ ） A.//αβ且//l αB.αβ⊥且l β⊥C.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l9、如图，在下列四个正方体中，,A B 为正方体的两个顶点，,,M N Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）A. B.C. D.，，为所在棱的中点，10、如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M N Q则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )A.B.C.D.11、如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（）A．AC BDAC截面PQMN⊥B．//C．AC BD＝D．异面直线PM与BD所成的角为45︒12、如图，已知各棱长均为1的正三棱柱111,,ABC A B C M N -分别为线段11,A B B C上的动点，且//MN 平面11ACC A ，则这样的MN 有( )A. 1条B.2条C.3条D.无数条13、如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ,且1ED FB ==,G 为线段EC 上的动点，则下列结论 中正确的是 .①EC AF ⊥;②该几何体外接球的表面积为3π; ③若G 为EC 的中点，则//GB 平面AEF④22AG BG +的最小值为3.14、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点E ，F ，G 分别为棱AB ，111,AA C D 的中点．下列结论中，正确结论的序号是______．① 过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ②11B D ∥平面EFG ；③1BD ⊥平面1ACB ；④ 异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为22； ⑤ 四面体11ACB D 的体积等于312a15、如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E F ，，且22EF =，则下列结论中正确的是 ．①AC BE ⊥； ②//EF 平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值； ④异面直线AE BF ，所成的角为定值．16、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在面对角线AC 上运动，给出下列四个命题： ① 1D P ∥平面11A BC ； ② 11D P B D ⊥；③ 平面1PDB ⊥平面11A BC ； ④ 三棱锥11A BPC -的体积不变.则其中所有正确的命题的序号是 ______ ．17、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是AB 和1AA 的中点，则下列命题：①1,,,E C D F 四点共面； ②1,,CE D F DA 三线共点； ③EF 和1BD 所成的角为90︒； ④1//A B 平面1CD E .其中正确的是________（填序号）.答案以及解析1答案及解析： 答案：C 解析：2答案及解析： 答案：D解析：把正方体纸盒的平面展开图折叠成正方体纸盒,如图所示, AB EF ⊥,EF 与MN 是异面直线, //AB CM ,MN CD ⊥,只有①③正确,故选D.3答案及解析： 答案：D解析：直线//l 平面α,所以直线//l 平面α无公共点,因为直线a α⊂,所以l 与a 没有公共点。

平行关系1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点．【答案】 A2．下列说法正确的是( )A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面【解析】由异面直线的定义可知选D.【答案】 D3．(2010·全国大纲高考)正三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A．30° B．45°C．60° D．90°【解析】如图，可补成一个正方体，∴AC1∥BD1.∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.又易知△A1BD1为正三角形，∴∠A1BD1＝60°.∴BA1与AC1成60°的角．【答案】 C4．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________．【解析】①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ 相交．【答案】③5．(2013·青岛模拟)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，求异面直线BE与CD1所成的角的余弦值．【解】如图连接BA1.∵BA1∥CD1，∴∠A1BE为所求．在△A1BE中，设AB＝1，则AA1＝2，∴A1B＝5，A1E＝1，BE＝ 2.∴由余弦定理得cos∠A1BE＝310 10.课时作业【考点排查表】1．若异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝l，则直线l( )A．与直线a，b都相交B．至少与a，b中的一条相交C．至多与a，b中的一条相交D．与a，b中的一条相交，另一条平行【解析】若a∥l，b∥l，则a∥b，故a，b中至少有一条与l相交，故选B.【答案】 B2．正方体AC1中，E、F分别是线段BC、C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．垂直【解析】如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．【答案】 A3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】有2条：A1B和A1C1，故选B.【答案】 B4．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是( )A．①②B．③④C．②③D．①③【解析】将展开图还原为正方体，由于EF∥ND，而ND⊥AB，∴EF⊥AB；显然AB与CM平行，故②不正确．EF与MN是异面直线，MN与CD也是异面直线，故①③正确，②④错误．【答案】 D5．已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C，A′、B′、C′分别在PA、PB、PC上，若延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点( ) A．成钝角三角形B．成锐角三角形C．成直角三角形D．在一条直线上【解析】D、E、F为已知平面与平面A′B′C′的公共点，由公理2知，D、E、F共线．【答案】 D6．在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，则以这4个顶点为顶点构成的几何形体可能是：①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．则其中正确结论的序号是( )A．①③④⑤B．①②④⑤C．①②③⑤D．①②③④【解析】由长方体的性质知①正确，②不正确；对于③，长方体ABCD－A1B1C1D1中的四面体A1－ABD符合条件，③正确；对于④，长方体ABCD－A1B1C1D1中的四面体A1－BC1D符合条件，④正确；对于⑤，长方体ABCD－A1B1C1D1中的四面体A1－ABC符合条件．【答案】 A二、填空题7．(2013·丰台模拟)已知线段AB、CD分别在两条异面直线上，M、N分别是线段AB、CD的中点，则MN__________1 2(AC＋BD)(填“>”，“<”或“＝”)．【解析】如图所示，四边形ABCD是空间四边形，而不是平面四边形，要想求MN与AB、CD的关系，必须将它们转化到平面来考虑．我们可以连接AD，取AD的中点为G，再连接MG、NG，在△ABD中，M、G分别是线段AB、AD的中点，则MG∥BD，且MG＝12BD，同理，在△ADC中，NG∥AC，且NG＝12AC，又根据三角形的三边关系知，MN<MG＋NG，即MN<12BD＋12AC＝12(AC＋BD)．【答案】<8．(2013·海淀模拟)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．【解析】如题图所示，由A′O⊥平面ABCD，可得平面A′BC⊥平面ABCD，又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.【答案】90°9．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)．【解析】由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．【答案】①三、解答题10．如图所示，O1是正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点．求证：O1、M、A三点共线．【证明】∵A1C1∩B1D1＝O1，B1D1⊂平面B1D1A，A1C1⊂平面AA1C1C.∴O1∈平面B1D1A，O1∈平面AA1C1C.∵A1C∩平面B1D1A＝M，A1C⊂平面AA1C1C，∴M∈平面B1D1A，M∈平面AA1C1C.又∵A∈平面B1D1A，A∈平面AA1C1C，∴O1、M、A在两个平面B1D1A和平面AA1C1C的交线上，由公理3可知，O1、M、A三点共线．11．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M.【解】(1)因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角．因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°.而A1B1＝1，B1M＝B1C21＋MC21＝2，故tan∠MA1B1＝B1MA1B1＝2，即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为 2.(2)证明：由A1B1⊥平面BCC1B1，BM⊂平面BCC1B1，得A1B1⊥BM.①由(1)知，B1M＝2，又BM＝BC2＋CM2＝2，B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.②又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，再由①②得BM ⊥平面A 1B 1M ，而BM ⊂平面ABM ，因此平面ABM ⊥平面A 1B 1M.12．(2012·上海高考)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成的角的余弦值．【解】 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23， 三棱锥P －ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA＝13×23×2＝433. (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，∴∠ADE(或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角． 在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34， ∴异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34. 四、选做题13．如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M 、N 分别为AB 、DF 的中点．(1)若CD ＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF ，求MN 的长；(2)若平面ABCD ⊥平面DCEF ，求异面直线MN 与AF 所成的角；(3)用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线．【解】 (1)取CD 的中点G ，连结MG ，NG ， ∵ABCD ，DCEF 为正方形，且边长为2，∴MG ⊥CD ，MG ＝2，NG ＝ 2.∵平面ABCD ⊥平面DCEF ，∴MG ⊥平面DCEF.可得MG ⊥NG ，∴MN ＝MG 2＋NG 2＝ 6.(2)如图，取EF 的中点G ，连结MG ，则GF 綊12CD ，又MA 綊12CD ， ∴GF 綊MA.∴四边形MAFG为平行四边形，∴MG綊AF.∴∠GMN即为异面直线MN与AF所成的角．连结AN，NG，设正方形棱长为a，则有MG＝2a，NG＝22a，MN＝AM2＋AN2＝62a，在△MNG中，cos∠GMN＝MG2＋MN2－NG2 2MG·MN＝2a2＋32a2－12a22×2a×62a＝32，∴∠GMN＝30°，∴异面直线MN与AF所成的角为30°.(3)证明：假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知，两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF.又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，∴AB∥EN.又AB∥CD∥EF，∴EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．。

§5平行关系5.1平行关系的判定第1课时直线与平面平行的判定1.若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则a与b的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能答案:D2.在五棱台ABCDE-A1B1C1D1E1中,若F,G分别是AA1和BB1上的点,且,则FG与平面ABCDE的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.FG在平面ABCDE内答案:A3.点E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则空间四边形的四条边与两条对角线中与平面EFGH平行的条数为()A.0B.1C.2D.3解析:由线面平行的判定定理可知,BD∥平面EFGH,AC∥平面EFGH.答案:C4.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A.①②B.①④C.①③D.②④答案:B5.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1的中点,F为BB1的中点,与EF平行的长方体的面有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1的中点,F为BB1的中点,∴EF∥CD,EF∥AB,EF∥A1B1,∴由直线与平面平行判定定理得,与EF平行的长方体的面有面CDD1C1,面ABCD,面A1B1C1D1,共3个.故选C.答案:C6.已知两条直线a,b,a∥平面α,b⫋α,则直线a与b的位置关系是.答案:平行或异面7.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB和BC上的点,且AE∶EB=CF∶FB=1∶3,则对角线AC和平面DEF的位置关系是.解析:∵,∴EF∥AC.又AC⊈平面DEF,EF⫋平面DEF,∴AC∥平面DEF.答案:平行8.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中点.求证:BC1∥平面CA1D.证明如图所示,连接AC1交A1C于点O,连接OD,则O是AC1的中点.∵D是AB的中点,∴OD∥BC1.又OD⫋平面CA1D,BC1⊈平面CA1D,∴BC1∥平面CA1D.9.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D1是A1C1上的一点,当等于何值时,BC1∥平面AB1D1? 解当=1时,BC1∥平面AB1D1.证明如下:如图所示,此时D1为线段A1C1的中点,连接A1B交AB1于点O,连接OD1.由棱柱的定义,知四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O为A1B的中点.在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,所以OD1∥BC1.又因为OD1⫋平面AB1D1,BC1⊈平面AB1D1,所以BC1∥平面AB1D1.所以当=1时,BC1∥平面AB1D1.★10.如图所示,四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形,M是AE上的动点.试确定定点M的位置,使AC∥平面MDF,并说明理由.解当点M是线段AE的中点时,AC∥平面MDF.证明如下:连接CE,交DF于点N,连接MN,因为M,N 分别是AE,CE的中点,所以MN∥AC.又因为MN⫋平面MDF,AC⊈平面MDF,所以AC∥平面MDF.。

高中数学1.5.1平行关系的判断课时提能演练北师大版必修2"（30分钟50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.（2012·宝鸡高一检测）若平面α和平面β相交于直线l，直线a在平面α内，但不与直线l重合，则直线a与平面β的位置关系是()(A)相交(B)平行(C)相交或平行(D)aβ2.如图，下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()（A）①④(B)②④（C）①③④(D)①③3.（2012·汉中高一检测)过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有()(A)4条(B)6条(C)8条(D)12条4.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是AB的中点，点F在BC上，则BF等于多少时，EF∥平面A1C1D()(A)1(B)12(C)13(D)14二、填空题（每小题4分，共8分）5.a，b，c是三条直线，α，β是两个平面，如果a∥b∥c，aα,bβ，cβ，那么平面α与平面β的位置关系是_________.6.（2012·郑州高一检测）设m,n是平面α外的两条直线，给出三个说法：①m∥n；②m∥α；③n∥α，以其中两个为条件，余下的一个为结论，可构成三个命题，写出你认为正确的一个命题__________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.（易错题）不共面的三条线段AA1，BB1，CC1交于一点O且被O 所平分，求证：平面ABC∥平面A1B1C1.8.（2012·渭南高一检测）如图是一几何体的直观图，主视图和俯视图.（1）在主视图右侧，按照画三视图的要求画出该几何体的左视图;（2）在所给直观图中连接BD，证明：BD∥平面PEC.【挑战能力】（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别为BC，PA的中点，在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，说明点E的位置；若不存在，说明理由.答案解析1.【解析】选C.若直线a与l平行，则a∥β，若直线a与直线l相交，则a与β相交.2.【解析】选D.对于图①，连接N与MP的中点，则其与AB平行，从而AB∥平面MNP.对于图③，AB∥MP,能得出AB∥平面MNP.图②，④中直线AB与平面MNP相交.【举一反三】在本题条件下，试判断下面三个正方体图形中，是否有AB∥平面MNP？【解析】对于图①，取NP的中点为R,连接MR，则有AB∥MR且AB平面MNP，所以AB∥平面MNP.对于图③，AB∥NP,且AB平面MNP，NP平面MNP, 所以AB∥平面MNP.图②中，AB与平面MNP相交.所以，①③图中AB∥平面MNP.3.【解析】选D.如图，设M，N，P，Q为所在棱的中点，易知平面MNPQ∥平面DBB1D1，则过M，N，P，Q这四个点中的任意两点的直线与平面DBB1D1 平行，这种情形共有6条；同理，经过BC，CD，B1C1，C1D1四条棱的中点也有6条，故共有12条.4.【解析】选B.当点F是BC的中点时，即BF=12BC=12，有EF∥平面A1C1D.∵EF∥AC,AC∥A1C1,∴EF∥A1C1,又∵EF平面A1C1D,A1C1平面A1C1D,∴EF∥平面A1C1D.5.【解题指南】借助于正方体模型来判断.【解析】由正方体模型易知α∥β或α与β相交.答案：平行或相交6.【解题指南】先列出三个命题，然后判断真假. 【解析】三个命题如下:（1）m∥n,m∥α⇒n∥α；(2)m∥n,n∥α⇒m∥α；(3)m∥α,n∥α⇒m∥n.经验证，（1）（2）正确，（3）中m与n可能相交、平行、异面.答案：①②⇒③（或①③⇒②）7.【证明】如图，因AA1∩CC1=O,所以AA1与CC1确定一个平面，设为平面α.又∵△AOC≌△A1OC1，∴∠OAC=∠OA1C1,从而AC∥A1C1.又A1C1A1B1C1,AC A1B1C1,由线面平行的判定定理得AC∥平面A1B1C1.同理AB∥平面A1B1C1.又AB∩AC=A,AB ABC,AC ABC，由面面平行的判定定理得平面ABC∥平面A1B1C1.8.【解析】(1)如图所示：（2）取PC的中点M，设AC与BD的交点为N，连接MN，ME，∵PM＝CM，AN＝CN，∴MN＝1PA，MN∥PA，2∴MN＝EB，MN∥EB，故BEMN是平行四边形，∴EM∥BN.又EM平面PEC，BD平面PEC，∴BD∥平面PEC.【方法技巧】线面平行证法面面观在点、线、面的位置关系中，线面平行是重要的位置关系，也是我们学习的重点.在证明线面平行的过程中，关键是如何找线线平行，其方法主要有借助对应线段成比例、中位线、平行四边形等方法.下面主要就线面平行的证法进行归类总结.（1）借助对应线段成比例借助对应线段成比例来证明两直线平行，进而证明线面平行.（2）借助中位线借助三角形或梯形的中位线可以找到线线平行关系,从而证明线面平行.（3）借助平行四边形对于平行四边形我们知道其对边平行，借助此关系可以证明线面平行.【挑战能力】【解析】存在.取PD的中点E，连接NE，EC，AE，因为N，E分别为PA，PD的中点，所以NE∥AD且NE=12AD.又在平行四边形ABCD中，CM∥AD且CM=12AD，所以NE MC，即四边形MCEN是平行四边形，所以NM∥EC，又EC平面ACE，NM平面ACE，所以MN∥平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，此时PE=12PD.。

2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步 1.5.1 平行关系的判定高效测评北师大版必修2一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列判断正确的是( )①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．A．①③B．②④C．②③④D．③④解析：①②中两个平面可以相交；③是两个平面平行的定义；④是两个平面平行的判定定理，故选D.答案： D2．使平面α∥平面β的一个条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，aα，a∥βC．存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥αD．α内存在两条相交直线a，b分别平行于β内两条直线解析：A，B，C中的条件都不一定使α∥β，反例分别为图①②③(图中a∥l，b∥l)；D正确，因为a∥β，b∥β，又a，b相交，从而α∥β.答案： D3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，则EF与平面BB1D1D 的位置关系是( )A．平行B．相交C．面内D．无法判断解析： 连接A 1C 1，设A 1C 1∩B 1D 1＝O ，连接OB (图略)，显然OB ∥EF ，根据线面平行的判定定理可知，EF ∥平面BB 1D 1D ，故选A.答案： A4．如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( )A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形 解析： ∵AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4， ∴EF ∥BD 且EF ＝15BD .又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，∴HG 綊12BD . ∴EF ∥HG 且EF ≠HG .∴四边形EFGH 为梯形． ∵BD 平面BCD 且EF 平面BCD .∴EF ∥平面BCD . 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图所示的四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是________．(填序号)解析： ①中连接点A 与点B 上面的顶点，记为C ，则易证平面ABC ∥平面MNP ，所以AB ∥平面MNP ；④中AB ∥NP ，根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出AB ∥平面MNP ；②，③中，AB 均与平面MNP 相交．答案： ①④6．已知点S 是正三角形ABC 所在平面外一点，点D ，E ，F 分别是SA ，SB ，SC 的中点，则平面DEF 与平面ABC 的位置关系是________．解析： 由D ，E ，F 分别是SA ，SB ，SC 的中点，知EF 是△SBC 的中位线，∴EF ∥BC . 又∵BC 平面ABC ，EF 平面ABC ，∴EF ∥平面ABC . 同理DE ∥平面ABC .又∵EF ∩DE ＝E ，∴平面DEF ∥平面ABC . 答案： 平行三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，点D 是AB 的中点，求证：AC 1∥平面CDB 1.证明： 如图，连接BC 1，设BC 1与B 1C 的交点为E ，连接DE . ∴D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点， ∴DE ∥AC 1.∵DE 平面CDB 1，AC 1平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.8．P 为正方形ABCD 所在平面外一点，E ，F ，G 分别为PD ，AB ，DC 的中点，如图．求证：(1)AE ∥平面PCF ； (2)平面PCF ∥平面AEG .证明： (1)取PC 中点H ，分别连接EH ，FH . ∵E ，F ，H 分别为PD ，AB ，PC 的中点， ∴EH 綊12DC ，AF 綊12DC .∴EH 綊AF . ∴EAFH 为平行四边形．∴EA ∥FH .又AE平面PCF，FH平面PCF，∴AE∥平面PCF.(2)∵E，G分别为PD，CD的中点，∴EG∥PC.又EG平面PCF，PC平面PCF，∴EG∥平面PCF.由(1)知AE∥平面PCF，EG∩AE＝E.∴平面PCF∥平面AEG.尖子生题库☆☆☆9．(10分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？请说明理由．解析：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.证明如下：∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.连接DB，∵P，O分别为DD1，DB的中点，∴D1B∥PO.又D1B平面PAO，QB平面PAO，∴D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.。

2018-2019数学北师大版必修2作业：第一章 5.1 平行关系的判定AB1D1平行的平面是()A．平面BCD B．平面BCC1C．平面BDC1D．平面CDC1解析：选C.由于BD∥B1D1，且BD平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，所以BD∥平面AB1D1，因为BC1∥AD1，且BC1平面AB1D1，AD1平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1，从而平面BDC1∥平面AB1D1.4．下列三个命题，其中真命题的个数是()①两条直线没有公共点，那么这两条直线平行；②两个平面如果没有公共点，那么这两个平面平行；③两个平面都平行于同一条直线，那么这两个平面平行．A．1 B．2C．3 D．0解析：选A.①中两条直线没有公共点，这两条直线可能平行，也可能异面；②是真命题；③中两个平面都平行于同一条直线，这两个平面可能平行，也可能相交．5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是棱A 1D 1上的动点，则直线MD 与平面AA 1C 1C 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．直线在平面内D ．相交或平行 解析：选D.如图，若点M 与点D 1重合，因为D 1D ∥A 1A ，D 1D 平面AA 1C 1C ，A 1A 平面AA 1C 1C ，所以D 1D ∥平面AA 1C 1C ，即DM ∥平面AA 1C 1C .若点M 与点D 1不重合，设DM ∩AA 1＝P ，则DM ∩平面AA 1C 1C ＝P .6．在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝AN ND，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是________．解析：连接BD ，因为AM MB ＝AN ND， 所以MN ∥BD .因为BD 平面BDC ，MN 平面BDC ， 所以MN ∥平面BDC .答案：平行7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E的平面的位置关系是________．解析：如图，连接AC交BD于点O.则O为BD的中点，又E为DD1的中点，连接EO，所以OE为△BDD1的中位线，所以OE∥BD1.又因为BD1平面ACE，OE平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案：平行8．设a，b是直线，α是平面，给出下列三个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥b，b与α相交，则a与α也相交；③若a与b异面，a∥α，则b⃘α.其中正确命题的序号是________．解析：如图的正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD∥直线B1C1，直线AD∥平面A1C1，但是直线B1C1平面A1C1，所以①不正确；②显然正确，可以用反证法证明；直线AD与直线B1A1异面，直线AD∥平面A1C1，但是直线B1A1平面A1C1，所以③不正确．答案：②9．已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由．解：存在．如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.因为BG∥OE，BG平面AEC，OE平面AEC，所以BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G.所以平面BGF∥平面AEC，所以BF∥平面AEC.因为BG∥OE，O是BD的中点，所以E是GD的中点．又因为PE∶ED＝2∶1，所以G是PE的中点．而GF∥CE，所以F为PC的中点．综上，当点F是PC的中点时，BF∥平面AEC.10．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是AA1，CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E.证明：如图，取BB1的中点G，连接EG，GC1，则有EG綊A1B1.又A1B1綊C1D1，所以EG綊C1D1.所以四边形EGC1D1为平行四边形，所以D1E綊GC1.又BG綊C1F，所以四边形BGC1F为平行四边形．所以BF∥C1G，所以BF∥D1E.由BF平面B1D1E，D1E平面B1D1E，得BF∥平面B1D1E，又BD∥B1D1，同理可得BD∥平面B1D1E.又因为BF∩BD＝B，所以平面BDF∥平面B1D1E.[B.能力提升]1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱A1D1的动点，O为底面ABCD的中心，E、F分别是A1B1、C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是()A．面ABB1A1B．面BCC1B1C．面BCFE D．面DCC1D1解析：选C.取AB、DC的中点E1和F1，OM扫过的平面即为面A1E1F1D1.故面A1E1F1D1∥面BCFE.2．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是()A．梯形B．矩形C．平行四边形D．正方形解析：选D.因为BD⊥AC且BD＝AC，又F、E、G、H分别为中点，所以FG 綊EH 綊12BD ， HG 綊EF 綊12AC ， 所以FG ⊥HG 且FG ＝HG ，所以四边形EFGH 为正方形．3．三棱锥S -ABC 中，G 为△ABC 的重心，E 在棱SA 上，且AE ＝2ES ，则EG 与平面SBC 的关系为__________．解析： 如图，取BC 中点F ，连接SF ，AF . 因为G 为△ABC 的重心，所以A 、G 、F 共线且AG ＝2GF .又因为AE ＝2ES ，所以EG ∥SF .因为SF 平面SBC ，E G 平面SBC ， 所以EG ∥平面SBC .答案：平行4．已知直线l ，m ，平面α，β，下列命题正确的是________．①l ∥β，l α⇒α∥β；②l ∥β，m ∥β，l α，m α⇒α∥β； ③l ∥m ，l α，m β⇒α∥β；④l∥β，m∥β，lα，mα，l∩m＝M ⇒α∥β.解析：如图所示．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD，则AB∥平面DC1，AB平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以①错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.EF平面BC1，B1C1平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以②错误；可证AD∥B1C1，AD平面AC，B1C1平面BC1，又平面AC与平面BC1不平行，所以③错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以④正确．答案：④5．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.证明：因为M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，所以MN∥EF.由直线与平面平行的判定定理，MN∥平面EFDB，同理有AM∥平面EFDB.因为MN∩AM＝M，所以平面AMN∥平面EFDB.6．(选做题)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别为BC，PA的中点，在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，说明点E的位置；若不存在，说明理由．解：存在．取PD的中点E，连接NE，EC，AE，AC，因为N，E分别为PA，PD的中点，所以NE∥AD且NE＝12AD.又在平行四边形ABCD中，CM∥AD且CM ＝12AD，所以NE綊MC，即四边形MCEN是平行四边形，所以NM∥EC.又EC平面ACE，NM平面ACE，所以MN∥平面ACE，即在线段PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，此时PE＝12PD.。

数学ⅱ北师大版1.5.2平行关系的性质练习第一章第六节 平面与平面平行的性质定理课堂练习A.平行于同一条直线的两个平面平行或相交B.平行于同一个平面的两个平面平行C.平行于同一条直线的两条直线平行D.平行于同一个平面的两条直线平行或相交 〔2〕,m n 是不重合的直线，,αβ是不重合的平面：①m α⊂，n ∥α，那么m ∥n ②m α⊂，m ∥β，那么α∥β③n αβ=，m ∥n ，那么m ∥α且m ∥β上面结论正确的有〔〕.A.0个B.1个C.2个D.3个〔3〕3个平面把空间分成6个部分，那么〔〕.A.三平面共线B.三平面两两相交C.有两平面平行且都与第三平面相交D.三平面共线或者有两平面平行且都与第三平面相交〔4〕直线与两个平行平面中的一个平行，那么它与另一平面_______________. 〔5〕如下图，四边形ABCD 与ABEF 是两个全等的正方形，M N ，分别是AC 、BF 上的点，且AM FN =，求证：MN ∥平面BCE 、课后作业〔1〕AB 和CD 是夹在平行平面,αβ间的两条异面线段，,E F 分别是它们的中点，那么EF 和α〔〕.A.平行B.相交C.垂直D.不能确定〔2〕以下说法正确的选项是〔〕.A.假如两个平面有三个公共点，那么它们重合B.过两条异面直线中的一条能够作许多个平面与另一条直线平行C.在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D.假如两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行〔3〕α∥β，,,a B αβ⊂∈那么在β内过点B 的所有直线中〔〕.A 、不一定存在与a 平行的直线B 、只有两条与a 平行的直线C 、存在许多条与a 平行的直线D 、存在唯一一条与a 平行的直线〔4〕平面//α平面β，P 是,αβ外一点，过点P 的直线m 与,αβ分别交于点,A C ，过点P 的直线n 与,αβ分别交于点,B D ，且6PA =，9AC =，8PD =，那么BD 的长为〔〕.A.16B.24或245C.14D.20〔创新题〕〔5〕如图，平面四边形ABCD 的四个顶点A B C D ，，，均在平行四边形A B C D ''''所确定的平面α外，且AA BB CC DD ''''，，，互相平行、求证：四边形ABCD 是平行四边形、参考答案课堂练习〔1〕选D ；提示：平行于同一个平面的两条直线平行、相交或者异面。

瑞金二中高一数学第13周周练内容：立体几何 时间：60分钟一、选择题（每小题5分，共40分）1、下列四个命题正确的是 （ ）A 、两两相交的三条直线必在同一平面内B 、若四点不共面，则其中任意三点都不共线C 、在空间中，四边相等的四边形是菱形D 、在空间中，有三个角是直角的四边形是矩形2、下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。

⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。

⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。

其中正确的个数为 （ ）A 、0B 、1C 、2D 、33、已知直线l ∥平面α，P α∈，那么过点P 且平行于l 的直线 （ ）A 、只有一条，不在平面α内B 、只有一条，在平面α内C 、有两条，不一定都在平面α内D 、有无数条，不一定都在平面α内4、线n m ,和平面βα、，能得出βα⊥的一个条件是A 、βα//n ,//m ,n m ⊥B 、αβα⊆=⊥n ,m ,n mC 、αβ⊆⊥m n n m ,,//D 、βα⊥⊥n m n m ,,//5、线a 、b 和平面α，下面推论错误的是 （ ）A 、 b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥ααb aB 、αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b b // a aC 、ααα⊆⇒⎭⎬⎫⊥⊥a //a b b a 或D 、 b //a b //a ⇒⎭⎬⎫⊆αα 6、（2010北京文数）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为： （ ）7、设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ其中正确命题的序号是 （ ）A 、①和②B 、②和③C 、③和④D 、①和④8、已知二面角l αβ--的大小为060，,m n 为异面直线，且,m n αβ⊥⊥，则,m n 所成的角为( )（A ）030 （B ）060 （C ）090 （D ）二、填空题（每小题5分，共20分）9、如右图所示的直观图，其原来平面图形的面积是10、如右图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.11、下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB MNP 平面的图形的序号是 .12、如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角 C 1—BD —C 的大小为 三、解答题（共40分）13、（本题10分）三棱锥V —ABC 中，VO ⊥平面ABC, O ∈CD , VA=VB,AD=BD.证明：CD ⊥AB 且AC=BC .BC AC BDC ADC ADC BDC CD CD BD AD ABCD CDAB VCD CD VCD AB ABVO ABC AB ABC VO AB VD o =⇒∆≅∆⇒=∠=∠==⊥⊥⇒⊂⊥⇒⊥⇒⊂⊥⊥⇒==90,,,,BD AD VB,VA 又即平面，平面上平面平面 14、（本题15分）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，21=AA ，点P 为1DD 的中点。

5.2 平行关系的性质A组1.设a,b是两条直线,α,β是两个平面,若a∥α,a⫋β,α∩β=b,则平面α内与b相交的直线与a的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.平行或异面答案:C2.导学号62180038如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G,H两点,则HG与AB的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定解析:∵E,F分别是AA1和BB1的中点,∴EF∥AB.又AB⊈平面EFGH,EF⫋平面EFGH,∴AB∥平面EFGH.又AB⫋平面ABCD,平面ABCD∩平面EFGH=GH,∴AB∥GH.答案:A3.设a,b表示直线,α,β,γ表示平面,则下列命题中不正确的是()A.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥bB.a∥b,b∥α,a⊈α⇒a∥αC.α∥β,β∥γ⇒α∥γD.α∥β,a∥α⇒a∥β解析:当α∥β,且a∥α时,可能有a∥β,也可能有a⫋β,因此选项D中的命题不正确.答案:D4.a是平面α外的一条直线,过a作平面β,使β∥α,这样的平面β()A.只能作一个B.至多可以作一个C.不存在D.至少可以作一个解析:因为a在平面α外,所以a∥α或a∩α=P.当a∥α时,过a可作唯一的平面β,使β∥α;当a∩α=P时,过a不能作平面β,使β∥α,故至多可以作一个.答案:B5.如图所示,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,线段PA,PB,PC分别交α于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则△A'B'C'与△ABC面积的比为()A.2∶5B.3∶8C.4∶9D.4∶25解析:由题意知,△A'B'C'∽△ABC,从而.答案:D6.若α∥β,a⫋α,b⫋β,下列几种说法中正确的有.(只填序号)①a∥b;②a与β内无数条直线平行;③a与β内的唯一一条直线平行;④a∥β.答案:②④7.如图所示为长方体被一个平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为.解析:因为原来的几何体是长方体,所以平面ABFE∥平面DCGH,从而可得EF∥HG,同理可得HE∥GF,故EFGH是平行四边形.答案:平行四边形8.如图所示,P为▱ABCD所在平面外一点,E为AD的中点,F为PC上一点,当PA∥平面EBF时,=.解析:连接AC交BE于点G,连接FG.因为PA∥平面EBF,PA⫋平面PAC,平面PAC∩平面BEF=FG,所以PA∥FG,所以.又AD∥BC,E为AD的中点,所以,所以.答案:9.如图所示,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,M为OA的中点,N为BC的中点,求证:直线MN∥平面OCD.证明:取OB的中点G,连接GN,GM.在△OAB中,GM为中位线,∴GM∥AB.又AB∥CD,∴GM∥CD.∵GM⊈平面OCD,CD⫋平面OCD,∴GM∥平面OCD.在△OBC中,GN为中位线,∴GN∥OC.∵GN⊈平面OCD,OC⫋平面OCD,∴GN∥平面OCD.∵GM∩GN=G,∴平面GMN∥平面OCD.∵MN⫋平面GMN,MN⊈平面OCD,∴MN∥平面OCD.10.导学号62180039如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC上一点,且A1B∥平面AC1D,D1是B1C1的中点,求证:(1)D为BC的中点;(2)平面A1BD1∥平面AC1D.证明:(1)连接A1C交AC1于点O,连接OD,则O为A1C的中点,因为A1B∥平面AC1D,A1B⫋平面CA1B,平面CA1B∩平面ADC1=OD,所以A1B∥OD.因为O为A1C的中点,所以D为BC的中点.(2)因为D1为B1C1的中点,由三棱柱的性质知,C1D1 BD,所以四边形BDC1D1为平行四边形.所以BD1∥DC1.因为BD1⊈平面AC1D,C1D⫋平面AC1D,所以BD1∥平面AC1D.连接D1D,因为D1,D分别为B1C1,BC的中点,所以D1D B1B.因为B1B A1A,所以D1D A1A.所以四边形A1ADD1为平行四边形.所以A1D1∥AD.因为A1D1⊈平面AC1D,AD⫋平面AC1D,所以A1D1∥平面AC1D.因为A1D1∩BD1=D1,所以平面A1BD1∥平面AC1D.B组1.平面α截一个三棱锥,如果截面是梯形,则平面α必定和这个三棱锥的()A.底面平行B.一个侧面平行C.平行于两条相对的棱D.仅与一条棱平行解析:当平面α平行于某一个面时,截面为三角形,故A,B错.当SA∥平面α时,如图所示.SA⫋平面SAB,平面SAB∩平面α=DG,所以SA∥DG,同理SA∥EF,所以DG∥EF,同理若BC∥平面α时,得到GF∥DE.因为截面是梯形,所以只能有一条棱与之平行.答案:D2.导学号62180040已知平面α∥β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,C,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为()A.16B.24或C.14D.20解析:第①种情况,如图所示,当点P在α,β的同侧时,设BD=x,则PB=8-x,∴.∴BD=.第②种情况,如图所示,当点P在α,β中间时,设PB=x.∴.∴x==16,∴BD=24.答案:B3.过长方体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有()A.4条B.6条C.8条D.12条解析:如图所示,与平面BDD1B1平行的平面有EFGH,MNPQ,其中E,F,G,H,M,N,P,Q分别为棱的中点,每一个平面由中点构成的线有6条,据面面平行的性质定理,可知与面BDD1B1平行的线共有12条.答案:D4.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是.解析:因为过A1,C1,B的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1,且正方体的两个底面互相平行,所以由两个平面平行的性质定理知l∥A1C1.答案:平行5.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是A1C1的中点,平面AB1M∥平面BC1N,AC∩平面BC1N=N,若AN=mAC,则m=.解析:因为平面AB1M∥平面BC1N,平面ACC1A1∩平面AB1M=AM,平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N,所以C1N∥AM.又AC∥A1C1,所以四边形ANC1M为平行四边形,所以AN=C1M=A1C1=AC,所以N为AC的中点,m=.答案:6.已知平面α∥平面β,△ABC与△A'B'C'分别在α,β内,线段AA',BB',CC'都交于点O,点O在α,β之间,若S△ABC=,OA∶OA'=3∶2,则△A'B'C'的面积为.解析:根据题意有S△ABC=.∵AA',BB'相交,∴直线AA',BB'确定一个平面ABA'B',∵平面α∥平面β,∴AB∥A'B',易得△ABO∽△A'B'O,①△ABC∽△A'B'C',②由①得,由②得,故S△A'B'C'=.答案:7.已知平面α∥β,点A,C∈α,点B,D∈β,直线AB与CD交于点S,且AS=8,BS=9,CD=34,求CS的长度.解:①当点S在α,β之间时,如右图所示,连接AC,BD,已知AB∩CD=S,设AB,CD构成平面γ,则γ∩α=AC,γ∩β=BD.因为α∥β,所以AC∥BD.所以△ACS∽△BDS.则,设CS=x,则,解得x=16,即CS=16.②当点S在平面α,β同侧时,如下图所示,已知AB∩CD=S,设AB,CD构成平面γ,则γ∩α=AC,γ∩β=BD.因为α∥β,所以AC∥BD,所以△SCA∽△SDB.所以,即,解得CS=272.综上,CS=16或272.8.导学号62180041如图所示,几何体E-ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD.若∠BCD=120°,M 为线段AE的中点.求证DM∥平面BEC.证明:取AB的中点N,连接DN,MN,如图所示.∵M是AE中点,∴MN∥BE.又∵MN⊈平面BEC,BE⫋平面BEC,∴MN∥平面BEC.∵△ABD是等边三角形,AN=BN,∴∠BDN=30°.又∵CB=CD,∠BCD=120°,∴∠CBD=30°,∴ND∥BC.又∵ND⊈平面BEC,BC⫋平面BEC,∴ND∥平面BEC.又∵MN∩ND=N,MN⫋平面DMN,ND⫋平面DMN,∴平面DMN∥平面BEC.又∵DM⫋平面DMN,∴DM∥平面BEC.。

5．2 平行关系的性质填一填1.直线与平面平行的性质文字语言如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行．图形语言符号语言a∥α，aβ，α∩β＝b⇒a∥b2.平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行图形语言符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b判一判1.2．若a∥α，则在α内存在直线与a平行．(√)3．若平面α，β平行，γ∩α＝a，γ∩β＝b，在β中除了b之外还有无数条直线平行于直线a.(√)4．平面α，β，γ满足γ∩β＝a，γ∩α＝b，则a∥b.(×)5．若一条直线与平面平行，那么这条直线与这个平面没有公共点．(√)6．若两个平面平行，那么分别在这两个平面内的直线互相平行．(×)7．若两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．(√) 8．已知两个平面平行，若有第三个平面与其中的一个平面平行，那么它与另一平面也平行．(√)想一想1.提示：不一定．因为两个平面平行，所以这两条直线无公共点，它们平行或异面．2．两个平面平行，其中一个平面内直线必平行于另一个平面吗？提示：平行．因为两个平面平行，则两个平面无公共点，则其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点，所以它们平行．3．利用线面平行性质定理解题的步骤是什么？提示：4．应用平面与平面平行性质定理的基本步骤是什么？提示：思考感悟：练一练1.已知直线m，n①m，nβ②nα③m∥α④m∥n.现把其中一些关系看作条件，另一些看作结论，组成一个真命题是________．答案：①②③⇒④或①②④⇒③2．设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，γ，给出下列三个命题，其中正确的命题有( )①若a∥α，b∥α，则a∥b②若a∥α，a∥β，则α∥β③若α∥β，aα，则a∥βA．0个 B．1个C．2个 D．3个答案：B3．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是( )A．平行 B．相交C．异面 D．平行或异面答案：A4．如图，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能答案：B5．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．答案：平行知识点一直线与平面平行性质的应用1.如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( ) A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能解析：四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，因为MN平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，所以由直线与平面平行的性质定理可得，MN∥PA.答案：B2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点P∈BB1(P不与B，B1重合)．PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N.求证：MN∥平面ABCD.证明：如图，连接AC，A1C1，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥CC1，且AA1＝CC1，所以四边形ACC1A1是平行四边形．所以AC ∥A 1C 1.因为AC ⊆平面A 1BC 1，A 1C 1平面A 1BC 1， 所以AC ∥平面A 1BC 1.因为AC 平面PAC ，平面A 1BC 1∩平面PAC ＝MN ， 所以AC ∥MN .因为MN ⊆平面ABCD ，AC 平面ABCD ， 所以MN ∥平面ABCD .知识点二平面与平面平行性质的应用3.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中过BD 1的平面，分别与AA 1，CC 1交于M ，N ，则四边形BND 1M 的形状为________．解析：由题意知，平面A 1ABB 1∥平面C 1CDD 1， 所以MB ∥D 1N ，同理，D 1M ∥BN . 所以四边形BND 1M 是平行四边形． 答案：平行四边形 4.如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E ＝C 1F .求证：EF ∥平面ABCD .证明：过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ， 连接GF ，所以B 1E B 1A ＝B 1G B 1B， B 1E ＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ，所以C 1F C 1B ＝B 1GB 1B，所以FG ∥B 1C 1∥BC .又因为EG ∩FG ＝G ，AB ∩BC ＝B ，所以平面EFG ∥平面ABCD .又EF 平面EFG ， 所以EF 综合知识 平行关系的综合应用5.如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC ＝l .(1)求证：BC ∥l ；(2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论． 证明：(1)在▱ABCD 中，BC ∥AD ， BC ⊆平面PAD ，AD 平面PAD ，所以BC ∥平面PAD .又平面PAD ∩平面PBC ＝l ，且BC 平面PBC ，所以BC ∥l .(2)MN ∥平面PAD .证明如下：取PD 中点E ，连接AE ，NE .因为N 是PC 的中点，所以NE 綊12CD ，又M 为AB 的中点，所以AM 綊12DC ，所以AM 綊NE ，所以四边形AMNE 为平行四边形，所以AE ∥MN . 又因为AE 平面PAD ，MN ⊆平面PAD ，所以MN ∥平面PAD .6．如图，几何体E －ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点．求证：DM ∥平面BEC .证明：如下图，取线段AB 的中点N ，连接MN ，DN .因为MN 是△ABE 的中位线， 所以MN ∥BE .又MN ⊆平面BEC ，BE 平面BEC ， 所以MN ∥平面BEC .因为△ABD是正三角形，N是线段AB的中点，所以ND⊥AB.因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°＋30°＝90°，所以BC⊥AB，所以ND∥BC.又ND 平面BEC，BC平面BEC，所以ND∥平面BEC.又MN∩ND＝N，所以平面MND∥平面BEC.因为直线DM平面MND，所以DM∥平面BEC.基础达标一、选择题1．下列结论中正确的是( )A．平行于另一个平面内两条直线的平面，一定平行于这个平面B．一条直线平行于另一个平面内的无数条直线，则这条直线与该平面平行C．两个平面分别与第三个平面相交，若交线平行则两个平面平行D．在两个平行平面中，一个平面内的一条直线必平行于另一个平面解析：A中如果另一个平面内的两条直线平行，则显然不正确；B中如果这条直线在平面内，也符合它平行于平面内的无数条直线，但是显然这条直线不与该平面平行；C显然不正确；根据面面平行的性质知D正确，故选D.答案：D2．下列说法正确的是( )A．如果直线l∥平面α，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内B．若直线l∥平面α，aα，则l∥aC．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β内的所有直线D．若α∥β，α∩γ＝a，bγ，则a∥b解析：直线l与平面α内一点确定一个平面，与平面α交于一条直线，此直线与直线l 平行，故A正确；由线面平行的定义可知l与a没有公共点，但不一定平行，可能异面，故B 不正确；由面面平行的定义可知平面α与β没有公共点，二者的直线可能平行，也可能异面，故C不正确；D不正确，因为不确定b是否为平面β与γ的交线.答案：A3．设平面α∥β，直线aα，直线bβ，有下列四种情形：①a⊥b；②a∥b；③a 与b为异面直线；④a与b相交．其中可能出现的情形有( )A．1种B．2种C．3种 D．4种解析：易知①②③均可能出现，如果a与b相交，则α与β有公共点，这与α∥β相矛盾，故④不可能出现．答案：C4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B在平面β内，则在平面β内且过点B 的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：当直线a 平面β，且点B 在直线a 上时，在平面β内且过点B 的所有直线中不存在与a 平行的直线．故选A.答案：A 5.如图，在多面体ABC －DEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，EF ∥DG ，且AB ＝DE ，DG ＝2EF ，则( )A ．BF ∥平面ACGDB ．CF ∥平面ABEDC ．BC ∥FGD ．平面ABED ∥平面CGF解析：取DG 的中点为M ，连接AM ，FM ，如图所示．则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形，∴DE 綊FM .∵平面ABC ∥平面DEFG ，平面ABC ∩平面ADEB ＝AB ，平面DEFG ∩平面ADEB ＝DE ，∴AB ∥DE ，∴AB ∥FM .又AB ＝DE ，∴AB ＝FM ，∴四边形ABFM 是平行四边形，即BF ∥AM .又BF 平面ACGD ，∴BF ∥平面ACGD .故选A.答案：A 6.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 为AC 的中点，点D 1是A 1C 1上的一点，若BC 1∥平面AB 1D 1，则A 1D 1D 1C 1等于( )A.12B ．1C ．2D ．3解析：可证AD 1∥DC 1，所以D 1为A 1C 1中点． 答案：B 7.如图，在三棱台A 1B 1C 1－ABC 中，点D 在A 1B 1上，且AA 1∥BD ，点M 是△A 1B 1C 1内的一个动点，且有平面BDM ∥平面A 1C 1CA .则动点M 的轨迹是( )A ．平面B ．直线C ．线段，但只含1个端点D ．圆解析：因为平面BDM ∥平面A 1C 1CA ，平面BDM ∩平面A 1B 1C 1＝DM ，平面A 1C 1CA ∩平面A 1B 1C 1＝A 1C 1，所以DM ∥A 1C 1，过D 作DE ∥A 1C 1交B 1C 1于E ，则点M 的轨迹是线段DE (不包括点D )． 答案：C 二、填空题8．一个面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形的两条对角线与这个截面平行，那么此四个交点围成的四边形是________．解析：由线面平行的性质定理可得四个交点围成的四边形为平行四边形． 答案：平行四边形9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF 平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC ，因为E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得EF ＝12AC ，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AC ＝22，所以EF ＝ 2.答案： 2 10.如图，过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点B 1，D 1与棱AB 的中点P 的平面与底面ABCD 所在平面的交线记为l ，则l 与B 1D 1的位置关系为________．解析：如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，且平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝l ，所以l ∥B 1D 1.答案：l ∥B 1D 111．如图是正方体的平面展开图：在这个正方体中，①BM∥平面ADE；②CN∥平面BAF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF，以上说法正确的是________(填序号)．解析：以四边形ABCD为下底还原正方体，如图所示，则易判定四个说法都正确．答案：①②③④12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N 是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，MN∥平面BDD1B1.解析：如图，取B1C1的中点P，连接NP，NH，HF，PF，则可证明平面NPFH∥平面BDD1B1，若MN平面NPFH，则MN∥平面BDD1B1.答案：M∈FH.(答案不唯一，如FH∩GE＝M等)三、解答题13.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.证明：因为BE∥AA1，AA1平面AA1D，BE⊆平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.因为BC∥AD，AD平面AA1D，BC⊆平面AA1D，所以BC ∥平面AA 1D .又BE ∩BC ＝B ，BE 平面BCE ，BC 平面BCE ， 所以平面BCE ∥平面AA 1D .又平面A 1DCE ∩平面BCE ＝EC ，平面A 1DCE ∩平面AA 1D ＝A 1D ， 所以EC ∥A 1D .14．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是棱B 1C 1，BB 1，C 1D 1的中点，是否存在过点E ，M 且与平面A 1FC 平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由．解析：如图，设N 是棱C 1C 上的一点，且C 1N ＝14C 1C 时，平面EMN 过点E ，M 且与平面A 1FC平行．证明如下：设H 为棱C 1C 的中点，连接B 1H ，D 1H .因为C 1N ＝14C 1C ，所以C 1N ＝12C 1H .又E 为B 1C 1的中点，所以EN ∥B 1H . 又CF ∥B 1H ，所以EN ∥CF .又EN ⊆平面A 1FC ，CF 平面A 1FC ， 所以EN ∥平面A 1FC .同理MN ∥D 1H ，D 1H ∥A 1F ， 所以MN ∥A 1F .又MN ⊆平面A 1FC ，A 1F 平面A 1FC ， 所以MN ∥平面A 1FC ， 又EN ∩MN ＝N ，所以平面EMN ∥平面A 1FC .能力提升15.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解析：存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1，下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1.因为AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，DF∩EF＝F，所以平面DEF∥平面AB1C1.又DE平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.16．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD 的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF∥平面BB1D1D.解析：(1)证明：方法一如图，连接AC，CD1.因为P，Q分别是AD1，AC的中点，所以PQ∥CD1.又PQ 平面DCC1D1，CD1平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1.方法二 取AD 的中点G ，连接PG ，GQ ， 则有PG ∥DD 1，GQ ∥DC ，且PG ∩GQ ＝G ， 所以平面PGQ ∥平面DCC 1D 1.又PQ 平面PGQ ，所以PQ ∥平面DCC 1D 1.(2)由(1)易知PQ ＝12D 1C ＝22a .(3)证明：方法一 取B 1D 1的中点O 1， 连接FO 1，BO 1，则有FO 1綊12B 1C 1.又BE 綊12B 1C 1，所以BE 綊FO 1.所以四边形BEFO 1为平行四边形， 所以EF ∥BO 1，又EF 平面BB 1D 1D ，BO 1平面BB 1D 1D ， 所以EF ∥平面BB 1D 1D .方法二 取B 1C 1的中点E 1，连接EE 1，FE 1， 则有FE 1∥B 1D 1，EE 1∥BB 1，且FE 1∩EE 1＝E 1， 所以平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D .又EF 平面EE 1F ，所以EF ∥平面BB 1D 1D .。